Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Методическая разработка "Обучение методу аналогии"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Методическая разработка "Обучение методу аналогии"

библиотека
материалов

Обучение методу аналогии.


Слово аналогия в переводе с греческого означает соответствие, сходство. Аналогия- весьма эффективный эвристический инструмент познания. Поэтому целесообразно специально учить школьников применению метода аналогии.

Применение аналогии распадается на следующие действия: построение аналогов различных заданных объектов и отношений; нахождение

соответственных элементов в аналогичных предложениях; составление предложений или задач, аналогичных данным; проведение рассуждений по аналогии.

Уже в V-VI классах целесообразно подчеркивать аналогию между некоторыми плоскими и пространственными фигурами. Например, между прямоугольником и прямоугольным параллелепипедом, между квадратом и кубом. Полезно показать, что

сторона прямоугольника (отрезок) соответствует грани прямоугольного параллелепипеда, т. е. прямоугольнику. При этом противоположные стороны прямоугольника равны и противоположные грани прямоугольного параллелепипеда тоже равны. Аналогия между квадратом и кубом состоит в том, что у квадрата его измерения равны и у куба его измерения равны. Учащиеся могут и сами догадаться, что граням куба соответственны стороны квадрата. Все грани куба- равные квадраты, все стороны квадрата- равные отрезки.

При знакомстве с понятиями площадь и объем можно установить аналогию между единицами длины и единицами площади, между единицами объема и единицами площади. Одновременно следует обратить на сходство в формулировках понятий. Например, повторив с учащимися определение понятия квадратный сантиметр (квадратный сантиметр-это площадь квадрата со стороной 1см), можно попросить их самостоятельно дать определение понятию кубический сантиметр.

Учащиеся иногда затрудняются быстро и правильно ответить на вопросы типа: «Сколько квадратных сантиметров в 1 дм2? Сколько кубических сантиметров в 1 дм куб.?» Устранению таких трудностей способствует иллюстрация сходства между операциями перехода от линейной единицы измерения к квадратной или кубической. В обоих случаях вычисляется произведение одинаковых множителей, причем число множителей в произведении равно показателю при единице измерения: 1дм2 = 10х10см2, 1дм3 =10х10х10см3

Формировать умение составлять предложение, аналогичное данному, можно при изучении признаков делимости. Рассмотрев с учащимися признак делимости, например, на 3, следует предложить им самим сформулировать признак делимости на 9. Приведу примеры предложений, которые давал учитель (1)-(4), и те, что формулировали учащиеся по аналогии (1*)-(4*).




На 3 делятся те и только те числа, у которых сумма цифр делится на 3.

На 5 делятся те и только те числа, в записи которых последняя цифра 0 или 5.


  1. Число делится на 6, если оно делится на 2 и на 3.

  2. На 4 делятся те числа, у которых две последние цифры нули или образуют число, делящееся на 4.

(1*)На 9 делятся те и только те числа, у которых сумма цифр делится на 9.


(2*) На 25 делятся те и только те числа, в записи которых две последние цифры нули или образуют число, делящееся на 25.

(3*) Число делится на 8, если оно делится на 2 и на 4.

(4*) На 8 делятся те числа, у которых две последние цифры нули или образуют число, делящееся на 8.


Следует провести сравнение предложений, стоящих справа и слева в этом списке. Одновременно необходимо подчеркнуть, что если данные высказывания (1)-(4) истинны, то необязательно окажутся истинными высказывания, полученные из данных по аналогии. Учащиеся должны знать, что для установления ложности какого-либо утверждения достаточно привести хотя бы один пример, опровергающий его. Так высказывания (3*) и (4*) являются ложными: 12 делится на 2 и на 4, но не делится на 8; 100 и 164 не делятся на 8.

Теперь важно показать, что 4 можно представить в виде произведения двух одинаковых множителей (4=2х2), а 8 в виде произведения трех одинаковых множителей (8=2х2х2). Установив такое различие, учащиеся могут заметить, что в утверждении (4) рассматриваются такие числа, у которых количество последних цифр-нулей равно числу простых множителей в разложении числа 4. Это наблюдение поможет сформулировать истинное утверждение вместо (4*): на 8 делятся те числа у которых три последние цифры нули или образуют число делящееся на 8.

При изучении темы «Сложение десятичных дробей» метод аналогии можно использовать для того, чтобы подвести учащихся к формулировке правила сложения десятичных дробей. Для этого нужно параллельно рассмотреть сложение натуральных чисел и сложение десятичных дробей (так как это показано в табл.№1).

Таблица 1


Натуральные числа

949+835

Десятичные дроби

95,37+101,4

Подписываем слагаемое одно под другим так, чтобы одинаковые разряды слагаемых находились друг под другом.

949

+

_ 835_

1784

95,35

+

_101,40_

196,75

Выполняем сложение поразрядно, начиная с единиц низшего разряда.

Богатым материалом для обучения приему аналогии располагает геометрия. В начале изучения курса геометрии основное внимание следует уделить выделению соответственных элементов из аналогичных задач или теорем. Например, рассмотрим две пары задач:


Докажите, что у равнобедренного треугольника биссектрисы, проведенные из вершин при основании, равны (§ 3, №20 (1)).

Докажите равенство треугольников по двум сторонам и медиане, исходящим из одной вершины (§ 3, №38).

Докажите, что у равнобедренного треугольника медианы, проведенные из вершин при основании, равны ((§ 3, №20 (2)).

Докажите равенство треугольников по медиане и углам, на которые медиана разбивает угол треугольника (§ 3, №40).



Для биссектрисы в задаче №20 (1) соответственным элементом в задаче №20 (2) является медиана. В задачах второй пары соответственными элементами оказались: две стороны, исходящие из одной вершины (№38), - два угла, на которые медиана разбивает угол треугольника (№40). Указанные задачи полезно решить непосредственно друг за другом, оформляя решение «параллельно», т.е. с левой стороны - одно решение, с правой – другое. Разобрав решения, следует подчеркнуть, что каждый шаг одного из них можно перенести в другое, применив его к соответственным элементам.

Умение применять аналогию нужно поддерживать от класса к классу пользуясь любыми возможностями. Так, при решении задачи об углах при основании равнобокой трапеции следует вскрыть ее сходство с теоремой об углах при основании равнобедренного треугольника. Полезно записать «параллельно» оба доказательства так, как это показано в табл. 2.

Таблица 2.


Терема 3 из § 3

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.


Задача №53

Доказать, что углы при каждом основании равнобокой трапеции равны. .


Доказательство


  1. Пусть АВС равнобедренный треугольник (АС=СВ). Из вершины С проведем высоту CD.

hello_html_33fc0f8c.gif


  1. Пусть АВСD – равнобокая трапеция (АС=СВ). Из вершин D и С проведем высоты DЕ и СF.

hello_html_m576a1f04.gifhello_html_m3166f864.gif

  1. АСD = ∆ВСD по катету и гипотенузе (СD – общая, АС=СВ по условию).

Отсюда:

ے А = ے В.


  1. АDЕ = ∆ВСF по катету и гипотенузе (DЕ = СF), так как АВ║СD; АD=СВ по условию).

Отсюда:

ے А = ے В и

ے АDЕ = ے ВСF;

ے АDС = ے АDЕ+90˚ отсюда

ے DСВ = ے ВСF +90˚ следует,

что

ے АDС = ے DСВ


Задачи, аналогичные данным, учащиеся могут составлять самостоятельно и решать их.

Изучение свойств параллелепипеда значительно облегчается, если использовать следующие аналогии с параллелограммом:


Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов двух его измерений.

Диагонали прямоугольника равны.

Противоположные стороны параллелограмма суть равные отрезки.

Диагонали параллелограмма в точке их пересечения делятся пополам.

противоположные углы параллелограмма равны и т.д.

  1. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.

  2. Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.

  3. Противоположные грани параллелепипеда суть равные параллелограммы.

  4. Диагонали параллелепипеда в точке их пересечения делятся пополам.

5. Противоположные двугранные углы параллелепипеда равны. Противоположные трехгранные углы параллелепипеда неравновелики и т.д.

Мы уже говорили о том, что умозаключения по аналогии могут приводить как к верным заключениям, так и к ошибочным; это часто является источником неверных действий учащихся. Упрочению их способствует обычно и формальное усвоение материала. Особенно много таких ошибок учащиеся допускают в курсе алгебры. Поэтому полезно сравнивать верные соотношения с неверными, например:


5•3=3•5, но 53 ≠ 35; √5•√а2 = √5а2, но √5+а2≠√5+√а2

а•с = а, но а+с а (с не равно 0)

в•с в в+с в

Доказательство того, что равенство нарушается, проще провести, подставив вместо букв числа и проведя нужные вычисления.

Среди учащихся распространены ошибки следующих типов:

а+с = а

bb


а2+ b 2= а+ b; log (а+ b) = log а + log b и т.д.

Очевидно, эти ошибки вызваны аналогиями с теми случаями, когда в тех же преобразованиях вместо суммы аргументов берется их произведение:


а•с = а

b•с b


а2 b 2= а•b; log (а•b) = log а + log b.

Здесь учащиеся забывают «о вероятном только» характере суждений по аналогии. Аналогия в результатах, вообще говоря, может лишь предполагаться , и проверка этих умозаключений по аналогии должна либо подтвердить, либо отвергнуть предположение.

Целесообразной реакцией учителя на подобные ошибки должно быть не указание вреде «зачеркнуть, это не верно!» и только, а исследование, проверка правильности этих выражений. Проверка облегчается тем, что для опровержения неверных аналогий достаточно лишь установить противоречивость выражения хотя бы для одного случая.

Пример: Пусть а=100; b=10. Тогда

log (100+10)= log 110 = 2,… <3; log 100 + log 10 = 2+1=3;

log (100+10)= log 100 + log 10.

Следовательно, и в общем случае неверно предполагавшееся тождество: log (а+ b) = log а + log b.

При изучении тригонометрии учащиеся нередко отождествляют выражения типа: m sin α и sin mα .

Эта ошибка возникает из-за уподобления символа sin (не числа, а знака функции) числу m, являющемуся коэффициентом соответственно при функции и аргументе.

Применение аналогии весьма полезно в процессе изучения математики, как и любой науки вообще. Предметы и явления действительности запечатлеваются и воспроизводятся не изолированно друг от друга, а в тесной связи друг и другом, группами и рядами. Аналогия же помогает сопоставлять и противопоставлять понятия, а новые сведения, понятия лучше усваиваются тогда, когда они вводятся не вне всякой связи с предыдущими, а в сравнении с ними, в установлении сходных и отличительных признаков.










Министерство образования и культуры Республики Калмыкия

Малодербетовская гимназия им. Б.Б. Бадмаева





hello_html_m1e0f4f97.gif



Обучение методу аналогии.




Исполнитель:

учитель математики

Сарангова З.А.










с.Малые Дербеты, 2008 год.



Автор
Дата добавления 09.05.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров102
Номер материала ДБ-072486
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх