Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Методическая разработка открытого занятия "“ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ, ОБЕМА ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ И РАБОТЫ СИЛЫ ПРИ ПОМОЩИ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА”"
Обращаем Ваше внимание: Министерство образования и науки рекомендует в 2017/2018 учебном году включать в программы воспитания и социализации образовательные события, приуроченные к году экологии (2017 год объявлен годом экологии и особо охраняемых природных территорий в Российской Федерации).

Учителям 1-11 классов и воспитателям дошкольных ОУ вместе с ребятами рекомендуем принять участие в международном конкурсе «Законы экологии», приуроченном к году экологии. Участники конкурса проверят свои знания правил поведения на природе, узнают интересные факты о животных и растениях, занесённых в Красную книгу России. Все ученики будут награждены красочными наградными материалами, а учителя получат бесплатные свидетельства о подготовке участников и призёров международного конкурса.

ПРИЁМ ЗАЯВОК ТОЛЬКО ДО 21 ОКТЯБРЯ!

Конкурс "Законы экологии"

Методическая разработка открытого занятия "“ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ, ОБЕМА ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ И РАБОТЫ СИЛЫ ПРИ ПОМОЩИ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА”"

библиотека
материалов

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ДОНЕЦЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ЕКОНОМІКО-ТЕХНОЛОГІЧНИЙ ТЕХНІКУМ










МЕТОДИЧНА РОЗРОБКА


ОБЧИСЛЕННЯ ПЛОЩІ ПЛОСКОЇ ФІГУРИ,

ОБЄМУ ТІЛ ОБЕРНЕННЯ ТА РОБОТИ СИЛИ

ЗА ДОПОМОГОЮ ВИЗНАЧЕНОГО ІНТЕГРАЛУ

























м.Донецьк


Методична розробка відкритого заняттяОбчислення площі плоскої фігури , об’єму тіл обернення та роботи сили за допомогою визначенного інтегралу. для вищих навчальних закладів 1-2 рівнів акредитації підготовки молодших спеціалістів. Спеціальність 5.0305070 Комерційна діяльність”. – Донецьк: ДДЕТТ, 2011.


Укладач:

Пономарьова Л.О., викладач вищої математики Донецького державного економіко-технологічного технікуму, кваліфікаційної категорії «Спеціаліст вищої категорії»



Мета методичної розробки – висвітлити основні моменти проведення занять з вищої математики за допомогою мультимедійних та інтерактивних технологій навчання.



Для вищих навчальних закладів 1-2 рівнів акредитації





Рецензенти:

Дуліна Н.О., голова методично об’єднання викладачів математики, викладач математичних дисциплін Донецького індустріального технікуму, кваліфікаційної категорії «Спеціаліст вищої категорії».

Лібець А.В., викладач вищої математики Донецького державного економіко-технологічного технікуму, кваліфікаційної категорії «Спеціаліст вищої категорії»






Розглянуто та схвалено

на засіданні циклової комісії

математичних та комп’ютерних дисциплін.

Протокол № від

Голова циклової комісії



ПЛАН ЗАНЯТТЯ


Дата 04.03.11


Дисципліна: Вища математика

Група: КД-21

Спеціальність: 5. 03050702 Комерційна діяльність


Тема заняття: Обчислення площі плоскої фігури , об’єму тіл обернення та роботи сили за допомогою визначенного інтегралу.

Мета заняття:

методична- показати методику повторительно-узагальненого заняття з застосуванням мультимедійних та інтерактивних технологій навчання на заняттях математики;

навчальна- узагальнити знання студентів про основні властивості визначеного інтегралу, про можливе вживання інтеграла до обчислення різних величин; розширить кругозір; закріпити навички та вміння розв’язувати прикладні задачи за допомогою визначеного інтегралу ;

виховна- виховувати пізнавальний інтерес до математики; наполегливість, спостережливість, зосередженість, самостійність мислення, відповідальне відношення до навчання та праці; розвивати культуру спілкування і культуру математичної мови; уміти вчитися виступати перед студентами і викладачами; розвивати пам'ять, увагу, гармонійну єдність мислення, самостійність та самоконтроль, професійну спрямованість.

Вид заняття: урок – защита проектів “Обчислення площі плоскої фігури , об’єму тіл обернення та роботи сили за допомогою визначенного інтегралу з елементами використання мультимедійних та інтерактивних технологій навчання на заняттях математики;

Міжпредметні зв'язки:

забезпечуючи дисципліни: інформатика та комп'ютерна техніка, економічні

дисципліни;

забезпечувані дисципліни:спеціальні дисципліни, статистика, інвестиційна діяльність, економіка підприємства;

Програмне забезпечення: операційна система МS Windows 2000; прикладна програма МS Роwег Роіnt 2003.

Методичне забезпечення: - робоча програма;

- план проведення заняття;

- методична розробка заняття;

- опорний конспект лекції;

- індивідуальні завдання - проекти;

- критерії оцінки роботи студентів \

(заохочувальні бали);

- робочі зошити;

- різнорівневі завдання до домашньої роботи;

- ручки, олівці, мікрокалькулятори.

Технічні засоби навчання: персональний комп'ютер Репtium 4, проектор ,

екран, мікрокалькулятори.


Література:

Обов’язкова:

  1. Высшая математика для экономистов, учебник под ред. проф. Кремера Н.Ш., М.

« Банки и биржи», ЮНИТИ, 1997 г.

  1. Щипачёв В.С. «Основы высшей математики», М.Высшая школа, 1994 г.

  2. Пискунов Н.С.«Дифференциальное и интегральное исчисление», т.1,2,М.Наука,1978г.

  3. Бугров Я.С. «Элементы линейной алгебры и аналитеческой геометрии», М.Наука, 1980 г.

  4. Колмогоров А.И. «Алгебра и начало анализа», Просвещение, 1996 г.


Додаткова:

  1. Сборник задач по математики: Учеб. пособие для техникумов.- М.: Высш. шк, 1987.

  2. Математика: підручник/ О.М.Афанасьєва, Я.С.Бродський, О.Л.Павлов, А.К.Сліпенко. - И: Вища шк., 2001.

  3. Дидактичні матеріали з математики: Навч. посіб./ О.М.Афанасьєва, Я.С. Бродський, ОЛ.Павлов, А.К.Сліпенко.- К.: Вища шк., 2001.

  4. Математика для техникумов. Алгебра и начала аналнза: Учебник. Ю.М.Колягин, А.Д.Кутасов, Г.Л.Луканкин, В.А.Оганесян. Под ред. Г.Л. Яковева.-3-е изд., перераб.-М.: Наука. Гл.ред.физ –мат.лит. Г.Л. Яковлев.,1987.

  5. Элементы высшей математики для техникумов/ И.Л.Зайцев. Редактор Ф.И.Кизнер. Гл.ред.физ мат.лит., М.:1974.


Вступ


Традиційні форми і методи навчання при викладанні дисципліни Вища математика не завжди забезпечують достатню якість професійної підготовки майбутніх фахівців. Тому використання нових форм, мультимедійних та інтерактивних технологій навчання сприяють підвищенню ефективності роботи студентів на занятті, якості засвоєння теоретичного та практичного матеріалу.

Інформаційно-комунікаційні технології викривають студентам доступ до нетрадиційних джерел інформації, підвищують ефективність роботи як на занятті, так і вдома, дають цілком нові можливості для творчості, закріплення вмінь та навичок.

У даній методичній розробці надається методика впроваджень елементів мультимедійних та інтерактивних технологій навчання.

Мотивація, актуалізація, повторення, закріплення матеріалу на даному занятті здійснюється за допомогою комп'ютера та проектних технологій Intel. Навчання для майбутнього".

У методичній розробці надається довідковий матеріал. Використання технології Intel. Навчання для майбутнього" при вивченні і закріпленні матеріалу скорочує час, залишає більше часу на виконання вправ та розв'язування задач.

У методичній розробці надані матеріали для актуалізації, повторення та закріплення матеріалу, а також зразки виконання проектів, різнорівнева самостійна робота та різнорівневе домашнє завдання.

Дана методична розробка може застосовуватись викладачами математики у формуванні у студентів вмінь і навичок використання основних властивостей визначеного інтегралу та застосування визначеного інтегралу до розв’язування прикладних задач.










Структура заняття

  1. Організаційний момент. 2 хв.

  2. Ознайомлення студентів з темою, метою заняття, планом та критеріями оцінювання. 3 хв.

  3. Мотивація навчання. 5 хв.

  4. Актуалізація опорних знань. 17 хв.

  5. Вивчення нового матеріалу. 14 хв.

  6. Закріплення знань. 30 хв.

  7. Домашнє завдання. 5 хв.

  8. Підведення підсумків заняття. 4 хв.

____________________________________________________________

80 хвилин


















ХІД ЗАНЯТТЯ

    1. Організаційний момент.

    1. Привітання студентів та присутніх;

    2. Перевірка наявності студентів на занятті, зовнішнього виду. Підготовка аудиторії до заняття,

У групі за списком 11 студентів. Чи є відсутні? (Інформація чергового). Викладач відмічає відсутніх.

      1. Ознайомлення студентів з темою, навчальними цілями, планом заняття та критеріями оцінювання.

Тема нашого заняття: Застосування визначеного інтегралу до розв’язування прикладних задач (написана на дошці).

Відомий математик Н.И. Лобачевский сказав “Математика – язык, на котором говорят все точные науки”.


Ми з вами повинні обговорити наступні питання:

  • довідку з історії інтегрального числення;

  • властивості визначеного інтегралу;

  • вживання інтеграла в математиці;

  • вживання інтеграла у фізиці;

  • вживання інтеграла у економіці;




Працювати будемо так:

  1. Під час повторення і узагальнення матеріалу ми будемо використовувати екран, комп'ютер, висвічувати необхідні малюнки, визначення, формули та рішення. А ви будете відповідати на запитання, коментувати відповіді, знаходити помилки.

  2. За змістом теми до кожного проекту ви будете відповідати на питання викладача; за особливі, цікаві, аргументовані, несподівані проекти ви отримаєте заохочувальні бали.

  3. Вам як майбутнім фахівцям - фінансистам, один із студентів продемонструє застосування знань з теми в економіці.

  4. В підсумкових бесідах до кожного проекту ви виконаєте самостійно завдання для закріплення теоретичного матеріалу. Час буде обмежено, тому треба бути уважним, користуватися формулами, калькулятором, при необхідності підіймати руку та просити викладача про допомогу. За правильність рішення вправ та розуміння теоретичного матеріал всі отримаєте заохочувальні бали, які ми приплюсуємо до оцінки за самостійну роботу та в цілому за тему.



III. Мотивація навчання

Показати важливості вживання визначеного інтеграла для вирішення завдань загальнотехнічних і спеціальних дисциплін, тобто показати практичну значущість матеріалу, що вивчається і для подальшого оволодіння професійними навичками.

IV. Актуалізація опорних знань

4.1. Перевірка домашнього завдання.

Викладач збирає листочки з виконаним домашнім завданням та відповідає на поставленні студентами запитання по домашньому завданню, оцінки за домашнє завдання будуть оголошені на наступному занятті.

4.2. Повторення теоретичного матеріалу, вивченого на попередніх заняттях.

Повторити формули інтегрування невизначеного інтеграла та його основні властивості й обчислення визначеного інтеграла методом безпосереднього інтегрування, інтегрування методом підстановки й інтегрування по частинам. Матеріал повторимо за допомогою комп’ютера. Зверніть увагу на екран.


Таблиця основних інтегралів

1) hello_html_m3c970ffc.gif,(hello_html_1976377c.gif)

5) hello_html_3bced98b.gif

9) hello_html_m7a717819.gif

2) hello_html_208c9127.gif

6) hello_html_275ae890.gif

10) hello_html_e7b30f7.gif

3) hello_html_3ac65113.gif

7) hello_html_419e9c0e.gif

11) hello_html_m5c90c257.gif

4) hello_html_m324fdde3.gif

8) hello_html_2c2950b9.gif

12) hello_html_m368a9a3b.gif

13) hello_html_m33450214.gif

15) hello_html_643cd596.gif

14) hello_html_7276b365.gif

16) hello_html_5fbfbc0b.gif



Визначений інтеграл hello_html_m2180dcf3.gif обчислюється за формулою Ньютона-Лейбниця:

hello_html_m2e84ca64.gif,

де hello_html_49e21359.gif - первісна функції hello_html_m6207bca9.gif.



Основні властивості визначеного інтеграла

  1. Постійний множник можна виносити за знак визначеного інтеграла

hello_html_6abf962.gif.


  1. Визначений інтеграл від алгебраїчної суми кінченого числа функцій дорівнює такій же самій алгебраїчній сумі визначених інтегралів від функцій, що складаються

hello_html_345a425.gif.

  1. Якщо відрізок інтегрування розбитий на частини, то інтеграл на усьому відрізку дорівнює сумі інтегралів для кожної з виниклих частин, тобто

hello_html_2575678b.gif.

  1. Якщо на відрізку [a, b], де a < b, hello_html_m647ea5e4.gif, то

hello_html_m23c3ac6d.gif.

  1. Якщо функція hello_html_m5cef0859.gif неперервна на відрізку [a, b], де a < b, то знайдеться таке значення hello_html_75a29b4b.gif, що

hello_html_3ed4caa7.gif.

Основні методи інтегрування

Основними методами інтегрування є безпосереднє інтегрування за допомогою основних властивостей невизначеного інтеграла і таблиці інтегралів, метод підстановки (заміна перемінної) і інтегрування по частинам.


Метод безпосереднього інтегрування розглянемо на прикладі.

Приклад Обчислити інтеграли hello_html_m194ae965.gif.

Розв’язок.

hello_html_m48166cc5.gif.

Метод підстановки складається у введенні нової змінної інтегрування.

Зауваження. У деяких прикладах метод підстановки може бути замінений безпосереднім інтегруванням.

Приклад Обчислити інтеграл hello_html_6134fde0.gif.

Розв’язок.

hello_html_51345faa.gifhello_html_767fe979.gif.

Зауваження. Не забуваємо перераховувати межі інтегрування



4.3. Довідка з історії інтегрального числення.

Інтеграл - одне з фундаментальних понять математики. Воно виникло у зв'язку з необхідністю розв'язку задач із фізики, механіки, математики й інших дисциплінах.

Історія поняття інтеграла йде коріннями до математиків Прадавньої Греції й Прадавнього Рима. Відомі роботи вченого Прадавньої Греції - Евдокса Книдского (ок.408—ок.355 до н.э.) на знаходження обсягів тіл і обчислення площ плоских фігур.

Сам Архімед (287-212 до н.е.) високо цінував результати прадавніх математиків. Згідно з його бажанням, на його могилі висічена куля, вписана у циліндр. Архімед показав, що обсяг такої кулі рівний двом третім обсягу циліндра. Архімед передбачив багато ідей інтегрального вирахування, але треба було більш півтора тисячі років, перш ніж ці ідеї знайшли чітке вираження й були доведені до рівня вирахування.

Велике поширення інтегрального вирахування одержало в XVII столітті. Учені: Г. Лейбниц (1646-1716)і І.Ньютон (1643-1727) відкрили незалежно друг від друга й практично одночасно формулу, названу в наслідку формулою Ньютона - Лейбница, якої ми користуємося. Те, що математичну формулу вивели філософ і фізик нікого не дивує, адже математика - мова, на якій говорить сама природа.

Символ інтеграла був уведений Лейбницом (1675г.) Цей знак є зміною форми латинської букви S. А слово «інтеграл» було введено Я. Бернуллі (1690). Межі інтегрування вказав уже Л.Эйлер (1707-1783).

В 1697 році з'явилася назва нової галузей математики - інтегральне вирахування. Його ввів Бернуллі.

У розвитку інтегрального вирахування взяли участь і російські вчені: М.В.Остроградский, Буняковский В.Я., Чебышев П.Л. Німецькі математики: Б.Риман, О.Коши. Радянський учений - А.Я.Химчин.



  1. Вивчення нового матеріалу.

Могутнім засобом дослідження в математику, фізику, механіку , економіці й інших дисциплінах являється визначений інтеграл- одне з основних понять математичного аналізу.

Студенти групи ФК-21 провели велику роботу, вони зробили пректи, де застосовується визначений інтеграл. Їм слово.

  • 5.1. Перший проект.

  1. Ковтун Тетяна Сергіївна

  2. Донецький Державний економіко-технологічний технікум

  3. Тема: Обчислення площ.

  4. Зміст:

    • Теорія

    • Приклад

Геометричний зміст визначеного інтеграла.

а) Якщо функція hello_html_m5cef0859.gif невід’ємна на відрізку [a, b], де a < b, то визначений інтеграл hello_html_14ee5682.gif чисельно дорівнює площі криволінійної трапеції, обмеженої кривою hello_html_m5cef0859.gif, прямими hello_html_3f24d292.gif, hello_html_23281dd.gif і віссю абсцис hello_html_m8e48e6a.gif.


hello_html_d1ec71.png

hello_html_m5b4c9d44.png

 


Приклад. Обчислити площу плоскої фігури, обмеженої лініями hello_html_m18056e53.gif и hello_html_m2eb010a9.gif.

Розв’язок. Перша лінія hello_html_m18056e53.gifвизначає пряму, яка є віссю абсцис, а друга лінія hello_html_m2eb010a9.gifвизначає параболу з гілками, направленими вниз, і підняту вверх по осі ординат на 4 одиниці. Парабола перетинає вісь абсцис у крапках (hello_html_584e7a06.gif) hello_html_6d656761.gif и hello_html_m6d4e0acb.gif.

hello_html_m11fb3721.gifhello_html_m2ef2a25.gif

4

hello_html_m2eb010a9.gif.




-2 2 hello_html_m5547f17b.gif

Отже, hello_html_m5fe5dac4.gif (подінтегральна функція парна, а межі інтегрування симетричні, тому) hello_html_m5747bd38.gifhello_html_m356d908a.gif.


Таким чином,
площа плоскої фігури hello_html_155365a6.gif.

б) Нехай функція hello_html_278687bc.gif безперервна на сегменті hello_html_3f5396f.gif й ухвалює на цьому відрізку тільки непозитивні значення (hello_html_m6c4b8d8d.gif ), тоді площа плоскої фігури може бути обчислена по одній з формул:

hello_html_10d92d7e.gif; hello_html_d745d8a.gif; hello_html_1e771304.gif.

Хай функція hello_html_278687bc.gif безперервна на сегменті hello_html_3f5396f.gif і міняє на цьому відрізку свій знак в крапці hello_html_m64200688.gif, наприклад, з “+” на “-”, тоді площа плоскої фігури визначається формулою hello_html_1af67297.gifhello_html_2fb99e2d.gifhello_html_m4b0334d4.gif.


hello_html_m2991701a.png

hello_html_697e7cff.png

 

hello_html_625c3c47.png

hello_html_6712ec31.png

 


Приклад. Обчислити площу плоскої фігури, обмеженої лініями hello_html_m18056e53.gif и hello_html_4648c654.gif при hello_html_18e2b32b.gif.

Рhello_html_30d182b2.gifозв’язок. Задані лінії визначають полуволну косинусоїди, яка змінює свій знак з “+” на “-” у крапці hello_html_m3d530dcb.gif . Отже, площа такої плоскої фігури буде рівна: hello_html_m11fb3721.gif


1

hello_html_4648c654.gif


hello_html_280f7123.gifhello_html_m5547f17b.gif

hello_html_m77fdfc92.gif

- 1

hello_html_5b51f722.gifhello_html_60f44bce.gifhello_html_2e2cae88.gifhello_html_2fdc9c50.gif.


в) Хай функції hello_html_278687bc.gif і hello_html_512ef164.gif безперервні на сегменті hello_html_3f5396f.gif і на цьому відрізку задовольняють неравенству hello_html_m3dd453d1.gifhello_html_512ef164.gif, тоді площа криволінійної трапеції можна обчислити за формулою hello_html_m55f0edf7.gifhello_html_m373f346c.gifhello_html_m3e22ed3d.gifhello_html_m1a99b355.gif.

hello_html_1708b7fb.png

hello_html_m4f7ae2f8.png

 

Приклад. Найдём площу обмеженої області, лежачої між графіками hello_html_2bb4e39.gif и hello_html_m6a379d44.gif.

Розв’язок. Ці графіки мають дві спільні крапки (0;0) і (1;1), причьом на відрізку hello_html_m6cd10c38.gif графік hello_html_m6a379d44.gif йде вище, ніж графік hello_html_2bb4e39.gif .

hello_html_e2de00a.png



Значить, майдан області hello_html_52ea6186.png між графіками рівний .

 

hello_html_m28f0e8f.png



  • 5.2. Другий проект.

  1. Кот Сніжана Сергіївна

  2. Донецький Державний економіко-технологічний технікум

  3. Тема: Обчислення об’ємів тіл обертання.

  4. Зміст:

  • Теорія

  • Приклад

Якщо тіло виходить шляхом ротації лінії hello_html_5d3651ff.gif (або hello_html_5c6f9292.gif ) довкола осі hello_html_110986ad.gif(hello_html_m423bfadb.gif), то воно називається тілом обертання.

hello_html_130a09e4.gifhello_html_m11fb3721.gif


hello_html_73e7a168.gif



hello_html_m734afb91.gifhello_html_559071c1.gifhello_html_m5547f17b.gif

hello_html_m2c47ab3a.gif


Площа поперечного перетину такого тіла описується формулою hello_html_4f34a450.gif (або hello_html_1b522671.gif ), отже, об'єм тіла обертання обчислюється за формулою: hello_html_m10f144a4.gif – при обертанні довкола осі абсцис;

hello_html_1c1c80fc.gifпри обертанні довкола осі ординат.

Приклад. Обчислити об'єм тіла обертання, якщо воно отримане шляхом ротації лінії hello_html_m2eb010a9.gif довкола осі абсцис при hello_html_m639e7c1e.gif .

Розв’язок. Згідно приведеній формулі

hello_html_503867a0.gifhello_html_m4510a653.gif

hello_html_65e6ec8e.gif.


  • 5.3. Третій проект.

  1. Сенчило Оксана Володимирівна

  2. Донецький Державний економіко-технологічний технікум

  3. Тема: Обчислення шляху, пройденого крапкою.

  4. Зміст:

  • Теорія

  • Приклад

Шлях, пройдений крапкою при нерівномірному русі по прямій із змінною швидкістю hello_html_m4435c3e9.gif за проміжок часу від hello_html_108e64f7.gif до hello_html_m465e5e5b.gif обчислюється за формулою hello_html_3ce32936.gif .

Приклади:

1. Швидкість руху крапки hello_html_m16fda0d3.gif, м/х. Знайти шлях, пройдений крапкою за 4-ю секунду.

Розв’язок. Згідно умові hello_html_m16fda0d3.gif, hello_html_6976be1a.gif и hello_html_325a9942.gif . Отже

hello_html_6b04b65d.gifhello_html_m79e6a4df.gifhello_html_1f508901.gif(м).

2. Два тіла почали рухатися одночасно з однієї крапки в одному направленні по прямій. Перше тіло рухається із швидкістю hello_html_7012141c.gif м/х, друге — із швидкістю hello_html_m78a9af9f.gif, м/х. На якій відстані один від одного вони опиняться через 5 хвил?

Розв’язок. Очевидно, що шукана величина є різниця відстаней пройдених першим і другим тілом за 5 хвилин:

hello_html_m50a2967d.gifhello_html_4df59b84.gif, (м)

hello_html_74a85907.gifhello_html_m1609358e.gif, (м)

hello_html_m65d21d67.gif, (м).

3. Тіло кинуте з поверхні землі вертикально вгору з швидкістю hello_html_m23bd87b2.gif, м/с. Знайти найбільшу висоту підйому тіла.

Розв’язок. Тіло досягне найбільшої висоти підйому в такий момент часу t, коли hello_html_18af21f2.gif, тобто hello_html_m3e492075.gif, звідки hello_html_7ce874fa.gif, х. По формулі hello_html_3ce32936.gif находимо hello_html_m6b5688c0.gifhello_html_m56f3e4af.gif, (м)

  • 5.4. Четвертий проект.

  1. Комаров Олексій Сергійович

  2. Донецький Державний економіко-технологічний технікум

  3. Тема: Обчислення роботи сили .

  4. Зміст:

  • Теорія

  • Приклад

Робота, проведена змінною силою f(х) при переміщенні по осі Ох матеріальної крапки від х = а до х=b, знаходиться по формулі hello_html_1311e57c.gif. При вирішенні завдань на обчислення роботи сили часто використовується закон Гука: F=kx, де F — сила, Н; х—абсолютне подовження пружини, м, викликане силою F, а k —коефіцієнт пропорційності, Н/м.

Приклад:

1. Пружина в спокійному достатку має довжину 0,2 м. Сила в 50 Н розтягує пружину на 0,01 м. Яку роботу треба зробити, щоб розтягнути її від 0,22 до 0,32 м?

Розв’язок. Використовуючи рівність F=kx , маємо 50=0,01k, тобто k = 5000 Н/м. Знаходимо границі інтеграції: а = 0,22 — 0,2 = 0,02 (м), b=0,32— 0,2 = 0,12(м). Тепер по формулі hello_html_1311e57c.gif отримаємо:

hello_html_3ac13daa.gifhello_html_m6c6c699e.gif

hello_html_m22cef067.gif, (Дж)

Приклад:

2. Сила 196,2 Н розтягує пружину на 18 див. Яку роботу вона проводить?

Розв’язок. Використовуючи рівність F=kx, маємо k=F/x=196,2/0,18=1090 (H/м). Значить, F=1090x. Знаходимо шукану роботу:

hello_html_dfa0fc8.gifhello_html_m423feceb.gif

hello_html_m156cf90d.gif, (Дж)

  • 5.4. Пятий проект.

  1. Стріжакова Аліна Вікторівна

  2. Донецький Державний економіко-технологічний технікум

  3. Тема: Сила тиску рідини

  4. Зміст:

  • Теорія

  • Приклад

Сила тиску Р рідини щільності hello_html_644d471.gif на вертикальну пластину, погружену в рідину, відчисляється по формулі:

hello_html_42d3b27.gif,

где hello_html_m4a10ed95.gif м/с2 прискорення вільного падіння, S- площа пластинки, а глибина погружения пластинки змінюється від а до b.

Приклад:

1. Обчислити силу тиску води на одну із стінок акваріума, що має довжину 30 см і висоту 20 см.

Розв’язок. Стінка акваріума має форму прямокутника, тому hello_html_m72b3b0d7.gif , де hello_html_279501cf.gif . Щільність води рівна 1000 кг/м3. Тоді сила тиску води на стінку акваріума згідно формулі hello_html_42d3b27.gif состовляє:

hello_html_168f0ddb.gifhello_html_m1e16645b.gif(Н)

2. Обчислити силу тиску бензину на стінки циліндрового бака висотою 3 м і радіусом підстави 1 м.

Розв’язок. Площа поверхні циліндрового бака hello_html_m475a97fe.gif, де hello_html_m6dc134cb.gif . Щільність бензину є 800 кг/м3. Тоді сила тиску бензину на стінки бака состовляє:

hello_html_m5e509c0d.gifhello_html_3b53d132.gif(Н)





VI. Закріплення знань. Вирішення завдань на закріплення (программірованний контроль).

Завданя

Відповіді

Обчислити площу плоскої фігури, обмеженої лініями

 

 

 

 

I варіант

II варіант

1

2

3

4

y=x2+2, y=x+2

y=-x2+4, y=-x+4

7

1/6

2/3

1/3

y=sin2x,y=0

x=0, x=hello_html_5db913cb.png/4

y=cos2x, y=0

x=-hello_html_5db913cb.png/4, x=hello_html_5db913cb.png/4

2

-1

1/2

1

y=-2/х, y=2

x=-4, x=-1

y=-1/х, y=1

x=-3, x=-1

6-4ln2

2-ln3

2ln2

2-3ln2

Виконати взаємоперевірку.

Вірні відповіді: I варіант: 2,3,1 II варіант: 2,4,2




VII. Домашнє завдання

1. Обчислити площу плоскої фігури, обмеженої лініями:

a) у=х2hello_html_a1a6079.png0), у=1, у=4, х=0

б)у=3х+1, у=9-х, у=х+1

2. При якому значенні а пряма х=а ділить площу фігури, обмеженої лініями у=2/х; х=1; х=3 відносно 1:3?

3. Скласти картку (можна декілька) для самостійної роботи, в якій мають бути:

a) Теоретичне питання: (визначення, властивості, формули, алгоритм вирішення).

б) Приклади на обчислення невизначеного інтеграла.

в) Приклади на обчислення определённого інтеграла.

г) Приклади на знаходження площі фігури.


hello_html_0.gif








Общая информация

Номер материала: ДВ-379971

Похожие материалы