Инфоурок Информатика Другие методич. материалыМетодическая разработка "Методика решения задач по теме "Кодирование информации""

Методическая разработка "Методика решения задач по теме "Кодирование информации""

Скачать материал

Методическая разработка

«Методика решения задач по теме «Кодирование информации»»

 

Важнейшей частью информатики как науки является теория информации, которая занимается изучением информации как таковой, ее появлением, развитием и уничтожением. К этой науке близко примыкает теория кодирования, в задачу которой входит изучение форм представления информации при ее передаче по различным каналам связи, а также при хранении и обработке. Задачи, рассмотренные в данной работе так или иначе относятся к теме «Кодирование информации».

Кодирование информации – важная и интересная тема школьного курса информатики. Умение кодировать информацию и декодировать кодовую последовательность является проверяемым элементом содержания в соответствии с контрольными измерительными материалами для государственной итоговой аттестации выпускников IХ и XI классов по информатике и ИКТ. В ходе изучения данной темы необходимо формировать у школьников понимание того, что методы кодирования служат для представления информации (сообщения) в форме, удобной для ее передачи с помощью технических средств связи, в том числе для уменьшения длины передаваемого сообщения и т.д. Это - отличная тема, развивающая внимание, аккуратность, комбинаторные способности, интуицию, логику.

 

Аннотация к заданию 1.

Задание по информатике для 10 класса, рассматривается в рамках изучения темы «Кодирование информации» по углубленной программе.

Методическая цель задания. Выполняя данное задание, учащиеся должны научиться не только кодировать, но и декодировать информацию, используя, в частности, условие Фано.

 

Задание 1. По каналу связи передаются сообщения, содержащие только семь букв: А, Б, К, О, Т, Р, Я. Для передачи используется двоичный код, удовлетворяющий условию Фано. Кодовые слова для некоторых букв известны: А – 101, О – 11, Я – 011. Какое наименьшее количество двоичных знаков потребуется для кодирования слова КАТОК?

 

Необходимо знать.

Кодирование – это перевод информации с одного языка на другой (запись в другой системе символов, в другом алфавите). Обычно кодированием называют перевод информации с «человеческого» языка на формальный, например, в двоичный код, а декодированием – обратный переход.

Кодирование может быть равномерное и неравномерное: при равномерном кодировании все символы кодируются кодами равной длины, а при неравномерном кодировании разные символы могут кодироваться кодами разной длины, это затрудняет декодирование.

Закодированное сообщение можно однозначно декодировать с начала, если выполняется условие Фано: никакое кодовое слово не является началом другого кодового слова.

Закодированное сообщение можно однозначно декодировать с конца, если выполняется обратное условие Фано: никакое кодовое слово не является окончанием другого кодового слова.

Условие Фано – это достаточное, но не необходимое условие однозначного декодирования.

 

Решение.

1) Это задание удобнее решать с помощью дерева: условие Фано выполняется тогда, когда все выбранные кодовые слова заканчиваются в листьях дерева.

2) Построим дерево для заданных двоичных кодов:

 

3) Продолжим развилку, соответствующую коду 0, и «повесим» на эту ветку встречающуюся дважды букву К, чтобы длина кода этой буквы была минимальной.

К

4) Для буквы Т можно выбрать код длиной 3, например 010.

5) Оставшиеся буквы Б и Р можно «повесить» на продолжении узла 100. Соответственно коды этих букв будут четырехзначными. Но так как в слове КАТОК этих букв нет, длина кодов этих слов для нас не имеет значения.

КТ

6) Таким образом, получились следующие коды для букв: К – 00, А – 101, Т – 010, О – 11.

Слово КАТОК будет закодировано следующим двоичным кодом: 001010101100, длина которого равна 12.

Рассмотренное решение является наиболее наглядным и понятным для учащихся.

Ответ: 12

 

Аналогичные задания.

1)      Для кодирования некоторой последовательности, состоящей из букв А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З, И, Й. решили использовать неравномерный двоичный код, удовлетворяющий условию Фано. Для букв А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З, И использовали соответственно кодовые слова 0011, 1011, 1111, 0110, 0001, 1100, 0010, 0111, 0000. Укажите кратчайшее возможное кодовое слово для буквы Й, при котором код будет допускать однозначное декодирование. Если таких кодов несколько, укажите код с наименьшим числовым значением.

2)      По каналу связи передаются сообщения, содержащие только семь букв: А, Б, Г, И, М, Р, Я. Для передачи используется двоичный код, удовлетворяющий условию Фано. Кодовые слова для некоторых букв известны: А – 11, Б – 101, Я – 010. Какое наименьшее количество двоичных знаков потребуется для кодирования слова ГРАММ?

3)      По каналу связи передаются сообщения, содержащие только четыре буквы: А, Б, В, Г; для передачи используется двоичный код, удовлетворяющий условию Фано. Для букв А и Б используются такие кодовые слова: А – 0; Б – 1011. Укажите сумму длин кратчайших кодовых слов для букв В и Г, при котором код будет допускать однозначное декодирование.

4)      По каналу связи передаются сообщения, содержащие только семь букв: А, Б, И, Л, О, С, Ц. Для передачи используется двоичный код, удовлетворяющий условию Фано. Кодовые слова для некоторых букв известны: Б – 00, O – 010, Л – 111. Какое наименьшее количество двоичных знаков потребуется для кодирования слова АБСЦИССА?

5)      По каналу связи передаются сообщения, содержащие только восемь букв: Х, О, Ч, У, Г, Л, Я, Т; для передачи используется двоичный код, удовлетворяющий условию Фано. Буквы Ч, У, Х, Л, Я имеют коды 10, 000, 001, 011, 110 соответственно. Укажите наименьшую суммарную длину кодовых слов для оставшихся букв.

6)      Все заглавные буквы русского алфавита закодированы неравномерным двоичным кодом, для которого выполняется условие Фано: никакое кодовое слово не совпадает с началом другого кодового слова. Известно, что слову ТРОПОТ соответствует код 001110110001001. Какой код соответствует слову ПОРТ?

7)      Для кодирования некоторой последовательности, состоящей из букв И, K, М, О, П, Р, С решили использовать неравномерный двоичный код, гарантирующий однозначное декодирование. Для букв М, И, Р использовали соответственно кодовые слова 01, 001, 11. Найдите наименьшую возможную длину кодовой последовательности для слова МИКРОСКОП.

 

Аннотация к заданию 2.

Задание по информатике для 10 класса, рассматривается в рамках изучения темы «Системы счисления» по углубленной программе.

Методическая цель заданий.

В 10 классе тема «Системы счисления» является элементом повторения, закрепления и углубления, подготовки к сдаче единого государственного экзамена (ЕГЭ) в 11 классе. Необходимость изучения темы в курсе информатики связана с тем, что числа в памяти компьютера представлены в двоичной системе счисления, а для внешнего представления содержимого памяти, адресов памяти используют шестнадцатеричную или восьмеричную системы счисления. Данная тема является смежной темой с математикой и вносит вклад в фундаментальное математическое образование школьников.

 

Задание 2. Значение арифметического выражения: 99 – 39 + 919 – 19 записали в системе счисления с основанием 3. Сколько цифр «2» содержится в этой записи?

 

Необходимо знать.

Рассмотрим вывод первой формулы, нужной для решения задания:

·    число 10N записывается как единица и N нулей:

·    число 2N в двоичной системе записывается как единица и N нулей:2

·    число 3N записывается в троичной системе как единица и N нулей:3 (1)

·    можно сделать аналогичные выводы для любой системы счисления с основанием a: число aN в системе счисления с основанием a записывается как единица и N нулей: a

Рассмотрим следующую формулу:

·    число 10N-1 записывается как N девяток:

·    число 2N-1 в двоичной системе записывается как N единиц:2

·    число 3N-1 записывается в троичной системе как N двоек:3 (2)

·    число aN-1 в системе счисления с основанием a записывается как N старших цифр этой системы счисления, то есть, цифр (a-1): a

Последняя группа формул:

·    число 10N-10M = 10M · (10N-M – 1) записывается как N-M девяток, за которыми стоят M нулей:

·     число 2N 2M  при M < N в двоичной системе записывается как N–M единиц и M нулей: 2

·    число 3N – 3M = 3M · (3N-M – 1) записывается в троичной системе как N-M двоек, за которыми стоят M нулей:3 (3)

·    число aN aM = aM · (aN-M1) записывается в системе счисления с основанием a как N-M старших цифр этой системы счисления, за которыми стоят M нулей:a

Ещё одна формула. Поскольку , получаем , откуда следует, что .

В общем виде для любой системы счисления формула будет выглядеть так: (4).

 

Решение.

1 способ.

1)   Приведём все числа к степеням тройки, учитывая, что 19=27 - 8=33 - 8:

99 – 39 + 919 – 19= (32)9 – 39 + (32)19 – (33 – 8) = 318 – 39 + 338 – 33 + 8.

2)   Перепишем выражение, располагая степени тройки в порядке убывания:

318 – 39 + 338 – 33 + 8 = 338 + 318 – 39  – 33 + 8

3)   Разложим - 39 по формуле (4): - 39 = - 310 + 39. Выражение перепишется в виде:

338 + 318 – 39 – 33 + 8 = 338 + 318 – 310 + 39 – 33 + 8

4)   Сгруппируем второе и третье, четвертое и пятое слагаемые: 338 + (318 – 310) + (39 – 33) + 8

5)   Число 338, согласно формуле (1), в троичной системе счисления будет записываться как единица и 38 нулей, «двоек» в записи числа нет

6)   Число 318 – 310, согласно формуле (3), в троичной системе счисления даст 8 «двоек» и 10 «нулей», а 39 – 33 – 6 «двоек» и 3 «нуля»

7)   Число 8=223

8)   Найдем сумму последних трёх слагаемых выражения:

22222220000000003 + 2222220003 + 223= 2222222202222220223

9)   Итак, результат, записанный в троичной системе, содержит 16 «двоек».

Ответ: 16.

2 способ.

1) Перепишем исходное выражение, разложив его по степеням тройки и расположив слагаемые в порядке убывания степеней:

338 + 318 – 39 – 19 = 338 + 318 – 39 – 27 + 8

2) В троичной записи числа 338 нет «двоек».

3) Результат выражения 318 – 39, согласно формуле (3), в троичной системе счисления будет выглядеть как девять «двоек» и девять «нулей».

4) 27 = 10003.

5) Рассмотрим разность 318 – 39 – 27 в троичной системе счисления.

2222222220000000003 – 10003 = 2222222212222220003

6) Прибавив к этому числу 8 = 223, получим 16 «двоек» в результате.

Ответ: 16.

 

Аналогичные задания

1)      Сколько единиц в двоичной записи числа 8502 – 4211 + 21536 – 19?

2)      Сколько значащих нулей в двоичной записи числа 41024 + 81025 – 21026 – 140?

3)      Значение арифметического выражения: 4912 – 710 + 78 – 49 записали в системе счисления с основанием 7. Сколько цифр «6» содержится в этой записи?

4)      Значение арифметического выражения: 274 – 95 + 38 – 25 записали в системе счисления с основанием 3. Сколько цифр «2» содержится в этой записи?

5)      Значение арифметического выражения: 97 - 310 + 321 – 9 записали в системе счисления с основанием 3. Сколько цифр «2» содержится в этой записи?

 

Аннотация к заданию 3.

Задание по информатике для 10 класса, рассматривается в рамках изучения темы «Системы счисления» по углубленной программе.

Методическая цель заданий.

В старшей школе учащиеся должны не только уметь переводить числа в десятичную систему счисления и обратно. Одним из важных умений становится перевод чисел в рамках «родственных» систем счисления: двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной.

 

Задание 3. Укажите наименьшее четырёхзначное шестнадцатеричное число, двоичная запись которого содержит ровно 6 значащих нулей.

 

Необходимо знать.

Чтобы решить это задание, нам необходимо знать следующий факт: переводить числа из двоичной системы в шестнадцатеричную и обратно можно напрямую. Так как самая большая цифра в алфавите шестнадцатеричной системы это F16=1510=11112, следовательно каждая цифра шестнадцатеричного алфавита может быть представлена в виде тетрады (группы из четырех двоичных цифр).

Алгоритм перевода шестнадцатеричного числа в двоичную систему счисления:

1. Перевести значение каждой цифры (отдельно) в двоичную систему согласно следующей таблице. Записать результат в виде тетрады, добавив, если нужно, нули в начало.

Х16

Х2

0

0000

1

0001

2

0010

3

0011

4

0100

5

0101

6

0110

7

0111

8

1000

9

1001

A

1010

B

1011

C

1100

D

1101

E

1110

F

1111

  2. Соединить тетрады в одно «длинное» двоичное число.

Алгоритм перевода двоичного числа в шестнадцатеричную систему счисления:

1. Разбить двоичное число на тетрады, начиная справа. В начало самой первой тетрады добавить слева нули, если это необходимо.

2. Перевести каждую тетраду (отдельно) в шестнадцатеричную систему счисления.

3 Соединить полученные цифры в одно «длинное» число.

 

Решение.

1) Наименьшее четырехзначное шестнадцатеричное число - 100016.

2) Переведем его в двоичную систему счисления согласно алгоритму:

100016 = 1 0000 0000 00002.

3) По условию задачи в двоичной записи числа должно быть шесть нулей, а в нашем числе – двенадцать.

4) Чтобы число оставалось наименьшим, добавим в конец числа шесть единиц, оставив ровно шесть нулей. Получится 10000001111112.

5) Переведем полученное число обратно в шестнадцатеричную систему согласно алгоритму: 1 0000 0011 11112 = 103F16

Приведенное решение единственно верное.

Ответ: 103716

 

Аннотация к заданию 4.

Задание по информатике для 10 класса, рассматривается в рамках изучения темы «Кодирование информации» по углубленной программе.

Методическая цель задания. В ходе решения задания учащиеся знакомятся с двоичным кодирование информации, а также учатся подсчитывать информационный объем сообщения.

 

Задание 4. Сотрудникам компании выдают электронную карту, на которой записаны их личный код, номер подразделения (целое число от 1 до 120) и дополнительная информация. Личный код содержит 11 символов и может включать латинские буквы (заглавные и строчные буквы различаются) и десятичные цифры. Для хранения кода используется посимвольное кодирование, все символы кодируются одинаковым минимально возможным количеством битов, для записи кода отводится минимально возможное целое число байтов. Номер подразделения кодируется отдельно и занимает минимально возможное целое число байтов. Известно, что на карте хранится всего 28 байтов данных. Сколько байтов занимает дополнительная информация?

 

Необходимо знать.

Для решения задачи учащимся необходимо знать две важных формулы:

Q NL, (1)

где N – мощность алфавита (количество символов в нем), L – информационный вес символа (длина кода для кодирования одного символа), Q – количество закодированных символов.

I = K × L, (2)

где К – количество символов в сообщении, I – информационный объем сообщения.

Перед тем, как начать решения, проанализируем текст задачи. Фраза «для хранения кода используется посимвольное кодирование, все символы кодируются одинаковым минимально возможным количеством битов…» говорит о том, что речь идет о двоичном кодировании. Следовательно, мощность используемого алфавита равна двум.

А фраза «для записи кода отводится минимально возможное целое число байтов» означает, что информационный объем личного кода из битов нужно округлить до целого числа байт.

Информация, хранящаяся на карте, разделена на три части:

        I.       Личный код

     II.       Номер подразделения

  III.       Дополнительная информация

Предлагаю разделить решение задачи на три части и находить объем каждого вида информации по отдельности.

 

Решение.

I

Дано:

N1=2

Q1=26+26+10=62

K1=11

Найти: I1

Решение:

Используя формулу (1) находим L1.

62 ≤ 2 LÞ L1=6 бит

Используя формулу (2) находим I1

I1 = 11×6 = 66 бит » 9 байт.

 

II

Дано:

N2=2

Q2=120

Найти: I2

Решение:

Используя формулу (1) находим L2.

120 ≤ 2 LÞ L2=7 бит

Т.к. номер подразделения «кодируется отдельно и занимает минимально возможное целое число байтов»,

I2 = L2 = 7 бит » 1 байт

III

Найти: I3

 

 

Т.к. весь объем информации, хранящейся на карте равен 28 байт, т.е. I = I1 + I2 + I3 =28 байт.

Найдем отсюда I3 = I - I1 - I2 = 28 – 9 – 1 = 18 (байт).

Приведенное решение является самым оптимальным.

Ответ: 18 байт.

 

Аналогичные задания

1)      При регистрации в компьютерной системе каждому пользователю выдаётся пароль, состоящий из 15 символов и содержащий только символы из 12-символьного набора: А, В, C, D, Е, F, G, H, К, L, M, N. В базе данных для хранения сведений о каждом пользователе отведено одинаковое и минимально возможное целое число байт. При этом используют посимвольное кодирование паролей, все символы кодируют одинаковым и минимально возможным количеством бит. Кроме собственно пароля, для каждого пользователя в системе хранятся дополнительные сведения, для чего отведено 12 байт на одного пользователя. Определите объём памяти (в байтах), необходимый для хранения сведений о 50 пользователях. В ответе запишите только целое число – количество байт.

2)      При регистрации в компьютерной системе каждому пользователю выдаётся пароль, состоящий из 6 символов и содержащий только символы из 7-буквенного набора Н, О, Р, С, Т, У, Х. В базе данных для хранения сведений о каждом пользователе отведено одинаковое целое число байт, при этом для хранения сведений о 100 пользователях используется 1400 байт. Для каждого пользователя хранятся пароль и дополнительные сведения. Для хранения паролей используют посимвольное кодирование, все символы кодируются одинаковым и минимально возможным количеством бит. Сколько бит отведено для хранения дополнительных сведений о каждом пользователе?

3)      При регистрации в компьютерной системе каждому пользователю выдаётся идентификатор, состоящий из 8 символов, первый и последний из которых – одна из 18 букв, а остальные – цифры (допускается использование 10 десятичных цифр). Каждый такой идентификатор в компьютерной программе записывается минимально возможным и одинаковым целым количеством байт (при этом используют посимвольное кодирование; все цифры кодируются одинаковым и минимально возможным количеством бит, все буквы также кодируются одинаковым и минимально возможным количеством бит). Определите объём памяти в байтах, отводимый этой программой для записи 500 паролей.

4)      При регистрации в компьютерной системе каждому пользователю выдаётся пароль, состоящий из 20 символов и содержащий только символы из 8-символьного набора: А, В, C, D, Е, F, G, H. В базе данных для хранения сведений о каждом пользователе отведено одинаковое минимально возможное целое число байт. При этом используют посимвольное кодирование паролей, все символы кодируют одинаковым минимально возможным количеством бит. Кроме собственно пароля для каждого пользователя в системе хранятся дополнительные сведения, для чего выделено целое число байт, одно и то же для всех пользователей. Для хранения сведений о 20 пользователях потребовалось 400 байт. Сколько байт выделено для хранения дополнительных сведений об одном пользователе? В ответе запишите только целое число – количество байт.

5)      При регистрации в компьютерной системе каждому пользователю выдаётся пароль, состоящий из 15 символов и содержащий символы из набора: А, В, C, D, Е, F, G, H, K, а также не менее 4-х специальных символов из набора $, #, @. В базе данных для хранения сведений о каждом пользователе отведено одинаковое и минимально возможное целое число байт. При этом используют посимвольное кодирование паролей, все символы кодируют одинаковым и минимально возможным количеством бит. Кроме собственно пароля, для каждого пользователя в системе хранятся дополнительные сведения, для чего отведено 15 байт на одного пользователя. Определите объём памяти (в байтах), необходимый для хранения сведений о 100 пользователях.

Аннотация к заданию 5.

 Задание по информатике для 7 класса, рассматривается в рамках изучения темы «Обработка графической информации».

Методическая цель задания. Актуальность задания состоит в том, что компьютерная графика сейчас стала основным средством связи между человеком и компьютером, постоянно расширяющим сферы своего применения, так как в графическом виде результаты становятся более наглядными и понятными. Учащиеся должны иметь представление о формировании изображения на экране монитора, уметь решать задачи, связанные с определением информационного объема изображения.

 

Задание 5. Камера делает фотоснимки размером 1024´768 пикселей. На хранение одного кадра отводится 900 Кбайт. Найдите максимально возможное количество цветов в палитре изображения.

 

Необходимо знать.

Перед тем, как начать решать задачу, используя формулы, учащимся следует объяснить принцип растрового кодирования изображения.

Представим себе, что на изображение наложена сетка, которая разбивает его на квадратики. Такая сетка называется растром. Теперь для каждого квадратика определим цвет. У нас получился так называемый растровый рисунок, состоящий из квадратиков-пикселей.

Пиксель (англ. pixel picture element, элемент рисунка) – это наименьший элемент рисунка, для которого можно независимым образом задать свой цвет.

Разбив «обычный» рисунок на квадратики, мы выполнили его дискретизацию – разделили единый объект на отдельные элементы.

Количество пикселей изображения К вычисляется как произведение ширины рисунка на высоту (в пикселях).

Каждый пиксель растрового изображения имеет определенный цвет. Для кодирования цвета пикселя используется двоичный код, длина которого называется глубиной кодирования цвета. Глубина кодирования – это количество бит, которые выделяются на хранение цвета одного пикселя.

Количество цветов в палитре N и глубина цвета i связаны между собой соотношением:

N = 2i

т.е. при глубине кодирования i битов на пиксель код каждого пикселя выбирается из 2i возможных вариантов, поэтому можно использовать не более 2i различных цветов.

И последнее, для хранения растрового изображения нужно выделить в памяти

I = K · i  (битов).

При решении задач на кодирование изображения необходимо помнить также следующие соотношения:

1 Мбайт = 220 байт = 223 бит

1 Кбайт = 210 байт = 213 бит

Решение.

Дано:

К=1024´768=210´29´1,5=1,5´219 пикселей

I=900 Кбайт=900´213 бит

 

Найти: N

 

Решение:

Из формулы I = K · i  выразим i:

i = I / K =  = = 9,375 (бит) » 9 бит

 

N = 2i  = 29 =512.

 

Ответ: 512 цветов в палитре.

 

Данное решение является единственным.

 

Аналогичные задания

1)      Какой минимальный объём памяти (в Кбайт) нужно зарезервировать, чтобы можно было сохранить любое растровое изображение размером 128 на 256 пикселов при условии, что в изображении могут использоваться 64 различных цвета? В ответе запишите только целое число, единицу измерения писать не нужно.

2)      Рисунок размером 128 на 256 пикселей занимает в памяти 24 Кбайт (без учёта сжатия). Найдите максимально возможное количество цветов в палитре изображения.

3)      После преобразования растрового 256-цветного графического файла в черно-белый формат (2 цвета) его размер уменьшился на 7 Кбайт. Каков был размер исходного файла в Кбайтах?

4)      После преобразования растрового графического файла его объем уменьшился в 1,5 раза. Сколько цветов было в палитре первоначально, если после преобразования было получено растровое изображение того же разрешения в 16-цветной палитре?

5)      Камера делает фотоснимки размером 3200´1800 пикселей. На хранение одного кадра отводится 3 Мбайт. Найдите максимально возможное количество цветов в палитре изображения.

 

Литература

1. Информатика. Углубленный уровень: учебник для 10 класса: в 2 ч./ К.Ю. Поляков, Е.А. Еремин. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2015.

2. Тутубалин Д.К., Ушаков Д.А. Компьютерная графика. Adobe Photoshop: Учеб. Пособие. – Томск, 2005.

3. Информатика: учебник для 7 класса/ Л.Л. Босова, А.Ю. Босова. – М. БИНОМ. Лаборатория знаний, 2018.

4. Материалы с сайта https://kpolyakov.spb.ru/school/ege.htm

 

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Методическая разработка "Методика решения задач по теме "Кодирование информации"""

Методические разработки к Вашему уроку:

Получите новую специальность за 2 месяца

Руководитель организации

Получите профессию

Технолог-калькулятор общественного питания

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 699 791 материал в базе

Скачать материал

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

  • Скачать материал
    • 24.10.2023 561
    • DOCX 531.9 кбайт
    • Оцените материал:
  • Настоящий материал опубликован пользователем Кошкина Юлия Егоровна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Удалить материал
  • Автор материала

    Кошкина Юлия Егоровна
    Кошкина Юлия Егоровна
    • На сайте: 5 лет и 7 месяцев
    • Подписчики: 0
    • Всего просмотров: 2141
    • Всего материалов: 2

Ваша скидка на курсы

40%
Скидка для нового слушателя. Войдите на сайт, чтобы применить скидку к любому курсу
Курсы со скидкой

Курс профессиональной переподготовки

Менеджер по туризму

Менеджер по туризму

500/1000 ч.

Подать заявку О курсе

Курс профессиональной переподготовки

Теория и методика обучения информатике в начальной школе

Учитель информатики в начальной школе

300/600 ч.

от 7900 руб. от 3950 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 101 человек из 33 регионов
  • Этот курс уже прошли 226 человек

Курс повышения квалификации

Методы и инструменты современного моделирования

72 ч. — 180 ч.

от 2200 руб. от 1100 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 42 человека из 22 регионов
  • Этот курс уже прошли 71 человек

Курс профессиональной переподготовки

Информатика: теория и методика преподавания с применением дистанционных технологий

Учитель информатики

300 ч. — 1200 ч.

от 7900 руб. от 3950 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 22 человека из 13 регионов
  • Этот курс уже прошли 19 человек

Мини-курс

Техническое обслуживание и диагностика сельскохозяйственной техники

5 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Фитнес: теория и практика

5 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 26 человек из 16 регионов
  • Этот курс уже прошли 20 человек

Мини-курс

Психология личности

5 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 36 человек из 23 регионов