Методическая разработка лекции по дисциплине ЕН.01 «Математика» по теме «Матрица. Основные понятия и определения. Линейные операции над матрицами. Произведение матриц»

Раздел:  Элементы линейной алгебры

Тема:     Матрица. Основные понятия и определения.

Линейные операции над матрицами. Произведение матриц

Определение. Матрицей называется таблица чисел, которая содержит m строк и  n столбцов.

Опр. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы и обозначаются:

a_ij,  где     i- номер строки

                     j- номер столбца

Обозначение матриц: заглавные буквы латинского алфавита  А,В,С …;

A=(aij); i=1,2…,m j=1,2…,n

А =   mxn

          ,  или в сокращенной записи

А 2Х3

Пример:               =- матрица содержит 2 строки и 3 столбца.

Наряду с круглыми скобками используются и другие обозначение матрицы:

[  ];||  ||

Определение. Равными называются две матрицы A и B одного размера, если они совпадают поэлементно т.е   a_ij=b_ij  для любых  i=1,2,..,m;   j=1,2,..,n.

Виды матриц

1)  Матрица-строка - это матрица, состоящая из одной строки:

 А=(  а₁₁   а₁₂…а_1n  )

2)  Матрица-столбец - это матрица, состоящая из одного столбца:

B=

Опр. Матрицы -строки и матрицы-столбцы иначе называют векторами.

3)  Квадратная матрица n-го порядка, если число  её строк равно числу столбцов и равно «n»

4)  Прямоугольная матрица, если число строк матрицы не равно числу столбцов (m ≠ n)

Определение. Элементы матрицы а_ij, у которых номер столбца равен номеру строки (i = j), называют диагональными и образуют главную диагональ матрицы: а₁₁, а _22,..., а_nn.

Диагональ, содержащую элементы а_1n, а_{2n-1, …,} а_n1.  называют побочной  диагональю ( или вспомогательной).

5)  Диагональной матрицей называется квадратная матрица, все недиагональные элементы которой равны нулю:

Например, А=- диагональная матрица третьего порядка

6)  Единичной матрицей n-го порядка называется диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице; обозначается E

Например,  E=- единичная матрица 3-го порядка

7)  Нулевой матрицей (или нуль- матрицей) называется матрица любого размера, все элементы которой равны нулю:

0 m×n

                                                          =

8)  Треугольной матрицей называется квадратная матрица, если все её элементы, расположенные ниже (или выше) главной диагонали, равны нулю:   

 Например:

В 4х4

А 3х3

          = ,                             =                                             

Определение. Матрица, в которой на место строк записаны в соответствующие столбцы, называется транспонированной к данной и обозначается  А^Т

Например:  А=;       А^Т=- транспонированная матрица

Линейные операции над матрицами

1. Суммой двух матриц  А и В одинакового размера m×n называется матрица того же размера  = А+В, элементы которой   с_ij=a_ij+b_ij

 (для всех  i = 1,2,..,m;  j = 1,2,..n ).

      (т.е. матрицы складываются поэлементно)  

Пример:   А=,  В=, тогда  С = А+В =

В частности,  А+ О = А.

2. Умножение матрицы на число: выполняется путем умножения на это число всех элементов матрицы:

В = k×А, где   А = (а_ij), B = (b_ij)

b_ij = k× a_ij  для всех i=1,2,..,m;  j = 1,2,..n.; k - действительное число.

Пример:   А= ;   5А=.

Следствие: 1) общий множитель всех элементов матрицы можно вынести за знак матрицы;

            Пример:    =2•

           2)  0•А = О - нулевая матрица

3. Вычитание матриц: 

 Разность двух матриц одинакового размера определяется через предыдущие    операции:      A - B = A+(-1)•B

4. Умножение матриц:

А    •     В m×k             k×n

Умножение матриц А на матрицу В определено, когда число столбцов первый  матрицы равно числу строк второй.

 Определение: Произведением матриц                         называется такая матрица         

С   m×n

 

,   каждый элемент которой  с_ij  равен  сумме произведений  элементов i - ой

строки  матрицы А  на  соответствующие элементы j - го столбца матрицы В:

                    c_ij = a_i1•b_1j + a_i2•b_2j +…+ a _ik•b_kj =,

                           где  i=1,2,..,m;  j = 1,2,..n.

Пример:   А =  ;  В =    Найти произведение матриц: А•В=?

Решение:

А  •    В  =   С  2х3      3х3     2х3

1. Найдём размер матрицы-произведения (если умножение матриц возможно):

число столбцов первой матрицы А равно числу строк второй матрицы В (3=3),

поэтому умножение матриц возможно, а размер матрицы С будет 2х3.

2. Вычислим элементы матрицы-произведения:

С₁₁=1(-1)+05+2∙(-2)= -5;        С₂₁=3∙(-1)+1∙5+0∙(-2)=2;

С₁₂=1∙0+0∙1+2∙0=0;                С₂₂=3∙0+1∙1+0∙0=1;

С₁₃=1∙1+0∙4+2∙1=3;                 С₂₃=3∙1+1∙4+0∙1=7;

Получаем   С=                                              Ответ: С=  

Свойства умножения матриц:

 

1)      А•В≠В•А    , коммутативный (переместительный) закон умножения, вообще говоря, не выполняется;

(либо В•А-не существует; либо А•В и В•А-матрицы разного размера; либо одного размера, но не равные друг другу).

 

2)     А•Е=Е•А=А    , если А и Е- одного размера квадратные матрицы.

3)    Произведение двух ненулевых матриц может равняться нулевой матрице, т.е. из того, это А•В=0, не следует, что А=0 или В=0

  Пример:  А=≠0;    В=≠0,   но      А•В = = О

4)     А•(ВС)=(АВ)•С    - сочетательный закон умножения матриц

 

5)   (А+В)•С=А•С+•Ѡ    - распределительный закон умножения матриц

5.  Возведение матрицы в степень

  Целой положительной степенью   А^m (m > 1) квадратной матрицы А называется произведение  m матриц, равных  А , т.е.  А^m= A•A•….•A

m-раз

По определению:   А⁰=Е ;    А¹=А ;   А^{m •} A^k=A^m+k;   (А^m)^k=A^mk

Пример:   А=,     найти   А²

Решение:  А² = • =

Примечание: Из равенства  A^m = О ещё не следует, что  матрица  А= О

Краткое описание документа:

Методическая разработка лекции по дисциплине ЕН.01 «Математика» по теме «Матрица. Основные понятия и определения. Линейные операции над матрицами. Произведение матриц» предназначена для преподавателей и обучающихся СПО по специальности 15.02.01«Монтаж и техническая эксплуатация промышленного оборудования (по отраслям) », базовый уровень подготовки. Пособие содержит теоретический материал по теме лекции, приведены практические примеры.