Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Методическая разработка для спецкурса по математике в 9 классе - Использование элементов теории множеств в решении задач

Методическая разработка для спецкурса по математике в 9 классе - Использование элементов теории множеств в решении задач

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов

Методическая разработка для спецкурса по математике в 9-м классе на тему: «Использование элементов теории множеств в решении задач»

Цели:

  • формировать у учащихся знания основ теории множеств;

  • познакомить учащихся с различными случаями применения теории множеств при решении задач;

  • формировать у учащихся умения применять элементы теории множеств в решении задач;

  • развивать общую математическую культуру, интерес к предмету;

  • воспитывать у учащихся ответственное отношение к учебному труду.

Оборудование: плакаты с изображением основных отношений и операций между множествами.

Содержание:

1. Основные понятия множества.

2. Отношения между множествами.

3. Операции над множествами.

4. Решение задач.

5. Контрольные вопросы

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА

Одно из основных понятий современной математики — множество. Это понятие обычно принимается за первичное и поэтому не определяется через другие.

Когда в математике говорят о множестве (чисел, точек, функций и т. д.), то объединяют эти объекты в одно целое — множество, состоящее из этих объектов (чисел, точек, функций и т. д.). Основатель теории множеств, немецкий математик Георг Кантор (1845–1918) выразил эту мысль следующим образом: “Множество есть многое, мыслимое как единое, целое”.

Множество — это совокупность объектов, объединённых между собой по какому-либо признаку.

Слово “множество” в обычном смысле всегда связывается с большим числом предметов. Например, мы говорим, что в лесу множество деревьев, но если перед домом два дерева, в обычной речи не говорят, что перед домом “множество деревьев”.

Математическое же понятие множества не связывается обязательно с большим числом предметов. В математике удобно рассматривать и “множества”, содержащие 3; 2 или 1 предмет и даже “множество”, не содержащее ни одного предмета (пустое множество). Например, мы говорим о множестве решений уравнения, до того как узнаем, сколько оно имеет решений (множество вещественных решений уравнения х2+1 = 0 — пустое множество).

Произвольные множества обозначают большими латинскими буквами А, В, С, … Пустое множество, т.е. множество, которое не имеет элементов, обозначается символом http://festival.1september.ru/articles/310162/img1.gif.

О предметах, составляющих множество, говорят, что они принадлежат этому множеству, или являются его элементами. Элементы множества обозначают малыми латинскими буквами a, b, c, … или одной какой-нибудь буквой с индексом, например а1, а2, … ,аn.

Предложение “предмет а принадлежит множеству А”, или “предмет а — элемент множества А”, обозначают символом а http://festival.1september.ru/articles/310162/img2.gif А.

Способы задания множеств:

1) Множество может быть задано непосредственным перечислением всех его элементов (в произвольном порядке). В таком случае названия всех элементов множества записываются в строчку, отделяются между собой запятыми и заключаются в фигурные скобки.

Например: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}— множество цифр десятичной системы счисления,

Необходимо различать объекты, обозначаемые символами a и {a}. Символом a означается предмет, символом {a} — множество, состоящее из одного элемента а (единичное множество). Перечислением всех элементов можно задать лишь конечное множество. Такие множества, как, например, множество всех натуральных (N) или всех целых чисел (Z), нельзя задать таким способом, т.к. мы не можем перечислить все N и все Z — таких чисел бесконечное множество.

2) Имеется другой, универсальный, способ задания множества в том смысле, что этим способом может быть задано не только конечное, но и бесконечное множество. Множество может быть задано указанием характеристического свойства, т. е. такого свойства, которым обладают все элементы этого множества и не обладает ни один предмет, не являющийся его элементом.

Например: а) А = { х | sin x = 0}, б) А = {0, 1, 2, 3, 4}— множество всевозможных остатков от деления любого натурального числа на 5.

2. ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ МНОЖЕСТВАМИ

Множество В включается в множество А, если каждый элемент множества В является также элементом множества А. Множество В является подмножеством или частью множества А. Символическая запись: http://festival.1september.ru/articles/310162/img3.gif.

Отношение включения обозначается символом http://festival.1september.ru/articles/310162/img4.gif, т. е. предложение “множество В включается во множество А” записывается: Вhttp://festival.1september.ru/articles/310162/img4.gifА.

Поскольку множество можно изобразить в виде геометрических фигур, логические рассуждения тоже изображаются геометрически.

Метод геометрической иллюстрации логических рассуждений был предложен великим математиком 18 века петербургским академиком Леонардом Эйлером (1707–1783) и широко применялся английским математиком Джоном Венном (1834–1923), т.е. для наглядности множества и логические рассуждения изображаются в виде кругов, которые называются кругами Эйлера или диаграммами Эйлера-Венна.

Диаграмма Эйлера-Венна



Например:

1) Nhttp://festival.1september.ru/articles/310162/img4.gif Zhttp://festival.1september.ru/articles/310162/img4.gif Qhttp://festival.1september.ru/articles/310162/img4.gifRhttp://festival.1september.ru/articles/310162/img4.gifC.

2) Множество прямоугольников http://festival.1september.ru/articles/310162/img4.gif во множество параллелограммов http://festival.1september.ru/articles/310162/img4.gif множество четырёхугольников.

Частным случаем включения является равенство.

Два множества, состоящие из одних и тех же элементов называются равными (А = В).

Символическая запись: http://festival.1september.ru/articles/310162/img6.gif

http://festival.1september.ru/articles/310162/img7.gif

Как показывают приведённые выше примеры, если Вhttp://festival.1september.ru/articles/310162/img4.gifА, то возможны два случая:

1) Существует хотя бы один элемент множества А, не принадлежащий множеству В. В таком случае говорят, что В — собственная часть (или собственное подмножество) А, или что В строго включается в А. Отношение строгого включения обозначается : В http://festival.1september.ru/articles/310162/img8.gif А.

2) Не существует ни одного элемента множества А, не принадлежащего В. Этот случай равносилен отношению http://festival.1september.ru/articles/310162/img9.gif, т. е. равенству А = В.

3. ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ

Объединением Аhttp://festival.1september.ru/articles/310162/img10.gifВ двух множеств А и В называется множество, состоящее из общих элементов этих множеств; т. е. множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству А или множеству В.

Символическая запись: http://festival.1september.ru/articles/310162/img11.gif.

Например:

http://festival.1september.ru/articles/310162/img12.gif

Пересечением Аhttp://festival.1september.ru/articles/310162/img13.gifВ двух множеств называется множество, состоящее из всех элементов этих множеств, и не содержащее элементов других множеств; т. е. множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат и множеству А и множеству В.

Символическая запись: http://festival.1september.ru/articles/310162/img14.gif

http://festival.1september.ru/articles/310162/img15.gif

Разностью А \ В двух множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов множества А и не содержащее элементов множества В.

Символическая запись: http://festival.1september.ru/articles/310162/img16.gif

http://festival.1september.ru/articles/310162/img17.gif

Симметрической разностью Аhttp://festival.1september.ru/articles/310162/img18.gifВ двух множеств А и В называется множество http://festival.1september.ru/articles/310162/img19.gif

http://festival.1september.ru/articles/310162/img20.gif

Пусть даны два множества А и В, В http://festival.1september.ru/articles/310162/img8.gifА, разность А \ В двух множеств А и В называется дополнением множества В до множества А (относительно множества А).

http://festival.1september.ru/articles/310162/img21.gif

Сумма двух множеств является частным случаем объединения множеств.

http://festival.1september.ru/articles/310162/img22.gif

Под парой будем всегда понимать упорядоченную пару элементов, т. е. два элемента, расположенных в определённом порядке. Элемент, занимающий первое место, называетсяпервой координатой пары, элемент, занимающий второе место, называется второй координатой пары.

Обозначают пару элементов круглыми скобками: (a,b).

Прямым произведением двух множеств называется множество всевозможных пар (a,b), таких, что: ahttp://festival.1september.ru/articles/310162/img2.gif А, b http://festival.1september.ru/articles/310162/img2.gif В. Символическая запись: http://festival.1september.ru/articles/310162/img23.gif.



4. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

А. Задачи на прямое произведение множеств.

Задача №1

Дано

Решение

Задача №2

Изобразить на координатной плоскости множество М :

M = N http://festival.1september.ru/articles/310162/img26.gif R, где N — множество натуральных чисел, R — множество действительных чисел.

По определению прямого произведения: Аhttp://festival.1september.ru/articles/310162/img26.gifВ = {(a,b) : ahttp://festival.1september.ru/articles/310162/img2.gifА, bhttp://festival.1september.ru/articles/310162/img2.gifВ}

М = {(1, х), (2, х), …| 1, 2, … http://festival.1september.ru/articles/310162/img2.gifN и х http://festival.1september.ru/articles/310162/img2.gifR}

Изобразим это на графике:

http://festival.1september.ru/articles/310162/img27.gif

B. Задачи на доказательство, решаемые с помощью диаграмм Эйлера-Венна.

Задача №1

Доказать: (Аhttp://festival.1september.ru/articles/310162/img13.gifВ)\А = http://festival.1september.ru/articles/310162/img1.gif

Доказательство:

http://festival.1september.ru/articles/310162/img28.gif,

что и требовалось доказать.

Задача №2

Доказать: А\(Вhttp://festival.1september.ru/articles/310162/img13.gifС) = (А\В)http://festival.1september.ru/articles/310162/img10.gif(А\С)

Доказательство:

http://festival.1september.ru/articles/310162/img29.gif,

что и требовалось доказать.

Задача №3

Доказать: Вhttp://festival.1september.ru/articles/310162/img10.gif(А\В) = Аhttp://festival.1september.ru/articles/310162/img10.gifВ

Доказательство:

http://festival.1september.ru/articles/310162/img30.gif,

что и требовалось доказать.

C. Логические задачи, решаемые с помощью диаграмм Эйлера-Венна.

Задача №1

В отделе научно-исследовательского института работают несколько человек, причём каждый из них знает хотя бы один иностранный язык: 6 человек — английский язык, 7 человек — немецкий язык, 4 человека — оба языка. Сколько человек работает в отделе? Сколько из них знают только английский язык? Только немецкий? Сколько человек знает только один язык?

Решение:

Пусть М1 — работники, знающие английский язык, М2 — работники, знающие немецкий язык.

http://festival.1september.ru/articles/310162/img31.gif

1) | М1http://festival.1september.ru/articles/310162/img10.gifМ2| = |М1| + |М2| - |М1http://festival.1september.ru/articles/310162/img10.gifМ2| = 6 + 7 - 4 = 9 (человек) — работает в отделе.

2) |М1| - |М1http://festival.1september.ru/articles/310162/img13.gifМ2| = 6 – 4 = 2 (человека) — знают только английский язык.

3) |М2| - |М1http://festival.1september.ru/articles/310162/img13.gifМ2| = 7 – 4 = 3 (человека) — знают только немецкий язык.

4) 2 + 3 = 5 (человек) — знают только один язык.

Ответ: 9 человек, 2 человека, 3 человека, 5 человек.

Резервная задача

На пикник поехали 92 человека.

48 человек взяли бутерброды с колбасой,

38 человек взяли бутерброды с сыром,

42 человек взяли бутерброды с ветчиной,

28 человек взяли бутерброды с колбасой и с сыром,

21 человек взяли бутерброды с колбасой и с ветчиной,

26 человек взяли бутерброды с сыром и с ветчиной,

25 человек взяли бутерброды трёх видов.

А несколько человек взяли пирожки. Сколько человек взяли пирожки?

(Ответ: 14 человек взяли пирожки.)

5. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Назовите основателя теории множеств.

2. С чем связывают в обычном смысле слово “множество”?

3. Из чего состоит множество?

4. Как обозначают множества, элементы множества?

5. Что называю пустым множеством?

6. Перечислите способы задания множества.

7. Расскажите об отношениях между множествами. Приведите примеры.

8. Расскажите об операциях, которые можно осуществлять между двумя множествами. Приведите примеры.

9. Как для наглядности изображаются множества и логические рассуждения?

10*(для желающих). Составьте несколько задач и решите их, используя элементы теории множеств.



Общая информация

Номер материала: ДВ-246403

Похожие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Табличный процессор MS Excel в профессиональной деятельности учителя математики»
Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»