Методическая
разработка по дисциплине ОУД.04 Математика
Тема:
Практикум решения задач на пирамиду и усечённую пирамиду
Задача № 1
Найти площадь боковой и полной поверхности правильной
четырехугольной пирамиды, если сторона основания равна 8 см, а угол
между боковой гранью и плоскостью основания равен 30. Найти объём пирамиды.
Решение
Дано:
SABCD - правильная пирамида;
а = 8см
- сторона основания;
α = 30-угол между боковой
гранью
и плоскостью основания
Найти:
1) Sбок -?
2) Sпол пов -?
3) V
- ?
1. Так
как пирамида правильная, то ABCD - квадрат, и вершина пирамиды
проектируется в его центр - точку О пересечения диагоналей.
2. По определению величина
двугранного угла равна величине его линейного угла, который образован двумя
перпендикулярами к ребру (по свойству сторон линейного угла):
α =SFО = 30°, т.к. SFCD (как апофема) и ОFCD ( по тереме от трёх перпендикулярах).
3. По определению
перпендикулярности прямой и плоскости:
SOOF, т.к. SO(ABC) и прямая OF⊂(ABC).
Значит, ∆SOF - прямоугольный.
4.
Решим прямоугольный ∆SOF: cosα =,
где
OF = . Тогда OF
= 4 (см), получим: cos
30° = , , отсюда
, SF = (см).
Итак,
нашли апофему пирамиды hбок
= SF = см.
sinα = отсюда sin
30°=,
, применим свойство
пропорции: 2∙SO = 1∙ , находим SO = (см).
Значит,
высота пирамиды H = SO = см.
5. Площадь основания
пирамиды: Sосн пирам
= a2
(площадь квадрата)
Sосн = 82 = 64
6. По теореме о площади
боковой поверхности правильной пирамиды:
Sбок =Pосн∙ hбок, где периметр основания пирамиды Pосн = 4а;
Pосн = 4∙8 = 32 (см); тогда Sбок =32∙= (см2)
7. Площадь полной поверхности пирамиды равна сумме
площадей её основания и боковой поверхности: Sпол пов = Sосн + Sбок
Sпол
пов = 64+ (см2)
8.
Объём пирамиды: Vпир=
∙ Sосн
∙ Н
Vпир=
∙ 64∙ (см3) 49,27(см3).
Ответ:
Sбок (см2), Sполн
(см2),
Vпир 49,27(см3).
Задача
№ 2
Найти площадь боковой и полной поверхности правильной
четырехугольной пирамиды, если сторона основания равна 4см, а угол между
боковой гранью и плоскостью основания равен .
Решение
Дано:
SABCD - правильная пирамида
а=4см-сторона
основания
α = 60- угол между боковой
гранью
и плоскостью основания
Найти:
1) Sбок-?
2)Sпол пов-?
1. Т.к. пирамида правильная, то ABCD - квадрат, и вершина
проектируется в его центр, точку пересечения диагоналей.
2. Величина двугранного угла равна величине его линейного угла,
который образован двумя перпендикулярами к ребру: α =SFО = 60°, т.к SFCD (как апофема)
и ОFCD ( по тереме о 3-х
перпендикулярах).
3.
По определению перпендикулярности прямой и плоскости: SOOF, т.к. SO(ABC)
и прямая OF⊂(ABC), значит ∆SOF- прямоугольный.
4. Решим
прямоугольный ∆SOF: cosα=, cos 60°= ; ; , отсюда
SF=4
(см)
5. Площадь основания пирамиды: Sосн пирам
= a2
(площадь квадрата)
Sосн
= 42=16 (см2)
6. По
теореме о площади боковой поверхности правильной пирамиды:
Sбок =Pосн ∙ hбок, где Pосн = 4а; Pосн =4∙4=16 см
Sбок =4= 32(см2)
7. Площадь
полной поверхности пирамиды равна сумме
площадей её основания и боковой поверхности: Sпол пов = Sосн + Sбок
Sпол пов =16+32 = 48(см2 )
Ответ: Sбок =32 см2; Sпол пов =48 см2
Задача
№ 3
Найти апофему правильной четырехугольной усеченной пирамиды,
если известно, что стороны оснований имеют длину 4см и10см, а длина бокового
ребра пирамиды равна 5см.
Решение
Дано:
ABCDA1B1C1D1-
правильная усеч. пирамида
а=10см
b=4см-
стороны основания;
l = AA1 = 5см-
длина бокового ребра
Найти: hбок - апофему Решение
1. Боковой
гранью правильной усечённой пирамиды является равнобедренная трапеция DD1CC1:
тогда DF = ; D1F1
=
2.
Проведём перпендикуляр D1М: D1М⊥DC
3. D1МDC, тогда D1М = FF1 = hбок и DM
= DF-
MF
= -
DM
= (см)
4. По
теореме Пифагора из :
52
= 32 + , отсюда находим D1M = = = 4 (см).
Ответ:
hбок
= 4 см
Задача
№ 4
Боковая грань правильной треугольной пирамиды образует с
плоскостью основания угол . Апофема пирамиды
равна см. Найти объем пирамиды.
Решение
Дано:
SABC - правильная пирамида
hбок=
3 - апофема
α = 45- угол между боковой
гранью
и плоскостью её основания
Найти: Vпир
1.
Пирамида правильная, значит ∆ABC
- равносторонний, и вершина S проектируется в центр основания в
точку О пересечение медиан треугольника.
2. Линейным углом заданного
двугранного угла между боковой гранью и плоскостью основания, является угол SFО, т.к. он
образован двумя перпендикулярами к ребру BC:
SF⊥ BC ( как апофема) и OF ⊥BC (по теореме о трех
перпендикулярах)
Значит, SFО = α = 45°
3.
По определению
перпендикулярности прямой и плоскости: SO OF, т.к.
SO(ABC) и
прямая OF⊂(ABC), значит ∆SOF - прямоугольный.
4.
Решим прямоугольный ∆SOF: sinα =
sin 45° = , отсюда
находим: , 2∙SO =∙ 3, SO = = 3(см).
OF = SO= 3(см), т.к.
∆SOF - равнобедренный прямоугольный
треугольник.
5.
Точка пересечения медиан
любого треугольника делит каждую медиану в отношении 2:1, поэтому AF =3∙ OF и OF = ∙AF
AF = 3∙3 = 9 (см)
6. Решим прямоугольный ∆AFC: sin = , где AC = a
sin 60° = , отсюда
находим: ; a∙= 2∙9; a = 6 (cм)
7. Объём пирамиды: Vпир= ∙ Sосн ∙ Н, где высота пирамиды H = S0 =3см
Площадь основания пирамиды
равна площади равностороннего треугольника:
Sосн =тогда вычисляем Sосн =см2)
Vпир = ∙3∙ (см3 46,77 (см3)
Ответ: Vпир = 46,77 см3
Задача
№ 5
Основаниями правильной усеченной пирамиды являются квадраты со
сторонами 10см и 20см. Высота усечений пирамиды равна 60см. Найти ее объем.
Решение
Дано:
ABCDA1B1C1D1-правильная
усеч. пирамида;
а = 10см
b = 20см- стороны оснований;
H = 60см- высота
Найти: : V усеч. пир
1.Т.к.
основания правильной четырёхугольной усеченной пирамиды являются квадратами,
то Sосн = а2
= а2 =
10∙10 =100 (см2)- площадь меньшего основания ;
Sосн = b2 = 20∙20 = 400 (см2)- площадь
большего основания
2. Объем правильно усеченной
пирамиды:
V усеч. пир= Н ∙ ( +Sосн +
Vусеч пир = 60 ∙ (100+400 + =20∙(100+400+200)
= 14000 (см3)
Ответ: Vусеч. пир =14000 см3
Перечень
рекомендуемых учебных изданий,
Интернет-ресурсов,
дополнительной литературы
Основные
источники:
1. Алпатов А.В.
Математика [Электронный ресурс]: учебное пособие для СПО/ Алпатов А.В.—
Электрон. текстовые данные.— Саратов: Профобразование, Ай Пи Эр Медиа, 2019.—
162 c.— Режим доступа: http://www.iprbookshop.ru/80328.html.— ЭБС «IPRbooks»
2. Башмаков М. И.
Математика: учебник. - М.: Академия, 2018.
Дополнительные
источники:
1. Башмаков М. И.
Математика: учебник. - М.: Академия, 2015.
2. Григорьев В. П.
Математика: учебник. - М.: Академия, 2016.
3. Алпатов А.В.
Математика [Электронный ресурс] : учебное пособие для СПО.-М.:Профобразование,
2017.
4. Математика
[Электронный ресурс] : учебное пособие для всех специальностей. — М. :
Российский государственный университет правосудия, 2015
Интернет-ресурсы:
1. Единая
коллекция цифровых образовательных ресурсов - http://school-collection.edu.ru /;
2. Лекции
ведущих лекторов России в свободном доступе - www.lektorium.tv;
3. Лекции
преподавателей МГУ им. М. Ломоносова - www.youtube.com/user/msu /;
4. Oбъединение
учащихся и преподавателей всего мира в одной всемирной аудитории - www.youtube.com/education /;
5. Информационные, тренировочные и контрольные материалы - http:// www.fipi.ru/ - Сайт
Федерального государственного научного учреждения "Федерального института педагогических
измерений"- / Единый государственный экзамен по математике.
Демонстрационный вариант /;
6. Официальный
портал ЕГЭ - http:// www.ege.edu.ru /;
7. Сайт Московского
института открытого образования (МИОО) - http:// mathege.ru /.
Аннотация
Методическая
разработка учебного занятия по учебной дисциплине ОУД.04 «Математика»
по теме «Практикум
решения задач на пирамиду и усечённую пирамиду» предназначена
для обучающихся первого курса средних профессиональных образовательных
учреждений всех специальностей, изучающих раздел «Многогранники».
Большие сложности обучающиеся СПО при изучении стереометрии испытывают
в правильном оформлении решения геометрической задачи, построении чертежей и
математически грамотном обосновании решения задачи и выполняемых выкладок.
На примере пяти разобранных решений типовых задач на многогранники
пирамида и усечённая пирамида обучающиеся, во-первых, повторяют ранее усвоенные
теоретический основы, а во-вторых, получают навык решения геометрической
задачи.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.