Методическая разработка "Элементы теории вероятностей и математической статистики"

Методическая разработка по теме

«Элементы теории вероятностей и математической статистики»

для студентов СПО.

Составитель:

Восковская Н.И.

Преподаватель математики

ГБПОУ ВО «ВЮТ»

Воронеж 2020

СОДЕРЖАНИЕ

РАЗДЕЛ 1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ…………………………….3-9

Лекция 1. Элементы теории вероятностей…..………………………..…...3-5

Лекция 2. Элементы математической статистики……………………..…6-8

Лекция 3. Дискретный ряд распределения случайной величины……...8-9

РАЗДЕЛ 2. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ………………………....…10-29

Практическая работа №1: Решение задач на классическое определение вероятностей и теоремы сложения и умножения вероятностей…...…10-14

Практическая работа №2: Решение задач на формулу Бернулли…...14-16

Практическая работа №3: Решение задач на формулу полной вероятности и формулу Байеса……………………………………...……17-20

Практическая работа №4: Решение задач на способы задания выборки и нахождение ее числовых характеристик…………………………...……21-26

Практическая работа №5: Решение задач на нахождение числовых характеристик дискретного ряда распределения…………………...….26-29

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ………………………………….……..……30

РАЗДЕЛ 1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ.

Лекция 1. Элементы теории вероятностей.

1. Основные понятия.

Теория вероятностей – это раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними.

Основным понятием теории вероятностей являются понятия события и вероятности события.

Определение 1: Событием будем называть любое утверждение, которое может как произойти, так и не произойти.

Обычно события обозначаются большими английскими буквами.

Пример: – выпадение числа 6 на кости.

Событие

Достоверное

(в случае, когда событие обязательно произойдет)

Случайное

(в случае, когда событие может как произойти, так и не произойти)

Невозможное

(в случае, когда событие не может произойти ни при каком условии)

События (несколько)

Несовместные

(если возможно появление только одного из событий)

Совместные

(если возможно появление нескольких событий одновременно)

2. Классическое определение теории вероятностей.

Определение 2: Вероятностью события называется отношение числа исходов , благоприятствующих наступлению события ко всем возможным событиям .

Математически это выглядит следующим образом:

Пример: Пусть брошен игральный кубик. Нужно определить, с какой вероятностью число, которое выпало на кубике делится на 2.

Всего на кубике шесть чисел (1, 2, 3, 4, 5 и 6), то есть всего возможно ровно 6 исходов такого опыта ().

Из указанных чисел на 2 делятся числа 2, 4 и 6. То есть число благоприятных исходов .

По формуле определения классической вероятности искомая вероятность равна

Замечания:

1. Вероятность любого события лежит в пределах от 0 до 1:

2. Если событие - невозможное, то

3. Если событие - достоверное, то

3. Основные теоремы теории вероятности.

Теорема 1 (сложения вероятностей): вероятность одного из нескольких, не зависящих друг от друга событий, равна сумме вероятностей этих событий:

Теорема 2 (умножения вероятностей): вероятность одновременного появления нескольких, не зависящих друг от друга событий, равна произведению вероятностей этих событий:

4. Формула Бернулли.

Вероятность того, что в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна , событие наступит ровно раз, находится по формуле Бернулли

где .

5. Формула полной вероятности.

До этого мы рассматривали случаи, когда события не зависимы друг от друга. Однако бывают случаи, когда событие возникает при условии того, что произошло событие . Тогда мы сталкиваемся с понятием условной вероятности.

Определение 3: Условная вероятность – это вероятность наступления события , вычисленная в предположении, что событие уже произошло.

Обозначение: .

Рассмотрим теперь следующий случай: пусть имеются некоторые события и событие , которое может наступить с некоторыми условными вероятностями , тогда вероятность наступления события равна сумме произведений вероятностей каждого из событий но соответствующую условную вероятность

6. Формула Байеса.

Рассмотрим следующую ситуацию: Пусть событие может наступить лишь при условии появления одного из событий . Если событие уже произошло, то вероятность, что оно произошло после того, как произошло событие вычисляется по формуле

Вопросы для самопроверки.

1. Что такое теория вероятностей?

2. Что такое событие?

3. Какие виды событий существуют? Дайте их определение.

4. Приведите классическое определение теории вероятностей.

5. Охарактеризуйте и приведите формулы Бернулли, полной вероятности, Байеса.

6. Что такое условная вероятность?

Лекция 2. Элементы математической статистики.

1. Основные понятия.

Математическая статистика – раздел математики, изучающий математические приемы и методы обработки, систематизации и использования статистических данных для каких либо исследований.

Основная задачи математической статистики – создание методов сбора и обработки статистических данных для получения научных и практических выводов.

Одно из основных понятий математической статистики понятие совокупности. Совокупности можно разделить на генеральную и выборочную.

Определение: Совокупность – это множество явлений или предметов, объединенных по какому либо признаку (признакам).

Совокупность

Генеральная

(совокупность случайно обобранных объектов данного вида, над которыми проводят наблюдения с целью получения конкретных значений случайной величины)

Выборочная

(часть отобранных объектов из генеральной совокупности)

С возвращением

(при которой отобранный объект возвращается в генеральную совокупность)

Без возвращения

(при которой отобранный объект в генеральную совокупность не возвращается)

Замечание: В дальнейшем выборочную совокупность будем называть просто выборкой.

2. Числовые характеристики.

Пусть в выборке значение встречается раз, значение встречается раз, …, значение встречается раз, тогда – называются вариантами выборки, а - частотами соответствующих вариант.

1. Объем совокупности – это число объектов этой совокупности.

Пример: пусть есть 1000 деталей. Для анализа на брак отобрали 100 деталей. Тогда - объем генеральной совокупности (количество всех деталей), а - объем выборочной совокупности (количество деталей, отправленных на исследование).

2. Среднее арифметическое – это величина, равная сумме всех чисел выборки, деленное на объем выборки.

3. Медиана – это значение варианты (двух вариант), которое делит совокупность на две равные части, когда совокупность записана ив порядке возрастания вариант.

4. Мода - это варианта с максимальной частотой.

3. Способы задания выборки.

1. Статистическое распределение выборки частот – это таблица, в первой строке которой записан перечень вариант , а во второй соответствующие им значения частот .

2. Статистическое распределение выборки относительных частот.

Определение: относительная частота - это отношение частоты варианты к объему выборки .

Статистическое распределение выборки частот – это таблица, в первой строке которой записан перечень вариант , а во второй соответствующие им значения относительных частот .

3. Эмпирическая функция распределения частот – это функция , которая определяет для каждой варианты частоту события , то есть

где – количество вариант, меньших .

Аналогично определяется эмпирическая функция распределения относительных частот.

4. Полигон частот – это ломанная, отрезки которой соединяют точки и .

Аналогично определяется полигон относительных частот.

5. Гистограмма частот – ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат интервалы длинной
   и высотами .

Аналогично определяется гистограмма относительных частот.

Вопросы для самопроверки.

1. Что такое совокупность?

2. Сформулируйте основную задачу математической статистики?

3. Какие бывают виды совокупностей?

4. Перечислите числовые характеристики выборки и охарактеризуйте их.

5. Что такое относительная частота выборки?

6. Перечислите и опишите способы задания выборки.

Лекция 3. Дискретный ряд распределения случайной величины.

1. Основные понятия.

Событие может состоять, в частности, в появлении числа, значение которого возникает с некоторой долей вероятности.

Пусть случайная величина может принимать некоторые значения с вероятностями . Тогда такая случайная величина называется дискретной.

Такую величину можно задать таблицей, которую называют дискретным законом распределения.

Пример: Бросают игральную кость. Пусть событие – выпало очков, где . Так как вероятность выпадения каждого из чисел равна , то дискретный ряд распределения будет иметь вид

Замечание: Сумма вероятность дискретного распределения случайной величины всегда равна единице

2. Числовые характеристики.

Определение 1: Математическое ожидание – это среднее значение случайной величины

Определение 2: Дисперсия – это мера разброса значений случайной величины относительно его математического ожидания.

Определение 3: среднеквадратическое отклонение – это квадратный корень из дисперсии.

3. Закон больших чисел: среднее арифметическое достаточно большой выборки близко к значению математического ожидания распределения данной выборки.

Вопросы для самопроверки.

1. Что такое случайная величина?

2. Что такое дискретный ряд распределения случайной величины?

3. Что такое математическое ожидание и каким образом оно определяется?

4. Что такое дисперсия и каким образом оно определяется?

5. Что такое среднеквадратическое отклонение и каким образом оно определяется?

6. Сформулируйте закон больших чисел.

РАЗДЕЛ 2. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ.

Практическая работа №1: Решение задач на классическое определение вероятности и теоремы сложения и умножения вероятностей.

1. Разбор заданий:

№320 (Сборник задач, Богомолов Н.В.)

В урне находятся 20 белых и 15 черных шаров. Наудачу вынимают один шар, который оказывается белым, и откладывают его в сторону. После этого берут еще один шар. Найдите вероятность того, что этот шар тоже окажется белым.

Решение.

После того, как из урны отложили белый шар, в ней осталось 19 белых шаров и 15 черных шаров. Всего осталось шаров (а то есть и всех возможных исходов вынуть еще один шар) .

Так как осталось 19 белых шаров, то благоприятных исходов .

По определению классической вероятности, получим, что искомая вероятность

Ответ:

№323 (Сборник задач, Богомолов Н.В.)

В ящике в случайном порядке положены 10 деталей, из которых 4 стандартных. Контролер берет наудачу 3 детали. Найдите вероятность того, что хотя бы одна из взятых деталей окажется стандартной.

Решение.

Стандартных деталей может быть 1, 2 или 3 шт. То есть нашему условию не удовлетворяет только та ситуация, что стандартных деталей 0. Найдем вероятность , что стандартных деталей 0.

1. Первая вынутая деталь: Всего деталей , из них нестандартных . Значит по формуле классической вероятности :

2. Вторая вынутая деталь: Всего осталось деталей , из них нестандартных . Значит по формуле классической вероятности :

3. Третья вынутая деталь: Всего осталось деталей , из них нестандартных . Значит по формуле классической вероятности :

Так как вероятности должны произойти совместно, то используем теорему о произведении вероятностей:

Так как вероятность всех возможных исходов всегда равна 1, то искомая вероятность

Ответ:

№328 (Сборник задач, Богомолов Н.В.)

В урне находятся 10 белых и 6 черных шаров. Найдите вероятность того, что три наудачу вынутых один за другим шара окажутся черными.

Решение.

1. Первый вынутый шар: Всего шаров , из них черных . Значит по формуле классической вероятности :

2. Второй вынутый шар: Всего осталось шаров , из них черных . Значит по формуле классической вероятности :

3. Третий вынутый шар: Всего осталось шаров , из них черных . Значит по формуле классической вероятности :

Так как вероятности должны произойти совместно, то используем теорему о произведении вероятностей:

Ответ:

Задача: в урне 10 красных, 5 синих и 15 белых шаров. Найти вероятность вынуть синий или красный шар.

Найдем вероятность вынуть красный шар: Всего шаров
, из них красных . Значит по формуле классической вероятности .

Найдем вероятность вынуть синий шар: Всего шаров
, из них синих . Значит по формуле классической вероятности .

Так как нас интересует выпадение красного или синего шара (одно из них), то воспользуемся теоремой суммы вероятностей

2. Задачи для закрепления материала:

Решить из сборника задач Богомолова Н.В. следующие задачи: №319, №322 и №327.

3. Задания для самостоятельного решения (по вариантам).

Примечание: Вариант выбирается по первой букве вашей фамилии следующим образом: Буквы А-Д 1 вариант, Буквы Е-Л – 2 вариант, Буквы М-П – 3 вариант, Буквы Р-Ф – 4 вариант, Буквы Х-Я – 5 вариант.

.

Вариант 1.

№1. В урне находятся 12 белых, 6 красных и 2 синих. Найдите вероятность того, что

а) наудачу выбранный шар окажется белым;

б) два наудачу вынутых шара окажутся синими;

в) наудачу вынутый шар окажется цветным.

№2. Пусть брошен игральный кубик. Нужно определить, с какой вероятностью число, которое выпало на кубике делится на 4.

Вариант 2.

№1. В урне находятся 6 белых, 6 красных и 8 синих. Найдите вероятность того, что

а) наудачу выбранный шар окажется белым;

б) два наудачу вынутых шара окажутся синими;

в) наудачу вынутый шар окажется цветным.

№2. Пусть брошен игральный кубик. Нужно определить, с какой вероятностью число, которое выпало на кубике делится на 5.

Вариант 3.

№1. В урне находятся 8 белых, 8 красных и 4 синих. Найдите вероятность того, что

а) наудачу выбранный шар окажется белым;

б) два наудачу вынутых шара окажутся синими;

в) наудачу вынутый шар окажется цветным.

№2. Пусть брошен игральный кубик. Нужно определить, с какой вероятностью число, которое выпало на кубике четно.

Вариант 4.

№1. В урне находятся 12 белых, 4 красных и 4 синих. Найдите вероятность того, что

а) наудачу выбранный шар окажется белым;

б) два наудачу вынутых шара окажутся синими;

в) наудачу вынутый шар окажется цветным.

№2. Пусть брошен игральный кубик. Нужно определить, с какой вероятностью число, которое выпало на кубике нечетно.

Вариант 5.

№1. В урне находятся 10 белых, 6 красных и 4 синих. Найдите вероятность того, что

а) наудачу выбранный шар окажется белым;

б) два наудачу вынутых шара окажутся синими;

в) наудачу вынутый шар окажется цветным.

№2. Пусть брошен игральный кубик. Нужно определить, с какой вероятностью число, которое выпало на кубике делится на 3.

Система оценивания (5-ти бальная):

Практическая работа №2: Решение задач на формулу Бернулли.

1. Разбор заданий:

№1. Вероятность того, что при одном измерении будет допущена ошибка равна 0,4. Произведены три измерения. Найти вероятность того, что только в одно из них будет ошибочно.

Решение.

Всего произведено измерения, должно оказаться ошибочным измерение. Так как значение измерений не зависят друг от друга и вероятность ошибки , то искомую вероятность можно найти с помощью формулы Бернулли

Здесь . Получим

Ответ:

№2. Монета брошена 5 раз. Какова вероятность того, что герб выпал

а) меньше 3-х раз;

б) не менее 3-х раз.

Решение.

а) «Меньше 3-х раз» означает, что герб выпал 0, 1 или 2 раза. Найдем вероятность для каждого из этих трех случаев по формуле Бернулли ().

Так как может выпасть либо герб, либо решка (то есть всего два возможных случая), то , тогда . Найдем вероятности, что

- Выпал 2 раза:

- Выпал 1 раз:

- Выпал 0 раз:

По теореме сложения искомая вероятность равна

б) «Не менее 3-х раз» - событие, противоположное событию «менее 3-х раз». Следовательно, вероятность такого события равна

Ответ: а) б)

2. Задания для закрепления материала.

Решить из сборника задач Богомолова Н.В. следующие задачи: №324 и №330.

3. Задачи для самостоятельного решения (по вариантам).

Примечание: Вариант выбирается по первой букве вашей фамилии следующим образом: Буквы А-Д 1 вариант, Буквы Е-Л – 2 вариант, Буквы М-П – 3 вариант, Буквы Р-Ф – 4 вариант, Буквы Х-Я – 5 вариант.

1 вариант.

№1. В некоторой популяции дикой яблони вероятность встретить растение с красными плодами равна 0,8. Определить вероятность, что среди 7-ми сорванных яблок ровно 3 яблока красные.

№2. В семье 3 детей. Найдите вероятность того, что среди них:

а) менее 2-х мальчиков;

б) не менее 2-х мальчиков.

2 вариант.

№1. Исследование инкубации яиц показало, что вероятность вылупиться цыпленку составляет 0,7. Определить вероятность того, что среди 6 яиц вылупится ровно 4 цыпленка.

№2. В семье 5 детей. Найдите вероятность того, что среди них:

а) менее 4-х девочек;

б) не менее 4-х девочек.

3 вариант.

№1. найти вероятность того, что среди 6 посаженных тюльпанов ровно 4 окажутся красного цвета, если вероятность того, что он окажется красным равна 0,9.

№2. В семье 5 детей. Найдите вероятность того, что среди них:

а) менее 3-х мальчиков;

б) не менее 3-х мальчиков.

4 вариант.

№1. Два шахматиста играют 5 партий. Вероятность выиграть белыми фигурами равна 0,7. Какова вероятность что белые фигуры выиграют всего 2 раза?

№2. В семье 6 детей. Найдите вероятность того, что среди них:

а) менее 4-х девочек;

б) не менее 4-х девочек.

5 вариант.

№1. Аудитор проверяет 6 документов на ошибки. Вероятность обнаружить ошибку равна 0,3. Найти вероятность того, что ошибка будет найдена ровно в 2-х документах.

№2. В семье 5 детей. Найдите вероятность того, что среди них:

а) менее 2-х мальчиков;

б) не менее 2-х мальчиков.

Система оценивания (5-ти бальная):

Практическая работа №3: Решение задач на формулу полной вероятности и формулу Байеса.

1. Разбор заданий.

№1. Из 1000 ламп 380 принадлежат к первой партии, 270 ко второй партии, остальные – к третьей партии. В первой партии 4% бракованных ламп, во второй партии 3% брака, в третьей – 6%. Найти вероятность того, что выбранная лампа бракованная.

Решение.

Пусть событие - выбранная лампа бракованная, событие
– выбранная лампа из 1 партии, - выбранная лампа из второй партии, - из третьей партии. Найдем вероятность того, что выбранная лампа из первой, второй или третьей партии. По формуле классической вероятности получим:

- Вероятность, что из первой партии:

- Вероятность, что из второй партии:

- Вероятность, что из третьей партии:

Так как вероятность события зависит от того, из какой именно партии лампа, то здесь речь идет об условных вероятностях. Из условия следует, что

Тогда искомую вероятность найдем по формуле полной вероятности

№2. В первой группе 12 стрелков, во второй группе 8 стрелков, в 3й –
10 стрелков. Вероятность попадания в цель стрелком из 1 группы – 0,6, из второй группы – 0,5, из третьей – 0,7. Наудачу выбранный стрелок попал в цель. К какой из групп вероятнее всего принадлежит этот стрелок?

Решение.

Для того, чтобы ответить на поставленный вопрос, необходимо найти вероятности, что стрелок из 1, 2 и 3 группы и выбрать из них наибольшую.

Пусть событие – выбранный стрелок попал в цель, событие
– выбранный стрелок из 1 группы, - выбранный стрелок из второй группы, - из третьей группы. Для начала найдем вероятность того, что выбранный стрелок из первой, второй или третьей группы. Всего стрелков . По формуле классической вероятности получим:

- Вероятность, что из первой группы:

- Вероятность, что из второй группы:

- Вероятность, что из третьей группы:

Так как вероятность события зависит от того, из какой именно партии лампа, то здесь речь идет об условных вероятностях. Из условия следует, что

Тогда вероятность того, что стрелок попал найдем по формуле полной вероятности

Найдем вероятности, что попавший стрелок из 1, 2 и 3 группы по формуле Байеса:

- из первой группы:

- из второй группы:

- из третьей группы:

Наибольшее , следовательно

Ответ: Вероятнее всего стрелок из первой группы.

2. Задания для закрепления материала.

Решить из сборника задач Богомолова Н.В №329.

3. Задания для самостоятельного решения (по вариантам).

Примечание: Вариант выбирается по первой букве вашей фамилии следующим образом: Буквы А-Д 1 вариант, Буквы Е-Л – 2 вариант, Буквы М-П – 3 вариант, Буквы Р-Ф – 4 вариант, Буквы Х-Я – 5 вариант.

1 вариант.

№1. На склад поступили детали с трех станков. С первого станка 60 деталей, со второго станка – 30 деталей, с третьего – 10. Вероятность того, что деталь бракованная для первого станка 2%, со второго станка – 3%, с третьего – 4%. Определить вероятность того, что наудачу вынутая деталь бракована.

№2. В клетке находятся породистые и непородистые кролики, причем из них 5 белых, 30 черных и 15 серых. Вероятность того, что белый кролик породистый 0,4, черный кролик породистый – 0,5, серый – 0,6. Наудачу вынутый кролик оказался породистым. Найти вероятность того, что этот кролик серый.

2 вариант.

№1. На склад поступили детали с трех станков. С первого станка 40 деталей, со второго станка – 20 деталей, с третьего – 40. Вероятность того, что деталь бракованная для первого станка 5%, со второго станка – 3%, с третьего – 6%. Определить вероятность того, что наудачу вынутая деталь бракована.

№2. В клетке находятся породистые и непородистые кролики, причем из них 15 белых, 10 черных и 15 серых. Вероятность того, что белый кролик породистый 0,4, черный кролик породистый – 0,8, серый – 0,2. Наудачу вынутый кролик оказался породистым. Найти вероятность того, что этот кролик белый.

3 вариант.

№1. На склад поступили детали с трех станков. С первого станка 50 деталей, со второго станка – 30 деталей, с третьего – 20. Вероятность того, что деталь бракованная для первого станка 3%, со второго станка – 6%, с третьего – 4%. Определить вероятность того, что наудачу вынутая деталь бракована.

№2. В клетке находятся породистые и непородистые кролики, причем из них 35 белых, 10 черных и 15 серых. Вероятность того, что белый кролик породистый 0,3, черный кролик породистый – 0,1, серый – 0,8. Наудачу вынутый кролик оказался породистым. Найти вероятность того, что этот кролик черный.

4 вариант.

№1. На склад поступили детали с трех станков. С первого станка 30 деталей, со второго станка – 50 деталей, с третьего – 20. Вероятность того, что деталь бракованная для первого станка 2%, со второго станка – 1%, с третьего – 3%. Определить вероятность того, что наудачу вынутая деталь бракована.

№2. В клетке находятся породистые и непородистые кролики, причем из них 15 белых, 10 черных и 25 серых. Вероятность того, что белый кролик породистый 0,3, черный кролик породистый – 0,9, серый – 0,4. Наудачу вынутый кролик оказался породистым. Найти вероятность того, что этот кролик белый.

5 вариант.

№1. На склад поступили детали с трех станков. С первого станка 20 деталей, со второго станка – 70 деталей, с третьего – 10. Вероятность того, что деталь бракованная для первого станка 6%, со второго станка – 1%, с третьего – 2%. Определить вероятность того, что наудачу вынутая деталь бракована.

№2. В клетке находятся породистые и непородистые кролики, причем из них 15 белых, 20 черных и 10 серых. Вероятность того, что белый кролик породистый 0,6, черный кролик породистый – 0,5, серый – 0,3. Наудачу вынутый кролик оказался породистым. Найти вероятность того, что этот кролик серый.

Система оценивания (5-ти бальная):

Практическая работа №4: Решение задач на способы задания выборки и нахождение ее числовых характеристик.

1. Разбор задания:

Задача : Из группы заводов одной из областей России случайным образом отобрано 30, по которым получены показатели основных фондов в миллионах рублей: 1, 2, 1, 3, 4, 1, 2, 2, 5, 3, 4, 3, 5, 4, 2, 3, 1, 3, 2, 2, 4, 3, 5, 3, 4, 2, 3, 2, 1, 3.

1. Найти среднее арифметическое выборки.

2. Найти моду выборки.

3. Найти медиану выборки.

4. Составить статистическое распределение частот.

5. Составить статистическое распределение относительных частот.

6. Составить эмпирическую функцию распределения.

7. Построить полигон частот.

8. Построить гистограмму частот.

Решение.

1. Чтобы найти средне арифметическое нужно сумму всех вариант (всех чисел выборки разделить на их количество (в нашем случае 30):

=

2. Чтобы найти моду, нужно выбрать число (числа), которое встречается чаще всего. В нашем случае это число 3 (которое встречается 9 раз), то есть

3. Чтобы найти медиану, расположим числа в порядке возрастания:

1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5

Видим, что в середине оказались числа 3 и 3 (рис ниже)

то есть

4. Построим таблицу распределения выборки. Для этого в первой строчки запишем все возможные различные значения выборки (у нас 1, 2, 3, 4, 5 5) в порядке возрастания, а во второй строчке посчитаем для каждого такого значения частоту. Получим:

5. Посчитаем относительные частоты по формуле:
   
   
   

Получим следующую таблицу распределения относительных частот

6. Так как в нашем случае вариант пять то эмпирическую функцию распределения нужно разбить на 6 промежутков:

1. . Так как вариант меньше единицы в выборке нет, то на данном промежутке ;

2. . Обратимся к таблице частот.

Так как значение встречается раз, то, при функция
.

3. . Обратимся к таблице частот.

Значение встречается раз, следовательно, при функция .

4. . Обратимся к таблице частот.

Значение встречается раз, следовательно, при
функция .

5. . Обратимся к таблице частот.

Значение встречается раз, следовательно, при функция .

6. . Обратимся к таблице частот.

Значение встречается раз, следовательно, при функция .

Собрав все вместе получим следующую функцию

7. Чтобы построить полигон частот отметим на координатной плоскости точки то есть точки, с координатами . Получим

8. Для построения гистограммы частот строим координатную плоскость. На оси абсцисс откладываем наши вариант 1, 2, 3, 4, 5 – это будет основаниями прямоугольников

Вычислим высоты для прямоугольников по формуле

-

Получаем

2. Задания для самостоятельного решения (по вариантам).

Примечание: Вариант выбирается по первой букве вашей фамилии следующим образом: БуквыА-В 1 вариант, Буквы Г-Ж – 2 вариант, Буквы З-Л – 3 вариант, Буквы М-О – 4 вариант, Буквы П-С – 5 вариант,
Буквы Т-Я – 6 вариант.

Вариант 1.

В магазине продано 20 пар мужской обуви следующих размеров: 36, 38, 37, 41 37, 41, 38, 42, 39, 39, 42, 42, 42, 39, 42, 39, 40, 40, 39, 39.

1. Найти среднее арифметическое выборки.

2. Найти моду выборки

3. Найти медиану выборки.

4. Составить статистическое распределение частот.

5. Составить статистическое распределение относительных частот.

6. Составить эмпирическую функцию распределения.

7. Построить полигон частот.

8. Построить гистограмму частот.

Вариант 2.

Имеются следующие данные о квалификации 20 рабочих цеха: 4, 3, 6, 4, 4, 2, 3, 5, 4, 4, 5, 3, 2, 4, 4, 5, 2, 3, 6, 5.

1. Найти среднее арифметическое выборки.

2. Найти моду выборки

3. Найти медиану выборки.

4. Составить статистическое распределение частот.

5. Составить статистическое распределение относительных частот.

6. Составить эмпирическую функцию распределения.

7. Построить полигон частот.

8. Построить гистограмму частот.

Вариант 3.

Двадцать абитуриентов набрали следующие баллы на вступительных экзаменах: 12, 14, 14, 15, 14, 14, 13, 16, 16, 12, 12, 12, 15, 13, 13, 14, 14, 13, 14, 16.

1. Найти среднее арифметическое выборки.

2. Найти моду выборки

3. Найти медиану выборки.

4. Составить статистическое распределение частот.

5. Составить статистическое распределение относительных частот.

6. Составить эмпирическую функцию распределения.

7. Построить полигон частот.

8. Построить гистограмму частот.

Вариант 4.

Приведены оценки 20 студентов за тест: 5, 3, 3, 4, 2, 4, 4, 3, 5, 4, 4, 5, 5, 4, 4, 3, 3, 3, 2, 5

1. Найти среднее арифметическое выборки.

2. Найти моду выборки

3. Найти медиану выборки.

4. Составить статистическое распределение частот.

5. Составить статистическое распределение относительных частот.

6. Составить эмпирическую функцию распределения.

7. Построить полигон частот.

8. Построить гистограмму частот.

Вариант 5.

Имеются данные о количестве студентов в 20 группах: 25, 25, 25, 23, 23, 24, 23, 20, 22, 24, 24, 23, 20, 23, 24, 21, 21, 20, 21, 20.

1. Найти среднее арифметическое выборки.

2. Найти моду выборки

3. Найти медиану выборки.

4. Составить статистическое распределение частот.

5. Составить статистическое распределение относительных частот.

6. Составить эмпирическую функцию распределения.

7. Построить полигон частот.

8. Построить гистограмму частот.

Вариант 6.

Количество служб области, предоставляющих жилищные субсидии по 20 районам распределены следующим образом: 5, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 5, 1, 3, 4, 1, 1, 1, 4, 4, 5, 1, 1, 3.

1. Найти среднее арифметическое выборки.

2. Найти моду выборки

3. Найти медиану выборки.

4. Составить статистическое распределение частот.

5. Составить статистическое распределение относительных частот.

6. Составить эмпирическую функцию распределения.

7. Построить полигон частот.

8. Построить гистограмму частот.

Система оценивания (5-ти бальная):

Практическая работа №5: Решение задач на нахождение числовых характеристик дискретного ряда распределения.

1. Разбор задания.

Задача: Дан дискретный ряд распределения случайной величины

Найти:

1. Значение величины ;

2. Математическое ожидание ;

3. Дисперсию ;

4. Среднеквадратическое отклонение .

Решение.

1. Так как сумма всех вероятностей всегда равна единице.

2. Математическое ожидание вычисляется по формуле

Следовательно

3. Дисперсия вычисляется по формуле

Следовательно

4. Среднеквадратическое отклонение вычисляется по формуле
   
   
   

Следовательно

2. Задания для самостоятельного решения (по вариантам).

Примечание: Вариант выбирается по первой букве вашей фамилии следующим образом: БуквыА-Д 1 вариант, Буквы Е-Л – 2 вариант, Буквы М-П – 3 вариант, Буквы Р-Ф – 4 вариант, Буквы Х-Я – 5 вариант.

1 вариант.

Дан дискретный ряд распределения случайной величины

Найти:

1. Значение величины ;

2. Математическое ожидание ;

3. Дисперсию ;

4. Среднеквадратическое отклонение .

2 вариант.

Дан дискретный ряд распределения случайной величины

Найти:

1. Значение величины ;

2. Математическое ожидание ;

3. Дисперсию ;

4. Среднеквадратическое отклонение .

3 вариант.

Дан дискретный ряд распределения случайной величины

Найти:

1. Значение величины ;

2. Математическое ожидание ;

3. Дисперсию ;

4. Среднеквадратическое отклонение .

4 вариант.

Дан дискретный ряд распределения случайной величины

Найти:

1. Значение величины ;

2. Математическое ожидание ;

3. Дисперсию ;

4. Среднеквадратическое отклонение .

5 вариант.

Дан дискретный ряд распределения случайной величины

Найти:

1. Значение величины ;

2. Математическое ожидание ;

3. Дисперсию ;

4. Среднеквадратическое отклонение .

Система оценивания (5-ти бальная):

ЛИТЕРАТУРА

1. Богомолов Н.В. /Математика: учебник для прикладного бакалавриата / Н.В. Богомолов, П.И. Самойленко. – 5-е изд. перераб. и доп. -М.: Издательство Юрайт, 2016. - 396с. – Серия: Бакалавр. Прикладной курс.

2. Богомолов, Н.В./ Практические занятия по математике: учеб. пособие для СПО / Н.В. Богомолов. - 1-е изд. перераб. и доп, - М: Издательство Юрайт, 2016. - 495с. Серия:Профессиональное образование.

3. Григорьев С.Г. /Математика: учебник для студ. образоват. учреждений сред. проф. образования. / Григорьев С.Г. под ред. В.А.Гусева.- 11-е изд., стер.- М.: Издательский центр “Академия”, 2014. – 416 с.