Инфоурок / Математика / Конспекты / Методическая разработка по алгебре на тему "Решение уравнений высших степеней" (8 класс)
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Педагогическая деятельность в соответствии с новым ФГОС требует от учителя наличия системы специальных знаний в области анатомии, физиологии, специальной психологии, дефектологии и социальной работы.

Только сейчас Вы можете пройти дистанционное обучение прямо на сайте "Инфоурок" со скидкой 40% по курсу повышения квалификации "Организация работы с обучающимися с ограниченными возможностями здоровья (ОВЗ)" (72 часа). По окончании курса Вы получите печатное удостоверение о повышении квалификации установленного образца (доставка удостоверения бесплатна).

Автор курса: Логинова Наталья Геннадьевна, кандидат педагогических наук, учитель высшей категории. Начало обучения новой группы: 27 сентября.

Подать заявку на этот курс    Смотреть список всех 216 курсов со скидкой 40%

Методическая разработка по алгебре на тему "Решение уравнений высших степеней" (8 класс)

библиотека
материалов

Министерство образования Республики Марий Эл

Муниципальное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа № 3 г. Козьмодемьянска»












Методическая разработка

элективного курса по математике

для 9-го класса



«Решение алгебраических уравнений

высших степеней»









Разработала: учитель математики

высшей квалификационной категории

МОУ «СОШ № 3 г Козьмодемьянска»

Республики Марий Эл

Авдеева Галина Николаевна










г. Козьмодемьянск

Пояснительная записка.


Элективный курс «Решение уравнений высших степеней» предназначен для предпрофильной подготовки в 9 классе, а так же может быть использован для изучения в профильных 10 – 11 классах. Актуальность этого курса состоит в том, что в последние годы в материалах выпускных экзаменов в форме ОГЭ и ЕГЭ предлагаются задания по этой теме. Курс предназначен для углубления знаний учащихся по теме «Уравнения» и рассчитан на 10 часов. Содержание курса согласовано с государственными стандартами общего среднего образования и примерными программами по математике.

Предлагаемый элективный курс соответствует возрастным особенностям учащихся, не создает у них перегрузок при изучении математики.

Курс ориентирован на развитие у школьника умений решать уравнения более сложные, чем предлагаются в учебнике, выбирать оптимальный метод решения для данного конкретного уравнения.

Данный элективный курс может быть использован учителями общеобразова- тельных классов для индивидуальных и дифференцированных занятий.


Цели курса:

развитие математической культуры учащихся;

развитие познавательной деятельности учащихся;

развитие интереса школьников к предмету.

Задачи курса:

расширить представления учащихся по важнейшей теме в курсе алгебры;

познакомить учащихся с различными методами решения уравнений;

развивать логическое мышление, умение аргументировать ответы.


Ожидаемые результаты:

умение учащихся решать уравнения различными методами;

применение полученных знаний для успешной сдачи ОГЭ и ЕГЭ;

определение склонностей ученика при выборе профильного обучения.


Виды деятельности на занятиях:

лекция, практикум, беседа.


По окончании курса учащиеся должны выполнить практическую работу: подготовить подборку уравнений рассмотренных видов из дополнительной литературы (с решениями).








Методы решения уравнений высших степеней.


1. Метод разложения на множители.


1) hello_html_m3d33499c.gif

hello_html_m1e6cbe98.gif

hello_html_m564ef26c.gifили hello_html_708242a0.gif

х = − 3. Пусть hello_html_m1b4ef8ba.gift ≥ 0.

hello_html_m617a0a27.gifпосторонний корень

hello_html_m9d3af28.gif

Ответ: −3; hello_html_m29fa14b5.gif.


2) hello_html_m62ab6f15.gif

hello_html_5a8a2e92.gif

hello_html_m6552f4b4.gif

hello_html_624071e1.gif

hello_html_m5dea08a4.gifили hello_html_4afde8cf.gif

hello_html_m43e8d773.gif9 + 12 = 21 hello_html_m56c31b23.gif

hello_html_664799d.gifhello_html_460ecf46.gif

Ответ: 1; hello_html_m10861342.gif.


2. Метод введения новой переменной.


Это самый распространенный метод.


а) Простейшие случаи. Очевидная замена.


1) hello_html_48514528.gif

Пусть hello_html_19adac43.gif. Тогда hello_html_me0f8e40.gif

t = 1; t = − 4

Получаем: hello_html_m56c31b23.gif или hello_html_m23194801.gif

х = 1 hello_html_2162d6d9.gif.

Ответ: hello_html_33a47a83.gif; 1.


2) hello_html_4a4a427a.gif

Пусть hello_html_m37dbdbbc.gif. Тогда hello_html_f2fceda.gif. t = − 7, t = 4.

hello_html_m76325e62.gif7 или hello_html_m76325e62.gif 4

hello_html_m76a5366f.gif+ 7 = 0 hello_html_m76a5366f.gif− 4 = 0

D = 9 – 28 = − 19 D = 9 + 16 = 25

корней нет hello_html_m675fb950.gif; hello_html_m267041b6.gif.

Ответ: − 1; 4.


3) hello_html_67ba1108.gif

Пусть hello_html_418fdf47.gif. Тогда t(t – 10) = 144. hello_html_22d0026e.gif− 144 = 0. t = − 8; t = 18.

Имеем два уравнения:

hello_html_m17a32b7c.gif8 или hello_html_m17a32b7c.gif 18

hello_html_m1330a637.gif+ 6 = 0 hello_html_4a9a5aea.gif 20 = 0

D = 1 – 24 = − 23 hello_html_58258fba.gif; hello_html_20068d72.gif.

корней нет

Ответ: − 5; 4.


4) hello_html_m705eaa6b.gif

Пусть hello_html_m1bf77ff3.gif. Тогда hello_html_2c0d8cc.gif 4 = 0. t = 1; t = 4.

hello_html_m399143e.gif1 или hello_html_m61125f17.gif4

х − 1 = − 1 или х − 1 = 1 х − 1 = − 2 или х − 1 = 2

х = 0 х = 2 х = − 1 х = 3

Ответ: − 1; 0; 2; 3.


5) hello_html_63ba42bb.gif

hello_html_1c30ebc3.gif

hello_html_f00ccc5.gif

Пусть hello_html_m368e71b.gif. Тогда hello_html_5a9bf567.gif 2 = 0. t = 1; t = 2.

Имеем два уравнения:

hello_html_m33abce2c.gif1 или hello_html_m33abce2c.gif 2

hello_html_m48ea9c8d.gif= 0 hello_html_9f55f92.gif− 1 = 0

х (х + 1) = 0 D = 1 + 4 = 5

х = 0; х = − 1 hello_html_m3ea0592e.gif

Ответ: − 1; 0; hello_html_19f8c925.gif.


б) Использование основного свойства дроби


1) hello_html_385bd2cd.gif


Т. к. х = 0 не является корнем уравнения, то разделим и числитель, и знаменатель каждой дроби на х ≠ 0.

hello_html_mc5f78b9.gif

Пусть hello_html_m6add3164.gif. Получаем уравнение:

hello_html_321eb6e9.gif. ОДЗ: t ≠ 6; t ≠ 8.

hello_html_37e63c5f.gif

Возвращаемся к переменной х.

hello_html_m70aeb238.gifили hello_html_m4141d2d2.gif

hello_html_m5b8eb2ed.gifhello_html_m4bf72084.gif

D = 49 – 60 = − 11 < 0 D = 49 – 15 = 34

корней нет hello_html_1f11ad4.gif

Ответ: hello_html_md0723e3.gif.


2) hello_html_m666d3e83.gif

Т. к. х = 0 не является корнем уравнения, то разделим и числитель, и знаменатель каждой дроби на х ≠ 0.

hello_html_m1d0f56d4.gif

Пусть hello_html_m782f83ef.gif, тогда hello_html_m5f4d9d7e.gif; hello_html_m6c5f1bb7.gif.

ОДЗ: t ≠ 5; t ≠ −1.

2t + 2 + 13t – 65 – 6(t2 – 4t – 5) = 0

2t2 – 13t + 11 = 0

t = 1; hello_html_1487fc5e.gif

Возвращаемся к переменной х.

hello_html_m56662291.gifили hello_html_m507ec396.gif

2х2х + 3 = 0 4х2 – 11х + 6 = 0

D = 1 – 24 = − 23 D = 121 – 96 = 25

корней нет х1 = 0,75; х2 = 2

Ответ: 0,75; 2.

в) Раскрытие скобок парами


1) hello_html_m727a2c68.gif

hello_html_m42ba9c51.gif

Пусть hello_html_617c29d7.gif. Тогда

(t + 4)(t14) = 40

hello_html_m482ef02d.gif96 = 0

t = − 6; t = 16.

Получаем два квадратных уравнения:

hello_html_m60000e68.gifили hello_html_m339fa2b.gif

hello_html_4bfcb9cd.gifhello_html_21898fff.gif

х = 2; х = 3; D = 25 + 64 = 89

hello_html_m58e72e7c.gif

Ответ: 2; 3; hello_html_m33e35751.gif.


2) hello_html_m1cacf6a0.gif

hello_html_m6f80da7b.gif

hello_html_m1a8410c2.gif

Пусть hello_html_mc0dde7c.gif. Тогда (t + 2)(t − 18) = − 96.

hello_html_m2c849a5d.gif60 = 0

t = 6; t = 10.

hello_html_mc0dde7c.gifили hello_html_mc0dde7c.gif

hello_html_m5d9e9b30.gif6 hello_html_m5d9e9b30.gif 10

hello_html_7ae36d26.gif6 = 0 hello_html_7ae36d26.gif − 10 = 0

D = 9 + 24 = 33 х = − 5; х = 2

hello_html_3c801060.gif

Ответ: − 5; 2; hello_html_6e79b15d.gif.

г) Раскрытие скобок парами и деление обеих частей уравнения


hello_html_m7e906376.gif

hello_html_m6388691a.gif

Т. к. х = 0 не является корнем уравнения, то обе части уравнения разделим

на hello_html_m449b482a.gif.

hello_html_41d4efba.gif

Пусть hello_html_m1733fd1a.gif. Тогда hello_html_mfd63d21.gif

hello_html_m72ddb4f2.gif+ 8 = 18

hello_html_m46fcfbef.gif10 = 0

t = − 10; t = 1.

Получаем два уравнения с переменной х:

hello_html_26149559.gifили hello_html_m481dcaeb.gif

hello_html_382ffa0.gifhello_html_1251bca2.gif

D = 25 + 20 =45 х = −4; х = 5

hello_html_495757c8.gif

Ответ: −4; 5; hello_html_m49185986.gif.


д) Выделение квадрата двучлена.


hello_html_6082a624.gif

hello_html_9986a6f.gif

hello_html_7eeb2ad9.gif

Пусть hello_html_39ea922f.gif. Тогда hello_html_m4091d21.gif

t = 1; t = − 5

Имеем два уравнения:

hello_html_3887a19e.gif= 1 или hello_html_3887a19e.gif = − 5

hello_html_m1e4c71df.gifhello_html_63eb1ae9.gif

х = − 1; х = 2; D = 25 – 40 = − 15

корней нет

Ответ: −1; 2.


е) Возвратные уравнения


Определение. Возвратным уравнением называют уравнение, в котором

равноудаленные от концов уравнения коэффициенты равны.


1) hello_html_5a796f30.gif

Т. к. х = 0 не является корнем уравнения, то обе части уравнения разделим

на hello_html_m449b482a.gif.

hello_html_me57b2b6.gif

hello_html_m6abc3e0.gif

Пусть hello_html_m645713fd.gif = t. Тогда hello_html_59995c8.gif; значит, hello_html_478a4fc9.gif

hello_html_m616a1e1.gif

D = 25 + 1200 = 1225

hello_html_m408b1b16.gifhello_html_m2461ad34.gif

Имеем два уравнения с переменной х:

hello_html_m645713fd.gif= hello_html_15fa64de.gif или hello_html_m645713fd.gif = hello_html_1d77277.gif

х = − 3; hello_html_2023c744.gif; х = 2; hello_html_m7110d8b.gif.

Ответ: − 3; hello_html_4e00507d.gif; hello_html_m3d4efe4.gif; 2.


2) hello_html_48f3299b.gif

Т. к. х = 0 не является корнем уравнения, то обе части уравнения разделим

на hello_html_m449b482a.gif.

hello_html_120a9872.gif

hello_html_1c07ba6d.gif

Пусть hello_html_5b9cc205.gif = t. Тогда hello_html_699a9ddd.gif; значит, hello_html_m3a97d103.gif

hello_html_307f7405.gif

hello_html_m78ed825c.gif

t = 0; t = 4

Имеем два уравнения с переменной х:

hello_html_5b9cc205.gif= 0 или hello_html_5b9cc205.gif = 4

hello_html_m3333b034.gifhello_html_m6cc5b400.gif

х = hello_html_m78531b32.gif 1 hello_html_2e69d188.gif

Ответ: hello_html_m78531b32.gif 1; hello_html_342edab.gif.


ж) Уравнения, сводящиеся к однородному уравнению


1) hello_html_50d4e32b.gif

Первый способ

Разделим обе части уравнения на hello_html_m782b0fa3.gif.

hello_html_593d72f1.gif

Пусть hello_html_4968480b.gif. Получаем квадратное уравнение:

hello_html_m6a0d9ab5.gif

D = 25 – 24 = 1

hello_html_mf6bd4c7.gif; hello_html_1e68e4a8.gif.

Возвращаемся к переменной х:

hello_html_mfc82004.gifhello_html_m1d14a8ea.gifили hello_html_mfc82004.gifhello_html_4e00507d.gif

ОДЗ: х ≠ 3; х ≠ 4.

hello_html_m4ecad317.gifhello_html_mac62753.gif

hello_html_m1ab2065.gifhello_html_m544553ae.gif

х = 1; hello_html_271bd371.gif; х = 0; hello_html_m75cb7772.gif.

Ответ: 0; 1; hello_html_36066030.gif; hello_html_62b73874.gif.


Второй способ.

Пусть hello_html_m36128853.gif, hello_html_7fc6b1e1.gif. Тогда имеем квадратное уравнение

с двумя переменными:

hello_html_m79fb4b6e.gif

hello_html_7f76aac3.gif

hello_html_m4a065a48.gif

hello_html_m982401a.gif

2u + v = 0 или 3u + v = 0

Подставим в эти равенства выражения с переменной х:

hello_html_m1e4bc622.gifили hello_html_m83e42f1.gif

hello_html_m1ab2065.gifhello_html_m544553ae.gif

х = 1; hello_html_271bd371.gif; х = 0; hello_html_m75cb7772.gif.

Ответ: 0; 1; hello_html_36066030.gif; hello_html_62b73874.gif.


2) hello_html_m6724d886.gif

hello_html_43b3e1ef.gif

Пусть hello_html_6f2e778d.gif, hello_html_m568c09ba.gif. Тогда имеем квадратное уравнение

с двумя переменными:

2а2 – 13аb – 7b2 = 0

2а2 – 14аb + аb – 7b2 = 0

2а(а – 7b) + b(a – 7b) = 0

(a – 7b) (2а + b) = 0

a – 7b = 0 или 2а + b = 0

х2 + х + 1 – 7х + 7 = 0 или 2х2 + 2х + 2 + х − 1 = 0

х2 − 6 х + 8 = 0 2х2 + 3х + 1 = 0

х = 2; х = 4; х = − 1; х = − 0,5.

Ответ: − 1; − 0,5; 2; 4.


з) Уравнения, содержащие взаимно обратные выражения.


1) hello_html_m2e2aa149.gif

Пусть hello_html_4bdd08fb.gif, тогда hello_html_m112544a3.gif.

Получаем уравнение: hello_html_10330d91.gif; t = − 2; t = hello_html_m1d14a8ea.gif.

hello_html_m8fff1da.gifили hello_html_329ad4c4.gif ОДЗ: х ≠ 0.

х2 + 2х + 1 = 0 2 х2 + х + 2 = 0

(х + 1)2 = 0 D = 1 – 16 = − 15

х = − 1 корней нет

Ответ: − 1.


2) hello_html_m6651675d.gif

Пусть hello_html_m1c10f603.gif, тогда hello_html_m52f6c38e.gif.

Получаем уравнение: hello_html_2e55c298.gif; t = 16; t = hello_html_m618fc54f.gif.

hello_html_m165d5466.gifили hello_html_m69922aee.gif

hello_html_m20b942ba.gifили hello_html_m7ce43c36.gifhello_html_m4960938f.gif или hello_html_m79a7a176.gif

ОДЗ: х ≠ − 2,5.

3х – 1 = 8х + 20; 3х – 1 = − 8х − 20; 12х – 4 = 2х + 5; 12х – 4 = − 2х − 5;

5х = − 21 11х = − 19 10х = 9 14х = − 1

х = − 4,2 х = hello_html_1f9660fd.gifх = 0,9 х = hello_html_m1678578.gif.

Ответ: − 4,2; hello_html_1f9660fd.gif; hello_html_m1678578.gif; 0,9.


3. Применение следствия из теоремы Безу.

Если число α является корнем многочлена Р(х), то этот многочлен делится на

двучлен х – α.


1) hello_html_m5d7340f9.gif

Подбором находим, что число 2 является корнем уравнения. Значит, левая

часть уравнения делится на х – 2. Получаем:

hello_html_5ddc3d88.gif

hello_html_m4834f0b.gif

hello_html_769aec6c.gif

hello_html_m399899be.gif

х + 5 = 0 или х2 – 3 = 0

х = − 5 х2 = 3

hello_html_m4b77c60b.gif

Ответ: −5; 2; hello_html_461a55a9.gif.



2) hello_html_m262d059.gif

Подбором находим, что число 1 является корнем уравнения. Значит, левая

часть уравнения делится на х – 1. Получаем:

hello_html_6b3c49ca.gif

hello_html_523f1ca4.gif

Подбором находим, что число −1 является корнем уравнения. Значит, левая

часть уравнения делится на х + 1. Получаем:

hello_html_1d4f7b0c.gif

hello_html_72db9531.gif

Подбором находим, что число −2 является корнем уравнения. Значит, левая

часть уравнения делится на х + 2. Получаем:

hello_html_5be1a2aa.gif

hello_html_m29251e15.gif

D1 = 4 + 4 = 8

hello_html_m671d64f.gif

Ответ: −2; −1; 1; hello_html_m495d568a.gif.



Для самостоятельного решения:


1. hello_html_1c70b335.gif

Ответ: 1; hello_html_m607c682b.gif; hello_html_m78531b32.gif2.


2. hello_html_2fa11ecb.gif

Ответ: hello_html_m78531b32.gif 1; 0.


3. hello_html_67149c5b.gif

Ответ: − 4; hello_html_m2fda048b.gif.


4. hello_html_c31cce4.gif

Ответ: 0,5; 3,5.


5. hello_html_m49cdb83e.gif

Ответ: hello_html_6913a07d.gif; hello_html_3f44081.gif .

6. hello_html_12dbffee.gif

Ответ: −3; 2; 3; 4; 5.


7. hello_html_m4d19c9d.gif

Ответ: −1; 23; hello_html_77ffa0f2.gif; hello_html_c9b05d2.gif.


8. hello_html_m63e2ac5f.gif

Ответ: − hello_html_m3d4efe4.gif; 2; hello_html_m6cc5c9e9.gif.


9. hello_html_m38bea0dd.gif

Ответ: −2; 3; hello_html_441851af.gif

10. hello_html_2a4726e0.gif

Ответ: 3; 4.



Список литературы


1. А.Г. Мордкович. Алгебра – 8 . Часть 1. Учебник. Мнемозина, 2013 год.

2. А.Г. Мордкович и др. Алгебра – 8. Часть 2. Задачник. Мнемозина, 2013 год

3. А.Г. Мордкович, Н.П. Николаев. Алгебра – 8. Учебник для классов с

углублённым изучением математики. Мнемозина, 2010 год.

4. Л.И. Звавич, А.Р. Рязановский. Алгебра – 8. Задачник для классов с

углублённым изучением математики. Мнемозина, 2010 год.

5. А.Г. Мордкович. Алгебра – 9 . Часть 1. Учебник. Мнемозина, 2013 год.

6. А.Г. Мордкович и др. Алгебра – 9. Часть 2. Задачник. Мнемозина, 2013 год

7. А.Г. Мордкович, Н.П. Николаев. Алгебра – 9. Учебник для классов с

углублённым изучением математики. Мнемозина, 2009 год.

8. Л.И. Звавич, А.Р. Рязановский, П.В. Семёнов. Алгебра – 9. Задачник для

классов с углублённым изучением математики. Мнемозина, 2009 год.

9. М.Л.Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич. Сборник задач по алгебре. 8 – 9

классы. М.: Просвещение, 2010 год.


Общая информация

Номер материала: ДA-016286

Похожие материалы