Методическая разработка "Квадратные уравнения с параметром" (9 класс)

Квадратные уравнения с параметром

Уравнения для меня важнее потому, что

политика  –  для настоящего,

а уравнения  – для вечности.

Альберт Эйнштейн

 

Что такое параметр?

     В повседневной жизни мы очень часто сталкиваемся с понятием параметра: параметры загрузки  Windows 10, параметры бытовых приборов, параметры автомобиля. Рассмотрение параметров - это  всегда выбор. Покупая какую-то вещь, мы внимательно изучаем ее основные характеристики. Так,  приобретая компьютер, мы обращаем внимание на следующие его параметры: производительность, габариты, состав комплектующих, цену и многое другое. Перед выбором мы стоим  и в различных жизненных ситуациях. Вспомним сказку:  В  чистом поле стоит столб, а на столбу написаны слова: «Кто поедет от столба сего  прямо, тот будет голоден и холоден; кто  поедет в правую сторону, тот будет  здрав и жив, а конь его будет мертв; а кто поедет в левую сторону, тот сам будет убит, а конь его жив и здрав останется!» Иван-царевич прочел эту надпись и поехал в правую сторону, держа на уме: хоть конь его и убит будет, зато сам жив останется и со временем сможет достать себе другого коня. (“Иван-царевич и серый волк” Русская народная сказка). Здесь от выбора зависит жизнь Ивана-царевича.

     Но это в сказке, а что же собой представляет параметр в математике? Какую роль он играет при решении уравнений? Какими методами решаются уравнения с параметрами?

Что такое параметр в математике?

Параметр (от греческого – отмеривающий) в математике – величина, числовые значения которой позволяют выделить определённый элемент из множества элементов того же рода.                      (Большой энциклопедический словарь)

Так, например, в декартовых прямоугольных координатах уравнением  определяется множество всех окружностей радиуса 1 на плоскости xOy; полагая, например, ,

выделяют из этого множества вполне определённую окружность единичного радиуса с центром в точке , - и, следовательно,  являются параметрами окружности в рассматриваемом множестве элементов того же рода.

История возникновения уравнений с параметром

Задачи на уравнения с параметром встречались  уже в астрономическом трактате «Ариабхаттиам»,  составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом  Ариабхаттой. Другим индийским ученым,  Брахмагупта  в VII веке было изложено общее правило решения квадратных уравнений,  приведенных к единой канонической форме: . В уравнении коэффициенты, кроме параметра a, могут быть и отрицательными. В теоретической части книги «Китаб аль-джебр ва-ль-мукабала»  Аль-Хорезми дает классификацию линейных и квадратных уравнений с параметрами. Автор выделяет 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:

1) «Квадраты равны корням», т. е.

2) «Квадраты равны числу», т. е. .

3) «Корни равны числу», т. е.  .

4) «Квадраты и числа равны корням», т. е. .

5) «Квадраты и корни равны числу», т. е. .

6) «Корни и числа равны квадратам», т. е. .

 Формулы решения квадратных уравнений по Аль-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 г. итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Вывод формулы решения квадратного уравнения с параметром в общем виде имеется у Виета, однако он признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в ХII в. учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принял современный вид.

 

1)    Определение. Квадратным уравнением называется уравнение вида:

,

         где коэффициенты a, b, c – любые действительные числа, причем .

2)    Решение квадратного уравнения  по формулам.

3)    Теорема обратная теореме Виета. Если числа  таковы, что их произведение равно , а сумма равна , то эти числа  являются корнями квадратного уравнения .

4)    Графиком квадратичной функции является парабола с вершиной в точке , ветви которой направлены вверх, если или вниз, если . Абсциссы, обозначим их , общих точек параболы и оси Ox являются нулями квадратичной функции.

5)    Поскольку корнем квадратного уравнения  можно считать значение переменной x, при котором соответствующий квадратный трёхчлен принимает значение равное нулю, то каждый корень такого уравнения является нулём квадратичной функции  и наоборот. Поэтому, количество корней квадратного уравнения равно  количеству нулей соответствующей квадратичной функции, а значит и количеству общих точек параболы и оси абсцисс.     

Таблица  количества общих точек параболы  и оси  абсцисс в зависимости от дискриминанта D соответствующего квадратного уравнения .

                                                                                                             Таблица 1^*.

* здесь — абсциссы общих точек параболы и оси Ox,                             — абсцисса вершины параболы.

6)    Теорема 1 (о равносильной замене неравенства). Неравенство   равносильно совокупности систем   и

7)    Теорема 2 (о равносильной замене неравенства). Неравенство   равносильно совокупности систем   и

 

    Исследовать расположение корней квадратного уравнения  относительно точки в зависимости от значений его параметров-коэффициентов, решая подходящие для этого задания.

Задание 1. Найдём все значения параметра a, при которых только один корень квадратного уравнения  больше 2.

Решение.  Перепишем уравнение следующим, привычным для нас, образом

.

    Так как свободный член  этого уравнения можно представить в виде произведения , то есть , а второй коэффициент, взятый с противоположным знаком,  можно представить в виде суммы , то есть , то, по теореме обратной теореме Виета, числа 3 и  являются корнями заданного уравнения. Поскольку, согласно условию задачи, только один корень должен быть больше 2, и таким корнем уже является число 3, то второй корень  должен, либо совпадать с первым, то есть , либо не превосходить число 2, то есть , поэтому искомыми значениями параметра a являются решения совокупности

Решим эту совокупность, имеем              

 Таким образом, интересующие нас значения параметра a образуют множество .  

Ответ. .

Задание 2 (для самостоятельного решения). Найдите все значения параметра m, при которых один из корней уравнения   находится между числами 0 и 2, а второй – между числами 3 и 5.

Решение.

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

Ответ. __________________________________________________________________

Указание:  если не удалось подобрать корни с опорой на теорему обратную теореме Виета, решите это уравнение по формулам, то есть найдите его дискриминант и корни.

Задание 3. При каких значениях параметра a число 2 находится между корнями квадратного уравнения ?

Решение. В двух предыдущих заданиях поиск корней квадратного уравнения был связан либо с привлечением теоремы обратной теореме Виета, либо с нахождением дискриминанта. Поэтому поступим аналогичным образом и в этом задании, то есть найдём действительные корни заданного уравнения, если они существуют, например, по формулам.

Имеем, .

И далее,  

Так как  условие:  «число 2 находится между корнями квадратного уравнения» прямо указывает на существование двух различных корней, то дискриминант должен быть положительным.   Кроме того, в силу очевидного соотношения , должны выполняться неравенства: . А стало быть, искомыми значениями параметра a являются решения системы неравенств:

Вы никогда не сумеете решить возникшую проблему, если сохраните то же мышление и тот же подход, который привёл вас к этой проблеме.                           Альберт Эйнштейн

    Совершенно очевидно, что решение этой системы связано с немалыми техническими трудностями. Поэтому  для настоящей задачи выбранный приём не оправдан. Однако способом  преодоления возникшей трудности может стать изменение подхода к толкованию условия нашей задачи.

И такой подход основан на простой геометрической интерпретации. Графиком левой части заданного уравнения, то есть графиком квадратного трёхчлена , является парабола, ветви которой направлены вверх. Поскольку, согласно условию задачи, число 2 находится между корнями заданного квадратного уравнения, то парабола  должна пересекать ось абсцисс в точках, расположенных по разные стороны от точки этой оси с координатой 2 (смотри рисунок 1). А значит,     рисунок 1 – перевод условия данной задачи на графический язык.

     Составим аналитическую запись приведённого рисунка, то есть найдём описывающие его соотношения (уравнения, неравенства).  Для этого, рассматривая всевозможные параболы (с ветвями, направленными вверх), пересекающие ось абсцисс в точках, расположенных по разные стороны от точки  2 (постройте на рисунке 1 ещё такие параболы), будем сравнивать с нулём значение квадратичной функции  при x=2. В результате  мы заметим, что в каждом таком случае , поэтому требование  будет как необходимым, так и достаточным для того, чтобы число 2 находилось между корнями заданного уравнения. А значит, искомыми значениями параметра a являются решения неравенства , то есть неравенства . Решите это неравенство самостоятельно

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Итак, интересующие нас значения параметра a образуют множество .

Ответ. .

Задание 4 (для самостоятельного решения). При каких значениях параметра a корни уравнения  расположены по разные стороны от числа  (-1)?

Решение.

_______________________________

_______________________________

_________________________________

_________________________________

_________________________________

_________________________________

_________________________________

_________________________________

_________________________________

_________________________________

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________Ответ.__________________________________________________________________

      С понятийной точки зрения будет чрезвычайно полезным обобщить рассмотренные выше задачи, то есть найти условия, при которых число p лежит между нулями квадратичной функции .                          И снова обратимся к геометрической трактовке. Поскольку из условия задания следует, что дискриминант D больше нуля, то в зависимости от знака старшего коэффициента  достаточно рассмотреть два случая: a>0 и a<0 (смотри рисунок 2).

 Каждый из этих случаев полностью описывается следующими условиями: для рисунка  2(а) имеем,  а для рисунка 2(б) -  Заметим, что здесь нет необходимости требовать ещё выполнение условия D>0, это условие является лишним (избыточным), потому как неравенства системы гарантируют существование двух различных нулей квадратичной функции .

   Поскольку совокупность этих двух систем, согласно теореме 2,  равносильна неравенству , то справедливо следующее утверждение.

Утверждение 1. Для того, чтобы число p находилось между нулями квадратичной функции  (корнями квадратного уравнения ), необходимо и достаточно выполнения неравенства .

Далее, попытаемся построить критерий, обеспечивающий положение заданного числа p вне корневого промежутка.

   Для начала, заполняя пропуски, найдём условия, при которых нули  квадратичной функции будут меньше числа p. И для этого снова обратимся к геометрическому толкованию поставленной задачи.

Графиком квадратичной функции  является _____________, ветви которой направлены вверх, если ________ или вниз, если _______. Парабола может имеет с осью Ox либо одну общую точку и в этом случае дискриминант D, соответствующего квадратного трёхчлена, равен  ____________, либо две общие точки и тогда дискриминант D будет _________________.  Для удобства абсциссы общих точек параболы и оси Ox обозначим через (). 

Теперь в декартовой прямоугольной системе координат xOy построим две параболы с ветвями направленными вверх: первую - имеющую с осью   абсцисс одну общую точку, вторую – две общие точки, расположенные левее уже отмеченной на оси Ox точки с координатой p.

Из рисунка 3 видно, что:

1) старший коэффициент a ________;

2) дискриминанта D ______________; 3) и кроме того, согласно рисунку, значение квадратичной функции  в точке x=p, в сравнении с нулём, будет __________________________, то есть .

   Подумайте, достаточно ли этих условий, чтобы общие точки параболы и оси Ox располагались левее точки с абсциссой p? Для этого попытайтесь построить параболу, имеющую с осью Ox общие точки расположенные, наоборот, правее точки с абсциссой p, для которой выполнялось бы каждое из трёх условий 1) – 3).

   Очевидно, что примером такой параболы может стать парабола, проходящая через точки оси Ox с абсциссами 5 и 10, поскольку для неё выполняются все вышеперечисленные условия 1) - 3). Однако, в этом случае, нули  квадратичной функции  будут больше числа p. А значит,  выполнимость всех условий 1) – 3) не гарантирует расположение нулей квадратичной функции слева от точки p.

    Окончательно зафиксировать точку p в нужном положении позволяет неравенство , где , то есть x₀ – абсцисса вершины параболы . А значит, следующая система  полностью описывает рисунок 3.

 Задание 5  (для самостоятельного решения). Рассуждая аналогичным образом, найдите условия, при которых нули квадратичной функции  с отрицательным старшим коэффициентом будут меньше числа p.

Решение.

_______________________________

_______________________________

_________________________________

_________________________________

_________________________________

_________________________________

_________________________________

_________________________________

_________________________________

_________________________________

_________________________________

_________________________________

_________________________________

_________________________________

_________________________________

_________________________________

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________Ответ. Система                                 гарантирует расположение нулей

квадратичной функции с отрицательным старшим коэффициентом  слева от точки p.

  Как и ранее, согласно теореме 1 о равносильной замене неравенства, совокупность полученных систем    и                            равносильна системе

     Это и есть необходимое и достаточное условие того, что число p больше нулей квадратичной функций. Сформулируем его в таком виде.

Утверждение 2. Для того чтобы число p было больше нулей квадратичной функции  (корней квадратного уравнения ), необходимо и достаточно выполнение следующей системы неравенств:  

Задание 6  (для самостоятельного решения). Сформулируйте необходимое и достаточное условие того, что число p меньше нулей квадратичной функции  .

Решение.

________________________________

________________________________

________________________________

________________________________

________________________________

________________________________

________________________________

________________________________

________________________________

________________________________

_________________________________

_________________________________

_________________________________

_________________________________

_________________________________

_________________________________

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________________________________

    Итак, результатом решения задания 6 является построенное необходимое и достаточное условие того, что число p меньше нулей квадратичной функции, которое можно сформулировать следующим образом.

Утверждение 3. Для того чтобы число p было меньше нулей квадратичной функции  (корней квадратного уравнения ), необходимо и достаточно выполнение следующей системы неравенств:  

Задание 7  (для самостоятельного решения). Найдите все значения параметра a, при которых все корни уравнения  больше .

Задание 8  (для самостоятельного решения). Найдите все значения параметра а, при каждом из которых: 1) только один корень уравнения   удовлетворяет неравенству ;  2) все корни уравнения   удовлетворяет неравенству .

Выберите одно из двух заданий и решите его.

________________________________

________________________________

________________________________

________________________________

________________________________

________________________________

________________________________

________________________________

________________________________

________________________________

_________________________________

_________________________________

_________________________________

_________________________________

_________________________________

_________________________________

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

Ответ. Искомые значения параметра a образуют множество__________________

 

   В двух трёх предложениях опишите, чем Вы занимались на занятии, что Вам запомнилось? Какие результаты были Вами получены? Какой из этих результатов был в большей степени получен Вами самостоятельно?

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

Заполните таблицу  вариантов расположения нулей квадратичной функции на числовой прямой и соответствующих им условий.

Таблица.

Расположение нулей квадратичной функции на числовой прямой	Необходимое и достаточное условие

В заключении, с целью систематизации приобретённых знаний, будет чрезвычайно полезным исправить ошибки в первой блок-схеме – осмыслить их – запомнить  – оформить свою мысль –  применить знания на практике, заполнив вторую блок-схему.

Квадратное уравнение с отрицательным старшим коэффициентом

                                                                                                                         Блок – схема 1. Исправьте ошибки.  
 

                     

 

Квадратное уравнение с положительным старшим коэффициентом

                                                                                                                                      Блок – схема 2. Заполните.  
 

                     

 

Не останавливайся на достигнутом,                    иди вперёд!

       

     Совершенно очевидно, что сформулированные утверждения не описывают все задачи, связанные с расположением нулей квадратичной функции. Так, в целом ряде задач число p может совпадать с одним из нулей. Кроме того, полученные критерии сформулированы лишь для одной заданной точки. Однако существует немалый класс задач на исследование положения нулей относительно двух и более точек или относительно заданного отрезка. Понятно, что для каждого типа примеров можно построить свой критерий. Но вряд ли следует это делать: ключевая идея будет повторяться, а следовательно здесь проще не строить общую теорию, а учиться решать задачи на самих задачах.

Задание 11  (для самостоятельного решения). Пусть квадратное уравнение  имеет корни . Найдите все такие a, что  удовлетворяют условию .

Задание 12  (для самостоятельного решения). При каких действительных значениях параметра a все корни уравнения  не лежат в отрезке ?

Использование графического метода в  задачах с параметром нередко существенно упрощает математические выкладки и является рациональным способом решения.

Рассмотри самостоятельно задачи  на расположение нулей квадратичной функции относительно двух и более точек или относительно заданного промежутка.

Постарайся понять и запомнить!

·        Горнштейн П. И. Задачи с параметрами / Горнштейн  П. И., Полонский В. Б., Якир М. С. – Киев: РИА «Текст»; МП «ОКО», 1992. – 290 с. ·        https://mathus.ru/math/parameter-quad2.pdf ·        https://karamzin.mskobr.ru/files/sposoby_i_metody_resheniya_zadach_s_parametrami.pdf ·        Можно посмотреть:  https://www.youtube.com/watch?v=EP9fcisue5g

Проверь себя.

1)    Задание 3. Ответ. .

2)    Задание 5.    

3)    Утверждение 3.

4)    Задание 6.  Если  в системе   заменить третье неравенство на , то получится критерий того, что число p будет меньше нулей квадратичной функции .

5)    Задание 7.  Ответ. .

6)    Задание 8.1.  Ответ. .

7)    Систематизируем результаты исследования. С помощью стрелок установите соответствие между вариантом  расположения нулей квадратичной функции  на числовой прямой и соответствующим ему условием.

Расположение нулей квадратичной функции на числовой прямой	Необходимое и достаточное условие

8)    Задание 11.  Ответ. .

9)    Задание 12.  Ответ. .