МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА ОТКРЫТОГО УРОКА по дисциплине ЕН.01 Элементы высшей математики . Тема: «Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными»

Министерство общего и профессионального образования Ростовской области

государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение Ростовской области «Каменский техникум строительства и автосервиса»

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА

 ОТКРЫТОГО УРОКА

по дисциплине
ЕН.01 Элементы высшей математики

тема:
 «Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка с  разделяющимися переменными»

Подготовила:    преподаватель  первой  квалификационной категории

Срыбная Ю.В.

2015

Технологическая карта урока

Цели:

1.Обучающая:

- изучить  понятие дифференциального уравнения 1 порядка с разделяющимися переменными, алгоритм решения уравнений данного вида;

- формировать умения решать дифференциальные уравнения 1 порядка с разделяющимися переменными.

2. Развивающая:

- содействовать развитию математической речи;

- развивать логическое мышление, память;

- формировать умения применять приемы сравнения, сопоставления анализа, систематизации, обобщения;

- развивать познавательный интерес к дисциплине.

3. Воспитывающая:

- воспитывать профессионально – значимые качества: организованность, аккуратность, ответственность за свои действия при работе в паре;

- воспитывать культуру общения.

Методическая цель урока: применение ИКТ,  использование активных форм и методов обучения.

Формирование  компетенций:

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач,  оценивать их эффективность и качество.

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.

ОК 6. Работать в коллективе и команде,  эффективно общаться  с коллегами, руководством, потребителями. 

ПК 1.4. Участвовать в экспериментальном тестировании информационной системы на этапе опытной эксплуатации, фиксировать выявленные ошибки кодирования в разрабатываемых модулях информационной системы.      

Методы обучения: 

- по источнику познания: словесные, наглядные, практические; 

- по характеру познавательной  деятельности: репродуктивные, активные: работа в малых группах, применение интерактивной доски, «мозговой штурм».                                                      

Тип урока:  Урок изучения нового материала.

Вид урока:  Интерактивная лекция, решение упражнений.

Оснащение: 

- техническое: компьютер, проектор, интерактивная доска;

- дидактическое: учебные материалы к и/а доске, презентация, раздаточный материал с опорным конспектом  (Приложение1), памятка  (Приложение2).

ХОД УРОКА

(1 минута)  Организационный момент (проводится   для установления рабочей атмосферы, концентрации внимания, общей готовности.)

Преподаватель приветствует обучающихся, уточняет  количество присутствующих,  проверяет  готовность обучающихся  к уроку, наличие тетрадей, письменных принадлежностей.

(1 минуты) Целевая ориентация (цели урока и критерии оценивания формулируются преподавателем).

При оценивании обучающихся будет учитываться правильность их ответов и выполнения заданий, активность в работе.

(8 минут) Актуализация опорных знаний  (проводится в процессе выполнения обучающимися устных заданий на интерактивной доске).

1) Выберите из предложенных уравнений дифференциальные (рассматриваются все варианты).

                                                       

                                                    y¢¢- 4y¢ + 4y = 0

    y¢¢+y = sin x                                            

 - Сформулируйте определение дифференциального уравнения.

2) Разделите данные дифференциальные уравнения на уравнения 1 и 2 порядка.

                                                        y¢¢+y = sin x 

                                                                        y¢¢- 4y¢ + 4y = 0

- Что называется порядком дифференциального уравнения? Как его определить?

3) Найдите в уравнениях 1 порядка равенство известного вам вида.

 (уравнение с разделенными переменными).

4) Из заданных на и/а доске выражений восстановите решение данного уравнения (обсуждается алгоритм решения уравнений этого вида).

  

, где

-Что называется решением ДУ?

Подведение итогов актуализации знаний.

 (17 минут)  Формирование новых понятий и способов действий  (происходит в процессе интерактивной лекции).

Рассмотрим уравнение: . Проанализируем его содержимое. Это уравнение нового вида называется уравнением с разделяющимися переменными.

Тема урока: «Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка с  разделяющимися переменными».

1. Интерактивная лекция.

Определение. Уравнение вида  называется дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными, где - некоторая функция переменной х; - функция переменной у.

В левой части уравнения находится производная функции у по переменной х, а правая часть представляет собой произведение двух функций. Одна из них зависит от переменной х, вторая – от у.

Например,  - уравнение с разделяющимися переменными.

   - Определите функции   и  . 

                     

2. Работа в тетради с материалом предыдущей лекции.

Познакомившись с новым видом дифференциального уравнения, запишем его в  классификацию, которую мы начали оформлять на прошлом уроке.

ДУ

ДУ 1 порядка                ДУ 2 порядка

ДУ с разделенными переменными

ДУ с разделяющимися переменными

Очень важно уметь решать ДУ с разделяющимися переменными,  т.к. к ним сводится решение уравнений других видов.

Запишем производную в виде, тогда

Если g(y)≠ 0, то данное уравнение можно переписать в виде:  , деля обе части на функцию  g(y) и домножая на  dx.  Это уравнение содержит переменную х в правой части уравнения, а у- в левой. Т. е. мы получили уравнение с разделенными переменными.

Решение уравнения получается интегрированием его обеих частей:

, где С₁ и С₂ – некоторые постоянные,

или ,  где С = С₂ - С_1.

Замечание: Необходимо проверить, не потеряны ли корни уравнения, при которых g(y)= 0.

ДУ с разделяющимися переменными может быть представлено в виде, когда в уравнение вместо производной входят дифференциалы  dx, dу.

Говорят, что ДУ записано в симметричной форме.

Для его решения нужно также разделить переменные

 - общий интеграл.

Замечание: Необходимо также проверить, не потеряны ли корни уравнения, при которых f₂(x)=0 и g₁(y)= 0.

3. Оформление конспекта в тетради (по материалам опорной лекции (Приложение1).

4. Проработка по конспекту материала лекции, составление алгоритма решения дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными.

- Что такое алгоритм? Алгоритм – последовательность действий, выполнение которых приводит к получению результата.

- А что такое компьютерная программа? Компьютерная программа - последовательность инструкций, предназначенных для исполнения устройством управления вычислительной машины. Компьютерная программа - это тоже алгоритм. Стандартом по профессии «Информационные системы» регламентируется область и объекты профессиональной деятельности, требования к результатам обучения. Профессиональные компетенции предполагают, что выпускник должен владеть программированием, проводить тестирование программ и систем, выявлять ошибки и сбои в работе, т.е. он должен уметь составлять алгоритм решения той или иной задачи.

Алгоритм решения дифференциальных уравнений

с разделяющимися переменными

1)    разделить переменные, заменив, если необходимо,  производную отношением дифференциалов (с учетом условий, когда это можно сделать);

2)    проинтегрировать полученное уравнение с разделенными переменными;

3)    найти общий интеграл или общее решение уравнения;

4)    проверить, не потеряны ли корни уравнения, при которых g(y)= 0.

(Памятки с алгоритмом решения раздаются обучающимся (Приложение 2).

(12 минут) Формирование навыков умственного труда (происходит в процессе «тестирования» выработанного алгоритма)  

После написания - создания программы, она должна пройти этап тестирования. Т.е. этап выявления дефектов: ошибок, недочетов, сбоев в  работе. Проверим работу нашего алгоритма.

1) Решить уравнение  по алгоритму (решение осуществляется на доске и в тетрадях).

Решение: 

                 ,

                ,

               ,

              

              , где С₁=2С.

2) Решить уравнение по алгоритму:    (решение осуществляется в парах, с последующей проверкой на доске).

Решение:   

                  

                   - общий интеграл.

                   

                 -общее решение.

(2 минуты) Выставление оценок с комментариями (проводится согласно озвученным критериям).

При оценивании учитываются правильность ответов и выполнения заданий обучающимися, их активность в работе.

(2 минуты)  Домашнее задание (выдается с пояснениями к выполнению).

1 Решить ДУ:

2 Внеаудиторная работа.

Ознакомиться с Интернет-ресурсами:

- http://alwebra.com.ua

- http://orenstudent.ru.

Написать или найти в интернете программу решения ДУ (по желанию).

(2 минуты)  Подведение итогов урока, рефлексия  (проводится  для уточнения поставленных и достигнутых целей урока в виде блиц-опроса).

- Что нового узнали на уроке?

- Чему научились на уроке?

- Столкнулись ли с трудностями на уроке? (Как планируете их преодолеть?)

- Как оцениваете свою работу на уроке?

- Был ли урок интересным?

- Достигнуты ли цели урока?

- Что можете пожелать по итогам урока себе, сокурсникам, преподавателю?

Приложение 1

         Тема: Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка с  разделяющимися переменными (конспект лекции)

Определение. Уравнение вида  называется дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными, где - некоторые функции переменной х; - функции переменной у.

Схема решения ДУ с разделяющимися переменными.

Запишем производную в виде, тогда 

Разделим переменные:  .

Проинтегрируем обе части:

, где С₁ и С₂ – некоторые постоянные,

или ,  где С = С₂ - С_1.

Симметричная форма дифференциального уравнения с разделяющимися переменными: .

В уравнение вместо производной входят дифференциалы  dx, dу.

Для его решения нужно также разделить переменные

 - общий интеграл.

Приложение 2

ПАМЯТКА

Алгоритм решения дифференциальных уравнений

с разделяющимися переменными

1)    разделить переменные, заменив, если необходимо, производную отношением дифференциалов;

2)    проинтегрировать полученное уравнение с разделенными переменными;

3)    найти общий интеграл или общее решение уравнения;

4)    проверить, не потеряны ли корни уравнения, при которых g(y)= 0.