Методическая разработка для11 класса по математике "Функциональный метод решения задач с параметром"

Гocудаpcтвеннoе бюджетнoе oбщеoбpазoвательнoе учpеждение Мocкoвcкoй oблаcти «Cеpгиевo-Пocадcкий физикo-математичеcкий лицей»

141300, Мocкoвcкая oбл., г. Cеpгиев Пocад, ул. К. Маpкcа, д.3.

Тел.\ факc: [phone]

E-mail:  [e-mail]                                                                                             http://ФМЛ.PФ

Лицензия Миниcтеpcтва oбpазoвания Мocкoвcкoй oбл.: 50 Л 01 № 0008037 oт 10.08.2016 (pегиcтpациoнный № 76157)

Функциональный метод решения задач с параметром

                                                     Учитель высшей категории: Маслова Галина Юрьевна

2021-2022 учебный год

    Решение задач с параметром-одна из наиболее сложных и объемных тем при подготовке одинадцатиклассников к государственной итоговой аттестации по  профильной математике. За один год задачу №17  решать не научишь. Подготовку надо начинать с 7 класса, как только разобрали тему линейных уравнений и неравенств.

    Функциональный метод решения задач с параметром- это материал 11 класса, когда элементарные функции введены, свойства и преобразование графиков изучены, с производной обучающиеся знакомы.

Задание №17–это уравнение, неравенство или их системы с параметром.

     Задачи с параметром допускают весьма разнообразные способы решения. Наиболее распространенными из них являются:

– алгебраический способ решения;

–способ решения, основанный на построении и исследовании геометрической модели данной задачи;

- функциональный способ, в котором базовым является исследование некоторой функции.

      Кроме того, в конкретном тексте решения вполне могут встречаться элементы каждого из трех перечисленных способов.

Рассмотрим функциональный способ решения задач с параметром более подробно.

Классификация задач, решаемых функциональными методами

1.Задачи, в условии которых непосредственно требуется исследовать свойства функции y=f(x, a) (область определения ,монотонность и т.д.) в зависимости от значений параметра a, принимающего допустимые числовые значения.

2. Задачи , в которых формулировки свойств функции в точке или на промежутке позволяют рассматривать параметр не только в формуле, но и при задании области существования функции.

3. Задачи, связанные с постановкой дополнительных условий на свойства функции (количество нулей функции, ограничение на наибольшее значение функции и т.д.).

4.Задачи, решение которых опирается на определение свойства функции (непрерывность , дифференцируемость, экстремум,…). Подобные задачи можно переформулировать и свести к уравнению, неравенству или системе уравнений (неравенств), для решения которых используют аналитический или функционально-графический способы (графическую интерпретацию).

Наиболее часто используются следующие свойства функций:

-свойства ограниченности области определения или области значения функции (методы оценки и минимакса);

-свойства четности и нечетности входящих в уравнение или неравенство функций;

-кусочная монотонность большинства алгебраических и элементарных трансцендентных функций входящих в уравнение или неравенство;

-периодичность функций и др.

       При исследовании области значений функции полезно знать

области значений некоторых ,наиболее часто встречающихся, функций:

№	Функция	Область значений
1
2
3
4

Использование ограниченности функций. Минимаксные задачи

Наиболее часто этот метод применяют при решении уравнений и неравенств, если в правой и левой частях стоят функции разного типа.

Задание 1

Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение   имеет хотя бы один корень.

Решение.

Запишем уравнение в виде 

Введем функции 

 

Зададим функцию    кусочно.

Уравнение

Таким образом, исходное уравнение свели к решению уравнения

. Тогда 

Ответ . При

Задание 2

При каких значениях параметра р система              имеет решения?

Решение.

Уравнение (2)  определено при любых значениях переменных x и y. В силу четных степеней слагаемых и присутствующих модулях, предполагаем, что решение связано с ограниченностью и возможно использование метода минимаксов.

Уравнение имеет решение при выполнении условий

 :

Таким образом, значение переменной у может быть только нулевым, параметр и переменная может принимать только целые значения , а переменная х только целые нечетные значения. Тогда, уравнение(1) –это уравнение с целыми корнями и целыми коэффициентами.  По обратной теореме Виета имеем

Нечетный делитель числа 2-это 1 или-1. Возможны варианты:

Таким образом система имеет решение при р=3 и р=-3.

Задачи для самостоятельного решения

1. Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение

  имеет хотя бы один корень.

2. При каких значениях параметра р система              имеет решения?

Использование четности и нечетности функций

Утверждения об инвариантности (условие не меняется при преобразовании) выражений

Задание 3

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение

    имеет единственный корень.

Решение.

Заметим, что если x является решением уравнения, то   -х  также является решением заданного уравнения. Для того, чтобы уравнение имело единственный корень, необходимо наличие нулевого решения. Подставим значение  х=0   в уравнение.

Проверим при найденных значениях параметра наличие корней, отличных от нулевого решения.

При а=0  получим   уравнение   Помимо нулевого решения его корнями будет 1 и -1, то есть решение не единственное.

При а=3 получим уравнение   , решая которое убеждаемся в единственности нулевого решения.

При а=-1 получим уравнение ,которое решено в предыдущем пункте.

Вывод: исходное уравнение имеет  единственное решение при а=3 и а=-1

Задание 4

При каких значениях параметра а система

       имеет четыре решения?

Решение.

 Введем замену переменных: 

Если u<0 или v<0  система не будет иметь решений.

Каждому значению u>0 соответствует два значения переменной у  и каждому значению v>0 соответствует два значения переменной х.

Каждому значению u=0 соответствует одно значение переменной у  и каждому значению v=0 соответствует одно значение переменной х.

Каждой паре положительных значений(u;v) соответствует четыре пары значений (х;у).

Чтобы исходная система имела  четыре решения, система уравнений в новых обозначениях должна иметь одну пару решений.

После замены система примет вид:

Если пара (u;v) является решением системы, то пара  (v;u) также является решением системы, те решений две пары. Значит должно быть совпадение решений. Рассмотрим варианты совпадений.

1 случай: u=v

Проверим, что при найденном значении параметра других решений нет.

Решим систему методом подстановки.

Используя схему Горнера, получим разложение на множители во втором уравнении системы. Тогда система примет вид:

Других решений система не имеет. Следовательно, исходная система имеет  четыре пары решений при

2 случай: пусть

(х:0),  (-х;0),  (0;х),   (0;-х)- четыре пары решений.

Проверим, нет ли других решений при найденном значении параметра.

. Решая систему методом подстановки и используя схему Горнера , приведем систему к виду:.

При найденном значении параметра получим две пары(0;1) и (1;0). Следовательно, исходная система имеет четыре пары решений при

3 случай: v=0,u=1,  При значении параметра задача уже решена.

Таким образом, исходная система имеет четыре пары решений при

Задачи для самостоятельного решения

1.Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение

      либо имеет единственное решение, либо не имеет решений.

2. При каких значениях параметра а система

       имеет единственное  решение?

Использование монотонности при применении функционального метода решения задач с параметром

Перед решением задач с параметром с использованием монотонности функций было бы полезно повторить определение и свойства монотонных  функций, связь монотонности и дифференцируемости.

Задание 5

Найдите все значения параметра при которых уравнение    имеет более одного корня.

Решение.

Приведем уравнение к виду 

Рассмотрим функцию    Функция определена на множестве всех действительных чисел и возрастает, как сумма возрастающих элементарных функций на этом множестве.Следовательно, каждое свое значение функция принимает лишь один раз, то есть равным значениям аргумента соответствуют равные значения функции:

 

Поэтому уравнение равносильно уравнению  , которое имеет более одного решения в случае положительного дискриминанта.

Ответ. При    уравнение имеет более одного корня.

Задание 6

 Найдите все значения параметра при которых уравнение

   имеет хотя бы одно решение.

Решение.

Введем замену: 

Рассмотрим функцию   Функция непрерывна на

Значит на отрезке[0;2] уравнение будет иметь не более одного корня. Корень уравнения существует только при  одновременном выполнении двух условий:  .

То есть .

Ответ. Уравнение имеет хотя бы одно решение при

Задачи для самостоятельного решения

1. Найдите все значения параметра при которых уравнение

     не имеет корней.

2. Найдите все значения параметра при которых уравнение

  не  имеет решений.

Краткое описание документа:

В материале рассматриваются свойства монотонности, ограниченности и четности функций для решения уравнений и систем с параметром. Приведены задания для самостоятельного решения. Материал поможет при подготовке обучающихся к ЕГЭ (задание№17).