Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Методическая разработка «Метод вспомогательных фигур в геометрии»

Методическая разработка «Метод вспомогательных фигур в геометрии»

Международный конкурс по математике «Поверь в себя»

для учеников 1-11 классов и дошкольников с ЛЮБЫМ уровнем знаний

Задания конкурса по математике «Поверь в себя» разработаны таким образом, чтобы каждый ученик вне зависимости от уровня подготовки смог проявить себя.

К ОПЛАТЕ ЗА ОДНОГО УЧЕНИКА: ВСЕГО 28 РУБ.

Конкурс проходит полностью дистанционно. Это значит, что ребенок сам решает задания, сидя за своим домашним компьютером (по желанию учителя дети могут решать задания и организованно в компьютерном классе).

Подробнее о конкурсе - https://urokimatematiki.ru/


Идёт приём заявок на самые массовые международные олимпиады проекта "Инфоурок"

Для учителей мы подготовили самые привлекательные условия в русскоязычном интернете:

1. Бесплатные наградные документы с указанием данных образовательной Лицензии и Свидeтельства СМИ;
2. Призовой фонд 1.500.000 рублей для самых активных учителей;
3. До 100 рублей за одного ученика остаётся у учителя (при орг.взносе 150 рублей);
4. Бесплатные путёвки в Турцию (на двоих, всё включено) - розыгрыш среди активных учителей;
5. Бесплатная подписка на месяц на видеоуроки от "Инфоурок" - активным учителям;
6. Благодарность учителю будет выслана на адрес руководителя школы.

Подайте заявку на олимпиаду сейчас - https://infourok.ru/konkurs

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Учитель МБОУ гимназия № 9

города Воронежа

Хатунцева И.В.


Методическая разработка


«Метод вспомогательных фигур в геометрии»




1. Задача на доказательство


В остроугольном ABC проведены высоты AP, BQ, CR. Доказать,

что ABQ =APR.

hello_html_6e4615f6.png

1) APB, CRB – прямые

=> можно описать окружность

2) ABQ =APR


Таким образом, построение вспомогательной окружности помогло установить связь

между указанными углами.


2. Задача на построение

Построить правильный треугольник так, чтобы его вершины лежали на трех данных


параллельных прямых. hello_html_m448fdf05.png


1) Пусть АВС – искомый треугольник

2) ADC = ABC = 60

3) Проведем лучи AD, BD

4) ∆ ABB1 = ∆ BCD => AB =BC, ABC = 600

Таким образом, прием построения вспомогательной окружности целесообразно применять и при решении некоторых задач на построение.



3. Задача на доказательств и вычисление


На сторонах АС и ВС ∆АВС вне его построены квадраты АСА1А2 и ВСВ1В2.

Доказать, что прямые АВ1, А1В, А2В2 пересекаются в одной точке; определить углы между этими прямыми.


hello_html_m5ba05624.png

1) A2C1C, CC1B2 – прямые => A2C1C + CC1B2 = 1800

2) AB1A1B, каждая из них образует с A2B2 = 450



  1. Плоские углы трехгранного угла равны 45, 45, 60. Через его вершину проведена прямая, перпендикулярная одной из граней, плоский угол которой равен 45. Найти угол между этой прямой и ребром трехгранного угла, не лежащим в этой грани.



hello_html_m67fbd5d4.png


1) B1AB = BAC = 450

B1AC = 600

2) AA1 BAC

3) A1AB1 = 450



2 . Основание и вершина К равнобедренного ∆MNK находятся на разных гранях прямого двугранного угла с ребром L. Точки М и К удалены от L на расстояние а, а проекция точки N на ребро L равноудалена от проекции точек М и К на ребро L. Найти расстояние от точки N до L, если МК образует с L угол, равный 600.


hello_html_m7b6f06e3.png


1) KP = AB, AQ = QP

2) MD = a√2

3) (AB, MK) = 600, MKD = 600

4) ∆MKD : DK = a√2/√3, MK = 2a√2/√3

5)QP=AP/2=DK/2=a/√6

6) ∆QPK : QK = 7а /√6

7) ∆NQK : NQ = a√6/2





3. Основанием пирамиды HPQR является равнобедренный прямоугольный треугольник PQR, длина гипотенузы PQ которого равна 2√ 2. Боковое ребро пирамиды HR перпендикулярно плоскости основания, и равно 1. Найти величину угла и расстояние между скрещивающимися прямыми, одна из которых проходит через точку H и середину ребра PR, а другая проходит через точку R и середину PQ.



hello_html_m235dddc4.png


1) AR = QP = 2√2

2) HS||B1A, B1AR = 60

3) B1AR||HS

4) Тетраэдр D1B1AR : D1O – высота

5) FE||D1O

6)FE:D1O=FR:D1R=1:4

7)D1R=2√2, RO=2√6/3

8) D1O = 4√3/3

9) FE=1/4(D1O)=1/√3







5


Самые низкие цены на курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации!

Предлагаем учителям воспользоваться 50% скидкой при обучении по программам профессиональной переподготовки.

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок".

Начало обучения ближайших групп: 18 января и 25 января. Оплата возможна в беспроцентную рассрочку (20% в начале обучения и 80% в конце обучения)!

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: https://infourok.ru/kursy



Автор
Дата добавления 09.09.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров226
Номер материала ДA-034344
Получить свидетельство о публикации

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.

Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.

Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх