Инфоурок Математика Другие методич. материалыМетодическая разработка по дисциплине ОУД.04 «Математика». Тема: «Практикум решения задач на пирамиду и усечённую пирамиду»

Методическая разработка по дисциплине ОУД.04 «Математика». Тема: «Практикум решения задач на пирамиду и усечённую пирамиду»

Скачать материал

Методическая разработка по дисциплине ОУД.04 Математика

Тема: Практикум решения задач на пирамиду и усечённую пирамиду

Задача № 1

Найти площадь боковой и полной поверхности правильной четырехугольной пирамиды, если сторона основания равна 8 см, а угол между боковой гранью и плоскостью основания равен 30. Найти объём пирамиды.

Решение                                       

Дано:

SABCD - правильная пирамида;        

а = 8см - сторона основания;

α = 30-угол между боковой

гранью и плоскостью  основания

Найти: 1) Sбок -?

             2) Sпол пов -?

             3) V  - ?                                                             

                                                  

1. Так как пирамида правильная, то ABCD - квадрат, и вершина пирамиды проектируется в его центр - точку О пересечения диагоналей.

2. По определению величина двугранного угла равна величине его линейного угла, который образован двумя перпендикулярами к ребру (по свойству сторон линейного угла):

    α =SFО = 30°, т.к. SFCD (как апофема)  и ОFCD ( по тереме  от трёх перпендикулярах).

3. По определению перпендикулярности прямой и плоскости:

SOOF, т.к. SO(ABC) и прямая OF⊂(ABC).

Значит, ∆SOF - прямоугольный.

4. Решим прямоугольный ∆SOF: cosα =,

    где OF = . Тогда OF =  4 (см), получим:  cos 30° = ,     , отсюда

 , SF = (см).

    Итак, нашли апофему пирамиды hбок = SF  см.

   sinα =    отсюда sin 30°=,

  , применим свойство пропорции:  2∙SO = 1∙  , находим SO =  (см).

    Значит, высота пирамиды  H = SO = см.

5. Площадь основания пирамиды: Sосн пирам  = a2 (площадь квадрата)

     Sосн  = 82 = 64

6. По теореме о площади боковой поверхности правильной пирамиды:

    Sбок =Pоснhбок,  где периметр основания пирамиды Pосн = 4а;

    Pосн = 4∙8 = 32 (см); тогда Sбок =32∙=  (см2)

7.  Площадь полной поверхности пирамиды равна сумме площадей её основания и  боковой поверхности: Sпол пов = Sосн  + Sбок

      Sпол пов = 64+ (см2)

8.  Объём пирамиды: Vпир= Sосн ∙ Н

     Vпир= ∙ 64∙   (см3) 49,27(см3).

Ответ: Sбок (см2), Sполн  (см2), Vпир 49,27(см3).

Задача № 2

Найти площадь боковой и полной поверхности правильной четырехугольной пирамиды, если сторона основания равна 4см, а угол между боковой гранью и плоскостью основания равен .

Решение

Дано:

SABCD - правильная пирамида       

а=4см-сторона основания                 

α = 60- угол между боковой

гранью и плоскостью  основания

Найти: 1) Sбок-?

             2)Sпол пов-?                                                        

 

1. Т.к. пирамида правильная, то ABCD - квадрат, и вершина проектируется в его центр, точку пересечения диагоналей.

2. Величина двугранного угла равна величине его линейного угла, который образован двумя перпендикулярами к ребру: α =SFО = 60°, т.к SFCD (как апофема)  и ОFCD ( по тереме о 3-х перпендикулярах).

 3. По определению перпендикулярности прямой и плоскости: SOOF,  т.к.  SO(ABC) и прямая OF(ABC), значит ∆SOF- прямоугольный.

4. Решим прямоугольный ∆SOF: cosα=, cos 60°= ; , отсюда

    SF=4 (см)

5. Площадь основания пирамиды: Sосн пирам  = a2 (площадь квадрата)

    Sосн  = 42=16 (см2)

6.  По теореме о площади боковой поверхности правильной пирамиды:

     Sбок =Pосн hбок,  где Pосн = 4а;  Pосн =4∙4=16 см

     Sбок =4= 32(см2)

7.  Площадь полной поверхности пирамиды равна сумме площадей её основания и  боковой поверхности: Sпол пов = Sосн  + Sбок

      Sпол пов =16+32 = 48(см2 )

  ОтветSбок =32 см2; Sпол пов =48 см2

Задача № 3

Найти апофему правильной четырехугольной усеченной пирамиды, если известно, что стороны оснований имеют длину 4см и10см, а длина бокового ребра пирамиды равна 5см.

Решение

Дано:

ABCDA1B1C1D1- правильная  усеч. пирамида   

а=10см

b=4см- стороны основания;

l = AA1 = 5см- длина бокового ребра

 


Найти:  hбок - апофему                                                                                                                  Решение

 

1.   Боковой гранью правильной усечённой пирамиды является равнобедренная трапеция  DD1CC1:   тогда DF = ; D1F1

 

2.    Проведём перпендикуляр D1М: D1МDC

3.  D1МDC, тогда D1М = FF1 = hбок  и DM = DF- MF = - 

DM =    (см)

4.  По теореме Пифагора из :

52 = 32 + , отсюда находим D1M =  =  = 4 (см).

 

Ответ: hбок = 4 см

Задача № 4

Боковая грань правильной треугольной пирамиды образует с плоскостью основания угол . Апофема пирамиды равна см. Найти объем пирамиды.

Решение

Дано:                                                                   

SABC - правильная пирамида

hбок= 3 - апофема

α = 45- угол между боковой

гранью и плоскостью  её основания

Найти: Vпир                                                                 

 

1.   Пирамида правильная, значит ∆ABC - равносторонний, и вершина S проектируется в центр основания в точку О пересечение медиан треугольника.

2.   Линейным углом заданного двугранного угла между боковой гранью и плоскостью основания, является угол SFО, т.к. он образован двумя перпендикулярами к ребру BC:

    SF BC ( как апофема) и OF BC (по теореме о трех перпендикулярах)

    Значит,  SFО = α = 45°

3.  По определению перпендикулярности прямой и плоскости: SO OF, т.к. 

SO(ABC) и прямая OF(ABC), значит ∆SOF - прямоугольный.

4. Решим прямоугольный ∆SOF:  sinα =  

    sin 45° = , отсюда находим:  , 2∙SO =∙  3, SO = = 3(см).

    OF = SO= 3(см), т.к. ∆SOF - равнобедренный прямоугольный треугольник.

5.   Точка пересечения медиан любого треугольника делит каждую медиану в отношении  2:1, поэтому AF =3∙ OF и OF = ∙AF

   AF = 33 = 9 (см)

6.  Решим прямоугольный ∆AFCsin =  , где AC = a

          sin 60° = , отсюда находим:   ;  a= 2∙9;  a = 6 (cм)

7. Объём пирамиды: Vпир= Sосн ∙ Н, где  высота пирамиды H = S0 =3см

    Площадь основания пирамиды равна площади равностороннего треугольника:

    Sосн =тогда вычисляем  Sосн =см2)

     Vпир = ∙3∙  (см3 46,77 (см3)

Ответ: Vпир =  46,77 см3

 

Задача № 5

Основаниями правильной усеченной пирамиды являются квадраты со сторонами 10см и 20см. Высота усечений пирамиды равна 60см. Найти ее объем.

Решение

Дано:

ABCDA1B1C1D1-правильная  усеч. пирамида;    

а = 10см

b = 20см- стороны оснований;

H = 60см- высота

 


Найти: : V усеч. пир                                                                                                        

1.Т.к. основания правильной четырёхугольной усеченной пирамиды являются  квадратами, то  Sосн = а2

    = а2 = 10∙10 =100 (см2)- площадь меньшего основания ;

    Sосн = b2 = 20∙20 = 400 (см2)- площадь большего основания

2. Объем правильно усеченной пирамиды:

     V усеч. пир=   Н ∙ ( +Sосн +         

   Vусеч пир =  60 ∙ (100+400 + =20∙(100+400+200) = 14000 (см3)

Ответ: Vусеч. пир =14000 см3  

Перечень рекомендуемых учебных изданий,

Интернет-ресурсов, дополнительной литературы

 

Основные источники:

1. Алпатов А.В. Математика [Электронный ресурс]: учебное пособие для СПО/ Алпатов А.В.— Электрон. текстовые данные.— Саратов: Профобразование, Ай Пи Эр Медиа, 2019.— 162 c.— Режим доступа: http://www.iprbookshop.ru/80328.html.— ЭБС «IPRbooks»

2. Башмаков М. И. Математика: учебник. - М.: Академия, 2018.

 

Дополнительные источники:

1. Башмаков М. И. Математика: учебник. - М.: Академия, 2015.

2. Григорьев В. П. Математика: учебник. - М.: Академия, 2016.

3. Алпатов А.В. Математика [Электронный ресурс] : учебное пособие для СПО.-М.:Профобразование, 2017.

 

4. Математика [Электронный ресурс] : учебное пособие для всех специальностей. — М. : Российский государственный университет правосудия, 2015

 

Интернет-ресурсы:

1.       Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов - http://school-collection.edu.ru /;

2.       Лекции ведущих лекторов России  в свободном доступе - www.lektorium.tv;

3.       Лекции преподавателей МГУ им. М. Ломоносова - www.youtube.com/user/msu /;

4.       Oбъединение учащихся и преподавателей всего мира в одной всемирной аудитории - www.youtube.com/education /;

5.       Информационные, тренировочные и контрольные материалы - http:// www.fipi.ru/ - Сайт Федерального государственного научного учреждения "Федерального института педагогических измерений"- / Единый государственный экзамен по математике. Демонстрационный вариант /;

6.       Официальный портал ЕГЭ - http:// www.ege.edu.ru /;

7.       Сайт Московского института открытого образования (МИОО) - http:// mathege.ru /.

 

Аннотация

 

Методическая разработка учебного занятия по учебной дисциплине ОУД.04 «Математика» по теме «Практикум решения задач на пирамиду и усечённую пирамиду» предназначена для обучающихся первого курса средних профессиональных образовательных учреждений всех специальностей, изучающих раздел «Многогранники».

Большие сложности обучающиеся СПО при изучении стереометрии    испытывают в правильном оформлении решения геометрической задачи, построении чертежей и математически грамотном обосновании решения задачи и выполняемых выкладок. 

На примере пяти разобранных решений типовых задач на многогранники пирамида и усечённая пирамида обучающиеся, во-первых, повторяют ранее усвоенные теоретический основы, а во-вторых, получают навык решения геометрической задачи.        

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал

Краткое описание документа:

Аннотация

Методическая разработка учебного занятия по учебной дисциплине ОУД.04 «Математика» по теме «Практикум решения задач на пирамиду и усечённую пирамиду» предназначена для обучающихся первого курса средних профессиональных образовательных учреждений всех специальностей, изучающих раздел «Многогранники».

Большие сложности обучающиеся СПО при изучении стереометриииспытывают в правильном оформлении решения геометрической задачи, построении чертежей и математически грамотном обосновании решения задачи и выполняемых выкладок.

На примере пяти разобранных решений типовых задач на многогранники пирамида и усечённая пирамида обучающиеся, во-первых, повторяют ранее усвоенные теоретический основы, а во-вторых, получают навык решения геометрической задачи.

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 103 625 материалов в базе

Скачать материал

Другие материалы

Разработка урока на тему "«Развитие познавательной активности младших школьников на уроке математики».
  • Учебник: «Математика (в 2 частях)», Моро М.И., Бантова М.А., Бельтюкова Г.В. и др.
  • Тема: Деление на двузначное и трёхзначное число
  • 23.05.2020
  • 351
  • 10
«Математика (в 2 частях)», Моро М.И., Бантова М.А., Бельтюкова Г.В. и др.
Технологическая карта урока математики По теме: "Увеличение и уменьшение числа на несколько единиц" (1класс)
  • Учебник: «Математика (в 2 частях)», Рудницкая В.Н., Кочурова Е.Э., Рыдзе О.А.
  • Тема: Увеличение числа на несколько единиц
  • 23.05.2020
  • 464
  • 17
«Математика (в 2 частях)», Рудницкая В.Н., Кочурова Е.Э., Рыдзе О.А.

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

  • Скачать материал
    • 23.05.2020 2204
    • DOCX 433.8 кбайт
    • 236 скачиваний
    • Оцените материал:
  • Настоящий материал опубликован пользователем Кихтенко Нелли Анатольевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Удалить материал
  • Автор материала

    Кихтенко Нелли Анатольевна
    Кихтенко Нелли Анатольевна
    • На сайте: 5 лет и 7 месяцев
    • Подписчики: 0
    • Всего просмотров: 33483
    • Всего материалов: 40

Ваша скидка на курсы

40%
Скидка для нового слушателя. Войдите на сайт, чтобы применить скидку к любому курсу
Курсы со скидкой