Методическая разработка факультативного занятия по "Математические основы информатики" - "Булевы функции"

Булевы функции

Функция

Обозначение

Название

Другие

обозначения

f₁(x, y)

0

константа 0 (константа» ложь»)

X и не X

f₂(x,y)

xy

конъюнкция (логическое «и»)

X и Y

f₃(x,y)

отрицание импликации

X и не Y

f₄(x,y)

X

повторение первого аргумента

X

f₅(x,y)

отрицание обратной импликации

не Х и Y

f₆(x, y)

Y

повторение второго аргумента

Y

f₇(x, y)

xy

исключающее «или» (сумма по модулю 2), разделительная строгая дизъюнкция

(не X и Y) или (X и не Y)

f₈(x, y)

xy

дизъюнкция (логическое «или»)

X или Y

f₉(x,y)

xy

отрицание дизъюнкции (стрелка Пирса)

не (X или Y)

f₁₀(x,y)

xy

эквивалентность

(не X и неY) или (X и Y)

f₁₁(x,y)

отрицание второго аргумента

не Y

f₁₂(x,y)

xy

обратная импликация

не Y или Х

f₁₃(x, y)

отрицание первого аргумента

не X

f₁₄(x, y)

xy

импликация

не X или Y

f₁₅(x, y)

x | y

отрицание конъюнкции (штрих Шеффера)

не (X и Y)

f₁₆(x, y)

1

константа 1 (константа «истина»)

Y или не Y

Булевы функции

Функция

Обозначение

Название

Другие

обозначения

f₁(x, y)

0

константа 0 (константа» ложь»)

X и не X

f₂(x,y)

xy

конъюнкция (логическое «и»)

X и Y

f₃(x,y)

отрицание импликации

X и не Y

f₄(x,y)

X

повторение первого аргумента

X

f₅(x,y)

отрицание обратной импликации

не Х и Y

f₆(x, y)

Y

повторение второго аргумента

Y

f₇(x, y)

xy

исключающее «или» (сумма по модулю 2), разделительная строгая дизъюнкция

(не X и Y) или (X и не Y)

f₈(x, y)

xy

дизъюнкция (логическое «или»)

X или Y

f₉(x,y)

xy

отрицание дизъюнкции (стрелка Пирса)

не (X или Y)

f₁₀(x,y)

xy

эквивалентность

(не X и неY) или (X и Y)

f₁₁(x,y)

отрицание второго аргумента

не Y

f₁₂(x,y)

xy

обратная импликация

не Y или Х

f₁₃(x, y)

отрицание первого аргумента

не X

f₁₄(x, y)

xy

импликация

не X или Y

f₁₅(x, y)

x | y

отрицание конъюнкции (штрих Шеффера)

не (X и Y)

f₁₆(x, y)

1

константа 1 (константа «истина»)

Y или не Y

• 1 слайд

• 2 слайд

  Три подразделения фирмы «Аврора», «Вектор», «Сталь» торговой фирмы стремились получить по итогам максимальную прибыль. Экономисты высказали следующие предположения: «Аврора» получит максимальную прибыль тогда и только тогда, когда получат максимальную прибыль «Вектор» и «Сталь»; Либо «Аврора» и «Сталь» получат максимальную прибыль одновременно, либо одновременно не получат; Для того чтобы «Сталь» получило максимальную прибыль, необходимо, чтобы «Вектор» получило максимальную прибыль. По завершению года оказалось, что одно из трёх предположений ложно, а остальные два истинны. Какие из названных подразделений получили максимальную прибыль. Задача А – «Аврора» получит максимальную прибыль В – «Вектор» получит максимальную прибыль С – «Сталь» получит максимальную прибыль Прогнозы экономистов: F1 = А  B &C F2 = (А&C) (неА & неC) F3 = C  B Решение:

• 3 слайд

  Англичанин Джордж Буль (1815-1864) развил идею Лейбница, о том, что можно заменить простые рассуждения действиями со знаками, и стал считаться основоположником математической логики. Поэтому начальный раздел математической логики называют алгеброй логики, или булевой алгеброй 1 этап связан с работами учёного и философа Аристотеля (384-322 гг. до н.э.). Он пытался найти ответ на вопрос «как мы рассуждаем», изучал правила мышления Так возникла формальная логика. 2 этап – появление математической или символьной логики. Основы её заложил немецкий учёный и философ Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716 ). Этапы развития логики

• 4 слайд

  Булевы функции Логические функции

• 5 слайд

  Булевы функции двух переменных x y 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1

• 6 слайд

  Функция Обозна-чение Название Другие обозначения f2(x,y) xy конъюнкция (логическое «и») XиY f8(x, y) xy дизъюнкция(логическое «или») XилиY f10(x,y) xy эквивалентность (неXи неY)или(XиY) f11(x,y) отрицание второго аргумента неY f13(x, y) отрицание первого аргумента неX f14(x, y) xy импликация неXилиY

• 7 слайд

  Функция Обозна-чение Название Другие обозначения f1(x, y) 0 константа0(константа»ложь») Xи неX f2(x,y) xy конъюнкция (логическое «и») XиY f3(x,y) отрицание импликации Xи неY f4(x,y) X повторениепервого аргумента X f5(x,y) отрицание обратной импликации не Х иY f6(x, y) Y повторениевторого аргумента Y f7(x, y) xy исключающее «или» (сумма по модулю 2), разделительная строгая дизъюнкция (неXиY)или(Xи неY) f8(x, y) xy дизъюнкция(логическое «или») XилиY f9(x,y) xy отрицание дизъюнкции (стрелка Пирса) не (XилиY) f10(x,y) xy эквивалентность (неXи неY)или(XиY) f11(x,y) отрицание второго аргумента неY f12(x,y) xy обратная импликация неYилиХ f13(x, y) отрицание первого аргумента неX f14(x, y) xy импликация неXилиY f15(x, y) x | y отрицание конъюнкции (штрих Шеффера) не (XиY) f16(x, y) 1 константа 1 Yили неY

• 8 слайд

  Булевы функции двух переменных x y f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7 f8 f9 f10 f11 f12 f13 f14 f15 f16 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

• 9 слайд

  Для таб­ли­цы ис­тин­но­сти функ­ции F из­вест­ны зна­че­ния толь­ко не­ко­то­рых ячеек:   Каким вы­ра­же­ни­ем может быть F? 1) x1 ∧ x2 ∧ x3 ∧ ¬x4 ∧ x5 ∧ x6 ∧ ¬x7 2) x1 ∨ ¬x2 ∨ x3 ∨ ¬x4 ∨ ¬x5 ∨ x6 ∨ ¬x7 3) ¬x1 ∧ x2 ∧ ¬x3 ∧ x4 ∧ x5 ∧ x6 ∧ x7 4) x1 ∨ x2 ∨ ¬ x3 ∨ x4 ∨ x5 ∨ ¬x6 ∨ x7 Задачи ЕГЭ x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 F 1 0 1 0 0 1 0 1 0

• 10 слайд

  Задачи ЕГЭ Дан фраг­мент таб­ли­цы ис­тин­но­сти вы­ра­же­ния F.  Каким из при­ведённых ниже вы­ра­же­ний может быть F?  1) ¬x1 ∧ x2 ∧ ¬x3 ∧ x4 ∧ x5 ∧ ¬x6 ∧ ¬x7 2) ¬x1 ∨ x2 ∨ ¬x3 ∨ x4 ∨ ¬x5 ∨ ¬x6 ∨ x7 3) x1 ∧ ¬x2 ∧ x3 ∧ ¬x4 ∧ x5 ∧ x6 ∧ ¬x7 4) x1 ∨ ¬x2 ∨ x3 ∨ ¬x4 ∨ ¬x5 ∨ x6 ∨ ¬x7  x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 F 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1

• 11 слайд

  3)Для ка­ко­го имени ложно вы­ска­зы­ва­ние: (Пер­вая буква имени глас­ная → Чет­вер­тая буква имени со­глас­ная).  1) ЕЛЕНА 2) ВАДИМ 3) АНТОН 4) ФЕДОР   Для ка­ко­го из при­ве­ден­ных чисел X ло­ги­че­ское усло­вие ис­тин­но?  ((X<25) → (X<23)) /\ ((X<22) →(X>21))  1) 21 2) 22 3) 23 4) 24 Задачи ЕГЭ

• 12 слайд

  А В С F1 F2 F3 0 0 0 ИСТИНА ИСТИНА ИСТИНА 0 0 1 ИСТИНА ЛОЖЬ ЛОЖЬ 0 1 0 ИСТИНА ИСТИНА ИСТИНА 0 1 1 ИСТИНА ЛОЖЬ ИСТИНА 1 0 0 ЛОЖЬ ЛОЖЬ ИСТИНА 1 0 1 ЛОЖЬ ИСТИНА ЛОЖЬ 1 1 0 ЛОЖЬ ЛОЖЬ ИСТИНА 1 1 1 ИСТИНА ИСТИНА ИСТИНА

• 13 слайд

  Повторение (работа с интерактивной доской) 2) Работа с логическими формулами (работа за компьютером) 3) Решение задач ЕГЭ 4) Решение задач

14.03.2015

Открытый урок факультатива

«Математические основы информатики»

в 10 классе по теме «Булевы функции»

Цели:

• Образовательная цель: ознакомить со всеми булевыми (логическими функциями), закрепить полученные знания.

• Развивающая цель: развивать логическое мышление, сопоставлять и применять полученные навыки на практике.

• Воспитательная: воспитывать информационную культуру (умения работы в парах при создании таблиц истинности; правила техники безопасности при работе в парах за компьютером).

Тип урока: комбинированный урок.

Формы работы: фронтальная.

Наглядность и оборудование:

• компьютер;

• мультимедийный проектор;

• презентация

План урока:

1. Организационный момент (1 мин.)

2. Проверка изученного материала (10 мин.)

3. Изучение нового материала (6 мин.)

4. Закрепление изученного материала (работа в парах за компьютером, 10 мин.)

5. Решение задач ЕГЭ(5 мин.)

6. Самостоятельная работа, решение задачи «Прибыль подразделений фирмы (6 мин.)

7. Итог (2 мин.)

Ход урока

1. Организационный момент.

Объявляется тема урока. Перед учащимися ставится задача: показать, как они научились решать задачи по теме.

2. Повторение изученного материала (фронтальный опрос).

1. Что такое логика? (Логика – наука о формах и способах мышления).

2. Что такое высказывание? Какими они бывают? (Высказывание (суждение) – повествовательное предложение, о котором можно однозначно сказать истинно оно или ложно (бывают простые и сложные).

3. Логические константы (Истина или Ложь)

4. Логическая переменная (Логическая величина А, В и т.д)

5. Основные логические связки (логические операции) и порядок их выполнения (не, и, или)

6. Установить соответствия логических операций (работа на интерактивной доске):

8. Как решить задачу (слайд 1):

Три подразделения фирмы «Аврора», «Вектор», «Сталь» торговой фирмы стремились получить по итогам максимальную прибыль. Экономисты высказали следующие предположения:

1. 1. «Аврора» получит максимальную прибыль тогда и только тогда, когда получат максимальную прибыль «Вектор» и «Сталь»;

   2. Либо «Аврора» и «Сталь» получат максимальную прибыль одновременно, либо одновременно не получат;

   3. Для того чтобы «Сталь» получило максимальную прибыль, необходимо, чтобы «Вектор» получило максимальную прибыль

По завершению года оказалось, что одно из трёх предположений ложно, а остальные два истинны. Какие из названных подразделений получили максимальную прибыль.

(Этапы решения:

1. Выделить из условия простые (элементарные) высказывания и обозначить их буквами (переменными).

2. Записать условие задачи на языке алгебры логики, соединив простые высказывания в сложные с помощью логических операций.

3. Составить единое логическое выражение для задачи и упростить с помощью законов алгебры логики (сложно), либо построить таблицу истинности.

4. Выбрать решение – набор значений простых высказываний, при котором построенное логическое выражение является истинным.

5. Проверить, удовлетворят ли полученное решение условию задачи.)

Выполним 1 и 2 пункт:

А – «Аврора» получит максимальную прибыль

В – «Вектор» получит максимальную прибыль

С – «Сталь» получит максимальную прибыль

Прогнозы экономистов:

1. F₁ = A B &C

2. F₂ = (A&C) (неA & неC)

3. F₃ = C B

Как будем решать, какие операции встречаются, сколько переменных, переборов? А как вы думаете есть еще другие логические функции (операции), сколько их? А как вы думаете как можно ускорить процесс решения задачи?

3. Новый материал: Стачала, мы изучили 3 основные логические функции, затем, ещё две. Значения функции оформили в виде таблицы истинности.

Ознакомился с этапами развития Логики (слайд 2)

Как вы думаете, какая тема урока (слайд 3) Булева (логическая) функция – функция f(x₁,x₂,…,x_n), аргументы которой x₁,x₂,…,x_n (независимые переменные) и сама функция (зависимая переменная) принимают значения 0 и 1. Могут быть заданы табличным способом или аналитически – в виде соответствующих формул.

Слайд 4 – изученные нами (значения каких логических функций указаны в таблице?)

Слайд 5 – 6 функций (не, не, и, или, следование, эквивалентность)

А сколько ещё? Т.к. могут принимать два значения и 4 перебора(строк зачений переменных), то 2⁴=16.

Полный перечень – слайд 6. (раздаточный материал):

Функция

Обозначение

Название

Другие

обозначения

f₁(x, y)

0

константа 0 (константа» ложь»)

X и не X

f₂(x,y)

xy

конъюнкция (логическое «и»)

X и Y

f₃(x,y)

отрицание импликации

X и не Y

f₄(x,y)

X

повторение первого аргумента

X

f₅(x,y)

отрицание обратной импликации

не Х и Y

f₆(x, y)

Y

повторение второго аргумента

Y

f₇(x, y)

xy

исключающее «или» (сумма по модулю 2), разделительная строгая дизъюнкция

(не X и Y) или (X и не Y)

f₈(x, y)

xy

дизъюнкция (логическое «или»)

X или Y

f₉(x,y)

xy

отрицание дизъюнкции (стрелка Пирса)

не (X или Y)

f₁₀(x,y)

xy

эквивалентность

(не X и неY) или (X и Y)

f₁₁(x,y)

отрицание второго аргумента

не Y

f₁₂(x,y)

xy

обратная импликация

не Y или Х

f₁₃(x, y)

отрицание первого аргумента

не X

f₁₄(x, y)

xy

импликация

не X или Y

f₁₅(x, y)

x | y

отрицание конъюнкции (штрих Шеффера)

не (X и Y)

f₁₆(x, y)

1

константа 1

Y или не Y

4. Закрепление изученного материала

Давайте, используя другие обозначения в таблице, построим с помощью логических формул в табличном процессоре Excel, в парах (инструктажа работы за компьютером). А какие формулы уже применяли (математические).

Демонстрация учителем применения формул и их копирование.

Проверка – слайд 7

4. Решение задач ЕГЭ (В2, В18, В23): слайды 7-10

Рассмотрим В2 устно.

1)Для таблицы истинности функции F известны значения только некоторых ячеек:

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

F

1

0

1

0

0

1

0

1

0

 Каким выражением может быть F?

1) x1 ∧ x2 ∧ x3 ∧ ¬x4 ∧ x5 ∧ x6 ∧ ¬x7

2) x1 ∨ ¬x2 ∨ x3 ∨ ¬x4 ∨ ¬x5 ∨ x6 ∨ ¬x7

3) ¬x1 ∧ x2 ∧ ¬x3 ∧ x4 ∧ x5 ∧ x6 ∧ x7

4) x1 ∨ x2 ∨ ¬ x3 ∨ x4 ∨ x5 ∨ ¬x6 ∨ x7

2)Дан фрагмент таблицы истинности выражения F.

 x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

F

1

1

0

1

1

1

1

0

1

0

1

0

1

1

0

0

0

1

0

1

1

0

0

1

 Каким из приведённых ниже выражений может быть F?

 1) ¬x1 ∧ x2 ∧ ¬x3 ∧ x4 ∧ x5 ∧ ¬x6 ∧ ¬x7

2) ¬x1 ∨ x2 ∨ ¬x3 ∨ x4 ∨ ¬x5 ∨ ¬x6 ∨ x7

3) x1 ∧ ¬x2 ∧ x3 ∧ ¬x4 ∧ x5 ∧ x6 ∧ ¬x7

4) x1 ∨ ¬x2 ∨ x3 ∨ ¬x4 ∨ ¬x5 ∨ x6 ∨ ¬x7

3)Для какого имени ложно высказывание:

(Первая буква имени гласная → Четвертая буква имени согласная).

 1) ЕЛЕНА

2) ВАДИМ

3) АНТОН

4) ФЕДОР

4)Для какого из приведенных чисел X логическое условие истинно?

 ((X<25) → (X<23)) /\ ((X<22) →(X>21))

 1) 21

2) 22

3) 23

4) 24

6. Самостоятельная работа, решение задачи «Прибыль подразделений фирмы»

Вернёмся к решению задач, можно за компьютером, можно в тетради. Результат:

А

В

С

F1

F2

F3

0

0

0

ИСТИНА

ИСТИНА

ИСТИНА

0

0

1

ИСТИНА

ЛОЖЬ

ЛОЖЬ

0

1

0

ИСТИНА

ИСТИНА

ИСТИНА

0

1

1

ИСТИНА

ЛОЖЬ

ИСТИНА

1

0

0

ЛОЖЬ

ЛОЖЬ

ИСТИНА

1

0

1

ЛОЖЬ

ИСТИНА

ЛОЖЬ

1

1

0

ЛОЖЬ

ЛОЖЬ

ИСТИНА

1

1

1

ИСТИНА

ИСТИНА

ИСТИНА

Вывод из таблицы – прибыль получат «Вектор» и «Сталь

Используемые формулы

=ИЛИ(НЕ(A2);И(B2;C2))

=ИЛИ(И(A2;C2);(И(НЕ(A2);НЕ(C2))))

=ИЛИ(НЕ(C2);B2)

7.Итог. Чем занимались на уроке, виды работ: (слайд 12)

1) Повторение (работа с интерактивной доской)

2) Работа с логическими формулами (работа за компьютером)

3) Решение задач ЕГЭ

4) Решение задач

Увидели ли вы закономерность булевых функций(если повернуть значения, то числа в двоичной системе счисления), как по другому можно назвать булевы функции? А кто такие Пирс(философ) и Шеффер? (Американские логики и математики).

Спасибо за урок, выходя из класса, маркером на магнитной доске запишите число вида работ на уроке, который вам больше понравился.

Краткое описание документа:

Методическая разработка факультативного занятия по курсу "Математические основы информатики" - "Булевы функции" для 10 класса (профиль).

Материал содержит конспект урока, сопровождающую презентацию, раздаточный материал, заготовки в электронных таблицах и задание для выполнения на интерактивной доске.