Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Методическая разработка по математике "Нестандартные уроки математики в общеобразовательной школе"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Методическая разработка по математике "Нестандартные уроки математики в общеобразовательной школе"

библиотека
материалов


Донецька загальноосвітня школа І-ІІІ ступенів №23






hello_html_m1bb93d49.gif


(Навчально-методичний посібник)



Із досвіду роботи

вчителя математики

Вищої кваліфікаційної категорії,

Педагогічне звання

«Учитель - методист»

ЄГОРОВОЇ ЄВГЕНІЇ ІВАНІВНИ




Рецензент Керівник РМО вчителів математики

Т.Л.Ємельянова


Методична розробка розглянута і затверджена на засідання ШМР Голова ШМР О.М.Тринєєва

Протокол № від 2011 р.



Методична розробка розглянута і затверджена на засіданні РМО вчителів математики Керівник РМО

Т.Л.Ємельянова

Протокол № від 2011 р.

Погоджено Голова РМК

Т.О.Рябенко



Методична розробка розглянута на засіданні РМР і рекомендована для використання в школах району.



Протокол № від 2011 р.











Рецензія

на методичну розробку вчителя математики

Донецької загальноосвітньої школи І-ІІІ ступенів №23

Єгорової Євгенії Іванівни

У даному методичному посібнику розглядаються нестандартні уроки у загальноосвітній школі.

Тема актуальна і значуща тому, що вона дозволяє наблизити навчальний процес до реального життя, вмотивовує навчальну діяльність учнів.

Сучасна школа покликана залучати дітей до творчості, а нестандартні підходи до викладання предметів – формувати у школярів більш високий рівень мислення, ніж той на який орієнтується традиційна система навчання. Тому розвиток мислення дитини (розвиваюча мета) є пріоритетним серед інших (навчальної і виховної мети) дидактичних цілей на будь-якому уроці. Одним з напрямків роботи, через який в найбільшій мірі забезпечується реалізація розвиваючої мети є вміння вчителя здійснювати активізацію пізнавальної діяльності учнів шляхом використання нестандартних уроків.

Творчість школярів можна розвивати різними шляхами. Одним з них є застосування у загальноосвітній школі в арсеналі організаційних форм навчання нетрадиційного уроку.

Відомо, що будь-який урок — це складне педагогічне явище, витвір вчителя, на якому учні де­монструють свої знання, уміння та навички.

Чи цікаво дітям на уроці? Чи люблять вони вчитися?

На ці питання не можна відповіс­ти однозначно. Іноді діти ідуть на урок із задоволенням, іноді без нього.

Як зацікавити дітей? Як привернути їх увагу до свого предмету?

Звичайно, за допо­могою того, що їм найцікавіше буде слухати, того, що вони бу­дуть робити із задоволенням.

Як донести матеріал до їх свідо­мості яскраво і красиво, щоб запам'яталось надовго і назавжди?

Іноді можна почути, що матема­тика складна, суха і нецікава наука. Людей, які люблять матема­тику, це вражає й ображає. Математика сувора, але красива й гли­бока, як чиста криниця. А завдання вчителя і полягає в то­му, щоб розкривати перед учня­ми її емоційний бік, чуйну і врод­ливу стать. Як краще цього до­могтися? Красивими, цікавими уроками. Уроками, які пробуджують цікавість і працьовитість, фокусують увагу і зосередженість.

Структура роботи відповідає логіці дослідження та включає: вступ, три розділи, висновки та аналіз, список використаної літератури

Атестаційний матеріал чітко спланований, подається логічно, науково, переконливо, супроводжується розробками уроків . В цілому ця робота має не тільки теоретичний та практичний інтерес і може використовуватись у творчій роботі вчителями математики.


Керівник РМО вчителів математики Т.Л.Ємельянова


Зміст

Вступ ………...……………………………………………………….. 4

І. Розвиток творчих здібностей учнів на уроках математики 7

ІІ. Нестандартні уроки в школі – один із шляхів розвитку творчості школярів ………………………….……………………. 17

  1. Теоретичні основи методики проведення нестандартних уроків в школі ……………………………………………….. 18

1.1. Методи формування пізнавальних інтересів учнів … 18

1.2. Метод стимулювання обов'язку і відповідальності в навчанні ………………………………………………………. 20

1.3. Урок – основна форма організації навчання ………... 26

  1. Педагогічні технології навчання. Нестандартні уроки: визначення, класифікація. Математичне мислення …… 30

ІІІ. Методика проведення нестандартних уроків ...…………… 41

  1. Нестандартні уроки математики в основній школі ……. 42

  2. Нестандартні уроки математики в старшій школі ……... 59

Література ………………………..………………………………… 79



Вступ

«У цілому світі все здійснюється по-математичному»

Г. Лейбніц

У даному посібнику розглядаються нестандартні уроки у загальноосвітній школі.

Сьогодні на Україні відбуваються грандіозні зміни. В сучасних умовах, коли об’єм необхідних для людини знань різко і швидко зростає, неможливо робити головну ставку на засвоєння певної суми знань. Важливо прививати учням уміння самостійно поповнювати знання, орієнтуватися в стрімкому потоці наукової інформації. Від працівника будь-якої галузі в більшій мірі, ніж раніше вимагаються не тільки фундаментальні загальні і спеціальні знання, але і здатність працювати творчо, самостійно. Ось чому сучасна школа повинна вчити дітей мислити, а нові підходи до викладання предметів формувати у школярів більш високий рівень мислення, ніж той на який орієнтується традиційна система навчання. Отже, розвиток мислення дитини (розвиваюча мета) є пріоритетним серед інших (навчальної, виховної, пізнавальної і моніторингової) дидактичних ідей на кожному уроці. Одним з елементів роботи, який найбільшою мірою забезпечує реалізацію розвиваючої мети є вміння вчителя здійснювати активізацію пізнавальної діяльності учнів через нестандартні уроки.

У всьому світі набирають великих обертів інноваційні та інформаційні технології. Сучасна Україна немислима без всебічно розвиненої гармонійної особистості. Нагальним є виховання у підростаючого покоління потреби не тільки йти паралельно бурхливому плину різного роду інформації, в тому числі наукової, орієнтуватися в ній, але і вміти цю інформацію проаналізувати, обробити, використати і розвинути. Щоб бути конкурентноздатним, влитися у загальний процес ринкових відносин на Україні та й у світі, необхідно формувати інтелект, максимально стійкий у часі і в різних ситуаціях. Тому особливу увагу слід звернути на забезпечення високого рівня математичної, наукової культури випускників загальноосвітніх закладів України. Від належного влиття української наукової думки у світову залежить майбутнє України.

Роль учителя є вирішальною у процесах формування мислення, гартування характеру й виховання моральних якостей учнів. Він є генератором і джерелом ідей, якими керується учень. Від педагогічної майстерності вчителя залежить націлювання учнів на належний навчальний лад.

Тому першочерговим завданням, яке стоїть перед учителем є розвиток індивідуальних здібностей своїх учнів, виховання в них сміливості думки і впевненості у собі, переконаність у тому, що вони розв'яжуть будь-яку задачу, в тому числі й творчого характеру. Це можна зробити з використанням нестандартних як за формою так і за змістом уроків.

Посібник може бути використаний на уроках математики вчителями математики, учнями старших класів і студентами математичних факультетів.


І. Розвиток творчих здібностей учнів на уроках математики

Призначення генія полягає у тому, щоб сформувати думки,

які через двадцять років стануть надбанням дурнів
Луї Арагон

Коли йдеться про зміст шкільного курсу математики, то, звичайно, мають на увазі засвоєння учнями певної системи математичних знань, умінь і на­вичок. Але не можна зводити все математичне навчання в школі до передачі учням визначеної суми знань і навичок. Це обмежувало б роль математики в загальній освіті. Тому перед школою стоїть важливе завдання розвитку математич­них здібностей учнів.

Математичні здібності — це здатність утворювати на математичному матеріалі узагальнені, згорнуті, гнуч­кі й обернені асоціації та їх системи. До складових ма­тематичних здібностей слід віднести:

здатність до формалізації математичного матеріа­лу, відокремлення форми від змісту, абстрагування від реальних ситуацій і їх кількісних відношень та просторових форм; оперування структурами відношень і зв'язків;

здатність до узагальнен­ня матеріалу;

здатність до оперування числовою і знаковою символікою;

здатність до логічних міркувань, пов'язаних з потребою доводити, ро­бити висновки; здатність до скорочення процесу міркувань;

здатність до переходу від прямого до оберненого ходу думки;

гнучкість мислення неза­лежно від впливу шаб­лонів.

Математика сприяє вироб­ленню особливого виду пам'яті — пам'яті, спрямо­ваної на узагальнення, тво­рення логічних схем, формалізованих структур, ви­ховує здатність до просто­рових уявлень.

Наявність математичних здібностей в одних учнів і недостатня розвинутість їх в інших вимагає від учи­теля постійного пошуку, шляхів формування і роз­витку таких здібностей у школярів.

Чим раніше дитина приступить до упорядкованого і цілеспрямованого навчання, тим більш явними будуть її досягнення.

Численні психофізіологічні дослідження свідчать, що постійна стимуляція мозку може привести до стійких змін його мікроструктури і функцій.

Оскільки успіхи людини ґрунтуються на її здібностях, то своєчасне виявлення і спрямування їх у відповідному середовищі дає можливість розвивати їх у певному професійному напрямку ще за час навчання у школі. Питання діагностування здібностей полегшується тим, що вони мають конкретний прояв у діяльності таких функціональних систем, як увага, пам'ять, мислення, емоційно-вольові процеси.

Останнім часом утвердився дуже перспективний напрям досліджень: вивчення креативних (творчих) та інтелектуальних здібностей, як таких, що визначають творчий та інтелектуальний напрям діяльності людини. Інтелектуальні й творчі здібності є тими глобальними психічними утвореннями, якими визначаються адаптаційні можливості людини.

Як відомо, інтелект являє собою структуровану систему якостей: індукція і дедукція, аналіз і синтез, узагальнення і класифікація, абстрагування тощо, що в цілому являє собою здатність людини до розуміння, запам'ятання і використання інформації. Відповідно загальні інтелектуальні здібності виявляються у можливості людини засвоювати нові знання швидко, ефективно і використовувати їх у своїй практичній діяльності. Досягнення людини визначаються системою одержаних знань, що в кінцевому результаті визначає високий рівень професійної діяльності.

Результати аналізу сучасних досліджень свідчать, що творчість настільки багатогранне, своєрідне і специфічне явище психічної діяльності людини, що прояви її не можна обмежити якоюсь єдиною властивістю: чи це дивергентне мислення (Дж.Гілфорд), чи пізнавальна активність (Д.Богоявленська), чи "бічне" (нестандартне) мислення (Е. де Боно), а чи здогадка, інсайт (С.Рубінштейн), імманентний розвиток діяльності (А.Стеценко) або мотивація досягнень (Дж.Рензуллі, В.Дружинін). На думку багатьох авторів, творчість визначається специфічно творчими здібностями.

Творчі здібності виявляються у внутрішньому інтересі людини (найчастіше з дитинства) до певного виду діяльності, уважному ставленні до певних предметів або дій, всупереч необхідності виконувати інші. Тому з  погляду діагностики, показниками творчих здібностей будуть:

уподобання дитини;

інтерес до певного виду предметів або об'єктів і дій з ними;

значна увага до певного кола об'єктів;

зосередження уваги саме на обраних;

оригінальний підхід до стандартних завдань;

намагання змінювати, реконструювати те, з чим доводиться зустрічатися.

Що стосується спрямованості творчості, то мірою її може бути: цікавість індивіда до певних предметів, дій, ідей тощо; конкретний інтерес; специфічна звуженість сприймання; зосередженість на певній діяльності. Останнє може бути результатом переважання образного чи вербального способу сприймання навколишнього світу і відповідно розвинутого теоретичного або практичного мислення. Соціальне середовище, створення умов для розвитку творчості сприяють виявленню потенційних творчих можливостей дитини.

Діагностування інтелектуальних і творчих здібностей учнів в умовах шкільного навчання дає можливість вирішити одне з найважливіших завдань школи здійснити індивідуалізацію навчання; знання вчителем потенційних можливостей учня, орієнтація на ті якості, що забезпечують успішне оволодіння необхідною інформацією, сприяють подальшому розвитку цих якостей і значно підвищують ефективність навчання; своєчасне діагностування прихованих інтелектуальних і творчих здібностей сприяє розвиткові рефлексивної здатності дитини до самопізнання, підвищення власної самооцінки; методи діагностики досить високого рівня інтелектуальних і творчих здібностей дозволяють розкрити потенційну обдарованість дитини; умовою розвитку здібностей є відповідне творче освітянське середовище, яке надає можливості для забезпечення інтелектуальних і творчих потреб дітей.

Психологічне дослідження з проблеми діагностики інтелектуальних і творчих здібностей дітей дозволяє виділити в структурі цих здібностей такі компоненти: рівень розвитку, предметна спрямованість, афективність (інтерес).

Рівень розвитку передбачає, що індивідуально інтелектуальні і творчі здібності можуть бути високого, середнього і низького рівня. В інтелектуальних здібностях цей рівень представлений швидкістю опанування учнем інформації, повнотою знань, якістю виконання певних завдань, розумінням причинно-наслідкових залежностей, умінням узагальнювати явища і факти, концентрацією уваги. Рівень творчих здібностей визначається переважанням нешаблонного (дивергентного мислення), вмінням знаходити нові підходи до проблеми, оригінальністю рішення і його поліваріантністю.

Спрямованість здібностей виявляється у переважанні уваги до певних видів діяльності або певного навчального предмета, наявності глибоких знань з цього предмета, бажання вдосконалювати і поширювати ці знання.

Зміст афективного компонента відображає інтерес учня до навчальної діяльності або творчості, як у цілому, так і на зосередженості на певній галузі знань.

Творчість людини — це діяльність, спрямована на створення нового продукту, тобто нового матеріального об'єкта, нового знання, нової технології.

Чи можна навчити­ся творчості, творчого мислення?

Сформувати на­вички безперервного інтелектуального саморозвитку можна тільки в процесі са­мостійної діяльності людини. Діти повинні на уроках заглиблюватись в атмосферу творчості, пошуку нового, піддавати сумнівам сталі істини.

Створення такої атмосфери — справа складна, але необхідна.

Учитель, вихователь повинні спрямовувати розвиток дити­ни за напрямками:

а) дитина пізнає, сприймає та засвоює довкілля;

б) дитина впливає на довкілля;

в) дитина набуває здатності до орієнтації та саморегуляції, в неї формується особистий підхід до явищ, середовища, вчинків, а знання стають практично спрямованими. При цьому вчитель повинен виховувати культ знання, застосову­ючи широку інформованість, тому що розвиток особистості породжує незалежність, свободомислення.

Тобто вчитель повинен сам оволодіти моделлю продуктивного пізнання і впроваджувати її в своїй діяльності, пізніше її може бути покладено в основу розвитку творчого потенціалу учнів.

Розглянемо понятійний апарат технології формування творчої особистості.

Креативна особистість особистість, яка має внутрішні передумови (особистісні утворення, нейрофізичні задатки, специфіку когнітивної сфери), що забезпечують її творчу ак­тивність, тобто не стимульовану зовні пошукову та перетво­рювальну діяльність.

Пізнавальна перспектива — наявність широкого орієнту­вання у виучуваному матеріалі та моделі майбутньої пізна­вальної діяльності.

Продуктивне середовище пізнання — це особливе середо­вище взаємодії інформаційного, пізнавального, психо­логічного, педагогічного, яке створює комфортні умови продуктивній творчій діяльності.

Творча особистість — це індивід, який володіє високим рівнем знань, потягом до нового, оригінального, який вміє відкинути звичайне, шаблонне. Потреба в творчості є життєвою потребою.

Творче мислення це пізнання чогось нового. Воно є складовою людського інтелекту.

Творчі здібності це вміння, а також можливості творчо виконувати якусь роботу, справляти якісь дії, спрямовані на конкретний результат для поліпшення чого-небудь або кого-небудь.

Творчі можливості — якості і здібності, вміння й особли­вості мотиваційної сфери учнів, що розвиваються і ведуть до формування творчої особистості, розкриття потенційних мож­ливостей кожної дитини.

Творчість це діяльність людини, яка породжує щось нове, відрізняється неповторністю, оригінальністю та суспільно-історичною унікальністю.

Творчий інтерес — увага, викликана чимось значним, принадним, цікавим, таким, що спонукає до самостійної творчої діяльності, результатом якої є відкриття чогось нового, вирішення якоїсь проблеми.


ІІ. Нестандартні уроки в школі – один із шляхів

розвитку творчості школярів


Творчість школярів можна розвивати різними шляхами. Одним з них є застосування у загальноосвітній школі в арсеналі організаційних форм навчання нетрадиційного уроку.

Відомо, що будь-який урок — це складне педагогічне явище, витвір вчителя, на якому учні де­монструють свої знання, уміння та навички.

Чи цікаво дітям на уроці? Чи люблять вони вчитися?

На ці питання не можна відповіс­ти однозначно. Іноді діти ідуть на урок із задоволенням, іноді без нього.

Як зацікавити дітей? Як привернути їх увагу до свого предмету?

Звичайно, за допо­могою того, що їм найцікавіше буде слухати, того, що вони бу­дуть робити із задоволенням.

Як донести матеріал до їх свідо­мості яскраво і красиво, щоб запам'яталось надовго і назавжди?

Іноді можна почути, що матема­тика складна, суха і нецікава наука. Людей, які люблять матема­тику, це вражає й ображає. Математика сувора, але красива й гли­бока, як чиста криниця. А завдання вчителя і полягає в то­му, щоб розкривати перед учня­ми її емоційний бік, чуйну і врод­ливу стать. Як краще цього до­могтися? Красивими, цікавими уроками. Уроками, які пробуджують цікавість і працьовитість, фокусують увагу і зосередженість. Отже, не­стандартний урок.

Теоретичні основи методики проведення нестандартних уроків в школі

Методи стимулювання і мотивації навчально-пізнавальної діяльності учнів на уроках математики

До цієї групи належать методи, спрямовані на формування позитивних мотивів учіння, що стимулюють пізнавальну активність і сприяють збагаченню учнів навчальною інформацією. Їх поділяють на дві групи.

1.1. Методи формування пізнавальних інтересів учнів.

Вони викликають позитивні дії та настрій – образність, цікавість, здивування, моральні переживання.

Для створення емоційної ситуації важливими є вдало дібрані приклади з літератури, художніх фільмів, особистих переживань вчителя. Яскравість розповіді, високий пафос збуджують зацікавленість учнів, як до окремих питань теми, так і до матеріалу загалом. Найпоширенішими серед методів даної групи є:

Метод створення ситуації новизни навчального матеріалу. Передбачає окреслення нових знань у процесі викладання, створення атмосфери морального задоволення від інтелектуальної праці. Відчуття збагачення знаннями спонукає учнів до самовдосконалення.

Метод опори на життєвий досвід учнів. Полягає у використанні вчителем у навчальному процесі життєвого досвіду учнів (фактів, явищ, які вони спостерігали в житті, навколишньому середовищі або в яких самі брали участь) як опори при вивченні нового матеріалу. Це викликає в учнів інтерес, бажання пізнати сутність спостережуваних явищ.

Метод пізнавальних ігор. Сприяє створенню емоційно-піднесеної атмосфери, засвоєнню матеріалу за допомогою емоційно насиченої форми його відтворення. Пізнавальні ігри (ділові, рольові, ситуативні) моделюють життєві ситуації, стосунки людей, взаємодію речей, явищ. Вони можуть бути основною або допоміжною формою навчального процесу. Розвиваючий ефект досягається за рахунок імпровізації, природного вияву вільних творчих сил учнів. У виховному значенні гра допомагає учням подолати невпевненість, сприяє самоствердженню, найповнішому виявленню своїх сил і можливостей.

Метод створення відчуття успіху в навчанні. Постійне відчуття учнем успіху в навчанні зміцнює впевненість у власних силах, пробуджує почуття гідності, бажання вчитися.

1. 2.Метод стимулювання обов'язку і відповідальності

в навчанні.

Передбачає показ учням суспільної та особистої значущості учіння; висунення вимог, дотримання яких означає виконання ними свого обов'язку; привчання їх до виконання вимог; заохочення до сумлінного виконання обов'язків; оперативний контроль за виконанням вимог і в разі потреби – вказівки на недоліки та зауваження.

Методи контролю і самоконтролю за ефективністю навчально-пізнавальної діяльності забезпечують одержання зворотної інформації про характер і досягнення учнів та про ефективність праці вчителя.

Залежно від форми контрольних завдань перевірка може бути усною, письмовою, графічною і практичною.

Тестові методи перевірки знань.

Вони становлять систему завдань для оцінювання знань учня за допомогою кількісних норм. Здебільшого передбачають вибір особою, яка проходить тестування, однієї з кількох запропонованих відповідей. Термін запровадив до вжитку у 1899 р. американський психолог Джеймс Кеттел (1860-1944), а тести як прийом оцінювання почали застосовувати у Великобританії у 1864 p. Ha відміну від традиційних методів контролю, орієнтованих в основному на перевірку засвоєння конкретних знань, тестовий контроль спрямований на перевірку засвоєння ключових елементів навчального матеріалу. Він відрізняється більшою об'єктивністю, усуває суб'єктивізм, скорочує час на перевірку, сприяє дотриманню єдиності вимог, запобігає випадковості при оцінюванні знань, забезпечує сприйняття учнем оцінки як об'єктивної, дає змогу статистично опрацювати одержані результати.


Програмований контроль.

Полягає у пред'явленні до всіх учнів стандартних вимог у процесі перевірки однакових за кількістю і складністю контрольних завдань, запитань. Оцінювання знань здійснюють за допомогою різних автоматизованих або технічних пристроїв.

Методика CASE.

Однією з методик, що набула популярності у другій половині 90-х років XX ст., стала CASE (Cognitive Acceleration through Sience Education) – пізнавальна акселерація у процесі вивчення природничих наук, розроблена англійськими науковцями M.Шейером, Ф. Едейем та K. Єйтс. В основу її покладені концепції розвитку розумових здібностей. Вона становить спеціальну методику навчання, яка полягає у використанні конкретних випадків (ситуацій, історій) для спільного аналізу, обговорення або вироблення рішень учнями з певного розділу навчальної дисципліни.

Робота з CASE (на професійній мові – з кейсами) передбачає розбір або «рішення» конкретної ситуації з певного сценарію, який включає самостійну роботу, «мозковий штурм» в межах малої групи, публічний виступ із представленням та захистом запропонованого рішення, контрольне опитування учнів на предмет знання фактів кейсу, що розбирається.

Використання методики CASE не виключає традиційних методів навчання. Навпаки, розбір кейсу передбачає знання учнями теоретичного матеріалу. Вчитель та учні повинні вести розмову однією мовою, опираючись на отриманий теоретичний матеріал, практичний досвід. В основі цієї методики є:

– підготовка до створення пізнавального конфлікту полягає у тому, щоб поставити перед учнем складне пізнавальне завдання і мотивувати необхідність його вирішення;

– виникнення пізнавального конфлікту зумовлене необхідністю вирішити пізнавальне завдання високого рівня складності, поступовим усвідомленням учнем можливості це зробити за напруження розумових сил та певної допомоги з боку дорослих, однолітків;

– конструювання нових мислительних операцій спонукає до цього виникнення пізнавального конфлікту, а допоміжним засобом є спеціально організовані запитання, поставлені вчителем;

– здійснення метакогнітивних операцій – усвідомлення учнями процесу вирішення завдання. Воно виявляється в осмисленні процесу свого мислення, труднощів у ньому та способів їх подолання (трактується авторами як центральна «опора»).

– перенесення способів вирішення конкретного пізнавального завдання на інші аналогічні та на принципово нові типи завдань, нові галузі знань.

CASE розрахована на дітей 11 – 14-річного віку, оскільки саме цей період є сензитивним (найсприятливішим) для розвитку формальних розумових операцій. Методика передбачає проведення протягом 2 років спеціальних 60–70-хвилинних уроків двічі на місяць, метою яких є розвиток в учнів навичок вирішення складних пізнавальних проблем на основі природничо-наукових матеріалів.

Методика проблемно-розвиваючого навчання.

Ця методика включає в себе систему регулятивних принципів діяльності, цілеспрямованості та проблемності, правил взаємодії викладача та учнів, вибір і вирішення способів прийомів створення проблемних ситуацій і вирішування навчальних проблем.

Проблемно-розвиваюче навчання полягає в пошуковій діяльності учнів, яка починається з постановки питань (створення проблемної ситуації), продовжуючись у розв'язанні проблемних завдань, у проблемному викладі знань учителем, у різноманітній самостійній роботі учнів. Передбачає належний рівень підготовленості, зацікавленості учня до пошуку невідомого результату.

Система методів проблемно-розвиваючого навчання ґрунтується на принципах цілеспрямованості (відображають передбачувані, плановані результати свідомо організованої діяльності), бінарності (складається з діяльності викладача й учнів) та проблемності (визначають рівень складності матеріалу і труднощі в його засвоєнні). Її складають показовий (показове викладання), діалогічний (діалогічне викладання), евристичний (евристична бесіда), дослідницький (дослідницькі завдання), програмований (програмовані завдання) методи.


1.3. Урок – основна форма організації навчання

Основні ознаки уроку.

Під уроком розуміється заняття, що проводиться викладачем з постійним складом учнів однакового рівня підготовки, об'єднаних у навчальну групу.

Кожен урок являє собою складову частину, ступінь учбового процесу. Разом з тим це цілісний, логічно завершений етап на шляху засвоєння учнями знань, умінь і навичок.

Урочна система дозволяє правильно нормувати працю й відпочинок учнів, забезпечувати керівну роль педагога в навчальному процесі і строге виконання кожним учнем своїх учбових обов'язків.

Вимоги до уроку і шляхи його вдосконалення.

Ключовим компонентом класно урочної системи організації навчання є урок. Урок – це "відрізок" навчального процесу, який є викінченим у смисловому, часовому й організаційному відношенні. Незважаючи на малу тривалість, уроки мають ті структурні компоненти, які характеризують процес навчання в цілому, зокрема: цільовий, стимуляційно-мотиваційний, змістовий, операційно-діяльнісний, контрольно-регулювальний та оцінно-результативний. Тому від ефективності уроків залежить ефективність навчального процесу.

Над удосконаленням уроку працює багато теоретиків і практиків. Вироблені загальні вимоги до уроку, які повинен знати кожен педагог і дотримуватися їх повсякчас.

З-поміж загальних вимог, яким повинен відповідати сучасний урок, виділяються такі:

- побудова уроку на основі закономірностей навчально- виховного процесу;

- оптимальне поєднання і реалізація на уроці всіх дидактичних принципів і правил;

- забезпечення умов для продуктивної пізнавальної діяльності учнів з урахуванням їхніх інтересів, нахилів і потреб;

- встановлення міжпредметних зв'язків» усвідомлених учнями;

- зв'язок з раніше засвоєними знаннями й уміннями, опора на досягнутий рівень розвитку учнів;

- стимулювання й активізація розвитку всіх сфер особистості;

- логічність і емоційність усіх етапів навчально-пізнавальної діяльності;

- формування уміння вчитися, потреби поповнення своїх знань;

- зв'язок з життям, особистим досвідом учнів:

- формування практично-необхідних знань, умінь, навичок, раціональних прийомів мислення та діяльності;

- діагностика, прогнозування, проектування і планування

кожного уроку.

Кожний урок реалізує триєдине завдання: навчити, розвинути, виховати. За цим критерієм загальні вимоги до уроку конкретизуються дидактичними, розвиваючими і виховними вимогами.

До дидактичних (освітніх) вимог належать:

- чітке визначення освітніх завдань кожного уроку;

- раціональне визначення змісту уроку з урахуванням - соціальних і особистісних потреб;

- впровадження новітніх технологій пізнавальної діяльності;

- раціональне поєднання різноманітних форм і методів навчання;

- творчий підхід до побудови структури уроку;

- поєднання різних форм колективної діяльності з самостійною діяльністю учнів;

- забезпечення оперативного зворотного зв'язку, дієвого контролю і управління.

До розвиваючих вимог належать:

- формування і розвиток в учнів позитивних мотивів навчально - пізнавальної діяльності, творчої ініціативи й активності;

- вивчення й урахування рівня розвитку та психічних властивостей учнів, проектування "зони найближчого розвитку";

- стимулювання нових якісних змін у інтелектуальному, емоційному, соціальному розвитку учнів.

Виховні вимоги до уроку містять:

- визначання виховних можливостей навчального матеріалу, діяльності на уроці;

- постановку і формування виховних завдань, зумовлених цілями і змістом навчальної роботи;

- формування в учнів життєво необхідних якостей: старанності, відповідальності, охайності, самостійності, працездатності, уважності, чесності та ін.;

- формування світоглядної, моральної, правової, політичної, художньо - естетичної, економічної, екологічної культури;

- співробітництво і партнерство з учнями, зацікавленість у їхніх успіхах.

Крім перерахованих вимог до уроку, в педагогічній літературі виділяються й інші вимоги: організаційні, психологічні, управлінські, санітарно-гігієнічні та ін.

Педагогічні технології навчання.

Нестандартні уроки: визначення, класифікація.

Математичне мислення.

Метою державної Національної програми "Освіта" ("Україна ХХІ ст.") є виведення освіти в Україні на рівень розвинутих країн світу. Це можливе лише за умов відходу від авторитарної педагогіки і впровадження сучасних педагогічних технологій.

Термін "інновація" означає оновлення процесу навчання, який спирається, головним чином, на внутрішні фактори. Запозичення цього терміна пов'яза­не з бажанням виділити мотиваційний бік навчання, відмежуватися від чер­гових "переможних методик", які за короткий час повинні дати максималь­ний ефект незалежно від особливостей класу та окремих учнів, їхніх бажань, здібностей тощо.

Поняття "технологія" виникло у світовій педагогіці також як протиставлен­ня існуючому поняттю "метод". Недолік методу полягає в його негнучкості та статистичності. Широкого поширення термін "технологія" ("технологія в освіті") набув у 40-х рр. і був пов'язаний із застосуванням нових аудіовізуальних за­собів навчання. У 60-х рр. поняття "технологія освіти" розглядалося під кутом зору програмного навчання і використання обчислювальної техніки у навчанні.

З початку 80-х рр. все більше вживається термін "педагогічні технології". У визначенні Їхньої суті немає єдиного погляду: одні розуміють це як певну систе­му вказівок щодо використання сучасних методів і засобів навчання; інші – цілеспрямоване застосування прийомів, засобів, дій для підвищення ефективності навчання; треті – цілісний процес визначення мети, обгpунтування плану і про­грами дій та навчальних методів. Кожний з цих підходів має право на існування, бо охоплює різні сторони навчального процесу. Тому існує велика кількість педаго­гічних технологій.

Отже, інноваційні технології – це цілеспрямований системний набір при­йомів, засобів організації навчальної діяльності, що охоплює весь процес на­вчання від визначення мети до одержання результатів. Система грунтується на внутрішніх умовах навчання. Тому "педагогічні технології" пов'язані з ідеями і досвідом психології, соціології, системного аналізу тощо.

Педагогічна технологія – це цілеспрямована система. Ми звикли до визначення мети навчання, виходячи з комплексного підходу поєднання освіт­ньої і виховної мети (Ю. Бабанський). Останнім часом особлива увага при­діляється розвиткові творчих здібностей учнів. Найбільш поширеним є когнітивний та гуманістичний підходи.

Прибічники когнітивного підходу вважають головним у навчанні розви­ток мислення та пам'яті учнів, інтелектуальних умінь, як-от: абстрагування, аналіз, синтез, класифікація, узагальнення, оцінювання, теоретичні міркуван­ня, тобто таких, що дають можливість розв'язати висунуту проблему.

Послідовники гуманістичного підходу спираються на "Я - концепцію" і відстоюють право учнів самостійно обирати мету, формувати власні пробле­ми, заглиблюватись у суб'єктивний досвід та прогнозувати його наслідки.

Сучасне навчання в школах України тяжіє до когнітивного. Вся увага зосереджена видозміні уроку як форми навчання. З'явилися "нестандартні уроки".

В дидактиці пошук шляхів активізації пізнавальної діяльності учнів на уроках – не нова проблема. Багато вчених і вчителів переймалися проблемами методики уроку, шляхів його вдосконалення. На небезпечну тенденцію зниження інтересу учнів до занять, яка з'явилася в нашій школі ще в середині 70-х років, масова практика школи відреагувала нестандартними уроками. Нестандартні уроки більше подобаються учням, ніж буденні навчальні заняття. У них незвичайні задум, організація, методика проведення.

Головна мета таких уроків – пробудження і утримання інтересу до навчальної праці.

Розробка нестандартних уроків відбувалася у двох напрямках: поєднання різних форм навчання (урок-диспут, урок-лекція, урок-семінар) і власне не­стандартні уроки.

На відміну від звичайних уроків, метою яких є оволодіння знаннями, вміння­ми та навичками, нестандартний урок найбільш повно враховує вікові особли­вості, інтереси, нахили, здібності кожного учня. У ньому поєдналися елементи традиційних уроків – сприймання нового матеріалу, засвоєння, осмислення, узагальнення – але у незвичайних формах.

В різних роботах, посібниках з педагогіки наводиться визначення, класифікація, методика проведення нестандартних уроків в школі. Отже,

Нестандартний урок – це імпровізоване навчальне заняття, що має нестандартну структуру.

На відміну від звичайних уроків, метою яких є оволодіння знаннями, вміння­ми та навичками, нестандартний урок найбільш повно враховує вікові особли­вості, інтереси, нахили, здібності кожного учня. У ньому поєдналися елементи традиційних уроків – сприймання нового матеріалу, засвоєння, осмислення, узагальнення – але у незвичайних формах.

Саме такі уроки містять в собі елементи майбутніх технологій, які при гру­пуванні їх у певну систему, що грунтується на глибокому знанні потреб, інте­ресів та здібностей учнів, можуть стати дійсно інноваційними.

Найбільш поширені такі форми нестандартних уроків:

1. Інтегрований урок. Як правило, такий урок проводять два вчителі. Вони спільно здійснюють актуалізацію знань за двома напрямами опитування (якщо це потрібно), виклад нового матеріалу тощо. Найчастіше поєднуються такі предмети, як історія-географія, історія-література, історія-іноземна мова.

2. Дослідницький урок та лабораторно-практичні роботи. Їхня мета полягає в одержанні навчальної інформації з першоджерел. Ці уроки розвивають спеціальні вміння і навички, стимулюють пізнавальну активність та самостійність. Учні вчаться працювати з історичними документами, підручниками, періодичною пресою.

3. Рольова гра. Вона вимагає від учнів прийняття конкретних рішень у проб­лемній ситуації в межах ролі. Кожна гра має чітко розроблений сценарій, голов­ну частину якого необхідно доопрацювати учням. Отже, пошук вирішення про­блеми залишається за школярами.

4. Театральна (театралізована) вистава. На відміну від рольової гри, вис­тава передбачає більш чіткий сценарій, який регламентує діяльність учнів без­посередньо на уроці і збільшує їхню самостійність під час підготовки сценарію. Театралізовані вистави спрямовані на те, щоб викликати інтерес до навчання. Вони опираються на образне мислення, фантазію, уяву учнів.

Особливість нестандартних уроків полягає в такому структуруванні змісту і форми, яке викликало б інтерес в учнів, сприяло їх оптимальному розвитку і вихованню.

Назви уроків дають деяке уявлення про цілі, завдання і методику проведення нестандартних уроків: уроки-пресконференції, уроки-аукціони, уроки-ділові ігри, уроки-занурення, уроки типу KBK, уроки-консультації, комп'ютерні уроки, театралізовані уроки, уроки з груповими формами роботи, уроки взаємного навчання, уроки творчості, які ведуть учні, уроки-заліки, уроки-сумніви, уроки-творчі звіти, уроки-формули, уроки-конкурси, уроки-фантазії, уроки-"суди", уроки-пошуку істини, уроки-концерти, уроки-діалоги, уроки-рольові ігри, уроки-екскурсії, інтегровані уроки тощо.

При проведенні нестандартних уроків, як правило, використовуються декілька педагогічних технологій навчання.

Процес пізнання в навчальній діяльності нерозривно зв’язаний з  процесом мислення.

Мислення – це соціально обумовлений, нерозривно пов'язаний з мовою психічний процес пошуків та відкриття істотно нового, процес опосередкованого та узагальненого відображення дійсності у ході її аналізу та синтезу. Мислення виникає на основі практичної діяльності з чуттєвого пізнання і далеко виходить за його межі.

На основі найпростіших методів пізнання – словесних, наглядних, практичних відбувається процес навчального пізнання.
Якщо необхідно цей процес ускладнити, наприклад, процес сприймання та осмислення будується на більш складній методиці проблемного вивчення, то в цьому випадку розумова діяльність максимально орієнтується на заключний етап – абстрактне пізнання (узагальнення).

Як правило, коли кажуть про розвиток мислення у процесі навчання математиці, то мають на увазі розвиток математичного мислення.

А.Я. Хінчин, відомий математик, що глибоко цікавився проблемами навчання математиці, вказав на чотири характерні ознаки математичного мислення:

1. Доведене до граничної межі домінування логічної схеми міркування;

2. Лаконізм, свідоме прагнення завжди знаходити найкоротший, який веде до даної мети, логічний шлях, безжалісне відкидання всього, що не абсолютно необхідне для бездоганної аргументації;

3. Чітке розмежування ходу аргументації;

4. Скрупульозна точність символіки.

Математичне мислення є не лише одним із найважливіших компонентів процесу пізнавальної діяльності, але й таким компонентом, без цілеспрямованого розвитку якого неможливо досягнути ефективних результатів оволодіння математичною наукою.

Будемо розуміти під математичним мисленням, по-перше, ту форму, якою є діалектичне мислення у процесі пізнання людиною конкретної науки математики або у процесі застосування математики в інших науках, техніці, господарстві і т. д.; по-друге, ту специфіку, яка обумовлена самою природою математичної науки, методів, що застосовуються для пізнання явищ реальної дійсності, а також тими загальними прийомами мислення, які при цьому застосовуються.

Математичне мислення має свої специфічні риси та особливості, вони обумовлені специфікою об'єктів, що вивчаються, а також специфікою методів їхнього вивчення.
Існує загальна думка про активну роботу у процесі математичного мислення певних якостей мислення (гнучкість, просторова уява, вміння знаходити головне і т. д.), які в рівній мірі можуть бути співвіднесені як до математичного мислення, так і до мислення фізичного, технічного і т. д., тобто до наукового мислення взагалі.
До числа якостей наукового мислення відноситься гнучкість (не шаблонність), оригінальність, глибина, цілеспрямованість, раціональність, широта (узагальненість), активність, критичність, доведеність мислення, організованість пам'яті, чіткість та лаконічність мовлення та запису.

Вважатимемо для прояву гнучкості мислення вміння цілеспрямовано змінювати способи розв'язування пізнавальної проблеми, легкість переходу від одного шляху вирішення проблеми до іншого, вміння виходити за межі звичного способу дій, знаходити нові способи вирішення проблем при зміні умов, що даються.

Раціональність мислення часто виявляється при наявності широти мислення, що характеризується здатністю до формування узагальнених способів дій, що мають широкий діапазон переносу і застосування до частинних, не типових випадків; вміння охоплювати проблему в цілому, не упускаючи при цьому деталей, що мають значення; узагальнити проблему, розширити область застосування результатів, отриманих у процесі її розв'язання.

Найвищий рівень розвитку не шаблонного мислення проявляється в оригінальності мислення, яка у навчанні математиці, як правило, виступає у незвичності способів розв'язування задач.

ІІІ. Методика проведення нестандартних уроків

Математичні здібності розвиваються у процесі розв'язування нетипових задач. Задача є засобом інтелектуального розвитку учнів. Відомо, що розвивати математичне мислення можна за допомогою спеціально підібраної системи задач, вправ і методики роботи з ними. Розв'язування задач – найбільш характерна сфера людської діяльності і являє собою основну діяльність того, хто навчається математиці.

Задачі у навчанні математиці є засобом навчання. Виділяють чотири їхні функції: навчальна, розвиваюча, виховна і контролююча.

Розвиваючій функції задач приділяється особлива увага. Не випадково Д. Пойа, Е. Резерфорд, А. Ейнштейн та інші зазначали, що задачі не тільки і не стільки мають сприяти закріпленню знань, тренуванню в їх застосуванні, скільки формувати дослідницький стиль розумової діяльності, метод підходу до явищ, що вивчаються. Розвиваюча функція задач спрямована на розвиток мислення учнів, на формування в них розумових дій та прийомів розумової діяльності, просторових уявлень, уяви, алгоритмічного мислення, вміння моделювати ситуацію тощо.

Розв'язування задачі має бути повністю аргументованим, тобто не допускаються незаконні узагальнення, необґрунтовані аналогії, ставиться вимога повноти диз'юнкції (розгляд усіх випадків поданої у задачі ситуації), виконується повнота та витриманість класифікації.

Учні повинні вміти відкривати і перевідкривати для себе не стільки знання і вміння розв’язування стандартних завдань, скільки спосіб мислення, який формує інтелект, максимально стійкий в часі і в різних ситуаціях.

1. Нестандартні уроки математики в основній школі

На кожному уроці незалежно від типу і форми його проведення варто виділяти до 10 хвилин на цікаву задачу, яка має специфічні особливості, покликані рухати вперед межу мислення дитини. Ці задачі можна пропонувати в різних формах і ситуаціях. Дітей приваблює оригінальність в задачі і робота при її розв’язанні. Учні переживають великий емоційний підйом після колективного пошуку і розв’язання цікавої задачі. На кожному уроці діти з нетерпінням чекають на цікаву задачу, а інколи навіть пропонують свої цікаві задачі.

У 5-му класі дітям, наприклад, можна запропонувати підрахувати усно суму 100 перших натуральних чисел. Коли діти самостійно знаходять розв’язок, запропонований колись Гаусом, їм повідомляється про те, що це є славний розв’язок видатного математика у дитинстві. Отже, і діти є першовідкривачами великих таїнств математики.

Задачі і приклади розв’язуються як логічним мисленням, так і через стандартні прийоми. Наприклад, відома задача про сто гусей у 5-му класі: «Летіли гуси, а назустріч їм гусак: «Здрастуйте сто гусей», – каже. – «Нас не сто. А щоб було, треба ще стільки та два рази по стільки і ще чотири». Скільки гусей летіло? »

Розв’язується двома способами.

Перший спосіб (логічний):

100 – 4=96 (гусей) – в 4 рази більша кількість гусей, що летіло

96:4=24 (гусей) – летіло

Відповідь: 24 гусей.

Другий спосіб (стандартний):

Нехай летіло х гусей. Тоді згідно умови задачі складаємо рівняння:

hello_html_20957767.gif.

Розв’язавши його, отримаємо, що hello_html_m375ef884.gif.

Відповідь: 24 гусей.

Також діти розв’язують задачі на переливання, зважування.

Не знаючи ще системи рівнянь, учні в 5-му класі розв’язують задачі, які їх потребують. У цьому їм допомагає «художник». Наприклад, «Чотири яблука і дві груші разом коштують 36 коп., а три яблука і три груші – 39 коп. скільки коштує окремо одне яблуко і одна груша?»

Діти роблять малюнок:

hello_html_5030e8a1.pnghello_html_5030e8a1.pnghello_html_5030e8a1.pnghello_html_5030e8a1.png+ hello_html_m52a95fac.pnghello_html_m52a95fac.png=36 коп.

hello_html_5030e8a1.pnghello_html_5030e8a1.pnghello_html_5030e8a1.png+ hello_html_10097ab3.pnghello_html_10097ab3.pnghello_html_10097ab3.png =39 коп.

і розв’язують задачу усно:

1) 39:3=13 (коп.) – 1 яблуко і 1 груша разом

2) hello_html_m68b3b60a.gif (коп.) – 2 яблука і 2 груші разом

3) 36 – 26=10 (коп.) – 2 яблука

4) 10:2=5 (коп.) – 1 яблуко

5) 13 – 5=8 (коп.) – 1 груша.

Вчитель має постійно стимулювати учнів до логічного мислення, активізувати їх творчу ініціативу. Наприклад, можна дітям пропонувати задачі на кмітливість: «Для купівлі олівця Андрійку не вистачило 9 копійок, а Тетянці 2 копійки. Коли вони склались, грошей все рівно не вистачило. Скільки коштує олівець?» Очевидно, що Андрійко мав 1 копійку, бо, якби він дав Тетянці 2 копійки, то вона вже могла б купити олівець. Отже, олівець коштує 1+9=10 (коп.).

Також потрібно розв’язувати задачі на уважність, знання теоретичного матеріалу. Наприклад, «Сума двох чисел більша за перше на 7, а за друге на 9. Чому дорівнює ця сума?». Очевидно, що дана сума дорівнює 16.

При відповідях від учнів потрібно вимагати повних і обґрунтованих відповідей на кожне із поставлених запитань. Увага до формування математичної культури учнів має бути постійною. При цьому знання учнів розширюються.

Наведемо приклади проведення нестандартних уроків-казок у різних класах, побудованих нетрадиційно як змістом так і за формою.


5 клас. Вивчення теми «Дроби».

Учитель ставить на цьому уроці таку основну розвиваючу мету: сприяти формуванню та розвитку інтелектуальних і творчих здібностей учнів під час вивчення теми «Дроби».

Після проведення організаційного моменту і перевірки домашнього завдання повідомленням відповідальних учнів (це учні, які найкраще знають математику у даному класі) про стан домашнього завдання учитель проводить перехресне опитування.

Учні один одному задають запитання. Можливі такі питання по даній темі «Дроби»:

а) з чого складається дріб ?

б) на що вказує знаменник дробу ? чисельник дробу ?

в) який дріб називається правильним ? неправильним ?

г) порівняння дробів:

З однаковими чисельниками;

З однаковими знаменниками;

Правильного дробу з 1;

Неправильного дробу з 1;

Неправильного і правильного дробів.

д) додавання дробів з однаковими знаменниками;

е) що означає риска дробу ?

Урок проводиться далі у вигляді казки (нестандартна форма проведення уроку), а саме: подвигів Геракла у країні дробів.

Учитель починає урок словами: «Ви, дітки, дивитесь телевізор, читаєте книги. І, звичайно, ви обізнані з подвигами Геракла, сина Зевса. На сьогоднішньому уроці Геракл теж буде робити подвиги, але не за допомогою своєї сили, а математичним здібностям у вигляді вашої допомоги. Давайте запишемо тему уроку: «Подвиги Геракла в країні дробів».

Геракл в країні дробів зустрічається із своїми суперниками: і з Гідрою, і з Велетнем та іншими персонажами. І щоб здолати їх, йому потрібно буде розв’язати приклад або задачу, запропоновану суперником. От у цьому ми і допоможемо Гераклу.

На своїй парті ви знайдете умови завдань, які дають суперники героя. Поряд з цими завданнями на іншому листку будуть додаткові завдання для тих, хто працює швидше. Ці учні здадуть зошити в кінці уроку на оцінку за додаткове завдання».

Зацікавивши і поставивши перед дітьми мету і завдання, активізувавши їхню пізнавальну діяльність, можна проводити зустрічі героя уроку – Геракла з його суперниками.

Перша зустріч

Геракла з Гідрою, яка завдає людям страшної шкоди. Ось її приклад.

Обчислити:

hello_html_m20e6bd4d.gif

Відповідь: 9.

Друга зустріч

Геракла з Велетнем (велетень Геріон має корови, які Гераклу потрібно забрати). Ось його задача (нестандартна за змістом).

На запитання, скільки важить риба, рибалка відповів: «Хвіст риби важить 1 кг, голова важить стільки, скільки хвіст і половина тулуба разом, а тулуб – стільки, скільки хвіст і голова разом». Скільки важить риба ?

Розв’язання:

Хвіст важить 1кг. Отже, півтулуба важить 2 кг, тулуб 4 кг, голова 2+1=3 (кг). Вся риба 3+4+1=8 (кг).

Відповідь: риба важить 8 кг.

Третя зустріч

Геракла з Вепром, який завдавав шкоди селянам. Ось його приклад.

Розв’яжи рівняння:

54,7– (х–14,5)=18,7

Відповідь: 50,5.

Четверта зустріч

Геракла з однооким драконом (за золоті яблука). Ось його задача (на логічне мислення).

Розділи 7 яблук порівну між 12 дітьми, якщо кожне яблуко можна розрізати не більше як на 4 частини.

Відповідь: 3 яблука на 4 рівні шматки, 4 яблука на 3 рівні шматки.

П’ята зустріч

Геракла з амазонками Арея. Ось їхні приклади.

а) 1,*2+*,3*=1,33

Відповідь: 1,02+0,31=1,33.

б) *,2*+2,*1=3,56

Відповідь: 1,25+2,31=3,56.

в) 0,0*+0,0*+0,0*=0,03

Відповідь: 0,01+0,01+0,01=0,03.

Шоста зустріч

Геракла з псом Кербером. Ось його завдання (на змагання).

Клас розбивається на 2 команди. До дошки бігають і записують результат кожного рядочку завдання по одному учневі з кожної команди.

Виконати наступні приклади.

Хто швидше обчислить.

1 варіант 2 варіант

0.9+0,1 0,8+0,2

0,99+0,01 0,88+0,22

0,999+0,001 0,888+0,222

0,9999+0,0001 0,8888+0,2222

0,99999+0,00001 0,88888+0,22222

0,99999+0,0001 0,88888+0,2222

0,9999+0,001 0,8888+0,222

0,999+0,01 0,888+0,22

0,99+0,1 0,88+0,2

Відповідь: 1 варіант 1; 1; 1; 1; 1; 1,00009; 1,0009; 1,009; 1,09.

2 варіант 1; 1,1; 1,11; 1,111; 1,1111; 1,11108; 1,1108; 1,108; 1,08.

Ось ми і допомогли Гераклу в здійсненні його подвигів.

Останній учасник команди, яка перемогла, читає записку Геракла.

Записка Геракла

Якщо ви власними силами розв’язали задачу, ви зробили відкриття. Якщо задача неважка, то відкриття не може претендувати на грандіозність; проте воно від цього не перестає бути відкриттям. Д.Пойа.


Звичайно, учитель робить підсумок уроку і оголошує домашнє завдання.

Додаткові завдання (для тих, хто працює швидше).

Обчислити:

hello_html_5a6d21be.gif

Відповідь: hello_html_1b617905.gif.

Половина моїх грошей та ще четвертина моїх грошей, та ще 5гривень – це і є всі мої гроші. Скільки в мене грошей ?

Відповідь: у мене 20 гривень.

Розв’язати рівняння:

6,3+(у–8,2)=8.

Відповідь: 9,9.

Розділи 5 апельсинів між 6 дітьми порівну, якщо кожен апельсин можна розрізати не більше, ніж на 3 частини.

Три дроби з чисельником 1 і різними знаменниками дають в сумі 1. Знайти ці дроби.

Відповідь: hello_html_m20be7dd4.gif.


7 клас. Вивчення теми «Одночлени, многочлени, різниця квадратів».

Учитель починає урок словами: «Сьогодні на вас, дітки чекає сюрприз. Але цей сюрприз за сімома «замками». Щоб отримати його, треба ці замки повідчиняти. Я думаю, що ви уже здогадалися, що «ключики» у нас не прості, а математичні. Розв’язавши відповідний приклад або задачу, ви тим самим відчиняєте замок. Але для того, щоб увійти у гру, потрібно знати пароль (як при іграх на комп’ютерах). Звичайно пароль може бути довільним словом. А слів так багато! На домашнє завдання вам було повторити всі правила. Так ось, якщо ви правильно сформулюєте 7 правил (рівно стільки букв у нашому паролі), то пароль відкриється. До роботи!»

Пароль «МИКОЛАЙ».

Далі діти відчиняють замки (звичайно унаочнені) – розв’язують приклади і задачі.

Підкреслені і виділені жирним шрифтом завдання – обов’язкові завдання.

Замок «Мозкова гімнастика».

Обчислити усно: №456(а, в, г). №594(б, г).

а) 99*101 В-дь: 9999; б) 812712 В-дь: 1520;

в) 53*47 В-дь: 2491; г) 6,72–3,32 В-дь: 34.

г) 85*95 В-дь: 8075.

Замок «Мільйонери».

Уявіть собі, що років через 10-15 Настя і Костя (сокласники даного класу) стали мільйонерами. І от вони зустрілися. А так як обидвоє люблять математику, то розмовляють між собою так:

Настя – у мене 221 гривень;

Костя – а у мене 314 гривень.

Слухає цю розмову маленький Петрик і нічого не розуміє: в кого ж більше грошей? Допоможіть Петрикові.

В-дь: 221=(23)7=87 ; Між іншим, 221=2 097 152;

314=(32)7=97 314=4 782 969.

Отже, 221<314.

Таким чином, у Кості грошей більше.

Замок «Як так».

7=3

Дійсно, очевидно

49– 28– 21=21– 12– 9

7(7– 4– 3)=3(7– 4– 3)

7=3.

Чи вірно і чому? В-дь: на нуль ділити не можна!

Замок «Саламандра» (подвійна властивість параметра)

1038(б) Розв’яжіть рівняння з параметром а:

ах2х=2а-4.

В-дь: х=2 при а не дорівнює 2; при а=2 безліч розв’язків.

Замок «Математичний».

466(а, в) Розв’яжіть рівняння:

а)(у3)(у+3)+у(2у)=1 В-дь: 5.

в) х2+(– 4– х)( – 4+х)=8(х+1) В-дь: 1.

Замок «Цукерки».

Мама дала Діанці (учениця класу) 10 різних смачненьких цукерок і сказала їй, щоб поділилася з братиком порівну. Діанці дуже захотілося взяти всі цукерки собі, але вона чесна і тому, подумавши, вирішила запропонувати братикові таку гру:

Я поставлю ці 10 різних цукерок в один ряд. Ти можеш довільні дві цукерки, які стоять через одну, міняти місцями. Якщо перекладеш цукерки у зворотному порядку, то я всі цукерки віддам тобі; якщо ж не зможеш це зробити, то всі цукерки будуть мої. Згода? Дайте пораду братикові.

В-дь: братикові не варто згоджуватися на пропозицію Діанки, бо цукерка, яка стоїть на парному місці може стати лише на парне місце, тому, наприклад, десята цукерка не може стати першою.

Замок «Торба св.Миколая».

«Пам’ятайте: якщо ви хочете навчитися плавати, то сміливо заходьте у воду, а якщо хочете навчитися розв’язувати задачі, то розв’язуйте їх».

Д.Пойа.

На «математичній мові»:

З дроту довжиною k виготовити прямокутник найбільшої площі.

hello_html_m395b11d2.gif; hello_html_acaa561.gif.

Отже, найбільша площа у квадрата!


На «казковій мові»:

Св. Миколай має тканину, з якої потрібно пошити торбу (звичайно прямокутної форми) для солодощів. Він хоче прикрасити торбу по краям гарною стрічкою. Тканини у нього є достатньо (з неї можна зробити не одну торбу), а от стрічка у нього конкретної довжини (наприклад, 2м). Як пошити торбу з даної тканини із цією стрічкою, щоб ця торба у св. Миколая була найбільшою?

Батьківським комітетом приготовлено «торбу св. Миколая» – цукерки).

Відкрити «торбу св. Миколая» зможе «найспритніший розумник класу» (при наявності часу).

Для цього треба розв’язати №596 при х=42, у=32

х2у2=(4232)(42+32)=740

Додаткові завдання:

Якщо до цілого числа додати його квадрат, то здобута сума буде парним числом. Довести це.

Що більше 5300 чи 3500 ?

Сума двох чисел більша за перше на 7, а за друге на 9. Чому дорівнює ця сума ?

Довести, що 710– 79– 78 ділиться на 41.

Рухливі ігри, нестандартні завдання запобігають перевтомленню, підвищують працездатність, сприяють фізичному розвитку, формують конкретні уявлення, полегшують оволодіння абстрактними поняттями.

А.С.Макаренко писав: “Треба зазначити, що між грою і роботою немає великої різниці. В кожній грі є насамперед робоче зусилля думки”.

Гра дарує дітям радість і захоплення, пробуджує у душі кожного з них добрі почуття, роздмухує вогник дитячої думки і творчості. Вона дає змогу привернути увагу й тривалий час підтримувати інтерес до тих важливих і складних завдань на яких у звичайних умовах зосередити увагу не завжди вдається.

Ігри розвивають мислення, кмітливість, збагачують увагу учнів, спонукають їх до пошуку, активізують клас під час вивчення нового і закріплення вже вивченого матеріалу. Гра – творчість, гра– праця. У процесі гри в дітей виробляється звичка зосереджуватися, мислити самостійно, розвивається потяг до знань. Захопившись, учні не помічають, що вчаться, вони пізнають, запам’ятовують нове, орієнтуються в незвичних ситуаціях, поповнюють запас уяви, понять, розвивають фантазію, зорову пам'ять. Навіть найпасивніші з учнів включаються в гру з великим бажанням, докладаючи зусилля, щоб не підвести товаришів по грі. Процес гри, її результати часто спонукають деяких учнів замислитися, які прогалини є в їхніх знаннях та як їх ліквідувати, а інших – робити маленькі творчі відкриття.

Порівняно із звичайним, стандартним заняттям, нестандартний урок, незалежно від його форми проведення (урок-пресконференція, урок-аукціон, урок-гра, урок-занурення, урок типу KBK, урок-консультація, інтегрований урок тощо) максимально стимулює пізнавальну активність та ініціативу школярів.

Отже, процес навчання у використанні нетрадиційних форм і методів навчання дає можливість зробити навчання цікавим та всепоглинаючим, створити в учнів робочий настрій, допомагає подолати труднощі в засвоєнні навчального матеріалу.






2. Нестандартні уроки математики в старшій школі

Нестандартність уроків математики в старшій школі визначається змістом і глибиною завдань, які розглядаються. Форма таких уроків повністю залежить від змісту розглядуваного. Найважчим є спрямування мислення дитини на знаходження напрямків міркування, встановлення необхідних зв’язків, співставлення з відомими і вироблення нових прийомів пошуку і розв’язання. Тому наступна частина розробки складається із завдань, які на перший погляд є недоступними, але в пошуку їх розв’язання лежить найефективніша методика – методика управління розумовою діяльністю учнів, нестандартність і евристика, саме за допомогою яких можливе досягнення поставлених завдань і цілей розвиваючого навчання. Найкращим чином це вдається проілюструвати при розв’язуванні різнотипних завдань.

Наведемо приклади груп, в кожній з яких підібрані по три різнотипні завдання, які розраховані на один нестандартний урок. Покажемо шляхи їх розв’язання.

І. 1) Довести, що існує нескінченна кількість натуральних чисел n, для яких одне з чисел hello_html_m1f3dd836.gif або hello_html_m17ae3cd.gif ділиться без остачі на 7, а друге на 13.

2) На координатній площині XOY зобразити множину всіх точок hello_html_m14786a6.gif для яких існує таке число hello_html_7e387e14.gif, що hello_html_51688b44.gif.

3) Знайти найменше значення функції hello_html_m32bb0697.gif.

Розв’язання. 1) Неважко перевірити, що hello_html_m2231c0a.gif ділиться на 7 і 13. Можуть трапитися два випадки, коли hello_html_m1f3dd836.gif ділиться на 7 і hello_html_m17ae3cd.gifділиться на 13 або hello_html_m1f3dd836.gif ділиться на 7 і hello_html_m17ae3cd.gif ділиться на 13.

Якщо hello_html_74cb4dfc.gif, то

hello_html_m763c641b.gif.

Аналогічно доводиться, що з подільності

hello_html_m15e60b3e.gif випливає подільність hello_html_m7bfe6f45.gif.

Тим самим доведено, що числа вигляду hello_html_6271bbcd.gif задовольняють умову задачі, якщо n – деяке число, що задовольняє умову задачі, а k – будь-яке натуральне число. Залишилося знайти число n, яке задовольняє умову задачі.

При hello_html_58be5935.gif числа hello_html_232cbd3c.gif і hello_html_m5f3cdc09.gif. Тому hello_html_58be5935.gif задовольняє умову задачі. Аналогічно, hello_html_1593e08b.gif задовольняє умову hello_html_m27f154eb.gifi hello_html_m17069feb.gif.

2) Переформулюємо задачу. Нехай hello_html_m1feb1e00.gif – квадратична функція від t, hello_html_m39da3a13.gif – перша координата вершини параболи. Точка hello_html_1f7009a4.gifзадовольняє умову задачі тоді і тільки тоді, коли квадратична функція hello_html_1077ac6a.gif має хоча б один корінь на відрізку hello_html_m40019d54.gif. Це можливо в одному з випадків

hello_html_m5111f62.gif

У перших двох випадках достатньо вимагати, щоб hello_html_m683bc435.gif, а у третьому випадку hello_html_5fc5521b.gif.

Обчислюємо hello_html_5ec4e506.gif, hello_html_m7854c4b.gif, hello_html_54962c92.gif, hello_html_m39da3a13.gif. Таким чином необхідно зобразити на площині множину всіх пар hello_html_m14786a6.gif, які задовольняють нерівності hello_html_m4777575b.gif або hello_html_2d8a9259.gif.

Значить слід зобразити всі точки hello_html_m14786a6.gif, які задовольняють умови hello_html_3b79fee4.gif або hello_html_50a92453.gif або hello_html_7edde0e8.gif.

Таким геометричним місцем точок є заштрихована частина площини

hello_html_m7de892e.gif

Вона на hello_html_5b46ef47.gif і hello_html_mdc7a64b.gif обмежена графіками функцій hello_html_m11b743c0.gif і hello_html_62e8674c.gif, точки яких також задовольняють умову задачі, а на hello_html_4088fc0f.gif графіками цих же функцій знизу і графіком функції hello_html_m40c5a2b7.gif зверху.

3) Щоб знайти найменше значення функції hello_html_m32bb0697.gif розглянемо графіки двох функцій hello_html_m51792aa0.gif і hello_html_m34b3696a.gif. Це буде верхня частина кіл, заданих рівняннями hello_html_b9c7a78.gif і hello_html_m38b99ce9.gif, тобто рівняннями hello_html_27017a76.gif і hello_html_m16ea38ff.gif. Зрозуміло, що hello_html_m467b4509.gif. Зобразимо графіки верхніх половин цих кіл hello_html_m1cb1c541.gif і hello_html_maa97a28.gif


Пhello_html_dab7dd0.gifеремістимо графік функції

hello_html_m34b3696a.gif паралельно осі OY до дотику з графіком

функції hello_html_m51792aa0.gif у деякій точці А. Переміщений графік є графіком функції hello_html_m5959d211.gif, де Cconst. Тоді hello_html_749eeefb.gif (при цьому рівність досягається в точці дотику А).

Тому hello_html_m6c06389.gif. При цьому рівність досягається в точці дотику A. Отже, найменше значення функції y дорівнює C.

Зhello_html_5bcd66e0.gifнайдемо це значення. Нехай hello_html_57942f0e.gif– центр кола, пов’язаного з hello_html_m1cb1c541.gif, hello_html_m5d63a229.gif з hello_html_maa97a28.gif і hello_html_78faeeb0.gif з hello_html_dcc7936.gif. Тоді радіуси hello_html_mc94ebee.gif, hello_html_m22567f3f.gif, hello_html_m55036f20.gif, hello_html_m13b42590.gif.

Тому hello_html_4e9934fc.gif.

За теоремою Піфагора hello_html_m6d3151f6.gif.

Отже, найменшим значенням функції y є hello_html_55b48ef7.gif.

В кожній із цих задач необхідно проявити винахідливість. У першій із них слід шукати не безпосередні розв’язки, що є звичним і першим, що напрошується робити, а, спираючись на частковий розв’язок, слід шукати серію розв’язків. Цей прийом мислення буває корисним у тих випадках, коли охопити всю ситуацію не вдається, але можна наблизити деякі її елементи і є окремі ланцюжки міркувань, які дозволяють отримувати достатньо глибоку інформацію про досліджуване значення. Такий тип мислення і пов’язаний з ним підхід називається інтерполяцією.

У другій задачі відбувається абстрагування від конкретних тригонометричних виразів до невідомих величин, які знаходяться в певних межах. Тому відшукання загальних зв’язків між ними є розширенням задачі. Такий підхід і тип мислення називають узагальненням. Його часто використовують при необхідності розпізнавати головне, суттєве, зменшувати роль другорядного.

У третій задачі через наочність найкращим чином розвивається вміння аналітично мислити, здійснювати паралельні перенесення, бачити стандартне в незвичному. Найважливішим елементом мислення, який вироблюється на таких завданнях є уміння розкладати їх на складові, які легко характеризувати і якими легше оперувати. Такий тип мислення часто називають розмежуванням і конкретизацією.

Отже, на трьох задачах протягом одного уроку можна продемонструвати надзвичайно важливі елементи творчості: такі як інтерполяція (наближення), абстрагування, узагальнення і конкретизація, розмежування. Нестандартність такого уроку визначається умінням учнів і вчителя переключатися на різні типи мислення і розпізнавати їх у незвичних ситуаціях і різноманітних формах існування.

ІІ. 1) Нехай в трикутнику АВС точка M лежить на стороні BC і hello_html_m1078287a.gif, точка N лежить на стороні AB і hello_html_m59b6b627.gif, O – точка перетину AM і CN. Знайти AO:OM.

2) Нехай A, B, C, D – послідовні вершини правильного многокутника. Довести, що hello_html_4f9e1f42.gif.

3) Задано два відрізки довжиною a і b, hello_html_m695ce97.gif. Побудувати відрізок, довжина якого дорівнює hello_html_ed16511.gif, hello_html_m14a76630.gif.

Рhello_html_m221fd2ba.gifозв’язання.

1) Проведемо через точку M пряму паралельну до CN. Точку її перетину з стороною AB позначимо через K.

За теоремою Фалеса hello_html_298de40a.gif.

Тому hello_html_m4dd50528.gif.

2) Нехай A, B, C, D – послідовні вершини правильного hello_html_m13b41dd5.gifмногокутника.

Неважко бачити, що

ABCD – рівнобічна трапеція, в якій ВС і AD – основи .

Нехай K – основа перпендикуляра, проведеного з вершини C на основу AD.

Тоді hello_html_31e5d844.gif і hello_html_74921086.gif. За теоремою Піфагора

hello_html_1ae505a5.gif.

Оскільки hello_html_m7c2d3b64.gif, то hello_html_4f9e1f42.gif.

Має місце більш загальна ситуація. В довільній трапеції сума квадратів діагоналей дорівнює сумі квадратів бічних сторін плюс подвоєний добуток основ.

Дійсно, нехай ABCD – довільна трапеція, в якій ВС і AD – основи (див. рис.). За теоремою Піфагора

hello_html_6340198a.gif.

Враховуючи те, що hello_html_20aa28ac.gif, отримуємо рівність hello_html_79940b26.gif.

Зокрема, якщо ABCD – рівнобічна трапеція, то hello_html_m1b9525ff.gif і hello_html_m780b0875.gif. Тому hello_html_m15da9b20.gif. Якщо при цьому hello_html_1d4fa77c.gif, то hello_html_5429b982.gif.

3) За відомими відрізками x і y можна побудувати відрізки hello_html_1f8b1fc9.gif, hello_html_m5dcde796.gif, hello_html_35104f36.gif, hello_html_3dbfba6a.gif при hello_html_mea18972.gif як показано на відповідних рисунках

hello_html_m77130ecf.gif





Тому із заданих відрізків a і b, hello_html_m695ce97.gif можна побудувати відрізки hello_html_m55869786.gif, hello_html_74c3746b.gif, hello_html_7d7827ac.gif, hello_html_m278439ab.gif, hello_html_6d01a2e5.gif,

hello_html_m61242a84.gif,

hello_html_m14e7a231.gif, hello_html_m4296b3c0.gif.

Як наслідок, можна побудувати відрізок

hello_html_m3ad2711e.gif.

Аналогічно будують відрізок

hello_html_275b94d9.gif.

В цих трьох геометричних задачах є можливість продемонструвати типи міркувань, пов’язані з пропорціями, властивостями трапеції, побудовами відрізків. З цими міркуваннями пов’язаний розвиток таких типів мислення, як аналогія, порівняння, перенесення, абстрагування, узагальнення.

ІІІ. 1) Розв’язати рівняння hello_html_m5738b3ce.gif.

2) Нехай hello_html_69508b8b.gif і hello_html_mc7234be.gif, де m, n – цілі числа, x – дійсне ірраціональне число. Знайти m, n, x.

3) Розв’язати нерівність hello_html_7c0d7ef2.gif і знайти x при яких досягається рівність.

Розв’язання. 1) Розглянемо неперервну функцію hello_html_5a459958.gif. Обчислимо її похідну, яка також є неперервною

hello_html_m4564dc26.gif.

Функція hello_html_7b8bbba0.gif має похідну hello_html_m59fbc113.gif. Адже, hello_html_m6427df51.gif і hello_html_58e55f38.gif. Тому функція hello_html_m1cb1c541.gif є монотонно спадною. Це означає, що рівняння hello_html_1327e498.gif і, як наслідок, рівняння hello_html_m51784734.gif можуть мати не більше одного розв’язку.

Нехай існує hello_html_b2c2a44.gif – розв’язок рівняння hello_html_590af149.gif. Тоді на проміжках hello_html_m35a73617.gif і hello_html_1b9d3b93.gif функція y є строго монотонною. Це означає, що функція y може мати не більше двох нулів. Якщо розв’язок рівняння hello_html_m171384f1.gif не існує, то функція y є строго монотонною на hello_html_m6c1d1cf7.gif і тому функція y може мати не більше одного нуля. Неважко бачити, що hello_html_3543aeb4.gif. Тому розв’язками заданого рівняння є числа 0 і 1.

2) Перетворимо задані рівняння методом виключення найбільших степенів числа x. Тоді hello_html_5f09cb10.gif, hello_html_1249b886.gif. Отже,

hello_html_m70c4216f.gif.

Це означає, що hello_html_31f1ae8.gif. Тому

hello_html_m7b0d979f.gif.

Отже, hello_html_430514a4.gif. Таким чином

hello_html_3af5a8f.gif.

Тим самим доведено, що має місце квадратне рівняння з цілими коефіцієнтами

hello_html_757fff98.gif.

Якщо hello_html_23d29aae.gif, то hello_html_25d91187.gif, hello_html_m6f13778e.gif. Тоді hello_html_m7bea93dc.gif i hello_html_m379c4b2e.gif. Значить hello_html_m3e1aa655.gif. Тому hello_html_m1ac76f37.gif – шукана трійка чисел.

Якщо hello_html_189b066b.gif, то hello_html_m7dbec4bb.gif. Нехай hello_html_3857f6f.gif – раціональне число. Тоді hello_html_m31502f9e.gif. Перетворимо дані рівняння, як і вище, методом виключення найбільших степенів числа х

hello_html_2027e913.gif.

В такому разі hello_html_m4377d5af.gif

Тому hello_html_66ce1aec.gif. Оскільки x – ірраціональне число, то hello_html_m49634def.gif і hello_html_3ff8337a.gif. Але в цьому випадку hello_html_4b5399e4.gif має тільки раціональні корені. Тому випадок hello_html_189b066b.gif неможливий.

Отже, hello_html_m1ac76f37.gif – єдина трійка чисел hello_html_m6ac2ead8.gif, яка задовольняє умову задачі.

3) Скористаємось нерівністю Коші між середнім арифметичним і середнім геометричним. Тоді

hello_html_m4a394a8b.gif.

Рівність досягається тільки в тому випадку, коли hello_html_77c189bf.gif, тобто коли hello_html_m5ede6f9.gif. Рівняння hello_html_3c218a3d.gif має розв’язки hello_html_m2bdca1fb.gif.

Таким чином, задана нерівність має місце при всіх hello_html_m35d74549.gif, а рівність досягається при hello_html_m2bdca1fb.gif.

У даній трійці завдань розвиваються типи мислення такі як наближення, оцінювання, виключення, повнота і логічність міркувань, конкретизація.

ІV. 1) Розв’язати рівнянняhello_html_e0e30f4.gif.

2) При яких натуральних числах n має розв’язки рівняння

hello_html_737eb2c7.gif?

3) Яку максимальну кількість розв’язків може мати рівняння hello_html_m7d8d3ed7.gif в залежності від параметра а?

Розв’язання. 1) Розглянемо функцію hello_html_5161b627.gif. Вона визначена на множині hello_html_53978327.gif. Тоді функція hello_html_m795c2053.gif має один нуль hello_html_m31cf3e99.gif. Це означає, що функція y – строго монотонна на проміжках hello_html_m27207b52.gif і hello_html_1b9d3b93.gif. Тому функція y може мати не більше двох нулів. Неважко пересвідчитися, що hello_html_36e7d273.gif. Тому розв’язками заданого рівняння є числа 2 i 3.

2) Рівність 2 можлива тільки в тому разі, коли функції hello_html_57573286.gif, hello_html_m1f77fa6d.gif, hello_html_536c3e9a.gif, …, hello_html_m5f8e33ea.gif належать множині hello_html_m20d5ce2a.gif.

Якщо hello_html_m278d0052.gif, то hello_html_69703563.gif і, як наслідок, hello_html_1ea8e733.gif.

Тому hello_html_m2104bf2b.gif і

hello_html_m2665f31f.gif.

Якщо hello_html_6fa00f61.gif, то hello_html_m6aba7469.gif. Тому hello_html_m5d151353.gif і hello_html_m3c8b213e.gif.

Це означає, що знаки функцій hello_html_57573286.gif, hello_html_m1f77fa6d.gif, hello_html_536c3e9a.gif, …, hello_html_m5f8e33ea.gif чергуються. Розділимо число функцій n+1 на 4 з остачею r, тобто hello_html_38025641.gif, де hello_html_m4f059ab2.gif.

У кожній четвірці послідовно розташованих функцій є два плюси і два мінуси. Тому їх добуток дорівнює 1. Це означає, що при hello_html_13f24892.gif добуток функцій hello_html_57573286.gif, hello_html_m1f77fa6d.gif, hello_html_536c3e9a.gif, …, hello_html_m5f8e33ea.gif дорівнює 1. В усіх інших ситуаціях можна вибрати числа hello_html_m215c3914.gif або hello_html_2831793e.gif, які є розв’язками заданого рівняння.

Відповідь: при всіх натуральних числах n таких, що hello_html_7cd731ac.gif не ділиться на 4.

3) Введемо позначення hello_html_461e1ac.gif. Нехай hello_html_m7eb17a1e.gif. Графіком цієї функції є синусоїда, яка опущена на hello_html_m57879fed.gif одиниць вниз. Рівняння hello_html_31c8c2ba.gif задає рівняння кола з центром у початку координат і радіусом a. Розв’язками рівняння hello_html_m7d8d3ed7.gif будуть точки перетину графіків рівнянь hello_html_m6918c0af.gif.

Частина графіка функції hello_html_461e1ac.gif на проміжку hello_html_m4df0274c.gif знаходиться нижче прямої hello_html_69b6cdff.gif, а частина графіка рівняння hello_html_m5c82e5e.gif вище прямої hello_html_m1d444338.gif. Тому при hello_html_mdc5183a.gif графіки рівнянь hello_html_461e1ac.gif і hello_html_m5c82e5e.gif на проміжку hello_html_m4df0274c.gif не перетинаються. Отже, при hello_html_mdc5183a.gif на проміжку hello_html_m63813eba.gif розв’язків не має.

При hello_html_32d7e99f.gif на проміжку hello_html_79e702c2.gif коло і синусоїда можуть перетинатися не більше двох разів.

При hello_html_554c4b83.gif, оскільки має місце включення hello_html_m73de23e4.gif, то синусоїда також перетинає коло не більше ніж в двох точках.

Відповідь: найбільша кількість розв’язків рівняння hello_html_m7d8d3ed7.gif дорівнює 2.

У цій групі завдань розвиваються такі типи мислення як аналіз і синтез, аналогія, порівняння і співставлення, логічність і повнота міркувань, системність і систематизація. Всі вони є складовими творчої діяльності школярів.

Нестандартність, як видно з вищесказаного, може бути не тільки за формою, але і за змістом. Найскладнішою серед них є нестандартність, пов’язана зі змістом і спрямована на розвиток мислення школярів. Вона є найбільш складною і ефективною формою роботи. Практика показує, що тільки постійне звертання до нестандартних за змістом уроків може забезпечити своєчасний і високий розумовий розвиток школярів.

Поворот освіти до особистості зумовлений глобальними процесами гуманізації й демократизації соціуму, змінами у сфері економіки, соціальними вимогами, потребами науково-технічного прогресу. Нині виробничі сили вступили в якісно нову фазу розвитку, за якої їх прогрес не можна забезпечити лише технічними чинниками без актуалізації сил саморозвитку, мотивації, співучасті та співавторства кожного робітника, різнобічного його розвитку.

Отже, виховання особистості стає метою освіти, зокрема, математичної. Функції освіти полягають в тому, щоб засобами розвитку особистості забезпечити розвиток суспільства. У концепції 12-річної освіти загальноосвітньої школи України зазначено, що стратегічною метою школи є життєва і соціальна компетентність учнів, яка передбачає розвиток і саморозвиток школярів на основі повнішого використання внутрішнього потенціалу особистості. Належний рівень розвитку учнів позитивно впливатиме і на якість навчання, і на їх інтелектуальний розвиток.

Тому за сучасних умов перед учителем постає завдання не тільки дати учням міцні знання і навички з математики, передбачені шкільною програмою, а й розвивати їхнє мислення, цікавість до предмету, активізувати пізнавальну діяльність.

Отже, процес навчання у використанні нетрадиційних форм і методів навчання дає можливість зробити учнів конкурентноздатними. Такі вихованці школи вливаються у загальний процес ринкових відносин на Україні та й у світі, адже у них сформований інтелект, максимально стійкий у часі і в різних ситуаціях. Забезпеченням високого рівня математичної, наукової культури випускників загальноосвітніх закладів України досягається належне влиття української наукової думки у світову від якої залежить майбутнє України



Література

Орос В.М., Петечук В.М., Петечук К.М. Контрольно-практичні роботи з математики. Частина І. – Ужгород: Інформаційно-видавничий центр ЗІППО, 2006 – 200с.

Орос В.М., Петечук В.М., Петечук К.М. Параметр. Посібник для абітурієнта та вчителя. – Ужгород: Інформаційно-видавничий центр ЗІППО, 2006 – 52с.

Петечук В.М., Сігетій І.П. Завдання та розв’язки районних і міських олімпіад з математики 2000 – 2006 років. – Ужгород: Інформаційно-видавничий центр ЗІППО, 2006 – 208с.

Пєхота О.М. Освітні технології. Навчально-методичний посібник – Київ: Видавництво АСК, 2003 – 255с.

Сизоненко Г.С. Мудрість учіння. Кроки до успіху. – Київ: Видавництво АСК, 2003 - 255с.

Самойленко А.М., Вишенський В.А., Перестюк М.О. Збірник задач з математики. – Київ: Вища школа, 1982 – 332с.

Петечук В.М. Алгебра для восьмого класу. – Ужгород: Карпати, 1992. – 64 с.

Петечук В.М. Геометрія для восьмого класу. – Ужгород: Карпати, 1992. – 128 с.

Полонський В.Б., Рабинович Ю.М., Якір М.С. Вчимося розв'язувати задачі з геометрії. – К.: Магістр-S, 1998. – 256 с.

Сарана О.А. Математичні олімпіади: просте і складне поруч: Навчальний посібник. – К.: А.С.К., 2004. – 344 с.

Федак І.В. Методи розв'язування олімпіадних завдань з математики і не тільки їх. – Чернівці: Зелена Буковина, 2002. – 340 с.

Ясінський В.А. Задачі математичних олімпіад та методи їх розв'язання. – Вінниця, 2000. – 226 с.

Ясінський В.А. Олімпіадна математика: Функціональні рівняння, метод математичної індукції. – Харків: Видавн. група Основа, 2005. – 96 с.

Ясінський В.А. Практикум з розв'язування задач математичних олімпіад. – Харків: Видавн. група Основа, 2006. – 126 с.

Ясінський В.А. Олімпіадні задачі з геометрії: навчально-методичний посібник – Київ: Шкільний світ, 2008. – 128 с.

Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. Геометрия: уч.пособие. – М. Наука, Гл. ред. физ-мат. лит., 1990. – 672 с.

Прасолов В.В. Задачи по планиметрии: уч.пособие. – 6-е изд., стереотипн. – М.:МЦНМО, 2007. – 640 с.: ил.

Кушнір І.А. Тріумф шкільної геометрії: Навч. посібник для 7-11 кл. – К.: Наш час, 2005. – 432 с.

Кушнір І.А. Повернення втраченої геометрії. К.: Факт, 200. – 280 с.

Кушнір І.А. Методи розв’язання задач в геометрії. – К.: Абрис, 1994. – 460 с.

Кушнір І.А. Трикутник і тетраедр в задачах. К.: Рад. школа, 1991. – 207 с.

Скопець З.А. Геометрические миниатюры. – М.: Просвещение, 1990. – 223 с.

Кушнір І.А., Фінкельштейн Л.П. Навчання у просторі. – К.: Факт, 2003. – 167 с.

Шарыгин И.Ф. Задачи по геометрии, планиметрии. – М.: Наука, 1986. – 221 с.




























ДОДАТКИ



Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 01.02.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров325
Номер материала ДВ-402881
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх