Инфоурок Математика КонспектыМетодическая разработка лекции по дисциплине ЕН.01 «Математика» по теме «Матрица. Основные понятия и определения. Линейные операции над матрицами. Произведение матриц»

Методическая разработка лекции по дисциплине ЕН.01 «Математика» по теме «Матрица. Основные понятия и определения. Линейные операции над матрицами. Произведение матриц»

Скачать материал

Раздел:  Элементы линейной алгебры

Тема:     Матрица. Основные понятия и определения.

Линейные операции над матрицами. Произведение матриц

Определение. Матрицей называется таблица чисел, которая содержит m строк и  n столбцов.

Опр. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы и обозначаются:

aijгде     i- номер строки

                     j- номер столбца

Обозначение матриц: заглавные буквы латинского алфавита  А,В,С …;

 

A=(aij);

i=1,2…,m

j=1,2…,n

 

 

 

   А =

  mxn

 
          ,  или в сокращенной записи

  

 А

2Х3

 
Пример:               =- матрица содержит 2 строки и 3 столбца.

 

Наряду с круглыми скобками используются и другие обозначение матрицы:

[  ];||  ||

Определение. Равными называются две матрицы A и B одного размера, если они совпадают поэлементно т.е   aij=bij  для любых  i=1,2,..,m;   j=1,2,..,n.

Виды матриц

1)  Матрица-строка - это матрица, состоящая из одной строки:

 А=(  а11   а12…а1n  )

2)  Матрица-столбец - это матрица, состоящая из одного столбца:

B=

Опр. Матрицы -строки и матрицы-столбцы иначе называют векторами.

 

3)  Квадратная матрица n-го порядка, если число  её строк равно числу столбцов и равно «n»

 

4)  Прямоугольная матрица, если число строк матрицы не равно числу столбцов (m ≠ n)

Определение. Элементы матрицы аij, у которых номер столбца равен номеру строки (i = j), называют диагональными и образуют главную диагональ матрицы: а11, а 22,..., аnn.

Диагональ, содержащую элементы а1n, а2n-1, …, аn1.  называют побочной  диагональю ( или вспомогательной).

5)  Диагональной матрицей называется квадратная матрица, все недиагональные элементы которой равны нулю:

Например, А=- диагональная матрица третьего порядка

6)  Единичной матрицей n-го порядка называется диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице; обозначается E

Например,  E=- единичная матрица 3-го порядка

7)  Нулевой матрицей (или нуль- матрицей) называется матрица любого размера, все элементы которой равны нулю:

 0

m×n

 

 

 
                                                          =

 

8)  Треугольной матрицей называется квадратная матрица, если все её элементы, расположенные ниже (или выше) главной диагонали, равны нулю:   

 Например:

 В

4х4

 

 А

3х3

 
          = ,                             =                                             

Определение. Матрица, в которой на место строк записаны в соответствующие столбцы, называется транспонированной к данной и обозначается  АТ

Например:  А=;       АТ=- транспонированная матрица

Линейные операции над матрицами

1. Суммой двух матриц  А и В одинакового размера m×n называется матрица того же размера  = А+В, элементы которой   сij=aij+bij

 (для всех  i = 1,2,..,mj = 1,2,..n ).

      (т.е. матрицы складываются поэлементно)  

Пример:   А=,  В=, тогда  С = А+В =

В частности,  А+ О = А.

2. Умножение матрицы на число: выполняется путем умножения на это число всех элементов матрицы:

В = k×А, где   А = (аij), B = (bij)

bij = k× aij  для всех i=1,2,..,mj = 1,2,..n.; k - действительное число.

Пример:   А= ;   5А=.

Следствие: 1) общий множитель всех элементов матрицы можно вынести за знак матрицы;

            Пример:    =2•

           2)  0•А = О - нулевая матрица

3. Вычитание матриц: 

 Разность двух матриц одинакового размера определяется через предыдущие    операции:      A - B = A+(-1)•B

 

4. Умножение матриц:

  А    •     В

m×k             k×n

 

 

 
Умножение матриц А на матрицу В определено, когда число столбцов первый  матрицы равно числу строк второй.

 Определение: Произведением матриц                         называется такая матрица         

    С

  m×n

 

 
 

,   каждый элемент которой  сij  равен  сумме произведений  элементов i - ой

строки  матрицы А  на  соответствующие элементы j - го столбца матрицы В:

                    cij = ai1•b1j + ai2•b2j +…+ a ik•bkj =,

                           где  i=1,2,..,mj = 1,2,..n.

Пример:   А =  ;  В =    Найти произведение матриц: А•В=?

Решение:

  А  •    В  =   С

 2х3      3х3     2х3

 
1. Найдём размер матрицы-произведения (если умножение матриц возможно):

 

число столбцов первой матрицы А равно числу строк второй матрицы В (3=3),

поэтому умножение матриц возможно, а размер матрицы С будет 2х3.

 

2. Вычислим элементы матрицы-произведения:

 

С11=1(-1)+05+2∙(-2)= -5;        С21=3∙(-1)+1∙5+0∙(-2)=2;

С12=1∙0+0∙1+2∙0=0;                С22=3∙0+1∙1+0∙0=1;

С13=1∙1+0∙4+2∙1=3;                 С23=3∙1+1∙4+0∙1=7;

 

Получаем   С=                                              Ответ: С=  

Свойства умножения матриц:

 


1)      А•В≠В•А    , коммутативный (переместительный) закон умножения, вообще говоря, не выполняется;

(либо В•А-не существует; либо А•В и В•А-матрицы разного размера; либо одного размера, но не равные друг другу).

 


2)     А•Е=Е•А=А    , если А и Е- одного размера квадратные матрицы.

 

3)    Произведение двух ненулевых матриц может равняться нулевой матрице, т.е. из того, это А•В=0, не следует, что А=0 или В=0

  Пример:  А=0;    В=≠0,   но      АВ = = О

4)     А•(ВС)=(АВ)•С    - сочетательный закон умножения матриц

 


5)   (А+В)•С=А•С+•Ѡ    - распределительный закон умножения матриц

 

5.  Возведение матрицы в степень

  Целой положительной степенью   Аm (m > 1) квадратной матрицы А называется произведение  m матриц, равных  А , т.е.  Аm= AA•….•A

 

m-раз

 

 

По определению:   А0=Е ;    А1=А ;   Аm Ak=Am+k;   (Аm)k=Amk

 

Пример:   А=,     найти   А2

           

Решение:  А2 =  =

 

Примечание: Из равенства  Am = О ещё не следует, что  матрица  А= О

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал

Краткое описание документа:

Методическая разработка лекции по дисциплине ЕН.01 «Математика» по теме «Матрица. Основные понятия и определения. Линейные операции над матрицами. Произведение матриц» предназначена для преподавателей и обучающихся СПО по специальности 15.02.01«Монтаж и техническая эксплуатация промышленного оборудования (по отраслям) », базовый уровень подготовки. Пособие содержит теоретический материал по теме лекции, приведены практические примеры.

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 100 020 материалов в базе

Скачать материал

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

  • Скачать материал
    • 21.05.2020 190
    • DOCX 100.9 кбайт
    • Оцените материал:
  • Настоящий материал опубликован пользователем Кихтенко Нелли Анатольевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Удалить материал
  • Автор материала

    Кихтенко Нелли Анатольевна
    Кихтенко Нелли Анатольевна
    • На сайте: 5 лет и 7 месяцев
    • Подписчики: 0
    • Всего просмотров: 33438
    • Всего материалов: 40

Ваша скидка на курсы

40%
Скидка для нового слушателя. Войдите на сайт, чтобы применить скидку к любому курсу
Курсы со скидкой