Методическая разработка на тему "Решение логических задач"

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №1 г. Анадыря»

Методическая разработка

Логические задачи и методы их решения

Подготовила:

:

Лебедева Людмила Николаевна, учитель математики и информатики

Г. Анадырь

2022 год

Оглавление

Введение                                                                                                   3

Глава 1. Универсальный язык всех наук                                               4

Глава 2. Нестандартные методы решения стандартных задач             5

2.1 Задачи с сугубо логическим содержанием.                                      7

2.2 Метод перебора. Правило крайнего.                                                  8

2.3 Раскраски                                                                                              9

2.4 Принцип наихудшего варианта.                                                        11

Заключение                                                                                                14

Список использованной литературы                                                       15

Введение.

Современный век можно назвать веком развитых информационных технологий. А что такое – информационная технология? Прежде всего - это алгоритм, прописанный по определенным правилам и на определенном языке программирования с заданным синтаксисом. Но все же остающимся алгоритмом. Будем ли мы рассматривать приложения на гаджетах, или работать в социальных сетях, или задумаемся о супер компьютерах, которые управляют космическими полетами и проводят невероятные вычисления – каждый раз мы будем иметь дело с алгоритмом, для написания которого прежде всего надо понимать логику процесса, который должен быть заложен в действие программы.

Логика – это настоящая предвестница математической теории. Именно после написания Аристотелем Органона, математика начала отсчитывать свои первые вехи жизни, как теоретическая наука. Потому что именно стройные логические конструкции, правила проведения доказательств и построения умозаключений сделали возможным написание «Начал» Евклида – первого систематического труда по геометрии и теории чисел. А математика уже легла в основу построения всех остальных наук. Причем, со временем, идеи формализации, то есть сведения аргументации к строгим логическим построениям, не зависящим от смысла, проникли не только в сферы, которые принято называть точными науками, но и в науки гуманитарного цикла, математизации казалось бы не поддающиеся. И об этом свидетельствуют всевозможные социологические опросы с целью моделирования, социальные технологии, исследования м озга, нейробиология и нейроэкономика. Нейросети, в конце концов, которые имитируют обучение по принципам человека.

Каким образом это стало возможным?

Все это благодаря стройным логическим законам.

Изучение логики, и тренировка логических навыков помогают человеку абсолютно во всех сферах его жизни. Какую бы отрасль человек ни выбрал для своей профессиональной деятельности, развитые логические навыки будут содействовать его успешному освоению выбранной отрасли.

Именно поэтому, развитие логического мышления, формирование навыков свободного обращения с логическими категориями представляется актуальными навыками всегда и во все времена. Но особенную актуальность эта проблема обретает сейчас, в эпоху клипового мышления и поверхностного восприятия информации без выявления глубоких связей между идеями , фактами и последующими из них выводами. А также эпоху, когда человек должен оставаться на голову выше, чем искусственный интеллект, так упорно создаваемый и тренируемый учеными в отрасли IT.

Лучшим же способом для формирования логического мышления является постоянная тренировка в установлении причинно-следственных связей взаимодействия объектов. Ну, и конечно, самым эффективным, отработанным способом развития логического мышления, является решение логических задач.

Цель работы: показать первостепенную важность развития логических навыков для получения эффективного математического образования.

Задачи:

·               обосновать необходимость и актуальность изучения логики - в особенности подрастающим поколением.

·               дать представление о многообразии логических задач и подходов к их решению;

·               осветить некоторые методы решения логических задач;

·               указать на приложение логических методов к решению математических задач.

·               составить небольшое практическое руководство по методам решения логических задач

Глава 1. Универсальный язык всех наук

Если кто-то думает, что математика – это решение примеров, то он ошибается. Прежде всего, математика – это обширная теоретическая наука, в которой самое главное – это логическое построение системы знаний. Известные исторические факты о величайших математиках частенько свидетельствуют , что те не слишком сильны были в арифметике и допускали арифметические ошибки. Но при этом их математический гений и вклад в развитие науки никто не может умалить. И все потому, что они описали новые методы решения некоторых классов задач, придумали новые правила и расширили горизонты возможностей математики. Они прежде всего на уровне логики сумели оценить задачу и создать для ее решения необходимый инструментарий.

Да, математика – это не оперирование числами. Хотя и без них математика не обойдется. Математика – это оперирование понятиями. Другими словами, математика – это язык, подобный национальному языку человека. Только говорят на этом языке науки.

Подобно обычному языку, в математике есть алфавит, правила составления фраз, правила составления текста. И все эти правила прописывает логика.

Математика, как наука, включает в себя огромное количество разделов. Но объединяет их все именно логическая составляющая. Взять хотя бы геометрию и алгебру. Они на первый взгляд совершенно непохожи друг на друга, но при этом обе являются математическими науками. И надо сказать, что школьная геометрия, базирующаяся на теоремах и доказательствах – прекрасный инструмент развития логического мышления, умения строить аргументацию, опираясь на доказательную базу. Но для развития навыками оперирования понятиями «истина», «ложь», «противоречие», «доказательство от противного», очень подходит класс задач, которые называются задачи про рыцарей и лжецов.

Логика является базой для всех остальных наук. Математические методы решения практических задач по экономике, химии, физике и других наук прекрасно подтверждают это.

Но особую роль логических методов мы видим в информатике и информационных технологиях. Заметим, что основу задач ЕГЭ по информатике составляют задачи логики высказываний, комбинаторные и алгоритмические задачи. А значит, именно требования к навыкам постановки и решения логической проблемы выходят на первый план профессиональной подготовки в области IT – самой молодой, но и одной из самых перспективных профессиональных отраслей.

Если рассмотреть задания олимпиад по информатике для 7-8 классов, то мы увидим, что они все сплошь состоят из задач логических. И не только в олимпиады по информатике включаются логические задачи. Но и в олимпиады гуманитарного цикла. Например, в олимпиаде по обществознанию есть раздел, состоящий полностью из логических задач. А это демонстрирует важность и востребованность логического знания.

Глава 2. Нестандартные методы решения стандартных задач

1.2 Задачи с сугубо логическим содержанием.

Задачи о рыцарях и лжецах — это задачи, использующие законы алгебры логики и доказательство от противного. Решение таких задач сводится к поиску противоречия. При этом в задачах используется фиксированная истинность высказываний, которая осуществляется с помощью введения в задачу ролевых персонажей: рыцарь — человек, всегда говорящий правду, лжец —  всегда говорит ложь, и обычный человек — в одних ситуациях может говорить правду, а в других — лгать.

Продемонстрируем метод решения задач про рыцарей и лжецов на конкретных примерах.

Пример №1. Имеются два островитянина: А и В. А говорит: «По крайней мере, один из нас лжец». Кто такой А (рыцарь или лжец) и кто такой В?

Решение

Если А – лжец, тогда получается, что он говорит правду (ведь,  хотя бы А-  лжец). Но лжец правду говорить не может. Получаем  противоречие. Поэтому А не может быть лжецом. Следовательно, А – рыцарь. Поэтому он говорит правду (как рыцарь) и, значит,  среди них есть хотя бы один лжец. Но так как А – рыцарь, то лжец – В.

Ответ: А – рыцарь, В – лжец.

Пример №2. Имеются два островитянина: А и В. А говорит: «Я лжец, или В рыцарь». Кто такой А (рыцарь или лжец) и кто такой В?

Решение

Если А – лжец, то первая часть его высказывания истинна (он действительно тогда лжец). Но тогда и истинным оказывается все высказывание А (по свойствам высказываний с дизъюнкцией). Но это противоречит тому, что А – лжец. Поэтому А – рыцарь. Все его высказывание истинно (поскольку он рыцарь), а первая часть ложна (ибо он не лжец). Значит, истинна вторая часть. То есть В – рыцарь.

Ответ: А и В оба рыцари.

Пример №3. Имеются два островитянина: А и В. А говорит: «Я лжец, а В не лжец». Кто такой А (рыцарь или лжец), и кто такой В?

Решение

Если А – рыцарь, то он говорит правду (как все рыцари). То есть обе части его высказывания в этом случае должны быть истинными (по свойствам высказываний с конъюнкцией). То есть, в частности, А должен быть лжецом. Но это противоречит допущению, что он рыцарь. Следовательно, А не может быть рыцарем. Поэтому он лжец. Но тогда первая часть его высказывания фактически истинна притом, что все его высказывание должно быть ложно (как сказанное лжецом). Значит (по свойствам конъюнкции), вторая часть фразы А ложна. Следовательно, В – лжец.

Ответ: А и В оба лжецы.

Пример №4. Имеются три островитянина: А, В, С. А говорит: «Мы все трое лжецы». В говорит: «Ровно один из нас троих рыцарь». С молчит. Кто из них кто?

Решение

А не может быть рыцарем, ибо тогда они все (включая и А) были бы лжецами. Поэтому А – лжец. Поэтому он лжет, и среди них троих есть рыцари (хотя бы один). Если В – рыцарь, то он говорит правду, и С тогда лжец. Если же В – лжец, то рыцарей среди них либо нет, либо 2 или 3. Последние два варианта, очевидно, невозможны (А и В уже лжецы). Поэтому тогда и С должен быть лжецом. Но это противоречит ранее доказанному, что среди них есть рыцари. Поэтому В не может быть лжецом.

Ответ: А – лжец, В – рыцарь, С – лжец.

Пример №5. Имеются два островитянина – А и В. А говорит: «Мы оба лжецы, и этот остров называется Майя». В говорит: «По крайней мере один из нас лжец, и этот остров не Майя». Возможно ли, чтобы этот остров действительно назывался Майя? Если да, то наверняка ли он так называется?

Решение

Пусть этот остров действительно Майя. Тогда вторая часть высказывания А истинна, вторая часть высказывания В – ложна. А не может быть рыцарем (см. выше). Значит, А – лжец. Значит, первая часть высказывания В истинна, а, так как вторая ложна, то ложно и все его высказывание в целом. То есть В – лжец. Значит, они оба лжецы. Но тогда обе части высказывания А истинны, что невозможно (А – лжец). Значит, этот остров не может называться Майя. (Кроме того, А тогда лжец, а В – рыцарь).

Ответ: нет, нельзя.

Пример №6. Имеются три персонажа: А, В, С. Среди персонажей имеется ровно один оборотень. Оборотень может быть как рыцарем, так и лжецом. А говорит: «Я оборотень». В говорит: «Я оборотень». С говорит: «Не более чем один из нас рыцарь». Кто оборотень? Можно ли установить, кем являются А, В, С (рыцарями или лжецами)?

Решение

Пусть С – рыцарь. Тогда он говорит правду и остальные персонажи (А и В) в этом случае оказываются лжецами. Поэтому в этом варианте С – оборотень. Если же С – лжец, то он говорит неправду, и среди них более одного рыцаря, то есть А и В – оба рыцари и потому оба оборотни (они говорят правду как рыцари). Но это невозможно по условию (оборотень один). Следовательно, С – рыцарь и оборотень.

Ответ: С – оборотень. А и В – лжецы, С – рыцарь.

Пример №7. Имеются два персонажа: А и В. Из них оборотень только один и может оказаться кем угодно. А говорит: «Оборотень – рыцарь». В говорит: «Оборотень – лжец». Кто оборотень?

Решение

Если В – рыцарь, то оборотень – лжец, и им тогда должен быть А (так как В – рыцарь). И действительно, А тогда лжет относительно того, кем является оборотень. Если же В – лжец, то оборотень не лжец (высказывание В ложно), то есть рыцарь. И в этом случае оборотень А. И тогда он действительно говорит правду относительно того, что оборотень (то есть он сам) – рыцарь. Итак, кем бы ни был В (и кем бы ни был тогда А), в любом случае оборотень А.

Ответ: оборотнем является А.

Задачи про Рыцарей и Лжецов имеют игровую окраску и очень интересны детям. Так как они не требуют знаний в области математических методов, то и решаться они могут в любом возрасте, начиная с детского сала. При этом они развивают навык построения доказательства, который становится очень востребованным при изучении геометрии. Умение складывать в цепочку утверждения и из следствия с последующим вычленением противоречия является базовым для доказательства многих геометрических суждений.

2.2 Метод перебора. Правило крайнего.

Существует множество задач, которые решаются методом перебора, то есть последовательного или выборочного анализа возможных вариантов, которые могут встретиться в ситуации, заданной формулировкой задач. Для того чтобы быть уверенным в том, что были рассмотрены все возможные варианты без повторов и пропусков, часто удобно использовать правило “крайнего”: рассмотреть сначала самый крайний случай, то есть, например, самый меньший или наибольший элемент.

Пример№1.

На каждой из 15 планет, расстояния между которыми попарно различны, находится по астроному, каждый из которых наблюдает за ближайшей к нему планетой. Докажите, что некоторую планету никто не наблюдает.

Решение

Отметим сразу, что так как количество планет и астрономов совпадает, то если если на какую-нибудь планету смотрят сразу два астронома, то на какую-то планету не смотрит никто. Предположим поэтому, что за каждой планетой наблюдает ровно один астроном. Рассмотрим две планеты, расстояние между которыми наименьшее среди всех попарных расстояний. Ясно, что астрономы, находящиеся на этих двух планетах, смотрят друг на друга. Посмотрим теперь на оставшиеся 13 планет. Из них опять можно выбрать две с наименьшим расстоянием — астрономы, находящиеся на них, должны смотреть друг на друга. Продолжая такие рассуждения, мы найдем планету, которую никто не наблюдает (так как число 15 нечетно).

Пример№2.

По кругу выписано несколько чисел, каждое из которых равно среднему арифметическому своих соседей. Докажите, что все числа равны.

Решение

Рассмотрим максимальное из этих чисел. С одной стороны, оно не меньше каждого из своих соседей, а с другой стороны, равно их среднему арифметическому. Поэтому это число должно быть равно каждому из своих соседей. Аналогичным образом продолжая рассматривать следующих соседей, доказываем, что все числа, стоящие по кругу, равны между собой.

Пример№3.       

На плоскости синим и красным цветом окрашено несколько точек так, что никакие три точки одного цвета не лежат на одной прямой (точек каждого цвета не менее трех). Докажите, что можно найти треугольник с одноцветными вершинами, на трех сторонах которого лежит не более двух точек другого цвета.

Решение

Из всех треугольников с одноцветными вершинами выберем треугольник наименьшей площади. Допустим, что на его сторонах расположено не менее трех точек другого цвета. Так как они не могут все лежать на одной стороне этого треугольника, то эти три точки являются вершинами некоторого треугольника, площадь которого, очевидно, меньше площади первоначально выбранного треугольника, а это противоречит тому, что тот треугольник имел наименьшую площадь из всех треугольников с одноцветными вершинами.

Пример№4.

Можно ли на плоскости расположить 1000 отрезков так, чтобы каждый отрезок обоими своими концами упирался строго внутрь каких-то двух других отрезков?

Решение

Пусть на плоскости расположено 1000 отрезков. Возьмем произвольную прямую , не перпендикулярную ни одному из них (ясно, что такая прямая существует, так как отрезков конечное число, а различных направлений бесконечно много). Спроецируем концы всех этих отрезков на прямую . Очевидно, что конец отрезка, проецирующийся в самую правую из полученных точек (можно считать, что на прямой задана некоторая ориентация), не может упираться строго внутрь какого-то другого отрезка.

Пример №5.

На плоскости дано конечное множество многоугольников (не обязательно выпуклых), каждые два из которых имеют общую точку. Докажите, что существует прямая, имеющая общие точки со всеми этими многоугольниками.

Решение

Возьмем на плоскости произвольную прямую и спроецируем на нее все многоугольники. При этом мы получим несколько отрезков, любые два из которых имеют общую точку. Рассмотрим левые концы этих отрезков и выберем из них самый правый (мы считаем, что на прямой задана какая-то ориентация). Легко понять, что полученная точка принадлежит всем отрезкам, поэтому проведенный через нее перпендикуляр к прямой пересекает все данные многоугольники.

2.3 Раскраски

Можно подумать, что раскраски – это книжечки с картинками для детей. Но на самом деле это серьезный математический метод, конечной целью которого является разбиение множества элементов на непересекающиеся классы.

Умение оперировать раскрасками не просто помогает решать задачи конкретного типа, но и готовит мозг к более сложному оперированию элементами на уровне теории множеств.

Существуют разные виды раскрасок. В зависимости от конкретных условий раскрашивать можно в два типа (2 класса объектов) и в большее количество. Если раскраски двухцветные, то такие задачи зачастую совпадают с задачами на четность-нечетность. Но если цветов больше, то раскраски – самый простой способ решения задачи с разнородными элементами.

Рассмотрим применение раскрасок на конкретных примерах.

Пример №1.

Можно ли из 13 кирпичей 1*1*2 сложить куб с дыркой 1*1*1 в центре?

Решение

Раскрасим в белый и черный цвет в шахматном порядке маленькие кубики 1*1*1, из которых состоят куб и кирпичи. В 13 кирпичах поровну (по 13) черных и белых кубиков, а в кубе 3*3*3 без центра одних — 12, а других — 14.

Ответ. Нельзя.

Пример №2.

Доска 8*8 разрезана на доминошки размером 1*2 клетки. Докажите, что количество горизонтальных доминошек четно.

Решение

Назовем клетки первой, третьей, пятой и седьмой вертикалей красными, а клетки второй, четвертой, шестой и восьмой вертикалей синими. Таким образом, в каждой горизонтальной доминошке содержится одна красная и одна синяя клетка, а в каждой вертикальной — либо две красных, либо две синих клетки (назовем в соответствии с этим вертикальные доминошки красными или синими). Поскольку всего красных и синих клеток на доске поровну, количества красных и синих вертикальных доминошек должны быть равны. Следовательно, общее число вертикальных доминошек делится на 2, то есть четно.

Пример №3

 Докажите, что доску размером 10*10 клеток нельзя разрезать на фигурки вида:

Решение

Покрасим вертикали доски через одну в черный цвет. Тогда покрашено 50 клеток. Каждая фигурка, как бы она ни располагалась на доске, занимает нечетное число (либо одну, либо три) белых клеток. Поэтому если бы доску можно было разрезать на 25 таких фигурок, то белых клеток на доске было бы нечетное число (сумма 25 нечетных чисел — число нечетное). Но 50 — четное число. Получили противоречие.

Пример№4

 Докажите, что доску размером 10*10 клеток нельзя разрезать на фигурки вида:

Решение

Предположим, что доску 10*10 клеток можно разбить на такие фигурки, тогда их будет 100/4=25 . Раскрасим доску в шахматном порядке, тогда каждая фигурка содержит либо 1, либо 3 черные клетки, то есть нечетное количество. Но сумма 25 нечетных чисел — это нечетное число. Поэтому 25 фигурок содержат нечетное количество черных клеток. Но всего на доске черных клеток 100/2=50 штук — четное количество. Получили противоречие.

Пример №5.

Отметьте на доске 8*8 несколько клеток так, чтобы любая (в том числе и любая отмеченная) клетка граничила по стороне ровно с одной отмеченной клеткой.

Решение

Будем рассуждать, используя шахматную доску. Заметим, что белые клетки граничат по стороне только с черными, и наоборот. Поэтому сначала отметим несколько белых клеток так, чтобы у каждой черной клетки был ровно один отмеченный сосед:

Затем отметим несколько черных клеток так, чтобы и у каждой белой клетки появился ровно один отмеченный сосед (для этого достаточно симметрично отразить отмеченные клетки относительно какой-нибудь средней линии), при этом у черных клеток новых отмеченных соседей не появится.

Ответ. Один из примеров приведен на рисунке:

2.4 Принцип наихудшего варианта.

Суть метода заключатся в том, чтобы предположить в решении задачи наихудший вариант исхода событий. То есть, при подсчете вариантов предполагается тотальное невезение «испытателя». Он никак не может сделать успешного выбора до тех пор, пока неудачные не будут исчерпаны. А значит, для решения задачи надо всего лишь взять на единицу больше, чем есть «плохих» вариантов.

Чтобы это было более понятным, сделаем иллюстрацию при помощи несложной задачи.

Пусть в мешке есть 12 красных и 13 черных носков. Сколько носков надо вытащить, чтобы среди них точно была пара красных носков?

Исходя из понятия «наихудший вариант», предполагаем, что все время будут попадаться чёрные носки пока они не закончатся. Следовательно, надо вытащить все чёрные носки и пару красных. То есть, надо вытащить 15 носков.

Принцип наихудшего варианта также используется в комбинации с принципом Дирихле. То есть, иногда, чтобы определить, какой вариант самый плохой, надо определить, сколько «клеток»-вариантов. А потом «посадить» в них «кроликов». Например, как в задаче про банки с вареньем, которая будет изложена ниже, в практической части данного исследования.

Пример 1. Задача про банки.

У бабушки заготовлено варенье в одинаковых непрозрачных банках с одинаковыми крышками: 5 – малинового, 6 – клубничного и 7 - абрикосового. Какое наименьшее количество банок варенья надо взять, чтобы среди них оказалось две с одинаковым вареньем.

Решение.

По принципу наихудшего варианта, если взять три банки, они окажутся все различного содержимого. Но уже четвертая обязательно повторит какую-нибудь из предыдущего набора.

Ответ: 4 банки.

Пример 2.Задача про носки.

    В комоде лежит 5 пар серых, 6 пар синих и 3 пары черных носков. Сколько носков надо достать из комода, чтобы наверняка среди них оказалась серая пара?

Решение.

По принципу наихудшего варианта, т.к. синих и черных носков всего 18, то среди двадцати – обязательно будет серая пара.

Ответ: 20 носков нужно вытащить.

Пример 3.

Есть 13 закрытых замков и 13 похожих ключей к ним. К каждому замку подходит только один ключ, но ключи смешались. Возьмем один из замков, назовем его первым и попробуем открыть его каждым из 13 ключей. В лучшем случае он откроется первым же ключом, а в худшем – только тринадцатым. Сколько нужно в худшем случае произвести проб, чтобы наверняка открыть все замки?

Решение:

1.В худшем случае первый замок откроется после 13 пробы 13 ключей, и станет на 1 ключ меньше. Тогда 2 замок откроется после 12 проб, то есть 12-тым ключом. Следуя этой закономерности, решение будет выглядеть так: 13+12+11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=87.

Ответ: Нужно произвести 87 проб, чтобы открыть все замки.

Пример 4.

 В мешке лежат 59 белых и 100 черных шариков. Они тщательно перемешаны и неразличимы на ощупь. Какое наименьшее число шариков нужно вынуть из мешка вслепую так, что бы среди них заведомо оказались два шара 1) одного цвета, 2) разного цвета, 3) белого цвета?

Решение:

 1) достанем из мешка 3 шара. Если бы среди этих шаров было не более одного шара каждого из двух цветов, то всего было бы не более двух шаров, что противоречит тому, что мы достали три шара. С другой стороны, двух шаров может и не хватить. «Кроликами» здесь являются шары, а «клетками» - цвета: черный и белый. Итак, наименьшее число шаров, чтобы заведомо были два шара одинакового цвета – три.

2) наименьшее число шаров –101

3) наименьшее число шаров – 102

Цель данной работы была– исследовать некоторые классы нестандартных задач и научиться их решать не «штучно», а при помощи определенных методов.

.Задачи, которые я ставила перед собой в ходе работы:

- ознакомиться со следующими принципами, помогающими при решении нестандартных задач: «принцип крайнего», «принцип наихудшего варианта», «рыцари и лжецы» и «раскраски» .

- прорешать задачи из некоторых школьных олимпиад этого года, решаемых при помощи данных принципов;

- систематизировать решенные задачи и сделать небольшое интерактивное пособие по их решению.

Для достижения поставленных задач я, во-первых, ознакомилась с литературой по заданной тематике, а так же с интернет-источниками и различными электронными ресурсами;

во-вторых, я решала различные олимпиадные задачи, в том числе и по другим темам, а не только заявленным в данной работе.

Заключение

Решение олимпиадных задач можно сравнить с едой, но не для тела, а для мозга. Или с физическими тренировками. Чем лучше мы мозг питаем, тем лучше он развивается. Чем больше тренируем, тем лучше запоминаем, думаем, размышляем. У нас развивается интеллект, воображение.

Однако не только спортивный интерес и желание тренироваться и развивать интеллектуальные способности делает данное исследование важным и актуальным и для меня, и для тех, кто с ним захочет ознакомиться. Некоторые из задач, которые считаются олимпиадными в шестом классе, во время сдачи ЕГЭ уже входят в список заданий, предлагаемых выпускникам во время экзамена. И умение их решать оказывается весьма полезным и с точки зрения успешной сдачи экзаменов в будущем. В силу всего сказанного, данная работа представляется актуальной.

Заметим, что хотя олимпиадные задачи, зачастую – это задачи штучные и большую роль для их решения играет

Таким образом, работа будет полезна всем, кто желает ознакомиться с методикой решения олимпиадных задач, кто заинтересован в систематизации знаний в этой области

Материал работы прошел апробацию при подготовке к различным олимпиадам и конкурсам, и может быть и в дальнейшем активно использоваться не только автором, но и всеми заинтересованными лицами.

Приложение: Законы логики.