Методическая разработка открытого урока по алгебре и началам анализа в 10классе

Университетский казачий кадетский корпус (филиал) федерального бюджетного          образовательного учреждения высшего профессионального образования «Московский  государственный университет технологий и управления имени К.Г.Разумовского (Первый казачий университет)»

 

 

 

 

Методическая разработка открытого урока 

              по  алгебре и началам анализа в 10классе

Тема:  «. Тригонометрические  уравнения, сводящиеся к квадратным.»

Автор  Соловьева Татьяна Зосимовна

учитель математики.

г.Морозовск,

Ростовская область.

ПЛАН-КОНСПЕКТ УРОКА
«Тригонометрические  уравнения, сводящиеся к квадратным»

1.	ФИО (полностью)	Соловьёва Татьяна Зосимовна
2.	Место работы	Университетский казачий кадетский корпус (филиал) федерального бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Московский государственный университет технологий и управления имени К.Г.Разумовского (Первый казачий университет)»
3.	Должность	Учитель математики
4.	Предмет	математика
5.	Класс	10
6.	Тема  урока Тип урока	Урок по теме «Тригонометрические  уравнения, сводящиеся к квадратным». введение нового материала
7.	Базовый учебник	«Алгебра и начала анализа-10» Мордкович А.Г. учебник и задачник.

8.    Цели  урока:

Образовательные:

совершенствовать навыки решения более сложных тригонометрических уравнений, выделив общую идею решения: приведение уравнения к виду, содержащему лишь одну тригонометрическую функцию одного аргумента с последующей заменой переменной; Развивать представление о тригонометрических уравнениях, как об уравнениях приводящихся к алгебраическим уравнениям. Воспитывать интерес к предмету, аккуратность в оформлении.

 Развивающие:  развивать логическое мышление; математическую речь, внимание, умения  систематизировать  и применять полученные знания.

Воспитательные:

     поддерживать интерес к предмету, воспитывать навыки учебного труда,  формировать потребности к приобретению знаний, воспитывать чувство  сопереживания успехом и неудачам своих товарищей, умение анализировать свою работу и работу одноклассников.

Побудительная: эти уравнения применяются при вычислении работы в физике( сила Ампера, сила Лоренса), для определения углов в геометрии, в астрономии.

9.    Формы работы учащихся - фронтальная беседа, устная работа, индивидуальная работа, разноуровневая  самостоятельная  работа.

Оборудование урока

1.карточки с заданиями для самостоятельной работой;

2.плакаты с решением простейших тригонометрических уравнений.

Эпиграф:

Уравнение  есть равенство, которое

еще не является истинным, но которое

стремятся сделать истинным,

не будучи уверенным, что этого можно         достичь.

                                                   А. Фуше.

План   урока:

1.    Организационный момент

2.    Актуализация опорных  знаний учащихся

              а) теоретическая разминка

              б) диктант

3. Изучение нового материала

4. Обучающая самостоятельная работа

5.Анализ самостоятельной работы и освоенности материала по теме урока(самопроверка)

6. Задание на дом

7. Итог урока. Рефлексия.

ХОД  УРОКА:

1.    Организационный  момент

Мне хотелось бы начать урок такими красивыми словами         Сергея Михалкова:

Пусть каждый день и каждый час

                               Вам новое добудет,

                                 Пусть добрым будет ум у вас,

                                 А сердце добрым будет.

            Итак, тема нашего урока: ‘ Тригонометрические уравнения, сводящиеся к квадратным’.

       Цель урока – обучение применению методов введения нового неизвестного к решению тригонометрических уравнений

Эпиграфом послужат слова А.Фуше:                                                ‘ Уравнение есть равенство,

которое еще не является истинным, но которое стремятся сделать истинным, не будучи уверенным, что этого можно достичь’.        

2.Актаулизация знаний учащихся.

              Прежде, чем приступить к рассмотрению новой темы, мы повторим предыдущие  темы. Для этого проведем теоретическую разминку.         

а)ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ РАЗМИНКА

1.Дайте определение тригонометрического уравнения.

   ( Тригонометрическим  уравнением называется равенство, содержащее неизвестное под знаком тригонометрической функции)

2.Что значит решить тригонометрическое уравнение.

    (Решить тригонометрическое уравнение – значит найти общий вид углов, которые обращают данное уравнение в тождество)

3.Перечислите формулы общего вида углов простейших тригонометрических уравнений синуса, косинуса и тангенса.

(sinx=a,  |a|1  x=arcsina + n, n

cosx=a,  |a|   x= arccosa + 2

tgx = a,  x  x = arctgx + )

4.Вычислить:

arccos                                          ответ:

arcsin                                          ответ:

arcos 2                                            ответ: не существует

arctg                                         ответ:

б) ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ ДИКТАНТ.

(Не решая уравнений, подберите правильный ответ и обоснуйте его.)

1)Решите уравнение: 2sinx= –
А)  x=                                                         С)  x =                                                        Е)  x =			Б)  x=±                     Д)  x=
2.)Решить уравнение: 2cosx=
А) x= С) x= Е)  x=		Б) x= Д) x=
3)Решите уравнение: 2sin2x= –1
А) x= С) x= Е) x=	Б) x=+ Д)  x=
4)Решите уравнение: tgxcosx=0
А) x=2 С)  x= Е)  x=		Б) x= Д)  x=

Заключительный этап: проверка.

3Изучение нового матениала.

А)В предыдущем параграфе были выведены формулы корней простейших тригонометрических уравнений:

К этим уравнениям сводятся другие тригонометрические уравнения. Для решения большинства таких уравнений

требуется применение различных формул и преобразований тригонометрических уравнений. На этом уроке рассмотрим метод введения нового неизвестного, что позволяет свести уравнение к квадратному.

Это уравнения вида:

a)   

б) x + bcosx=c

c)

Являются квадратными, относительно   sinx; cosx; tgx.                               соответственно.

Если в уравнение входят разные тригонометрические функции, то их, если возможно, надо выразить через одну. При этом нужно выбрать эту функцию так, чтобы получилось квадратное уравнение относительно ее. Введя  новую переменную и решив квадратное уравнение, перейти к решению одного из простейших тригонометрических уравнений.

Разберем решение примера № 3 из п.2.§18 

Вопросы:

Какие простейшие уравнения получили?

Почему уравнение   sinx=2   не имеет корней?

Б) Рассмотрим уравнения вида:

x +bsinx=c    и  

которые сводятся к квадратным заменой

x   и во втором уравнении

Пример 1.Решите уравнение (решает учитель)

Решение:

Заменим    на тождественное ему выражение x.

Получим  2(1) – cosx –1=0,

                  2–2

                 

Обозначим      cosx=y           получим квадратное уравнение

= - 1

Значит, исходное уравнение равносильно совокупности уравнений

1)  cosx=0.5, x=

2)  cosx= -1, x=

В) Уравнения, содержащие тангенс и котангенс, также сводятся к квадратным заменой       ctgx на                      и  последующим    умножением обеих частей на     tgx

Пример 2. Решите уравнение:(решает ученик)

tgx–2ctgx+1=0

Решение.

Заменим  ctgx    на        тождественно, то  уравнение примет вид        tgx   –  ,

             

Обозначим     tgx=y         получим  квадратное  уравнение

               +y- 2=0

     

Исходное уравнение  равносильно совокупности уравнений

1) tgx= –2,   x= arctg2+

2)  tgx=1,     x=

Левая часть исходного уравнения имеет смысл, если      

tgx                                          

Так как для найденных корней      tgx         то исходное уравнение равносильно уравнению          

Ответ: x=+

Мы рассмотрели типичные случаи решения тригонометрических уравнений, сводящиеся к квадратным.

Пример 3. При каких   значениях   а   уравнение

x

не имеет корней?

Решение.

Обозначим     sinx=y               получим квадратное уравнение

2

Д=

 

Исходное уравнение равносильно совокупности уравнений

sinx= 1,5-уравнение не имеет корней, так как 1,5

sinx = - a- не имеет решений, если a

Ответ:

4.Обучающая самостоятельная работа.

Мы с вами рассмотрели несколько способов решения тригонометрических уравнений методом сводящие к квадратному. Перед вами алгоритм такого решения. Прочитайте и решите самостоятельную работу. (Два ученика пойдут решать на откидных досках)

Вариант 1	Вариант 2.
1)  x–3tgx+2=0 2)  3)	1)  2 2)  4 – 5cosx– x =0 3)

5.Анализ самостоятельной работы и освоенности материала по теме урока(самопроверка)

6.Задание на дом. п.2.§18  №18.6(г); 18.7(г); 18.8(в): 18.9(б): 18.22(б,г); 18.23(б).

7. Итог урока. Рефлексия.

Подводя итог урока можно сказать, что  освоили метод решения уравнения, сводящегося к  квадратным. Следующий этап; овладение двумя специальными приёмами решения тригонометрических уравнений: введение вспомогательного угла и замена t = sinx+cosx, t = sinx- cosx.

Учитель предлагает:

Выразить своё отношение к теме урока и ходу урока;

Отметить в % насколько вы считаете, что знание, хорошее владение специальными приёмами, специальный взгляд на проблемы в самых различных областях человеческой деятельности часто приводят к успеху.

Подводя итог мне хотелось бы зачитать стихи  Софьи Ковалевской ‘Если  ты  в  жизни…’,в которых с необыкновенной силой выражено стремление к познанию

Если ты в жизни, хотя б не мгновение

Истину в сердце своем ощутил,

Если луч света сквозь мрак и сомнение,

Ярким сияньем твой путь озарил

                  Чтобы в решеньи своем неизменном

Рок не назначил тебе впереди,

Память об этом мгновеньи священном

Вечно храни, как святыню в груди.

Тучи сбегутся громадой нестройной

Небо покроется черною мглой

С ясной решимостью, с верой спокойной,

Бурю ты встреть и померься с грозой.

Литература.

1.        Алгебра и начала анализа. 10 класс (профильный уровень): методическое пособие для учителя. А.Г.Мордкович, П.В.Семенов. М.: Мнемозина, 2008

2.        Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. Самостоятельная работы для учащихся общеобразовательных учреждений. Л.А.Александрова; под редакцией А.Г.Мордковича. М.: Мнемозина, 2008

3.             Математика.9-11 классы: решение заданий ЕГЭ высокой степени сложности: основные методы и приемы/ авт.сост.М.А.Кунауков. Волгоград: Учитель, 2010