Методическая разработка открытого занятия по математике Асимптоты графика функции.Нахождение асимптот.

Государственное образовательное учреждение

среднего профессионального образования

Луганской Народной Республики

«Луганский строительный колледж»

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА

по дисциплине «Математика» на тему:

«Асимптоты графика функции. Нахождение асимптот»

по специальности 38.02.01  «Экономика и бухгалтерский учёт (по отраслям).

Разработал:	преподаватель – методист,
	высшей квалификационной
	категории  Еськова Л.В.

Луганск

2016

Цель занятия:

-                       Познакомить студентов с определением асимптоты графика функции, видами асимптот и методами их нахождения, обобщить и систематизировать знания определения предела функции и закрепить  умения нахождения пределов функции;

-                       Развивать аналитическое мышление, умение проводить аналогии, сравнивать и обобщать;

-                       Воспитывать аккуратность, графическую культуру, усидчивость и настойчивость в достижении результата.

Материально-техническое обеспечение и дидактические средства, ТСО: доска, ПК, мультимедийная установка, программное обеспечение (Windows 7, Advanced Grapher), раздаточный материал.

Литература:

Основные источники:

1.                     Высшая математика. (В 3-х томах)   Бугров Я.С., Никольский С.М.Т.2. Дифференциальное и интегральное исчисление. М., Дрофа, 2004. – 512 с. 

2.                     Высшая математика. (В 3-х томах)   Бугров Я.С., Никольский С.М. Т.3. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. М., Дрофа, 2004. - 512 с. 

3.                      Грибанов В.М., Крамарь Н.М., Швед О.П. Высшая математика. Курс лекций (часть I, II, III).-Луганск: Изд-во ВНУ им. В.Даля, 2003.

4.                     Н.Д. Владыкина, А.И. Ермаков, С.С. Курчанова, Г.И. Хмеленко. – Луганск: изд. Восточноукр. Нац. ун-та им. В. Даля, 2002. - 100 стр. Методические указания по курсу высшей математики. Часть 1.

Дополнительные источники:

1.                     Роева Т.Г., Хроленко Н.Ф. Алгебра в таблицах, 10-11 класс: Учеб. пособие.- Х.: Издательская группа  «Академия».

Ход занятия:

1.                     Организационный момент.

Приветствие.  Сообщение темы и цели занятия.

2.                     Мотивация учебной деятельности.

Сегодня на занятии мы знакомимся с очень важным понятием  математического анализа асимптотами графика функции. Вы уже умеете проводить исследование функции и построение графика с помощью производной, находить промежутка монотонности, экстремумы функции и промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба. Но как ведет себя функция в точках разрыва, как построить ее график вблизи этих точек. Ответы на эти и другие вопросы мы должны узнать на этом занятии. Итак, запишите в тетради план занятия:

План занятия:

1.                     Асимптоты графика функции.

1.1                 Определение асимптоты.

1.2                 Виды асимптот.

1.3                 Использование программного обеспечения для построения асимптот.

1.4                 Нахождение асимптот графиков функции.

2.                     Решение задач.

2.  Актуализация опорных знаний.

Так как нахождение асимптот напрямую связано с вычислением пределов функции, то давайте повторим основные правила нахождения пределов.

2.1         Как найти предел многочлена  при

2.2           Как найти предел дробно - рациональной функции: при , если

2.3           Как избавиться от неопределенности или ?

2.4                 Назовите первый замечательный предел.

3.                     Изложение нового материала.

3.1                 Определение асимптоты.

При исследовании графика функции при  или в окрестности точек разрыва второго рода, часто оказывается, что график функции сколько угодно близко приближается к некоторой  прямой. Такие прямые называются асимптотами графика функции.

Если график функции  имеет бесконечные ветви, то у графика функции  возможно есть асимптоты. Асимптоты - это прямые, к которым неограниченно приближается кривая графика функции при стремлении аргумента функции к бесконечности (рис. 1).  Прежде чем приступить к построению графика функции, нужно найти все вертикальные и наклонные  (горизонтальные) асимптоты, если они существуют.

Определение Прямая L называется асимптотой графика функции , если расстояние d от переменной  точки  графика до прямой L стремится к нулю при удалении  точки М по кривой в бесконечность.

Определение. Прямая  называется асимптотой графика функции  при , если    .

3.2          Виды асимптот.

Существует три вида асимптот: горизонтальные, вертикальные и наклонные.

Вертикальная асимптота   .

Определение. Прямая  называется вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы один  из пределов  (правый предел)  или (левый предел)   равняется  или , т.е.  (рис. 2).

Очевидно, прямая  не может быть вертикальной асимптотой, если функция  непрерывная в точке , потому что в этом случае . Итак, вертикальные асимптоты  следует искать в точках разрыва функции  или на концах ее области определения , если и  - конечные числа.

Горизонтальная асимптота .

Определение. Прямая  называется горизонтальной асимптотой графика функции , если существуют конечные пределы  или (рис. 3).

        Если конечен только один из пределов  или , то функция имеет лишь одну правостороннюю или левостороннюю  горизонтальную асимптоту. Если = =, то говорят просто о горизонтальной асимптоте. В том в случае, когда , то функция не имеет соответствующей горизонтальной асимптоты, но может иметь наклонную асимптоту.

Наклонная асимптота.

Определение. Прямая  называется наклонной асимптотой графика функции , если функция определена при достаточно больших  и существуют конечные пределы  (рис. 4).

 Если, хотя бы один из пределов не существует или равен бесконечности, то  график исследуемой функции не имеет соответствующей наклонной асимптоты.

3.3          Использование программного обеспечения Advanced Grapher к построению асимптот графика функции.

Advanced Grapher является мощным программным графическим обеспечением. Вы можете использовать его для построения графиков функций, уравнений, неравенств и таблиц.

Программа также позволяет выполнять построение кривых, анализировать

функции, находить точки пересечения графиков с осями координат, касательные и нормали графиков и многое другое.

Вы можете указать цвет, стиль и ширину линий, стиль и размер точек, построение по линиям и  (или) точкам, стиль затенения (для неровности) для каждого графика. Вы также можете изменить дополнительные свойства графиков в зависимости от типа графика, например, количество точек, построение интервалов, сортировка (для таблиц), и т.д. Программа имеет многоязычный интерфейс (рис. 5).

3.4   Нахождение асимптот графика функции.

Пример № 1. Найти вертикальные и горизонтальные асимптоты графика функции

Решение.

Очевидно, что область определения функции . Вертикальные асимптоты  ищем в точках разрыва функции. Таким образом, прямая  может быть вертикальной асимптотой данной функции. Вычисляем границы

 и  Из этого вытекает, что прямая  является вертикальной асимптотой графика исследуемой  функции.

Найдем горизонтальную асимптоту . Вычисляем пределы,

используя правило Лопиталя. Получим

 =. Поэтому, что = =, то график функции имеет только одну горизонтальную асимптоту.  С помощью программы Advanced Grapher легко построить график функции и асимптоты (рис. 6)

Пример № 2. Найти асимптоты графика функции

Решение.

Очевидно, что график функции не имеет ни вертикальных асимптота (нет точек разрыва), ни горизонтальных асимптот.

Найдем наклонную асимптоту. Вычисляем границы  и , .

                                                        Рисунок 7

Таким образом, правая наклонная асимптота имеет вид . Очевидно, что левая наклонная асимптота будет иметь те же значения, что и правая, а это значит, что график исследуемой функции  имеет одну наклонную асимптоту. Что и подтверждает построение в программе Advanced Grapher (рис.7).

Перейдем к практической части нашего занятия – решению примеров.

4.                     Закрепление изложенного материала.

Пример № 1. Найти асимптоты графика функции

Решение: Исследуем функцию сначала на наличие наклонной асимптоты. Найдем   и пределы

, .

Прямая  является наклонной асимптотой графика функции при , а также прямая  также является асимптотой графика функции при  . Проверим наличие вертикальных асимптот.

 Точка является точкой разрыва функции. Найдем предел

, он равен бесконечности, поэтому прямая (ось) является вертикальной асимптотой.

Построение асимптот видим на рисунке (рис 8).     

 Пример № 2. Найти асимптоты графика функции .

Решение: Найдем пределы   и

, вычислив, получим   .

Подставляя найденные значения  и   в уравнение наклонной асимптоты, получим уравнение . Точка  это точка разрыва функции. Найдём предел , поэтому прямая является вертикальной асимптотой.

График в программе Advanced Grapher наглядно демонстрирует построение асимптот (рис. 9).

                                                              Рисунок 9

Пример № 3. Найти асимптоты графика функции .

Решение:

1.             Найдем пределы  

, подставляя значение , получим.

Подставляя найденные значения  и в уравнение наклонной асимптоты, получим уравнение . Точка  это точка разрыва функции.

Найдем предел , поэтому прямая является вертикальной асимптотой.

Построение асимптот видим на рисунке (рис.10).

Пример № 4. Найти асимптоты графика функции .

Решение: Найдем пределы  Найдем  Таким образом прямая  является асимптотой графика данной функции при .

                                                 Рисунок 11

 Аналогично прямая  также является асимптотой графика данной функции при .

Пример № 5. Найти асимптоты графика функции .

Рассмотрим точки   и . Это точки разрыва функции. Имеем . Поэтому прямые  и  являются вертикальными асимптотами  графика данной функции (рис.12). Найдем предел , поэтому ось  является горизонтальной асимптотой.

5.                     Подведение итогов. Домашнее задание.

Итак, сегодня мы ознакомились с  определением асимптот графика функции, видами асимптот и способом их вычисления с помощью пределов. Рассмотрели некоторые примеры нахождения асимптота графика функции.

Проработать материал учебника Высшая математика. Бугров Я.С., Никольский С.М.Т.2 §4.20, с. 212-215. Найти асимптоты графиков функции: 1). ; 2). .