Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Методическая разработка по математике на тему "Зачем нужна математика"

Методическая разработка по математике на тему "Зачем нужна математика"


До 7 декабря продлён приём заявок на
Международный конкурс "Мириады открытий"
(конкурс сразу по 24 предметам за один оргвзнос)

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

hello_html_68387b67.gifhello_html_m10046d68.gifhello_html_b94e3e3.gifhello_html_m22acdda0.gifhello_html_m3e886b4.gifhello_html_ma2facb8.gifhello_html_m3e886b4.gifhello_html_ma2facb8.gifhello_html_m3e886b4.gifhello_html_ma2facb8.gifhello_html_ma2facb8.gifhello_html_ma2facb8.gifДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ И МОЛОДЁЖНОЙ ПОЛИТИКИ ХМАО-ЮГРЫ

БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ХМАО-ЮГРЫ

НЯГАНСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ












Методическая разработка

«ЗАЧЕМ НУЖНА МАТЕМАТИКА»














Выполнила

Преподаватель математики

П.М.Ажулаева















г. Нягань

2016

Аннотация

Актуальность данной работы состоит в том, что часто слышу «зачем нам изучать математику». На этот вопрос, так или иначе, пытаются ответить все – преподаватели и студенты на своих занятиях, родители, впрочем, все мы.

Радио в машине транслировало песню. К словам обычно не очень прислушиваешься. Однако первые же слова невольно привлекли внимание: «Мы с одноклассницею загорелой учили алгебру…». Каким будет продолжение этой песни? Впрочем, очевидный (по крайней мере, для автора и исполнителя) вывод был сделан уже к первому припеву: «И мы не знали, что жизнь промчится, и эта алгебра не пригодится…».

Тут есть что возразить, да нет же, очень даже пригодится, и я хочу привести убедительные (на мой взгляд) аргументы и цитаты.

Изучение математики развивает логическое мышление, приучает человека к точности, к умению видеть главное, сообщает необходимые сведения для понимания сложных задач, возникающих в различных областях деятельности современного человека, в данном случае я выбрала профессии нашего колледжа, профессии наших родителей.

Цель работы: изучить литературу по теме, применение в нашей жизни, в профессии, выявить основные, часто встречающиеся проблемы, задачи и способы их решения. Обобщить для использования на уроках и в практической профессиональной деятельности, показать широту применения математических знаний.

Задачи: изучить связи математики и других наук. Выяснить, зачем нужна математика в повседневной жизни. Развить логическое мышление и коммуникативные навыки. Закрепить умение решать бытовые задачи с помощью математики. Улучшить навыки работы с компьютером. Приобрести навыки в поиске и обработке информации. Подчеркнуть важность математики как «царицы наук». Формировать умения грамотно и экономно проводить математические вычисления, расчеты. Показать значимость математических знаний и навыков.

Объект данной работы: математические знания в жизни, профессиональной деятельности.

Предмет: математика в жизни, профессии.

Методы: анализ имеющейся литературы по выбранной проблеме. Выборка основных видов задач и их механизм решения.

Приемы: изучение, исследование, обобщение. Подбор и решение задач с профессиональным содержанием.








Содержание


  1. Аннотация.

  2. Введение.

  3. Немного истории…………………………………………………………4

  4. История развития математики. Зарождение математики. Арифметика каменного века……………………………………………………………5

  5. Причины изучения математики в современном мире………………….7

  6. Математика и школа……………………………………………………...8

  7. Применение математических знаний и расчетов в профессиях……….9

Математика в парикмахерской…………………………………………………9

Быстрое размножение (математика в биологии)………………………………..10

Математика на шахматной доске………………………………………………11

Математика и экономика………………………………………………………..13

Математика и медицина………………………………………………………...14

Математика и беззаконие……………………………………………………….14

Математика и спорт……………………………………………………………..15

Математика и жизнь…………………………………………………………….15

Математика на АЗС……………………………………………………………..16

Математика в профессии……………………………………………………….17

Математика и информатика……………………………………………………19

  1. Реализация практико-ориентированного обучения математике студентов………………………………………………………………….20

  2. Заключение……………………………………………………………….22

  3. Список используемых источников

  4. Приложение




















Так что хочешь быть в жизни успешным, крутым – учи математику!

А ещё и потому, что это интересно, красиво, классно…

Е Бунимович


ВВЕДЕНИЕ

Не каждый человек с начала своего образовательного пути знает, какую профессию он приобретет в будущем, но благодаря ответственному отношению к изучению математики, каждый обучающийся обеспечивает себя необходимыми знаниями, качествами, которые необходимы в его дальнейшей профессиональной деятельности. Ведь не существует профессий, в которых не применялись бы математические знания, приобретенные в школе. Опираясь на эти суждения, исследуем профессии и покажем, что математика необходима в работе и жизни.

Почти каждый человек, выбравший свой жизненный путь, задает себе и окружающим вопрос: «А зачем мне нужен тот или иной предмет?» Хочу (например) быть врачом и математика мне абсолютно не нужна!» А может быть, действительно сделать так, чтобы в школе каждый изучал по несколько предметов, которые он считает нужными для себя?! Оказывается, нет. Все науки взаимосвязаны, и практически не могут существовать друг без друга, но роль математики особенно велика, не зря же, её зовут царицей наук. Вы спросите: «Как такое может быть?» Ответ простой: «Везде есть опыты, в которых без математических знаний и расчетов не обойтись».

Чем занимаются математики и зачем они вообще нужны? Принято считать, что математики сутки напролет сидят за письменным столом, придумывают четырехэтажные формулы и за день изводят по пачке бумаги. Большинство же людей не задумывается, что результаты деятельности математиков они ежедневно видят вокруг себя. Без математических знаний и расчетов невозможны ни архитектура, ни проектирование техники, ни даже составление режима работы светофоров на загруженных магистралях. Ниже собран небольшой список аргументов в защиту тезиса о том, что работа математиков полезна не только для тех, кто знает, что такое математика.

Постоянная, органическая связь теории с практикой обеспечивает такое усвоение, при котором теория становится руководством к действию, к решению практических задач, возбуждает интерес к изучению математики, повышает творческую активность. Знание свойств геометрических понятий с успехом применимо к разрешению многочисленных и разнообразных задач, возникающих в повседневной жизни, в технике, на производстве.

Естественно-математическая подготовка является полноправной и важной составляющей профессионального образования, и осуществлять ее необходимо в соответствии с требованиями.



Тот, кто не знает математики,

не может узнать никакой другой

науки и даже не может обнаружить своего невежества

Роджер Бэкон, XII в.

Немного истории


Что дала математика людям? Зачем её изучать? Когда она родилась, и что явилось причиной её возникновения? Давайте об этом и поговорим.

Мы часто слышим, что математика берет свои корни из глубокой древности, и возникла она из практической потребности людей. По поводу древности математики никто спорить не будет, а вот о том, что побудило людей ею заниматься, существует и другое мнение. Согласно ему, математика, также как и поэзия, живопись, музыка, театр и вообще – искусство, была вызвана к жизни духовными потребностями человека, его, быть может, не до конца осознанным ещё стремлением к познанию и красоте.

В истории математики принято называть первым математиком Фалеса – греческого купца, путешественника и философа (VII век до нашей эры). Конечно, мы знаем и о более ранних источниках – египетских и вавилонских, содержащих разнообразные арифметические и геометрические сведения, но Фалесу приписывают первые математические теоремы, он не был только «чистым» математиком, он решал прикладные задачи. Измерив, тень от египетской пирамиды и тень от шеста и применив свои теоремы о подобии, он вычислил высоту пирамиды. Так, по легенде, родилась наука математика.

В прежние времена, вплоть до конца XIX столетия, математикой занимались немногие. Сейчас ей посвящают жизнь десятки, а возможно, и сотни тысяч людей. Одних вдохновляет прикладной аспект математики, других – её внутренняя красота и гармония, а третьих привлекает и то и другое.

Математика – одна из древнейших наук, настолько многогранна и объемна, что сказать краткое определение сложно. В состав математики входят: алгебра и геометрия, теория вероятностей и математическая статистика, дифференциальное исчисление и программирование для ЭВМ, вычислительные методы, а также применение названных дисциплин для моделирования производственных процессов, обработки опытных данных, передачи информации и ее обработки. Однако и тем, что перечислено, не исчерпывается содержание математики. Теория множеств, математическая логика, оптимальное управление, теория случайных процессов и многое другое также входят в ее состав. Попытки определить математику путем перечисления составляющих ее ветвей уводят нас в сторону, поскольку не дают представления о том, что же именно изучает математика и каково ее отношение к окружающему миру. Не существует таких явлений природы, технических или социальных процессов, которые были бы предметом изучения математики, но при этом не относились бы к явлениям физическим, биологическим, химическим, инженерным или социальным. Математика изучает не материальные предметы, а методы исследования и структурные свойства объекта. Математический результат обладает тем свойством, что его можно не только применять при изучении какого-то одного определенного явления или процесса, но и использовать для исследования других явлений, физическая природа которых принципиально отлична от ранее рассмотренных. Так, правила арифметики применимы и в задачах экономики, и в технических вопросах, и при решении задач сельского хозяйства, и в научных исследованиях. Арифметика представляет собой составную часть математики, ее традиционная часть уже не подвергается творческому развитию в рамках математики, но она находит и будет в дальнейшем находить многочисленные новые применения.

И теперь мы коснулись вопроса о пользе математики в жизни человечества. Мы уже сказали, что роль ее велика, и бесспорно участие в любой сфере науки и жизни общества. Но проследить этот процесс развития математики и общества можно только благодаря истории.


История развития математики

Зарождение математики

Арифметика каменного века

Математика – самая древняя наука, игравшая важнейшую роль в жизни и деятельности человека на всех исторических этапах, т.к. людям всегда нужно было что-либо считать и чертить, измерять и вычислять, прогнозировать и проектировать, создавать новое.

Отношение к математике как особой отдельной науке, сложилось ещё в Древней Греции в VI-V вв. до нашей эры. Ведь недаром термин "математика" происходит от греческого слова "матейн" (mathein) - учиться, познавать. Древние греки считали, что понятия "математика" (mathematike) и "наука", "познание" (mathema) - синонимы.

Другое объяснение происхождения слова "математика" связано с греческим словом "матема" (mathema), что означает урожай, сбор урожая. Разметка земельных участков (геометрия), определение сроков полевых работ (на основе астрономических наблюдений и вычислений), подготовка необходимого количества посевных материалов и подсчет собранного урожая требовали серьезных математических знаний. Например, более 8 тысяч лет тому назад древние пастухи делали из глины кружки – по одному на каждую овцу. Если овцы приносили приплод, пастух прибавлял к кружкам новые, а если часть овец шла на мясо, то несколько кружков убирали.

Первыми понятиями математики, с которыми столкнулись люди, были «меньше», «больше» и «столько же». Если одно племя меняло пойманных им рыб на сделанные людьми другого племени каменные ножи. Не нужно было считать, сколько принесли рыб и сколько ножей: достаточно было, положить рядом с рыбой один нож и обмен состоялся.

Возникновение земледелия, получение устойчивых урожаев на одном месте из года в год, способствовало созданию поселений, городов, а затем и государств, где в дальнейшем стала зарождаться наука. Общественные потребности привели к появлению письменности: иероглифов в Египтe, клинописи в Вавилоне, к возникновению астрономических и математических знаний.

В Египте и Вавилоне зародились зачатки математических знаний, сформировалась фундаментальная идея числа, и основные операции с числами. Здесь были заложены основы геометрии. Здесь человек впервые описал звездное небо, движения Солнца, Луны и планет, научился наблюдать небесные светила и создал основы измерения времени, заложил основы алфавитного письма. Хозяйственные записи в Египте вели писцы. Известные памятники II тысячелетия – папирус Ринда, хранящийся в Британском музее, и Московский папирус - содержат решение различных задач, встречающихся в практике, математические вычисления, вычисления площадей и объемов. Египтяне разработали календарь, состоявший из двенадцати месяцев по 30 дней и пяти дополнительных дней в году. Определение времени начала разлива Нила требовало тщательных астрономических наблюдений. А для развития астрономии нужна была математика. Грандиозные сооружения древних государств (храмы, крепости, пирамиды, обелиски) требовали знаний строительной механики и статики. При строительных работах находили применение простые машины: рычаги, наклонные плоскости. Практические потребности способствовали зарождению научных знаний арифметики, геометрии, алгебры, астрономии, механики и других естественных наук.

Вывод: математика египтян и вавилонян носила практический характер и выросла из потребностей хозяйственной и строительной практики. Сферами приложения математики постепенно становилось практически все: землемерие, строительство, гидротехнические работы, мореплавание, торговля, геодезия, картография, небесная механика, механизмы, боевые машины. Многие научные открытия (в физике, биологии, химии, астрономии, космонавтике и т. д.) были сделаны «на кончике пера», т.е. путем математических знаний и расчетов.













Причины изучения математики в современном мире

Математика объединяет дисциплины: арифметика, алгебра, геометрия, математический анализ, теория множеств, теория вероятностей и многое другое.

Математику применяем (часто не замечая этого), когда ходим в магазин, готовим обед, звоним по телефону, моем полы, играем. Это знания о величинах, характеризующих площади, объёмы, промежутки времени, скорости и многое другое. А стоит только вытянуть вперед руки и взглянуть на пальцы, и вот он – мир математики! Всё это приходит к людям на уроках математики и применяется для ориентации в окружающем мире.

Существуют три важные причины, почему следует учить математику.

Первая из них - математические вычисления. Это умение очень нужно в жизни, поскольку мы живём в цивилизованном обществе, и его приходится использовать практически ежедневно. Мы считаем с детства и до самой старости. Считают школьники и домохозяйки, ученые и бизнесмены.

Вторая причина – изучение математики способствует физическому развитию мозга, так как нельзя научиться применять свои знания, без умения мыслить. Например – И.Г. Александров в 1932 году, строитель Днепрогэса, инженер, академик говорил: «Инженер, не владеющий математическими методами, – это не инженер. Инженер в полном смысле этого слова немыслим без знания математики. Ничего нельзя сделать без математики: мост построить нельзя, плотину – нельзя, гидростанцию – нельзя».

Третья причина нужды человечества в математике является воспитание в человеке способности понимать смысл поставленной перед ним задачи, умение правильно, логично рассуждать, усвоить навыки алгоритмического мышления. Каждому надо научиться понимать смысл поставленной задачи, отчётливо выражать свои мысли, предугадать путь решения и т. д.

Приведу результаты опроса, проведенного социологами Фонда «Общественное мнение» (ФОМ). Как выяснили социологи, большинству россиян в жизни пригодились знания по математике. И что самое интересное: есть прямая зависимость между склонностью к точным наукам и высокими заработками, карьерными успехами – во взрослой жизни. Почти 90% россиян утверждают, что в жизни им пригодились знания, полученные на уроках математики. Естественно почти всем пригодились навыки арифметических операций и устного счета (которые, увы, постепенно исчезают навыков счета). 53% оказалось полезным умение подсчитывать дроби и проценты, знания по геометрии пригодились почти четверти участникам опроса. Упоминались достаточным числом респондентов функции и графики, уравнения и неравенства. Хуже с синусами, логарифмами и интегралами.

Однако большинство понимает, что дело не в конкретных темах. Люди в основном понимают, что уроки математики развивают мышление, логик, «ум в порядок приводят», учат радоваться новым знаниям и преодолевать трудности. Хотя, конечно есть и те, которые радовались звонку на перемену с урока математики. Впрочем, и они понимают и признают значимость знаний по математике и необходимость элементарных знаний в расчетах и логической цепочке поставленной задачи и проблемы в практической деятельности.

При этом 7% опрошенных считают школьную программу простой, 16% считают сложной, а основная часть (71%) – именно такой, какой она должна быть. При этом тех, кому нравились уроки математики практически вдвое больше, чем тех, кому они не нравились (61% против 31%).

И вот что особенно хочу отметить. Чаще других говорили, что уроки математики им нравились, те наши соотечественники, которые нынче получают высокие зарплаты, а также россияне с высшим образованием вне зависимости от их специальности (73%), а также самые продвинутые, успешные, обеспеченные (70%).

Вывод: без знания математики вся современная жизнь была бы невозможна. У нас не было бы хороших домов, потому что строители должны уметь измерять, считать и сооружать. Наша одежда была бы очень грубой, так как ее нужно хорошо скроить, а для этого точно все измерить. Не было бы ни железных дорог, ни кораблей, ни самолетов, никакой большой промышленности. Не было бы радио, телевидения, кино, телефона и тысячи других вещей, составляющих часть нашей цивилизации. Использование математики, измерение «насколько?», «как долго?» являются жизненно необходимой частью мира, в котором мы живем.



Математика и школа

Многие великие люди имели своё мнение относительно школьной математики.

«Математике должно учить в школе еще с той целью, чтобы познания, здесь приобретаемые, были достаточными для обыкновенных потребностей в жизни» говорил И. Л. Лобачевский.

Благодаря математическим знаниям и навыкам, полученным в школе, мы решаем не только арифметические задачи, но и применение знаний в различных жизненных ситуациях.

Одним математика нужна для развития терпения, трудолюбия. Другим это занятие придает уверенность в себе. Третьи узнают об интересных людях (например, об Архимеде). Некоторым математика приятна как наука, большинство осознает ее необходимость в будущей профессии.










Применение математических знаний и расчетов в профессиях

Математика в парикмахерской

Может ли алгебра понадобиться в парикмахерской? Оказывается, что

такие случаи бывают. Мастер, выполняя свою работу, обратился к секретарю с неожиданной просьбой:

- Не поможете ли нам разрешить задачу, с которой мы никак не справимся?

- Уж сколько раствора испортили из-за этого! – добавил другой мастер.

- В чем задача? – поинтересовалась девушка.

- У нас имеется два раствора перекиси водорода: 30-процентный и 3-процентный. Нужно их смешать так, чтобы составился 12-процентный раствор. Не можем подыскать правильной пропорции…

Секретарша взяла листочек, и требуемая пропорция была найдена.

Она оказалась очень простой. Какой именно?


Решение.


Задачу можно решить и арифметически, но язык алгебры приводит здесь к цели проще и быстрее. Пусть для составления 12-процентной смеси потребуется взять

x граммов 3-процентного раствора и

у граммов 30-процентного.

Тогда в первой порции содержится 0,03х граммов чистой перекиси водорода, во второй 0,3у, а всего (0,03х + 0,3у).

В результате получается (х + у) граммов раствора, в котором чистой перекиси должно быть 0,12(х + у).

Имеем уравнение

0,03х + 0,3у = 0,12(х + у).

Из этого уравнения находим х = 2у, т.е. 3-процентного раствора надо взять вдвое больше, чем 30-процентного.




Быстрое размножение

(математика в биологии)

Спелая маковая головка полна крошечных зернышек: из каждого

может вырасти целое растение. Сколько же получится маков, если зернышки все до единого прорастут? Чтобы узнать это, надо сосчитать все зернышки в целой головке. Скучное занятие, но результат так интересен, что стоит запастись терпением и довести счет до конца. Оказывается, одна головка мака содержит 3000 зернышек.

Что отсюда следует? То, что будь вокруг нашего макового растения достаточная площадь подходящей земли, каждое упавшее зернышко дало бы росток, и будущим летом на этом месте выросло бы уже 3000 маков. Целое маковое поле из одной головки!

Посмотрим же, что будет дальше. Каждое из 3000 растений принесет не менее одной головки, содержащей 3000 зерен. Проросшие, семена каждой головки дадут 3000 новых растений, и, следовательно, на второй год у нас будет уже не менее 3 000 3 000 = 9 000 000 растений. Легко рассчитать, что на третий год число потомков нашего единственного мака будет уже достигать 9 000 000 3 000 = 27 000 000 000. А на четвертый год 27 000 000 000 3 000 = 81 000 000 000 000. На пятом году макам станет тесно на земном шаре, потому что число растений сделается равным

81 000 000 000 000 3 000 = 243 000 000 000 000 000.

Поверхность же всей суши, т.е. всех материков и островов земного шара, составляет только 135 миллионов квадратных километров, - 135 000 000 000 000 кв.м. – примерно в 2 000 раз менее чем выросло бы экземпляров мака.

Вы видите, что если бы все зернышки мака прорастали, потомство одного растения могло бы уже в пять лет покрыть сплошь всю сушу земного шара густой зарослью по две тысячи растений на каждом квадратном метре. Вот такой числовой великан скрывается в крошечном маковом зернышке!

Сделав подобный расчет не для мака, а для какого-нибудь другого растения, приносящего меньше семян, мы пришли бы к такому же результату, но только потомство его покрыло бы всю Землю не в 5 лет, а в немного больший срок. Возьмем хотя бы одуванчик, приносящий ежегодно около 100 семянок. Если бы все они проросли. Мы имели бы:

в 1 год 1 растение

2 100 растений

3 10 000 растений

4 1 000 000 растений

5 100 000 000 растений

6 10 000 000 000 растений

7 1 000 000 000 000 растений

8 100 000 000 000 000 растений

9 10 000 000 000 000 000 растений.


Это в 70 раз больше, чем имеется квадратных метров на всей суше.

Следовательно, на 9-ом году материки земного шара были бы покрыты одуванчиками, по 70 на каждом квадратном метре.

Почему же в действительности не наблюдаем мы такого чудовищно быстрого размножения? Потому, что огромное число семян погибает, не давая ростков: или они не попадают на подходящую почву и вовсе не прорастают, или, начав прорастать, заглушаются другими растениями, или же, наконец, просто истребляются животными. Но если бы этого массового уничтожения семян и ростков не было, каждое растение в короткое время покрыло бы сплошь всю нашу планету.


Математика на шахматной доске

У шахмат и математики много родственного. Выдающийся математик Гофри Харальд Харди заметил однажды, что решение проблем шахматной игры есть не что иное, как математическое упражнение, а сама игра – насвистывание математических мелодий. Формы мышления математика и шахматиста довольно близки, и не случайно математики часто бывают способными шахматистами.

Шахматная математика – это один из самых популярных жанров занимательной математики, логических игр и развлечений.

Индийский царь, впервые познакомившись с шахматами, восхитился их своеобразием и обилием красивых комбинаций. Узнав, что замечательную игру изобрёл его подданный, царь призвал к себе мудреца, желая лично наградить за выдумку. Властелин обещал выполнить любую его просьбу и был удивлен, когда тот попросил лишь некоторое количество пшеничных зёрен. На первое поле клетки доски он попросил положить одно зерно, на второе – два и так далее: на каждое последующее поле нужно было класть вдвое больше зерен, чем на предыдущее. Царь распорядился побыстрее выдать изобретателю его ничтожную награду. Однако на следующий день придворные математики сообщили своему повелителю, что для выполнения его приказа не хватит пшеницы, хранящейся не только в амбарах всего царства, но и во всех амбарах мира. Мудрец скромно потребовал: 1 + 2 + 22 + … + 263 = 264 - 1 зерно. Это число записывается двадцатью цифрами и фантастически велико.

Шахматная доска может быть использована и для решения математических задач. Шахматный король гроссмейстер Михаил Таль в детстве был потрясен доказательством теоремы, которую нерадивые школьники произносят так: «Пифагоровы штаны во все стороны равны». Нарисуем на шахматной доске квадрат (Рис. 1). Доска разбивается на пять частей – сам квадрат и четыре одинаковых прямоугольных треугольника. А теперь посмотрим на рисунок 2. здесь те же четыре треугольника, а вместо одного квадрата уже два, но меньшего размера. Треугольники на обоих рисунках одни и те же, а, значит, их площади равны. Следовательно, равную площадь занимают и оставшиеся части доски: на первом рисунке один квадрат, на втором – два. Поскольку большой квадрат построен на гипотенузе прямоугольного треугольника, а маленькие – на его катетах, получаем, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Рисунок 1 Рисунок 2


А вот такая задача: «Удастся ли плотно покрыть костями домино размером 2 hello_html_m41c5bbfd.gif 1 доску 8 hello_html_m41c5bbfd.gif 8 квадратов, из которой вырезаны противоположные угловые квадраты?» (рис. 3)


Решение.


Можно было бы заняться алгебраическими рассуждениями, но шахматное решение и проще и изящнее. Окрасим урезанный квадрат черным и белым цветами, превратив его в шахматную доску без угловых полей а1 и h8 (рис. 4). При искомом покрытии доски каждая кость домино занимает одно белое и одно черное поле, и, значит, весь набор костей (31 штука) покрывает одинаковое число белых и черных полей. Но на урезанной доске черных полей на два меньше, чем белых (вырезанные поля черные), и, следовательно, необходимого покрытия доски не существует!

Рисунок 3 Рисунок 4


Раскраска доски не только помогает шахматисту ориентироваться во время игры, но и позволяет решать необычайные математические головоломки. «Красиво, ничего не скажешь!» - воскликнул чемпион мира по шахматам Гарри Каспаров, когда познакомился с решение задачи.


Математика и экономика

Начиная с середины 1990-х годов, в лексикон участников научных конференций вошло странное слово-гибрид – эконофизика. Этот термин был придуман американским физиком Гарри Стэнли (Harry Stanley) для объединения множества исследований, в которых типично физические методы и приемы использовались при решении экономических задач.

Физики и математики пришли на помощь экономистам, так как те не могли справиться с растущим потоком данных, используя применимые в экономике методы анализа. Оказалось, что многие экономические явления, например, развитие фондовых рынков или инфляция, хорошо описываются при помощи математического аппарата теории хаоса или законов, которым подчиняется поведение динамических систем.

Свежий взгляд математиков на экономику позволил выявить несколько нетривиальных закономерностей, которые управляют движениями денежных потоков и ценных бумаг. В 2006 году в авторитетном физическом журнале Physical Review Letters появилась статья японских эконофизиков, которые сравнили динамику фондовых рынков с фазовыми переходами в системе конденсированных сред.

Фазовым переходом называют переход вещества из одного термодинамического состояния в другое. Характерным примером фазового перехода является замерзание воды при опускании температуры ниже нуля градусов Цельсия (при нормальном атмосферном давлении). Кристаллы льда образуются по всей емкости с водой практически мгновенно после того, как будет преодолена критическая точка. Авторы работы показали, что обвалы на фондовых рынках подчиняются тем же законам – до определенного момента ситуация стабильна, но после “перевала” индексы начинают необратимо падать.

Оперируя теми же законами, что и японские ученые, российский математик Виктор Маслов, по его словам, предсказал экономический кризис 2008-2009 годов за шесть месяцев до его начала. О способности предвидеть будущее фондовых рынков в 2009 году заявила группа эконофизиков из Швейцарии и Китая. Проанализировав динамику китайского фондового индекса Shanghai Composite, исследователи заключили, что он представляет собой надувающийся пузырь и предсказали дату, когда пузырь должен лопнуть.

В назначенный срок значение индекса не изменилось, но, спустя несколько дней он резко упал. Пока ученые не могут однозначно сказать, было ли это то самое предсказанное эконофизиками падение, или же совпадение по времени было случайным. Коллеги “ясновидцев” также не исключают, что именно их работа и спровоцировала падение индекса – фондовые рынки очень чувствительны к прогнозам, как позитивным, так и негативным (можно ожидать, что в скором времени эта их особенность также будет формализована).

Помимо составления прогнозов математики находят скрытые закономерности в уже произошедших событиях. Последний финансовый кризис, подкосивший экономики всех без исключения стран, многие сравнивали с цунами. Математик из Нью-Йорка Реджинальд Смит (Redginald Smith) считает, что его развитие, скорее, напоминает эпидемию инфекционного заболевания. В своей статье, опубликованной в журнале Physical Society of Korea, ученый выявил очаг заболевания и проследил динамику его распространения по миру.


Математика и медицина

Если выводы Смита подтвердятся, то его работа окажет весомую услугу экономистам. Математики очень давно изучают развитие эпидемий и обнаружили огромное количество законов, которые управляют заражением в популяциях людей и животных. В последние годы список инфекционных агентов, чья деятельность была описана языком формул, пополнили компьютерные вирусы. Летом 2009 года канадские математики рассчитали последствия появления на Земле зомби-вируса.

Оказалось, что единственным средством против живых мертвецов является их тотальное уничтожение. Более мягкие методы борьбы с зомби-инфекцией бессильны, так как они не учитывают способность зомби “рождаться” после смерти. Авторы необычной работы отмечают, что зомби очень быстро полностью уничтожат человечество, если люди не предпримут немедленных мер сразу после выявления первых живых мертвецов. Работа математиков будет полезна не только режиссерам фильмов ужасов. Авторы отмечают, что выявленные закономерности вполне применимы для описания распространения скрытых инфекций, а также идей.


Математика и беззаконие

Услугами математиков с удовольствием пользуются не только экономисты и врачи. Еще одни постоянные клиенты – это сотрудники спецслужб. Помощь математиков необходима им для реализации важнейшей задачи – борьбы с терроризмом. Террористические организации во многом остаются terra incognita – внедрить в них агентов чрезвычайно трудно, появляющиеся “на людях” террористы чаще всего погибают вместе со своими жертвами, а пойманные “не колются” даже при использовании агрессивных методов допроса.

Математики смогли вывести закономерности функционирования террористических группировок, ориентируясь только на внешние проявления их деятельности. Группа американских ученых пришла к выводу, что террористические организации можно представить как производственные предприятия, основным продуктом которых является насилие. Исходя из характеристик конкретного террористического “предприятия”, математики могут предположить, какой метод борьбы с ним окажется наиболее эффективным.

Математика и спорт

Немало интересных закономерностей математики обнаружили в спорте. В числе прочего они объяснили, почему левши имеют преимущество при игре в бейсбол, вывели связь между длиной пятки и спринтерскими качествами спортсмена, определили идеальную форму шара для гольфа и разработали наиболее эффективную тактику удара клюшкой.


Математика и жизнь

Строгие математические законы оказались пригодны и для описания такого, казалось бы, не формализуемого явления как поведение людей. В конце августа 2009 года в Сети появилась работа японских физиков, которые предложили наиболее эффективный способ эвакуации . Ученые показали, что отличным способом ускорения выхода людей из помещения является препятствие, установленное непосредственно перед дверью с одной стороны от нее. Исследователи не только объяснили этот необычный вывод при помощи формул, но также подтвердили его экспериментально.

Годом ранее физик из Национальной лаборатории имени Энрико Ферми в Чикаго предложил наиболее эффективный способ посадки в самолет. Ученый подсчитал, что его метод позволит сократить время посадки от четырех до десяти раз. Традиционный метод запуска пассажиров на борт от хвоста к голове оказался в числе самых неэффективных из всех возможных: даже посадка людей в салон в случайном порядке занимает меньше времени.

Математики не испугались даже такого грозного явления как революция. Ученые описали развитие революционных ситуаций, используя в качестве теоретической модели плоскость с помещенными на нее частицами, движущимися в разные стороны. Как оказалось, стратегия, которую использовали Ленин или Робеспьер, вполне подходит и для внедрения на рынок новых продуктов.

Если развитие математики продолжится теми же темпами, то можно ожидать, что когда-нибудь им удастся описать практически все реалии жизни на Земле. Китайские философы приблизились к этой цели еще много тысяч лет назад: им удалось свести жизнь мужчины к числу восемь, а жизнь женщины – к числу семь. Впрочем, вряд ли это открытие имеет отношение к математике.


Математика на АЗС

Математика, как мы уже убедились, помогает не только людям различных профессий, но и может взять на себя решение комплекса задач. Рассмотрим работу АЗС, ведь данный объект – это «клубок» математических задач. На первый взгляд, здесь нет ничего особенного. Всего лишь бензин и автомобили. Но это не так. Давайте рассмотрим 4 основные, простейшие задачи.

Задача №1.

Водителю нужно купить фиксированное количество литров. Например, 20 л.

Решение.

S=cx где,

S- сумма, которую необходимо заплатить водителю;

с – стоимость за литр бензина;

х - количество литров, покупаемых водителем.

В рассматриваемом случае, при цене 20 р. за литр бензина S=400 рублей.

Оператор АЗС получает с водителя в кассу данную сумму, дает команду с пульта управления на бензоколонку, чтобы автомат отпустил бензин.

Задача №2.

Водителю необходимо купить бензина на фиксированную сумму денег. Например, 500 рублей.

Решение.

hello_html_m5c91a77e.gifгде,

S- сумма, которую необходимо заплатить водителю;

с – стоимость за литр бензина;

х - количество литров, покупаемых водителем.

В рассматриваемом случае, при цене указанной выше, получается 25 литров. Оператор, получив деньги, выполняет операцию, описанную выше.

Задача №3.

Водителю нужно залить полный бак.

Решение.

Оператор дает на колонку команду и ему приходит ответ, какое количество бензина залито в бак (особенности устройства автозаправки), далее идет решение, рассмотренное в задаче №1. Остается получить деньги с покупателя.

Задача № 4.

Как правило, на АЗС 5-6 видов топлива и у всех разная цена. Так же по 8-10 заправочных колонок. В конце смены нужно свести кассу (темы « математика в экономике» мы касались выше). Но, нужно принять во внимание, что в кассе есть остаток от предыдущего дня. И при условии, что каждому виду топлива соответствует одна колонка.

Решение.

hello_html_74770a9f.gif

где S – сумма денег в кассе на момент подсчета,

Sост - сумма денег на предыдущий день = const,

Sобщ – сумма денег в кассе на рассматриваемый (сегодняшний) день.

В свою очередь hello_html_686bcb1c.gif

И далее hello_html_mbc9ec34.gif где Si – сумма денег, полученная за реализацию i топлива, Ci – цена i топлива.

Подставим все в первоначальную формулу и получим окончательную:

hello_html_4cebb22f.gif

Но на самом деле задачи перед математикой на АЗС гораздо сложнее, т.к. мы рассмотрели примеры, когда одному виду топлива соответствует одна заправочная колонка. В действительности их может быть 2 или 3. Так же мы не учитывали время работы.

Кроме того, на АЗС предусмотрены скидки для различных клиентов (оптовые, скидки по картам и т.д.). Таким образом, для одного вида топлива может существовать несколько цен, т.е. приведенная конечная нами формула для подсчета денег будет иметь более сложный вид.

Но и все это отражает далеко не все проблемы, стоящие перед руководителями и работниками АЗС:

- как рассчитать необходимое количество топлива, которое необходимо заказать на будущий период (неделя, месяц, квартал);

- какова прибыль будет получена по периодам времени в течение всего года;

- какова рентабельность данного вида деятельности;

Эти и другие многие сложные задачи невозможно решить без помощи математики.


Математика в профессии

Бухгалтер – это своеобразный контролёр всей финансовой деятельности предприятия, призванный создавать оптимальные комбинаций материальных трат с целью получения наибольшей выгоды.

Эта работа требует большого спектра умений. В компетенцию такого входит учёт и контроль основных, хозяйственных, товароматериальных средств предприятия затрат на производство и продажу выпускаемых товаров, а также различные операции в отношениях с заказчиками, начисляет зарплату, отпускные, больничные. Она вообще не мыслима без основ математики. Так как необходимо производить оплату услуг партнеров, поставок различных материалов, делать начисления заработной платы и тут уж точно без математики никуда, ведь надо произвести сотни тысяч арифметических действий.

Вся эта забота отнимала бы огромное количество времени, если бы проводилась без помощи вычислительной техники.

Например, необходимо сложить множество больших чисел. Если вести подсчеты в столбик на бумаге. То на это, скорее всего, уйдет уйма времени. Опытный бухгалтер справится с этим заданием с применение счет за более короткий промежуток времени. А электронно-вычислительной машине необходимо для такой работы всего лишь доли секунды. Более того, она проверяет вычисления несколько раз.

Штукатур-маляр выполняет различные виды отделочных и малярных работ, занимается ремонтом наружных и внутренних поверхностей зданий. Также подбирает составы подходящего качества и цвета. Подготавливает растворы, работает с различными видами штукатурки, облицовывает стены плиткой. Занимается окраской, оклейкой обоями. Математика нужна, чтобы правильно рассчитать количество строительных материалов для проведения ремонтных работ. Например, чтобы оклеить комнату, она должна произвести расчёт площади поверхности оклеиваемых стен, а только затем выписать необходимое количество рулонов обоев. Чтобы подготовить стены к покраске, необходимо рассчитать количество раствора для замазки.

Водитель - перевозит боксит, добытый в карьере, следит за техническим состоянием машины и при необходимости выполняет ремонт.

Для осуществления бесперебойной работы водитель должен следить, чтобы загрузка машины осуществлялась в соответствии с её грузоподъёмностью. Также он должен рассчитывать количество рейсов за смену, расстояние, а значит и количество топлива, которое ему понадобится.

Математика нужна в практической деятельности техников и инженеров, а также во многих других квалифицированных рабочих профессиях (См. Профессия техник).

Математика как наука является основой инженерного дела. Ведь необходимо производить многочисленные расчеты параметров работы разнообразных инженерных узлов, а также много иных расчетов, чтобы наши дома были наполнены светом и теплом. (См. Профессия инженер).

Для профессии «Сварщик» профессионально значимыми являются, в первую очередь, знания и навыки расчетного характера, умение выполнять действия с числами разного знака, оперировать обыкновенными и десятичными дробями, в том числе приближенными, умение оперировать процентами, знание понятий и свойств геометрического характера, что требует к тому же уверенного владения навыками работы на калькуляторе. В техническом обиходе активно используются такие математические понятия, как соотношение величин, пропорции, прямая и обратная пропорциональные зависимости, степень числа, решаются уравнения. Знание свойств геометрических понятий с успехом применимо к разрешению многочисленных и разнообразных задач, возникающих в повседневной жизни, в технике.

Будущие сварщики учатся вычислять режимы источников питания (подсчет режима сварки в зависимости от источника питания), рассчитывать расход металла (электродного) при изготовлении изделия, производить расчет длины сварки швов при изготовлении изделий.


Математика и информатика

Современные компьютеры в сотни тысяч раз быстрее работают, чем человек. А вот создание и управление такими машинами было бы невозможно без математики (См. Профессии, связанные с компьютерами). Зато область применения машин практически безгранична.

1be684ca1ca4

Можно пойти на риск и сравнить компьютер с каким-либо музыкальным инструментом, к примеру, с пианино. Прежде чем вы коснетесь клавиш, этом инструмент построили мастера, а композиторы написали музыку на понятном для каждого языке – нотными знаками. Точно также происходит и с компьютерами: есть люди, создающие аппаратуру, и те, кто создает музыку – то есть компьютерные программы.

Например, чтобы предсказать завтрашний прогноз погоды, необходимо было проделать множество арифметических действий. При расчете вручную два специалиста затратили бы на эти вычисления около пяти лет, а машина справилась с этой работой за час.

Во многих крупных аэропортах компьютеры вместо человека-диспетчера управляют взлетом и посадкой летательных аппаратов.

Компьютер оказывается лучшим диспетчером, нежели человек: он быстрее думает, не нервничает, не знает усталости и практически никогда не допускает ошибок.

Вот и выходит, что при помощи электронно-вычислительной техники математика может управлять полетами самолетов.

И любая такая машина подчиняется математическим законам, но создана она именно людьми, которые обладают высокими математическими познаниями.


Реализация практико-ориентированного обучения математике студентов

Необходимость взаимосвязи общеобразовательной и профессиональной подготовки специалистов заложена в специфике учебных заведений, что закономерно ведет к тому, чтобы обучение математике имело профессиональную направленность.

В «Концепции модернизации российского образования сказано: «основная цель профессионального образования - подготовка квалифицированного работника соответствующего уровня и профиля, конкурентоспособного на рынке труда, компетентного, ответственного, свободно владеющего своей профессией и ориентированного в работе по специальности на уровне мировых стандартов, готового к постоянному профессиональному росту, социальной и профессиональной мобильности, удовлетворению потребностей личности в получении соответствующего образования».

Профессиональная направленность обучения рассматривается, во-первых, как средство: с помощью математики сделать процесс обучения профессионально-ориентированным. Во-вторых, рассматривается как форма специфической межпредметной связи и характеризуется как специализированная взаимосвязь общеобразовательных и профессиональных знаний.

Профессиональную направленность обучения математике осуществляют через специально подобранную систему задач, содержание которых должно быть типичным для технического профиля. Опосредованная связь заключается в формировании с помощью математики некоторых свойств мышления (технического мышления), которые позволяют студентам осуществлять математизацию произвольных ситуаций не только при изучении общетехнических, специальных дисциплин, но и в будущей профессиональной деятельности.

Развитию мышления технического типа способствуют занятия по аналитической геометрии, а также по техническому черчению и инженерной (компьютерной) графике - дисциплинам, которые изучают многие студенты технических специальностей. В качестве ведущих компонентов геометрической деятельности (при изучении различных геометрий и черчения) можно выделить конструктивно-образный, интуитивный и логический, которые в основном, реализуют задачу пространственных представлений. Причем логический компонент является средством анализа ситуаций, создаваемых в результате конструктивно-образной и интуитивной деятельности студентов. Применение пространственных представлений развивает математическую интуицию, основанную на геометризации математических знаний, что необходимо в будущей профессиональной деятельности технических специальностей.

Будущий технарь, изучая специальные предметы, постоянно сталкивается с потребностью в тех или иных математических знаниях. Поэтому математику следует рассматривать как важнейшую составляющую качественной подготовки специалиста. Это обусловлено не только тем, что математика является важным элементом общей культуры, универсальным языком науки, в целом, но и, главным образом, тем, что она является мощным средством решения прикладных и практико-ориентированных задач.

Технология обучения студентов решению практико-ориентированных задач должна осуществляться (по содержанию) поэтапно, если мы хотим, чтобы эти задачи были поняты, а их решения осмыслены.

Первый этап  - формирование умений решать практико-ориентированные задачи (с завершенной корректировкой условия) на алгоритмическом уровне и умений формулировать прикладные задачи - на операционном уровне.

Второй этап - формирование умений решать практико-ориентированные задачи (с различной корректировкой условия) на эвристическом уровне и умений формулировать эти задачи - на технологическом уровне.

Третий этап  - формирование умений решать (в том числе с незавершенной корректировкой условия) прикладные и практические задачи технического профиля на творческом уровне и умений формулировать прикладные задачи - на обобщенном уровне.

Основным средством реализации практико-ориентированной (прикладной) направленности курса математики является практико-ориентированные задачи.

Важным компонентом технологии обучения студентов решению таких задач может быть составление и корректировка условия задачи. При этом ценны для решения и исследования как задачи с завершенной, так и с незавершенной корректировкой условия. Сформированность умений, приобретаемых студентами при решении подобных задач, позволяет им самостоятельно ставить задачи прикладного и профессионального характера, анализировать результаты решения в зависимости от направления корректировки условия задачи, что, несомненно, важно в процессе реализации практико-ориентированного обучения математике.


Заключение

Итак, что же такое математика? Математика это красота, вдохновение творцов, восхищение тех, кто способен оценить их достижение. Что же дала математика человечеству? Многие крупнейшие ученые видели ее задачу в содействии объяснению законов природы. Галилею принадлежат замечательные слова «Великая книга Природы написана языком математики».

Современная математика сформировалась примерно 400 лет тому назад в трудах Галилея, Кеплера, Гюйгенса, Ньютона, Лейбница, одним из основных стимулов, для которых было постичь законы движения тел. они говорили, что математика – это часть физики. Математика так же служит базой для инженерных наук. Все крупные технические достижения – от строительства зданий, мостов до раскрепощения атомной энергии, сверхзвуковой авиации и космических полетов – были невозможны без математики. Потребность решать эти грандиозные задачи привела к созданию компьютеров, и на наших глазах происходит новая техническая и информационная революция. Наше время – период невиданного расцвета математики. Достижения ХХ века, по меньшей мере, сопоставимы с результатами предшествующего периода ее развития – от Фалеса до начала ХХ столетия. А число ее не раскрытых тайн неисчерпаемо. В современном мире без знания математики невозможно строить бизнес и производить любые экономические расчеты.

Людей, для которых знание математики является профессиональной потребностью, с каждым годом становится все больше. Хочется отметить и еще одну особую роль математики как дисциплины развивающей интеллектуальные и творческие способности человека. Лучшего средства для их совершенствования пока не найдено.

Никогда ещё математика не была настолько всеобъемлющей и такой нужной людям наукой, как сегодня. О том, какой будет математика завтра, говорить трудно. Она развивается сейчас так стремительно, так часто делаются в ней новые открытия, что гадать о том, что будет, пожалуй, бесполезно. Одно можно сказать наверняка: завтра математика станет ещё могущественнее, ещё важнее и нужнее людям, чем сегодня.

Математика, с её строгостью и точностью, формирует личность, предоставляет в её распоряжение важнейшие ресурсы, столь необходимые для обеспечения наилучшего будущего.

Мы считаем, что в ходе работы достигли поставленных целей и выполнили все намеченные перед собой задачи.









Список используемых источников


  1. Энциклопедия для детей. Т. 11 «Издательский центр «Аванта+» 1998 г.

  2. С. Н. Олехин «Старинные занимательные задачи». Дрофа, Москва 2006.

  3. Я. И. Перельман «Живая математика». Москва «Наука» 1978 г.

  4. Я. И. Перельман «Занимательная геометрия». Москва «Наука» 1977г.

  5. Я. И. Перельман «Занимательная алгебра». Москва «Наука». 1976 г.

  6. Концепция модернизации российского образования на период до 2010 года. Стандарты и мониторинг в образовании, - 2002 - №1 - С. 3-16.

  7. Агранович Б.Л., Пахомов Ю.П. Основные принципы формирования национальной доктрины инженерного образования России, - Томск, Изд-во ТГУ, 2000,-С. 34-45.

  8. Кудрявцев Л.Д. - "Мысли о современной математике и ее изучении"

  9. Газета «Первое сентября». «Математика» №1, 2012

  10. Глейзер Г.И. История математики в школе: пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1981.

  11. Математика. Еженедельное учебно-методическое приложение к газете «Первое сентября». №46, 1998.

  12. http://historic.ru/books/item/

  13. http://slovari.yandex.ru

  14. http://school-sector.relarn.ru

  15. Сайт Фестиваля «Открытый урок » Личный кабинет.

  16. http://festival.1september.ru

  17. За страницами учебника математики. И.Я.Депман, Н.Я.Виленкин.М.,

«Просвещение», 1989г.

18.Большая школьная энциклопедия./Под ред. А.А., Кузнецова и М.В. Рыжакова. Т. 1.- М.: ОЛМА Медиа Групп, 2007.-896 с.-(2-ое изд.)

19.Библиотека Сибирского Федерального Университета http://lib.sfu-kras.ru/

20. http://ya-repetitor.ru/mathematics/dlya-chego-matematika

21.http://ega-math.narod.ru/Math/HugoS.htm

22.http://www.wikipedia.ru















Приложение

Известные высказывания о математике

Недаром гениальный учёный Карл Фридрих Гаусс говорил, что математика - царица наук! 

«Математику только зачем учить надо, что она ум в порядок приводит» - это слова нашего знаменитого и гениального М. Ломоносов.

"Математика - гимнастика ума" - говорил великий полководец Суворов.

"Наука только тогда достигает совершенства, когда она начинает пользоваться математикой" - утверждал всемирно известный политик и философ Маркс.

Великая книга природы написана математическими символами” - говорил Г. Галилей.

«Человек, не знающий математики, не способен ни к каким другим наукам» - говорил Р. Бэкон

«Математика есть ключ ко всем наукам». Греческий математик.


«Математика во всем», - нам твердят.

Многие не верят, спорить норовят:

«Математика от нас далеко…

Жить на свете без нее так легко!»

Но пойдет однажды вечером дождь,

Подойдешь ты к окну и поймешь:

Все на свете, что видишь, давно

Математикой отражено.

Ты вглядись: от фонаря свет

Векторами разлетается. Нет?

Точки капель, окружности луж –

Неужели ты не видишь? Ну ж…

Окошек плоскости отрезками полны…

И вечна траектория Луны…

А по параболе летит метеорит.

Через мгновенье в атмосфере он сгорит…

Многоугольники, квадраты и круги…

Пространства-времени неслышные шаги…

Все движется и мчится, все улетает вдаль.

А кто не видит этого…

того мне просто жаль.




Приложение


Примеры задач

1. Можно ли вычислить длину дуги, если известно только число градусов, содержащихся в этой дуге?

2. Территорию профессионального колледжа, имеющую форму прямоугольника, необходимо обнести оградой, элементы которой будут сварены бригадой обучающихся - сварщиков этого же колледжа. Найти длину ограды, если известно, что одна сторона ее на 30 м больше другой, а площадь территории равна 1,3га.

3. Трубу А надо приварить к трубе В при помощи конусообразного раструба. Труба А диаметром 120 мм. Труба В имеет вдвое большее поперечное сечение. Зная, что образующие конической поверхности сходятся под углом 400, определить длину раструба Х.

4. Из заготовки квадратной формы со стороной 60 см сварщик должен

изготовить деталь, имеющую форму правильного 8-угольника. Найти длины

катетов отрезаемых по углам равнобедренных прямоугольных треугольников.

5. Труба котельной имеет высоту 32 м. Чтобы ее удержать, необходимо приварить к ней железные тросы, которые крепятся к трубе на расстоянии 0,75 м ее высоты, считая от земли. Вычислить длину тросов, если известно, что они должны образовать с горизонтом угол равный 400.


При изучении темы «Перпендикулярность прямых и плоскостей» рассматриваем расположение плоскостей в тавровых (нормальных, широкоплотных, колонных) и угловых соединениях, расположение металла при изготовлении решетчатого настила (увеличение прочности за счет перпендикулярного расположения). При изучении темы «Многогранники» производим расчет площадей и объемов изделий, имеющих форму многогранников; расчеты количества материалов, идущего на изготовление изделия; изменение размеров фигур с учетом подобия.















Примеры задач

1. Найти массу стальной двутавровой балки длиной 4 м, шириной 1 см, высотой 8см. (плотность стали 7,8 г/см3).

Дано: прямоугольный параллелепипед

а = 4 м

в = 1 см

h = 8 см

ρ = 7,8 г/см3

m -?

Решение:

m = Vhello_html_m65276683.gifρ

V = ahello_html_m65276683.gifbhello_html_m65276683.gifh

m = ahello_html_m65276683.gifbhello_html_m65276683.gifhhello_html_m65276683.gifρ

m = 400 hello_html_79c0f69b.gif1 hello_html_79c0f69b.gif8 hello_html_79c0f69b.gif7,8 = 24960 (г) = 24,96 (кг)

Ответ: масса балки равна 24,96 кг.

2. Вычислите массу профильного железа длиной 25,75 м, высотой 1,2 м. Поперечное сечение – 8 мм (плотность стали 7,8 г/см3).

3. Сварщику необходимо изготовить бункер, имеющий форму правильной четырехугольной призмы, длина стороны основания которого равна 1,2 м, высота – 2,4 м. Сколько стали необходимо выполнения работы? (Прим.: на швы следует добавить 3% материала).

Дано: правильная 4- угольная призма

а = 1,2 м

h = 2,4 м

S -?

Решение:

Sбок = Pоснhello_html_m65276683.gifh

Sосн = a2

Sосн = (1,2)2 = 1,44 (м2)

Sбок = 1,2hello_html_m65276683.gif4hello_html_m65276683.gif2,4 = 11,52 (м2)

S = 11,52+1,44 = 12,96 (м2)

Ответ: для изготовления бункера сварщику необходимо 13,35 м2 стали.

4. Следует изготовить кубический бункер, чтобы он вмещал 2,5 м3 шлака. Вычислить высоту бункера.

5. Сварщику необходимо изготовить бак, имеющий форму параллелепипеда с основанием 1,4 hello_html_m41c5bbfd.gif 2,2 м, чтобы он вмещал 2 т воды. Какова должны быть высота бака? (плотность воды 1000 кг/м3).

6. Необходимо вычислить, сколько м2 металла пойдет на изготовление гаража с полом? Высота – 2,5 м, длина – 6 м, ширина – 3 м.

7. Рабочему необходимо узнать, сколько кубических метров шлака вместится в контейнер, имеющий форму усеченной пирамиды, длина сторон основания которой 1,2 м и 2,4 м, а высота – .

Решение

Дано: правильная 4-угольная усеченная пирамида

а1 = 1,2 м

b1 = 2,4 м

h = 2 м

V -?

Решение:

V = hello_html_31de5b55.gifhhello_html_m65276683.gif(S +S1+hello_html_ca4b759.gif1)

V = hello_html_967ecea.gif2hello_html_m65276683.gif(1,44+5,76+hello_html_2117378a.gif) = 6,72 (м3)

Ответ: в контейнер вмещается 6,72 м3 шлака.

Для будущих сварщиков профессионально значимым является тема «Тела вращения». Необходимо научиться производить точный расчет длины сварных швов (стыковых, угловых) при изготовлении резервуаров, цистерн, емкостей, имеющих форму фигур вращения, уметь увидеть фигуры вращения и их сечения в узлах стропильных ферм из круглых труб, плоскосвариваемых труб; научиться производить расчет расхода электродного материала с учетом размеров электродов; рассчитать материал и массу изделий, имеющих форму фигур вращения.


Примеры задачи

Сварщику необходимо изготовить цистерну цилиндрической формы, высота, которой – 3 м, радиус основания – 1,5 м. Вычислить, сколько электродов необходимо для сварки, если на 1 м расходуется 4 электрода, а масса одного электрода 60 г. Вычислить стоимость электродов, если 1 кг их стоит 30 рублей.

Дано: цилиндр

h = 3 м

r = 1,5 м

1 м – 4 электрода

m1 = 60 г

1 кг – 30 руб.

Стоимость электродов - ?

Решение:

С = 2hello_html_m65276683.gifπhello_html_m65276683.gifr

С = 2hello_html_m65276683.gif3,14hello_html_m65276683.gif1,5 = 9,42 (м)

длина швов: 3+9,42 = 12,42 (м)

количествоэлектродов:

12,42hello_html_m65276683.gif4=49,68 50 (электродов)

стоимость электродов: 50hello_html_m65276683.gif0,06hello_html_m65276683.gif30= 90 (руб.)

Ответ: стоимость электродов равна 90 руб.


















































Как решать логические задачи?

Разнообразие логических задач очень велико. Способов их решения тоже немало. Но наибольшее распространение получили следующие три способа решения логических задач:

  • табличный;

  • средствами алгебры логики;

  • с помощью рассуждений.

Познакомимся с табличным.

Задача 1

Шесть приятелей: Саша, Петя, Витя, Дима, Миша и Кирилл, встретившись через 10 лет после окончания школы, выяснили, что двое из них живут в Москве, двое — в Санкт-Петербурге, а двое — в Перми.

Известно, что

(1) Витя ездит в гости к родственникам в Москву и Санкт-Петербург.

(2) Петя старше Саши.

(3) Дима и Миша летом были в Перми в командировке.

(4) Кирилл и Саша закончили университет в Санкт-Петербурге и уехали в другие города.

(5) Самый молодой из них живет в Москве.

(6) Кирилл редко приезжает в Москву.

(7) Витя и Дима часто бывают в Санкт-Петербурге по работе.

Определите, кто, где живет.

Ответ запишите в виде первых букв имен мальчиков, живущих в Москве в алфавитном порядке имен без пробелов.

Решение:

Составим таблицу, где каждая строка соответствует городу, а столбец — человеку:


Саша

Петя

Витя

Дима

Миша

Кирилл

Москва







Петербург







Пермь







Единица в таблице будет обозначать, что человек живет в данном городе, а ноль — что точно не живет. Согласно условию, в каждом городе живут ровно 2 человека, каждый живет только в одном городе. Поэтому в каждой строке должно быть две единицы, а в каждом столбце — одна.

Из условия (1) следует, что Витя живет в Перми:


Саша

Петя

Витя

Дима

Миша

Кирилл

Москва



0




Петербург



0




Пермь



1




Из (2) и (5) находим, что Петя живет не в Москве. Кроме того, как следует из (6), Кирилл — тоже не москвич.


Саша

Петя

Витя

Дима

Миша

Кирилл

Москва


0

0



0

Петербург



0




Пермь



1




Согласно (3), Дима и Миша живут не в Перми:


Саша

Петя

Витя

Дима

Миша

Кирилл

Москва


0

0



0

Петербург



0




Пермь



1

0

0


Из условия (4) делаем вывод, что Кирилл и Саша живут не в Санкт-Петербурге, отсюда сразу следует, что Кирилл живет в Перми. Двух пермяков мы уже определили, поэтому Саша и Петя живут не в Перми:


Саша

Петя

Витя

Дима

Миша

Кирилл

Москва


0

0



0

Петербург

0


0



0

Пермь

0

0

1

0

0

1

Далее находим, что Саша — москвич, а Петя живет в Санкт-Петербурге.


Саша

Петя

Витя

Дима

Миша

Кирилл

Москва

1

0

0



0

Петербург

0

1

0



0

Пермь

0

0

1

0

0

1


По условию (7) Витя и Дима — не петербуржцы, поэтому в Петербурге живет Миша, а Дима — в Москве:


Саша

Петя

Витя

Дима

Миша

Кирилл

Москва

1

0

0

1

0

0

Петербург

0

1

0

0

1

0

Пермь

0

0

1

0

0

1

Таким образом, Саша и Дима живут в Москве, Петя и Миша — в Санкт-Петербурге, а Витя и Кирилл — в Перми.

Ответ: ДС


Задача 2

Перед началом турнира по шахматам болельщики высказали следующие предположения по поводу результатов:

А) Максим победит, Борис — второй;

Б) Борис — третий, Коля — первый;

В) Максим — последний, а первый — Дима.

Когда соревнования закончились, оказалось, что каждый из болельщиков был прав только в одном из своих прогнозов. Как распределились призовые места?

В ответе запишите без пробелов первые буквы имен мальчиков в порядке занятых мест.


Решение:

Построим таблицу. Предположим, что в утверждении А) первая часть истинна, а вторая ложна. Тогда после анализа всех утверждений имеем:



Максим

Борис

Коля

Дима

1

1


0

1

2

0

0



3

0

1



4

0





Получаем противоречие: на 1 месте 2 человека!

Значит, наше предположение неверно.

Поменяем предположение: пусть в первом утверждении вторая часть истинна, а первая ложна. Получаем:



Максим

Борис

Коля

Дима

1

0

0

1

0

2

0

1

0

0

3

0

0

0

1

4

1

0

0

0

Предположение подтвердилось, т.к. мы не получили противоречия. Ответ: КБДМ


Задача 3

В коридоре лежат принадлежащие пришедшим на праздник четырем молодым людям кепки (красная, желтая, черная и белая) и стоят пары кроссовок (зеленых, синих, черных и белых). Ребят зовут Миша, Саша, Вася и Олег. Известно, что:

  1. Обладатель красной кепки не Вася и не Олег

  2. Обладатель желтой кепки Миша или Саша

  3. Черная кепка у Миши или у Олега

  4. У Саши кепка не красная

  5. У обладателя белой кепки белые кроссовки

  6. Зеленые кроссовки не у Миши

  7. Черные кроссовки у Саши

Определите, какому молодому человеку принадлежит каждая вещь.

В ответе расположите первые буквы имен хозяев в порядке: хозяин белых кроссовок, хозяин черных кроссовок, хозяин синих кроссовок, хозяин зеленых кроссовок

Решение:

Построим и заполним таблицу. Из анализа четырех первых утверждений:


кепки


кроссовки

к

б

ж

ч

з

б

ж

ч

0

0

0

1

О





0

1

0

0

В





1

0

0

0

М





0

0

1

0

С






Из анализа утверждений 5-7:


кепки


кроссовки

к

б

ж

ч


з

б

с

ч

0

0

0

1

О

1

0

0

0

0

1

0

0

В

0

1

0

0

1

0

0

0

М

0

0

1

0

0

0

1

0

С

0

0

0

1


Ответ: ВСМО

Замечание: (из анализа 2 утверждения следует, что у Васи и у Олега кепка не желтая и им нужно поставить 0. Так же из анализа 3 следует, что черной кепки нет ни у Васи, ни у Саши)


Задачи для самостоятельного решения

Задача 1

На заводе работают 3 друга: слесарь, токарь и сварщик. Их фамилии Борисов, Иванов и Семенов. У слесаря нет ни братьев, ни сестер. Он самый младший из друзей. Семенов, женатый на сестре Борисова, старше токаря. Назовите фамилии слесаря, токаря и сварщика. Ответ запишите первыми буквами фамилий в порядке перечисления профессий.

Задача 2

В финал соревнований по настольному теннису вышли Наташа, Маша, Люда и Рита. Болельщики высказали свои предположения о распределении мест в дальнейших состязаниях. Один считает, что первой будет Наташа, а Маша будет второй. Другой болельщик на второе место прочит Люду, а Рита, по его мнению, займет четвертое место. Третий считает, что Рита займет третье место, а Наташа будет второй. Когда соревнования закончились, оказалось, что каждый из болельщиков был прав только в одном из своих прогнозов. Как распределились места? В ответ запишите без пробелов первые буквы имен девушек в порядке занятых мест.

Задача 3

На очередном этапе автогонок «Формула-1» первые четыре места заняли Шумахер, Алези, Хилл и Кулхардт. Опоздавший к месту награждения телерепортер успел заснять пилотов, занявших второе и третье места, которые поливали друг друга шампанским. В это время Шумахер с четвертым гонщиком пожимали друг другу руки. Далее в кадр попал мокрый Хилл, поздравляющий пилота, занявшего второе место. Напоследок оператор снял сцену, в которой Шумахер и Кулхардт пытались втащить на пьедестал почета гонщика, занявшего четвертое место. Просматривая отснятый материал, режиссер спортивного выпуска быстро разобрался, кто из пилотов какое место занял. Он знал, что в соответствии с церемонией награждения победителей гонок пилоты, занявшие первые три места, поливают друг друга шампанским из огромных бутылок знаменитой фирмы- спонсора соревнований. Какое место занял каждый пилот? Ответ запишите в виде первых букв фамилий участников в порядке занятых мест.

Задача 4

В коридоре лежат принадлежащие пришедшим на праздник четырем девочкам сумочки (розовая, белая, голубая, черная) и зонтики (розовый, голубой, черный и белый). Девочек зовут Маша, Саша, Вера и Алина. Известно, что:

  • Обладательница розового зонтика не Саша и не Алина

  • Обладательница голубого зонтика либо Саша, либо Вера

  • Розовые и голубые вещи составляют комплекты и принадлежат одним и тем же девушкам, остальные вещи комплекты не составляют

  • Черный зонт принадлежит либо Вере, либо Алине

  • Белый зонт либо у Маши, либо у Алины

  • Вера не является обладательницей комплекта.

Определите, какой девочке принадлежит какая вещь. В ответе расположите первые буквы имен хозяек в порядке: хозяйка белого зонтика, хозяйка черного зонтика, хозяйка розового зонтика, хозяйка голубого зонтика.





















ЗАДАЧИ

  1. Можно ли разрезать арбуз на 4 части так, чтобы после того, как его съели, осталось 5 корок?

Решение.

Вырежем из арбуза длинный тонкий цилиндр, протыкающий арбуз насквозь. Это одна из частей, от которой останется две корки. Остальную часть арбуза произвольным образом разрежем на три части, каждая из которых дает по одной корке.


  1. На клетчатой бумаге изображена чашка с крышкой (см. рис. 1). На покраску крышки израсходовали 30 г краски. Сколько ещё нужно грамм краски для покраски чашки? Не забудьте обосновать ответ.

Рис. 1

Решение.

Площадь закрашенной части составляет ровно 2 клеточки. Тогда на покраску 1 клетки расходуется 15 г краски. Площадь «чашки» составляет 3 клеточки. Тогда на ее покраску потребуется еще 45 г краски.

Ответ: 45г. краски.



  1. Дедушка празднует свой день рождения. В 2015 году он отпраздновал 21-й день рождения. Когда родился дедушка?

Решение.

21hello_html_79c0f69b.gif4=84, 2015 – 84=1931 (год рождения дедушки)

Ответ: 1931 год рождения


  1. В ящике 24 кг гвоздей. Как, имея только чашечные весы, без гирь отмерить 9 кг гвоздей?

Решение.

Отмерить 12 и отложить 12; из 12 отмерить 6 и отложить 6; из 6 отмерить 3 и взять 6.


  1. Имеются двое песочных часов: на 3 минуты и 7 минут. Яйцо варится 11 минут. Как отмерить это время при помощи имеющихся часов?

Решение.

Перевернуть обои часы. Кода пройдет 3 минуты в семиминутных часах останется 4 минуты. Поставьте яйца в это время вариться. Когда 4 минуты закончатся, перевернуть 7 – минутные часы обратно, т.е. 4+7=11.







  1. Предприятие выпускает три вида продукции, используя сырье трёх видов: hello_html_6555fcd4.gif. Необходимые характеристики указаны в таблице.

Вид сырья

Нормы расхода сырья на изготовление одного вида продукции, усл. ед.

Расход сырья за один день, усл. ед.

сапог

кроссовок

ботинок

S1

S2

S3

5

2

3

3

1

2

4

1

2

2700

900

1600


Найти ежедневный объем выпуска каждого вида продукции.

Решение: Пусть ежедневно фабрика выпускает x1 – единиц продукции первого вида,

x2 - единиц продукции второго вида, x3 - единиц продукции третьего вида. Тогда в соответствии с расходом сырья каждого вида имеем систему.

hello_html_5523766c.gif

А) Решаем систему линейных уравнений (по формулам КРАМЕРА). (самостоятельно)

Б) Решим данную систему, например, методом Гаусса. Составим матрицу из коэффициентов стоящих перед неизвестными и из свободных членов.

Обнуляем первый столбец, кроме первого элемента

1. Первую строчку оставляем без изменения

2. Вместо второй записываем сумму первой, умноженной на -2 и второй, умноженной на 5

3. Вместо третьей записываем сумму первой, умноженной на -3 и третьей, умноженной на 5

Аналогично обнуляем второй столбец под элементом второй строки второго столбца

hello_html_29e1004.gif˜hello_html_5461531e.gifhello_html_m558d3f42.gif˜hello_html_m2764bc5.gif

Вернемся к системе

hello_html_m7ac46174.gifhello_html_m382a030c.gif

Т.е. фабрика выпускает 200- единиц продукции первого вида, 300- единиц продукции второго вида и 200- единиц продукции третьего вида.





Решить самостоятельно

  1. Из некоторого листового материала необходимо выкроить 360 заготовок типа А, 300 заготовок типа Б и 675 заготовок типа В. При этом можно применять три способа раскроя. Количество заготовок, получаемых из каждого листа при каждом способе раскроя, указано в таблице:

Тип заготовки

Способ раскроя

1

2

3

А

В

С

3

1

4

2

6

1

1

2

5

Найти количество листов материалов, раскраиваемых соответственно первым, вторым и третьим способами.

  1. Автомобильный завод специализируется по выпуску изделий трех видов: А, В, С, при этом используется сырьё трёх типов: hello_html_m59680ea6.gif. Необходимые характеристики указаны в таблице. Требуется определить объем выпуска продукции каждого вида при заданных запасах сырья.

    Вид сырья

    Расход сырья по видам продукции, вес. ед. /изд.

    Запас сырья, вес. ед.

    А

    В

    С

    S1

    S2

    S3

    6

    4

    5

    4

    3

    2

    5

    1

    3

    2400

    1450

    1550

  2. Предприятие выпускает изделие трех наименовании: стулья, табуретки и столы, при этом используется сырьё трёх типов: hello_html_m59680ea6.gif. Нормы расхода каждого из них на изготовление одного изделия и объем расхода сырья за один день заданы в таблице.

Вид сырья

Нормы расхода сырья на изготовление одного изделия, усл. ед.

Расход сырья за один день, усл. ед.

стул

стол

табуретка


S1

S2

S3

10

4

6

3

1

2

4

1

2

270

90

160

Найти ежедневный объем выпуска каждого вида продукции.







  1. Найти максимальную прибыль, которую может получить фирма - производитель, при условии, что весь товар реализуется по фиксированной цене p=10 за единицу и известен вид функций издержек

С(x)= 20 +х2

Решение:

Пусть х- количество реализованного товара, p- цена товара, C(x)- функция издержек, тогда прибыль от реализации произведенного товара равна П(х)= p*x-C(x)

Найдем функцию прибыли.

П(х)=hello_html_m101ba2bf.gif

hello_html_245fbf6e.gifПриравнивая производную функции прибыли к нулю, получаем уравнение hello_html_43b27e5f.gif=0

Корень уравнения х=5.

Проверка показывает, что максимальная прибыль достигается

при х=5: Пmax(5)=5


Решить самостоятельно


Найти максимальную прибыль, которую может получить фирма - производитель, при условии, что весь товар реализуется по фиксированной цене p за единицу и известен вид функций издержек С(х).

1 hello_html_m12421db9.gif

2 hello_html_79bcff5.gif

3 hello_html_4732ba46.gif

4 hello_html_302bc1bf.gif

5 hello_html_m43156684.gif

6 hello_html_104196fe.gif

7 hello_html_5da31bd0.gif

8 hello_html_4226d7a6.gif

9 hello_html_1003451e.gif

10 hello_html_m12418a83.gif







Задачи на проценты

1. Положив в банк 1500 рублей, вкладчик получил 1949,4 рублей через 2 года. Какой процент начислял банк ежегодно?

Решение

Пусть начислялось х%, т.е. после 1 года на счету будет

1500 + 1500*х/100=1500 +15х.

Через 2 года на счету будет (1500+15х) + (1500+15х)*х/100 = 1500+15х+15х+0,15х2 .

Составим уравнение:    1500 + 30х + 0,15х2 = 1949,4

0,15х2 + 30x - 449,4 =0   D=900+269,64 = 1169,64 = 34,2 2

x = (-30+34,2)/0,3 = 14                Ответ:  14%

2. В бидоне было 3 литра молока жирности 8%. Через сутки из бидона слили 0,5 литра выделившихся сливок. Определите жирность оставшегося молока, если жирность выделившихся сливок составила 12%.

Решение

Изначально в молоке было жира 8%, т.е. 3*0,08 = 0,24л, а остальное — обезжиренное молоко (но все вперемешку). Отлили 0,5л сливок (слили верхнюю часть отстоявшегося молока из бидона, в которой больше жира - сливки). В сливках 12% жира, т.е. 0,5*0,12=0,06л.

В бидоне осталось 2,5 л молочной смеси, а в ней 0,24 - 0,06 = 0,18л жира. Определим жирность оставшегося молока из пропорции:

2,5л – 100

0,18л - х%             х=0,18*100/2,5 = 7,2%          Ответ: 7,2

3. Имеется 2 сплава из цинка меди и олова. 1-ый содержит 25% цинка 2-ой 50% меди. Процентное содержание олова в 1-ом сплаве в 2 раза больше чем во 2-ом. Сплавив 200кг 1-го и 300кг 2-го сплавов, получили сплав, в котором 28% олова. Сколько кг меди в первом сплаве?

Решение. Пусть во втором сплаве х% олова, тогда в первом 2х% олова.  В 200 кг первого сплава содержится 200*2х/100=4х кг олова, а в 300 кг второго — 300*х/100=3х кг олова. 200+300=500кг и в этом сплаве 500*28/100=140 кг олова. Уравнение: 4х+3х=140,    х=20%,   2х=40% олова в первом сплаве. Меди в первом сплаве: 100%–25%–40%=35%, что равно 200*35/100= 70кг       

Ответ: 70

4. В поселке Солнечный на берегу Черного моря 9% коренного населения в зимний период заняты народным промыслом. Летом 36% коренного населения уезжает, однако общая численность населения поселка за счет приезжающих туристов составляет 80% от численности в зимний период. Определите, какая часть от общей численности населения в летний период занята народным промыслом, если среди коренного населения доля занятых народным промыслом осталась такой же, как и в зимний период.



Решение.

Летом коренного населения остается 100% - 36% = 64%,

и среди них промысловиков 9% от 64%, т.е. 6 4%*0,09= 5,76%.

Найдем, какую часть составляют 5,76% от 80%.

5.76% / 80% = 0,072 части.

5. В банке общая сумма кредитов, выданных населению, составляет 25% от суммы кредитов, выданных предприятиям. Какой процент от общего объема  кредитования в этом банке приходится на долю предприятий?

Решение. Пусть предприятиям выдали х руб,

тогда населению −  0,25х руб. Всего выдано 1,25х руб.

1,25х — 100%

х —  n% 

n%= 100%·x / 1,25x = 80%

Предприятиям - 80%, населению - 20%.    

Ответ: 80

6. В 2002 году прибыли компаний Сибирские самоцветы, Уральские самоцветы и Якутские самоцветы, входящих в финансово-промышленную группу Русские самоцветы, рассчитанные в млн. рублей, соотносились как 2 : 5 : 4. В 2003 году прибыль каждой компании из группы Русские самоцветы выросла на 5 млн. рублей. Какая из трех компаний по итогам 2003 года  сообщила о наибольшем темпе роста прибыли? Темп роста — отношение величины экономического показателя в данное время к его исходному значению, принятому за базу отсчета, измеряемое в относительных величинах или в процентах.

В 2002  прибыль    Сиб - 2х,     Урал - 5х,     Якут - 4х.

В 2003  прибыль     Сиб - 2х+5,   Урал - 5х+5,   Якут - 4х+5.

Темпы роста            Сиб - (2х+5)/(2х)= 1+2,5/х,   

Урал - (5х+5)/5х=1+1/х,    Якут - 1+1,25/х.

Видим, что наиболее высокий показатель у Сиб. самоцветов.


Задачи с экономическим содержанием

1. Потребитель оплатил заводу-производителю 240 тыс. рублей за 1000 изделий. Производитель поднял цену на 72 рубля за штуку. Какую сумму в рублях должен доплатить потребитель для получения 800 изделий по новой цене?

1)   240 тыс./ 1000 изд. = 240 р . / изд.  2)  240+ 72=312 р/ шт.  после повышения  3) 312 * 800 = 249 тыс. 600 р. 4) 249тыс 600   - 240 тыс. = 9 600

_____________________________________________________________


2. Фермер собрал урожай пшеницы в 1400 ц. Десятую часть урожая он оставил на семена, половину оставшейся пшеницы заложил на хранение на элеватор, а остальную продал на рынке по цене 35 рублей за центнер. Какую сумму в рублях выручил фермер от продажи пшеницы?

1) 1400 * 1/10 = 140 ц  оставил на семена 

2) 1400 -140 = 1260 ц осталось

3) 1260/2 =630 ц заложил на хранение 

4) 630  ц  продал  5) 630 * 35 = 22050 р  выручил от продажи пшеницы

_____________________________________________________________


3. Площадь фермерского хозяйства составляет 60 га. 0,7 площади фермер засеял пшеницей и собрал урожай 30 центнеров с гектара. Сколько тонн пшеницы собрал фермер?

1) 60 * 0,7 =  42 га засеял  2) 42 * 30 = 1260 ц = 126 т.  собрал фермер


4. Торговая фирма закупила 65 автомобилей по средней цене 450 тыс. рублей. Средняя цена продажи автомобиля составила 495 тыс. рублей, при этом накладные расходы фирмы по этой партии товара составили 225 тыс. рублей. Какую прибыль (в тыс. рублей) получила фирма?

1) 495 тыс - 450 тыс = 45  тыс. 2) 45*65=2925 за партию

3) 2925-225=2700 прибыль. Ответ: 2700

_____________________________________________________________


5. Авиалайнер имеет 2 салона: эконом - класса на 80 мест и бизнес - класса на 16 мест. Цена авиабилета эконом - класса равна 4 тыс. рублей, а общая выручка при полной загрузке самолета составляет 432 тыс. рублей. Какова цена билета (в тыс. рублей) бизнес - класса?

1)       80 *4000 = 320 000  - Стоимость билетов эконом - класса 2)       x – стоимость билета бизнес - класса,  

16х – стоимость  за 16 мест

3)   320 000+16x = 432 000  - общая выручка  

16x= 112000

х=7000= 7 тыс. руб. Ответ: 7  

_____________________________________________________________


6. Фермер засеял 0,4 площади крестьянского хозяйства пшеницей и собрал 144 тонны зерна при урожайности 40 центнеров с гектара. Сколько гектар составляет площадь всего хозяйства?

  1. 144 т = 1440 ц ,

x- площадь всего хозяйства, 

0,4x – засеянная площадь

1440/40 = 36  га   0,4 x=36 X= 90 га Ответ: 90

_____________________________________________________________


7. Часть площади фермерского хозяйства засеяна кукурузой, которой было собрано 70 тонн при урожайности 25 центнеров с гектара. Какая часть площади засеяна кукурузой, если площадь всего хозяйства составляет 70 га?


70 т =700 ц

700/25= 28 га

Тогда  28/70 =0,4 засеяно кукурузой. Ответ: 0,4

_____________________________________________________________


8. В течение декабря Фирма 1 перевела на счет в банке Фирме2 50% от имевшихся на счету денежных средств, затем еще 10 млн. долларов, затем еще 5% от оставшихся на счету денег. При этом сумма денег на расчетном счету предприятия в банке Фирмы 2 увеличилась на 31%. Сколько денег было на расчетном счету Фирмы 1 в начале  декабря, если на расчетном счету предприятия в банке Фирмы 2  изначально было 200 млн. долларов.

Пусть на фирме 1 было вначале х млн. долл. х/2 + 10 + (x/2 -10)*5%  - было перечислено и это составило 31% от 200 млн. долл.

0,5x + 10 + 0,025x - 0,5=0,525x +9,5.

31%  от 200  это 62. hello_html_664de198.gif 0,525x=52,5

х= 100 млн.

Ответ: 100 млн.

____________________________________________________________


9. Имеются два куска сплава олова и свинца. Первый, массой 300г, содержит 60% олова. Второй содержит 40% олова. Сколько граммов от второго куска надо добавить к первому, чтобы получить сплав с содержанием олова 56%?

300г  -  100%

m  - 60%   m=180г олова

Пусть х г от второго куска надо прибавить к первому, тогда масса нового сплава будет равна (300+х).

Масса олова составила (180+0,4х) г. Составим пропорцию.

(300+х)    - 100%

(180+0,4х) - 56%

56(300+х) = 100(180+0,4х)

х=75г.

Ответ: 75

_____________________________________________________________


10. Зарплату повысили на р%, затем новую зарплату увеличили на 2р%. в результате двух повышений зарплата увеличилась в 1,32 раза. На сколько процентов зарплата была повышена во второй раз?

Пусть до повышения зарплата составляла 100%.

(100+р) % - после первого повышения.

(100+р)%·(1+2р/100)  - после второго повышения. 

Зарплата увеличилась в 1,32 раза после двух повышений, значит, составляет 132%.

Уравнение      (100+р)(1+2р/100)% = 132%;

10000 + 100р + 200р + 2р2 = 13200.

р2 + 150р - 1600 = 0.       

    Р = (–150+170)/2 = 10%.   Ответ 10.

_____________________________________________________________


11. Два тракториста вспахали поле. Производительность первого тракториста на p% больше, чем второго, но он работал в k  раз меньше. Какую часть поля вспахал второй тракторист?

Принимаем производительность второго за 100%, тогда производительность первого будет (100+р)%. Он работал в k раз меньше, поэтому выполнил  (100 +р)/k %.

Вспашка всего поля  составляет 100+ (100+p)/k  %.

Берем отношение выполненной работы вторым ко всему объему работ, т.е.

100 / (100+(100+p)/k).   Запиши в виде дроби и упрости. Получится: 

100k / (100k+100+p). 

_____________________________________________________________


12. При проверке влажность зерна оказалась равной 23%, а после просушки 12%.На сколько процентов стало легче зерно после просушки?

Решение. Пусть первоначально масса зерна была х, и это составляло 100%, воды в нем было 23%, сухая часть составляла 77% или 0,77х. После просушки сухая часть составила 100%-12% = 88%, что равно 0,77х. Составим пропорцию, чтобы было понятнее:

0,77х —  88%

     у  —   100%,   

у - масса получившегося после просушки зерна.

у = 0,77х · 100% /88% = 7х/8 = 0,875х, это составляет 87,5% от х.

Значит, зерно после просушки стало легче на 100% - 87,5% = 12,5%.

_____________________________________________________________


13. Семена попали под дождь и стали на 20% тяжелее. Когда их просушили, они потеряли в массе 20%. Вернулись ли они к первоначальной массе?

Примем зерно за 100%...

100%+20%=120%

120% : 100% *80% = 96 % Ответ: нет.

_____________________________________________________________


14. В каких пропорциях надо смешать 3% и 10% растворы йода, чтобы получить 5% раствор?


Решение. 0,03х + 0,1у = 0,05(х + у)

Найдем отношение х/у из уравнения.

3х+10у=5х+5у       

 5у=2х     х/у=5/2    

5 частей первого раствора и 2 части второго.

Ответ: 5 и 2.

_____________________________________________________________


15. В двух бидонах  находится 68 литров молока. Если из первого бидона перелить во второй 15% молока, находящегося в первом, то в обоих бидонах молока будет поровну. Сколько литров молока было во втором бидоне первоначально?

Решение. Когда молока стало поровну, то в каждом бидоне оказалось по 68:2 = 34 литра. Пусть в первом бидоне сначала было х литров, после отлива из него 15% в нем стало х–0,15х = 0,85х и это равно 34 л.

Уравнение:  0,85х = 34,   х = 34 / 0,85 = 40 (л) - было в первом бидоне вначале.  

Во втором бидоне было  сначала  68 – 40 = 28 (л).        

Ответ: 28. __________________________________________________________________


16. К раствору соляной кислоты добавили 100г соляной кислоты. В результате получили 600г 18%-ного раствора соляной кислоты. Сколько граммов соляной кислоты содержалось в исходном растворе?

600г раствора       - 100% х г соляной кислоты  - 18% х = 600*18/100 = 108 г кислоты

А т.к. 100г было добавлено, то вначале было 108 – 100 = 8 г

Ответ: 8.

_____________________________________________________________










57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)

Автор
Дата добавления 16.03.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров203
Номер материала ДВ-531421
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх