Методическая разработка на тему "Решение задач на смеси, сплавы, растворы"

Задачи на сплавы, растворы и смеси.

          Задачи на смеси, растворы и сплавы входят в обязательный курс школьной математики и встречаются на  государственном экзамене, но умеют решать их, увы, немногие. Постараемся исправить эту ситуацию и научимся решать данную разновидность задач.

         Такие задачи   всѐ чаще включают на ГИА: они встречаются на ЕГЭ по математике профильного уровня и базового уровня в 11 классе,  а также во второй части ОГЭ по математике в 9 классе.

        Задачи на растворы, смеси и сплавы подразделяются на три группы:  нахождение массы раствора (сплава),  массы вещества, концентрации вещества.

        Концентрация вещества в растворе (сплаве) – это процент содержания этого

вещества в растворе (сплаве):                                                                                                           

к о н ц е н т р а ц и я   в е щ е с т в а  = ^{масса вещества} 100%                                      масса растворасплава

▸ Заметим, что в задачах из данной подтемы зачастую удобно составлять уравнения относительно кислоты или активного вещества.

      Предлагаю вашему вниманию решение данных задач методом «стаканчиков» или  с использованием  «квадрата Пирсона» . 

     Эти методы позволяет рационально и экономно проводить вычисления при решении задач на концентрацию, что особенно ценно на ЕГЭ и ГИА.

 Для начала примем некоторые допущения:

― все получающиеся смеси и сплавы однородны;

― для всех веществ выполняется закон сохранения массы (или объема): масса смеси нескольких веществ равна сумме масс компонентов.

Задача 1

     Имеются два сплава серебра с медью. Первый содержит 67% меди, второй – 87% меди. В каком отношении нужно взять эти два сплава, чтобы получить сплав, содержащий 79% меди?

Решение: 

Медь	Серебро	+	Медь	Серебро	=	Медь	Серебро
67%	100-67=33%		87%	100-87=13%		79%	100-79=21%
0,67m	0,33 m		0,87n	0,13 n		0,79(m+n)	0,21 (m+n)

                          m                                                 n                                                m+n

         Задачу можно решать как относительно серебра, так и относительно меди, поскольку данные вещества в первом и втором сплавах в сумме дают вещество полученного сплава. Но в условии задачи речь идёт о меди, значит решать мы будем относительно меди, а вторым столбцом можно пренебречь. 

0,67m +0,87n = 0,79(m+n);

67m + 87n = 79m + 79n;

12m = 8n; m : n = 8 : 12;

m : n = 2 : 3

          Ответ: 2 : 3

2-ой способ. Квадрат Пирсона.    

         В левый верхний угол записываем процентное содержание первого сплава, в нижний – второго сплава. На пересечении диагоналей – процентное содержание в полученном сплаве. В правых углах записываем разность чисел, стоящих на диагонали. Отношение полученных чисел показывает отношение масс данных сплавов.

Отсюда видно, что сплавы взяты в отношении 2 : 3

Ответ:  2 : 3

Задача 2

   Имеются два сорта сливок – жирности  10% и 20%. Их смешали в отношении 3:1. Какова жирность получившегося смешанного сорта?

Решение: 

                1-ый сорт           2-ой сорт          3-ий сорт

Жирность		Жирность		Жирность
10%	+	20%	=	x %
0,1(3m)		0,2(1m)		0,01x (4m)

                       3m                        1m                4m 

0,1(3m) +0,2(1m) = 0,01x (4m)

0,3m +0,2m = 0,04x m

Разделим каждый член уравнения на m и умножим на 100, получим  30 + 20 = 4 x x   x 12,5

Ответ: 12,5% - концентрация смешанного сорта сметаны

Задача 3

     Некоторое количество 30%-ного раствора соли смешали с вдвое большим количеством 15%-ного раствора этой же соли. Какова концентрация получившегося раствора?

Решение: 

           1-ый раствор     2-ой раствор   3-ий раствор

Соль		Соль		Соль
30%	+	15%	=	x %
0,3(m)		0,15(2m)		0,01x (3m)

                       m                        2m                3m

0,3(1m) +0,15(2m) = 0,01x (3m)

0,3m +0,3m = 0,03x m

Разделим каждый член уравнения на m и умножим на 100, получим  30 + 30 = 3 x x   x  20

Ответ: 20 % - концентрация полученного раствора

Задача 4

     Имеется молоко 15% жирности и 1% жирности. Сколько молока каждого вида надо взять, чтобы получить 14 литров молока, жирность которого составляет 3,2%?

Решение: 

x = 0,2

Тогда молока 15% жирности надо взять 11  0,2= 2,2 литра, а 1% жирности – 59  0,2=11.8 литров.                                

Ответ: 2,2 л,  11,8 л.

Задача 5

      Слиток массой 3 кг, содержит 80% олова и 20% свинца, сплавили с куском олова, после чего процентное содержание олова в слитке составило 94%. Сколько олова добавили в слиток?

Решение: 

Олово	Свинец		Олово		Олово	Свинец
80%	20%	+	100%	=	94%	6%
0,8  3=2,4кг			x кг		0,94(3 + x) кг

                3 кг                                     x кг                         (3 + x) кг 

2,4 + x = 0,94(3 + x)

2,4 + x = 2,82 + 0,94x

0,06x =0,42 x = 7 кг олова добавили

Ответ: 7 кг

Задача 6

      Свежие фрукты содержат 80% воды, а высушенные — 28%. Сколько сухих фруктов получится из 288 кг свежих фруктов?

     Решение:

         Задачу будем решать относительно вещества (клетчатки), т.к. вода при сушке испаряется, а клетчатка остаѐтся: что было в свежих фруктах осталось и в сухофруктах.

                        Свежие фрукты                                     Сухофрукты

Вещество	Вода
20 %	80%
0,2  288= 57,6 кг

Вещество	Вода
72%	28%
0,72  ( x  ) кг

                                                                                                    tC      

288 кг                                                           x  кг

57,6 =  0,72 x x = 57.6 : 0,72 x = 8 (кг)

Ответ: Получится 8 кг сухофруктов.

  Задача 7  

       В двух сосудах равного объѐма находятся растворы соли с концентрацией 17%  и  42% соответственно. Из каждого сосуда взяли по 1 литру раствора и взятое из первого сосуда вылили во второй, а взятое из второго – в первый, после чего концентрация растворов стали равны. Сколько литров раствора было в первом сосуде?

Решение: 

                             1 сосуд                     2 сосуд

Соль		Соль
17%		42%
0,17m		0,42m

                         m  литров                 m   литров    

        После переливания  соли в первом растворе стало 0,17m – 0,17  1 + 0,42  1, а во втором  0,42m – 0,42  1+ 0,17  1. 

       По условию задачи, эти величины равны 

0,17m – 0,17 + 0,42 = 0,42m – 0,42 + 0,17

0,25 m = 0,5 m = 2литра

Ответ: 2 литра

Задача 8  

        К раствору, содержащему 50 г соли, добавили 150 г воды. После этого его концентрация уменьшилась на 7,5%. Сколько воды содержал раствор и какова его концентрация?

Решение: 

Соль	Вода		Вода		Соль	Вода
y  %	(100-y)%	+	100%	=	(y – 7,5)%
50 г	x  г		150 г		50 г	(150+x)  г

                   (50 + x )г                       150  г                             (200 + x)  г 

50

В растворе было х г воды и 50 г соли. Концентрация y   100% x  50

Добавили 150 г воды, стало (x+150) г воды и 50 г соли. Концентрация

                                                                                    50                          50

   100%          100% x 15050    x  200

              По условию концентрация уменьшилась на 7,5%.  Тогда   

                                          50                     50

                       100%  100% 7,5%

                                   x  200               x 50

            Делим все на 100%

                                                                                            50          50

                                                                                                                     0,075

x 200 x 50

                                                                                            50           50        3

                                                                                                                     

                                                                                          x 200 x 50      40    

            Умножаем на 40(x+200)(x+50)

50 40x  50 50 40x  200 3x  50x  200

3x²  750 x  270000  0;

                                              x²  250 x  90000  0                                                

D  250²  41(90000)  422500  650²; x _  2502 650 _ xx¹₂_200450

_

 – 450 < 0 - не подходит.

Ответ: раствор содержал 200 г воды,              его концентрация была

50

               100%       100%  20%

        200 50

Задача 9

        Какой объѐм воды (в литрах) надо добавить к 1 литру 3% раствора перекиси водорода, чтобы получить 1% раствор?

Решение: 

Перекись	Вода		Вода		Перекись	Вода
3 %	97%	+	100%	=	1%	99%
0,03  1=0,03л			x л		0,01(1 + x) л

                     1 литр                            x л                     (1 + x) литр

     Содержание перекиси в первом растворе  и в полученном осталось неизменным: 0,03 = 0,01(1 + x)

0,03 = 0,01 + 0,01 x

0,02 = 0,01 x x = 2 литра

2-ой способ. Квадрат Пирсона

                        Метод «креста»

                                                                     

Отсюда видно, что воды надо долить в 2 раза больше, чем раствора. Т.е. 2 литра.

Ответ: 2 литра

Задача 10

        Химик Наташа смешала 10-процентный и 20-процентный растворы спирта. Она знает, что если добавит к смеси 1 литр чистой воды, то получит 14-процентный раствор спирта. С другой стороны, если она добавит вместо 1 литра воды 1 литр 40процентного раствора спирта, то получит 22-процентный раствор спирта. Сколько литров 10-процентного раствора спирта смешала Наташа?

Решение: 

Спирт	+	Спирт	+	Вода	=	Спирт
10%		20%		0%		14%
0,1(m)		0,2(n)				0,14(m+n+1)

                 m л                     n л                      1л                    (m + n + 1) л

                       0,1m+0,2n=0,14(m+n+1)           4m=6n-14 (*)

Спирт		Спирт		Спирт	=	Спирт
10%	+	20%	+	40%		22%
0,1(m)		0,2(n)		0,4(1)		0,22(m+n+1)

              m л                     n л                      1л                 (m + n + 1) л

                      0,1m+0,2n+0,4=0,22(m+n+1)    12m= 18-2n (**)

Решая систему уравнений (*) и (**), получим                                                 

40m = 40

                                                                        m = 1,  n = 3

Ответ: 10- процентного спирта взяли 1 литр.

    Вывод: 

         Мы рассмотрели три вида задач на смеси, сплавы, растворы: нахождение концентрации вещества,  нахождение  массы содержания вещества в сплаве или растворе, отношение объёмов (масс) сплавов или растворов. Для решения задач был предложен метод схем, или как ещё говорят «метод стаканчиков» и квадрат Пирсона, которые дают довольно простое решение для каждого вида задач.

Литература

1.     Задачи открытого банка заданий по математике.

http://mathege.ru/or/ege/ShowProblems?offsetStr=36&posMask=1024&showProto =true

2.     Ященко  И.В. Семёнов А.В. и др. Готовимся к итоговой аттестации. Математика. Профильный уровень. ЕГЭ 2021 //Интеллект-Центр. Москва. – 2021. 

