Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Методическая разработка на тему: Решение показательных уравнений и неравенств.

Методическая разработка на тему: Решение показательных уравнений и неравенств.

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов

Методическая разработка на тему:

Решение показательных уравнений и неравенств.

Функцию вида y = ax, где a > 0 и a ≠ 1, называют показательной функцией.

Основные свойства показательной функции y = ax:

График показательной функции

Графиком показательной функции является экспонента:

hello_html_5c56cfee.png

Графики показательных функций (экспоненты)

Решение показательных уравнений

Показательными называются уравнения, в которых неизвестная переменная находится только в показателях каких-либо степеней.

Для решения показательных уравнений требуется знать и уметь использовать следующую несложную теорему:

Теорема 1. Показательное уравнение af(x) = ag(x) (где a > 0, a ≠ 1) равносильно уравнению f(x) = g(x).

Помимо этого, полезно помнить об основных формулах и действиях со степенями:

  hello_html_4e93edf4.png

Пример 1. Решите уравнение:

hello_html_443bfdac.png

Решение: используем приведенные выше формулы и подстановку:

hello_html_m824ff0c.png

Уравнение тогда принимает вид:

hello_html_m6ec83d23.png

Дискриминант полученного квадратного уравнения положителен:

  hello_html_m72e692f6.png

Это означает, что данное уравнение имеет два корня. Находим их:

  hello_html_54370be8.png

Переходя к обратной подстановке, получаем:

  hello_html_608c431e.png

Второе уравнение корней не имеет, поскольку показательная функция строго положительна на всей области определения. Решаем второе:

  hello_html_e7682d7.png

С учетом сказанного в теореме 1 переходим к эквивалентному уравнению: x = 3. Это и будет являться ответом к заданию.

Ответ: x = 3.

Пример 2. Решите уравнение:

hello_html_7f96f965.png

Решение: ограничений на область допустимых значений у уравнения нет, так как подкоренное выражение имеет смысл при любом значении x (показательная функция y = 94-x положительна и не равна нулю).

Решаем уравнение путем равносильных преобразований с использованием правил умножения и деления степеней:

hello_html_m791ce98e.png

hello_html_b387e06.png

hello_html_68374dfa.png

hello_html_1da9a34.png

Последний переход был осуществлен в соответствии с теоремой 1.

Ответ: = 6.

Пример 3. Решите уравнение:

hello_html_4492b6e8.png

Решение: обе части исходного уравнения можно поделить на 0,2x. Данный переход будет являться равносильным, поскольку это выражение больше нуля при любом значении x (показательная функция строго положительна на своей области определения). Тогда уравнение принимает вид:

hello_html_16f086f.png

Ответ: x = 0.

Пример 4. Решите уравнение:

hello_html_12c0d2e.png

Решение: упрощаем уравнение до элементарного путем равносильных преобразований с использованием приведенных в начале статьи правил деления и умножения степеней:

hello_html_mf050abb.png

hello_html_238a1fb6.png

Деление обеих частей уравнения на 4x, как и в предыдущем примере, является равносильным преобразованием, поскольку данное выражение не равно нулю ни при каких значениях x.

Ответ: x = 0.

Пример 5. Решите уравнение:

hello_html_3ddc01e8.png

Решение: функция y = 3x, стоящая в левой части уравнения, является возрастающей. Функция y = —x-2/3, стоящая в правой части уравнения, является убывающей. Это означает, что если графики этих функций пересекаются, то не более чем в одной точке. В данном случае нетрудно догадаться, что графики пересекаются в точке x = -1. Других корней не будет.

Ответ: x = -1.

Пример 6. Решите уравнение:

hello_html_343da189.png

Решение: упрощаем уравнение путем равносильных преобразований, имея в виду везде, что показательная функция строго больше нуля при любом значении x и используя правила вычисления произведения и частного степеней, приведенные в начале статьи:

hello_html_7e4a7158.png

hello_html_m6a5345ea.png

  hello_html_m4b50e1fb.png

Ответ: x = 2.

Решение показательных неравенств

Показательными называются неравенства, в которых неизвестная переменная содержится только в показателях каких-либо степеней.

Для решения показательных неравенств требуется знание следующей теоремы:

Теорема 2. Если a > 1, то неравенство af(x) > ag(x) равносильно неравенству того же смысла: f(x) > g(x). Если 0 < a < 1, то показательное неравенство af(x) > ag(x) равносильно неравенству противоположного смысла: f(x) < g(x).

Пример 7. Решите неравенство:

hello_html_m2d08829f.png

Решение: представим исходное неравенство в виде:

hello_html_m19a8e866.png

Разделим обе части этого неравенства на 32x, при этом (в силу положительности функции y = 32x) знак неравенства не изменится:

hello_html_m52d4d076.png

Воспользуемся подстановкой:

hello_html_e84c688.png

Тогда неравенство примет вид:

hello_html_579d302f.png

hello_html_3d36867d.png

hello_html_m50756500.png

Итак, решением неравенства является промежуток:

hello_html_c3ce12.png

переходя к обратной подстановке, получаем:

hello_html_m3226687c.png

Левое неравенства в силу положительности показательной функции выполняется автоматически. Воспользовавшись известным свойством логарифма, переходим к эквивалентному неравенству:

hello_html_5db4796f.png

Поскольку в основании степени стоит число, большее единицы, эквивалентным (по теореме 2) будет переход к следующему неравенству:

hello_html_m3adf4ab4.png

Итак, окончательно получаем ответ:

hello_html_32813cc9.png

Пример 8. Решите неравенство:

hello_html_2db10b6e.png

Решение: используя свойства умножения и деления степеней, перепишем неравенство в виде:

hello_html_32451b54.png

Введем новую переменную:

hello_html_50099f82.png

С учетом этой подстановки неравенство принимает вид:

hello_html_4e9b6cc9.png

Умножим числитель и знаменатель дроби на 7, получаем следующее равносильное неравенство:

hello_html_m24fb64a2.png

hello_html_m421c47ba.png

hello_html_76c4bd53.png

Итак, неравенству удовлетворяют следующие значения переменной t:

hello_html_m7a74d853.png

Тогда, переходя к обратной подстановке, получаем:

hello_html_m4671161.png

hello_html_m739b096f.png

Поскольку основание степени здесь больше единицы, равносильным (по теореме 2) будет переход к неравенству:

hello_html_m4d1fb193.png

Окончательно получаем ответ:

hello_html_6c5ee5a4.png

Пример 9. Решите неравенство:

  hello_html_4e84288c.png

Решение:

  hello_html_m72498ff3.png

Делим обе части неравенства на выражение:

  hello_html_23e56bcf.png

Оно всегда больше нуля (из-за положительности показательной функции), поэтому знак неравенства изменять не нужно. Получаем:

  hello_html_5ca55f17.png

Воспользуемся заменой переменной:

  hello_html_f8a836e.png

Исходное уравнение тогда принимает вид:

  hello_html_m3c1cd5c.png

hello_html_b9e8eb5.png

hello_html_m69211d17.png

Итак, неравенству удовлетворяют значения t, находящиеся в промежутке:

  hello_html_72af48c4.png

Переходя к обратной подстановке получаем, что исходное неравенство распадается на два случая:

  hello_html_44f251f6.png

Первое неравенство решений не имеет в силу положительности показательной функции. Решаем второе:

  hello_html_m4ba3e03a.png

Поскольку основание степени в данном случае оказалось меньше единицы, но больше нуля, равносильным (по теореме 2) будет переход к следующему неравенству:

  hello_html_m396c80ca.png

hello_html_5dcc227.png

hello_html_m6a7ee364.png

Итак, окончательный ответ:

  hello_html_m2019c398.png

Пример 10. Решите неравенство:

  hello_html_73bfa3e8.png

Решение:

Ветви параболы y = 2x+2-x2 направлены вниз, следовательно она ограничена сверху значением, которое она достигает в своей вершине:

  hello_html_m32e52654.png

Ветви параболы y = x2-2x+2, стоящей в показателе, направлены вверх, значит она ограничена снизу значением, которое она достигает в своей вершине:

  hello_html_m74945eef.png

Вместе с этим ограниченной снизу оказывается и функция y = 3x2-2x+2, стоящая в правой части уравнения. Она достигает своего наименьшего значения в той же точке, что и парабола, стоящая в показателе, и это значение равно 31 = 3. Итак, исходное неравенство может оказаться верным только в том случае, если функция слева и функция справа принимают в одной точке значение, равное 3 (пересечением областей значений этих функций является только это число). Это условие выполняется в единственной точке x = 1.

Ответ: = 1.

Общая информация

Номер материала: ДБ-300172

Похожие материалы