Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Методическая разработка "Многоуровневая система задач по теме "Треугольник"
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Педагогическая деятельность в соответствии с новым ФГОС требует от учителя наличия системы специальных знаний в области анатомии, физиологии, специальной психологии, дефектологии и социальной работы.

Только сейчас Вы можете пройти дистанционное обучение прямо на сайте "Инфоурок" со скидкой 40% по курсу повышения квалификации "Организация работы с обучающимися с ограниченными возможностями здоровья (ОВЗ)" (72 часа). По окончании курса Вы получите печатное удостоверение о повышении квалификации установленного образца (доставка удостоверения бесплатна).

Автор курса: Логинова Наталья Геннадьевна, кандидат педагогических наук, учитель высшей категории. Начало обучения новой группы: 27 сентября.

Подать заявку на этот курс    Смотреть список всех 216 курсов со скидкой 40%

Методическая разработка "Многоуровневая система задач по теме "Треугольник"

библиотека
материалов

hello_html_2a705035.gifhello_html_m39672cbe.gifhello_html_m89e9d0c.gifhello_html_m58579e33.gifhello_html_6cd3d4a.gifhello_html_m4f29cd87.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m5a966051.gifhello_html_m2d8857c9.gifhello_html_m75f797dd.gifhello_html_2438e0b2.gifhello_html_7ee86224.gifhello_html_m20419abd.gifhello_html_4d50c9b1.gifhello_html_m75e361b7.gifМногоуровневая система задач по теме «Треугольник»

В методике обучения математике выработаны представления о системе учебных задач, создано необходимое учебно-методическое обеспечение школьных курсов, имеется совокупность разноуровневых задач, позволяющих достигать заданные образовательные цели. Предметная учебная задача возникла как особая форма передачи социального опыта, накопленного человечеством, позволяющая передавать знания в их деятельностном виде. Известные факты и способы деятельности в учебной задаче скрыты, свернуты; чтобы стать обладателем этих знаний, ученик должен заново их распредметить в собственной деятельности. Поэтому предметная учебная задача есть также средство передачи социального опыта. Ее основные функции - реконструировать и перевести известные формы уже имеющегося опыта в процесс познавательной активности учащихся и содержание их умственной деятельности, стать средством развития. Иными словами, сущностью учебной деятельности является деятельность по присвоению обобщенных способов действий на основе решения специально поставленных учебных задач. Поэтому обучение математике через решение целесообразно подобранных задач, которое естественно назвать задачным подходом, - наиболее естественная реализация системно деятельностного подхода в обучении. Любая учебно-математическая задача является предметной (математической) задачей. В то же время с помощью нее в обучении достигаются определенные дидактические цели. Одна и та же предметная задача позволяет решать разные дидактические задачи, и, наоборот, одну и ту же дидактическую задачу можно решить с помощью разных предметных задач. Любая система учебных задач курса является большой открытой многоуровневой системой, которая зависит от целей и задач обучения, конкретных методических подходов и субъективных воззрений. При построении системы задач могут применяться различные системообразующие основания и критерии. Однако каждая система учебных задач должна характеризуется следующими основными инвариантными признаками:

а) целостность, т.е. наличие явных и латентных горизонтальных и вертикальных интегрирующих предметно-содержательных и дидактических связей;

б) дидактическая полнота (функциональная достаточность), позволяющая реализовать стимулирующую, обучающую, развивающую, воспитывающую, прагматическая, контролирующую, оценочную, прогностическую и коммуникационную функции учебных задач;

в) предметно-содержательная полнота относительно требований к нормативным уровням обученности по завершению учебного курса, выраженная в наличии задач разных уровней сложности и трудности;

Решение учебной задачи направлено на усвоение школьниками обобщенных способов предметных действий и служит основой изменения субъекта учебной деятельности. Поэтому выбор предметной учебной ситуации в качестве единицы содержания образования на уровне учебного материала позволяет провести четкую грань между понятиями «единица» и «элемент». Задачная ситуация является носителем как предметно-содержательной, так и процессуальной сторон обучения. Ситуация, возникающая при решении предметной учебной задачи, как единица содержания образования является подсистемой соответствующей предметной методической системы обучения, в то время как элемент характеризует эту систему только со стороны ее состава. Последовательности целесообразно подобранных задач, т.е. задачный подход, позволяют естественным образом моделировать учебные ситуации, в которых могут быть реализованы заданные цели обучения математике. Отсюда делается вывод о том, что системообразующим принципом системы учебных задач курса может стать принцип единства деятельности и процессуальной сторон обучения.

Система ключевых задач темы, являясь подсистемой системы задач всего курса, служит своеобразным остовом, на котором при задачном подходе строится изучение темы. Ключевые задачи разных уровней позволяют дифференцировать по уровням всю совокупность системы задач темы, т.е. эти задачи являются базисными элементами системы, их последовательное развертывание на одном уровне актуализирует наиболее важные горизонтальные связи понятий, теорем; а переход на следующий уровень объективирует вертикальные связи.

В основе методики обучения на базе разработанной многоуровневой системы задач лежит поэтапное освоение блоков ее матрицы. Основная особенность этой методики заключается в том, что на каждом уровне, т.е. при освоении соответствующего столбца матрицы, учащийся всякий раз сталкивается со всеми тремя видами учебных ситуаций, возникающих при решении задач. Благодаря этому осуществляется движение в предметно-содержательном и процессуально-деятельностном направлениях.

Ведущим элементом методики является работа с ключевыми задачами. Эта работа выстраивается на постепенном переходе от совместных форм деятельности к индивидуальным.

Введение новых понятий и теоретических фактов предваряется созданием проблемных учебных ситуаций, которые адекватно отражают и раскрывают содержание формируемого понятия (теоремы). Это позволяет представить новый теоретический материал в виде задачи или серии задач, которые нужно решить, для того чтобы справиться с проблемной ситуацией. Иными словами, изучаемый теоретический факт предстает перед учащимися в виде ключевых задач. Такой подход естественно и наиболее полно отражает сущность математической (и, вообще, познавательной) деятельности.

Другим основополагающим элементом является работа с ключевыми задачами. Эта работа выстраивается на постепенном переходе от совместных форм деятельности к индивидуальным. На начальных этапах изучения курса предпочтение отдается фронтальному разбору отдельных ключевых задач. На следующей стадии разбор отдельных задач сменяют уроки решения ключевых задач темы. На заключительных этапах изучения курса учащиеся выполняют групповые и индивидуальные проекты по самостоятельному решению и составлению целесообразной последовательности ключевых задач темы.

В основе методики обучения на базе разработанной многоуровневой системы задач лежит поэтапное освоение блоков ее матрицы. Основная особенность этой методики заключается в том, что на каждом уровне, т.е. при освоении соответствующего столбца матрицы, учащийся всякий раз сталкивается со всеми тремя видами учебных ситуаций (знакомая, модифицированная и незнакомая задача), возникающих при решении задач.

Овладев на первом этапе(ЗЗ- знакомые задачи) приемами решения задач, с очевидностью сводящихся к ключевым, ученик завершает этап чисто репродуктивной деятельности. Теперь перед ним простирается множество задач, для решения которых мало знания стандартного (алгоритма в; стандартной .ситуации; необходимо научиться приспосабливать алгоритм или видоизменять задачную ситуацию к знакомой, для этого требуются анализ, синтез, обобщение и аналогия. Это многообразие задач, полученных путем модифицирования в направлении изменения алгоритма, технической сложности или формы представления условия задачи- модифицированные задачи (МЗ). Такие задачи лежат в зоне ближайшего математического развития ученика, т.е. это задачи, которые он теперь сможет решить самостоятельно или с некоторой дозой помощи учителя.

Наконец, третий уровень задач (НЗ- незнакомые задачи) предполагает исследовательскую деятельность ученика, самостоятельный перенос приема на неизвестную ситуацию, модернизацию (в случае необходимости) приема. Применение уровневых заданий при обучении в настоящее время весьма актуально, поскольку не все учащиеся имеют одинаковый интерес к изучаемому предмету, у них разные способности, а значит, не каждый может проявить собственное «Я» на том или ином уроке. Такой подход помогает ученикам создать для себя на уроке ситуацию успеха, благодаря личностному выбору. Кроме того, он позволяет выявить не только конкретные знания по теме, но и проверить их усвоение в комплексе, прогнозировать результаты обучения, создаёт возможность для творческого усвоения знаний, являясь побудительным мотивом к дальнейшему росту и самосовершенствованию. Уровневые задания могут быть с успехом могут быть использованы при: изучении нового материала; контроле усвоения, знаний, умений и навыков; проверке знаний.

Многоуровневая система задач для каждой темы курса формируется с помощью ее матричного представления, путем выделения ранжированного перечня базовых элементов содержания образования и соответствующих им базовых задач, – с одной стороны, и уровней обученности, отражающих умения решать знакомые, модифицированные и незнакомые задачи, – с другой. Подобную матричную модель удобно представить с помощью таблицы 1.

Матричная модель системы задач

Таблица 1



Предметно-содержательные уровни (определение уровней ключевых задач)



I

II

N

Базовый уровень

I знакомая





II модифицированная





III незнакомая





Углубленный уровень (ученик получит возможность научиться)

I знакомая





II модифицированная





III незнакомая






Такая матрица системы задач темы содержит 3 строки, соответствующие трем типам учебных ситуаций, возникающих при решении задач, и N столбцов, отражающих количество базовых задач темы.

Вопрос дифференцированного обучения учащихся всегда была актуален для учителя. Дифференциация бывает внешняя, определяемая нормативными документами, делится на два уровня ( для базовых школ и школ с углубленным изучением математики) и внутренняя, делящаяся на три уровня

- умение решать задачи по образцу

- умение решать модифицированные задачи

- умение решать незнакомые задачи.

Многоуровневые задачи создают реальные условия для совместного обучения учеников с разными учебными возможностями, позволяют ученику строить свою образовательную траекторию в соответствии с уровнем приобретённых знаний, а учителю сформировать и оценить знания учащихся, и помочь выбрать им оптимальные пути достижения поставленной цели. Кроме того, они усиливают основные функции математических задач, эффективно сочетая в процессе решения все организационные формы работы учащихся. Их можно использовать на уроках различных типов, кроме того, ученики могут предварительно оценить результат своей работы, так как ученик сам выбирает уровень задачи.

















ТРЕУГОЛЬНИК: БАЗОВЫЕ ЗАДАЧИ.

В данном разделе принимаются следующие обозначения:

  • A, B, C- вершины и соответственно внутренние углы треугольника ABC;

  • a, b, c – стороны, соответственно противолежащие углам A, B, C;

  • P,2p – периметр;

  • ha, hb, hc– длины высот, проведенных к сторонам a, b, c;

  • ma, mb, mc– длины медиан;

  • la, lb, lc–длины биссектрис внутренних углов A, B, C;

  • la*, lb*, lc* - длины биссектрис внешних углов A, B, C;

  • S-площадь треугольника

  • R-радиус описанной окружности

  • r – радиус вписанной окружности

  • ra– радиус вневписанной окружности , касающейся стороны a.

C

C



H1


H3

H2

B

A

M3

M2

A

B

M1






В треугольнике ABCAB=c. BC=a, AC=b. Вычислите:



a

b

c

l


12

25

36

lc-?

l*c-?




ЗАДАЧА №1hello_html_m2feebbc0.png

Дано: ABC – треугольник, hello_html_m17b9d294.gif

Найти: SABC.

РЕШЕНИЕ:



По формуле Герона имеем

hello_html_66752630.gif

hello_html_3521f9c6.gif

hello_html_3a3d3078.gif

hello_html_m7742b318.gif

ЗАДАЧА №2hello_html_m2feebbc0.png

Дано: ABC – треугольник, hello_html_m17b9d294.gif

Найти:hello_html_111a6e3b.gif

РЕШЕНИЕ:


  1. Используем теорему косинусов:hello_html_2ed5a029.gif

Теорема косинусов может быть использована для нахождения косинуса угла треугольника

\cos{\alpha} = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}

Подставляя значения сторон, получим

hello_html_m459dac72.gif

Итак, hello_html_7107ea6f.gif.

  1. Чтобы найти синус угла В, найдем сначала косинус угла В из формулы теоремы косинусов

hello_html_m307bdcda.gif,

а затем выразим синус углаhello_html_25b194eb.gif из основного тригонометрического тождества

hello_html_m191de4fe.gif, учитывая, что hello_html_m6865ed16.gif

hello_html_m2a1dfa3a.gif

Итак,

hello_html_19e2b5da.gif =hello_html_75c8f931.gif

  1. Найдем косинус угла С по теореме косинусов:

hello_html_m1ae5b106.gif

Воспользуемся формулой половинного аргумента

hello_html_3dc53ea4.gifолучим:

hello_html_9723f48.gifедовательно,

hello_html_148e385d.gif.

Ответ:hello_html_md53d8f8.gif


ЗАДАЧА №3

images.jpg

Дано: hello_html_37ac7690.gif

hello_html_m4e7ce1cf.gif

Найти: r.

Решение:

hello_html_fa6d599.gif

hello_html_6cf08e10.gif(формула Герона)

hello_html_m521ce937.gif

hello_html_m63ac4fa9.gif

hello_html_m2ae05033.gif

hello_html_1919b91f.gif


ЗАДАЧА №4



27892-1.jpg




Дано: hello_html_37ac7690.gif

hello_html_m4e7ce1cf.gif

Найти: R.

Решение:

hello_html_m5f38b57.gif

hello_html_fa6d599.gif

hello_html_6cf08e10.gif(формула Герона)

hello_html_m521ce937.gif

hello_html_m63ac4fa9.gif

hello_html_m4e855ece.gif

hello_html_3aeab01d.gif

ЗАДАЧА №5

Найти медиану треугольника hello_html_m31add75c.gif, проведенную к стороне ВС.

Выведем формулу медианы треугольника.

Запишем теорему косинусов для стороны AB =c треугольника ABC

hello_html_618de418.gif

Выразив cosC, получаем hello_html_m70ca08b6.gif

Рассмотрим треугольник AM1 C. Запишем теорему косинусов для стороны AM1=ma

hello_html_m6b5699f5.gif

Подставим выражение для CosC в формулу ma.

hello_html_8a68188.gif

Итак, имеем hello_html_36534b08.gif.

Подставим данные задачи в полученную формулу:

hello_html_mad01084.gif

Ответ:hello_html_m5d87f13c.gif

ЗАДАЧА №6

Найти длину биссектрисы, указанной в индивидуальном варианте (lc - ?)hello_html_m582f70ba.gif





1 способ из условия второй задачи следует, чтоhello_html_m651ae101.gif

найдем длину биссектрисы через две стороны и угол :

hello_html_13483db5.gif


hello_html_m7ef9fe1f.gif


hello_html_4b0d845f.gif


2 способ Найдем длину биссектрисы через полупериметр и стороны :

hello_html_29c7439b.gif


hello_html_m4dc79a30.gif




hello_html_m5d01511c.gif


hello_html_4b0d845f.gif


3 способНайдем длину биссектрисы через три стороны:



hello_html_bf4fcb4.gif


hello_html_24b3066a.gif


Ответ:hello_html_m7b55cf36.gifhello_html_4b0d845f.gif



ЗАДАЧА №7


А

С

В

Н3




  1. Запишем формулу для вычисления треугольника: hello_html_35b25609.gif

  2. Из этой формулы выражаем hello_html_7fe1df72.gif

  3. hello_html_2652410a.gif(по условию), надо найти площадь.

  4. Площадь находим по формуле Герона:

hello_html_m3432754.gif

где a, b, c– длины сторон, а p- полупериметр.
Полупериметр – это сумма длин всех сторон поделенная на два.

hello_html_4b481b12.gif

5. Вычисляем площадьhello_html_m7d164d11.gif:

hello_html_3a315194.gif

hello_html_3b270833.gif

hello_html_m1ddb32c2.gif

6.Находим высотуhello_html_7eaa787d.gif

hello_html_m3ceaaf9c.gif

Ответ:hello_html_m66f8e197.gifЗАДАЧА №8hello_html_394a5b68.png

В треугольнике со сторонами a, b иc найти радиус вневписанной окружности, касающейся стороны a.

Дано: АВС, АВ = с, АС = b, BC = a;

О – центр вневписанной окружности.

Найти: ra.

Решение: ОВВ1 = ОВА1 как прямоугольные по катету и гипотенузе. Следовательно, ВВ1 = ВА1.

Аналогично, СА1 = СС1.

АВ1 = АС1 как отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки.

Кроме того, АВ1 = АС1 = р = ½(а + b + с) и ОА1=ОВ1=ОС1= ra как радиусы.

Выразим площадь четырёхугольника AB1OC1 двумя способами, чтобы получить уравнение.

hello_html_5f97f8f1.gif+ hello_html_m25346223.gif

hello_html_51cad08.gif

hello_html_m2773b7c3.gif

hello_html_2146de9.gif

hello_html_1cc3744b.gif

hello_html_m7f0740d.gif

hello_html_cafc9a0.gif.

Применив формулу Герона, получим формулу hello_html_1a04b60e.gif.

Пусть a=12, b=25, c=36, тогда р=½(12+25+36)=36,5.

hello_html_m1791a2ff.gif.

Ответ:hello_html_316c7b4f.gif











ЗАДАЧА 9.

В треугольнике АВСАВ=с, ВС=a, АС=в. Мiоснования медиан.Докажите, чтоhello_html_m4c6b0a3a.gif. Вычислите площадьhello_html_10e993b6.gif, еслиа=12, в=25, с=36.hello_html_m43385f16.png

Дано: ∆АВС, АВ=с, ВС=a, АС=в,

Мi –основания медиан, а=12, в=25, с=36.



Найти: hello_html_10e993b6.gif.



Решение:

Т.к.Мi –основания медиан, то данные точки являются серединами сторон ∆АВС. hello_html_5d2a8513.gif.

Выразим hello_html_10e993b6.gif, используя формулу Герона площадь hello_html_7296fe7e.gifhello_html_m797fa6a8.gifhello_html_m58436b51.gifhello_html_286beca3.gif

hello_html_m5c7bddc4.gif.

hello_html_fb19ca2.gif

hello_html_m7b672383.gifhello_html_47000a36.gifhello_html_1403e02e.gifhello_html_mcce3c1d.gif

Ответ: hello_html_m7b672383.gifhello_html_683f059d.gif

Ответ:hello_html_e47061f.gif.

ЗАДАЧА №10

А

В

С

М2

М1

М3


Дано:

АВС,

АМ1, ВМ2, СМ3медианы,

АВ = 36,

ВС = 12,

АС = 25.

Найти:PМ1М2М3.

Решение:

АМ1, ВМ2 – медианы М1 и М2 – середины сторон ВС и АСМ1М2 – средняя линия АВС. По свойству средней линии треугольника:

М1М2 || АВ и М1М2 = ½ АВ.

Аналогично:

М2М3 || ВС и М2М3 = ½ ВС,

М1М3 || АС и М1М3 = ½ АС.

hello_html_m58b21726.gif

hello_html_m34f23f3e.gif.

Ответ:hello_html_m6410f30f.gif

C

A

B

L1

L3

L2

hello_html_12ddcfb5.gif

hello_html_3b3da60d.gif

hello_html_m76e118ce.gif

hello_html_663c3e42.gif

hello_html_1578764e.gif

hello_html_59f87f24.gif

ЗАДАЧА №11

.

Дано: а=12,в=25,с=36

Вычислить площадь треугольника L1L2L3, образованного основаниями биссектрис

Решение:

Для того, чтобы найти искомую площадь используем свойство площадей фигур:

hello_html_m7cac340c.gif

hello_html_m59575256.gif

Биссектриса любого внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника. (Свойство биссектрисы)

Следовательно, требуется разделить стороны требуемого треугольника на пропорциональные отрезки:

hello_html_3e9b10b7.gif

Используя ранее вычисленные значения функции cos для углов треугольника, найдем значения функции sin. (Основное тригонометрическое тождество)

hello_html_58696e62.gif

hello_html_1c3961b6.gif


Ответ:

В

А

C

L1

L2

L3

ЗАДАЧА №12

Дано:

ABChello_html_ma19d3a7.png

AL2, BL1, CL3 – биссектрисы

cosA =hello_html_6f378561.gif ; cosB =hello_html_m29f0929b.gif; данные из п.2

cosC =hello_html_91d9d7a.gif

AL1=hello_html_m7cb7b17f.gif; AL3=hello_html_m2b12c246.gif;

BL2=hello_html_m50fdd767.gif; BL3=hello_html_74da8495.gif; данные из п.11

CL1=hello_html_2590f12c.gif; CL2=hello_html_458e4a36.gif

Найти: РL1L2L3 – ?

Решение:

РL1L2L3=L1L2+L2L3+L1L3

По теореме косинусов определим длины сторон ∆L1L2L3

1. L1L22 = CL12+ CL22 - 2 CL1 CL2 cos C

L1L2= hello_html_1dd2a64f.gif=hello_html_m5e538cca.gif= hello_html_m6590d224.gif

2.L1L32 = АL12+ АL32 - 2 АL1АL3 cos В

L1L3= hello_html_2023a38b.gif=hello_html_41ab4833.gif= hello_html_37763b44.gif

3.L2L32 = ВL22+ ВL32 - 2 ВL2ВL3 cos А

L1L3= hello_html_56996607.gif=hello_html_m79c91f73.gif= hello_html_m7c18e1f9.gif

4. РL1L2L3=L1L2+L2L3+L1L3

~

~

~

РL1L2L3 = hello_html_m6590d224.gif + hello_html_37763b44.gif + hello_html_m7c18e1f9.gif 46

~

Ответ: РL1L2L3 46

ЗАДАЧА №13

По теореме Эйлера hello_html_782005b4.gif

Ответ:hello_html_m66715159.gif

ЗАДАЧА №14

Расстояние между центрами вписанной и вневписанной окружности.hello_html_m7824594e.png

Дано: вписанная окружность с центром в точке О, вневписанная окружность с центром О1.

АВ=с=36, ВС= а=12, АС=b=25.

Найти:Расстояние между центрами вписанной и вневписанной окружности.

Решение:

Вневписанной окружностью треугольника называется окружность, касающаяся одной из его сторон и продолжений двух других.

1) Повторим теорему, озвученную ранее, что центр вневписанной окружности, лежит на продолжении биссектрисы соответствующего угла треугольника. Рассмотрим вневписанную окружность с центром в точке О1, Пусть она касается стороны ВС треугольника АВС. ОО1 ∩ СВ = А1

Следовательно, нам нужно найти длину отрезка ОО1, где ОО1= ОА11О1.

Данные отрезки можно найти из прямоугольных треугольников hello_html_m7182d18d.gifОМА1 и hello_html_m7182d18d.gifО1NА1, где ОМ | ВС и O1N | BC по свойству касательной к окружности.

hello_html_74b1030.gif

Радиус вписанной окружности вычисляется по формуле r = hello_html_72b51c7e.gif.

По формуле Герона найдем площадь hello_html_m7182d18d.gifАВС

hello_html_m24f0fdce.gif,

где полупериметр р =hello_html_m40a93c26.gif.

Sтр = hello_html_5e63450b.gif.

Радиус вневписанной окружности равен r = hello_html_m64f89afb.gif

ОМ = r

2) Для нахождения радиуса вневписанной окружности воспользуемся формулой, выведенной при решении задачи № 8:O1N = ra

hello_html_m523f31a2.gif

Легко доказать, что hello_html_4a45a38f.gifОМА1 и hello_html_m7182d18d.gifОN1А1 подобны по двум углам. hello_html_m2f362687.gif как накрест лежащие при двух параллельных прямых и секущей ОО1.

Если hello_html_m7182d18d.gifОМА1hello_html_m7182d18d.gifОN1А1, то k =hello_html_237d95b3.gifhello_html_72aee3a4.gif : hello_html_m193eb288.gif= hello_html_784564ff.gif.

3)Найдем длины отрезков, на которые делятся стороны треугольника АВС точками касания вписанной в него окружности. (см. рисунок).hello_html_m3d2382de.png

Если M, P и Т – точки касания, то, обозначив СM через х и, воспользовавшись свойством отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки, получим: СP = x = CN

AР = AT= b – xBM = BT = a – x.   Но AT +BT = c.

Отсюда (b – х) +(a – x) = c, поэтому hello_html_m26eae53b.gif .

Таким образом, CP = CM = p – c. 

Аналогично выражаем: АР = АТ = р – а, ВМ = ВТ = р – b.

Значит CM = p – c = hello_html_3e2fcfa1.gif и ВМ = р – b =hello_html_m7df5f622.gif

4) Найти длины отрезков, на которые делится сторона треугольника точкой касания вневписанной окружности.

Рассмотрим треугольники hello_html_m7182d18d.gifМОС ∞ hello_html_m7182d18d.gifNСО1, они подобные по двум углам:

hello_html_32897cbc.gifи hello_html_m7d1e03a8.gif. Следовательно: hello_html_11a72627.gif,

Преобразуя, получим CN = pb = hello_html_m7df5f622.gif.

Следовательно, MN = 11.hello_html_2ee00c6.png


Значит МА1 + АN1 = 11.


5) Рассмотрим прямоугольные подобные треугольники ∆ ОМА1 и ∆ О1NA1,

Запишем отношение отрезков, зная коэффициент подобия: hello_html_50e9cb62.gif

Пусть МА1 = у, тогда АN1 = 11 – у., имеем: hello_html_11561fd2.gif,

Составим уравнение: 73у = 49∙11 – 49у,

122у = 49∙11,

hello_html_136c9cac.gif, значитМА1 = hello_html_m773fbbac.gif,


Тогда АN1= 11 – у =hello_html_683c48b.gif

6) Из прямоугольного ОМА1 по теореме Пифагора найдем ОА1.

ОА1=hello_html_m4810289c.gif

7)Из hello_html_18f5c981.gifО1NА1 найдем гипотенузу по теореме Пифагора

О1А1=hello_html_3d66fced.gif

8) Найдем расстояние между центрами вписанной и вневписанной окружности, т.е. сумму радиусов вписанной и вневписанной окружностей:

ОО1 = ОА1 1О1hello_html_m20214e9e.gifhello_html_m1032de4a.gifhello_html_3bf87b6c.gif.

Ответ: ОО1hello_html_3bf87b6c.gif.

ЗАДАЧА №15

В треугольнике ABCAB = 36, BC = 12, AC = 25. Вычислите hello_html_75dd7cbc.png,

где Hi – основания высот.

Дано:

hello_html_75573fd8.pngABC

AH1, BH2, CH3 – высоты

AB = 36

BC = 12

AC = 25

Вычислите:

hello_html_75dd7cbc.png- ?

Решение:

Для остроугольного треугольника используется следующее решение:


hello_html_3bdf6988.gif

hello_html_m7a4e13c5.gif





hello_html_76d2f85c.gif

hello_html_67330f50.gif

  1. Вычисляем полупериметр p = hello_html_m55eff4d3.pngи по формуле Герона находим hello_html_m1bd461f2.png:

hello_html_m6d5d0d4d.png= hello_html_6f9c6056.png = hello_html_m6d6b4dbf.png = hello_html_213567f2.png

  1. Докажем, что coshello_html_m41d194.pngC = kc:

hello_html_75573fd8.pngAH1Chello_html_288f03f4.pnghello_html_75573fd8.pngBH2C (по двум углам)

hello_html_m41d194.pngC – общий, hello_html_m1396cc12.pngCH2B = hello_html_m41d194.pngAH1C = 900, тогда hello_html_m2004136f.png , значит hello_html_75573fd8.pngABChello_html_288f03f4.pnghello_html_75573fd8.pngH1H2C (по второму признаку подобия треугольников).

Т.к. hello_html_m6fe4eb02.pngcoshello_html_m41d194.pngC ( из hello_html_75573fd8.pngАH1C ) или hello_html_m7461783.pngcoshello_html_m41d194.pngC ( из hello_html_75573fd8.pngBH2C ), то coshello_html_m41d194.pngC = kc.

Аналогично: coshello_html_m41d194.pngA = ka

coshello_html_m41d194.pngB = kb

Используя данное доказательство и hello_html_ba28241.png находим:

hello_html_72036200.png

hello_html_768c3a9c.png

hello_html_414527df.png

hello_html_55559839.png

В конкретном случае из решения задачи №2 имеем:

coshello_html_m41d194.pngA = hello_html_7bdeec70.png

coshello_html_m41d194.pngB = hello_html_181f177.png

coshello_html_m41d194.pngC = hello_html_109780fa.png, тогда hello_html_m41d194.pngC- тупой, поэтому для тупоугольного треугольника данная задача становится исследовательской.


ЗАДАЧА №16

Дано:hello_html_47264b7d.gifВС, АВ=36, ВС=12, АС=25


С

Нhello_html_e279454.gif

Нhello_html_3ce7dcf0.gif



А В

Нhello_html_m47ede79.gif

Найти Рhello_html_2c130e62.gifhello_html_m406f86d7.gif, где Нhello_html_e279454.gif, Нhello_html_3ce7dcf0.gif, Нhello_html_m47ede79.gifоснования высот.

Решение: Рhello_html_2c130e62.gifhello_html_m406f86d7.gif= Нhello_html_e279454.gif Нhello_html_3ce7dcf0.gif+ Нhello_html_3ce7dcf0.gifНhello_html_m47ede79.gif+ Нhello_html_e279454.gifНhello_html_m47ede79.gif.

Прямоугольные треугольники А Нhello_html_e279454.gifВ и СНhello_html_m47ede79.gifВ подобны по двум углам (угол В – общий, углы А Нhello_html_e279454.gifВ и СНhello_html_m47ede79.gifВ прямые).

Значит, hello_html_1749f43d.gif или Нhello_html_e279454.gifВhello_html_m1efcba61.gifАВ=Нhello_html_m47ede79.gifВhello_html_m1efcba61.gifСВ.

Следовательно, треугольники Нhello_html_e279454.gif ВНhello_html_m47ede79.gif и АВС подобны (по второму признаку) с коэффициентом подобия hello_html_b74f356.gif.

Аналогично, треугольники Нhello_html_e279454.gif Нhello_html_3ce7dcf0.gifС и АВС подобны с коэффициентом подобия hello_html_m26226be3.gif и треугольники А Нhello_html_3ce7dcf0.gifНhello_html_m47ede79.gif и АВС подобны с коэффициентом подобия hello_html_5ad37015.gif.

Значит, hello_html_58496d26.gifhello_html_m23785cf1.gif Нhello_html_e279454.gifНhello_html_3ce7dcf0.gif=АВhello_html_m26226be3.gif;

hello_html_m2ce6d9f9.gifhello_html_m23785cf1.gifНhello_html_3ce7dcf0.gifНhello_html_m47ede79.gif=ВСhello_html_5ad37015.gif;

hello_html_76d9d2ad.gifhello_html_m23785cf1.gifНhello_html_e279454.gifНhello_html_m47ede79.gif=АСhello_html_b74f356.gif.

Найдем косинусы углов треугольника АВС по теореме косинусов.

hello_html_5ad37015.gif=hello_html_5393abfc.gif; hello_html_b74f356.gif=hello_html_1c730a08.gif; hello_html_m26226be3.gif=hello_html_m1ae3027e.gif.

Тогда Нhello_html_e279454.gifНhello_html_3ce7dcf0.gif=hello_html_m1ae3027e.gifhello_html_m7b6aac5d.gif36=31,62; Нhello_html_3ce7dcf0.gifНhello_html_m47ede79.gif=hello_html_5393abfc.gifhello_html_m7b6aac5d.gif12=11hello_html_m5703c714.gifhello_html_332f2a73.gif11,85;

Нhello_html_e279454.gifНhello_html_m47ede79.gif=hello_html_1c730a08.gifhello_html_m7b6aac5d.gif25=23hello_html_71ce28a4.gifhello_html_332f2a73.gif23,58.

Рhello_html_2c130e62.gifhello_html_m406f86d7.gif= Нhello_html_e279454.gif Нhello_html_3ce7dcf0.gif+ Нhello_html_3ce7dcf0.gifНhello_html_m47ede79.gif+ Нhello_html_e279454.gifНhello_html_m47ede79.gif

Рhello_html_2c130e62.gifhello_html_m406f86d7.gif=66,69.

Ответ: 66,6

ЗАДАЧА №17

В треугольнике АВС точки К1, К2, К3 точки касания сторон треугольника ВС, АС, АВ соответственно. Найти SK1K2K3, если ВС=а=12, АС=b=25, AB=c=36.


Дано:hello_html_m6739bbdb.png

АВС

ВС=а=12

АС=b=25

AB=c=36

Найти:

SK1K2K3

Решение:

  1. Точка О – точка пересечения биссектрис, значит это центр вписанной окружности в АВС.

  2. ОК1=ОК2=ОК3=r – радиусы вписанной окружности в АВС.

  3. ВК1=ВК3; АК2=АК3; СК1=СК2 - как отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности.

  4. Найдем ВК3.

hello_html_55bbad28.gif

hello_html_m11509bfb.gif

hello_html_33f1d799.gif

hello_html_145dd4eb.gif

hello_html_m736f1a0d.gif

hello_html_m1a77ac7f.gif

hello_html_m498aaa21.gif

hello_html_2aef998f.gif

  1. hello_html_579a5fe5.gif

  2. hello_html_14c94120.gif

  • hello_html_m715a6231.gif

  • hello_html_4869861d.gif

  • hello_html_6639f343.gif

  • hello_html_1035f75.gif

hello_html_46ed97fb.gif

  1. hello_html_485153b9.gif

  1. hello_html_5040ed81.gif

hello_html_m49bc423a.gif

hello_html_m1973df0b.gif

hello_html_m5c6cdb31.gif

  1. Используя основное тригонометрическое тождество, найдем sinA, sinB, sinC.

sinA = hello_html_6aec52ad.gif = hello_html_m4f4d0d7c.gif = hello_html_m4dc9dd35.gif = hello_html_m5855f75b.gif = hello_html_3ca56618.gif.

sinB = hello_html_mf307661.gif = hello_html_1cc82e2b.gif = hello_html_618f2f78.gif = hello_html_3aac774f.gif = hello_html_6bd2e373.gif.

sinC = hello_html_64d08457.gif = hello_html_3d266231.gif = hello_html_1d5e1988.gif = hello_html_mf28f5b7.gif .

  1. hello_html_m32b952c0.gif

hello_html_d578e6c.gif

hello_html_2bfa50e7.gif

hello_html_65c907e.gif

hello_html_m26d063eb.gif

  1. hello_html_38083fa1.gif

hello_html_22a8883b.gif

  1. hello_html_m6ead5722.gif

hello_html_154735a6.gif

hello_html_38feb0a6.gif

  1. hello_html_63ceae8b.gif

hello_html_6537968b.gif

hello_html_m3677ec3b.gif


hello_html_m34a8855b.gif



ЗАДАЧА №18

Дано: hello_html_63ed3227.gifhello_html_m262811c8.png

hello_html_m48a8a42.gif

Найти: hello_html_4f3f4ef0.gif, где hello_html_m25a65c5c.gifточки касания вписанной окружности.

Решение:

  1. Находим радиус вписанной окружности:

hello_html_fa6d599.gif

hello_html_6cf08e10.gif(формула Герона)

hello_html_m521ce937.gif

hello_html_m63ac4fa9.gif

hello_html_m2ae05033.gif

  1. Определяем вид и находим косинус hello_html_1eb2a340.gif. Для этогоиспользуем теорему косинусов:

hello_html_m3056a0aa.gif

hello_html_328408fc.gif

hello_html_4ca61bdd.gif

hello_html_m7ab084df.gif( hello_html_m73a5eabc.gif

  1. Находим косину hello_html_5eba6a7f.gifДля этого используем теорему косинусов.

hello_html_m7e224a7b.gif

hello_html_10696c8d.gif

hello_html_44abd472.gif

  1. Находим косину hello_html_m18a74ea.gifДля этого используем теорему косинусов.

hello_html_2569543a.gif

hello_html_6ede4b51.gif

hello_html_63664da9.gif

hello_html_m3977607b.gif

  1. Рассмотрим hello_html_73e536de.gif Найдем hello_html_3af05841.gif, для этого используем формулу тангенса половинного угла.

hello_html_911c7c4.gif

hello_html_m203c38bf.gif

hello_html_1578535a.gif

  1. Рассмотрим hello_html_73e536de.gif Выразим из формулы hello_html_m4f17e9d6.gif

hello_html_1a2dcdea.gif

В hello_html_1c22fdef.gif, hello_html_2e757b91.gif и hello_html_6086e38d.gif.

Аналогично находим hello_html_m17c1d140.gif.

  1. Из hello_html_1c22fdef.gif по теореме косинусов находим hello_html_m7b6d3aba.gif:

hello_html_m202a3ecf.gif

hello_html_2d502ff7.gif

Из hello_html_m638bca14.gif находим hello_html_m47c112d8.gif

hello_html_m6fadcd53.gif

Из hello_html_31bb108e.gif находим hello_html_6db505df.gif

hello_html_84a9a3c.gif

  1. Находим:

hello_html_m64f095c1.gif.

hello_html_m6c2be858.gif:hello_html_527929a.gif.








































36


Общая информация

Номер материала: ДВ-061263

Похожие материалы