МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА НА ТЕМУ «Приемы извлечения квадратного корня»

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА № 455

С УГЛУБЛЕННЫМ ИЗУЧЕНИЕМ АНГЛИЙСКОГО ЯЗЫКА КОЛПИНСКОГО РАЙОНА САНКТ-ПЕТЕРБУРГА

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА НА ТЕМУ

«Приемы извлечения квадратного корня»

учитель математики

Власов Андрей Алексеевич

Санкт-Петербург

Колпино

2017

Оглавление

Оглавление                  2

Введение.           3

Методы извлечения квадратного корня, изучаемые в школьном курсе математики.           3

Практические методы извлечения квадратного корня и их математическое обоснование.           4

Выводы.           6

Список использованной литературы.      6

Приложения.          7

Введение.

Анализ результатов предэкзаменационных работ по математике в рамках ОГЭ-2017 в школе показал результат 25% в задачах, где требовалось извлечь квадратный корень ( задача №17) при среднем значении по первой части 72%.

Данное обстоятельство закономерно по той причине, что согласно примерной программе общеобразовательных учреждений по алгебре 7–9 классы  к учебному комплексу для 7-9 классов (авторы Ю.Н. Макарычев и др.) [4] методам извлечения корня уделяется один урок в восьмом классе. Таблицы Брадиса уже не изучаются, а пользоваться калькулятором на экзамене нельзя. Численные методы вообще в школьном курсе математики не встречаются.

В качестве помощи в данном вопросе на экзамене учащимся предлагаются справочные материалы, содержащие таблицу квадратов двузначных чисел. Однако, несмотря на то, что в школьных задачах корни извлекаются, как правило, нацело, воспользоваться данной таблицей не получается, так как искомые значения оказываются за рамками указанного диапазона двузначных чисел. Например, на экзамене предлагалось извлечь корень из 156,25.

В этих условиях является актуальным предложение учащимся методов, позволяющих просто и быстро извлекать корни в решаемых задачах.

Цель:

Повторить пройденные и изучить новые методы извлечения квадратного корня.

Задачи:

1.     Ознакомиться с литературой по изучаемому вопросу.

2.     Описать методы вычисления квадратного корня и дать их математическое обоснование.

3.     Предложить методы для практического применения при решении школьных задач.

Методы извлечения квадратного корня, изучаемые в школьном курсе математики.

Анализ учебной литературы показал, что в учебнике «Алгебра. 8 класс.» авторы Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. [3] в качестве метода нахождения приближенных значений квадратного корня предлагается метод простых итераций. Другие проанализированные учебные пособия [1], [2], [5] не содержат тем вычислений квадратных корней.

Методы, описанные в работе, встречаются в открытых источниках [7] . На их основе написано большое количество школьных исследовательских работ [6]. В таких работах, как правило, отсутствует математическое обоснование метода.

Практические методы извлечения квадратного корня и их математическое обоснование.

В качестве первого метода вычисления корня предлагается разложение подкоренного числа на множители. В случае повторения результатом будет  их однократное произведение. Если не удастся вычислить корень полностью, то, как минимум, можно упростить задачу. Пример: √2916=√3⁶*2²=3³*2=54

Другие предлагаемые методы относятся к разделу численных, однако дают практический результат и в школьных задачах, где ожидается целочисленное решение.

Будем отбрасывать пары цифр справа от подкоренного числа до тех пор, пока не сможем оценить верхнюю и нижнюю границы искомого значения. Полученный далее результат умножим на 10 в степени, равной количеству отброшенных пар. Если оценить границы удается без отбрасывания, то этот шаг можно пропустить. Найти результат вычисления в определенном диапазоне можно перебором с шагом единица. Данный метод относится к методу простых итераций. Для уменьшения количества перебираемых вариантов следует определить последнюю цифру искомого результата, таблица 1:

Таблица 1.

последняя цифра подкоренного числа	1	4	5	6	9
последняя цифра корня	1 или 9	2 или 8	5	4 или 6	3 или 7

В случае двузначных чисел для сокращения количества перебираемых вариантов до одного можно сравнить подкоренное число с квадратом числа, ближайшего к корню и оканчивающегося на «5». Возвести в квадрат число, оканчивающееся на «5» можно устно: (10n+5)²=100n²+100n+25=100n(n+1)+25. Первые цифры квадрата числа, оканчивающегося на «5» составляют число, полученное произведением числа, равного первой цифре, на следующее натуральное число, а последние две цифры – «25». Например, найдем корень из 6084. Корень

                                                                                                        _{_____    ___}

находится между 70 и 80 и оканчивается на 2 или 8. Квадрат 75²=7*8+25=5625, меньше исходного подкоренного числа, поэтому корень 78. Проверка показывает, что результат правильный.

Если производилось отбрасывание пар цифр, полученный результат может служить новой границей диапазона при возврате пар по одной. Ответ будет получен при повторении итераций.

Пример вычисления приведен в решении задачи №17 варианта 1701 приложения.

Метод половинного деления позволяет получить результат за меньшее число шагов. Рисунок 1.

Рис.1. Метод половинного деления.

Рассчитывается значение функции F(x)=x²-a  при    x=(x_к-x_н)/2, где a- подкоренное число, x – искомое значение корня , x_к- верхняя граница диапазона , x_н –нижняя граница диапазона.  Если значение функции сменило знак по сравнению со значением функции в точке x_н, сравнивается модуль разности текущего и предыдущего значения x и Δ x (точность вычисления). Если модуль меньше или равен Δx, текущее значение  x будет искомым корнем. В противном случае, в качестве  x_к принимается текущее значение  x и  расчет повторяется. Если значение функции знак не меняло, текущее значение  x  приравнивается к x_н и расчет повторяется. Пример расчета для F(x)=x²-2 с точностью 0,01 приведен в таблице  2.

Таблица 2. Вычисление √2 методом половинного деления.

шаг	x1	x2	x=(x1+x2)/2	y
1	1,000	2,000	1,500	0,250
2	1,000	1,500	1,250	-0,438
3	1,250	1,500	1,375	-0,109
4	1,375	1,500	1,438	0,066
5	1,375	1,438	1,406	-0,022
6	1,406	1,438	1,422	0,022
7	1,406	1,422	1,414	-0,000
8	1,414	1,422	1,418	0,011

Если известна верхняя или нижняя граница, то подкоренное число можно представить в виде a²±b. Тогда

a²±b= a²±2a b/2a+( b/2a)²-( b/2a)²≈ (a±b/2a)²

или

√a²±b≈ a±b/2a.

В случае, когда b<<a, точность результата вычисления увеличивается.

Пример вычисления приведен в решении задачи №17 варианта 1702 приложения.

Алгоритм вычисления корня, заложенный в функции калькуляторов, основан на методе Ньютона (метод касательных).  В точке с абсциссой x_к рассчитывается значение функции и к графику функции проводится касательная. Определяется точка пересечения касательной с осью абсцисс x. В этой точке рассчитывается значение функции и к графику функции проводится вторая касательная. Снова определяется точка пересечения касательной с осью абсцисс. Если модуль разницы текущего и предыдущего значения x меньше или равен Δx (точность вычисления), текущее значение  x будет искомым корнем. В противном случае построения повторяются. Для вывода формулы касательной положим, что  x_n  — некоторое приближение к корню x уравнения f(x)=0 . Уравнение касательной к функции f(x) в точке x_n  имеет вид:

f’(x)=

Пусть касательная пересекается с осью абсцисс в точке  x_n+1. Тогда уравнение примет вид:

f’(x_n)=

откуда

x_n+1=x_n -

Рис.3. Метод касательных.

Графически алгоритм последовательных вычислений в методе Ньютона представлен на рисунке 3.

В случае квадратного корня функцию можно представить как

f(x)=x²-A, где A- подкоренное число, x –искомый корень, тогда f’(x)=2x

x_n+1=x_n - = x_n - = (x_n+ )

Тогда алгоритм вычисления выглядит следующим образом:

рассчитывается значение корня на первом шаге:

x₁=(a+)

на втором:

x₂=(x₁+)

и так далее, до получения требуемой точности,

где x – результат вычисления (корень);

A – подкоренное число;

a – нижняя граница (может быть единицей).

Пример вычисления приведен в решении задачи №22 варианта 1701 приложения.

          Арифметический способ:

Для квадратов чисел верны следующие равенства:

1 = 1²

1 + 3 = 2²

1 + 3 + 5 = 3²

и так далее.

То есть, узнать целую часть квадратного корня числа можно, вычитая из него все нечётные числа по порядку, пока остаток не станет меньше следующего вычитаемого числа или равен нулю, и посчитав количество выполненных действий. Например:

9 − 1 = 8; 8 − 3 = 5; 5 − 5 = 0

Выполнено 3 действия, квадратный корень числа 9 равен 3.

         Суть метода в том, что сумма нечетных чисел представляет собой сумму членов арифметической прогрессии, первый член которой единица, а разность два. Тогда

S_n=n=n=n²

Сосчитав количество членов прогрессии, получаем корень из суммы ее членов.

В случае чисел, выходящих за рамки таблицы квадратов, метод практически неприменим из-за большого количества вычислений, поэтому практического значения в старших классах не имеет.

Метод «столбиком». Этот способ позволяет найти приближённое значение корня из любого действительного числа с любой наперёд заданной точностью. К недостаткам способа можно отнести увеличивающуюся сложность вычисления с увеличением количества найденных цифр. Метод сложен и для понимания, и для запоминания.

Для ручного извлечения корня применяется запись, похожая на деление столбиком. Выписывается число, корень которого ищем. Справа от него будем постепенно получать цифры искомого корня. Пусть извлекается корень из числа N с конечным числом знаков после запятой. Для начала мысленно или метками разобьём число N на группы по две цифры слева и справа от десятичной точки. При необходимости, группы дополняются нулями — целая часть дополняется слева, дробная справа. Так 31234,567 можно представить, как 03 12 34, 56 70. В отличие от деления снос производится такими группами по 2 цифры.

1.       Записать число N (в примере — 69696) на листке.

2.       Найти a, квадрат которого меньше или равен группе старших разрядов числа N (старшая группа — самая левая неравная нулю), а квадрат a+1  больше группы старших разрядов числа. Записать найденное  a справа от N (это очередная цифра искомого корня). (На первом шаге примера   а²=2²=4<6, а (a+1)²=3²=9>6  ).

3.       Записать квадрат  a  под старшей группой разрядов. Провести вычитание из старшей группы разрядов N выписанного квадрата числа a  и записать результат вычитания под ними.

4.       Слева от этого результата вычитания провести вертикальную черту и слева от черты записать число, равное уже найденным цифрам результата (мы их выписываем справа от N), умноженное на 20. Назовём это число  b. (На первом шаге примера это число просто есть b=2*20=40 , на втором  b=26*20=520).

5.       Произвести снос следующей группы цифр, то есть дописать следующие две цифры числа N справа от результата вычитания. Назовем   число, полученное соединением результата вычитания и очередной группы из двух цифр. (На первом шаге примера это число c=296 , на втором c=2096 ). Если сносится первая группа после десятичной точки числа N, то нужно поставить точку справа от уже найденных цифр искомого корня.

6.       Теперь нужно найти такое a , что   (b+a)*a меньше или равно c , но   (b+(a+1)) (a+1) больше, чем  c . Записать найденное a  справа от N, как очередную цифру искомого корня. Вполне возможно, что a  окажется равным нулю. Это ничего не меняет — записываем 0 справа от уже найденных цифр корня. (На первом шаге примера это число 6, так как (40+6)6=276<296 , но (40+7)7 =329>296 ) Если число найденных цифр уже удовлетворяет искомой точности, прекращаем процесс вычисления.

7.       Записать число (b+a)a  под c . Провести вычитание столбиком числа  (b+a)a  из  c  и записать результат вычитания под ними. Перейти к шагу 4.

 

 

Рис. 4 Наглядное описание алгоритма.

Доказательство данного метода приведено в источнике  [8].

Графические методы вычислений корней не рассматриваем по причине низкой точности.

Выводы.

В работе предложена и обоснована методическая база обучения учащихся 9 класса методам извлечений квадратного корня:

1.     научить разложению подкоренного число на множители до чисел, попадающих в таблицу квадратов или до простых множителей;

2.     уметь упростить подкоренное число, отбрасывая справа пары цифр, до числа, попадающего в таблицу квадратов. Извлечь корень приблизительно, полученный результат умножить на 10 в степени, равной числу отброшенных пар. Результат уточнить;

3.     уметь определить границы диапазона, в котором находится корень, и подобрать ответ, анализируя последнюю цифру или проводя половинное деление;

4.    получить навык использования формулы √a²±b ≈ a±, где a-одна из границ, а b – остаток. Для увеличения точности необходимо стремиться к b<<a.

5.     получить навык  последовательных вычислений по формуле             x_n+1=(x_n+), задав в качестве x₁ границу или 1.

 

Список использованной литературы.

1.	Дорофеев, Г.В. Алгебра. 8 класс: учеб. для общеобразоват. огранизаций / Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович и др. – 2-е изд. М.: Просвещение, 2015. -320 с.
2.	Лебедева, Е.Г. Алгебра. 8 класс: поурочные планы по учебнику Ш.А. Алимова, Ю.М. Колягина, Ю.В. Сидорова, Н.Е. Федорова, М.И. Шабунина / Е.Г.Лебедева. – Волгоград: Учитель, 2007. – 205 с.
3.	Макарычев, Ю.Н. Алгебра. 8 класс: учеб. для общеобразоват. огранизаций /Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. – М.Просвещение. 2013.- 287с.
4.	Макарычев, Ю.Н. Примерная программа общеобразовательных учреждений по алгебре 7–9 классы  к учебному комплексу для 7-9 классов / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.Н. Нешков, С.Б. Суворова Ю.Н., составитель Т.А. Бурмистрова – М: «Просвещение», 2008.
5.	Рурукин А.Н., Поурочные разработки по алгебре. 8 класс /А.Н. Рурукин, С.В. Сочилов, Ю.М. Зеленский – М.ВАКО, 2014. – 352 с.
6.	Социальная сеть работников образования [Электронный ресурс] - режим доступа: http://nsportal.ru/shkola/algebra/library/2014/08/10/izvlechenie-kvadratnogo-kornya-iz-chisla-0 – Загр. с экрана.
7.	Сетевая энциклопедия [Электронный ресурс] - режим доступа: https://ru.wikipedia.org/wikiКвадратный_корень – Загр. с экрана.
8.	Издательский дом «Первое сентября» [Электронный ресурс] - режим доступа: http://festival.1september.ru/articles/517087/ – Загр. с экрана.

Приложения.

Задача №17 вариант 1701.

Лестница соединяет точки A и B состоит из 20 ступеней. Высота каждой ступени равна 17,5 см, а длина —60 см. Найдите расстояние между точками A и B (в метрах).

Решение:

20*√(17,5²+60²)=20*√((3,5*5)²+(12*5)²)=

=20*5*√(3,5²+12²)= 100*√(3,5²+12²)= =100*√(12,25+144)= 100*√156,25

Результат √156,25 находится между 12 и 13. Учитывая, что последняя цифра подкоренного числа 5, предположим корень 12,5. Проверка показывает, что 12,5²=156,25. Корень найден правильно.

Задача №17 вариант 1702.

Лестница соединяет точки A и B состоит из 20 ступеней. Высота каждой ступени равна 16,5 см, а длина —28 см. Найдите расстояние между точками A и B (в метрах).

Решение:

20*√(16,5²+28²)=20*√((15+1,5)²+(30-2)²) =20*√((225+2*15*1,5+2,25)+(900-2*30*2+4))= =20*√(272,25+784)= 20*√1056,25= 20*√(1024+32,25)= =20*√(32²+32,25)≈20*(32+)≈20*32,5

Проверка показывает, что 32,5²=1056,25. Корень найден правильно.

Задача №22 вариант 1701.

Из А в В одновременно выехали два автомобилиста. Первый проехал
с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути
со скоростью 70 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью, большей скорости первого на 21 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилистом. Найдите скорость первого автомобилиста.

Решение приводит к квадратному уравнению:

x²-49x-2940=0,

имеющее дискриминант 14161. Вычислим корень из дискриминанта методом Ньютона:

y₁=120

y₂=1/2(120+14161/120)≈1/2(120+118)=119

y₃=1/2(119+14161/119)=119

√14161=119