Методическая разработка по дисциплине ОУД.04 «Математика». Тема: «Практикум решения задач на пирамиду и усечённую пирамиду»

Методическая разработка по дисциплине ОУД.04 Математика

Тема: Практикум решения задач на пирамиду и усечённую пирамиду

Задача № 1

Найти площадь боковой и полной поверхности правильной четырехугольной пирамиды, если сторона основания равна 8 см, а угол между боковой гранью и плоскостью основания равен 30. Найти объём пирамиды.

Решение                                       

Дано:

SABCD - правильная пирамида;        

а = 8см - сторона основания;

α = 30-угол между боковой

гранью и плоскостью  основания

Найти: 1) S_бок -?

             2) S_{пол пов} -?

             3) V  - ?                                                             

1. Так как пирамида правильная, то ABCD - квадрат, и вершина пирамиды проектируется в его центр - точку О пересечения диагоналей.

2. По определению величина двугранного угла равна величине его линейного угла, который образован двумя перпендикулярами к ребру (по свойству сторон линейного угла):

    α =SFО = 30°, т.к. SFCD (как апофема)  и ОFCD ( по тереме  от трёх перпендикулярах).

3. По определению перпендикулярности прямой и плоскости:

SOOF, т.к. SO(ABC) и прямая OF⊂(ABC).

Значит, ∆SOF - прямоугольный.

4. Решим прямоугольный ∆SOF: cosα =,

    где OF = . Тогда OF =  4 (см), получим:  cos 30° = ,     , отсюда

 , SF = (см).

    Итак, нашли апофему пирамиды h_бок = SF =   см.

   sinα =    отсюда sin 30°=,

  , применим свойство пропорции:  2∙SO = 1∙  , находим SO =  (см).

    Значит, высота пирамиды  H = SO = см.

5. Площадь основания пирамиды: S_{осн пирам}  = a² (площадь квадрата)

     S_осн  = 8² = 64

6. По теореме о площади боковой поверхности правильной пирамиды:

    S_бок =P_осн∙ h_бок,  где периметр основания пирамиды P_осн = 4а;

    P_осн = 4∙8 = 32 (см); тогда S_бок =32∙=  (см²)

7.  Площадь полной поверхности пирамиды равна сумме площадей её основания и  боковой поверхности: S_{пол пов} = S_осн  + S_бок

      _{Sпол пов} = 64+ (см²)

8.  Объём пирамиды: V_пир= ∙ S_осн ∙ Н

     V_пир= ∙ 64∙   (см³) 49,27(см³).

Ответ: S_бок (см²), S_полн  (см²), V_пир 49,27(см³).

Задача № 2

Найти площадь боковой и полной поверхности правильной четырехугольной пирамиды, если сторона основания равна 4см, а угол между боковой гранью и плоскостью основания равен .

Решение

Дано:

SABCD - правильная пирамида       

а=4см-сторона основания                 

α = 60- угол между боковой

гранью и плоскостью  основания

Найти: 1) S_бок-?

             2)S_{пол пов}-?                                                        

1. Т.к. пирамида правильная, то ABCD - квадрат, и вершина проектируется в его центр, точку пересечения диагоналей.

2. Величина двугранного угла равна величине его линейного угла, который образован двумя перпендикулярами к ребру: α =SFО = 60°, т.к SFCD (как апофема)  и ОFCD ( по тереме о 3-х перпендикулярах).

 3. По определению перпендикулярности прямой и плоскости: SOOF,  т.к.  SO(ABC) и прямая OF⊂(ABC), значит ∆SOF- прямоугольный.

4. Решим прямоугольный ∆SOF: cosα=, cos 60°= ;  ; , отсюда

    SF=4 (см)

5. Площадь основания пирамиды: S_{осн пирам}  = a² (площадь квадрата)

    S_осн  = 4²=16 (см²)

6.  По теореме о площади боковой поверхности правильной пирамиды:

     S_бок =P_осн ∙ h_бок,  где P_осн = 4а;  P_осн =4∙4=16 см

     S_бок =4= 32(см²)

7.  Площадь полной поверхности пирамиды равна сумме площадей её основания и  боковой поверхности: S_{пол пов} = S_осн  + S_бок

      _{Sпол пов} =16+32 = 48(см² )

  Ответ:  S_бок =32 см²; S_{пол пов} =48 см²

Задача № 3

Найти апофему правильной четырехугольной усеченной пирамиды, если известно, что стороны оснований имеют длину 4см и10см, а длина бокового ребра пирамиды равна 5см.

Решение

Дано:

ABCDA₁B₁C₁D₁- правильная  усеч. пирамида   

а=10см

b=4см- стороны основания;

l = AA₁ = 5см- длина бокового ребра

 

Найти:  h_бок - апофему                                                                                                                  Решение

1.   Боковой гранью правильной усечённой пирамиды является равнобедренная трапеция  DD₁CC₁:   тогда DF = ; D₁F₁ = 

 

2.    Проведём перпендикуляр D₁М: D₁М⊥DC

3.  D₁МDC, тогда D₁М = FF₁ = h_бок  и DM = DF- MF = - 

DM =    (см)

4.  По теореме Пифагора из :

5² = 3² + , отсюда находим D₁M =  =  = 4 (см).

Ответ: h_бок = 4 см

Задача № 4

Боковая грань правильной треугольной пирамиды образует с плоскостью основания угол . Апофема пирамиды равна см. Найти объем пирамиды.

Решение

Дано:                                                                   

SABC - правильная пирамида

h_бок= 3 - апофема

α = 45- угол между боковой

гранью и плоскостью  её основания

Найти: V_пир                                                                 

1.   Пирамида правильная, значит ∆ABC - равносторонний, и вершина S проектируется в центр основания в точку О пересечение медиан треугольника.

2.   Линейным углом заданного двугранного угла между боковой гранью и плоскостью основания, является угол SFО, т.к. он образован двумя перпендикулярами к ребру BC:

    SF⊥ BC ( как апофема) и OF ⊥BC (по теореме о трех перпендикулярах)

    Значит,  SFО = α = 45°

3.  По определению перпендикулярности прямой и плоскости: SO OF, т.к. 

SO(ABC) и прямая OF⊂(ABC), значит ∆SOF - прямоугольный.

4. Решим прямоугольный ∆SOF:  sinα =  

    sin 45° = , отсюда находим:  , 2∙SO =∙  3, SO = = 3(см).

    OF = SO= 3(см), т.к. ∆SOF - равнобедренный прямоугольный треугольник.

5.   Точка пересечения медиан любого треугольника делит каждую медиану в отношении  2:1, поэтому AF =3∙ OF и OF = ∙AF

   AF = 3∙3 = 9 (см)

6.  Решим прямоугольный ∆AFC:  sin =  , где AC = a

          sin 60° = , отсюда находим:   ;  a∙= 2∙9;  a = 6 (cм)

7. Объём пирамиды: V_пир= ∙ S_осн ∙ Н, где  высота пирамиды H = S0 =3см

    Площадь основания пирамиды равна площади равностороннего треугольника:

    S_осн =тогда вычисляем  S_осн =см²)

     V_пир = ∙3∙  (см³ 46,77 (см³)

Ответ: V_пир =  46,77 см³

Задача № 5

Основаниями правильной усеченной пирамиды являются квадраты со сторонами 10см и 20см. Высота усечений пирамиды равна 60см. Найти ее объем.

Решение

Дано:

ABCDA₁B₁C₁D₁-правильная  усеч. пирамида;    

а = 10см

b = 20см- стороны оснований;

H = 60см- высота

 

Найти: : V _{усеч. пир}                                                                                                        

1.Т.к. основания правильной четырёхугольной усеченной пирамиды являются  квадратами, то  S_осн = а²

    = а² = 10∙10 =100 (см²)- площадь меньшего основания ;

    S_осн = b² = 20∙20 = 400 (см²)- площадь большего основания

2. Объем правильно усеченной пирамиды:

     V _{усеч. пир}=   Н ∙ ( +S_осн +         

   V_{усеч пир} =  60 ∙ (100+400 + =20∙(100+400+200) = 14000 (см³)

Ответ: V_{усеч. пир} =14000 см³  

Перечень рекомендуемых учебных изданий,

Интернет-ресурсов, дополнительной литературы

Основные источники:

1. Алпатов А.В. Математика [Электронный ресурс]: учебное пособие для СПО/ Алпатов А.В.— Электрон. текстовые данные.— Саратов: Профобразование, Ай Пи Эр Медиа, 2019.— 162 c.— Режим доступа: http://www.iprbookshop.ru/80328.html.— ЭБС «IPRbooks»

2. Башмаков М. И. Математика: учебник. - М.: Академия, 2018.

Дополнительные источники:

1. Башмаков М. И. Математика: учебник. - М.: Академия, 2015.

2. Григорьев В. П. Математика: учебник. - М.: Академия, 2016.

3. Алпатов А.В. Математика [Электронный ресурс] : учебное пособие для СПО.-М.:Профобразование, 2017.

4. Математика [Электронный ресурс] : учебное пособие для всех специальностей. — М. : Российский государственный университет правосудия, 2015

Интернет-ресурсы:

1.       Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов - http://school-collection.edu.ru /;

2.       Лекции ведущих лекторов России  в свободном доступе - www.lektorium.tv;

3.       Лекции преподавателей МГУ им. М. Ломоносова - www.youtube.com/user/msu /;

4.       Oбъединение учащихся и преподавателей всего мира в одной всемирной аудитории - www.youtube.com/education /;

5.       Информационные, тренировочные и контрольные материалы - http:// www.fipi.ru/ - Сайт Федерального государственного научного учреждения "Федерального института педагогических измерений"- / Единый государственный экзамен по математике. Демонстрационный вариант /;

6.       Официальный портал ЕГЭ - http:// www.ege.edu.ru /;

7.       Сайт Московского института открытого образования (МИОО) - http:// mathege.ru /.

Аннотация

Методическая разработка учебного занятия по учебной дисциплине ОУД.04 «Математика» по теме «Практикум решения задач на пирамиду и усечённую пирамиду» предназначена для обучающихся первого курса средних профессиональных образовательных учреждений всех специальностей, изучающих раздел «Многогранники».

Большие сложности обучающиеся СПО при изучении стереометрии    испытывают в правильном оформлении решения геометрической задачи, построении чертежей и математически грамотном обосновании решения задачи и выполняемых выкладок. 

На примере пяти разобранных решений типовых задач на многогранники пирамида и усечённая пирамида обучающиеся, во-первых, повторяют ранее усвоенные теоретический основы, а во-вторых, получают навык решения геометрической задачи.        

Краткое описание документа:

Аннотация

Методическая разработка учебного занятия по учебной дисциплине ОУД.04 «Математика» по теме «Практикум решения задач на пирамиду и усечённую пирамиду» предназначена для обучающихся первого курса средних профессиональных образовательных учреждений всех специальностей, изучающих раздел «Многогранники».

Большие сложности обучающиеся СПО при изучении стереометриииспытывают в правильном оформлении решения геометрической задачи, построении чертежей и математически грамотном обосновании решения задачи и выполняемых выкладок.

На примере пяти разобранных решений типовых задач на многогранники пирамида и усечённая пирамида обучающиеся, во-первых, повторяют ранее усвоенные теоретический основы, а во-вторых, получают навык решения геометрической задачи.