Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Методическая разработка для внеклассной работы по математике "Счёт без калькулятора"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Методическая разработка для внеклассной работы по математике "Счёт без калькулятора"

Выбранный для просмотра документ магическое число шехерезады.ppt

библиотека
материалов
Магическое число Шехерезады
В математике есть много известных чисел: Число Pi, Число Архимеда и т.д. Я же...
Умная женщина Шехерезада, знающая слабость своего мужа, царя Шахрияра, рубить...
Свойства числа 1001: 1. Это самое малое натуральное четырехзначное число, кот...
52 ∙ 7+52 ∙ 7 + 26 ∙ 7 + 13 ∙ 7 4. Если считать, что год равняется 52 неделям...
1001=7∙11∙13 5. Оно делится без остатка и на 7, и на 11 и на 13 - на три посл...
303*1001=303303 Замечательно то, что у этого хитрого числа есть и свое хитрое...
Фокус Пусть один из участников на листе бумаги напишет любое трехзначное числ...
 Второй участник должен повторить число рядом: 456456
 Третий участник должен разделить это число на 7 456456:7=65208
 Четвертый участник разделит полученный результат на 11 65208:11=5928
 И наконец пятый - разделит на 13 5928:13=456
Секрет фокуса Приписав к трехзначному числу его само – значит, умножить его н...
А в результате деления последовательно на эти три числа (т.е. на их произведе...
Итак, зная и пользуясь свойством числа Шехерезады, можно достичь результатов...
16 1

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Магическое число Шехерезады
Описание слайда:

Магическое число Шехерезады

№ слайда 2 В математике есть много известных чисел: Число Pi, Число Архимеда и т.д. Я же
Описание слайда:

В математике есть много известных чисел: Число Pi, Число Архимеда и т.д. Я же хочу рассказать о чудесных свойствах числа Шехерезады

№ слайда 3 Умная женщина Шехерезада, знающая слабость своего мужа, царя Шахрияра, рубить
Описание слайда:

Умная женщина Шехерезада, знающая слабость своего мужа, царя Шахрияра, рубить голову женам, спасла себя и своих детей тем, что каждую ночь рассказывала мужу сказку и с рассветом – обрывала рассказ на самом интересном месте. Но кроме славы мудрейшей женщины и рассказчицы удостоилась еще и собственного числа. Это число

№ слайда 4 Свойства числа 1001: 1. Это самое малое натуральное четырехзначное число, кот
Описание слайда:

Свойства числа 1001: 1. Это самое малое натуральное четырехзначное число, которое можно представить в виде: 1001=10∙10∙10+1∙1∙1 2. Число 1001 состоит из 77 чертовых дюжин: 1001 = 77∙13

№ слайда 5 52 ∙ 7+52 ∙ 7 + 26 ∙ 7 + 13 ∙ 7 4. Если считать, что год равняется 52 неделям
Описание слайда:

52 ∙ 7+52 ∙ 7 + 26 ∙ 7 + 13 ∙ 7 4. Если считать, что год равняется 52 неделям, то 1001 ночь состоит из 1+1+1/2 +1/4 года 3. из 91 «одиннадцаток» или из 143 семерок , а ведь число 7 считалось магическим числом;

№ слайда 6 1001=7∙11∙13 5. Оно делится без остатка и на 7, и на 11 и на 13 - на три посл
Описание слайда:

1001=7∙11∙13 5. Оно делится без остатка и на 7, и на 11 и на 13 - на три последовательных простых числа, произведением которых оно и является: Но само волшебство не в этом!

№ слайда 7 303*1001=303303 Замечательно то, что у этого хитрого числа есть и свое хитрое
Описание слайда:

303*1001=303303 Замечательно то, что у этого хитрого числа есть и свое хитрое правило если умножить на него любое трехзначное число, это самое трехзначное число повторится дважды:

№ слайда 8 Фокус Пусть один из участников на листе бумаги напишет любое трехзначное числ
Описание слайда:

Фокус Пусть один из участников на листе бумаги напишет любое трехзначное число и передаст эту запись кому-нибудь 456

№ слайда 9  Второй участник должен повторить число рядом: 456456
Описание слайда:

Второй участник должен повторить число рядом: 456456

№ слайда 10  Третий участник должен разделить это число на 7 456456:7=65208
Описание слайда:

Третий участник должен разделить это число на 7 456456:7=65208

№ слайда 11  Четвертый участник разделит полученный результат на 11 65208:11=5928
Описание слайда:

Четвертый участник разделит полученный результат на 11 65208:11=5928

№ слайда 12  И наконец пятый - разделит на 13 5928:13=456
Описание слайда:

И наконец пятый - разделит на 13 5928:13=456

№ слайда 13 Секрет фокуса Приписав к трехзначному числу его само – значит, умножить его н
Описание слайда:

Секрет фокуса Приписав к трехзначному числу его само – значит, умножить его на 1001, т.е на произведение 7∙11∙13. Поэтому шестизначное число, полученное после того, как приписали к задуманному числу его само, должно будет делиться без остатка и на 7, и на 11, и на 13.

№ слайда 14 А в результате деления последовательно на эти три числа (т.е. на их произведе
Описание слайда:

А в результате деления последовательно на эти три числа (т.е. на их произведение – 1001) оно должно, конечно, снова дать задуманное число! 1001=7∙11∙13

№ слайда 15 Итак, зная и пользуясь свойством числа Шехерезады, можно достичь результатов
Описание слайда:

Итак, зная и пользуясь свойством числа Шехерезады, можно достичь результатов совсем неожиданных, кажущихся волшебными, по крайней мере, неподготовленному человеку.

№ слайда 16
Описание слайда:

Выбранный для просмотра документ счёт без калькулятора.doc

библиотека
материалов


ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ АДМИНИСТРАЦИИ г. БРАТСКА

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА № 3»

МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ ГОРОДА БРАТСК














«Счёт без калькулятора»

(нестандартные приёмы устного счёта)








подготовила: Т.В. Мартынова

учитель математики,

I квалификационной категории.
















СОДЕРЖАНИЕ


Введение……………………………………………………………………..…………….3

Глава 1. История счета

1.1. Как люди научились считать……...............................................................................6

1.2. Чудо - счетчики……………………………………………………………………...9

Глава 2. Старинные способы умножения

2.1. Русский крестьянский способ умножения…..…………….……………….……...12 2.2. Метод «решетки»……………….…….. ………………………………….………..13

2.3. Индийский способ умножения……………………………………………………..15

2.4. Египетский способ умножения…………………………………………………….16

2.5. Умножение на пальцах……………………………………………………………..17

Глава 3. Устный счет – гимнастика ума







































Введение



Счёт в уме является самым древним и простым способом вычислений. Знание упрощённых приёмов устного вычисления остаётся необходимым даже при полной механизации всех наиболее трудоёмких вычислительных процессов. Устные вычисления дают возможность не только быстро производить простые расчёты в уме, но и контролировать, оценивать, находить и исправлять ошибки в результатах механизированных вычислений. Кроме того, освоение вычислительных навыков развивает память и помогает школьникам полноценно усваивать предметы физико-математического цикла.

Данный материал будет полезен для учителей математики. Они могут его в полной мере использовать на факультативных занятиях по развивающему обучению.

Освоение описанных приёмов устного счёта позволит учащимся начальной школы и II ступени обучения быстро выполнять арифметические действия, что будет способствовать развитию памяти школьников и повышению уровня математической культуры, а также способствовать развитию интереса к предмету, так как они узнают именно нестандартные приёмы устного счёта.













-3-


Глава 1. История счёта

1.1. Как возникли числа

Подсчитывать предметы люди научились ещё в древнем каменном веке - палеолите, десятки тысяч лет назад. Как это происходило? Сначала люди лишь на глаз сравнивали разные количества одинаковых предметов. Они могли определить, в какой из двух куч больше плодов, в каком стаде больше оленей и т.д. Если одно племя меняло пойманных рыб на сделанные людьми другого племени каменные ножи, не нужно было считать, сколько принесли рыб и сколько ножей. Достаточно было положить рядом с каждой рыбой по ножу, чтобы обмен между племенами состоялся.

Чтобы с успехом заниматься сельским хозяйством, понадобились арифметические знания. Без подсчета дней трудно было определить, когда надо засевать поля, когда начинать полив, когда ждать потомства от животных. Надо было знать, сколько овец в стаде, сколько мешков зерна положено в амбары.
       И вот более восьми тысяч лет назад древние пастухи стали делать из глины кружки - по одному на каждую овцу. Чhello_html_m26b6aec3.jpgтобы узнать, не пропала ли за день хоть одна овца, пастух откладывал в сторону по кружку каждый раз, когда очередное животное заходило в загон. И только убедившись, что овец вернулось столько же, сколько было кружков, он спокойно шел спать. Но в его стаде были не только овцы - он пас и коров, и коз, и ослов. Поэтому пришлось делась из глины и другие фигурки. А земледельцы с помощью глиняных фигурок вели учет собранного урожая, отмечая, сколько мешков зерна положено в амбар, сколько кувшинов масла выжато из оливок, сколько соткано кусков льняного полотна. Если овцы приносили приплод, пастух прибавлял к кружкам новые, а если часть овец шла на мясо, несколько кружков приходилось убирать. Так, еще не умея считать, занимались древние люди арифметикой.

Затем в человеческом языке появились числительные, и люди смогли называть число предметов, животных, дней. Обычно таких числительных было мало. Например, у племени реки Муррей в Австралии было два простых числительных: энэа (1) и петчевал (2). Другие числа они выражали составными числительными: 3= «петчевал-энэа», 4 «петчевал-петчевал» и т. д. Ещё одно австралийское племя – камилороев имело простые числительные мал (1), булан (2), гулиба (3) . И здесь другие числа получались сложением меньше: 4= «булан – булан», 5= «булан – гулиба», 6= « гулиба – гулиба» и т.д.

-4-

У многих народов название числа зависело от подсчитываемых предметов. Если жители островов Фиджи считали лодки, то число 10 называли « боло»; если они считали кокосовые орехи, то число 10 называли «каро». Точно так же поступали живущие на Сахалине и берегах Амура нивхи. Ещё в прошлом веке одно и то же число они называли разными словами, если считали людей, рыб, лодки, сети, звёзды, палки.

Мы и сейчас используем разные неопределённые числительные со значением «много»: «толпа», «стадо», «стая», «куча», «пучок» и другие.

С развитием производства и торгового обмена люди стали лучше понимать, что общего у трёх лодок и трёх топоров, десяти стрел и десяти орехов. Племена часто вели обмен «предмет за предмет»; к примеру, обменивали 5 съедобных кореньев на 5 рыб. Становилось ясно, что 5 одно и то же и для кореньев, и для рыб; значит, и называть его можно одним словом.

Постепенно люди начали использовать для счёта камешки, палочки, части собственного тела. Вот как известный русский учёный Н.Н. Миклуха - Маклай описывал счёт папуасов: «Папуас загибает один за другим пальцы руки, причём издаёт определённый звук, например «бе, бе, бе..». Досчитав до пяти, он говорит: «Ибон-бе» (рука). Затем он загибает пальцы другой руки, снова повторяя «бе, бе..», пока не дойдёт до «ибон-али» (две руки). Затем он идёт дальше, приговаривая «бе, бе…», пока не дойдёт до «самба-бе» (одна нога) и «самба-али» (две ноги). Если нужно считать дальше, папуас пользуется пальцами рук и ног кого-нибудь другого».

Похожие способы счёта применяли и другие народы. Так возникли нумерации, основанные на счёте пятёрками, десятками, двадцатками.

До сих пор мы рассказывали об устном счёте. А как записывали числа? Поначалу, ещё до возникновения письменности, использовали зарубки на палках, насечки на костях, узелки на верёвках. Найденная волчья кость в Дольни - Вестонице (Чехословакия), имела 55 насечек, сделанных более 25000 лет назад.

Когда появилась письменность, появились и цифры для записи чисел. Сначала цифры напоминали зарубки на палках: в Египте и Вавилоне, в Этрурии и Финики, в Индии и Китае небольшие числа записывали палочками или чёрточками. Например, число 5 записывали пятью палочками. Индейцы астеки и майя вместо палочек использовали точки. Затем появились специальные знаки для некоторых чисел, таких, как 5 и 10 .

В то время почти все нумерации были не позиционными, а похожими на римскую нумерацию. Лишь одна вавилонская шестидесятеричная нумерация была позиционной. Но и в ней долго не было нуля, а также запятой, отделяющей целую часть от дробной. Поэтому одна и та же цифра могла означать и 1, и 60, и 3600. Угадывать значение числа приходилось по смыслу задачи.

За несколько столетий до новой эры изобрели новый способ записи чисел, при котором цифрами служили буквы обычного алфавита. Первые 9 букв обозначали числа десятки 10, 20,…, 90, а ещё 9 букв обозначали сотни. Такой алфавитной нумерацией пользовались до 17 в. Чтобы отличить «настоящие» буквы от чисел, над буквами- числами ставили чёрточку (на Руси эта чёрточка называлась «титло»).

Во всех этих нумерациях было очень трудно выполнить арифметические действия. Поэтому изобретение в 6 в. индийцами десятичной позиционной нумерации по праву считается одним из крупнейших достижений человечества. Индийская нумерация и индийские цифры стали известны в Европе от арабов, и обычно их называют арабскими.

При записи дробей ещё долгое время целую часть записывали в новой, десятичной нумерации, а дробную – в шестидесятеричной. Но в начале 15 в. самаркандский математик и астроном аль- Каши стал употреблять в вычислениях десятичные дроби.

Числа, с которыми мы работаем с положительными и отрицательными числами. Но, оказывается, что это не все числа, которые используют в математике и других науках. И узнать о них можно не дожидаясь старшей школы, а гораздо раньше, если изучать историю возникновения чисел в математике.





















1.2 « Чудо - счётчики»

Он все понимает с полуслова и тут же формулирует вывод, к которому обычный человек, может быть, придет путем долгих и тягостных раздумий. Книги он поглощает с невероятной скоростью, а на первом месте в его шорт-листе бестселлеров — учебник по занимательной математике. В момент решения самых трудных и необычных задач в его глазах горит огонь вдохновения. Просьбы сходить в магазин или помыть посуду остаются без внимания либо выполняются с большим недовольством. Самая лучшая награда — это поход в лекторий, а самый ценный подарок — книга. Он максимально практичен и в своих поступках в основном подчиняется рассудку и логике. Он холодно относится к окружающим его людям и предпочтет катанию на роликах шахматную партию с компьютером. Будучи ребенком, он не по годам осознает собственные недостатки, отличается повышенной эмоциональной устойчивостью и приспособляемостью к внешним обстоятельствам.

Этот портрет написан отнюдь не с аналитика ЦРУ.
Так, по мнению психологов, выглядит человек-калькулятор, индивидуум, обладающий уникальными математическими способностями, позволяющими ему в мгновение ока производить в уме самые сложные подсчеты.

За порогом сознания чудо - счетоводы, способные без калькулятора совершать невообразимо сложные арифметические действия, обладают уникальными особенностями памяти, отличающей их от других людей. Как правило, кроме огромных линеек формул и вычислений, эти люди (ученые их называют мнемониками — от греческого слова mnemonika, означающего "искусство запоминания") держат в голове списки адресов не только друзей, но и случайных знакомых, а также многочисленных организаций, где им когда-то приходилось бывать.

В лаборатории НИИ психотехнологий, где решили исследовать феномен, провели такой эксперимент. Пригласили уникума — сотрудника Центрального государственного архива Санкт-Петербурга Александра Н. Ему предлагали для запоминания различные слова и цифры. Он должен был их повторять. За каких-то пару минут он мог зафиксировать в памяти до семидесяти элементов. Десятки слов и цифр буквально "загрузили" в память Александра. Когда количество элементов перевалило за две сотни, решили проверить его возможности. К удивлению участников эксперимента, мегапамять не дала ни одного сбоя. С секунду пошевелив губами, он с поразительной точностью, словно читая, начал воспроизводить весь ряд элементов.

-7-

Еще, например, один учёный – исследователь провёл эксперимент с мадмуазель Осака. Испытуемую попросили возвести в квадрат 97, получить десятую степень того числа. Она это сделала моментально.

В Ванском районе западной Грузии живет Арон Чикашвили. Он быстро и точно производит в уме сложнейшие вычисления. Как-то друзья решили проверить возможности «чудо-счётчика». Задание было сложным: сколько слов и букв скажет диктор, комментирующий второй тайм футбольного матча «Спартак» (Москва) - «Динамо» (Тбилиси). Одновременно был включен магнитофон. Ответ последовал, как только диктор сказал последнее слово: 17427 букв , 1835 слов. На проверку ушло ….5 часов. Ответ оказался правильным.

Рассказывают, что отец Гаусса обычно платил свом рабочим в конце недели, прибавляя к каждому дневному заработку за сверхурочные часы. Однажды после того, как Гаусс-отец закончил расчеты, следивший за операциями отца ребёнок, которому было три года, воскликнул: « Папа, подсчёт не верен! Вот такая должна быть сумма». Вычисления повторили и с удивлением убедились, что малыш указал правильную сумму.

Интересно, что многие «чудо-счётчики» не имеют понятия вообще, как они считают. « Считаем, и всё! А как считаем, Бог его знает». Некоторые «счётчики» были совсем необразованными людьми. Англичанин Бакстон, «счётчик-виртуоз», так никогда и не научился читать; американский «негр-счётчик» Томас Фаллер умер неграмотным в возрасте 80-ти лет.

Проводились соревнования в институте кибернетики Украинской академии наук. В соревновании участвовали молодой «счётчик-феномен» Игорь Шелушков и ЭВМ «Мир». Машина за несколько секунд сделала множество сложных математических операций. Победителем в этом соревновании вышел Игорь Шелушков.

В Сиднейском университете в Индии тоже проходили соревнования человека и машины. Шакунтала Деви тоже несколько опередила ЭВМ.

Большенство таких людей обладает прекрасной памятью и имеют дарование. Но некоторые из них никакими способностями к математике не обладают. Они знают секрет! А секрет этот в том, что они хорошо усвоили приемы быстрого счёта, запомнили несколько специальных формул. Но бельгийский служащий, который за 30 секунд по предложенному ему многозначному числу, полученному от умножения некоторого числа само на себя 47 раз, называет это число (извлекает корень 47-ой

степени из многозначного числа), добился таких потрясающих успехов в счёте в результате многолетней тренировки.

Итак, многие «счётчики-феномены» пользуются особыми приемами быстрого счёта и специальными формулами. Значит, мы тоже можем пользоваться некоторыми из этих приёмов.































Глава II . Старинные способы умножения.

2.1. Русский крестьянский способ умножения.


В России 2-3 века назад среди крестьян некоторых губерний был распространен способ, который не требовал знание всей таблицы умножения. Надо было лишь уметь умножать и делить на 2. Этот способ получил название крестьянского (существует мнение, что он берет начало от египетского).

Пример: умножим 47 на 35,

- запишем числа на одной строчке, проведём между ними вертикальную черту;

- левое число будем делить на 2, правое – умножать на 2 (если при делении возникает остаток, то остаток отбрасываем);

- деление заканчивается, когда слева появится единица;

- вычёркиваем те строчки, в которых стоят слева чётные числа;

- далее оставшиеся справа числа складываем – это результат;


hello_html_m33727f9.jpg 35 + 70 + 140 + 280 + 1120 = 1645.









-10-

2.2. Метод «решетки».

1). Выдающийся арабский математик и астроном Абу Абдалах Мухаммед Бен Мусса аль - Хорезми жил и работал в Багдаде. «Аль - Хорезми» буквально означает «из Хорезми», т.е. родился в г. Хорезме (сейчас входит в состав Узбекистана). Учёный работал в Доме мудрости, где были библиотека и обсерватория, здесь работали почти все крупные арабские учёные.

Сведений о жизни и деятельности Мухаммеда аль - Хорезми очень мало. Сохранились лишь две его работы – по алгебре и по арифметике. В последний из этих книг даны четыре правила арифметических действий, почти такие же, что используются в наше время.

2). В своей «Книге об индийском счете» учёный описал способ, придуманный в Древней Индии, а позже названный «методом решётки» (он же «ревность»). Этот метод даже проще, чем применяемый сегодня.

Пусть нужно умножить 25 и 63.

Нhello_html_31aaf98e.gifачертим таблицу в которой две клетки по длине и две по ширине запишем одно число по длине другое по ширине. В клетках запишем результат умножения данных цифр, на их пересечении отделим десятки и единицы диагональю. Полученные цифры сложим по диагонали, и полученный результат можно прочитать по стрелке (вниз и вправо).

1

2

3

0

0

6

1

5





hello_html_3e71e9ba.gif




Нами рассмотрен простой пример, однако, этим способом можно умножать любые многозначные числа.

Рассмотрим еще один пример: перемножим 987 и 12:

- рисуем прямоугольник 3 на 2 (по количеству десятичных знаков у каждого множителя);

- затем квадратные клетки делим по диагонали;

- вверху таблицы записываем число 987;

- слева таблицы число 12 (см. рисунок);

-11-

- теперь в каждый квадратик впишем произведение цифр – сомножителей, расположенных в одной строчке и в одном столбце с этим квадратиком, десятки выше диагонали, единицы ниже;

- после заполнения всех треугольников, цифры в них складывают вдоль каждой диагонали;

- результат записываем справа и внизу таблицы (см. рисунок);

987 ∙ 12=11844


hello_html_m5505e0ba.jpg

Этот алгоритмом умножения двух натуральных чисел был распространен в средние века на Востоке и Италии.

Неудобство этого способа мы отметили в трудоемкости подготовки прямоугольной таблицы, хотя сам процесс вычисления интересен и заполнение таблицы напоминает игру



2.3 Индийский способ умножения

Некоторые опытные учителя в прошлом веке считали, что этот способ должен заменить в нашей школе общепринятый способ умножения.

Американцам он настолько понравился, что они его даже так и назвали «Американский способ». Однако им пользовались жители Индии еще в VI в. н. э., и правильнее его назвать «индийским способом». Перемножить два каких - либо двузначных числа, скажем 23 на 12. Я сразу пишу, что получится.

х23

12

276

Вы видите: очень быстро получен ответ. Но как он получен?

Первый шаг: х23 говорю: «2 х 3 = 6»

12

…6


Второй шаг: х23 говорю: « 2 х 2 + 1 х 3 = 7»

12

.76


Третий шаг: х23 говорю: «1 х 2 = 2».

12 пишу 2 левее цифры 7

276 получаем 276.



Мы познакомились с этим способом на очень простом примере без перехода через разряд. Однако наши исследования показали, что им можно пользоваться и при умножении чисел с переходом через разряд, а также при умножении многозначных чисел. Приведем примеры:


х528 х24 х15 х18 х317

123 30 13 19 12

64944 670 195 342 3804


На Руси этот способ был известен как способ умножения крестиком.

В этом «крестике» и заключается неудобство умножения, легко запутаться, к тому же трудно удерживать в уме все промежуточные произведения, результаты которых затем надо сложить.










2.4. Египетский способ умножения


Обозначения чисел, которые использовались в древности, были более или менее пригодны для записи результата счета. А вот выполнять арифметические действия с их помощью было очень сложно, особенно это касалось действия умножения. Выход из этой ситуации нашли египтяне, поэтому способ получил название египетского. Они заменили умножение на любое число - удвоением, то есть сложением числа с самим собой.

Пример: 34 ∙ 5=34∙ (1 + 4) = 34∙ (1 + 2 ∙ 2) = 34 ∙ 1+ 34 ∙ 4.

Т.к. 5 = 4 + 1, то для получения ответа оставалось сложить числа, стоящие в правом столбике против цифр 4 и 1 , т.е. 136 + 34 = 170.

hello_html_m35a4ac94.jpg

2.5. Умножение на пальцах

Древние египтяне были очень религиозны и считали, что душу умершего в загробном мире подвергают экзамену по счёту на пальцах. Уже это говорит о том значении, которое придавали древние этому способу выполнения умножения натуральных чисел (он получил название пальцевого счета).

Умножали на пальцах однозначные числа от 6 до 9. Для этого на одной руке вытягивали столько пальцев, на сколько первый множитель превосходил число 5, а на второй делали то же самое для второго множителя. Остальные пальцы загибали. После этого брали столько десятков, сколько вытянуто пальцев на обеих руках, и прибавляли к этому числу произведение загнутых пальцев на первой и второй руке.

hello_html_1c4b4c70.jpg

Пример: 8 ∙ 9 = 72





Позже пальцевой счёт усовершенствовали – научились показывать с помощь пальцев числа до 10000


Движение пальца

Аhello_html_m13e5bad.jpg вот еще один из способов помочь памяти: с помощью пальцев рук запомнить таблицу умножения на 9. Положив обе руки рядом на стол, по порядку занумеруем пальцы обеих рук следующим образом: первый палец слева обозначим 1, второй за ним обозначим цифрой 2, затем 3, 4… до десятого пальца, который означает 10. Если надо умножить на 9 любое из первых девяти чисел, то для этого, не двигая рук со стола, надо приподнять вверх тот палец, номер которого означает число, на которое умножается девять; тогда число пальцев, лежащих налево от поднятого пальца, определяет число десятков, а число пальцев, лежащих справа от поднятого пальца, обозначает число единиц полученного произведения.

Пример. Пусть надо найти произведение 4х9.

Положив обе руки на стол, приподнимем четвертый палец, считая слева направо. Тогда до поднятого пальца находятся три пальца (десятки), а после поднятого - 6 пальцев (единицы). Результат произведения 4 на 9, значит, равен 36.

Еще пример:

Пусть требуется умножить 3 * 9.

Слева направо найдите третий палец, того пальца выпрямленными будут 2 пальца, они и будут означать 2 десятка.

Справа от загнутого пальца выпрямленными окажутся 7 пальцев, они означают 7 единиц. Сложите, 2 десятка и 7 единиц получится 27.

Сами пальцы показали это число.


// // /////

7


Итак, рассмотренные нами старинные способы умножения показывают, что используемый в школе алгоритм умножения натуральных чисел - не единственный и известен он был не всегда.

Однако, он достаточно быстр и наиболее удобен.























Глава 3. Устный счет – гимнастика ума


Умножение на 11.


Чтобы двузначное число, сумма цифр которого не превышает 10 умножить на 11, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа и поставить между ними сумму этих цифр.

72×11= 7(7+2)2=792.

Чтобы двузначное число, сумма цифр которого 10 или больше 10 умножить на 11, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа и поставить между ними сумму этих цифр, а затем к первой цифре прибавить единицу, а вторую и последнюю цифры оставить без изменения.

94×11=9(9+4)4=9(13)4=(9+1)34=1034.


Зная умножение на 11, можно легко умножать на 111, 1111 и т.д. Эти задания можно давать учащимся для самостоятельного вывода правил.

24×111=2(2+4)(2+4)4=2 664;

48×111=4(4+8)(4+8)8=4(12)(12)8=(4+1)(2+1)28=5 328;

231×111=2(2+3)(2+3+1)(3+1)1=25 641;

62×111 111=6 888 882;

Варианты могут быть различными.

Как правило, это увлекает учащихся, и они сами предлагают всевозможные случаи.


Умножение на 22, 33, …, 99.


Чтобы двузначное число умножить на 22, 33, …, 99, надо последнее число представить в виде произведения однозначного числа (от 2 до 9) на 11, т.е. 44=4×11. Затем произведение первых чисел умножить на 11.

48×22=48×2×11=96×11=1056;

18×44=18×4×11=72×11=792.


Умножение на число, оканчивающееся на 5.


Чтобы чётное двузначное число умножить на число, оканчивающееся на 5, следует применить правило: если один из сомножителей увеличить в несколько раз, а другой уменьшить во столько же раз, произведение не измениться.

44×5=44:2×5×2=22×10=220;

28×15=28:2×15×2=14×30=420;

32×25=16×50=800;

26×35=13×70=910.

При умножении на 65, 75, 85, 95 числа следует брать в пределе второго десятка. Если возьмём произвольное число, тогда придётся потрудиться и перемножить двузначные числа.

48×65=24×130=(24×10+24×3)×10=3120.








Умножение и деление на 25 .


Чтобы устно научиться умножать и делить на 25 и 75, надо хорошо знать таблицу умножения на 4 и признак делимости на 4.

На 4 делятся те, и только те числа, у которых две последние цифры числа выражают число, делящееся на 4.

1716 делится на 4, так как 16 делится на 4.


Чтобы число умножить на 25, надо это число разделить на 4 и умножить на 100.

484×25=(484:4) ×25×4=121×100=12100.


Чтобы число разделить на 25 надо это число разделить на 100 и умножить на 4.

12 100:25=12 100:100 ×4=484.


Умножение и деление на 75 .


Чтобы число умножить на 75, надо это число разделить на 4 и умножить на 300.

32×75=8×300=2400.


Чтобы число разделить на 75 надо это число разделить на 300 и умножить на 4.

2400:75=2400:300×4=8×4=32.


Умножение и деление на 50.


Чтобы устно научиться умножать и делить на 50 и 500, надо хорошо знать таблицу умножения на 2 и признак делимости на 2.

На 2 делятся только чётные числа, то есть те, которые оканчиваются на чётную цифру: 0, 2, 4, 6, 8.


Чтобы число умножить на 50, надо это число разделить на 2 и умножить на 100.

432×50=216×100=21600


Чтобы число разделить на 50 надо это число разделить на 100 и умножить на 2.

21 600:50=216×2=432.


Умножение и деление на 500.



Чтобы число умножить на 500, надо это число разделить на 2 и умножить на 1000.

432×500=216×1000=21 6000


Чтобы число разделить на 500 надо это число разделить на 1000 и умножить на 2.

216 000:500=216×2=432.










Умножение и деление на 125.


Чтобы устно научиться умножать и делить на 125, надо хорошо знать таблицу умножения на 8 и признак делимости на 8.

На 8 делятся те, и только те числа, у которых три последние цифры числа выражают число, делящееся на 8.

3168 делится на 8, так как 168 делится на 8.

Если число трехзначное и оканчивается чётной цифрой, то к числу десятков надо прибавить половину цифры единиц.

632делится на8, так как (63+2:2) делится на 8, то есть 64 делится на 8.


Чтобы число умножить на 125, надо это число разделить на 8 и умножить на 1000.

32×125=4×1000=4000.


Чтобы число разделить на 125 надо это число разделить на 1000 и умножить на 8.

4000:125=4×8=32.


Умножение и деление на 250.


Чтобы число умножить на 250, надо это число разделить на 4 и умножить на 1000.

36×250=9×1000=9000.


Чтобы число разделить на 250 надо это число разделить на 1000 и умножить на 4.

9000:125=9×4=36.


Примечание: если в правилах умножения на 5, 25, 125, число не делится нацело на 2, 4, 8. то выполняем деление с остатком, а затем неполное частное умножаем на 10, 100, 1000, а остаток на 5, 25, 125.

139×5=139:2×10=69×10+1×5=695


Умножение и деление на 37.


Чтобы устно научиться умножать и делить на 37, надо хорошо знать таблицу умножения на 3 и признак делимости на 3.

На 3 делятся те, и только те числа, у которых сумма цифр делится на 3.

984 делится на 3, так как (9+8+4)делится на 3, то есть 21делится на 3.


Чтобы устно число умножить на 37, надо это число разделить на 3 и умножить на 111.

84×37=28×111=3108.


Чтобы число разделить на 37 надо это число разделить на 111 и умножить на 3.

999:37=9×43=27.

Зная, как умножать на 11, 25, 37, 75, 125, можно умножать на числа больше 1000.

26×1011=26×(1000+11)=26 000+286=26 286;

24×1025=24×(1000+25)=24 000+600=24 600;

24×1037=24×(1000+37)=24 000+888=24 888;

24×1075=24×(1000+75)=24 000+1 800=25 800;

24×1125=24×(1000+125)=24 000+3 000=27 000;

24×1250=24×(1000+250)=24 000+6 000=30 000;

24×1500=24×(1000+500)=24 000+12 000=36 000;



Число Шехерезады: 1001


1001=7×11×13

При умножении на 1001 трёхзначного числа получается результат, состоящий из самого числа, написанного дважды.

873×1001=873 873;

207×1001=207 207.


Фокус (участвует 4 человека)

Задумайте трёхзначное число;

Припишите к нему то же самое число;

Секретно разделите его на 7;

Результат передайте соседу, пусть он разделит на 11;

Следующий на 13;

Назовите результат.

657 657:7; 93951:11; 8541:13=657.


Можно дать учащимся для самостоятельного вывода правил умножение двузначного, четырёхзначного, пятизначного и т. д. соответственно на 101, 10 001, 100 001 и т. д.


Устное умножение двух рядом стоящих чисел.


При умножение двух рядом стоящих чисел надо сначала перемножить цифры десятков, затем цифру десятков умножить на сумму цифр единиц и, наконец, нужно перемножить цифры единиц.

12×13=156

1×1=1

1×(2+3)=5

2×3=6.

Умножение методом Ферроля.


37×48=1776

7×8=56 пишем 6, запоминаем 5;

8×3+4×7+5=57 пишем 7, запоминаем 5;

4×3+5=17 пишем 17



Возведение в квадрат двузначных чисел, имеющих пять десятков.


К 25 прибавить цифру в разряде единиц и к результату приписать справа квадрат числа единиц, чтобы получилось четырёхзначное число.

51×51=(25+1)(01)=2601;

56×56=(25+6)(36)=3136.



Умножение чисел, оканчивающихся на 5.


При умножении пары чисел, у которых цифры десятков были чётные или нечётные, а цифра единиц 5, надо перемножить цифры десятков и к произведению прибавить полусумму этих цифр. Получим число сотен. В конце приписать 25.

85× 45=(8×4+(8+4):2)(25)=(32+6)(25)=3825;

35×55=(15+4)(25)=1925.


Умножение чисел свыше 200.


2085×2085=(208×209)(25)=4 347 225

208×209=

2×2=4

2×(08+09)=34

08×09=72

43 472


Умножение пары чисел, у которых цифры десятков одинаковые, а сумма цифр единиц составляет 10.


При умножении пары чисел, у которых цифры десятков одинаковые, а сумма цифр единиц составляет 10, перемножаем единицы и пишем в конце числа, а число десятков умножаем на последующую цифру и полученное произведение записываем перед произведением единиц.

24×26=(2×3)(4×6)=624;

35×35=(3×4)(5×5)=1225;

71×79=(7×8)(1×9)=5601.

Более сложные примеры можно давать учащимся для самостоятельного вывода правил.

108×102=

204×206=

802×808=


Умножение пары чисел, у которых сумма цифр десятков равна 10, а цифры единиц одинаковые.



При умножении пары чисел, у которых сумма цифр десятков равна 10, а цифры единиц одинаковые, перемножаем цифры десятков и прибавляем цифру единиц, получим число сотен и припишем произведение единиц.

72×32=(7×3+2)(2×2)=2 304;

64×44=(6×4+4)(4×4)=2 816.



Умножение чисел, оканчивающихся на 1.


При умножении чисел, оканчивающихся на 1, надо сначала перемножить цифры десятков и правее приписать сумму цифр десятков и затем приписать 1.

21×31=(2×3)(2+3)1=651;

81×31=(8×3)(8+3)1=(24+1)11=2511.


Умножение чисел, близких к 100.


При умножении чисел, близких к 100, надо из первого числа вычесть недостающие до 100единицы второго числа, мы находим число сотен. К числу сотен прибавляем произведение количества единиц, недостающих до 100.

95×98=9310

95×98= 95-2}сотен+5×2=9310

98-5}

5 и 2 недостаёт до 100

Автор
Дата добавления 13.01.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров188
Номер материала ДВ-335017
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх