Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Методическая разработка по математике. Тема:"Матрицы в экономике"

Методическая разработка по математике. Тема:"Матрицы в экономике"

Идёт приём заявок на самые массовые международные олимпиады проекта "Инфоурок"

Для учителей мы подготовили самые привлекательные условия в русскоязычном интернете:

1. Бесплатные наградные документы с указанием данных образовательной Лицензии и Свидeтельства СМИ;
2. Призовой фонд 1.500.000 рублей для самых активных учителей;
3. До 100 рублей за одного ученика остаётся у учителя (при орг.взносе 150 рублей);
4. Бесплатные путёвки в Турцию (на двоих, всё включено) - розыгрыш среди активных учителей;
5. Бесплатная подписка на месяц на видеоуроки от "Инфоурок" - активным учителям;
6. Благодарность учителю будет выслана на адрес руководителя школы.

Подайте заявку на олимпиаду сейчас - https://infourok.ru/konkurs

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:


МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ НИЖЕГОРОДСКОЙ ОБЛАСТИ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«НИЖЕГОРОДСКИЙ ГУБЕРНСКИЙ КОЛЛЕДЖ»








МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА ПО ДИСЦИПЛИНЕ


«МАТЕМАТИКА»


ТЕМА: «МАТРИЦЫ. ПРИМЕНЕНИЕ МАТРИЦ В ЭКОНОМИКЕ».








Для специальностей:

«Экономика и бухгалтерский учет» (по отраслям), «Программирование в компьютерных системах» среднего профессионального образования

( на базе основной общеобразовательной школы)








Нижний Новгород


2015




СОДЕРЖАНИЕ


Введение_______________________________________________ 4

Определение и виды матриц ____________________________6

Линейные операции над матрицами_________________________ 9

Умножение матриц ______________________________________ 12

Определители, действия и свойства_________________________13

Обратная матрица, правило вычисления_____________________ 14

Ранг матрицы____________________________________________16

Решение СЛУ по формуле Крамера и матричным способом_____17

Задачи__________________________________________________

Заключение______________________________________________

Литература______________________________________________

Презентация























ВВЕДЕНИЕ



Данная методическая разработка предназначена как пособие в изучении данного раздела дисциплины математика.

Методическая разработка «Матрицы. Применение матриц в экономике » соответствует государственным требованиям к минимуму содержания и уровню подготовки выпускников по специальности «Экономика и бухгалтерский учет (по отраслям)» 2 курса.

Тема методической разработки соответствует рабочей программе, рассчитанной на 48 часов по дисциплине «Математика» для студентов 2 курса и состоит из теоретического материала и упражнений, выполняемых студентами с помощью преподавателя и самостоятельно, закрепляющих изученный материал.

В работе раскрываются основные теоретические вопросы, которые студент должен изучить и понять за четыре занятия (8 часов), правила сложения, вычитания, умножения матриц. Нахождение обратной матрицы, решение систем линейных уравнений матричным способом. Решение экономических задач с помощью матриц. Практические задания, которые студенты выполняют как с помощью преподавателя, так и самостоятельно индивидуально и в группах.

















Матрицы (и соответственно математический раздел - матричная алгебра) имеют большое значение в прикладной математике, в частности – экономике, так как позволяют записать в достаточно простой форме значительную часть математических моделей объектов и процессов. Термин "матрица" появился в 1850 году. Впервые упоминались матрицы еще в древнем Китае, позднее у арабских математиков.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Матрицей A = A m n порядка m х n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m - строк и n - столбцов.

hello_html_m6a1e74d0.png



Элементы матрицы aij, у которых i = j, называются диагональными и образуют главную диагональ.

Для квадратной матрицы (m = n) главную диагональ образуют элементы a11, a22,..., ann .

Виды матриц

1. Прямоугольные: m и n - произвольные положительные целые числа

2. Квадратные: m = n

3. Матрица строка: m = 1. Например, (1 3 5 7 ) - во многих практических задачах такая матрица называется вектором hello_html_351a4a8d.gif или строчная.

4. Матрица столбец – столбчатая или вектор hello_html_351a4a8d.gifn = 1. Например

hello_html_m62fb89d2.png

5. Диагональная матрица: m = n и aij = 0, если i ≠ j. Например

hello_html_m3545c3c5.png

6. Единичная матрицаm = n и

hello_html_m50d02248.png

7. Нулевая матрица: aij = 0, i=1,2,...,m

j=1,2,...,n

hello_html_m5f087348.png

8. Треугольная матрица: все элементы ниже главной диагонали равны 0.

Пример.

hello_html_5062d885.png



9. Симметрическая матрица: m = n и aij = aji (т.е. на симметричных относительно главной диагонали местах стоят равные элементы), следовательно,  A'=A

Например,

hello_html_m383f3071.png

10. Кососимметрическая матрица: m = n и aij = -aji (т.е. на симметричных относительно главной диагонали местах стоят противоположные элементы). Следовательно, на главной диагонали стоят нули (т.к. при i = j имеем ai i= -aii)

Пример.

hello_html_m4597632f.png

Ясно, A'=-A



Равенство матриц.

A = B, если порядки матриц A и B одинаковы и aij = bij (i=1,2,...,m; j=1,2,...,n)





Действия над матрицами.

1. Сложение матриц - поэлементная операция

hello_html_1ad95da1.png







2. Вычитание матриц - поэлементная операция

hello_html_m342a983f.png

3. Произведение матрицы на число - поэлементная операция

hello_html_m7428f074.png

4. Умножение A х B матриц по правилу строка на столбец (число столбцов матрицы А должно быть равно числу строк матрицы B)

Amk х Bkn= Cmn причем каждый элемент сij матрицы Cmn равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B , т.е.

hello_html_m418c6ec7.png





Покажем операцию умножения матриц на примере:

hello_html_m7ea21cbc.png

5. Возведение в степень

hello_html_3cd64252.png

m >1, целое положительное число. А - квадратная матрица (m = n) т.е. актуально только для квадратных матриц

6. Транспонирование матрицы А. Транспонированную матрицу обозначают AT или A'

hello_html_m6494ad32.png

Строки и столбцы поменялись местами



Пример

hello_html_3f2dc7e5.png





Свойства операций над матрицами



A+B = B+A (A')' = A

(A+B)+C = A+(B+C) (λA)' = λ(A)'

λ(A+B) = λA+λB (A+B)' = A'+B'

A(B+C) = AB+AC (AB)' = B'A'

(A+B)C = AC+BC

λ(AB) = (λ A)B=A(λ B)

A(BC) = (AB)C

Выполните действия над матрицами:

  1. АВ

  2. ВА

  3. ВА+3С, если hello_html_m10948269.gif

Решение:

1. АВ =hello_html_f1f71e5.gif- ответ

2. hello_html_m23ef66c6.gif

hello_html_m19c897f7.gif - ответ. hello_html_m53d4ecad.gif Из этого следует, что hello_html_m435866e6.gif

3. hello_html_m1d78ce71.gif - ответ



Самостоятельно выполнить задания.



1. Выполнить действия над матрицами: 1). 2(А+В)(2В-А), где

hello_html_m661cd8f5.gif 2). 3А-(А+2В)В, где А и В те же матрицы.

2. Выполнить действия над матрицами:

3АВ+(А-В)(А+2В), где hello_html_7b66ec9a.gif



3. Выполнить действия над матрицами:

2А(А+В)-3АВ, где hello_html_3ff55df3.gif

4. Выполнить действия над матрицами:

(3А+0,5В)(2В-А), где hello_html_be95e4e.gif





5. Выполнить действия над матрицами:

2АВ+А(В-А), где hello_html_9a8789f.gif



Определители.

Напомним свойства, вычисления и действия над определителями матрицы.

Знак hello_html_2e85d6ba.gif- дельта (детерминант) есть определитель 2-го порядка: квадратная таблица, вычисляемая по формуле:


hello_html_m66fce28a.gifhello_html_m4bd293b2.gif (3) по главной диагонали слева направо - произведение берётся со своим знаком, а по побочной диагонали справа налево - с противоположным знаком.


Свойства определителей:

1.определитель равен 0, если: а) элементы 2-х строк или столбцов числа равные или пропорциональные; б) строка или столбец состоит из нулей;

2. величина определителя не изменится, если: а) строки заменить на столбцы или наоборот (не меняя порядка); б) если к элементам строки или столбца прибавить соответствующие элементы другой строки или столбца, умноженные на любой общий множитель;

3. при перестановке двух строк или столбцов определитель меняет знак на противоположный;

4. общий множитель строки или столбца можно выносить за знак определителя.

5. если каждый элемент строки или столбца есть сумма двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, причём в одном их них соответствующая строка или столбец состоит из первых слагаемых, а в другом – из вторых слагаемых, остальные же строки и столбцы – те же, что и в данном определителе.





Вычисление определителя 3-го порядка – правило треугольника

+ (произведение со своим знаком)

hello_html_1d3569d6.gifhello_html_3882c7ce.gif

- (произведение с противоположным знаком)

hello_html_1d3569d6.gifhello_html_m2a57cb3d.gif.



Вычислить определитель:

hello_html_m52ac6b9a.gif (6) (4)

1. Выносим из 2-го столбца общий множитель 6, из 3-го столбца множитель 4.

2. По правилу треугольника вычисляем определитель и умножаем на общие множители.


Второе правило вычисления определителя 3-го порядка:

+\ / -

hello_html_2c0bc909.gif

Составьте определитель 3 порядка, вычислите его, обменяйтесь с соседом и проверьте его вычисления (взаимопроверка) и оцените его работу. Если есть ошибки, разберите и исправьте. Консультирует по необходимости преподаватель.

 Понятия обратной функции, обратного числа вам знакомо.

Обратная матрица

Способы нахождения обратной матрицы. Рассмотрим квадратную матрицу

 hello_html_69281cb2.png.

Обозначим:  Δ = det A (определитель матрицы) или

Квадратная матрица А называется невырожденной, или неособенной, если ее определитель отличен от нуля, и вырожденной, или особенной, если Δ = 0.

Квадратная матрица В есть обратная матрица для квадратной матрицы А того же порядка, если их произведение А В = В А = Е, где Е - единичная матрица того же порядка, что и матрицы А и В.

Теорема. Для того, чтобы матрица А имела обратную матрицу, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля.

Обратная матрица матрице А, обозначается через А-1, так что В = А-1 и вычисляется по формуле

hello_html_1957b4e4.png,                                               (1)

где А i j - алгебраические дополнения элементов a i j матрицы A.

Вычисление A-1 по формуле (1) для матриц высокого порядка очень трудоемко, поэтому на практике бывает удобно находить A-1 с помощью метода элементарных преобразований (ЭП). Любую неособенную матрицу А путем ЭП только столбцов (или только строк) можно привести к единичной матрице Е. Если совершенные над матрицей А ЭП в том же порядке применить к единичной матрице Е, то в результате получится обратная матрица. Удобно совершать ЭП над матрицами А и Е одновременно, записывая обе матрицы рядом через черту. Отметим еще раз, что при отыскании канонического вида матрицы с целью нахождения ранга матрицы можно пользоваться преобразованиями строк и столбцов. Если нужно найти обратную матрицу, в процессе преобразований следует использовать только строки или только столбцы.

Пример 1. Для матрицы hello_html_m1bd2b091.png найти A-1.

Решение. Находим сначала детерминант (определитель) матрицы А 
hello_html_4d9dd019.png  значит, обратная матрица существует, и мы ее можем найти по формуле:  hello_html_m5a496477.png, где Аi j (i,j=1,2,3) - алгебраические дополнения элементов аi j исходной матрицы. hello_html_2831ea48.png                  hello_html_m283f3e07.png

hello_html_me216d91.png                    hello_html_m123683fe.png

hello_html_38229aae.png                   hello_html_m1a09259a.png

hello_html_mef56207.png                  hello_html_m750a06a1.png

hello_html_m3dc59106.png

 откуда   hello_html_23e5dd19.png.

Пример 2*. Методом элементарных преобразований найти A-1 для матрицы:

hello_html_m53d4ecad.gif

hello_html_me2ddb1d.gif

Решение. Приписываем к исходной матрице справа единичную матрицу того же порядка: hello_html_m290f5c72.png. С помощью элементарных преобразований столбцов приведем левую “половину” к единичной, совершая одновременно точно такие преобразования над правой матрицей. 
Для этого поменяем местами первый и второй столбцы: hello_html_m290f5c72.pnghello_html_m651e6d48.png. К третьему столбцу прибавим первый, а ко второму - первый, умноженный на -2: hello_html_6cffaa87.png. Из первого столбца вычтем удвоенный второй, а из третьего - умноженный на 6 второй; hello_html_71891387.png. Прибавим третий столбец к первому и второму: hello_html_m79ebd427.png. Умножим последний столбец на -1: hello_html_m246b009a.png. Полученная справа от вертикальной черты квадратная матрица является обратной матрицей к данной матрице А. Итак, 
        hello_html_2bfdc9fb.png









Ранг матрицы равен наибольшему порядку отличного от нуля минору

На этой теореме базируется еще один метод нахождения ранга матрицы - метод окаймления миноров. Суть этого метода заключается в нахождении миноров, начиная с низших порядков и двигаясь к более высоким. Если минор hello_html_m7f31307d.png-го порядка не равен нулю, а все миноры hello_html_2712cb68.png-го равны нулю, то ранг матрицы будет равен hello_html_m7f31307d.png.

Пример. Дана матрица А, найти ее ранг, используя метод окаймления миноров.

hello_html_26efb9b9.gif

Решение. Минорами минимального порядка являются миноры первого порядка, которые равны элементам матрицы А.

Рассмотрим, например, минор М1 = 1 отличен от 0. Окаймляем его с помощью 2-ой строки и 2-го столбца, получаем: hello_html_m5d666c87.gif



Далее рассматриваем миноры 3-го порядка , которые окаймляют минор hello_html_m71aa39df.gif

Таких миноров два: комбинация 3-ей строки со вторым столбцом или с 4-ым столбцом. Вычисляем эти миноры:

hello_html_m6326f2fd.pnghello_html_m5edf9419.png

hello_html_101c1460.gif

Таким образом, все окаймляющие миноры 3-го порядка равны 0. Значит ранг матрицы А равен 2: rang A=2.

Ответ: rang A=2.



Работа в группах. Выполнить задания А и В.

Пример А.

Найти обратную матрицу к матрице hello_html_35529bc.gif

hello_html_m74daae75.gifhello_html_37d38aeb.gif



Таким образом, транспонированная матрица: hello_html_581fded6.gif

hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_38a9804a.gif

Ответ: hello_html_38a9804a.gif


Назовем элементарными преобразованиями матрицы следующие:


1) Отбрасывание нулевой строки (столбца).


2) Умножение всех элементов строки (столбца) матрицы на

число у не равное нулю.


3) Изменение порядка строк (столбцов) матрицы.


4) Прибавление к каждому элементу одной строки (столбца)

соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных

на любое число.


5) Транспонирование матрицы.


Теорема. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы.


При изучении свойств определителей было показано, что

при преобразованиях квадратных матриц их определители либо

сохраняются, либо умножаются на число, не равное нулю. В

результате сохраняется наивысший порядок отличных от нуля

миноров исходной матрицы, т.е. ее ранг не изменяется. ■


С помощью элементарных преобразований можно привести

матрицу к так называемому ступенчатому виду, когда вычисление

ее ранга не представляет труда.



Матрица А называется ступенчатой, если она имеет вид:


hello_html_m49528d7b.gif, где hello_html_m528c2fdd.gif (2)

Замечание. Условие rk всегда может быть достигнуто транспонированием матрицы.

Очевидно, что ранг ступенчатой матрицы равен r, т.к. имеется минор r -го

порядка, не равный 0.



hello_html_m2afc3e83.gif= hello_html_m148b7400.gif







Пример В.

Найти ранг матрицы с помощью окаймления миноров низших порядков.



hello_html_15b688ae.gif

Ответ: rang A = 2

Ответы сверяют по группам и разбирают ошибки, если они присутствуют.

Индивидуально пример С.

Найти ранг матрицы hello_html_d88395a.png, используя преобразования и приведя ее к треугольному виду.

Ответ: rang A = 2



НАПОМНИМ ИЗВЕСТНЫЙ С 1 КУРСА МАТЕРИАЛ.



Чтобы решить систему hello_html_340da6a2.gifс помощью определителей, нужно составить расширенную матрицу:

hello_html_m16942e20.gif- прямоугольная таблица, состоящая из коэффициентов при х и у и свободных членов (М), hello_html_m73de622.gifопределитель состоит из коэф-ов при неизвестных; hello_html_4cfc4050.gif- определительhello_html_2e85d6ba.gif, 1-ый столбец которого заменяется столбцом из свободных членов,

hello_html_17d46a34.gif- определительhello_html_2e85d6ba.gif, 2-ой столбец которого заменяется столбцом свободных членов.


Итак: hello_html_m214d3559.gif и hello_html_78277a0b.gif формула Крамера (правило Крамера)

____________________________________________________________

Если hello_html_m5b42b3c1.gif, то система совместная и имеет единственное решение, она определенная.

Если hello_html_m35f1b58e.gifа hello_html_4cfc4050.gif или hello_html_17d46a34.gifне равны 0, то система несовместная, то есть не имеет решения.

Если hello_html_5a70d437.gif, то система совместная и неопределенная, т.е. имеет множество решений (0/0-неопределённость)


Решите систему по формуле Крамера:

hello_html_m374d5fec.gif Составим расширенную матрицу: hello_html_m52ca7ee.gif

У доски на решение каждого определителя вызывается отдельный студент. Т.е. отвечают четверо у доски по очереди.


hello_html_6374c6ba.gif

hello_html_5d90672.gif2hello_html_5ccc8878.gif

hello_html_7daa5c97.gif

hello_html_m414c0b6f.gif=hello_html_6346ecf6.gif


hello_html_m3244eaba.gifhello_html_md9e2173.gifhello_html_m3af040db.gif


Проверка: 8 – 8 + 6 = 6 -верно

16 +12 – 8 = 20 – верно

24 – 8 – 10 = 6 – верно


Ответ: (8; 4; 2).


Решим эту же систему матричным способом

hello_html_m374d5fec.gif Матрица hello_html_19d0765c.gif



Мы получили матричное уравнение вида: А∙Х = В и тогда hello_html_m5625d5e9.gif

Решение по алгоритму:

  1. Δ = -58 (невырожденная)

  2. Удобнее найти дополнения как есть А, затем устно транспонируем и сразу записываем обратную матрицу




hello_html_mabc79d4.gif

hello_html_m79bc42cc.gif


hello_html_29c4841f.gif




hello_html_m32f71249.gif

hello_html_3134b279.gif


Ответ: х1 = 8; х2 = 4; х3 = 2


Самостоятельно.


Решить СЛУ по формуле Крамера. Определители вычислите понижением порядка. Проверка обязательна.

hello_html_f6b6769.gif


2. Решить СЛУ матричным способом:


hello_html_f6b6769.gif




Самостоятельно выполнить задания по вариантам.

hello_html_m3e026f06.png



hello_html_649cab35.png



hello_html_55e8ac30.png



hello_html_14f9ec69.png



hello_html_50546987.png

Теперь рассмотрим действия над матрицами с позиции экономики и решим несколько задач.

1. В три магазина завозят два раза в месяц одинаковое количество диванов, кресел, тумбочек. В первый – по 10 диванов, 6 кресел, 8 тумбочек, во второй – по 5 диванов, 7 кресел, 10 тумбочек, в третий – по 2 дивана, 3 кресла и 5 тумбочек. Во всех магазинах устанавливали одинаковые цены и меняли их в связи с завозами. Найдите суммарные месячные выручки, если в магазинах все распродали, и матрица цен выглядит так:

P=hello_html_20e37a0b.gif(цены указаны в тыс.руб.).


Решение.

Найдем матрицу поступлений товаров:

A=hello_html_6140ef03.gif,

а теперь найдем суммарные выручки:

C=hello_html_6140ef03.gifhello_html_20e37a0b.gif= hello_html_m3a05efd4.gif=hello_html_m3e06100f.gif.


ОТВЕТ: C=hello_html_m3e06100f.gif.



2. Поступление товаров на первый склад описывается матрицей

A1=hello_html_60ef8d0a.gif,

а поступление товаров на второй склад описывается матрицей

A2=hello_html_7c75466d.gif.

Найдите суммарный завоз товаров на склады; годовой завоз на склады, если по договору, производится ежемесячный завоз одинаковых партий товаров.


Решение.

A1+A2= hello_html_60ef8d0a.gif+hello_html_7c75466d.gif= hello_html_m45cd449a.gif,


12(A1+A2)= 12hello_html_m45cd449a.gif=hello_html_m1bc15eb.gif.



3. По заказу с завода в магазин доставили товары, поступление которых описывается матрицей

A1 = hello_html_m779b8d40.gif,

но данные товары не пользуются большим спросом. Найдите количество товаров, оставшихся на складе, если количество купленных товаров описывается матрицей

A2 = hello_html_m41e4610d.gif.


Решение.

Найдем разность этих двух матриц:

A1- A2=hello_html_m779b8d40.gif- hello_html_m41e4610d.gif = hello_html_m3bf1b754.gif.

4. Пусть в магазин поступили три вида товаров: холодильники, телевизоры и стиральные машины, тогда вектор

x1= (10;12;8);

означает, что поступило 10 холодильников, 12 телевизоров и 8 стиральных машин.

Если во второй завоз поступление этих товаров имело вид:

x2=(5;8;10),

то мы можем найти суммарное поступление товаров:

x1+x2 = (10+5; 12+8; 8+10) = (15; 20; 18).

Допустим теперь, что магазинов не один, а два, тогда завоз товаров можно описать матрицей, у которой две строки и три столбца. Первая строка относится к первому магазину, а вторая – ко второму.

Допустим, что во второй магазин завезли в первый раз 5 холодильников, 20 телевизоров и 14 стиральных машин. Тогда общий завоз товаров в два магазина первый раз можно описать матрицей

A1 =hello_html_1268e4ea.gif

Если во второй завоз поступление товаров в магазины описывается матрицей

A2=hello_html_m74821459.gif,

то мы можем найти суммарный завоз товаров в магазины:

A1+A2 =hello_html_1268e4ea.gif+ hello_html_m74821459.gif=hello_html_m5c64d29f.gif

Если завоз товаров в магазины, который описывается матрицей A1, был произведен троекратно, то результирующий завоз будет описываться матрицей:

3A1= 3hello_html_1268e4ea.gif=hello_html_m8eb5a4e.gif

Описанные в примерах действия называются линейными операциями.



5. Некоторая фирма занимается реализацией четырех видов товаров в трех районах. Данные об уровне продаж товаров по районам образуют матрицу

A = (aij) =hello_html_1fcbc137.gif

Величина aij, которая находится в i-й строке и j-м столбце матрицы A, обозначает количество j-го товара, проданное в i-м районе. Таким образом, строки матрицы соответствуют районам, а столбцы – видам товаров. Обозначим через ci, i= 1, 2, 3, 4 цены на реализуемые товары. Они образую матрицу-столбец

C = hello_html_20b4d3e3.gif

Если хотим найти суммарный объем продаж в первом районе, то мы должны вычислить следующее выражение:

a11c1 + a12c2 + a13c3 + a14c4,

которое является скалярным произведением первой строки матрицы A на столбец цен C. И строчка, и столбец являются арифметическим 4-х мерными векторами. Про выражение (a11c1 + a12c2 + a13c3 + a14c4) говорят, что оно получено при умножении первой строки матрицы A на столбец C.

Производя такое умножение на столбец C второй и третьей строк, получаем еще две величины, которые представляют собой суммарные продажи во втором и третьем районах. Эти две величины вместе с ранее найденной величиной образуют вектор суммарных продаж

P = hello_html_191dc6c0.gif

6. Пусть матрица уровня продаж имеет вид:

A = hello_html_67a03ae4.gif


(Объемы продаж даны в тысячах штук).

Пусть цены заданы с помощью матрицы:

C = hello_html_3fd57d7b.gif

Тогда для нахождения вектора-столбца суммарных продаж мы произведем вычисления

C =hello_html_29fda486.gifhello_html_m220a53b4.gif=hello_html_m5854d890.gif=hello_html_m65589e23.gif



7. Самостоятельно.

Предприятие производит продукцию 3-х видов и использует сырье 2-х типов.

Нормы затрат на единицу продукции каждого вида задается матрицей

А = hello_html_m1ad98804.gif Стоимость единицы сырья каждого типа задана матрицей

В = ( 10 15 ). Каковы общие затраты предприятия на производство 100 единиц продукции 1-го вида, 200 единиц продукции 2-го вида и 150 единиц продукции 3-го вида?

Задание: представить ситуацию и составить текст задачи. Решить ее матричным способом.

Использование элементов алгебры матриц является одним из основных методов решения многих экономических задач. Особенно этот вопрос стал актуальным при разработке и использовании баз данных: при работе с ними почти вся информация хранится и обрабатывается в матричной форме.

Матричные вычисления

Рассмотрим типичные задачи, использующие понятие вектора и его свойства.

1. Предприятие выпускает ежесуточно четыре вида изделий, основные производственно-экономические показатели которых, приведены в табл. 16.1.

Требуется определить следующие ежесуточные показатели: расход сырья S, затраты рабочего времени Т и стоимость Р выпускаемой продукции предприятия.

hello_html_m23c3d31c.png

Решение. По данным табл. 16.1 составим четыре вектора (строчная матрица), характеризующие весь производственный цикл:

hello_html_m19b2ea43.png= (20, 50, 30,40) — вектор ассортимента,

hello_html_m7371f5c8.png  = (5, 2, 7, 4) — вектор расхода сырья,

hello_html_2587bdae.png  = (10, 5, 15, 8) — вектор затраты рабочего времени,

hello_html_2a8853ec.png  = (30, 15, 45, 20) — ценовой вектор.

Тогда искомые величины будут представлять собой соответствующие скалярные произведения вектора ассортимента hello_html_m19b2ea43.png на три других вектора, т.е.

hello_html_m57082af6.png

2. Предприятие выпускает 4 вида изделий с использованием 4-х видов сырья. Нормы расхода сырья даны как элементы матрицы А:

hello_html_2c93711c.png

Требуется найти затраты сырья на каждый вид изделия при заданном плане их выпуска: соответственно 60, 50, 35 и 40 ед.

Решение. Составим вектор-план выпуска продукции

hello_html_f6c5d78.png

Тогда решение задачи дается вектором затрат, координаты которого и являются величинами затрат сырья по каждому его виду; этот вектор затрат вычисляется как произведение вектора hello_html_m19b2ea43.png на матрицу А:

hello_html_m2dde9e19.png

3. Пусть затраты 4-х видов сырья на выпуск 4-х видов продукции характеризуются матрицей А, приведенной в предыдущей задаче. Требуется найти: а) общие затраты на сырье для каждого вида продукции и его перевозку; б) общие затраты на сырье и его транспортировку при условии заданного вектора-плана предыдущей задачи, если известны себестоимости каждого вида сырья и его доставки (соответственно 4, 6, 5, 8 и 2, 1, 3, 2 ден. ед.).

Решение. Составим матрицу себестоимостей сырья и его доставки (соответственно 1-я и 2-я строки):

hello_html_5dc13880.png

Тогда ответ на первый вопрос задачи дается в виде произведения матрицы А на транспонированную матрицу CT:

hello_html_m597c5a32.png

Суммарные затраты на сырье и его доставку (в денежных единицах) при векторе-плане выпуска продукции hello_html_m19b2ea43.png= (60, 50, 35, 40) определяются произведением вектора hello_html_m19b2ea43.png на матрицу АСT:

hello_html_m5b6c33e8.png

4. В табл. 16.2 приведены данные о дневной производительности 5 предприятий, выпускающих 4 вида продукции с потреблением 3-х видов сырья, а также продолжительность работы каждого предприятия в году и цена каждого вида сырья.

hello_html_m1b00ee1b.png

Требуется определить:

1) годовую производительность каждого предприятия по каждому виду изделий;

2) годовую потребность каждого предприятия по каждому виду сырья;

3) годовую сумму кредитования каждого предприятия для закупки сырья, необходимого для выпуска продукции указанных видов и количеств.

Решение. Нужно составить матрицы, характеризующие весь интересующий нас экономический спектр производства, а затем при помощи соответствующих операций над ними получить решение данной задачи. Прежде всего приведем матрицу производительности предприятий по всем видам продукции:

hello_html_4c5faa8b.png

Каждый столбец этой матрицы соответствует дневной производительности отдельного предприятия по каждому виду продукции. Следовательно, годовая производительность j-го предприятия по каждому виду продукции получается умножением j-гo столбца матрицы А на количество рабочих дней в году для этого предприятия (j = 1, 2, 3, 4, 5). Таким образом, годовая производительность каждого предприятия по каждому из изделий описывается матрицей

hello_html_69fe692c.png

Матрица затрат сырья на единицу изделия (эти показатели по условию одинаковы для всех предприятий) имеет вид

hello_html_3f586c24.png

Дневной расход по типам сырья на предприятиях описывается произведением матрицы В на матрицу А:

hello_html_m7f116f5d.png

где i-я строка соответствует номеру типа сырья, а j-й столбец — номеру предприятия согласно табл. 16.2 (i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3, 4, 5). Ответ на второй вопрос задачи получим по аналогии с матрицей Агод умножением столбцов матрицы ВА на соответствующие количества рабочих дней в году для предприятий — это годовая потребность каждого предприятия в каждом виде сырья:

hello_html_5fb1a709.png

Введем вектор стоимости сырья

hello_html_251ed489.png

Тогда стоимость общего годового запаса сырья для каждого предприятия получается умножением вектора hello_html_2a8853ec.png на матрицу ВAгод:

hello_html_44e3c78b.png

Следовательно, суммы кредитования предприятий для закупки сырья определяются соответствующими компонентами вектора hello_html_m75c7a39a.png.

5. Отрасль состоит из n предприятий, выпускающих по одному виду продукции каждое; обозначим объем продукции i-го предприятия через xi. Каждое из предприятий отрасли для обеспечения своего производства потребляет часть продукции, выпускаемой им самим и другими предприятиями. Например, в отрасли электротехнического оборудования часть продукции предприятий, выпускающих электродвигатели, силовые кабели, электрокары и т.д., употребляется практически всей отраслью. Пусть aij — доля продукции i-го предприятия, потребляемая j-м предприятием для обеспечения выпуска своей продукции объема xj. Возникает естественный вопрос о величине yi — количестве продукции i-го предприятия, предназначенной для реализации вне данной отрасли (объем конечного продукта). Эта величина легко может быть подсчитана по формуле

hello_html_7b07ec12.png

Введем в рассмотрение матрицу порядка n, описывающую внутреннее потребление отрасли:

hello_html_m493c5e9d.png

Тогда вектор конечного продукта является решением матричного уравнения

hello_html_642ed077.png

или с использованием единичной матрицы Е получаем

hello_html_dd024a.png

Рассмотрим конкретный пример при n = 3. Пусть вектор выпуска продукции отрасли и матрица внутреннего потребления имеют соответственно вид

hello_html_22f6b0a8.png

Используя формулу (16.1) и правило сложения матриц, получаем вектор объемов конечного продукта, предназначенного для реализации вне отрасли, состоящей из 3-х предприятий:

hello_html_8cf0f02.png

Использование систем линейных уравнений

Рассмотрим задачи, приводящие к составлению и решению систем линейных алгебраических уравнений.

6. Прогноз выпуска продукции по запасам сырья. Предприятие выпускает три вида продукции, используя сырье трех типов. Необходимые характеристики производства указаны в табл. 16.3. Требуется определить объем выпуска продукции каждого вида при заданных запасах сырья. Задачи такого рода типичны для прогнозов и оценок функционирования предприятий, экспертных оценок проектов освоения месторождений полезных ископаемых, а также для планирования микроэкономики предприятий.

hello_html_6f8f190c.png

Решение. Обозначим неизвестные объемы выпуска продукции через x1, x2 и x3. Тогда при условии полного расхода запасов для каждого вида сырья можно записать балансовые соотношения, которые образуют систему трех уравнений с тремя неизвестными:

hello_html_m66c4c684.png

Решая эту систему уравнений любым способом, находим, что при заданных запасах сырья объемы выпуска продукции составят по каждому виду соответственно (в условных единицах)

hello_html_m4e0f9df5.png


















ЗАКЛЮЧЕНИЕ.


Современный специалист, независимо от профессиональной области чтобы быть конкурентоспособным должен владеть достаточно большим объемом знаний и навыков, в том числе и математических.

Целью учебно-методической разработки «Матрицы. Применение матриц в экономике» является получение более полного представления о способах решения СЛУ и возможностях в решении экономических задач.

В разработке предложен теоретический и практический материал. В теоретической части даны подробные сведения, необходимые для получения основных сведений об изучаемой теме и так же исторический материал. В практической части – задания, в которых приведены подробные инструкции по их выполнению, различные виды и формы самостоятельной и творческой работы как аудиторной, так и внеаудиторной.

Методическая разработка может быть рекомендована для обучения студентов специальностей: «Программное обеспечение в компьютерных сетях», «Экономика и бухгалтерский учёт» (повышенный уровень), «Информационные системы» при подготовке к экзаменам, разработке курсовых проектов, для самостоятельной работы студентов. Также рекомендуется преподавателям, ведущим дисциплину «Численные методы».























Литература:


1. Коршунова Н.И., Плясунов В.С. Математика в экономике. - М.: «Вита- Пресс», 2011.

  1. Сирл С., Госман У. Матричная алгебра в экономике. – М.: Статистика, 2012.

  2. Петрова В.Т.

Лекции по алгебре и геометрии. В 2ч.- М.:ВЛАДОС, 2012. – ч.1.



  1. http://www.dpva.info/Guide/GuideMathematics/linearAlgebra/MatrixAndMatrixForm/

  2. http://www.cleverstudents.ru/matrix/finding_the_inverse_matrix.html

  3. http://www.cleverstudents.ru/system_of_equations/matrix_method.html

  4. http://cyberleninka.ru/article/n/reshenie-ekonomicheskih-zadach-matrichnym-metodom

  5. http://univer-nn.ru/zadachi-po-ekonomicheskomu-analizu/

  6. http://univer-nn.ru/ekonometrika/raschet-koefficientov-mnozhestvennoj-linejnoj-regressii-matrichnym-sposobom



Самые низкие цены на курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации!

Предлагаем учителям воспользоваться 50% скидкой при обучении по программам профессиональной переподготовки.

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок".

Начало обучения ближайших групп: 18 января и 25 января. Оплата возможна в беспроцентную рассрочку (20% в начале обучения и 80% в конце обучения)!

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: https://infourok.ru/kursy

Автор
Дата добавления 27.01.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров814
Номер материала ДВ-386460
Получить свидетельство о публикации

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.

Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.

Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests


Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх