Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Методическая разработка по математике. Изучение логарифмов в слабых классах.
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Методическая разработка по математике. Изучение логарифмов в слабых классах.

библиотека
материалов










Методическая разработка по математике.



Тема разработки:


Изучение логарифмов в слабых классах.


Разработал: учитель МБОУ СОШ № 25 г. Брянска Головачева Л.А.




























Брянск

2014 г



Биология учит нас работе организма,

физика – явлениям в природе,

литература – мышлению…
И только высшая математика учит страдать.



Основная цель данного проекта – познакомить, либо же освежить в памяти тему «Логарифмы», научить решать уравнения и закрепить навыки разнообразными примерами и задачами.


Потому-то словно пена, 
Опадают наши рифмы. 
И величие степенно 
Отступает в логарифмы.
 
                   Борис Слуцкий





Введение.

На всем протяжении XVI века быстро возрастало количество приближенных вычислений, прежде всего в астрономии. Исследование планетных движений требовало колоссальных расчетов. 

Астрономы просто могли утонуть в невыполнимых расчетах. Очевидные проблемы возникали и в других областях, таких как финансовое и страховое дело. Основную трудность представляли умножение и деление многозначных чисел, особенно же тригонометрических величин.

Иногда для приведения умножения к более легкому сложению и вычитанию пользовались таблицами синусов и косинусов. Была также составлена таблица квадратов до 100 000, с помощью которой умножение можно было производить по определенному правилу.

Однако эти приемы не давали удовлетворительного решения вопроса. Его принесли с собой таблицы логарифмов.

Открытие логарифмов опиралось на хорошо известные к концу XVI века свойства прогрессий. Связь между членами геометрической профессии и арифметической прогрессией не раз отмечалась математиками, о ней говорилось еще в «Псаммите» Архимеда. Другой предпосылкой было распространение понятия степени на отрицательные и дробные показатели, позволившее перенести только что упомянутую связь на более общий случай.

Применение логарифма позволило упростить многие сложные операции арифметики. Использование в вычислениях вместо чисел их логарифмов позволило заменить умножение более простой операцией сложения, деление - вычитанием, возведение в степень - умножением и извлечение корней - делением.

На сегодняшний день можно сказать, что поистине безграничны приложения показательной и логарифмической функций в самых различных областях науки и техники, а ведь придумывали логарифмы для облегчения вычислений. В этом году исполнилось четыре столетия с того дня, как в 1614 году были опубликованы первые логарифмические таблицы, составленные Джоном Непером. Они помогли астрономам и инженерам, сокращая время на вычисления, и тем самым, как сказал знаменитый французский ученый Лаплас, «удлиняли жизнь вычислителям». 














Определение логарифма.


К сожалению, логарифмы всегда считались сложной темой в школьном курсе математики.  А уж решать логарифмы и логарифмические уравнения могут далеко не все школьники.

Однако, это мнение не совсем верно. Тема логарифмы и логарифмическая функция достаточно проста и понятна, если в ней хорошенько разобраться.

Но для начала работы необходимо вспомнить определение логарифма.

Определение: Логарифм по основанию a от аргумента b— это степень х, в которую надо возвести число a, чтобы получить число b.

Схематически это правило записывается так:

если hello_html_m3addbd1a.gif , тогда hello_html_26709f2f.gif,

где a — основание,  b — аргумент,  x — собственно то, чему равен логарифм.

Случай a=1 интереса не представляет, поскольку тогда при b не равным 1 это уравнение не имеет решения, а при b=1 любое число является решением; в обоих случаях логарифм не определён. Аналогично заключаем, что логарифм не существует при нулевом или отрицательном a; кроме того, значение показательной функции у = aх всегда положительно, поэтому следует исключить также случай отрицательного b. Окончательно получаем:

логарифм  ~\log_a b  имеет смысл при  ~a>0, a \ne 1, b>0 .

Такие ограничения называются областью допустимых значений (ОДЗ). Получается, что ОДЗ логарифма выглядит так: loga b = x    b > 0, a > 0, a ≠ 1.

Заметьте, что никаких ограничений на число х(значение логарифма) не накладывается. Например, логарифм вполне может быть отрицательным: log2 0,5 = −1, т.к. 0,5 = 2−1.


Приведу несколько примеров решения логарифмов.

  1. Вычислить log2 8.

Решение: задам наводящий вопрос: В какую степень надо возвести 2, чтобы получить 8? Ответ очевиден – это 3. Поскольку 23 = 8, то значит log2 8=3 (логарифм по основанию 2 от числа 8 равен трем)

Ответ: 3;

  1.  log2 64 = 6, поскольку 26 = 64;

  2.  Log7 7 = 1, поскольку 71= 7;

  3.  log2 hello_html_6eec8aff.gif =  - 1, поскольку 2-1= hello_html_6eec8aff.gif ;

  4.  log3 hello_html_4bc278ad.gif = hello_html_3b7b3c70.gif , поскольку 3hello_html_3b7b3c70.gif  = hello_html_4bc278ad.gif 

  5.  log24 1 = 0, поскольку 240= 1.

Можно рассуждать немного иным способом:

  1. Вычислите логарифм: log5 25

Решение:

  1. Представим основание и аргумент как степень пятерки: 5 = 51;25 = 52 и так далее;

  2. Составим и решим уравнение:
    log
    5 25 = b  (51)b = 52  5b = 52  b = 2;

  3. Получили ответ: 2.



  1. Вычислите логарифм:

Пример логарифма

Решение

  1. Представим основание и аргумент как степень тройки: 3 = 31;1/81 = 81−1 = (34)−1 = 3−4;

  2. Составим и решим уравнение:

Как считать логарифм

  1. Получили ответ: −4.


Примеры для самостоятельного решения.

hello_html_m7e641082.png



К сожалению, далеко не все логарифмы считаются так легко. Например, попробуйте найти log2 5. Мы не сможем придумать такое целое число м, чтобы 2 м = 5. (Можно рассуждать иначе: числа 5 нет в таблице натуральных степеней числа 2) Однако,  логика подсказывает, что этот логарифм будет лежать где-то на отрезке [2; 3]. Потому что 22 < 5 < 23, а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Если взять калькулятор и посчитать, чему равны такие логарифмы, то получатся очень длинные числа. Взгляните сами:
log2 5 = 2,32192809...
log3 8 = 1,89278926...
log5 100 = 2,86135311...

Такие числа называются иррациональными: цифры после запятой можно писать до бесконечности, и они никогда не повторяются. Если логарифм получается иррациональным, его лучше так и оставить: log2 5, log3 8,log5 100.






Основное логарифмическое тождество.

Запишем знакомое нам выражение:

logab = c.

Мы уже хорошо знаем, что если число а (основание) возвести в степень с, то получим числоb. Это из самого определения логарифма следует. Стало быть, можно записать:

ac = b

А теперь смотрим, чему же равно число с? Да вот оно:

с = logаb

Подставим это в предыдущую формулу, и получим:

hello_html_m2419d9af.png

Возникает планомерный вопрос, а зачем нам эта перетасовка? Затем, что 4х-этажное выражение превращается в элементарное b! Это хорошее свойство!

Это первая формула свойств логарифмов. Её обычна называют основным логарифмическим тождеством .Единственная формула, где логарифм стоит в показателе степени.

Например: hello_html_m5e60807a.png.

Ещё один пример: вычислить hello_html_m1dd7e3ff.png.

Решение: используя свойство степени и основное логарифмическое тождество получаем

hello_html_1a1f344f.png


Задания для самостоятельного решения:

hello_html_m6390688c.png




Решение уравнений с помощью определения логарифма.

Поставим задачу: решить уравнение logaх = c. Для этого воспользуемся определением и получим, что ас = х. Мы перешли к элементарному показательному уравнению, которое не сложно решить. Вот сейчас, используя эти нехитрое правило мы будем учиться решать логарифмические уравнения.

Пример 1. Решить уравнение log7х = 3.

Решение: log7х = 3

Х = 73

Х = 343.

Пример 2. Решить уравнение logх 32= 5.

Решение Х5 = 32;

Х5 = 25;

Х=2.

Пример 3. Решить уравнение hello_html_m3ce037c6.gif.

Решение: Сначала посмотрим на ОДЗ этого уравнения. Очевидно, что 4 – х > 0. Из чего следует, что

х< 4. Значит, корни уравнения должны быть меньше 4.

А теперь воспользуемся определением логарифма, тогда получается

4 – х = 27 :

4 – х = 128,

– х = 128-4;

х = – 124 .

Это число удовлетворяет ОДЗ, значит это корень уравнения.

Ответ: – 124.

Данный пример можно решить и проще. Не находить ОДЗ, потому что уравнение элементарное, а в конце подставить найденное значение в уравнение и получить верное числовое равенство. Рассмотрим его на примере.

Решить уравнение: hello_html_m13fc89ce.gif;

13 –х =( hello_html_m6e3ecaf7.gif )-2;

13 – х = 82 ;

13 – х = 64;

х = - 51.

А теперь устно сделаем проверку. В скобках получаем 64, а hello_html_m6e3ecaf7.gif в степени -2 как раз равно 64. Значит, решение верное.



Примеры для самостоятельного решения:

Решить уравнения 1.

hello_html_3a686d7d.png

Решить уравнения 2.

hello_html_m33d08371.png

Решение некоторых показательных уравнений.

С помощью определения логарифма мы теперь можем решать показательные уравнения, которые раньше «не решались».

Например: 3х = 7

Имеем: х = logз7, то есть в ответе получилось иррациональное число.

Примерыдля самостоятельного решения:

hello_html_1f858840.png




Некоторые логарифмы встречаются настолько часто, что имеют специальное название и обозначение.

Десятичный логарифм

Десятичный логарифм от аргумента x — это логарифм по основанию 10, т.е. степень, в которую надо возвести число 10, чтобы получить число x.

Обозначают lgx.

Например, lg 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 — и т.д.

Отныне, когда в учебнике встречается фраза типа «Найдите lg 0,01», знайте: это не опечатка. Это десятичный логарифм. Впрочем, если вам непривычно такое обозначение, его всегда можно переписать:
lg x = log10 x

Все, что верно для обычных логарифмов, верно и для десятичных.

Существует еще один логарифм, который имеет собственное обозначение. В некотором смысле, он даже более важен, чем десятичный. Речь идет о натуральном логарифме.


Натуральный логарифм

Натуральный логарифм от аргумента x — это логарифм по основанию e, т.е. степень, в которую надо возвести число e, чтобы получить число x.

Обозначают его ln x.

Многие спросят: что еще за число e? Это иррациональное число, его точное значение найти и записать невозможно. Приведу лишь первые его цифры:
e = 2,718281828459...

Не будем углубляться, что это за число и зачем нужно. Просто нужно помнить, что e — основание натурального логарифма:
ln x = loge x

Таким образом, ln e = 1; ln e2 = 2; ln e16 = 16 — и т.д. С другой стороны, ln 2 — иррациональное число. Вообще, натуральный логарифм любого рационального числа иррационален. Кроме, разумеется, единицы: ln 1 = 0.

Для натуральных логарифмов справедливы все правила, которые верны для обычных логарифмов.


Основные свойства логарифмов.

Логарифмы, как и любые числа, можно складывать, вычитать и всячески преобразовывать. Но поскольку логарифмы — это не совсем обычные числа, здесь есть свои правила, которые называются основными свойствами.

Эти правила обязательно надо знать — без них не решается ни одна серьезная логарифмическая задача. К тому же, их совсем немного — все можно выучить за один день.

Сложение и вычитание логарифмов

Рассмотрим два логарифма с одинаковыми основаниями: loga x и loga y. Тогда их можно складывать и вычитать, причем:

  1. loga x + loga y = loga (x · y);

  2. loga x − loga y = loga (x : y).

Итак, сумма логарифмов равна логарифму произведения, а разность — логарифму частного. Обратите внимание: ключевой момент здесь — одинаковые основания. Если основания разные, эти правила не работают!

Эти формулы помогут вычислить логарифмическое выражение даже тогда, когда отдельные его части не считаются.

Примеры:

  1. Найдите значение выражения: log6 4 + log6 9.

Поскольку основания у логарифмов одинаковые, используем формулу суммы:
log
6 4 + log6 9 = log6 (4 · 9) = log6 36 = 2.

  1. Найдите значение выражения: log2 48 − log2 3.

Основания одинаковые, используем формулу разности:
log
2 48 − log2 3 = log2 (48 : 3) = log2 16 = 4.

  1. Найдите значение выражения: log3 135 − log3 5.

Снова основания одинаковые, поэтому имеем:

log3 135 − log3 5 = log3 (135 : 5) = log3 27 = 3.

Примеры для самостоятельной работы:

  1. Вычислите сумму логарифмов:

hello_html_m130a86ed.png

  1. Вычислите разность логарифмов:

hello_html_m4ca2a668.png

  1. Вычислите:

hello_html_m4ea8cc14.png



Вынесение показателя степени из логарифма

Теперь немного усложним задачу. Что, если в основании или аргументе логарифма стоит степень? Тогда показатель этой степени можно вынести за знак логарифма по следующим правилам:

  1. loga xn = n · loga x;

  2. Вынесение показателя из основания логарифма

  3. Вынесение показателя одновременно из основания и из аргумента логарифма

Несложно заметить, что последнее правило следует их первых двух. Но лучше его все-таки помнить — в некоторых случаях это значительно сократит объем вычислений.

Разумеется, все эти правила имеют смысл при соблюдении ОДЗ логарифма: a > 0, a ≠ 1, x > 0. И еще: учитесь применять все формулы не только слева направо, но и наоборот, т.е. можно вносить числа, стоящие перед знаком логарифма, в сам логарифм. Именно это чаще всего и требуется.

Примеры:

  1. Найдите значение выражения: log7 496.

Избавимся от степени в аргументе по первой формуле:

log7 496 = 6 · log7 49 = 6 · 2 = 12.



  1. Найдите значение выражения: Частное двух логарифмов



Заметим, что в знаменателе стоит логарифм, основание и аргумент которого являются точными степенями: 16 = 24; 49 = 72. Имеем:



Преобразование частного двух логарифмов

Пояснения : В числителе и знаменателе стоит одно и то же число: log2 7. Поскольку log2 7 ≠ 0, можем сократить дробь — в знаменателе останется 2/4. По правилам арифметики, четверку можно перенести в числитель, что и было сделано.

  1. Найдите значение выражения: Задание из ЕГЭ с логарифмами.



Заметим, что log25 64 = log5 8 — просто вынесли квадрат из основания и аргумента логарифма. Учитывая правила умножения степеней с одинаковым основанием, получаем:

Вычисление логарифмического выражения



Примеры для самостоятельного решения:



  1. Вычислить

hello_html_2066dd6c.png

  1. Вычислить:

hello_html_m31501ca8.png

  1. Вычислить логарифмы:

hello_html_m7931e05.png

hello_html_m1cf8d2b9.png

  1. Используя основное логарифмическое тождество, вычислите:

hello_html_32e79d4b.png


Переход к новому основанию

Говоря о правилах сложения и вычитания логарифмов, специально подчеркивалось, что они работают только при одинаковых основаниях. А что, если основания разные? Что, если они не являются точными степенями одного и того же числа?

На помощь приходят формулы перехода к новому основанию. Сформулируем их в виде теоремы:

Теорема

Пусть дан логарифм loga x. Тогда для любого числа c такого,что c > 0 и c ≠ 1, верно равенство:

Переход к новому основанию в логарифме

В частности, если положить c = x, получим:

Когда основание и аргумент логарифма меняются местами

Из второй формулы следует, что можно менять местами основание и аргумент логарифма, но при этом все выражение «переворачивается», т.е. логарифм оказывается в знаменателе.

Эти формулы редко встречается в обычных числовых выражениях. Оценить, насколько они удобны, можно только при решении логарифмических уравнений и неравенств.

Впрочем, существуют задачи, которые вообще не решаются иначе как переходом к новому основанию. Рассмотрим парочку таких:

  1. Найдите значение выражения: log5 16 · log2 25.

Заметим, что в аргументах обоих логарифмов стоят точные степени. Вынесем показатели:



log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;



А теперь «перевернем» второй логарифм:



Пример перехода к новому основанию



  1. Найдите значение выражения: log9 100 · lg 3.

Основание и аргумент первого логарифма — точные степени. Запишем это и избавимся от показателей:

Избавление от точных степеней

Теперь избавимся от десятичного логарифма, перейдя к новому основанию:

Еще один пример перехода к новому основанию



Примеры для самостоятельного решения:

1.

hello_html_6c837b4a.png

2.

hello_html_4868e46c.png

  1. Решить уравнения методом замены:

hello_html_3e8287fe.png


Логарифмическая функция и ее график.

Если в равенстве у = аx мы рассматриваем показатель х как независимое переменное , то тогда у будет функция от х, которую мы назвали раньше показательной. Но если в этом равенстве за независимое переменное  мы будем считать у, то тогда х будет некоторая функция от у, а именно х есть логарифм числа у по основанию а, что можно выразить так:   

x = loga y

Обозначая по принятому независимое переменное буквой х, а функцию от этого переменного буквой у (т. е. заменяя х на у и наоборот), мы ту же самую функцию можем записать так:

y = loga x

Такая функция называется логарифмической. Она определена при ~a>0;\ a \ne 1; x>0. Область значений: E(y)=(-\infty; + \infty ). Эта кривая часто называется логарифмикой.

Построим графики следующих четырёх логарифмических функций:

1) y = log2х;    2) y = log ½  x;    3) y = log10x; 4)  у = log1/10  x

Для этого составим таблицы значений этих функций.


http://oldskola1.narod.ru/Kochetkov2/033.gif

Эти таблицы дают некоторое (хотя и весьма ограниченное) представление о поведении рассматриваемых функций. В частности, они могут быть использованы при построении графиков этих   функций.

C:\Documents and Settings\User\Рабочий стол\034 (1).gif

Следует обратить внимание на следующее важное обстоятельство. Когда х — > 0, то логарифмическая кривая y =  logax неограниченно приближается к оси ординат. Но оси этой она никогда не достигает. Об этом не следует забывать при построении логарифмических кривых.

Основные свойства логарифмической функции:

1. Областью определения логарифмической функции будет являться все множество положительных вещественных чисел. Для краткости его еще обозначают R+. Очевидное свойство, так как каждое положительное число имеет логарифм по основанию а.

2. Областью значения логарифмической функции будет являться все множество вещественных чисел.

3. Если основание логарифмической функции a>1, то на всей области определения функции возрастает. Если для основания логарифмической функции выполняется следующее неравенство 0

4. График логарифмической функции всегда проходит через точку (1;0).

5. Возрастающая логарифмическая функция, будет положительной при x>1, и отрицательной при 0<х<1.

6. Убывающая логарифмическая функция, будет отрицательной при х>1, и положительной при 0

7. Функция не является четной или нечетной. Логарифмическая функция – функция общего вид.

8. Функция не имеет точек максимума и минимума.

Логарифмические уравнения.

 Логарифмическими  уравнениями называют такие, в которых неизвестное входит под знаком log. Такие уравнения могут быть разрешаемы только в частных случаях, причем приходится основываться на свойствах логарифмов и на том начале, что если числа равны, то равны и их логарифмы, и, обратно, если логарифмы равны, то равны и соответствующие им числа.

Переводя на простой язык, то это уравнения , в котором неизвестные (иксы) и выражения с ними находятся внутри логарифмов.  Это важно.

В общем виде модель логарифмического уравнения можно записать так: loga f(x) = loga g(x)     (a > 0, a ≠ 1) 

Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида

loga x = b, а его решение мы разобрали чуть выше, когда рассматривали определение логарифма.

Ещё раз разберем на примере.

 log3х = 2.

Это уравнение можно решать двумя различными способами. 1) Воспользоваться определением логарифма и получить х = 32 = 9; или 2) прологарифмировать правую часть уравнения log3х = log39. Так ка основания равные, то очевидно, числа стоящие под знаком логарифма тоже равны. Значит х = 9.

Ликвидация логарифмов подобным образом - один из основных способов решения логарифмических уравнений и неравенств. В математике эта операция называется потенцирование. Есть, конечно, свои правила на такую ликвидацию, но их мало. Запоминаем:

Ликвидировать логарифмы безо всяких опасений можно, если у них:

а) одинаковые числовые основания

в) логарифмы слева-справа чистые (безо всяких коэффициентов) и находятся в гордом одиночестве.Убирать логарифмы можно, если уравнение выглядит так и только так:

logа(.....) = logа(.....)


Поясню последний пункт. В уравнении, скажем,

log3х = 2log3(3х-1)

убирать логарифмы нельзя. Двойка справа не позволяет. Коэффициент, от которого необходимо избавиться, используя свойства логарифма.

В скобках, где многоточие, могут быть какие угодно выражения. Простые, суперсложные, всякие. Какие угодно. Важно то, что после ликвидации логарифмов у нас остаётся более простое уравнение. Предполагается, конечно, что решать линейные, квадратные, дробные, показательные и прочие уравнения без логарифмов вы уже умеете.)

ОДЗ в логарифмических уравнениях.

Область Допустимых Значений. Возникает вопрос - как записывать ОДЗ, как вообще с этим работать?

Очень просто. Всегда рядом с примером пишите ОДЗ. Под этими известными буквами, глядя на исходное уравнение, записываем значения х, которые разрешены для исходного примера. Или можно наоборот: найти запретные значения х, при которых исходный пример теряет всякий смысл, и исключить их из ОДЗ.

А как искать это самое ОДЗ? Тоже просто. Внимательно осматриваем пример и ищем опасные места. Места, в которых возможны запретные действия. Для нахождения ОДЗ мы не решаем пример! Мы решаем кусочки примера для нахождения запретных иксов. Это сложно выглядит в разъяснениях, но практически – очень легко.

Практические советы:

1. Перед решением внимательно исследуем пример. Ищем опасные места, определяем ОДЗ.

2. Определяем множитель, который позволит полностью избавиться от дробей. Умножаем на него уравнение.

3. Решаем получившееся уравнение, находим корни. Проверяем их на соответствие ОДЗ. Те корни, что не входят в ОДЗ, из ответа исключаем.

На практике это всё куда проще делается. Читаем и вникаем. Берём пример:

log32-3) = log3(2х)

Осматриваем пример, выясняем что деления - нет, корней - нет, но в уравнении имеются выражения с иксом внутри логарифма. Вспоминаем, что подлогарифменное выражение должно быть всегда больше нуля. Вот так прямо и пишем:

ОДЗ:

C:\Documents and Settings\User\Рабочий стол\1.gif

Обратите внимание! Мы ничего не решали! Мы просто записали обязательное условие на всё подлогарифменное выражение. Для каждого логарифма в примере. Знак системы (фигурная скобка) показывает, что эти условия должны выполняться одновременно.

Вот и всё. ОДЗ записано. Не так уж и сложно, правда?

Рекомендую всегда перед решением записывать ОДЗ в таком виде. Чтобы потом, впопыхах, не забыть проверить корни на ОДЗ.

 Решение любого логарифмического уравнения состоит из двух равноценных частей. Одна часть - это решение самого уравнения. Вторая - решение условий ОДЗ. Эти части решаются независимо друг от друга. Стыковка результатов происходит на финишном этапе решения.

Ключевое слово здесь - "независимо". Решая ОДЗ, можно не вспоминать про уравнение. И наоборот. Главное - в самом конце не забыть результаты сопоставить, лишнее выбросить, да верный ответ записать.)

Подведём итоги в практических советах.

 

Практические советы:

1. Прежде всего - записываем условия ОДЗ по исходному примеру.

2. Выбираем, с чего начинать решение. Можно начинать с уравнения, можно - с условий ОДЗ. Выбираем то, что решается полегче.

3. Решив уравнение и ОДЗ, сводим результаты в общий ответ.

4. Если пример позволяет, ОДЗ можно не решать. Достаточно подставить результаты уравнения в записанные условия ОДЗ и проверить, какие решения проходят. Их и взять за ответы.

Найти область определения функции

hello_html_3d892f5b.png

Когда вы научитесь верно находить ОДЗ, то и дело с решением логарифмических уравнений пойдет на лад.

Ну, а теперь применим полученные знания для решения уравнений разного типа на конкретных примерах.

Пример: найти корень или сумму корней уравнения, если их несколько.

1.log22+5х-6) = log2(4х);

Решение.

Найдем ОДЗ уравнения. Исходя из ограничений х2+5х-6> 0 и 4x>0, получаем промежуток, которому принадлежит х € (1; + ∞).

Так как основания логарифмов одинаковые, а сами логарифмы равны, то и сами под логарифмические выражения равны.

х2+5х-6 = 4х;

х2+х-6 = 0; откуда получаем, что х = -3 и х = 2.

Учитывая ОДЗ, получаем, что корень уравнения х = 2.

Ответ: 2.

2.C:\Documents and Settings\User\Рабочий стол\6.gif.

Областью определения будут все числа, кроме х = 5 и х = 0.

Преобразуем выражение, стоящее под знаком логарифма и получим hello_html_m49ba3d8d.gif2 = 2, переходим к модульному уравнению IхI = 52 , откуда следует, что х= ±5. Но число 5 не входит в ОДЗ, а значит является посторонним корнем для данного уравнения.

Ответ -5.

3.C:\Documents and Settings\User\Рабочий стол\7.gif

Решая систему неравенств х – 1 >0 и 1 – х >0 мы не получим пересечения промежутков, а значит и само уравнение решений не имеет.

Ответ: решений нет.

Хочется сказать, что страшный внешний вид некоторых примеров - обманчив. Решаются они легко. Только нужно быть внимательными, ну и помнить о том, о чём я вам рассказал.



Приложения:

1 Решить уравнения:

1.1.hello_html_274378b1.gif

Пример решение:

4 + х = 52 ;

4 + х = 25;

х = 21; при подстановке получаем верное числовое равенство, значит корень найден верно.

Ответ: 21.


1.2. hello_html_3a7d49d0.gif

1.3. hello_html_7841999.gif

1.4. hello_html_40e4c877.gif

1.5. hello_html_m5e4e8c6b.gif

1.6. hello_html_3253f0e0.gif

1.7. hello_html_m70b9027a.gif

1.8. hello_html_m43c29c39.gif

1.9. hello_html_m5bf5a53f.gif

1.10. hello_html_347c32a5.gif

1.11. hello_html_m4b2a57f8.gif

1.12. hello_html_m5068a2cc.gif

2 Решить уравнения:

2.1. hello_html_32be505a.gif

Пример решения:

Так как основания одинаковые, и логарифмы равны, то выражения, стоящие под знаком логарифма, равны, значит

5 – х = 3,

- х = 3 – 5,

- х = - 2

х = 2.

При подстановке числа 2 в уравнение, получаем верное числовое равенство, значит это корень.

Ответ: 2.


2.2. hello_html_2a603b00.gif

2.3. hello_html_m78ea585f.gif

2.4. hello_html_m7e2f68e.gif

2.5. hello_html_m7b2a0599.gif


3 Решить уравнения:



3.1.hello_html_73d1cc26.gif

ОДЗ: х € (3,75; +∞);

х + 3 = 4х – 15;

- 3х = - 18;

х = 6.

х = 6 принадлежит промежутку (3,75; +∞), значит это корень уравнения

Ответ: 6.


3.2.hello_html_2b4ab57f.gif

3.3.hello_html_1f54b411.gif

3.4.hello_html_22c0925e.gif

3.5.hello_html_4bdbcd6f.gif



№ 4 Решить уравнения:


4.1. hello_html_600e6b35.gif

4.2. hello_html_6e33d76e.gif

4.3. hello_html_m518d56d5.gif

Пример решения:

hello_html_624dccd8.gif = hello_html_5c36892e.gif;

18 – 6х = 81;

- 6х = 63;

х = - 9.

Ответ: - 9.


4.4. hello_html_4cac17d1.gif

4.5. hello_html_3ec58126.gif



5 Найдите значение выражения:


5.1. Найдите значение выражения hello_html_322f3098.gif

5.2. Найдите значение выражения hello_html_m1cef22fa.gif


Решение: hello_html_m1cef22fa.gif = hello_html_7fe208a0.gif = hello_html_m6c4dcb6.gif = 0,25

Ответ: 0,25


5.3. Найдите значение выражения hello_html_m798a669e.gif

5.4. Найдите значение выражения hello_html_m45618256.gif

5.5. Найдите значение выражения hello_html_67997a9.gif

5.6. Найдите значение выражения hello_html_7b3271ad.gif.



6. Найдите значение выражения:


6.1. Найдите значение выражения hello_html_e171df5.gif

6.2. Найдите значение выражения hello_html_madad5ed.gif

6.3. Найдите значение выражения hello_html_9ee6d17.gif


Решение: hello_html_9ee6d17.gif= 8 ∙ 6 = 48.

6.4. Найдите значение выражения hello_html_m27c52edd.gif

6.5. Найдите значение выражения hello_html_m2474b318.gif

6.6. Найдите значение выражения: 2\cdot10^{\mathop{\mathrm{log}}_{10}4}.

6.7. Найдите значение выражения: 15\cdot11^{\mathop{\mathrm{log}}_{11}1}.

6.8. Найдите значение выражения:20\cdot8^{\mathop{\mathrm{log}}_{8}1}.


6.9. Найдите значение выражения hello_html_5f0a3238.gif

6.10. Найдите значение выражения hello_html_m6072dfa5.gif

6.11. Найдите значение выражения hello_html_m691b2340.gif


Решение: hello_html_m691b2340.gif= hello_html_m174fd1af.gif = 8.

Ответ: 8.

6.12. Найдите значение выражения hello_html_m445bfa6f.gif

6.13. Найдите значение выражения hello_html_1037375a.gif


6.14. Найдите значение выражения hello_html_7830ff55.gif

Решение: hello_html_7830ff55.gif= 53 ∙ 2 = 125 ∙ 2 = 250.


Ответ: 250.

6.15. Найдите значение выражения hello_html_508817b7.gif







Заключение.


Теперь вы поняли, что такое логарифмы и как ими пользоваться. Но для чего они всё-таки

нужны? Или это просто такая математическая игрушка с хитрой инструкцией по применению?


Еще недавно трудно было представить инженера без логарифмической линейки в кармане; изобретенная через десяток лет после появления логарифмов Непера английским математиком Гунтером, она позволяла быстро получать ответ с достаточной для инженера точностью в три значащие цифры. Теперь ее из инженерного обихода вытеснили микрокалькуляторы, но без логарифмической линейки не были бы построены ни первые компьютеры, ни калькуляторы.

Многообразие применения показательной (или как ее еще называют экспоненциальной) функции вдохновили английского поэта Элмера Брила, он написал «Оду экспоненте».


Были поэты, которые не посвящали од экспоненте и логарифмам, но упоминали их в своих стихах. Например, в своем стихотворении «Физики и лирики» поэт Борис Слуцкий написал те строки, которые вынесены в эпиграф к этой работе.


Музыканты редко увлекаются математикой; большинство из них питают к этой науке чувство уважения. Между тем, музыканты - даже те, которые не проверяют подобно Сальери у Пушкина («алгеброй гармонию»), - встречаются с математикой гораздо чаще, чем сами подозревают, и притом с такими «страшными» вещами, как логарифмы.


Известный физик Эйхенвальд вспоминал: «Товарищ мой по гимназии любил играть на рояле, но не любил математики. Он даже говорил с оттенком пренебрежения, что музыка и математика друг с другом не имеют ничего общего. «Правда, Пифагор нашел какие-то соотношения между звуковыми колебаниями, - но ведь как раз пифагорова-то гамма для нашей музыки и оказалась неприемлемой». Представьте же себе, как неприятно был поражен мой товарищ, когда я доказал ему, что, играя по клавишам современного рояля, он играет, собственно говоря, на логарифмах...»


И действительно, так называемые ступени 12-звуковой гаммы частот звуковых колебаний представляют собой логарифмы. Только основание этих логарифмов равно 2 (а не 10, как принято в других случаях).


Звезды, шум и логарифмы – эти столь, казалось бы, несоединимые вещисвязаны между собой. Шум и звезды объединяются здесь потому, что громкость шума и яркость звезд оцениваются одинаковым образом - по логарифмической шкале.


Астрономы делят звезды по степени яркости на видимые и абсолютные звездные величины - звезды первой величины, второй, третьей и т. д. Последовательность видимых звездных величин, воспринимаемых глазом, представляет собой арифметическую прогрессию. Но физическая их яркость изменяется по иному закону: яркости звезд составляют геометрическую прогрессию со знаменателем 2,5. Легко понять, что «величина» звезды представляет собой логарифм ее физической яркости. Короче говоря, оценивая яркость звезд, астроном оперирует таблицей логарифмов, составленной при основании 2,5.


Аналогично оценивается и громкость шума. Вредное влияние промышленных шумов на здоровье рабочих и на производительность труда побудило выработать приемы точной числовой оценки громкости шума. Единицей громкости звука служит «бел», но практически используются единицы громкости, равные его десятой доле, - так называемые «децибелы».


Живые существа обычно растут, сохраняя общее очертание своей формы. При этом они растут чаще всего во всех направлениях - взрослое существо и выше и толще детеныша. Но раковины морских животных могут расти лишь в одном направлении. Чтобы не слишком вытягиваться в длину, им приходится скручиваться, причем каждый следующий виток подобен предыдущему. А такой рост может совершаться лишь по логарифмической спирали или ее некоторым пространственным аналогам. Поэтому раковины многих моллюсков, улиток, а также рога таких млекопитающих, как архары, закручены по логарифмической спирали.


Можно сказать, что эта спираль является математическим символом соотношения форм роста. Великий немецкий поэт Иоганн Вольфганг Гете считал ее даже математическим символом жизни и духовного развития.Очертания, выраженные логарифмической спиралью, имеют не только раковины, в подсолнухе семечки расположены по дугам, также близким к логарифмической спирали.

Один из наиболее распространенных пауков, эпейра, сплетая паутину, закручивает нити вокруг центра по логарифмической спирали. По логарифмическим спиралям закручены и многие галактики, в частности, Галактика, которой принадлежит Солнечная система.


Получается, что решение простейших уравнений, приведённых выше - только капля в море логарифмов. Но, если вы немного напряжетесь, выучите определения, разберете примеры решения и порешаете сами, это непременное условие, то, уверяю вас, вы научитесь решать такие уравнения очень легко. А затем сможете переходить к более сложным.

Автор
Дата добавления 30.11.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров901
Номер материала ДВ-214864
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх