Методическая разработка по алгебре 7 класс "Система алгоритмов решения основных задач за курс 7 класса"

Алгоритмы  алгебра 7 класс

 составила учитель математики ГБОУ гимназии №1925 Антонова Л.В.

Оглавление

1.     Линейное уравнение с одной переменной

2.     Линейное уравнение с двумя  переменными и его график

3.     Системы линейных уравнений с 2-мя переменными.

4.     Решение системы линейных уравнений с 2-мя переменными методом подстановки.

5.     Решение системы линейных уравнений с 2-мя переменными методом алгебраического решения.

6.     Графическое решение системы уравнений с 2-мя переменными.

7.     Разложение на множители. Способы разложения на множители:

·        Вынесение общего множителя за скобки.

·        Способ группировки.

·        Разложение на множители с помощью ФСУ.

8.     Справочный материал

         1. Линейнoe уравнение с одной переменной.

1.Определение

Уравнение вида ax+b=0, где  a и b - некоторые числа, причём a ≠ 0 , называется линейным уравнением с одной переменной.

2.Решить линейное уравнение с одной переменной – это значит найти все его корни или убедиться, что их нет.

3.Определение

Корень уравнения – это значения переменных, обращающих уравнение в верное числовое равенство.

4.Графиком линейного уравнения с одной переменной является прямая (множество точек координатной плоскости , координаты которых являются решениями данного уравнения).

5.Алгоритм решения линейных уравнений с одной переменной

Алгоритм	Образец
1)    Раскрываем скобки	-2(х-5)+3(х-4)=4х+1 -2х+10+3х-12=4х-1
2)    Собираем неизвестные слагаемые в одну часть, а известные в другую: Переписываем слагаемые,  сохраняя знак; Переносим слагаемые, меняя на знак противоположный.	-2х+3х-4х=1-10+12
3)    Упрощаем левую и правую части уравнения; Уравнение должно иметь вид ах=b	-3х=3
4)Находим корень уравнения, делением правой части на множитель перед х     х= b:a	х=3: (-3) х=-1
5)Ответ: …	Ответ:-1

Примечание:

1.Если уравнение имеет вид 0х=0, то х –любое число;

2. Если уравнение имеет вид 0х=а, где а – число а≠0, тогда корней нет;

Задания для тренировки

1)0.5x=15;

x=36;

3)x=49;

4) 6x-12=4x-8;

5) 5y-8=2y-5;

6) (2x-5)-(3x-7)=4;

7) (4x-7)-(2+3x)=-10;

8) 1.2x-0.8=0.4;

9) 2(x-1.5)+X=6;

10) 5(x-1.2)-2=3x

11)  - 1x=0

12) 10-9(a - )=7a

13) 2(x-0.5)-(x+0.3)=-1.3

14) 0.4(3x-5)+0.7=0.6(x-1)

2.Линейное уравнение с двумя переменными

и его график.

1.Определение

Уравнение вида ax+by+c=0, где x,y- переменные, a,b,c –некоторые числа, называется линейным уравнением с двумя переменными

2. Решением уравнения с двумя переменными называют всякую пару чисел (x,y), удовлетворяющая данному уравнению, т.е. обращающая данное уравнение в верное числовое равенство.

3. Графиком уравнения с двумя переменными ax+by+c=0 является прямая (множество точек на плоскости, координаты которых являются решениями данного уравнения).

 Построение графика уравнения с двумя переменными:

Алгоритм	Образец
1)Привести уравнение к виду ax+by+c=0 (или ax+by=c)	5x+2y+3=0
2) График – прямая (для построения прямой составляем таблицу); Придать переменной x конкретное значение x=x1 и подставить его в  уравнение, найти соответствующие значение y=y1; x x1 x2 y y1 y2 Затем придать переменной другое значение x=x2 и найти соответствующее значение y=y2;	График – прямая; составим таблицу a)x=1;   5∙1+2y+3=0              2y=-8               y=-4 б)x=-1;  5∙(-1)+2y+3=0               2y=2 x 1 -1 y -4 1               y=1
3)Построить на координатной плоскости x0y точки (x1;y1) и (x2;y2);  Провести через эти точки прямую – она и будет графиком уравнения

Примечание.

Для составления таблицы можно выразить одну из переменных через другую (чаще y через x), а затем перейти к пункту 2.

3.Системы линейных уравнений с двумя переменными. Методы решения системы линейных уравнений с двумя переменными.

Система уравнений - это два или несколько уравнений, для которых необходимо найти все их общие решения.

     a₁x+b₁y=c₁,

     a₂x+b₂y=c₂;     где a,b,c- некоторые числа, x,y-переменные

 Решить систему линейных уравнений с двумя переменными - это значит найти все её решения или установить, что их нет.

Решением системы линейных уравнений называют пару значений (х; у), которая одновременно является решением и первого, и второго уравнений.

Решением уравнения ах+bу+c=о называют всякую пару чисел (х;у), которая удовлетворяет этому уравнению, т.е. обращает уравнение в верное числовое равенство.

Методы решения системы линейных уравнений с 2-мя переменными:

1)    Метод  подстановки;

2)    Метод алгебраического  сложения;

3)    Графический метод.

3.Методы решения системы линейных уравнений с двумя переменными

                                    МЕТОД   ПОДСТАНОВКИ

Алгоритм	Образец
1)                                   a1x+b1y=c1,      a2x+b2y=c2;	4x + 3y=6,        2x + y= 4;
1)    Из любого уравнения системы выразить одну переменную через другую (из которого проще).	2x + y= 4 │ : 2   y = 4-2x
2)    Подставляем выраженную переменную в другое уравнение системы. Решаем полученное уравнение, находим одну из переменных.	4x + 3(4 – 2x) = 6    4x +12 – 6x = 6    -2x = 6 - 12    -2x= -6    x= - 6 │:(- 2)    x= 3
3)    Подставляем найденное значение переменной в выражение для другой переменной и вычисляем её.	у=4 – 2 ∙3 = 4 – 6 = -2
4)    Возвращаемся к системе.	х=3,        у=5= -2.
5)    Ответ (х; у)	Ответ: (3; - 2)

4.Методы решения системы линейных уравнений с двумя переменными

                     МЕТОД АЛГЕБРАИЧЕСКОГО СЛОЖЕНИЯ

Алгоритм

Образец

1)                                     a1x+b1y=c1,        a2x+b2y=c2;       2) Путем домножения одного из уравнений (или обоих), добиваемся перед одной из переменных в уравнениях системы противоположных коэффициентов.   3)Почленно складываем левые и правые части уравнений системы. 4)Находим значение одной из переменных.   5)Подставляем найденное значение переменной в любое уравнение системы, находим значение второй переменной.   6)Ответ: (x;y)

1)                           y+3x=1, 2x-5y=-22;                           3х+у=1,    |∙5                2х-5у=-22;                15х+5у=5              2х-5у=-2 (15x+2x)+(5y + (-5y))= 5+(-22) 17x= -17 x=17 : (-17) x= -1       x= -1,       y+3 ∙ (-1)=1;       x= -1,       y-3=1; Ответ:(-1;4)

Пример.

Решить систему уравнений методом алгебраического сложения

x– 5 = 3y,

3x + 2y =4;

x – 3y =5,│∙(-3)

3x + 2y =4;

-3x + 9y= -15,

 3x + 2y= 4 ;

    11y = -11 │:11

      y = -1

y= -1,

x – 5 = 3y ;

y = -1

x = 3∙ (-1) + 5;

y= -1,

x= 2;

Ответ: (2; -1)

5.Методы решения системы линейных уравнений с двумя переменными

                              ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД

Алгоритм	Образец
1)  Привести систему к виду:                                   a1x+b1y=c1,      a2x+b2y=c2;       2)В одной системе координат построить графики уравнений системы а) a1x+b1y=c1 b) a2x+b2y=c2 Графики- прямые, для построения составляем таблицы из двух (трех) точек. . 3)Находим координаты точки пересечения графиков или убеждаемся, что их нет. 4)    Ответ: (x;y)	1)        х+у=-5,        3х-у=-7; 2)  В одной системе координат построить графики уравнений:  а)     х+у=-5          у=-5-x   график-прямая      x|0|-5                                                                                                    y|-5|0  б) 3х-у=-7      у=3х+7  график-прямая       х|0|2       у|7|13                         Ответ: (-3;-2)

 Примечание. Если координаты точки пересечения приближенные,

то в ответ пишем x… ; y…

                     РАЗЛОЖЕНИЕ НА МНОЖИТЕЛИ

Разложить на множители значит – представить многочлен в виде произведения двух или нескольких множителей.

Способы разложения:

1)    Вынесение общего множителя за скобки ;

2)     Способ группировки ;

3)    Формулы сокращенного умножения;

4)    Комбинация способов 1-3.

РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА НА МНОЖИТЕЛИ ВЫНЕСЕНИЕМ ОБЩЕГО МНОЖИТЕЛЯ ЗА СКОБКИ

АЛГОРИТМ	ОБРАЗЕЦ
1.     Вынести наибольший общий делитель коэффициентов всех одночленов данного многочлена и одинаковые переменные, входящие в каждый одночлен с наименьшими показателями.	1)    12ab4-18a2b3c = 6ab3(2b-3ac) 2)    5a4 -5a3 + 15a5 = 5a3(a-1+3a2)= = 5a3(3a2 + a - 1)
2.     Остатки в скобках получаем путем деления каждого одночлена данного многочлена (если одночлен выносится весь, то в скобках остается 1)

Примечание:

В роли общего множителя может быть многочлен в виде одинаковой скобки.

1)    15x(a +2b)-8(a+2b)=(a+2b)(15x-8)

2)    a(b-c)+c(c-b)=a(b-c)-c(b-c)=(b-c)(a-c)

Запомнить:

a+b=b+a

a-b+-(b-a)

6.РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА НА МНОЖИТЕЛИ

СПОСОБОМ ГРУППИРОВКИ

АЛГОРИТМ	ОБРАЗЕЦ
1. Сгруппировать слагаемые в скобки. Если перед скобкой знак плюс, то слагаемые в скобках сохраняют знак,  а если минус – меняют на противоположный.	2a2 – 6a – ab + 3b = (2a2 – 6a) – (ab-3b) =
2. Из каждой скобки вынесем общий множитель  (группировка успешна, если после вынесения получается одинаковые скобки).	= 2a(a-3)-b(a-3)=
3. Выносим за скобки общий множитель (скобку).	=(a-3)(2a-b).

Примечание:

Если в заданном многочлене есть различные скобки, то их надо раскрыть и выполнить новую группировку.

Запомнить:

a-b=-(b-a)

(a-b)²=(b-a)²

РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА НА МНОЖИТЕЛИ

С ПОМОЩЬЮ ФОРМУЛ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ

Формулы	Образец применения
1.Разность квадратов a2 – b2 = (a-b)(a+b)	а) 4-=(2-x)(2+x) б) 25-1=(5m-1)(5m+1) в) -=(y-(1+y)(y+(1+y))= (y-1-y)(y+1+y)=-1(2y+1) -16=(t-6-4t)(t-6+4t)= (-3t-6)(5t-6)=(3t+6)(6-5t)
2.Квадрат суммы (a-b)2= a2 + 2ab + b2	а) =( б)4+12a+9= в)1++2b= г)-2n-1=-(+2n+1)=
3.Квадрат разности (a-b)2= a2 + 2ab + b2	а) =( б)= в)+= г)10x-25-=-(-10x+25)=
4.Сумма кубов a3+b3=(a+b)(a2 –ab+b2)	а) =) б)+64==(2c+1+4)∙ ∙(-4(2c+1)+16)= =(2c-3)(+4c+1-8c-4+16)=(2c-3)(
5.Разность кубов a3-b3=(a-b)(a2 +ab+b2)	a) 64-=-=(4-x)(16+4x+ б) -=(3)(

                                         Степень. Свойства степеней

Определения

Определение 1.   n-ой степенью числа а, где n=2,3,4,5,… называется произведение n одинаковых множителей , каждый из которых равен а.

аⁿ = а ∙ а ∙ а∙ … ∙а      ,

где аⁿ – степень, а – основание степени,  n – показатель степени

Определение 2.   а¹ = а

Определение 3.   а⁰ = 1                             

Свойства степеней	Примеры применения
1.При умножении степеней с     одинаковыми основаниями основание остается тем же, а показатели складываются an∙ak=an+k	(xy)3 ∙ (x-y)2 = (x-y)5
2.При делении степеней с     одинаковыми основаниями основание остается тем же, а показатели вычитаются an:ak=an-k , где n ›k	= =
3.При возведении степени в степень основание остается тем же, а показатели перемножаются           (an)m = anm	= =
4.При умножении степеней с одинаковыми показателями основания перемножаются, а показатель остается тем же             апbn = (ab)n	∙
5.При делении степеней с одинаковыми показателями основания делятся, а показатель остается тем же             an:bn = (a:b)n	=
6.Чтобы произведение возвести в степень, надо каждый множитель возвести в эту степень
7. Чтобы дробь возвести в степень, надо числитель и знаменатель возвести в эту степень	= =

Справочный материал.

1. Таблица квадратов.

2. Таблица основных степеней.

3.