Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Методическая разработка по алгебре 7 класс "Система алгоритмов решения основных задач за курс 7 класса"

Методическая разработка по алгебре 7 класс "Система алгоритмов решения основных задач за курс 7 класса"



Осталось всего 4 дня приёма заявок на
Международный конкурс "Мириады открытий"
(конкурс сразу по 24 предметам за один оргвзнос)


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:





Алгоритмы алгебра 7 класс

составила учитель математики ГБОУ гимназии №1925 Антонова Л.В.

Оглавление

  1. Линейное уравнение с одной переменной



  1. Линейное уравнение с двумя переменными и его график

  2. Системы линейных уравнений с 2-мя переменными.

  3. Решение системы линейных уравнений с 2-мя переменными методом подстановки.

  4. Решение системы линейных уравнений с 2-мя переменными методом алгебраического решения.

  5. Графическое решение системы уравнений с 2-мя переменными.

  6. Разложение на множители. Способы разложения на множители:

  • Вынесение общего множителя за скобки.

  • Способ группировки.

  • Разложение на множители с помощью ФСУ.

  1. Справочный материал























1. Линейнoe уравнение с одной переменной.

1.Определение

Уравнение вида ax+b=0, где a и b - некоторые числа, причём a ≠ 0 , называется линейным уравнением с одной переменной.

2.Решить линейное уравнение с одной переменной – это значит найти все его корни или убедиться, что их нет.

3.Определение

Корень уравнения – это значения переменных, обращающих уравнение в верное числовое равенство.

4.Графиком линейного уравнения с одной переменной является прямая (множество точек координатной плоскости , координаты которых являются решениями данного уравнения).

5.Алгоритм решения линейных уравнений с одной переменной

-2(х-5)+3(х-4)=4х+1

-2х+10+3х-12=4х-1

  1. Собираем неизвестные слагаемые в одну часть, а известные в другую:

Переписываем слагаемые, сохраняя знак;

Переносим слагаемые, меняя на знак противоположный.


-2х+3х-4х=1-10+12

  1. Упрощаем левую и правую части уравнения;

Уравнение должно иметь вид ах=b

-3х=3

4)Находим корень уравнения, делением правой части на множитель перед х

х= b:a

х=3: (-3)

х=-1

5)Ответ: …

Ответ:-1



Примечание:

1.Если уравнение имеет вид 0х=0, то х –любое число;

2. Если уравнение имеет вид 0х=а, где а – число а≠0, тогда корней нет;



Задания для тренировки

1)0.5x=15;

x=36;

3)x=49;

4) 6x-12=4x-8;

5) 5y-8=2y-5;

6) (2x-5)-(3x-7)=4;

7) (4x-7)-(2+3x)=-10;

8) 1.2x-0.8=0.4;

9) 2(x-1.5)+X=6;

10) 5(x-1.2)-2=3x

11) - 1x=0

12) 10-9(a - )=7a

13) 2(x-0.5)-(x+0.3)=-1.3

14) 0.4(3x-5)+0.7=0.6(x-1)













2.Линейное уравнение с двумя переменными

и его график.

1.Определение

Уравнение вида ax+by+c=0, где x,y- переменные, a,b,c –некоторые числа, называется линейным уравнением с двумя переменными

2. Решением уравнения с двумя переменными называют всякую пару чисел (x,y), удовлетворяющая данному уравнению, т.е. обращающая данное уравнение в верное числовое равенство.

3. Графиком уравнения с двумя переменными ax+by+c=0 является прямая (множество точек на плоскости, координаты которых являются решениями данного уравнения).

Построение графика уравнения с двумя переменными:

2) График – прямая (для построения прямой составляем таблицу);

Придать переменной x конкретное значение x=x1 и подставить его в уравнение, найти соответствующие значение y=y1;

Затем придать переменной другое значение x=x2 и найти соответствующее значение y=y2;





График – прямая; составим таблицу

a)x=1; 5∙1+2y+3=0

2y=-8

y=-4

б)x=-1; 5∙(-1)+2y+3=0

2y=2

y=1











3)Построить на координатной плоскости x0y точки (x1;y1) и (x2;y2);

Провести через эти точки прямую – она и будет графиком уравнения

hello_html_3a91f94c.png



Примечание.

Для составления таблицы можно выразить одну из переменных через другую (чаще y через x), а затем перейти к пункту 2.





























3.Системы линейных уравнений с двумя переменными. Методы решения системы линейных уравнений с двумя переменными.

Система уравнений - это два или несколько уравнений, для которых необходимо найти все их общие решения.

a1x+b1y=c1,

a2x+b2y=c2; где a,b,c- некоторые числа, x,y-переменные

Решить систему линейных уравнений с двумя переменными - это значит найти все её решения или установить, что их нет.

Решением системы линейных уравнений называют пару значений (х; у), которая одновременно является решением и первого, и второго уравнений.

Решением уравнения ах+bу+cназывают всякую пару чисел (х;у), которая удовлетворяет этому уравнению, т.е. обращает уравнение в верное числовое равенство.

Методы решения системы линейных уравнений с 2-мя переменными:

  1. Метод подстановки;

  2. Метод алгебраического сложения;

  3. Графический метод.



















3.Методы решения системы линейных уравнений с двумя переменными

МЕТОД ПОДСТАНОВКИ

1)

a1x+b1y=c1,

a2x+b2y=c2;


4x + 3y=6,

2x + y= 4;

  1. Из любого уравнения системы выразить одну переменную через другую (из которого проще).

2x + y= 4 │ : 2

y = 4-2x


  1. Подставляем выраженную переменную в другое уравнение системы. Решаем полученное уравнение, находим одну из переменных.

4x + 3(4 – 2x) = 6

4x +12 – 6x = 6

-2x = 6 - 12

-2x= -6

x= - 6 │:(- 2)

x= 3

  1. Подставляем найденное значение переменной в выражение для другой переменной и вычисляем её.

у=4 – 2 ∙3 = 4 – 6 = -2

  1. Возвращаемся к системе.


х=3,

у=5= -2.


  1. Ответ (х; у)

Ответ: (3; - 2)


















4.Методы решения системы линейных уравнений с двумя переменными

МЕТОД АЛГЕБРАИЧЕСКОГО СЛОЖЕНИЯ

1)

a1x+b1y=c1,

a2x+b2y=c2;



2) Путем домножения одного из уравнений (или обоих), добиваемся перед одной из переменных в уравнениях системы противоположных коэффициентов.




3)Почленно складываем левые и правые части уравнений системы.


4)Находим значение одной из переменных.



5)Подставляем найденное значение переменной в любое уравнение системы, находим значение второй переменной.




6)Ответ: (x;y)



y+3x=1,

2x-5y=-22;



3х+у=1, |∙5

2х-5у=-22;


15х+5у=5

2х-5у=-2



(15x+2x)+(5y + (-5y))= 5+(-22)


17x= -17


x=17 : (-17)

x= -1


x= -1,

y+3 ∙ (-1)=1;

x= -1,

y-3=1;

Ответ:(-1;4)

Пример.

Решить систему уравнений методом алгебраического сложения

x– 5 = 3y,

3x + 2y =4;





x – 3y =5,│∙(-3)

3x + 2y =4;



-3x + 9y= -15,

3x + 2y= 4 ;

11y = -11 │:11

y = -1

y= -1,

x – 5 = 3y ;

y = -1

x = 3∙ (-1) + 5;

y= -1,

x= 2;

Ответ: (2; -1)























5.Методы решения системы линейных уравнений с двумя переменными

ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД

1) Привести систему к виду:

a1x+b1y=c1,

a2x+b2y=c2;


2)В одной системе координат построить графики уравнений системы

а) a1x+b1y=c1

b) a2x+b2y=c2


Графики- прямые, для построения составляем таблицы из двух (трех) точек.



.




3)Находим координаты точки пересечения графиков или убеждаемся, что их нет.










  1. Ответ: (x;y)


1)

х+у=-5,

3х-у=-7;


2) В одной системе координат построить графики уравнений:

а) х+у=-5

у=-5-x график-прямая

x|0|-5

y|-5|0

б) 3х-у=-7

у=3х+7 график-прямая

х|0|2

у|7|13


hello_html_m6bf349d.jpg


Ответ: (-3;-2)

Примечание. Если координаты точки пересечения приближенные,

то в ответ пишем x… ; y



РАЗЛОЖЕНИЕ НА МНОЖИТЕЛИ

Разложить на множители значит – представить многочлен в виде произведения двух или нескольких множителей.

Способы разложения:

  1. Вынесение общего множителя за скобки ;

  2. Способ группировки ;

  3. Формулы сокращенного умножения;

  4. Комбинация способов 1-3.

РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА НА МНОЖИТЕЛИ ВЫНЕСЕНИЕМ ОБЩЕГО МНОЖИТЕЛЯ ЗА СКОБКИ

12ab4-18a2b3c = 6ab3(2b-3ac)


  1. 5a4 -5a3 + 15a5 = 5a3(a-1+3a2)=

= 5a3(3a2 + a - 1)

  1. Остатки в скобках получаем путем деления каждого одночлена данного многочлена

(если одночлен выносится весь, то в скобках остается 1)




Примечание:

В роли общего множителя может быть многочлен в виде одинаковой скобки.

  1. 15x(a +2b)-8(a+2b)=(a+2b)(15x-8)

  2. a(b-c)+c(c-b)=a(b-c)-c(b-c)=(b-c)(a-c)

Запомнить:

a+b=b+a

a-b+-(b-a)





6.РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА НА МНОЖИТЕЛИ

СПОСОБОМ ГРУППИРОВКИ

1.

Сгруппировать слагаемые в скобки. Если перед скобкой знак плюс, то слагаемые в скобках сохраняют знак, а если минус – меняют на противоположный.


2a2 – 6a – ab + 3b = (2a2 – 6a) – (ab-3b) =

2.

Из каждой скобки вынесем общий множитель

(группировка успешна, если после вынесения получается одинаковые скобки).


= 2a(a-3)-b(a-3)=

3.

Выносим за скобки общий множитель (скобку).


=(a-3)(2a-b).



Примечание:

Если в заданном многочлене есть различные скобки, то их надо раскрыть и выполнить новую группировку.

Запомнить:

a-b=-(b-a)

(a-b)2=(b-a)2













РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА НА МНОЖИТЕЛИ

С ПОМОЩЬЮ ФОРМУЛ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ


1.Разность квадратов


a2b2 = (a-b)(a+b)





а) 4-=(2-x)(2+x)

б) 25-1=(5m-1)(5m+1)

в) -=(y-(1+y)(y+(1+y))=

(y-1-y)(y+1+y)=-1(2y+1)

-16=(t-6-4t)(t-6+4t)=

(-3t-6)(5t-6)=(3t+6)(6-5t)



2.Квадрат суммы


(a-b)2= a2 + 2ab + b2





а) =(

б)4+12a+9=

в)1++2b=

г)-2n-1=-(+2n+1)=




3.Квадрат разности


(a-b)2= a2 + 2ab + b2





а) =(

б)=

в)+=

г)10x-25-=-(-10x+25)=


4.Сумма кубов

a3+b3=(a+b)(a2 –ab+b2)








а) =)

б)+64==(2c+1+4)∙

(-4(2c+1)+16)=

=(2c-3)(+4c+1-8c-4+16)=(2c-3)(





5.Разность кубов

a3-b3=(a-b)(a2 +ab+b2)







a) 64-=-=(4-x)(16+4x+

б) -=(3)(


Степень. Свойства степеней

Определения

Определение 1. n-ой степенью числа а, где n=2,3,4,5,… называется произведение n одинаковых множителей , каждый из которых равен а.

аn = а ∙ а ∙ а∙ … ∙а ,

где аn – степень, а – основание степени, n – показатель степени

Определение 2. а1 = а

Определение 3. а0 = 1

1.При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остается тем же, а показатели складываются

an∙ak=an+k

(xy)3 ∙ (x-y)2 = (x-y)5

2.При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остается тем же, а показатели вычитаются

an:ak=an-k , где nk

=

=


3.При возведении степени в степень основание остается тем же, а показатели перемножаются

(an)m = anm

=

=

4.При умножении степеней с одинаковыми показателями основания перемножаются, а показатель остается тем же

апbn = (ab)n



5.При делении степеней с одинаковыми показателями основания делятся, а показатель остается тем же

an:bn = (a:b)n


=



6.Чтобы произведение возвести в степень, надо каждый множитель возвести в эту степень






7. Чтобы дробь возвести в степень, надо числитель и знаменатель возвести в эту степень




= =



Справочный материал.

1. Таблица квадратов.

hello_html_m23589562.jpg

2. Таблица основных степеней.

hello_html_m62c66139.jpg











3.

hello_html_20c4d14b.jpg



57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)


Автор
Дата добавления 11.10.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров32
Номер материала ДБ-252705
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх