Методическая разработка "Матричные уравнения"

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Российский экономический университет имени Г.В. Плеханова»

Кемеровский институт (филиал)

Техникум информационных технологий, экономики и права

УЧЕБНая ДИСЦИПЛИНа

ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

Методическая разработка по теме

«Матричные уравнения»

подготовила

преподаватель

математических     дисциплин

Новосёлова Елена Викторовна

2016

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ	3
МАТРИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ	4
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ	8
ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ МЕТОДИЧЕСКОЙ РАЗРАБОТКИ	9

ВВЕДЕНИЕ

Методическая разработка по теме «Матричные уравнения» составлена в соответствии с требованиями ФГОС СПО третьего поколения.

         Предлагаемая методическая разработка включает основной теоретический материал по теме «Матричные уравнения», решение типовых примеров и задания для самостоятельной работы обучающихся  по теме с ответами.

         Методическую разработку можно использовать как на уроках, так и  для организации индивидуальной и самостоятельной работы обучающихся, на дополнительных занятиях и консультациях. В качестве дополнительного материала она может быть использована на факультативных занятиях.

Цель методической разработки – помочь обучающимся в освоении материала по теме «Матричные уравнения» и получить необходимые практические навыки по применению теоретического материала в условиях конкретного задания.

МАТРИЧНЫЕ   УРАВНЕНИЯ

* Уравнения вида  А ∙ Х = В  и  Х ∙ А = В, где А, В − заданные матрицы, а Х −    неизвестная  матрица, называются матричными уравнениями.

* Решить матричное уравнение − значит найти неизвестную матрицу Х.

* Матрица Х называется решением  матричного уравнения, если при подстановке  обращает его в верное равенство.

          Матричное уравнение имеет решение только тогда,  когда определитель матрицы А отличен от нуля, т.е. .                 

         Решение  матричного уравнения находится с помощью обратной матрицы:

         Матричное уравнение:           А ∙ Х = В                                Х ∙ А = В

                                Решение:   А⁻¹ ∙ А ∙ Х = А⁻¹ ∙ В                Х ∙ А ∙ А⁻¹ = В ∙ А⁻¹

                                                        Е ∙ Х = А⁻¹ ∙ В                                       Х ∙ Е  = В ∙ А⁻¹                                                                                                                 Х = А⁻¹ ∙ В                                                 Х  = В ∙ А⁻¹          

Пример 1.  Решить .

Решение.

Обозначим А = ,   В = , тогда имеем матричное уравнение  вида  А ∙ Х = В,  решение которого находим  по формуле  Х = А⁻¹ ∙В.

Считаем определитель матрицы А.

.

Т.к. , то матрица А⁻¹ существует и находится по формуле:

А⁻¹ = .

Находим алгебраические дополнения элементов матрицы А:

                         

                           

Тогда  А⁻¹ = .   Обязательна проверка:  А ∙ А⁻¹ = А⁻¹∙ А = Е.

Находим неизвестную матрицу Х:                   

Х = А⁻¹ ∙ В = =    

                   =

Ответ: 

Пример 2.  Решить  Х   + 3  = .

Решение.

Обозначим  А = ,  С = ,  D = ,   тогда имеем  матричное уравнение   Х  А + 3 С = D.  Приводим его к  виду  Х А = В,  т.е. находим матрицу В:                                        

Х  А + 3 С = D

Х  А = D − 3 С

В = D − 3 С = − 3=−=

=.

Имеем матричное уравнение вида  Х ∙ А = В,  решение которого находим  по формуле     Х = В ∙ А⁻¹.  Считаем определитель матрицы А.   

                                  – = − 1.

Т.к. , то матрица А⁻¹ существует и находится по формуле:

А⁻¹ = .

Находим алгебраические дополнения элементов матрицы А:

                                                                        

                                       

Тогда   А⁻¹ = = .

Находим неизвестную матрицу Х: 

Х = В ∙ А⁻¹ = =

==          

= .

Ответ:  .

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

Решить матричные уравнения:

1.                                                       Ответ: .

2.                                                          Ответ: .

3.                                                 Ответ: .   

4.                                                                                    Ответ: .

5.                                                   Ответ:.

6.                           Ответ:.

7.                       Ответ:

8.            Ответ: .

ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ

МЕТОДИЧЕСКОЙ РАЗРАБОТКИ

1. Башмаков М.И. Математика. Книга для преподавателя: методическое пособие  для НПО, СПО. –  М.: Академия, 2013 – 224с.

2. Башмаков М.И. Математика. Задачник: учеб. Пособие для образоват. Учреждений нач. и сред. проф. образования. –  М.: Академия, 2013 – 416с.

3. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 – 11 кл. / Под ред. Колмогорова А.Н. – 11 изд. – М.: Просвещение, 2009 – 384 с.

4. Математика для техникумов. Алгебра и начала анализа./ Под ред. Яковлева Г.Н. – М.: Наука, 2008 – 294 с.

5. Пехлецкий И.Д. Математика: Учебник для средних специальных учебных заведений. – М.: Академия, 2006 – 241 с.

6. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: учебное пособие, 5–е издание. – М.: Высшая школа, 2009 – 323 с.