Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Методическая разработка по математике "Многогранники" для студентов 1 курса

Методическая разработка по математике "Многогранники" для студентов 1 курса

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Областное бюджетное профессиональное образовательное учреждение

«Курский базовый медицинский колледж»

Щигровский филиал















Методическая разработка по дисциплине

«Математика»

Раздел « Многогранники »













Подготовил: преподаватель математики Шаталова Н.В.







Щигры, 2016 г.

Содержание.

Пояснительная записка 3

1. Определение многогранника 4

2. Призма. Свойства призмы. Виды призм и их свойства 5 –10

3 Параллелепипеды и их виды. Свойства прямоугольного параллелепипеда. Куб 10–13

4. Таблица нахождения площадей поверхности и объемов призмы, параллелепипеда, куба 14

5. Виды призм 14

6. Определение диагонального сечения призмы 14-16

7. Задания к теме: «Призма» 16-17

8. Тест по теме: «Призма» 17-18

9. Пирамида: ее виды и свойства. Правильная пирамида. Объем пирамиды.19-25

10. Усеченная пирамида 26 – 27

11. Тест по теме: «Пирамида» 27-28

12. Правильные многогранники. Виды правильных многогранников 30-32

13. Дополнительный материал по теме «Правильные многогранники» 31 - 32

11. Практические задания 32 – 34

12. Контрольные вопросы 35











Пояснительная записка.

Данное методическое пособие содержит опорные конспекты для студентов 1 курса СПО по теме: «Многогранники».Конспекты составлены в соответствие с тематикой и содержанием, охватывающим требования учебника «Геометрия» А. В. Погорелова.

Основные задачи методической разработки:

1) В доступной форме дать студента все основные определения, свойства, формулы, которые встречаются в данной теме.

2) Проиллюстрировать основные определения рисункамис разъяснениями сути определения.

3) Расположить материал так, чтобы поиск нужной информации был достаточно прост.

Для решения последней задачи в материале выделено, что необходимо выучить, на что особо обратить внимание, приведены примеры задач с решениями, рисунками, ответами, для самоконтроля предложены вопросы.

Методическое пособие рекомендуется для студентов не достаточно хорошо освоивших данную тему, а так же для студентов пропустивших урок по какой – либо причине.

Основные требования к знаниям и умениям по данной теме:

Студент должен уметь: изображать многогранники на рисунке, решать типовые задачи, используя теоретические знания по теме, правильно использовать термины.

Студент должен знать: многогранника, призмы и ее свойства, виды призм, определение параллелепипеда, его виды и свойства, формулы нахождения площади боковой поверхности призмы, площади полной поверхности призмы, формулу нахождения объема призмы, параллелепипеда, куба, определение правильного многогранника, виды правильных многогранников, определение пирамиды, основные элементы пирамиды (основание, боковые ребра, боковые грани, вершина, высота), определение правильной пирамиды, определение апофемы, определение усеченной пирамиды, формулы нахождения боковой поверхности правильной пирамиды, объема пирамиды.







Тема: Определение многогранника.

Многогранником называется тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников.

Плоские многоугольники называются гранями многогранника.

Ребрами многогранника называются стороны его граней.

Вершинами – вершины граней.

Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону (лежит в одном полупространстве) относительно плоскости каждой его грани.

hello_html_19d86cbd.gif







Тема: Призма. Свойства призмы. Виды призм и их свойства.

Призмой называется многогранник, который состоит из двух плоских многоугольников, лежащих в разных плоскостях и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих многоугольников

hello_html_md690f0a.jpg

Многоугольники называются основаниями призмы, а отрезки, соединяющие вершины, - боковыми ребрами призмы.

А1А2…Аn и В1В2…Вn – основания призмы.

А1А2В2В1, А2А3В3В2, …., АnА1В1Вn – боковые грани призмы,

А1В1, А2В2, …, АnВn –боковые ребра призмы.

Обрати внимание: призма обозначается последовательным названием ее оснований:

А1А2…АnВ1В2…Вn.

Высотой призмы называется перпендикуляр, проведенный из какой – либо точки плоскости одного основания к плоскости другого основания (или расстояние между плоскостями оснований призмы)

Диагональю призмы называется отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани.

hello_html_m7895e746.jpgОО1 – высота призмы, hello_html_m74b80e38.png

В1D – диагональ призмы.



Треугольная призма

Четырехугольная призма

Шестиугольная призма

hello_html_m508a6df7.gif


hello_html_35c00e9.jpg


hello_html_m42dea791.gif

Свойства призмы.

1) Основания призмы – равные многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях.

2) Боковые ребра призмы параллельны и равны.

3) Боковые грани призмы – параллелограммы

Виды призм.

Прямая призма.

Призма называется прямой, если ее боковые ребра перпендикулярны основаниям.



hello_html_1a408b61.jpg

АВСА1В1С1 – прямая призма.

Наклонная призма.

Призма называется наклонной, если ее боковые ребра не перпендикулярны основаниям.

hello_html_m58ac3b2c.jpgКLMК1L1M1 – наклонная призма.

Свойства прямой призмы:

Основания прямой призмы – равные многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях.

Боковые ребра прямой призмы параллельны, равны и перпендикулярны плоскостям оснований (являются высотами). Высота прямой призмы равна длине бокового ребра.

Правильная призма.

Правильной призмой называется прямая призма, основания которой – правильные многоугольники.

hello_html_m5b104796.jpg


Площадь боковой поверхности правильной призмы равна произведению периметра основания и длины бокового ребра.

Sбок.=Pосн.*h.

Площадь полной поверхности равна сумме площадей основания и площади боковой поверхности

Sпол.=2Sосн.+ Sбок.

Объем призмы равен произведению площади основания призмы, на высоту.

Формула объема призмы:

V=Sосн.*h

где V - объем призмы,

Sосн- площадь основания призмы,

h- высота призмы.

Задача.

В правильной четырёхугольной призме площадь основания 144 см2, а высота 14 см. Найти диагональ призмы и площадь полной поверхности.


hello_html_414386f6.png

Решение.

Правильный четырехугольник - это квадрат.

Соответственно, сторона основания будет равна √144 = 12 см.

Откуда диагональ основания правильной прямоугольной призмы будет равна

( 122 + 122 ) = √288 = 12√2

Диагональ правильной призмы образует с диагональю основания и высотой призмы прямоугольный треугольник. Соответственно, по теореме Пифагора диагональ заданной правильной четырехугольной призмы будет равна:

( ( 12√2 )2 + 142 ) = 22 см

Ответ: 22 см

Задача.

Определите полную поверхность правильной четырехугольной призмы, если ее диагональ равна 5 см, а диагональ боковой грани равна 4 см.

hello_html_414386f6.png

Решение.

Поскольку в основании правильной четырехугольной призмы лежит квадрат, то сторону основания (обозначим как a) найдем по теореме Пифагора:

a2 + a2 = 52

2a2 = 25

a = √12,5

Высота боковой грани (обозначим как h) тогда будет равна:

h2 + 12,5 = 42

h2 + 12,5 = 16

h2 = 3,5

h = √3,5

Площадь полной поверхности будет равна сумме площади боковой поверхности и удвоенной площади основания

S = 2a2 + 4ah, S = 25 + 4√12,5 * √3,5 , S = 25 + 4√43,75 ,

S = 25 + 4√(175/4) , S = 25 + 4√(7*25/4) , S = 25 + 10√7 ≈ 51,46 см2 .

Ответ: 25 + 10√7

Задача (воспользуйся планом решения и реши задачу).

Плоскость, проходящая через сторону основания правильной треугольной призмы и точку М – середину противолежащего ребра, образует с основанием угол 450, сторона основания 4 см. Найдите боковую поверхность призмы.

План решения.

1) Построй линейный угол двугранного угла между сечением АВМ и основанием призмы АВС.

2) Из прямоугольного треугольника МСН определи угол МСН

3) Треугольник АВМ – равнобедренный (докажи).

4) Найди СН.

5) Найди МС.

6) Вычисли периметр основания.

7) Вычисли боковую поверхность призмы.

Sбок. пов.= 48 см2.

Тема: Параллелепипед.

Параллелепипедом называется призма, основание которой – параллелограмм.

Обрати внимание: так как параллелепипед является призмой, то все свойства призмы справедливы и для параллелепипеда.

hello_html_m142b6f68.jpg

Грани параллелепипеда, не имеющие общих вершин, называются противолежащими.

АВСД и А1В1С1Д1, АА1В1В и ДД1С1С, АА1Д1Д и ВВ1С1С – противолежащие грани.

Грани параллелепипеда, имеющие общее ребро, называются смежными.

hello_html_30102349.jpgТЕОРЕМА Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны.

ТЕОРЕМА Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке иточкой пересечения делятся пополам.

.hello_html_m4f82f582.jpg

Точка пересечения диагоналей параллелепипеда является центром его симметрии.


Виды параллелепипедов. Прямоугольный параллелепипед.

Параллелепипед называется прямым, если его боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований.

Обрати внимание: прямой параллелепипед является прямой призмой, основание которой – параллелограмм.


Свойства прямого параллелепипеда:

1) Основания прямого параллелепипеда – равные параллелограммы, лежащие в параллельных плоскостях.

2) Боковые ребра прямого параллелепипеда параллельны, равны и перпендикулярны плоскостям оснований. Высота прямого параллелепипеда равна длине бокового ребра.

3) Противолежащие боковые прямого параллелепипеда – равные прямоугольники. Плоскости боковых граней перпендикулярны плоскостям оснований.

4) Диагонали прямого параллелепипеда точкой пересечения делятся пополам.

Прямоугольный параллелепипед

Прямоугольным параллелепипедом называется прямой параллелепипед, основанием которого является прямоугольник.

.hello_html_25ab33ce.jpgЗапомни: длины непараллельных ребер прямоугольного параллелепипеда называются его линейными размерами (измерениями).

Теорема:Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений:

hello_html_medbe144.jpg

hello_html_565a7d98.jpg

Свойства прямоугольного параллелепипеда:

1. Противолежащие грани прямоугольного параллелепипеда (в том числе основания) — равные прямоугольники.

2. Боковые ребра прямоугольного параллелепипеда параллельных, равны и перпендикулярны плоскостям оснований.

3. Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда — прямые.

4. Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны и точкой пересечения делятся пополам.

5. Диагональные сечения прямоугольного параллелепипеда — прямоугольники.

Объем параллелепипеда равен произведению длины, ширины, высоты.

Формула объема призмы:V=а*в*h

где V - объем призмы,

а-длина призмы, в – ширина призмы,

h- высота призмы.

Куб.

Кубом называется прямоугольный параллелепипед, все ребра которого равны.


hello_html_7a9c9928.jpg

Свойства куба:

1. Все грани куба равные квадраты.

2. Из каждой вершины куба исходят три взаимно перпендикулярных равных ребра.

З. Все двугранные углы куба — прямые.

4. Диагонали куба с ребром а равны а√3 и точкой пересечения делятся пополам.

5. Диагональное сечение куба с ребром а — прямоугольник со сторонами а и а√2.

Формула объема куба:

V3,

а – длина ребра.

Площадь полной поверхности куба равна

Sпол. пов.= 6а2

Таблица нахождения площадей поверхности и объемов призмы, параллелепипеда, куба.hello_html_m770b4cec.png

Виды призм.

hello_html_m3d95dd70.jpgОпределение диагонального сечения призмы.

Секущая плоскость многогранника — любая плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного многогранника.

Сечение многогранника — это многоугольник, сторонами которого являются отрезки, по которым секущая плоскость пересекает грани многогранника.

Задание. Назовите отрезки, по которым секущая плоскость пересекает грани параллелепипеда (рис.1). Назовите сечение параллелепипеда.

hello_html_m4a4ecd63.gifДиагональным сечением призмы называется сечение призмы плоскостью, проходящей через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани.

hello_html_meccb14.jpg

- Сечением призмы плоскостью, параллельной основаниям, является многоугольником,

равным многоугольникам оснований.

- Сечением призмы плоскостью, параллельной боковым ребрам, является параллелограммом.

hello_html_c552e7c.jpghello_html_m7535f553.jpg


Исследуйте сечения куба на рисунке и ответьте на следующие вопросы:

hello_html_7010f5b1.jpg

- какие многоугольники получаются в сечении куба плоскостью? (Важно число сторон многоугольника);

- может ли в сечении куба плоскостью получиться семиугольник? А восьмиугольник и т.д.? Почему?

Задача( разбери готовое решение):

Все ребра призмы АВСА1В1С1 равны между собой. Углы ВАА1и САА1 равны 600 каждый. Найдите расстояние от точки С1до плоскости СА1В1, если площадь грани АВВ1А1 равна 8.


hello_html_1f37d3de.jpg

Реши самостоятельно и сверь ответ:

1. Найдите сторону основания и высоту правильной четырехугольной призмы, если ее боковая поверхность равна 8 см2, а полная поверхность равна 40 см2.

Ответ: 4см; 0,5 см.

2. В прямом параллелепипеде с высотой √15 м стороны основания АВСD равны 2 м и 4 м, диагональ АС равна 5 м. Найдите площадь диагонального сечения параллелепипеда, проходящего через вершины В и D.

Ответ: S = 15 м2.


Тест

1. Сторона основания правильной треугольной призмы равнаhello_html_5fd73f1.jpg, а высота-5. Найдите объем призмы.

1)15hello_html_29a677a8.jpg 2)45 3)10hello_html_29a677a8.jpg 4)12hello_html_29a677a8.jpg 5)18hello_html_29a677a8.jpg

2. Выберите верное утверждение.

1)Объем прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник, равен произведению площади основания на высоту.

2)Объем правильной треугольной призмы вычисляется по формуле

V=0,25а2hhello_html_29a677a8.jpg-где а- сторона основания, h-высота призмы.

3)Объем прямой призмы равен половине произведения площади основания на высоту.

4)Объем правильной четырехугольной призмы вычисляется по формуле V=a2h-где а- сторона основания,h-высота призмы.

5)Объем правильной шестиугольной призмы вычисляется по формуле V=1.5а2hhello_html_29a677a8.jpg, где а- сторона основания,h-высота призмы.

3.Сторона основания правильной треугольной призмы равнаhello_html_29a677a8.jpg. Через сторону нижнего основания и противоположную вершину верхнего основания проведена плоскость, которая проходит под углом 45° к основанию. Найдите объем призмы.

1)9hello_html_29a677a8.jpg 2)9 3)4,5hello_html_29a677a8.jpg 4)2,25hello_html_29a677a8.jpg 5)1,125hello_html_29a677a8.jpg

4. Основанием прямой призмы является ромб, сторона которого равна 13, а одна из диагоналей-24. Найдите объем призмы, если диагональ боковой грани равна 14.

1)720hello_html_29a677a8.jpg 2)360hello_html_29a677a8.jpg 3)180hello_html_29a677a8.jpg 4)540hello_html_29a677a8.jpg 5)60hello_html_29a677a8.jpg

5.Найдите объем правильной шестиугольной призмы со стороной основания, равной 2, и высотой,равнойhello_html_29a677a8.jpg.

1)18hello_html_29a677a8.jpg 2)36 3)9hello_html_29a677a8.jpg 4)18 5)6hello_html_29a677a8.jpg

Ответы.

Тема: Пирамида. Правильная пирамида. Усеченная пирамида.

Слово «пирамида» в геометрию ввели греки, которые, как полагают, заимствовали его у египтян, создавших самые знаменитые пирамиды в мире. Другая теория выводит этот термин из греческого слова «пирос» (рожь) – считают, что греки выпекали хлебцы, имевшие форму пирамиды.

Пирамида – это многогранник, одна из граней которого – произвольный многоугольник, а остальные грани – треугольники с общей вершиной.

- многоугольник называется основанием пирамиды;

- треугольники называются боковыми граням,

- ребра пирамиды, не принадлежащие основанию, называются ее боковыми ребрами,

- общая вершина всех боковых граней называется вершиной пирамиды,

-объединение боковых граней пирамиды называется ее боковой поверхностью.

- перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к плоскости основания, называется

высотой пирамиды.

Рассмотри рисунок:

hello_html_m4e41d8e6.jpg

МАВС – треугольная пирамида, треугольник АВС – основание, точка М – вершина,

МА, МВ, МС – боковые ребра пирамиды, МАВ, МАС, МВС – боковые грани пирамиды, МН – высота.

hello_html_431ee99b.pngПлощадь полной поверхности пирамиды находится по формуле: Sпол.=Sосн.+Sбок.

Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей боковых граней:

Sбок= S1+S2+…+Sn

Объем пирамиды равен одной трети, произведения площади основания на высоту.

hello_html_605477b3.png

hello_html_3f68d5d1.gif

Решите задачи по готовым чертежам .

hello_html_5a27f612.gifЗадача 1. (рис. 3)

Дано: АВСD – правильная пирамида, АВ =3; AD= hello_html_43a1581f.gif. Найти: а)Sосн; б) АО; в) DO г) V.

Задача 2. (рис. 4)

Дано: АВСDF– правильная пирамида,hello_html_65192acc.gif.

Задача 3. (рис. 5)

Дано :АВСDEKF – правильная пирамида,hello_html_2e09ce27.gif

Найти: а) Sосн ; б) V.

Задача 4. (рис. 6)

hello_html_19b1485.gif

Найти:V.

Задача (разбери и запомни): Основанием четырехугольной пирамиды является параллелограмм со сторонами 20 см и 36 см. площадь основания равна 360 см2. Н – точка пересечения диагоналей, СН – высота, равная 12 см. Вычислить площадь боковой поверхности пирамиды.

hello_html_m1bf10f55.jpg

Дано: SАВСД – пирамида,

АВСД – параллелограмм,

АВ = 20 см, АД= 36 см,

SАВСД= 360 см2,

Н – середина диагоналей АС и ВД,

SН – высота, SН= 12см.

Найти: Sбок.

Решение:

SАВСД = АД*КМ

360 = 36*х, х = 10

SАВСД = РQ*СД

РQ = 18см

SQ = (92+122)1/2 = 15см.

SМ = (122+52)1/2 = 13,

SМ перпендикулярна АД,

SQ перпендикулярна СД

SАSД = SSВС = 0,5 АД*SМ = 0,5*36*13 = 234 см2.

SАВS = SСДS = 0,5*СД*SQ = 0,5*20*15 =150 см2,

Sбок = 2*234 + 2*150 = 768см2

Ответ: 768см2.

Задача

hello_html_m76562950.jpg

hello_html_38d12a02.jpg

Реши задачу самостоятельно и сверь ответ:

Основание пирамиды - прямоугольник со сторонами 6см и 8 см. Каждое боковое ребро пирамиды равно 13 см. Вычислить высоту пирамиды. Ответ:12см.




Правильная пирамида.

Пирамида называется правильной, если ее основание – правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является ее высотой.

Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой этой пирамиды. Все апофемы равны друг другу.

Обрати внимание на рисунок:

hello_html_346e077e.jpg

МР – апофема пирамиды, или, что то же самое, высота боковой грани. (МР перпендикулярна АС).

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды находится по формуле:

Sбок. осн.hбок.


Некоторые свойства правильной пирамиды:

- все боковые ребра равны между собой;

-все боковые грани – равные равнобедренные треугольники;

- все двугранные углы при основании равны;

- все плоские углы при вершине равны;

- все плоские углы при основании равны;

- апофемы боковых граней одинаковы по длине.

Реши задачу, используя план решения.

Задача: Апофема правильной четырехугольной пирамиды 6см, высота пирамиды равна 32см. Найти сторону основания пирамиды.

План решения:

1) Запиши данные решения задачи.

2) Сделай рисунок.

3) Запиши, что нужно найти, используя буквенные обозначения.

4) На рисунке сделай дополнительные построения: соедини основание высоты пирамиды и основание апофемы.

5) Рассмотри получившийся прямоугольный треугольник.

6) Вырази из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора неизвестный катет.

7) Подставь в полученную формулу цифровые значения и вычисли.

8) Найди сторону основания пирамиды.

9) Запиши ответ.

Реши задачу и сверь ответ:

Задача: В правильной четырехугольной пирамиде апофема равна 4см, а боковое ребро – 5см. Найди: а) сторону основания пирамиды;

б) высоту пирамиды.

Ответ: а) 6см; б) 4см.

Исторический материал.

Одним из примеров правильной пирамиды являются египетские пирамиды.

Первую пирамиду долго строили и перестраивали, всё это заняло 29 лет. Получилась шести ступенчатая пирамида. Издали она выглядит как шесть поставленных друг на друга масштаб. Ступенчатая форма пирамиды означала лестницу с шестью ступеньками, ведущую к площадке наверху (седьмой ступеньки). И это число – семь – совпадает с количеством планет, известных древним египтянам. Так же оно символизирует семь стадий, которые, по мнению древних, преодолевает душа в потустороннем мире.

hello_html_m277556a0.jpg

Усеченная пирамида.

Усеченная пирамида – часть пирамиды, заключенная между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию.

Рассмотри рисунок:

hello_html_20207bec.jpg

АВСА1В1С1 – усеченная пирамида

АВС – нижнее основание усеченной пирамиды;

А1В1С1 – верхнее основание усеченной пирамиды;

ОО1 – высота усеченной пирамиды;

АСС1А1, ВСС1В1, АВВ1А1 – боковые грани усеченной пирамиды.

НН1 – высота боковой грани усеченной пирамиды.

Запомни: основания правильной усеченной пирамиды – правильные многоугольники, а боковые грани – равнобедренные трапеции.

Обрати внимание на свойства усеченной пирамиды и используй при решении задач:

- боковые ребра и высота пирамиды разделяются на пропорциональные отрезки;

- в сечении получится многоугольник, подобный многоугольнику, лежащему в основании;

- площади сечения и основания будут относиться между собой, как квадраты их расстояний от вершины пирамиды.

На рисунке изображена усеченная пирамида ABCDA1B1C1D1. Грани усеченной пирамиды, лежащие в параллельных плоскостях (ABC)и(B1C1D1), называют основаниямиусеченной пирамиды, остальные грани называют боковыми гранями. Основания усеченной пирамиды представляют собой подобные многоугольники, боковые грани - трапеции. Усеченную пирамиду, которая получается из правильной пирамиды, также называют правильной. Боковые грани правильной усеченной пирамиды - равные равнобокие трапеции, их высоты называют апофемами.

hello_html_m26816efc.png


Правильная усеченная пирамида — многогранник, который образован правильной пирамидой и ее сечением, которое параллельно основанию.

Sбок. =(р1 + р2)l

Объем усеченной пирамиды:hello_html_4cc1e047.gif, где h - длина высоты усеченной пирамиды, S1 и S2 - площади оснований.



Реши типовые задачи:

1)Основание пирамиды – квадрат, ее высота проходит через одну из вершин основания. Найти боковую поверхность пирамиды, если сторона основания равна 20дм, а высота 21дм.

Ответ: 10 м2.

2) У четырехугольной усеченной пирамиды стороны одного основания равны 6, 7, 8, 9 см, а меньшая сторона другого основания равна 5 см. Найдите остальные стороны этого основания.

Ответ: 35/6см, 20/3см, 15/2см.

3) Высота пирамиды равна 16м. Площадь основания равна 512м2. На каком расстоянии от основания находится сечение, параллельное ему, если площадь сечения 50м2?

Ответ: 11м.

Тест.

1.В наклонной призме боковое ребро равно 7 см, перпендикулярное сечение - прямоугольный треугольник с катетами: 4 см и 3 см. Найдите объем призмы.

а) 10 см3, б) 42 см3, в) 60 см3, г) 30 см3.

2. В правильной шестиугольной пирамиде сторона ее основания 2 см. Объем пирамиды равен 6 см3. Чему равна высота?

hello_html_51b82eaa.gif

3. Объем пирамиды равен 56 см3, площадь основания 14 см2. Чему равна высота?

а) 14 см, б) 12 см, в) 16 см.

4. В правильной треугольной пирамиде высота равна 5 см, стороны основания 3 см. Чему равен объем пирамиды?

hello_html_117da10c.gif

5. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 9 см. Сторона основания 4 см. Найдите объем пирамиды.

а) 50 см3, б) 48 см3, в) 16 см3.

6. Объем правильной четырехугольной пирамиды равен 27 см3, высота 9 см. Найти сторону основания.

а)12 см, б) 9 см, в) 3 см.

7. Объем усеченной пирамиды равен 210 см3, площадь нижнего основания 36 см2, верхнего 9 см2. Найдите высоту пирамиды.

а) 1см, б) 15 см, в) 10см.

8. Равновеликие призма и правильная четырехугольная пирамида имеют равные высоты. Чему равна сторона основания пирамиды, если площадь основания призмы равна S?

hello_html_4179e279.gif

Таблица ответов.

Тема: Правильные многогранники.

Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани — равные правильные многоугольники и в каждой его вершине сходится одно и то же число ребер.

Свойства правильных многогранников

1.Все ребра правильного многогранника равны.

2.Все двугранные углы правильного многогранника, содержащие грани с общим ребром, равны.

Наиболее простым таким правильным многогранником является треугольная пирамида, гранями которой являются правильные

Bиды правильных многогранников.

Тетраэдр.

Наиболее простым таким правильным многогранником является треугольная пирамида, гранями которой являются правильные треугольники. В каждой ее вершине сходится по три грани. Имея всего четыре грани, этот многогранник называется также тетраэдром, что в переводе с греческого языка означает четырехгранник.Тетраэдр составлен из четырех равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трех треугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 180 градусов. Таким образом, тетраэдр имеет 4 грани, 4 вершины и 6 ребер. hello_html_m66e11362.png







Куб

Куб составлен из шести квадратов. Куб имеет шесть граней и поэтому называется также гексаэдром.Каждая его вершина является вершиной трех квадратов. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 270 градусов. Таким образом, куб имеет 6 граней, 8 вершин и 12 ребер. hello_html_38d48f12.png

Октаэдр

Многогранник, гранями которого являются правильные треугольники, и в каждой вершине сходится четыре грани, изображен на рисунке. Его поверхность состоит из восьми правильных треугольников, поэтому он называется октаэдром.Октаэдр составлен из восьми равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной четырех треугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 240 градусов. Таким образом, октаэдр имеет 8 граней, 6 вершин и 12 ребер. hello_html_m65ca4312.png







Икосаэдр

Многогранник, в каждой вершине которого сходится пять правильных треугольников, изображен на рисунке. Его поверхность состоит из двадцати правильных треугольников, поэтому он называется икосаэдром.Икосаэдр составлен из двадцати равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной пяти треугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 300 градусов. Таким образом, икосаэдр имеет 20 граней, 12 вершин и 30 ребер. hello_html_12f33970.gif



Додекаэдр

Многогранник, гранями которого являются правильные пятиугольники, и в каждой вершине сходится три грани, изображен на рисунке. Его поверхность состоит из двенадцати правильных пятиугольников, поэтому он называется додекаэдром.hello_html_m6dddb02d.gif

Додекаэдр составлен из двенадцати равносторонних пятиугольников. Каждая его вершинаявляется вершиной трех пятиугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 324 градусов. Таким образом, додекаэдр имеет 12 граней, 20 вершин и 30 ребер.

Других видов правильных многогранников, кроме перечисленных пяти, нет.



Прочитай, это интересно

Одно из древнейших упоминаний о правильных многогранниках находится в трактате Платона (427-347 до н. э.) "Тимаус". Поэтому правильные многогранники также называются платановыми телами (хотя известны они были задолго до Платона). Каждый из правильных многогранников, а всего их пять, Платон ассоциировал с четырьмя "земными" элементами: земля (куб), вода (икосаэдр), огонь (тетраэдр), воздух (октаэдр), а также с "неземным" элементом - небом (додекаэдр).

Знаменитый математик и астроном Кеплер построил модель Солнечной системы как ряд последовательно вписанных и описанных правильных многогранников и сфер.

Имеется несколько эквивалентных определений правильных многогранников. Одно из них звучит так: многогранник называется правильным, если существуют три концентрические сферы, одна из которых касается всех граней многогранника, другая касается всех его ребер и третья содержит все его вершины (определение А). Это определение напоминает одно из возможных определений правильного многоугольника: многоугольник называется правильным, если он вписан в некоторую окружность и описан около другой окружности, причем эти окружности концентричны.

Другое определение: правильным многогранником называется такой выпуклый многогранник, все грани которого являются одинаковыми правильными многоугольниками и все двугранные углы попарно равны (определение В).

Следует обратить внимание на замечательное обстоятельство. Если правильные многоугольники существуют с любым числом сторон n≥3, то правильных многогранников (с точностью до подобия) всего пять и число граней у них равно 4, 6, 8, 12 или 20.

Практические задания ( выполни )

Задание №1.

На рисунке изображена развертка правильного тетраэдра. Перерисуйте её на плотный лист бумаги в большом масштабе, вырежьте развертку и склейте из неё тетраэдр.

hello_html_2eb5bcfa.jpgЗадание №2.

На рисунке изображена развертка куба. Перерисуйте её на плотный лист бумаги в большом масштабе, вырежьте развертку и склейте из неё куб.

hello_html_m7df36dc8.jpg

Задание №3.

На рисунке изображен развертка правильного октаэдра. Перерисуйте её на плотный лист бумаги в большом масштабе, вырежьте развертку и склейте из неё октаэдр.

hello_html_m24424b54.gif



Задание №4.

На рисунке изображена развертка правильного додекаэдра. Перерисуйте её на плотный лист бумаги в большом масштабе, вырежьте развертку и склейте из неё додекаэдр.

hello_html_m1bf8891d.jpg

Задание №5.

На рисунке изображена развертка правильного икосаэдра. Перерисуйте её на плотный лист бумаги в большом масштабе, вырежьте развертку и склейте из неё икосаэдр.

hello_html_m149be60e.jpg









Проверь себя. Ответь на контрольные вопросы.

1) Что такое двугранный угол (грань угла, ребро угла)?

2) Что такое линейный угол двугранного угла?

3) Что такое многогранник?

4) Что такое призма (основания призмы, боковые грани, ребра)?

5) Что такое высота призмы, диагональ призмы?

6) Что представляет собой диагональное сечение?

7) Перечислите виды призм и их свойства.

8) Что такое параллелепипед?

9) Назовите виды параллелепипедов. Опишите их свойства.

10) Сколько плоскостей симметрии у прямоугольного параллелепипеда?

11)Что такое пирамида (основание пирамиды, боковые грани, ребра, высота)?

12) Какая пирамида называется правильной?

13) Что такое апофема правильной пирамиды?

14) Объясните, что такое усеченная пирамида.


Выберите курс повышения квалификации со скидкой 50%:

Автор
Дата добавления 28.11.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров67
Номер материала ДБ-398477
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх