Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Методическая разработка по математике на тему "Линейная алгебра. Матрицы" (2 курс)
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Методическая разработка по математике на тему "Линейная алгебра. Матрицы" (2 курс)

библиотека
материалов

hello_html_m6c0be56f.gifhello_html_183d755d.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_8b178ef.gifДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ И МОЛОДЁЖНОЙ

ПОЛИТИКИ ХМАО-ЮГРЫ

БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ХМАО-ЮГРЫ

НЯГАНСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ




Методическая разработка

Раздел «Элементы линейной алгебры»

Дисциплина «Элементы высшей математики»

Специальность «Компьютерные сети»




П.М.Ажулаева


Нягань 2014г

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ И МОЛОДЁЖНОЙ ПОЛИТИКИ ХМАО-ЮГРЫ

БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ХМАО-ЮГРЫ

НЯГАНСКИЙ ПРОФЕССИОНАЛЬНЫЙ КОЛЛЕДЖ















Методическая разработка

Раздел «Линейная алгебра»

Учебная дисциплина: «Элементы высшей математики»













П.М.Ажулаева

преподаватель математики





Нягань 2014г


Аннотация

В данной работе рассмотрены темы раздела №1 «Элементы линейной алгебры»: «Матрицы. Определители. Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений» из рабочей программы учебной дисциплины «Элементы высшей математики».

В предлагаемой методической разработке рассматриваются основные понятия теории данного раздела и подробно рассмотрены задачи, аналогичные тем, которые даются студентам на практических занятиях и в контрольных работах и для выполнения самостоятельных работ. Данная работа поможет преподавателю в полной мере донести материал в лекционной форме и практической работы, а студенту самостоятельно изучить пропущенный материал и ликвидировать пробел знаний по данной теме. В данной работе сделана попытка соединить учебный материал, руководство к решению задач и выполнение практических, контрольных заданий.

Перед выполнением каждого задания предлагаем ознакомиться с основными вопросами теории и рассмотреть образцы решения. Перечисленные ниже вопросы по теме являются основными при защите выполненных работ.

Данная тема изучается по дисциплине «Элементы высшей математики» специальности «Компьютерные сети».

Данная работа предназначена также и для студентов 2 курса других специальностей по дисциплине «Математика» («Сварочное производство», «Техническая эксплуатация и обслуживание электрического и электромеханического оборудования»).



























Содержание


  1. Аннотация………………………………………2

  2. Введение……………………………………….. 4

  3. Основная часть…………………………………6 - 41

- матрицы……………………………………….7

- действия над матрицами……………………..9

- действия над матрицами (практическая)……13

- определители………………………………….16

- миноры………………………………………...19

- обратная матрица……………………………..24

- ранг…………………………………………….27

- системы линейных уравнений……………….29

- решение систем линейных уравнений……...36

- контрольная работа…………………………..39

  1. Заключение…………………………………….. 42

  2. Литература………………………………………43

  3. Приложения……………………………………..44
























Введение

Вечные истины значимы совершенно независимо от какого – то ни было фактического состояния действительности, какова бы она ни была.

(Лейбниц)


Реальный образовательный процесс проходит в динамике и в современной дидактике понимается как взаимодействие деятельности и преподавателей, и обучаемых, направленное на достижение учебных целей, задач обучения, воспитания и развития, на формирование компетенций.

Для специалиста важно понимать роль и место математики в жизни современного общества. Для этого студент должен усвоить сущность математической науки, познакомиться с ее языком и основными методами. Это поможет ему самостоятельно читать ту литературу по специальности, в которой используются математические методы и модели, заниматься повышением своей профессиональной подготовки.

Математика играет важную роль в естественно – научных, инженерно – технических и гуманитарных исследованиях. Она стала для многих отраслей знаний не только орудием количественного расчета, но также методом точного исследования и средством четкой формулировки понятий и проблем. Без современной математики с ее развитым логическим и вычислительным аппаратом был бы невозможен прогресс в различных областях человеческой деятельности.

Математика является не только мощным средством решения прикладных задач и универсальным языком науки, но также и элементом общей культуры. Поэтому математическое образование следует рассматривать как важнейшую составляющую в системе фундаментальной подготовки современного специалиста.

Учебная дисциплина «Элементы высшей математики» предназначена для реализации государственных требований к минимуму содержания и уровню подготовки выпускников по специальности среднего профессионального образования «Компьютерные сети». Учебная дисциплина «Элементы высшей математики» является естественнонаучной, формирующей базовые знания для освоения профессиональных и специальных дисциплин.

Предлагаемая работа написана в соответствии с требованиями государственных образовательных стандартов в области математики. Она соответствует Примерной программе дисциплины «Элементы высшей математики» и включает темы: «Матрицы. Определители. Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений»

Для студентов учебник и конспекты являются основным источником учебной информации, так как многие студенты еще и работают, или пропустили занятия по каким – либо причинам. Именно таким студентам в первую очередь адресована данная работа.

Умение логически мыслить и оперировать абстрактными понятиями, понимать место точных формулировок и уметь, где необходимо, обходиться описательными определениями, отличать тривиальные и частные модели от глубоких и общих – вот основные цели, преследуемые при изучении дисциплины математика.

В процессе изучения математики студент должен:

- научиться использовать математику как метод мышления, как язык, как средство формулирования и организации понятий;

- уметь формулировать, формализовать и решать с помощью компьютера основные математические задачи;

- уметь строить простейшие математические модели и ориентироваться в возможностях их реализации на вычислительной технике.

Изучение дисциплины «Элементы высшей математики» направлена на достижение следующих целей:

  • формирование представлений о математике как универсальном языке науки, средстве моделирования явлений и процессов, об идеях и методах математики;

  • развитие логического мышления, пространственного воображения, алгоритмической культуры, критичности мышления на уровне, необходимом для будущей профессиональной деятельности, для продолжения образования и самообразования;

  • овладение математическими знаниями и умениями, необходимыми в повседневной жизни, для изучения смежных естественнонаучных дисциплин на базовом уровне и дисциплин профессионального цикла;

  • воспитание средствами математики культуры личности, понимания значимости математики для научно-технического прогресса, отношения к математике как к части общечеловеческой культуры через знакомство с историей развития математики, эволюцией математических идей.



















Теория без практики мертва или бесплодна,

практика без теории невозможна или пагубна.

Для теории нужны знания, для практики,

сверх всего того, и умение.

А.Н. Крылов

Занятие (лекция)

Тема: Матрицы

План:

  1. Матрицы. Основные понятия.

  2. Действия над матрицами.

    1. Сложение.

    2. Умножение на число

    3. Произведение матриц.

Цели занятия:

На занятии вы узнаете

  • Понятие матрицы, квадратной матрицы, треугольной матрицы, единичной матрицы, нулевой матрицы, транспонированной матрицы, противоположной матрицы, элементы матрицы, главной и побочной диагонали,

  • Сложения матриц, умножение матрицы на число, произведение матриц,

  • Свойства операции сложения матриц и умножения матрицы на число, произведения матриц,

Порядок работы на занятии:

  1. Прочитать текст лекции или прослушать лекцию преподавателя.

  2. Законспектировать лекцию.

  3. Ответить на контрольные вопросы, не заглядывая в конспект.

  4. Проверьте свои ответы по конспекту.

  5. Если ответы ошибочны, еще раз прочитайте лекцию и ответьте на контрольные вопросы. Будьте готовы к устному опросу и к применению знаний на практических занятиях.













1. Матрицы. Основные понятия

Алгебра – одна из составных частей современной математики. Название алгебра происходит от названия книги арабского математика Мухаммеда аль Хорезми «Ал-д жабр…»

Основной задачей алгебры было решение алгебраических уравнений, а так же систем уравнений и как особо важный случай, систем линейных уравнений. Для решения уравнений были введены понятия матрицы и определители, которые впоследствии стали самостоятельными объектами изучения. Указанный материал впоследствии стал относиться к высшей алгебре.

Матрицей называется множество чисел, образующих прямоугольную таблицу, которая содержит m строк и n столбцов.

Матрица записывается в виде hello_html_21bdfd6c.gif или, сокращенно А = hello_html_3bba6793.gif, где i=1, 2, 3,…,m означает номер строки, j=1,2,3,…,n – номер столбца.

Матрицу А называют матрицей размера m×n и пишут hello_html_m57f236c6.gif. Числа hello_html_m64107974.gif, составляющие матрицу, называются ее элементами.

Матрицы равны между собой, если равны соответствующие элементы этих матриц, т.е. А=В, если hello_html_m64107974.gif=hello_html_6b88549d.gif, где i=1,2,3,…,m, j=1,2,3,…,n

Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, называется квадратной. Квадратную матрицу размера hello_html_m70e6932c.gif называют матрицей n-го порядка.

Рассмотрим квадратную матрицу порядка n: hello_html_m5da9f721.gif

Элементы, стоящие на диагонали, идущей из левого верхнего угла hello_html_m7316b3cf.gif, образуют главную диагональ, а элементы, стоящие на диагонали, идущей из правого верхнего угла hello_html_mcbe1696.gif, образуют побочную диагональ.

Пример. hello_html_73c65149.gif - квадратная матрица 3-го порядка.

Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю, называется диагональной.

Пример. А=hello_html_5d402150.gif - диагональная матрица n-го порядка.

Диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали равен единице, называется единичной. Обозначается буквой Е.

Пример. hello_html_66a056b6.gif - единичная матрица 3-го порядка.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой.

Нулевая матрица обозначается буквой О. Имеет вид

О =hello_html_74548278.gif

Матрица, содержащая один столбец или одну строку, называется вектором (или вектор-столбец, или вектор-строка соответственно).

А=hello_html_m29cd2f6c.gif В=hello_html_m6279a801.gif

Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю.

Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется матрицей транспонированной к данной. Обозначается hello_html_49c3aeb2.gif. Транспонированная матрица обладает следующим свойством:hello_html_md290ee1.gif.

Так, если hello_html_m6ba3fb6e.gif, то hello_html_m365411f8.gif












2. Действия над матрицами

2.1. Сложение матриц

Операция сложения вводится только для матриц одинаковых размеров.

Суммой двух матриц А = hello_html_3bba6793.gif и В = hello_html_m3c22717a.gif называется матрица С = hello_html_mb0b6107.gif элементы, которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В, т.е hello_html_969a00e.gif, где i=1,2,3,…,m, j=1,2,3,…,n.

Пример 1. hello_html_57b40e62.gif

Аналогично определяется разность матриц.

2.2. Умножение матрицы на число

Произведением матрицы А на число k называется матрица kA, каждый элемент которой равен khello_html_m64107974.gif , i=1,2,3,…,m, j=1,2,3,…,n. т.е.

если А=hello_html_5f56b103.gif, то kA=hello_html_mbf27d88.gif

Умножение матрицы на число сводится к умножению на это число всех элементов матрицы.

Пример 2. hello_html_28046bd0.gif, k=2; kA=hello_html_m7ea89ecd.gif

Матрица –А =(-1)∙А называется противоположной матрице А.

Разность матриц А-В можно определить так: А-В=А+(-В).

Операция сложения матриц и умножения матрицы на число обладают следующими свойствами:

  1. переместительный закон сложения А+В=В+А,

  2. сочетательный закон сложения (А+В)+С=А+(В+С),

  3. А+О=А;

  4. для любой матрицы А существует матрица –А, такая, что А+(-А)=0, т.е. матрица, противоположная А;

  5. 1∙А=А;

  6. α∙(А+В)=αА+αВ;

  7. (α+β)∙А=αА+βА;

  8. α∙(βА)=(αβ)∙А.

где А, В, С - либо квадратные матрицы одного порядка n, либо прямоугольные матрицы одно размера m×n, а α и β – числа.








2.3. Произведение матриц

Операция умножения матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.

Произведением матрицы hello_html_dc43f2f.gif на матрицу hello_html_m341837d0.gif называется матрица hello_html_8c849d8.gif такая, что hello_html_175c9c71.gif, где hello_html_m30a7c8d0.gif, hello_html_mc4f6e24.gif

Получение элемента hello_html_m56793b03.gif схематично изображается так:

hello_html_7daa804f.gifhello_html_m74c666da.gif

j

Вообще, чтобы получить элемент, стоящий на пересечении i-ой строки и j-го столбца матрицы произведения, нужно все элементы i-ой строки (hello_html_m13156fc8.gif,hello_html_m58824695.gif, …, hello_html_7dbf68d.gif) матрицы А умножить на соответствующие элементы j-го столбца (hello_html_m49fbe97e.gif,hello_html_56e1decd.gif, …, hello_html_m4be55395.gif) матрицы В и полученные произведения сложить.

Если матрицы А и В произвольного размера, то произведения АВ и ВА не всегда существуют.

Рассмотрим умножение квадратных матриц второго порядка.

Пусть hello_html_m46dc21e6.gif.

Произведением этих матриц называется матрица hello_html_m53cd8a96.gif

чтобы найти элемент hello_html_m450facc1.gifпервой строки и первого столбца матрицы С, нужно каждый элемент первой строки матрицы А (т.е. hello_html_7f9bff80.gif и hello_html_77f81eb6.gif) умножить на соответствующий элемент первого столбца матрицы В (т.е. hello_html_m72e92c2.gif и hello_html_49c96f94.gif) и полученные произведения сложить hello_html_m251f1a33.gif;

чтобы получить элемент hello_html_56232dfd.gif первой строки и второго столбца матрицы С, нужно умножить все элементы первой строки (hello_html_7f9bff80.gif и hello_html_77f81eb6.gif) на соответствующие элементы второго столбца (т.е. hello_html_140213fc.gif и hello_html_56de0ec4.gif) и полученные произведения сложить: hello_html_m2548e67d.gif

аналогично находится элементы hello_html_be85195.gif и hello_html_14ff30c5.gif.

Если матрицы А и В квадратные одного размера, то произведения АВ и ВА всегда существуют. Легко доказать, что А∙Е=Е∙А=А, где А-квадратная матрица, Е- единичная матрица того же размера.

Пример 3. Найти произведение матриц А и В, если

hello_html_m2b37d6e2.gif, hello_html_m186d8f87.gif

Решение. Так как матрица hello_html_m76e0ff7a.gif и матрица hello_html_1da48cb8.gif, то матрица произведения hello_html_4ae26fe7.gifи содержит 9 элементов. Найдем каждый элемент матрицы-произведения:

hello_html_m244d95d0.gif

hello_html_1e38495.gif

hello_html_m781af7a9.gif

hello_html_31ec505b.gif

hello_html_m5f08aa19.gif

hello_html_m3179e88e.gif

hello_html_7a6d5f3d.gif

hello_html_4d171b1c.gif

hello_html_m3dd9c962.gif

hello_html_m71be6669.gif

Пример 3. Найти произведение матриц А и В, если

hello_html_611dc2cc.gifhello_html_2dc274a4.gif

Решение. Произведение матриц А∙В не определенно, так как число столбцов матрицы А (3) не совпадает с числом строк матрицы В (2). При этом определенно произведение В∙А. Так как матрица hello_html_33cf7178.gif и матрица hello_html_mfb3905f.gif, то матрица произведения hello_html_45e5ac1f.gifи содержит 6 элементов.

В∙А=hello_html_m7c66776d.gif



Умножение матриц обладают следующими свойствами:


  1. А∙(В∙С)= (А∙В)∙С;

  2. А∙(В+С)=АВ+АС;

  3. (А+В)∙С=АС+ВС;

  4. α(АВ)=(αА)В.

  5. hello_html_3e604136.gif









Контрольные вопросы

  1. Что называется матрицей?

  2. Что называется матрицей – строкой? Матрицей – столбцом?

  3. Какие матрицы называются прямоугольными? Квадратными?

  4. Какие матрицы называются равными?

  5. Что называется главной диагональю матрицы?

  6. Какая матрица называется диагональной?

  7. Какая матрица называется единичной?

  8. Какая матрица называется треугольной?

  9. Что значит «Транспонировать» матрицу?

  10. Что называется суммой матриц?

  11. Что называется произведением матрицы на число?

  12. Как найти произведение двух матриц?

  13. В чем состоит обязательное условие существование произведения матриц?

Какими свойствами обладает произведение матриц

Занятие (практическое)

Тема: Действия над матрицами

Цели занятия:

К занятию надо знать.

  • Понятие матрицы, квадратной матрицы, прямоугольной матрицы.

  • Условия сложения и произведения матриц.

  • Сложения матриц, умножение матрицы на число, произведение матриц.

  • Свойства операции сложения матриц, умножения матриц на число, произведения матриц,

На занятии надо научиться:

  • Складывать матрицы.

  • Умножать матрицы на число.

  • Вычислять произведения двух матриц.

Порядок работы на занятии:

  1. Повторить условия сложения и произведения матриц.

  2. Повторить сложения матриц, умножение матрицы на число, произведение матриц.

  3. Рассмотреть образец решения (пример 1, лекция «действия над матрицами»).

  4. Выполнить задание 1.

  5. Рассмотреть образец решения (пример 2, лекция «действия над матрицами»).

  6. Выполнить задание 2, 3, 4, 5, 6 (домашнее задание не менее 2 примеров указывает преподаватель)

  7. Рассмотреть образец решения (пример 3, лекция «действия над матрицами»).

  8. Выполнить задание 7, 8, 9 (домашнее задание не менее 4 примеров указывает преподаватель)

  9. Выполненные задания покажите преподавателю. Возможен устный опрос.














Задание 1. Сложить матрицы А и В, если:

а) hello_html_32e8f4be.gif, hello_html_m3d03a90f.gif

б)hello_html_cedf309.gif,hello_html_m658256b5.gif

в) hello_html_m2785cbe6.gif, hello_html_645e7535.gif


Задание 2. Умножить матрицу hello_html_m6c09c68f.gif на число k=3.


Задание 3. Найти матрицу, противоположную матрице

А=hello_html_m2cce01af.gif


Задание 4. Найти линейную комбинацию 3А-2В, если

hello_html_6c71be30.gif, hello_html_40010203.gif


Задание 5. Вычислить линейную комбинацию матриц 2А-В, если

hello_html_m48139e94.gif, hello_html_m343ae339.gif


Задание 6. Вычислить линейную комбинацию матриц 2А+3В-С, если

hello_html_m73a34b4b.gif, hello_html_6e352521.gif, hello_html_m18666507.gif


Задание 7. Найти произведение матриц АВ, если:

а) hello_html_3a00f873.gif, hello_html_55c37b0a.gif

б) hello_html_198b02e5.gif, hello_html_m422376f9.gif

в)hello_html_m27c0d9c3.gif, hello_html_m57de96c7.gif

г) hello_html_3c5450a5.gif, hello_html_m5ace44b0.gif

д)hello_html_3697fefa.gif,hello_html_ma08ea9a.gif


Задание 8. Вычислить а) hello_html_6dac2580.gif, б) hello_html_m273f59d8.gif, где

hello_html_m402e9235.gif, hello_html_6cd9b1a7.gif


Задание 9. Найти hello_html_1bd5bd94.gif, если hello_html_61b840c3.gif, hello_html_46e232fd.gif



























Занятие (лекция)

Тема: Определители

План:

  1. Определители. Основные понятия.

  2. Основные свойства определителей.

  3. Миноры и алгебраические дополнения элементов определителя.

Цели занятия:

На занятии вы узнаете

  • Понятие определителя 2-го порядка, определителя 3-го порядка, минора, алгебраического дополнения.

  • Формулировки свойств определителя.

  • Формулировку теоремы «о разложении определителя по элементам строки или столбца».

  • Схему вычисления определителя 2-го порядка.

  • Формулировку правило Саррюса (схема треугольников).

Порядок работы на занятии:

  1. Прочитать текст лекции или прослушать лекцию преподавателя.

  2. Законспектировать лекцию.

  3. Ответить на контрольные вопросы, не заглядывая в конспект.

  4. Проверьте свои ответы по конспекту.

  5. Если ответы ошибочны, еще раз прочитайте лекцию и ответьте на контрольные вопросы. Будьте готовы к устному опросу и к применению знаний на практических занятиях.






















1. Определители. Основные понятия.

Определитель – это число, которое по специальным правилам вычисляется для каждой квадратной матрицы

Пусть дана квадратная матрица второго порядка: hello_html_2352b1e6.gif

Определителем (или детерминантом) второго порядка называется число hello_html_m610f8c58.gif. Определитель второго порядка записывается так:

detA=hello_html_m7fa1101b.gif=hello_html_m610f8c58.gif- определитель второго порядка.

Определитель второго порядка равен разности попарных произведений элементов главной и побочной диагонали.

Определитель квадратной матрицы порядка n можно обозначить также Δ или│A│.

Вычисление определителя 2-го порядка иллюстрируется схемой: hello_html_5458ad20.gif

Пример 1. Найти определители матриц:

  1. hello_html_m6528ae75.gif; б) hello_html_m2deb9b3b.gif

Решение.

  1. hello_html_m6c720ce7.gif= 2∙6- (-3)∙5=27

  2. hello_html_7e351de5.gif

Пусть дана квадратная матрица третьего порядка: hello_html_73c65149.gif

Определителем 3-го порядка, соответствующим данной матрице, называется число hello_html_609ca851.gif

Определитель третьего порядка записывается так:

hello_html_77d77512.gifhello_html_609ca851.gif

Чтобы запомнить, какие произведения в правой части берутся со знаком «+», а какие со знаком « – », полезно использовать следующее правило треугольников (правилом Саррюса), которое символически можно записать так:

hello_html_m5731db32.gif- правило треугольников (правилом Саррюса)

Пример 2. Вычислить определитель матрицы hello_html_67c0a268.gif

Решение.

detA=5∙1∙(-3)+3∙0∙1+(-2)∙(-4)∙6-1∙1∙6-5∙(-4)∙0-3∙(-2)∙(-3)=-15+0+48-6-0-18=9


2. Основные свойства определителей

  1. «Равноправность строк и столбцов». Определитель матрицы не изменится, если его строки заменить столбцами, и наоборот (т.е. транспонировать)

  2. При перестановке двух строк (или столбцов) определитель изменит свой знак на противоположный: hello_html_m2d7f06e7.gif

  3. Определитель с двумя одинаковыми строками или столбцами равен нулю.

hello_html_6cbc3e7f.gif

  1. Общий множитель всех элементов строки (или столбца) можно вывести за знак определителя: hello_html_35c5bf75.gif

  2. Если все элементы двух строк (столбцов) определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

  3. Если к какой-либо строке (или столбцу) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на одно и то же число, то определитель не изменит своей величины: hello_html_16d9c4a3.gif

  4. Если элементы какой-либо строки (столбца) определителя представляют собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть разложен на сумму двух соответствующих определителей: hello_html_5e567939.gif

  5. Треугольный определитель, у которого все элементы

лежащие выше (или ниже) главной диагонали, - нули, равен произведению элементов главной диагонали: hello_html_m1abba1e0.gifhello_html_m31727acd.gif




3. Миноры и алгебраические дополнения элементов определителя

Минором hello_html_240e6d08.gif некоторого элемента hello_html_m64107974.gif определителя n-го порядка называется определитель (n-1) - го порядка, полученный из исходного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится выбранный элемент.

Например, Минор М12 , соответствующий элементу hello_html_77f81eb6.gif определителя hello_html_1006060c.gif,

получается, если вычеркнуть из определителя D первую строку и второй столбец, т.е.

hello_html_6a9439e7.gif.

Пример 3. Записать все миноры определителя hello_html_66ebbb8d.gif

Решение.

hello_html_67954e0e.gif=-57, hello_html_m340d3443.gif=42, hello_html_m689a2c19.gif=63,

hello_html_m3cf5d482.gif=-21, hello_html_2635f604.gif=24, hello_html_4352b964.gif=9,

hello_html_76618b37.gif=-15, hello_html_78756e5c.gif=-6, hello_html_m2adc1aea.gif= -9


Алгебраическим дополнением элемента hello_html_m64107974.gif определителя называется минорhello_html_240e6d08.gif этого элемента, взятый со знаком hello_html_m38b0d5a3.gif. Алгебраическое дополнение элемента hello_html_m64107974.gif принято обозначать hello_html_m1407d356.gif.

Таким образом, hello_html_m7c982e21.gif.

hello_html_m38b0d5a3.gif- определитель знака, если (i+j) – четное число, то знак «+»

если (i+j) - нечетное число, то знак « - »

Знаки алгебраического дополнения Аij: hello_html_6e3ab47b.gif

Пример 4. Найти алгебраические дополнения элементов hello_html_23aed26c.gif определителя

hello_html_66ebbb8d.gif



Решение.

hello_html_1294e082.gif

hello_html_8c938b3.gif

hello_html_m2ffd9dff.gif


Теорема. «О разложении определителя по элементам строки или столбца». Сумма произведений элементов любой строки (или столбца) определителя D на их алгебраические дополнения равна этому определителю, т.е.

hello_html_m92e8f19.gifили hello_html_m54f2b46.gif.

Эти соотношения называются разложением определителя по элементам i-ой строки или j-го столбца.

Для разложения определителя обычно выбирают тот ряд, где есть нулевые элементы, т.к. соответствующие им слагаемые в разложении будут равны нулю.

Пример 5. Определитель hello_html_66ebbb8d.gif разложить:

  1. по элементам второй строки;

  2. по элементам первого столбца.

Решение.

1. hello_html_1602d958.gif


2. hello_html_5d28653b.gif




Если определитель имеет четвертый или более высокий порядок, то его также можно разложить по элементам строки или столбца.

Пример 6. Вычислить определитель матрицы hello_html_3baea5b3.gif

Решение. Разложим определитель по элементам 1-го столбца.

hello_html_m73f0629e.gif

Перечислим различные способы вычисления определителей.

  1. Определитель можно вычислить, используя непосредственно его определение. Этим способом удобно находить определители 2-го и 3-го порядков (треугольник Саррюса), а для определителя более высокого порядка применим следующий способ.

  2. Определитель можно вычислить с помощью его разложения по элементам строки или столбца.

  3. Определитель можно вычислить способом приведения к треугольному виду. Этот способ основан на том, что в силу свойства 8 треугольный определитель равен произведению элементов главной диагонали.

Чтобы получить треугольный определитель, нужно используя свойство 6, к какой-либо строке (или столбцу) заданного определителя прибавлять соответствующие элементы другой стоки (или столбца), умноженные на одно и тоже число, до тех пор пока не придем к определителю треугольного вида.


Контрольные вопросы

  1. Что называется определителем матрицы?

  2. Как вычислить определитель третьего порядка по схеме треугольников?

  3. Что называется минором?

  4. Что называется алгебраическим дополнением элемента определителя?

  5. Как разложить определитель по элементам столбца или строки?

  6. Какие способы вычисления определителя вам известны?

  7. Перечислите свойства определителей.

Занятие (практическое)

Тема: Вычисление определителя n-го порядка

Цели занятия:

К занятию надо знать.

  • Понятие определителя 2-го, 3-го порядка, минора, алгебраического дополнения.

  • Формулировку теоремы «о разложении определителя по элементам строки или столбца».

  • Схему вычисления определителя 2-го порядка.

  • Формулировку правила Саррюса.

На занятии надо научиться:

  • Находить определитель 2-го порядка.

  • Находить определитель 3-го порядка.

  • Находить определитель 4-го порядка.

Порядок работы на занятии:

  1. Повторить понятие определителя 2-го и 3-го порядка, минора, алгебраического дополнения.

  2. Повторить схему вычисления определителя 2-го порядка, правило Саррюса.

  3. Рассмотреть образец решения (пример 1, лекция «основные понятия»).

  4. Выполнить задание 1.

  5. Рассмотреть образец решения (пример 2, лекция «основные понятия»).

  6. Выполнить задание 2 (домашнее задание не менее 2 примеров указывает преподаватель).

  7. Рассмотреть образцы решения (пример 3, 4, 5, 6, лекция «Миноры и алгебраические дополнения элементов определителя»).

  8. Выполнить задание 3, 4 (домашнее задание не менее 2 примеров указывает преподаватель)

  9. Выполненные задания покажите преподавателю. Возможен устный опрос.














Задание 1. Вычислить определители 2-го порядка:

А) hello_html_m74f04739.gif

Б) hello_html_7a7f790e.gif


В) hello_html_m41755701.gif

Г) hello_html_378ef284.gif


Задание 2. Вычислить определители 3-го порядка:

А) hello_html_m50d7a086.gif

Б) hello_html_1c01a5ba.gif


В) hello_html_m57ba986b.gif

Г) hello_html_6d51a792.gif


Задание 3. Вычислить определители 4-го порядка:

А) hello_html_3264a3cf.gif


Б) hello_html_4f7dcfc8.gif


В) hello_html_568281df.gif


Г) hello_html_m458ec904.gif


Задание 4. Решить уравнения:


А) hello_html_68991309.gif В) hello_html_m4f921318.gif










Занятие (лекция)

Тема: Обратная матрица. Ранг матрицы

План:

  1. Обратная матрица.

  2. Ранг матрицы.

Цели занятия:

На занятии вы узнаете

  • Понятие обратной матрицы, ранга матрицы.

  • Правило вычисления обратных матриц второго и третьего порядков.

  • Свойства обратной матрицы.

Порядок работы на занятии:

  1. Прочитать текст лекции или прослушать лекцию преподавателя.

  2. Законспектировать лекцию.

  3. Ответить на контрольные вопросы, не заглядывая в конспект.

  4. Проверьте свои ответы по конспекту.

  5. Если ответы ошибочны, еще раз прочитайте лекцию и ответьте на контрольные вопросы. Будьте готовы к устному опросу и к применению знаний на практических занятиях.



1. Обратная матрица.

Пусть А – квадратная матрица n-го порядка hello_html_m750e098f.gif

Квадратная матрица А-1 порядка n называется обратной матрицей для данной матрицы A, если hello_html_m343c5574.gif, где − E единичная матрица.

Квадратная матрица А называется вырожденной, если ее определитель detA равен 0 т.е. detA=0. В противном случае (detA≠0) матрица А называется невырожденной.

Обратная матрица hello_html_7aade5f8.gif имеет те же размеры, что и матрица А.

Теорема. Всякая невырожденная матрица А имеет обратную матрицу A-1, определяемую формулой hello_html_6a995740.gifhello_html_3994ad3f.gif

где A11, A12, …, Ann есть алгебраические дополнения соответствующих элементов a11, a12,…, ann матрицы А.




Правило вычисления обратных матриц n-го порядка

  1. Находят определитель матрицы А т.е. detA.

  2. Находят алгебраические дополнения всех элементов матрицы А.

  3. Умножают полученную транспонированную матрицу на hello_html_m5710f9bb.gif.

hello_html_6a995740.gifhello_html_3994ad3f.gif

Нахождение обратной матрицы имеет большое значение при решении систем линейных уравнений и в вычислительных методах линейного программирования.


Свойства обратной матрицы.

  1. hello_html_m50d0e1c.gif;

  2. hello_html_3cf7b1f8.gif;

  3. hello_html_13004385.gif.

Пример 1. Дана матрица А = hello_html_4e2d0511.gif, найти А-1.

Решение.

  1. det A = 4 - 6 = -2.

  2. А11=4; А12= -3; А21= -2; А22=1

  3. Таким образом, А-1=hello_html_e1b305c.gifhello_html_5b7e11b0.gif=hello_html_m4de6ebe3.gif

Пример 2. Найти матрицу А-1, если hello_html_m7dbe550.gif

Решение.

  1. Вычислим определитель матрицы А (по правилу треугольников):

hello_html_m5731db32.gif

hello_html_501d049e.gif, так как определитель det=5≠0, то матрица А невырожденная и имеет обратную матрицу А-1.


  1. Вычислим алгебраические дополнения всех элементов

матрицы А по формуле hello_html_3dfe3ccf.gif.

Знаки алгебраического дополнения Аij: hello_html_6e3ab47b.gif


hello_html_326fec47.gif

hello_html_m186c864b.gifhello_html_6a40f9a.gif

hello_html_129f9f6e.gifhello_html_m2f377c56.gifhello_html_m64359e11.gifhello_html_m6d7e7ea2.gifhello_html_31787d8c.gifhello_html_m2d761bf5.gif




  1. Подставляя найденные значения в формулу для А-1 получим:

hello_html_6a995740.gifhello_html_22e5cd62.gif

hello_html_6e355cf.gifhello_html_17579af7.gif



















2. Ранг матрицы

Рассмотрим матрицу А размера hello_html_m3f7fe6c0.gif. hello_html_m5986e793.gif. Выделим в ней k строк и k столбцов (hello_html_m2b578ebe.gif). Из элементов, стоящих на пересечении выделенных строк и столбцов, составим определитель k-го порядка. Все такие определители называются минорами этой матрицы.

Наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля, называется рангом матрицы. Обозначается r, r(A), rangA.

Очевидно, что hello_html_m7a4a3c83.gif, где hello_html_m61e74599.gif - меньшее из чисел m и n.

Минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется базисным.

У матрицы может быть несколько базисных миноров.

Пример 1. Дана матрица hello_html_163cd6fe.gif. Определить ее ранг.

Решение. Имеем hello_html_1f86d40.gif, hello_html_mc09adb6.gif, hello_html_m25aa195.gif.

Минор 4-го порядка составить нельзя.

Ответ: rangA=3.

Матрицы, имеющие одинаковый ранг, называются эквивалентными. Эквивалентность матриц обозначается знаком ~ между ними.

Записывается А~В.

Надо отметить, что равные матрицы и эквивалентные матрицы - понятия совершенно различные.

Отметим свойства ранга матрицы:

  1. При транспонировании матрицы ее ранг не меняется.

  2. Если вычеркнуть из матрицы нулевой ряд, то ранг матрицы не изменится.

  3. Ранг матрицы не изменится при элементарных преобразованиях матрицы.

Элементарными преобразованиями называются такие преобразования, при которых миноры матрицы либо не меняют своей величины, либо, меняя величину, не обращаются в нуль.

Элементарные преобразования матриц позволяют:

1. Переставлять местами между собой строки (столбцы).

2. Прибавлять к какой-либо строке (столбцу) другую строку (столбец), умноженную на любое число.

3. Умножать строку (столбец) на число, отличное от нуля.

4. Вычеркивать строки (столбцы), состоящие из одних нулей.

Пример 2. Определить ранг матрицы.

hello_html_82b7a00.gifhello_html_m4861acf2.gifhello_html_38232feb.gif,

hello_html_28fa7865.gifrangA = 2.

Пример 3. Определить ранг матрицы hello_html_52ebf159.gif

Переставим первый и второй столбец местами:

hello_html_52ebf159.gif~ hello_html_m469bb9ac.gif

Чтобы иметь дело с меньшими числами, умножим первый столбец на hello_html_m1a1ba61f.gif ~hello_html_b700970.gif

Первую строку прибавляем ко второй и третьей, умножая при этом на (-2) и на (-1) соответственно: ~ hello_html_m3d2164b7.gif

Умножим вторую строку на hello_html_m1928cb17.gif, получим: ~ hello_html_7a1da2bf.gif

Умножим вторую строку на (-2) и прибавим ее к третьей строке:

~ hello_html_m721e21ed.gif

Вычеркиваем третью строку: ~ hello_html_b39ee6d.gif.

Отсюда видно, что ранг матрицы равен rang=2.


Контрольные вопросы

  1. Какая матрица называется обратной по отношению к данной?

  2. Каков порядок вычисления обратной матрицы?

  3. Что называется рангом матрицы?

  4. Какая матрица называется невырожденной?

  5. Перечислите свойства обратной матрицы.


Занятие (лекция)

Тема: Системы линейных уравнений

План:

  1. Основные понятия.

  2. Решение невырожденных линейных систем формулами Крамера.

  3. Решение систем линейных уравнений матричным методом

  4. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

Цели занятия:

На занятии вы узнаете

  • Понятие системы линейных алгебраических уравнений, основной матрицы, расширенной матрицы, совместной и несовместной системы, однородной, матричного уравнения.

  • Формулировку теоремы Крамера.

  • Формулы Крамера.

  • В каком случае система линейных уравнений не имеет решения или имеет бесчисленное множество решения.

  • Правило решения матричного уравнения.

  • Процесс решения систем линейных уравнений по методу Гаусса.

Порядок работы на занятии:

  1. Прочитать текст лекции или прослушать лекцию преподавателя.

  2. Законспектировать лекцию.

  3. Ответить на контрольные вопросы, не заглядывая в конспект.

  4. Проверьте свои ответы по конспекту.

  5. Если ответы ошибочны, еще раз прочитайте лекцию и ответьте на контрольные вопросы. Будьте готовы к устному опросу и к применению знаний на практических занятиях.



















1. Основные понятия

Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей m уравнений и n неизвестных, называется система вида

hello_html_m35123c6b.gif


(1)


где числа a11, a12,…, amn, называются коэффициентами системы или коэффициентами при неизвестных.

Первый индекс у коэффициентов системы указывает на номер уравнения, второй на номер неизвестного, при котором записан этот коэффициент.

Числа b1, b2,…, bm называются свободными членами. Система линейных уравнений называется однородной, если все свободные члены равны нулю, если же, хотя бы одно из них отлично от нуля, то неоднородной.

Решением системы (1) называется любая совокупность чисел

x1, x2, x3,…,xn - подстановка которой в (1) обращает каждое уравнение этой системы в верное числовое равенство. Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной, имеющая только одно решение определенной, имеющая более одного решения - неопределенной, не имеющая ни одного решения - несовместной.

Решить систему (1) - это значит указать все множество ее решений или доказать ее несовместность.

Систему (1) удобно записать в компактной матричной форме А∙Х=В. Здесь А – матрица коэффициентов системы, называемая основной матрицей:

hello_html_63bcf202.gifhello_html_m74603bb0.gif- вектор-столбец из неизвестных hello_html_m8533f2e.gif,hello_html_m3b6b48f4.gif- вектор-столбец из свободных членов hello_html_71065644.gif.

Произведение матриц А∙Х определено, так как в матрице А столбцов столько же, сколько строк в матрице Х (n штук).

Расширенной матрицей системы называется матрица hello_html_60c4617e.gif системы, дополненная столбцом свободных членов hello_html_m61fa7286.gif


2. Решение линейных систем формулами Крамера.

Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными

hello_html_3055bbc2.gifили в матричной форме А∙Х=В. Основная матрица такой системы квадратная.

Определитель этой матрицы hello_html_m4feee205.gif называется определителем системы. Если определитель системы отличен от нуля, то система называется невырожденной.

Теорема Крамера. Система n уравнений с n неизвестными, определитель которой отличен от нуля, всегда имеет решение и притом единственное, и это решение находится по формулам:

hello_html_m55aa864a.gif, hello_html_m5fa0b388.gif, hello_html_111bbbcc.gif, …, hello_html_26ba75a0.gif

где хi – определитель матрицы, получаемой из матрицы системы заменой столбца i столбцом свободных членов bi.

Оно находится следующим образом: значение каждого из неизвестных равно дроби, знаменателем которой является определитель системы, а числитель получается из определителя системы замены столбца коэффициентов при искомом неизвестном на столбец свободных членов.

Пусть hello_html_65b444f0.gif. Если в определителе системы заменить поочередно столбцы коэффициентов при hello_html_3ab7a582.gif на столбец свободных членов, то получим n определителей (для n неизвестных)

hello_html_6a2df98.gif, hello_html_m7c81fc60.gif, … , hello_html_m2cea8b08.gif

Тогда формулы Крамера для решения системы n линейных уравнений с n неизвестными запишутся так: hello_html_7816bcd3.gif hello_html_1b63fe1e.gif… , hello_html_1cfab346.gif или короче hello_html_m646ac242.gif где i=1, 2, …, n.

Рассмотрим случай, когда определитель системы равен нулю. Здесь возможны два варианта:

  1. hello_html_m5e260637.gifи каждый определитель hello_html_275aa4f5.gif. Это имеет место только тогда. Когда коэффициенты при неизвестных hello_html_m161ee71a.gif пропорциональны, т.е. каждое уравнение системы получается из первого уравнения умножением обеих его частей на число k. Очевидно, что при этом система имеет бесчисленное множество решений.

  2. hello_html_m5e260637.gifи хотя бы один из определителей hello_html_m4f44d783.gif. Это имеет место только тогда, когда коэффициенты при неизвестных, кроме hello_html_m161ee71a.gif, пропорциональны. При этом получается система из противоречивых уравнений, которая не имеет решений.

Пример 1. Решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными hello_html_3a78d1b1.gif

Решение. Вычислим определитель системы hello_html_753f07cc.gif и определители hello_html_250408d8.gifиhello_html_m14b95a71.gif:


hello_html_2c76110f.gif. hello_html_65b444f0.gif

hello_html_4c124a20.gif

hello_html_30b423e0.gif


hello_html_4c4e1a03.gifhello_html_240fab83.gif


x1=1, x2=2

Ответ: (1;2)


3. Решение систем линейных уравнений матричным методом

Пусть дана система уравнений hello_html_23100132.gif

Рассмотрим матрицу, составленную из коэффициентов при неизвестных hello_html_22d4e4ac.gif.

Свободные члены и неизвестные можно записать в виде матриц-столбцов: hello_html_m7845df60.gif, hello_html_m1c6ae01a.gif

Тогда используя правило умножения матриц, эту систему уравнений можно записать так:

hello_html_919fc31.gifhello_html_m18a29d75.gif=hello_html_m26472fd5.gif или АХ=В hello_html_m23785cf1.gif hello_html_2e66332f.gif

Это равенство называется простейшим матричным уравнением.


Чтобы решить матричное уравнение, нужно:


  1. Найти обратную матрицу hello_html_7aade5f8.gif.

  2. Найти произведение обратной матрицыhello_html_7aade5f8.gif на матрицу – столбец свободных членов В, т.е.hello_html_f28219a.gif.

  3. Пользуясь определением равных матриц, записать ответ.


Пример 2. Решить систему уравнений

hello_html_m7106280e.gifпредставив ее в виде матричного уравнения.


Решение. Перепишем систему в виде АХ=В, где

hello_html_205cb979.gif, hello_html_m2b668b21.gif, hello_html_b4dd85e.gif

Решение матричного уравнения имеет вид hello_html_m24b647cc.gif.

Найдем обратную матрицу hello_html_7aade5f8.gif:

hello_html_m158be8f2.gif

hello_html_7e7c2e6e.gif, hello_html_m35e6acc.gif, hello_html_m7d6fea47.gif,

hello_html_39a6cf0c.gif, hello_html_7bcc5e0.gif,hello_html_53df6ca2.gif,

hello_html_5c7ab6ce.gif, hello_html_m57c73c4c.gif,hello_html_m1b24cfd6.gif

Таким образом hello_html_m2bb6532d.gif, откуда hello_html_m24b647cc.gif

hello_html_32e99894.gifСледовательно, х=2, y=3, z=-2.


Ответ: (2;3;-2)


4. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Одним из наиболее универсальных и эффективных методов решений линейных алгебраических систем является метод Гаусса, состоящий в последовательном исключении неизвестных.

Пусть дана система уравнений hello_html_3b81b4d5.gif

Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов. На первом этапе (прямой ход) система приводится к ступенчатому (в частности треугольному) виду.

Приведенная ниже система имеет ступенчатый вид:

hello_html_m30988835.gif






На втором этапе (обратный ход) идет последовательное определение неизвестных из полученной ступенчатой системы.

При выполнении прямого хода используют следующие преобразования:

  1. умножение или деление коэффициентов свободных членов на одно и то же число;

  2. сложение и вычитание уравнений;

  3. перестановку уравнений системы;

  4. исключение из системы уравнений, в которых все коэффициенты при неизвестных и свободные члены равны нулю.

Матричный способ решения систем линейных уравнений, как и решение, методом Крамера, применим только для особых систем линейных уравнений, в которых количество неизвестных совпадает с количеством уравнений.

Метод Гаусса применим для решения произвольных систем линейных уравнений и, следовательно, является универсальным методом. Этот метод позволяет существенно упростить и сам процесс поиска решений, если все промежуточные преобразования осуществить над специальной матрицей B составленной из коэффициентов системы и ее свободных членов. hello_html_m61fa7286.gif

Пример 3. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса. hello_html_m54b3ecf2.gif

Решение.

Составим расширенную матрицу системы.

hello_html_m6f122434.gif

Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:

hello_html_m5f9b3d0b.gif, откуда получаем: x3 = 2; x2 = 5; x1 = 1.

Ответ: (1;5;2)

Контрольные вопросы

  1. Как записать простейшее матричное уравнение?

  2. Как решить матричное уравнение?

  3. Сформулируйте теорему Крамера.

  4. Запишите формулы Крамера.

  5. Опишите метод Гаусса.

  6. В каком случае система не имеет решения?

  7. В каком случае система имеет бесчисленное множество решения?






















Занятие (практическое)

Тема: Решение системы линейных уравнений

Цели занятия:

К занятию надо знать.

  • Формулировку теоремы Крамера.

  • Формулы Крамера.

  • В каком случае система линейных уравнений не имеет решения или имеет бесчисленное множество решения.

  • Правило решения матричного уравнения.

  • Процесс решения систем линейных уравнений по методу Гаусса.

На занятии надо научиться:

  • Решать систему линейных уравнений формулами Крамера.

  • Решать систему линейных уравнений матричным методом.

  • Решать систему линейных уравнений методом Гаусса.

Порядок работы на занятии:

  1. Повторить формулы Крамера.

  2. Повторить правило решения матричного уравнения.

  3. Повторить процесс решения систем линейных уравнений по методу Гаусса.

  4. Рассмотреть образец решения задания 1.

  5. Выполнить задание 2.

  6. Выполненное задание покажите преподавателю. Возможен устный

Задание 1. Решить систему уравнений: hello_html_m58cada6.gif

  • Формулами Крамера

  • Матричным методом

  • Методом Гаусса


Решение.


  • Формулами Крамера:

=hello_html_6027b493.gif = 20 – 12 – 3+8 – 45+2= – 30;

x = hello_html_566972d6.gif = 0 – 48 – 42 +32 + 28 – 0 = 30;

y = hello_html_m41bfa134.gif = 140 + 0 – 16 + 56 – 0 – 240 = – 60;

z = hello_html_m55eeb0e8.gif = 160 – 56 + 0 – 0+16 –210 = – 90;

x = x/ = 1; y = y/ = 2; z = z/ = 3.

Ответ: (1,2,3)


  • Матричным методом:

Х = hello_html_m7def027d.gif, B = hello_html_m3807e698.gif, A = hello_html_256cbbfc.gif

Найдем обратную матрицу А-1.

= det A = hello_html_27c924ea.gif20 – 12 – 3 + 8 – 45+2= -30.

А11 = hello_html_e02890a.gif = -5; А21 = hello_html_m7039cd25.gif = -1; А31 = hello_html_m43c08bf4.gif = -1;

А12 =hello_html_m5d2ff916.gif А22 = hello_html_ea0c7f1.gif А32 = hello_html_5a45c145.gif

А13 = hello_html_m6d2d8e6a.gif А23 =hello_html_98f16a.gif А33 = hello_html_m19f95f87.gif

hello_html_m64217199.gifA-1 =hello_html_2142bebe.gif;

Находим матрицу Х.

Х = hello_html_m7def027d.gif= А-1В = hello_html_707e620.gifhello_html_m3807e698.gif= hello_html_5c343b95.gif.

Итого решения системы: x =1; y = 2; z = 3

Ответ:(1,2,3)


  • Методом Гаусса

Составим расширенную матрицу системы.

hello_html_e56f71.gif(Переставим местами первую и вторую строки, затем местами меняем вторую и третью строки; первую умножим на (-4) и сложим со второй; первую умножим на (-5) и сложим с третьей; вторую умножим на (-11/5) и сложим с третьей; можно вторую умножить на (-11), а вторую на 5, затем вторую и третью сложить, при этом получится расширенная матрица hello_html_m77ec431e.gifи.т.д.)

Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:

hello_html_m3fba4872.gif, откуда получаем: z = 3; y = 2; x = 1.

Ответ: (1,2,3)


Задание 2. Решить систему тремя способами:

hello_html_4901a812.gif

  • по формулам Крамера

  • матричным методом;

  • методом Гаусса.

Соответствующие коэффициенты выберите из таблицы:

Вариант

k

l

m

n

p

q

r

s

t

f

g

h

1

1

1

1

0

2

1

0

4

1

-1

-2

5

2

1

1

-1

-4

2

3

1

-1

1

-1

2

6

3

2

1

1

3

5

-2

3

0

1

0

2

5

4

1

1

-1

0

2

3

-2

2

3

-2

0

1

5

1

1

1

4

2

1

3

9

3

3

-1

0

6

2

1

1

-3

3

1

-2

7

3

1

0

1

7

3

-1

-1

2

1

1

1

0

2

2

3

7

8

2

1

-1

3

3

2

2

-7

1

0

1

-2

9

1

1

1

6

2

-1

2

6

3

1

-1

2

10

1

1

2

3

2

-1

0

3

3

-1

0

1

Занятие (Контрольная работа)

Тема: Решение систем линейных уравнений


Вариант 1

Решить систему тремя способами:

- по формулам Крамера

- матричным методом;

- методом Гаусса.

hello_html_m65b8e066.gif


Вариант 2

Решить систему тремя способами:

- по формулам Крамера

- матричным методом;

- методом Гаусса.

hello_html_7c06f324.gif

Вариант 3

Решить систему тремя способами:

- по формулам Крамера;

- матричным методом;

- методом Гаусса.

hello_html_4d3a83e8.gif

Вариант 4

Решить систему тремя способами:

- по формулам Крамера;

- матричным методом;

- методом Гаусса.

hello_html_m7f8ec1ae.gif


Вариант 5

Решить систему тремя способами:

- по формулам Крамера;

- матричным методом;

- методом Гаусса.

hello_html_m3aaceb9d.gif


Вариант 6

Решить систему тремя способами:

- по формулам Крамера;

- матричным методом;

- методом Гаусса.

hello_html_mabd5ff8.gif


Вариант 7

Решить систему тремя способами:

- по формулам Крамера

- матричным методом;

- методом Гаусса.

hello_html_m633d6c73.gif

Вариант 8

Решить систему тремя способами:

- по формулам Крамера;

- матричным методом;

- методом Гаусса.

hello_html_m25f311e9.gif






Вариант 9

Решить систему тремя способами:

- по формулам Крамера;

- матричным методом;

- методом Гаусса.

hello_html_7744ad3b.gif





Вариант 10

Решить систему тремя способами:

- по формулам Крамера;

- матричным методом;

- методом Гаусса.

hello_html_77a2fdb9.gif


Вариант 11

Решить систему тремя способами:

- по формулам Крамера;

- матричным методом;

- методом Гаусса.

hello_html_3c1506f2.gif

Вариант 12

Решить систему тремя способами:

- по формулам Крамера;

- матричным методом;

- методом Гаусса.

hello_html_457b9b7a.gif


Вариант 13

Решить систему тремя способами:

- по формулам Крамера;

- матричным методом;

- методом Гаусса.

hello_html_1581266b.gif

Вариант 14

Решить систему тремя способами:

- по формулам Крамера;

- матричным методом;

- методом Гаусса.

hello_html_m294c49c7.gif


Вариант 15

Решить систему тремя способами:

- по формулам Крамера;

- матричным методом;

- методом Гаусса.

hello_html_m38eb09f9.gif









Вариант 16

Решить систему тремя способами:

- по формулам Крамера;

- матричным методом;

- методом Гаусса.

hello_html_6356c88b.gif

Вариант 17

Решить систему тремя способами:

- по формулам Крамера

- матричным методом;

- методом Гаусса.

hello_html_1a82d004.gif


Вариант 18

Решить систему тремя способами:

- по формулам Крамера

- матричным методом;

- методом Гаусса.

hello_html_1d6e50c.gif


Вариант 19

Решить систему тремя способами:

- по формулам Крамера

- матричным методом;

- методом Гаусса.

hello_html_m75f23d2b.gif

Вариант 20

Решить систему тремя способами:

- по формулам Крамера

- матричным методом;

- методом Гаусса.

hello_html_m5d532389.gif

Вариант 21

Решить систему тремя способами:

- по формулам Крамера

- матричным методом;

- методом Гаусса.

hello_html_m4205f4d8.gif

Вариант 22

Решить систему тремя способами:

- по формулам Крамера

- матричным методом;

- методом Гаусса.

hello_html_e3b6f5e.gif


Заключение

Методическая разработка составлена в соответствии с требованиями ФГОС для студентов второго курса по специальностям среднего профессионального образования. Она соответствует примерной рабочей программе дисциплины «Элементы высшей математики» по специальности «Компьютерные сети», а также дисциплины «Математика» специальностей например, «Сварочное производство», «Техническая эксплуатация и обслуживание электрического и электромеханического оборудования» и включает раздел «Элементы линей алгебры» по темам: «матрицы. Определители. Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений».

Известно, учебный материал усваивается студентами (особенно имеющими значительный перерыв и пробелы математической подготовке) значительно легче, если он сопровождается достаточно большим числом иллюстрирующих его примеров. Поэтому мною сделана попытка соединить краткий теоретический материал и краткое руководство к решению задач. Для лучшего усвоения учебного материала приводятся образцы решения вычисления определителей, выполнения действий с матрицами, решения систем линейных уравнений различными методами, определенного круга задач данного раздела. В конце даны задания для практических, самостоятельных и контрольных работ.

Математика играет важную роль в естественно – научных, инженерно – технических и гуманитарных исследованиях. Она стала для многих отраслей знаний не только орудием количественного расчета, но также методом точного исследования и средством предельно четкой формулировки понятий и проблем. Без современной математики с её развитым логическим и вычислительным аппаратом был бы невозможен прогресс в различных областях человеческой деятельности.

Математика является не только мощным средством решения прикладных задач и универсальным языком науки, но также и элементом общей культуры. Поэтому математическое образование следует рассматривать как важнейшую составляющую в системе фундаментальной подготовки современного специалиста.

Основная задача, которая ставилась при составлении данной разработки, - это изложить учебный материал в доступной для студентов форме, сохраняя, безусловно, научную основу, требования к содержанию и логике изложения, поможет в подготовке, как к практическим, так и к самостоятельным работам.











Литература


  1. Валуцэ И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов на базе средней школы. Учебн. Пособие. – М.: Наука, 1990.

  1. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2–х ч.: Учеб.пособие для втузов. – 5–е изд., испр. – М.: Высш.шк., 1999. – 304 с.: ил.

  2. Кремер Н.Ш «Высшая математика для экономистов», 2000г.

  1. Шипачев В.С. Высшая математика. Учеб.для вузов.-М.: Высш.школа. 1998.- 497с.: ил.

  1. Шипачев В.С. Задачник по высшей математике. Учеб.пособие для вузов.-М.: Высш.школа. 1998.- 304с.: ил.

  1. В. Т. Лисичкин, И. Л. Соловейчик. Математика. Учеб.пособие для техникумов.-М.: Высш.школа. 1991. – 480 с.: ил

  1. Дмитрий Письменный Конспект лекций по высшей математике Учеб.пособие для втузов. – 3-е изд.. – М.: Айрис – пресс; 2005. – 608 с.: ил.

  1. Н. В. Богомолов Практические занятия по математике: Учеб.пособие для втузов. – 4–е изд., стер. – М.: Высш.шк.,1997. – 495с.

  2. В. Д. Черненко ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА В примерах и задачах 1 том Учебное пособие для вузов. В 3 т.: Т. 1.— СПб.: Политехника, 2003.— 703 с: ил.

  3. Математика. Контрольные задания / Сост.: В.И. Фомин. Тамбов: Изд-во Тамб. гос. техн. ун-та, 2004. 88 с.

  4. Учебно-методический комплекс дисциплины « Математика». Раздел 1 «Линейная и векторная алгебра». Контрольно-измерительные материалы. – Уфа: Издательство УГНТУ, 2007. – 175 с










































Приложение 1

ДОПОЛНИТЕЛЬНО

Задачи

Тема: Матрицы. Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

Перед выполнением работы рекомендуется изучить следующие вопросы.

Вопросы для изучения:

  1. Виды матриц. Операции над матрицами.

  2. Определители квадратных матриц. Свойства определителей.

  3. Вычисление определителей.

  4. Вычисление обратной матрицы.

  5. Матричные уравнения. Ранг матрицы. Базисный минор.

  6. Основные понятия и определения СЛАУ. Теорема Кронекера-Капелли.

  7. Элементарные преобразования СЛАУ.

  8. Метод Гаусса.

  9. Правило Крамера для решения СЛАУ.

  10. Матричный метод решения СЛАУ.

  11. Однородные системы алгебраических уравнений. Фундаментальная система решений.

  12. Вид общего решения неоднородной СЛАУ. Базисное решение и частное решение СЛАУ.


Задача: Пусть дана система:hello_html_49202590.gif


Доказать совместимость этой системы и решить ее двумя способами:

1.По правилу Крамера.

2.Матричным методом.


Решение: Совместимость системы уравнений устанавливается с помощью теоремы Кронекера - Капели.


Теорема: Для того чтобы система была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы совпал с рангом расширенной матрицы: hello_html_657d30b4.gif

Для совместных систем линейных уравнений верны следующие теоремы:

1.Если ранг матрицы системы равен числу переменных, то есть r = n, то система имеет единственное решение.

2. Если ранг матрицы системы меньше числа переменных, то есть r<n, то система неопределенная и имеет бесконечное множество решений.

В данной задаче составим расширенную матрицу и путем элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:


hello_html_m5d82fed2.gif

Видим, что hello_html_7be3157.gif=4, то есть система совместна и имеет единственное решение, так как ранг расширенной матрицы равен числу неизвестных.


Решим систему по правилу Крамера:


  1. Составим определитель из коэффициентов при неизвестных,

hello_html_m62a00377.gifhello_html_3be33741.gif


2.Составим определители для каждой неизвестной следующим образом:

а) заменим первый столбец в определителе системы на столбец свободных членов системы и назовем его hello_html_209a2d3e.gifи вычислим:

hello_html_d6626b5.gif

б) заменим второй столбец в определителе системы на столбец свободных членов, назовем егоhello_html_m6342deea.gif и вычислим:

hello_html_5f244e7b.gif


в) аналогично вычисляем остальные определители, т.е. hello_html_3ead2d7e.gif:

заменяем третий столбец в определителе системы столбцом свободных членов и вычисляем определитель:

hello_html_m4715f050.gif

По правилу Крамера:

hello_html_2948606d.gif

  1. Решим систему линейных уравнений матричным способом.hello_html_49202590.gif

Составим матрицу, содержащую коэффициенты при неизвестных данной системы:hello_html_9a0768.gif



hello_html_m1c22a99b.gif

Для дальнейшего решения полученного уравнения нужно:


hello_html_3ad2a5bc.gif


Вычислим алгебраические дополнения матрицы А по формуле

hello_html_19bc09a3.gif


hello_html_6912a139.gif

hello_html_m53d4ecad.gif

hello_html_270111a6.gif


hello_html_m2a3c2f87.gif


Запишем обратную матрицу по соответствующей формуле:

hello_html_m78f6f1c8.gif

Решение СЛАУ находим по формуле:


hello_html_m1e5b09c5.gifhello_html_3e96d408.gif



























Приложение 2

Решить

Задачи 1-10.

  1. Решить систему методом Гаусса.

  2. Неизвестные найти методом Крамера.

  3. Решить систему матричным методом.




1.hello_html_m65fe4ba2.gif


2. hello_html_536624e7.gif


3. hello_html_m14754478.gif


4. hello_html_3521aabf.gif


5. hello_html_4f6bed5.gif








6. hello_html_m37f2a9f8.gif

7. hello_html_6ad5e1cb.gif


8. hello_html_2de878ca.gif


9. hello_html_51bfc7e0.gif


10.hello_html_39db8170.gif

Приложение 3

Пример решения контрольной (самостоятельной ) работы

Задание 1. Для данного определителя hello_html_mbcfcf81.gif найти миноры и алгебраические дополнения элементов hello_html_7ce728c3.gif. Вычислить определитель hello_html_mbcfcf81.gif:

1. а) разложив его по элементам i-ой строки; б) разложив его по элементам j-го столбца; в) получив предварительно нули в i-ой строки.

hello_html_m2e9a9373.gif

i = 1, j = 2

Решение: 1. Находим миноры к элементам hello_html_m7ee6f811.gif:

hello_html_m3678b89e.gif

hello_html_m6291db19.gif

Алгебраические дополнения элементов hello_html_m7ee6f811.gif соответственно равны:

hello_html_m2248d3d3.gif

2. а). Вычислим определитель, разложив его по элементам первой строки:

hello_html_m66cdecd.gif

б) Вычислим определитель, разложив его по элементам второго столбца:

hello_html_m56ad05eb.gif

в) Вычисли определитель hello_html_7ec5464c.gif, получив предварительно нули в первой строке. Используем свойство определителей: определитель не изменится, если ко всем элементам какой-либо строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же произвольное число. Умножим третий столбец определителя на 3 и прибавим к первому, затем умножим на (-2) и прибавим ко второму. Тогда в первой строке все элементы, кроме одного, будут нулями. Разложим полученный таким образом определитель по элементам первой строки и вычислим его:


hello_html_m33066a47.gif

В определителе третьего порядка получили нули в первом столбце по свойству тому же свойству определителей.

Задание 2. Даны две матрицы A и B. Найти: а) AB; б) BA; в) hello_html_6eaa52d6.gif; г) hello_html_m67349561.gif.

hello_html_m6a904bd9.gif

Решение: а) Произведение АВ имеет смысл, так как число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. Находим матрицу С=АВ, элементы которой определяются по формуле hello_html_3efe294.gif. Имеем:

hello_html_3c4241ab.gif

б) Вычислим

hello_html_m7584fe37.gif

Очевидно, что hello_html_1d316b5c.gif;

в) Обратная матрица hello_html_4ad3614a.gif матрицы А имеет вид

hello_html_52b16bcf.gif,

где hello_html_m16c14cc9.gif- алгебраическое дополнение, hello_html_e4ddd5d.gif-минор, т.е. определитель полученный из основного определителя вычёркивание i-строки, j-столбца.

hello_html_4cc53faf.gif,

т.е. матрица A - невырожденная, и, значит, существует матрица hello_html_4ad3614a.gif. Находим:


hello_html_m3435b71c.gif


hello_html_m1e912a6f.gif


hello_html_m19a7af22.gif

Тогда

hello_html_2298e732.gif;

г) Проверка

hello_html_47ec5e3c.gif;

Задание 3. Проверить совместность линейной системы уравнений и в случае совместности решить ее а) по формулам Крамера б) методом Гаусса.

hello_html_m57119d2b.gif

Решение: Совместность данной системы проверим по теореме Кронекера - Капелли. С помощью элементарных преобразований найдем ранг матрицы

hello_html_823ad97.gif

данной системы и ранг расширенной матрицы

hello_html_m4cd9e1d3.gif

Для этого умножим первую строку матрицы В на (-2) и сложим со второй, затем умножим первую строку на (-3) и сложим с третьей, поменяем местами второй и третий столбцы. Получим

hello_html_m47000960.gif.

Следовательно, hello_html_6423d22f.gif (т. е. числу неизвестных). Значит, исходная система совместна и имеет единственное решение.


а) По формулам Крамера hello_html_355246e.gif,

где hello_html_54ea6945.gif-главный определитель, который мы посчитаем, например, по правилу треугольника

hello_html_32c58934.gif,

Аналогично найдем hello_html_46f34f40.gif

hello_html_16439c7d.gif,

hello_html_5be4e91d.gif,

hello_html_mdde0052.gif,

Находим: hello_html_m462afc29.gif.

б) Решим систему методом Гаусса. Исключим hello_html_70e022ea.gif из второго и третьего уравнений. Для этого первое уравнение умножим на 2 и вычтем из второго, затем первое уравнение умножим на 3 и вычтем из третьего:

hello_html_7635fe54.gif

Из полученной системы находим hello_html_3bde5e3.gif.

Задание 4. Решить матричное уравнение

hello_html_md5ec697.gif

Пусть hello_html_m419c80f1.gif hello_html_40ae5a99.gif,

hello_html_53674aa6.gifрешение матричного уравнения находим по формуле Х=А -1В , где А -1 обратная матрица

hello_html_m6e545777.gifhello_html_m3d262150.gif- алгебраическое дополнение, где

hello_html_m7d70744e.gif- определитель, полученный из основного вычеркивание i-строки, j-столбца,

hello_html_54ea6945.gif- определитель матрицы.

Найдем обратную матрицу.

hello_html_72c3a8e8.gif(-1)1+14=4 А12=(-1)1+23=-3 А21= (-1)2+12=-2

А22=(-1)2+21=1 detA=hello_html_m7ac1dec8.gif=1*4-2*3=4-6=-2

hello_html_57aa5038.gif

Итак,

hello_html_m423d1aa6.gif

hello_html_7c51490a.gif

Задание 5. Предприятие выпускает три вида продукции, используя сырье трёх видов: hello_html_3b237a3f.gif. Необходимые характеристики указаны в таблице .

Вид сырья

Нормы расхода сырья на изготовление одного вида продукции, усл. ед.

Расход сырья за один день, усл. ед.

сапог

кроссовок

ботинок

S1

S2

S3

5

2

3

3

1

2

4

1

2

2700

900

1600

Найти ежедневный объем выпуска каждого вида продукции.

Решение: Пусть ежедневно фабрика выпускает x1 – единиц продукции первого вида, x2 - единиц продукции второго вида, x3 - единиц продукции третьего вида . Тогда в соответствии с расходом сырья каждого вида имеем систему.

hello_html_b955e92.gif

Решаем систему линейных уравнений любым способом. Решим данную систему, например, методом Гаусса. Составим матрицу из коэффициентов стоящих перед неизвестными и из свободных членов.

Обнуляем первый столбец, кроме первого элемента

1. Первую строчку оставляем без изменения

2. Вместо второй записываем сумму первой, умноженной на -2 и второй, умноженной на 5

3. Вместо третьей записываем сумму первой, умноженной на -3 и третьей, умноженной на 5

Аналогично обнуляем второй столбец под элементом второй строки второго столбца

hello_html_m672416cb.gif˜hello_html_mb3b3a86.gifhello_html_m512d9a8e.gif˜hello_html_7fcbcafe.gif

Вернемся к системе

hello_html_557e81f2.gifhello_html_m36be6f00.gif

Т.е. фабрика выпускает 200- единиц продукции первого вида, 300- единиц продукции второго вида и 200- единиц продукции третьего вида.

Задание 6. Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений.

hello_html_m7e05de7a.gif

Решение: Так как определитель системы

hello_html_m1ddb6698.gif,

то система имеет бесчисленное множество решений. Поскольку hello_html_m30bace0c.gif, hello_html_4cb3cae4.gif, возьмем любые два уравнения системы (например, первое и второе) и найдем ее решение. Имеем:

hello_html_m18d6ff39.gif

Так как определитель из коэффициентов при неизвестных hello_html_70e022ea.gif и hello_html_3e443741.gif не равен нулю, то в качестве базисных неизвестных возьмем hello_html_70e022ea.gif и hello_html_3e443741.gif (хотя можно брать и другие пары неизвестных) и переместим члены с hello_html_5628bf38.gif в правые части уравнений:

hello_html_m4d87099c.gif

Решаем последнюю систему по формулам Крамера :

hello_html_m62ac2af0.gifгде hello_html_m268440f6.gifhello_html_405f8596.gif, hello_html_5b060b3b.gif.Отсюда находим, что hello_html_366fba46.gif Полагая hello_html_m1c95db55.gif, где kпроизвольный коэффициент пропорциональности (произвольная постоянная), получаем решение исходной системы: hello_html_m678177aa.gif.


Задания к самостоятельной работе

Задание 1. Для данного определителя hello_html_mbcfcf81.gif найти миноры и алгебраические дополнения элементов hello_html_m39003f0.gif. Вычислить определитель hello_html_mbcfcf81.gif: а) разложив его по элементам i-ой строки; б) разложив его по элементам j-го столбца; в) получив предварительно нули в i-ой строки.

1.1hello_html_m72da5d34.gif i = 4, j = 1 1.2 hello_html_76d7ae51.gif i = 3, j = 3

1.3 hello_html_6f5e250c.gif i = 4, j = 1 1.4 hello_html_9631cd5.gif i = 1, j = 3

1.5 hello_html_1133e14e.gif i = 2, j = 4 1.6 hello_html_m51101124.gif i = 1, j = 2

1.7hello_html_m62e97b8c.gif i = 2, j = 3 1.8 hello_html_72572b62.gif i = 3, j = 2

1.9 hello_html_m4e5b3322.gif i = 4, j = 3 1.10 hello_html_m38ae43b9.gif i = 4, j = 2

Задание 2. Даны две матрицы A и B. Найти: а) AB; б) BA; в) hello_html_29c8ed85.gif;

г) hello_html_m69ca57c9.gif.

2.1 hello_html_ab3c2c2.gif


2.2 hello_html_m4a58df9e.gif

2.3 hello_html_61e210a6.gif


2.4hello_html_m4b892103.gif

2.5 hello_html_m64f0a0d5.gif

2.5 hello_html_65b24dff.gif

2.6 hello_html_764313ec.gif

2.7 hello_html_m778d4df6.gif

2.8hello_html_ma51ac1a.gif

2.9hello_html_m7ed74354.gif

2.10hello_html_4742d52d.gif

Задание 3. Проверить совместность линейной системы уравнений и в случае совместности решить ее: а) по формулам Крамера; б) методом Гаусса.

3.1hello_html_623add8.gif 3.2 hello_html_1af1842f.gif

3.3 hello_html_m779e3156.gif 3.4 hello_html_m755e2cb7.gif

3.5 hello_html_3ed934a4.gif 3.6 hello_html_m44cde647.gif

3.7 hello_html_5b67b.gif 3.8 hello_html_45be01d.gif

3.9 hello_html_m1d595912.gif 3.10 hello_html_m74222450.gif


Задание 4. Решить матричное уравнение

4.1 hello_html_m3c0a856d.gif 4.2 hello_html_m7c236458.gif

4.3 hello_html_30fd7c69.gif 4.4 hello_html_1f146f57.gif

4.5 hello_html_553ff0c.gif 4.6 hello_html_m311d32aa.gif

4. 7 hello_html_m7629e0dc.gif 4. 8 hello_html_m7cc344ab.gif

4. 9 hello_html_276a0078.gif 4.10 hello_html_4e4f26ad.gif


Задание 5.

5.1. Обувная фабрика специализируется по выпуску изделий трех видов: сапог, кроссовок и ботинок, при этом используется сырьё трёх типов: hello_html_3dcc55db.gif. Нормы расхода каждого из них на изготовление одной пары обуви и объем расхода сырья за один день заданы в таблице.


Вид сырья

Нормы расхода сырья на изготовление одной пары, усл. ед.

Расход сырья за один день, усл. ед.

сапог

кроссовок

ботинок

S1

S2

S3

2

2

2

5

0

1

1

4

1

18

20

10

Найти ежедневный объем выпуска каждого вида обуви.


5.2. Предприятие выпускает изделие трех наименовании: A, B, C при этом используется сырьё трёх типов: hello_html_3dcc55db.gif. Необходимые характеристики указаны в таблице. Требуется определить объем выпуска продукции каждого вида при заданных запасах сырья.


Вид сырья

Расход сырья по видам продукции, вес. ед. /изд.

Запас сырья, вес. ед.

А

В

С

S1

S2

S3

2

2

1

2

1

1

1

1

2

6

5

9


5.3. Из некоторого листового материала необходимо выкроить 360 заготовок типа А, 300 заготовок типа Б и 675 заготовок типа В. При этом можно применять три способа раскроя. Количество заготовок, получаемых из каждого листа при каждом способе раскроя, указано в таблице:

Тип заготовки

Способ раскроя

1

2

3

А

В

С

3

1

4

2

6

1

1

2

5

Найти количество листов материалов, раскраиваемых соответственно первым, вторым и третьим способами.


5.4. Автомобильный завод специализируется по выпуску изделий трех видов: А, В, С, при этом используется сырьё трёх типов: hello_html_3dcc55db.gif. Необходимые характеристики указаны в таблице. Требуется определить объем выпуска продукции каждого вида при заданных запасах сырья.

Вид сырья

Расход сырья по видам продукции, вес. ед. /изд.

Запас сырья, вес. ед.

А

В

С

S1

S2

S3

6

4

5

4

3

2

5

1

3

2400

1450

1550


5.5. Предприятие выпускает изделие трех наименовании: стулья, табуретки и столы, при этом используется сырьё трёх типов: hello_html_3dcc55db.gif. Нормы расхода каждого из них на изготовление одного изделия и объем расхода сырья за один день заданы в таблице.


Вид сырья

Нормы расхода сырья на изготовление одного изделия, усл. ед.

Расход сырья за один день, усл. ед.

стул

стол

табуретка


S1

S2

S3

10

4

6

3

1

2

4

1

2

270

90

160


Найти ежедневный объем выпуска каждого вида продукции.


5.6. Швейное предприятие производит зимние пальто, демисезонные пальто и плащи. Используются ткани трех типов Т1, Т2, Т3. В таблице приведены нормы расхода ткани (в метрах) на каждое изделие и объем расхода сырья за один день заданы в таблице. Найти ежедневный объем выпуска каждого вида изделия.

Вид сырья

Нормы расхода сырья на изготовление одного изделия, усл. ед

Расход сырья за один день, усл. ед.

Зимнее пальто

Демисезонное пальто

Плащ


Т1

10

6

16

270

Т2

4

2

2

90

Т3

6

4

4

160


5.7. Кондитерская фабрика специализируется по выпуску трех видов тортов: “Классический”, ” Идеал “ и “Воздушный” , при этом используется сырьё трёх типов: hello_html_3dcc55db.gif. Необходимые характеристики указаны в таблице. Требуется определить объем выпуска продукции каждого вида при заданных запасах сырья.

Вид сырья

Нормы расхода сырья на изготовление одного изделия, усл. ед.

Запас сырья, усл. ед.

Классический”

"Идеал“

Воздушный”

S1

S2

S3

3

3

6

1

3

2

3

3

1

18

20

10


5.8. Предприятие занимается сборкой бытовой электронной аппаратуры трех наименовании: телевизоров, стереосистем и акустических систем, при этом используется сырьё трёх типов: hello_html_3dcc55db.gif. Нормы расхода сырья на изготовление одного изделия и объем расхода сырья за один день заданы в таблице.


Вид сырья

Нормы расхода сырья на изготовление одной пары, усл. ед.

Расход сырья за один день, усл. ед.

телевизор

стереосистема

акустическая система

S1

S2

S3

10

4

6

6

2

4

8

2

4

270

90

160

Найти ежедневный объем выпуска каждого вида продукции.

5.9. На предприятие с работниками четырех категорий привезли заработную плату в купюрах следующего достоинства: по 100 рублей -1850 купюр, по 50 рублей – 230 купюр, по 10 рублей – 250 купюр, по 1 рублю – 740 купюр. Распределение купюр по категориям представлены в таблице. Определить, сколько сотрудников каждой категории работает на предприятии.

Достоинство купюры, руб.

Распределение купюр по категориям

Общее количество купюр

1

2

3

4

100

50

10

1

9

1

1

2

7

0

1

3

4

1

0

2

2

1

1

1

1850

230

250

740

5.10. Завод производит электронные приборы трех видов (прибор А, прибор В и прибор С), используя при сборке микросхемы трех видов (тип 1, тип 2, и тип 3). Расход микросхем и объем расхода сырья за один день заданы в таблице. Найти ежедневный объем выпуска каждого вида приборов.

Вид сырья

Нормы расхода сырья на изготовление одного прибора, усл. ед.

Расход сырья за один день, усл. ед.

Прибор А

Прибор В

Прибор С

Тип 1

Тип 2

Тип 3

2

2

2

5

0

1

1

4

1

500

400

400


Задание 6. Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений.

6.1 hello_html_m48a69f39.gif 6.2hello_html_mbe4fbd5.gif

6.3 hello_html_6c13106a.gif 6.4 hello_html_7905c782.gif

6.5 hello_html_72edb124.gif 6.6 hello_html_24e72b82.gif

6.7 hello_html_m430f7e8b.gif 6.8 hello_html_m4f2eb26e.gif

6.9 hello_html_d8c3af9.gif 6.10 hello_html_m4c2aaa67.gif















Приложение 4

Применение матриц

Матрицы нашли применение во многих отраслях человеческой деятельности.

  • Матричный язык, обозначения и матричные вычисления широко используются в различных областях современной математики и её приложений. Матрицы являются основным математическим аппаратом линейной алгебры и применяются при исследовании линейных отображений векторных пространств, линейных и квадратичных форм, систем линейных уравнений. Матрицы используются в математическом анализе при интегрировании систем дифференциальных уравнений, в теории вероятностей.

  • Матрицы используются в механике и теоретической электротехнике при исследовании малых колебаний механических и электрических систем, в квантовой механике.

  • При решении задач проектирования дорожных машин возникает необходимость в вычислениях координат вершин тел в пространстве. Такие вычисления удобно производить с помощью матриц в системе МАТLАВ. Предположим, что у нас есть ковш экскаватора, который перемещается в верхней части треугольной системе координат XYZ. Ковш экскаватора имеет сложную поверхность, и его удобней представить в виде куба, в который он заключен, и в дальнейшем работать уже с восемью координатами вершин куба. Матрицу размеров ковша можно задать через восемь координат куба, каждая из которых описывается тремя координатами XYZ. Присвоим l, w, h значения (где l – длина, w – ширина, h – высота ковша) и с помощью функции patch отобразим её и наглядно увидим созданную фигуру.

  • Рассмотрено распространение электромагнитной волны в неоднородной среде, содержащей идеально проводящую плоскость. В модели локально неоднородной среды задача сведена к объемному интегральному уравнению. Получена матрица, решение которой позволило существенно повысить точность вычисления значений вблизи неоднородности.

  • В будущем возможны следующие направления развития фирмы: матричный анализ, применение матриц для оценки сбалансированности номенклатуры и ассортимента товаров, для оценки привлекательности рынка и позиции фирмы.

  • Широкое применение матрицы находят при расчете сооружений с использованием современной вычислительной техники.

  • В экономике применяются матричные модели – балансово-нормативные модели в виде таблиц (матриц), отражающие соотношения затрат и результатов производства, нормативы затрат, производственные и экономические структуры. Применяются в межотраслевом балансе, при составлении техпромфинпланов предприятий и т.д.


С помощью матриц удобно записывать экономические зависимости. Например, таблица распределения ресурсов по отдельным отраслям экономики (усл. ед.)

Ресурсы

Отрасли экономики

промышленность

Сельское хозяйство

Электроэнергия

5,3

4,1

Трудовые ресурсы

2,8

2,1

Водные ресурсы

4,8

5,1

может быть записана в компактной форме в виде матрицы распределения ресурсов по отраслям:

hello_html_m172627ba.gif

В этой записи, например, матричный элемент а11=5,3 показывает, сколько электроэнергии потребляет промышленность, а элемент а22=2,1 – сколько трудовых ресурсов потребляет сельское хозяйство.

Рассмотрим следующую задачу: пусть предприятие выпускает продукцию трех видов: P1, P2, P3 и использует сырье двух типов: S1 и S2. Нормы расхода сырья характеризуются матрицей:

hello_html_1a080387.gif

где каждый элемент аij (i = 1,2,3; j = 1,2) показывает, сколько единиц сырья j-го типа расходуется на производство единицы продукции i-го вида. План выпуска продукции задан матрицей-строкой С = (100 80 130), стоимость единицы каждого типа сырья (ден. ед.) - матрицей столбцом:

hello_html_m44b28955.gif

Рассмотрев задачу, получили: затраты 1-го сырья составляют S1 = 2·100 + 5·80 + 1·130 = 730 ед. и 2-го - S2 = 3·100 + 2·80 + 4·130 = 980 ед., поэтому матрица-строка затрат сырья S может быть записана как произведение:

hello_html_25ab3bc3.gif

Тогда общая стоимость сырья Q = 730·30 + 980·50 = 70900 ден. ед. может быть записана в матричном виде: Q = S·B = (CA)B = (70900).

Общую стоимость сырья можно вычислить и в другом порядке: вначале вычислим матрицу стоимостей затрат сырья на единицу продукции, т.е. матрицу:

hello_html_1b4f5975.gif

а затем общую стоимость сырья:

hello_html_4632af3d.gif

На этом примере мы убедились в выполнении ассоциативного закона произведения матриц: (СА)В = С(АВ).

Проанализировав использования матриц в экономике, мы пришли к выводу, что достоинства матриц состоят в том, что они используют широкий набор стратегически значимых переменных; указывают направление движения ресурсов. Среди недостатков этого инструмента: не обеспечивает реальных рекомендаций по разработке специфических стратегий; по ней невозможно определить сферы бизнеса, которые готовы стать победителями. Также матрицы позволяют с минимальными затратами труда и времени обрабатывать огромный и весьма разнообразный статистический материал, различные исходные данные, характеризующие уровень, структуру, особенности социально-экономического комплекса.







Приложение 5

Образцы решения

Линейная алгебра

Изучить по учебной литературе вопросы:

          1. Матрицы, их виды.

          2. Действия над матрицами.

          3. Определитель матрицы. Вычисление определителей второго и третьего порядков.

          4. Обратная матрица, ее определение и получение обратной матрицы второго и третьего порядков.

          5. Решение матричных уравнений.

          6. Решение системы линейных уравнений по формулам Крамера, в виде матричного уравнения.


Примеры решения задач.

    1. Выполнить действия над матрицами hello_html_41a463e8.gif

Составить матрицу М=(2А – В)hello_html_79c0f69b.gif(В+Е)

Решение

Составим матрицу 2А – В, для чего все элементы матрицы А умножим на 2, а затем из каждого элемента матрицы 2А вычтем соответствующий элемент матрицы В.

hello_html_m147e8933.gif

Составим матрицу В+Е, где матрица Е является единичной матрицей третьего порядка:

hello_html_m2f09ff2.gif

Матрица М является произведением полученных матриц, то есть каждый ее элемент равен сумме произведений соответствующих элементов строки матрицы 2А-В и столбца матрицы В+Е


hello_html_4bdd8a12.gif2. Вычислить определитель матрицы:

а) hello_html_m6c2b7a25.gif

Решение

а) Для вычисления определителя второго порядка воспользуемся правилом, изложенным в учебной литературе:

hello_html_m779aad33.gif


б) Для вычисления определителя третьего порядка воспользуемся одним из правил, называемым разложением по элементам первой строки:

hello_html_23077486.gif

  1. Найти обратную матрицу для матрицы второго порядка hello_html_m14a351ca.gif

Решение

Для получения обратной матрицы А-1 воспользуемся формулой hello_html_75282180.gif, где

hello_html_6160a765.gif

Для проверки можно найти произведение матриц А и А-1; должна получиться единичная матрица второго порядка.


  1. Решить систему уравнений по формулам Крамера hello_html_7b8fdfc0.gif

Решение

Для решения задачи нужно вычислить четыре определителя третьего порядка:

  • главный определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных;

  • дополнительный для х, полученный из главного определителя заменой чисел первого столбца на свободные члены;

  • дополнительный для у, полученный из главного определителя заменой чисел второго столбца на свободные члены;

  • дополнительный для z, полученный из главного определителя заменой чисел третьего столбца на свободные члены;

hello_html_m592c87b7.gif

Для получения значений неизвестных требуется разделить значения дополнительных определителей на главный определитель.

hello_html_m7e01cbc0.gif

Решение задачи можно проверить при помощи найденных значений в уравнения системы.

























Приложение 6

История развития матриц

Впервые матрица под названием "волшебный квадрат" упоминается еще в Древнем Китае. Подобные квадраты чуть позже были известны и у арабских математиков. С развитием теории определителей в конце 17 века швейцарский математик Габриэль Крамер (1704 - 1752) начал разрабатывать свою теорию и в 1751 году, не задолго до своей смерти, опубликовал "правило Крамера" - метод решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с ненулевым определителем матрицы системы. В этот же период появился и "метод Гаусса", применяемый для решения СЛАУ и основанный на последовательном исключении неизвестных.

Как отдельная теория, теория матриц получила свое активное развитие в середине 19 века в работах ирландского математика и физика Уильяма Гамильтона (1805 - 1865) и английского математика Артура Кэли (1821 - 1895). Фундаментальные результаты в теории матриц принадлежат также немецким математикам Карлу Вейерштрассу (1815 - 1897), Фердинанду Георгу Фробениусу (1849 - 1917) и французскому математику Мари Энмону Камиль Жордану (1838 - 1922). Современное название "матрица" было введено английским математиком Джеймсом Сильвестром (1814 - 1897) в 1850 году.
































13


Автор
Дата добавления 16.03.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров239
Номер материала ДВ-531377
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх