Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Методическая разработка по модулю "Начала математического анализа"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Методическая разработка по модулю "Начала математического анализа"

Выбранный для просмотра документ Методическая разработка по модулю Начала математического анализа.doc

библиотека
материалов



Департамент образования и науки Костромской области

ОГБПОУ «Костромской автодорожный колледж»













Методическая разработка по модулю

«Начала математического анализа»





Выполнила:
Преподаватель математики

Воронцова Ирина Валерьевна












КОСТРОМА 2016



Аннотация


Представленная работа содержит теоретическое обоснование необходимости использования принципа модульного обучения как образовательной технологии наиболее адаптированной к системе начального профессионального образования, реализующей принцип индивидуализации образования, учитывающей воспитательную направленность обучения и обеспечивающей эффективность её использования; а также методические указания по применению модуля «Начала математического анализа»

В приложениях приводятся образцы решения основных задач образовательного модуля, пошаговые инструкции выполнения типовых заданий, необходимый справочный материал и большое количество практических заданий.

Приводимые материалы могут использоваться

- в качестве дидактического материала как средство для организации самостоятельной работы обучающегося как во время учебного занятия, так и позволяющее ему наиболее полно овладеть знаниями и использовать их в решении практических задач с возможностью самопроверки и самоконтроля при организации внеаудиторной самостоятельной работы;

- в качестве проверочной работы по конкретной теме курса математики;

- а в случае необходимости и в качестве контрольной работы, например, при внеклассной работе со слабоуспевающими учащимися.

Задания составлены в количестве, достаточном для организации индивидуальной работы над заданиями, что исключает списывание и подсказки, позволяет легко оценивать проделанную работу и проводить сравнительный мониторинг внутри группы, между группами, а также выстраивать «график успешности» отдельного обучающегося по мере выполнения им нескольких работ. Результаты проделанной работы могут быть предоставлены в виде диаграмм, графиков или сравнительных таблиц. Кроме того, задания составлены с нарастающим усложнением, что позволит студентам постепенно адаптироваться к новым требованиям, и потребует от них овладения достаточно высоким уровнем знаний и умений самостоятельно применять эти знания на практике.



















СОДЕРЖАНИЕ

  1. Аннотация………...…………………………………………………………...………...…2

  2. Содержание……………………………………………………………………..………….3

  3. Принцип модульного обучения как образовательная технология наиболее адаптированная к системе начального профессионального образования ……………………………………………………………………….………………..….….4

  4. Реализация принципа индивидуализации образования при модульном обучении…...7

  5. Воспитательная направленность модульного обучения………………………………...8

  6. Эффективность использования модульного обучения……………………………..….10

  7. Методические указания по применению модуля «Начала математического анализа»……………………………………………….…………………………………..11

  8. Библиографический список………………………………………………………….......12

  9. Приложение 1. Вычисление производных основных функций……….………………13

  10. Приложение 2. Механический смысл производной……………………..……………..25

  11. Приложение 3. Геометрический смысл производной……………………...……...…...28

  12. Приложение 4. Применение производной для исследования функции..……....……..30

  13. Приложение 5. Вычисление первообразных основных функций…………………….34
























Принцип модульного обучения как образовательная технология наиболее адаптированная к системе начального профессионального образования


Проект модернизации региональных систем образования - это самое масштабное и значимое из всего, что делается сегодня в рамах приоритетного национального проекта «Образование».

Основная цель комплексных проектов модернизации образования —

предоставить всем школьникам и студентам независимо от места жительства возможность получить качественное образование. Для этого предлагается совершенствование структуры образовательного процесса, образовательных технологий, учебников, программ, стандартов, дидактической системы работы учителя.

Задача учителя – создать необходимые педагогические условия для реализации этих целей. Эта задача сложнее для выполнения преподавателям системы начального и среднего профессионального образования в силу специфичности контингента обучающихся.

На современном этапе выбор образовательных технологий должен обеспечивать выполнение основных задач и соответствовать сути поддерживающего обучения, а именно:

- создавать устойчивую мотивацию познания;

- способствовать осознанию ценностных оснований выбора содержания и трактовки учебного материала на уроке;

- раскрывать личностный смысл любого изучаемого на уроке материала;

- осуществлять переход от человека знающего — к человеку знающему, понимающему и деятельному;

- включать в содержание урока упражнения творческого характера по использованию полученных знаний в аналогичной (подобной), сходной, частично новой (измененной) и в полностью незнакомой ситуации;

- сочетать традиционные формы работы с групповыми и индивидуальными;

- стремиться к организации учебного труда как коллективной деятельности;

- осуществлять дифференцированный подход к учащимся только на основе диагностики их реальных учебных возможностей;

- оказывать дифференцированную помощь обучающимся с разным уровнем подготовки;


и развивающего обучения, а именно:

- создавать устойчивую мотивацию самостоятельного получения знаний из различных источников (учитель, учебник, Интернет, и т.д.) различными способами, например, способом создания на уроке проблемной ситуации;

- обеспечивать научные, технические и иные возможности для реализации сформированной потребности приобретения знаний;

- информировать о направлениях возможной дальнейшей деятельности.

Все вышесказанное в равной мере относится и к выбору образовательной технологии модульного обучения.

Модульное обучение — способ организации учебного процесса на основе блочно-модульного представления учебной информации.

Сущность модульного обучения состоит в том, что содержание обучения структурируется в автономные организационно-методические блоки — модули, содержание и объём которых могут варьировать в зависимости от дидактических целей, профильной и уровневой дифференциации обучающихся, желаний обучающихся по выбору индивидуальной траектории движения по учебному курсу.

Сочетание модулей должно обеспечивать необходимую степень гибкости и свободы в отборе и комплектации требуемого конкретного учебного материала для обучения (и самостоятельного изучения) определенной категории обучающихся и реализации специальных дидактических и профессиональных целей.

Необходимым элементом модульного обучения обычно выступает  рейтинговая система оценки знаний, предполагающая балльную оценку успеваемости обучающихся по результатам изучения каждого модуля.

Модуль — целостный набор подлежащих освоению умений, знаний, отношений и опыта (компетенций), описанных в форме требований, которым должен соответствовать обучающийся по завершении модуля, и представляющий составную часть более общей функции.

Сами модули формируются как структурная единица учебного плана по специальности; как организационно-методическая междисциплинарная структура, в виде набора разделов из разных дисциплин, объединяемых по тематическому признаку базой; или как организационно-методическая структурная единица в рамках учебной дисциплины.

Чем модульное обучение отличается от других систем обучения?

  • Содержание обучения представляется в информационных блоках, усвоение которых осуществляется в соответствии с целью. Дидактическая цель формулируется для обучающегося и содержит в себе не только указание на объем изучаемого содержания, но и на уровень его усвоения. Кроме того, каждый студент получает от преподавателя советы в письменной форме, как рациональнее действовать, где найти нужный учебный материал и т.д.

  • Меняется форма общения преподавателя и студента. Оно осуществляется через модули и плюс личное индивидуальное общение.

  • Студент работает максимум времени самостоятельно, учится самопланированию, самоорганизации, самоконтролю и самооценке. Это дает возможность ему осознать себя в деятельности, самому определять уровень усвоения знаний, видеть пробелы в своих знаниях и умениях.

  • Наличие модулей с печатной основой позволяет преподавателю индивидуализировать работу с отдельными студентами.

Считается, что использование модульного подхода в организации учебно-воспитательного процесса и контроля знаний способствует нормализации нагрузки студентов, обеспечивает их посильной работой и формирует у них положительное отношение к учебе.

Модульное обучение наилучшим образом сочетается с традиционным подходом к организации учебного процесса, которым можно считать многоуровневую дифференциацию. Это означает, что, осваивая общий курс, одни студенты в своих результатах ограничиваются уровнем обязательной подготовки, другие в соответствии со своими склонностями и способностями достигают более высоких рубежей. При этом достижение уровня обязательной подготовки становится непременной обязанностью студента в его учебной работе. В то же время каждый имеет право самостоятельно решить, ограничиться этим уровнем или же продвигаться дальше. Именно на этом пути осуществляются гуманистические начала в обучении.

В системе начального профессионального образования (НПО) дифференцированный подход утрачивает свою актуальность, вследствие общего низкого уровня обученности в основной школе поступающих в систему НПО, что выражается в отсутствии элементарной грамотности и осведомленности об основных понятиях и законах естественно-научных дисциплин, несформированностью у студентов информационной компетентности, и как следствие этого полным отсутствием мотивации к дальнейшему обучению. В такой ситуации традиционный урок, в какой бы форме он не проводился, становится серьезным, а часто и непосильным, испытанием для обучающегося, вызывает состояние стресса и резко негативное отношение ко всему процессу обучения. Кроме того, получая многоуровневое задание, составленное в соответствии с принципом дифференциации, студент воспринимает как насмешку задания повышенного уровня сложности, с которым он в силу вышеуказанных причин заведомо не может справиться. Если же дифференциация проводится по принципу деления группы на подгруппы в зависимости от уровня успеваемости, то это тоже зачастую встречает негативное отношение студентов, причем как слабоуспевающих, так и более успешных в обучении. Слабоуспевающие чувствуют себя недооцененными со стороны преподавателя, и вместо того, чтобы стремиться достичь лучших результатов, перестают заниматься вообще («Если за выполнение этого задания я не смогу получить «пятерку», зачем я буду стараться его выполнять?»). «Сильные» студенты бывают недовольны, получив более сложное, чем у остальных, задание. («Лучше я решу пять простых задач вместо одной сложной и получу ту же «четверку»). Кроме того, само деление группы на подгруппы в зависимости от уровня успеваемости осложнено малым количеством или полным отсутствием студентов, достигающих сколько-нибудь заметных успехов в обучении, выделять же отдельных студентов представляется педагогически нецелесообразным.

Учитывая вышесказанное, вполне оправдан такой подход к осуществлению образовательного процесса, который будет проводиться более щадящими способами, более адаптированными к уровню обученности в системе НПО. Этим подходом вполне может быть способ организации учебного процесса на основе блочно-модульного представления учебной информации. Задания образовательного модуля должны содержать достаточно большое количество заданий не слишком высокого уровня сложности, но охватывающее достаточный для осуществления выполнения ФГОС объем учебного материала, среди которых любой студент смог бы найти посильные для себя задания и справиться с выполнением работы, хотя бы удовлетворительно. Для достижения хороших и отличных результатов студент должен продемонстрировать знания большего объема учебного материала и более высокий уровень сформированности компетенций. Такой подход к организации учебного процесса, как показывает практика, помогает созданию комфортной психологической обстановки, повышает уровень самооценки студентов и уверенности в собственных силах, что, разумеется, способствует более успешной адаптации обучающихся в образовательном процессе и сказывается на достигаемых результатах.

Реализация принципа индивидуализации образования при модульном обучении


Применение технологии модульного обучения реализует осуществление принципа индивидуализации образования, так как способствует более успешной адаптации студентов в образовательном процессе.

На уроках математики студенты всегда наиболее раскованны и активны. В стремлении создать условия для успешного выполнения задания студентам с разным типом восприятия, модульное обучение предоставляет возможность более самостоятельно «открывать» новые знания, новые способы взаимодействия с учебным материалом. Большую роль в реализации такого подхода играют практические работы и организованные наблюдения.

По результатам собственных наблюдений и с помощью дополнительной справочной литературы студенты решают ту или иную проблемную ситуацию. Это побуждает их к творческому поиску вариантов решения учебных задач, к высказыванию умозаключений, выдвижению предположений и их проверки.

Следует подчеркнуть, что работа с индивидуальностью каждого студента ставит преподавателя в новую позицию – быть одновременно и преподавателем, и психологом, умеющим осуществлять комплексное педагогическое наблюдение за каждым студентом в процессе его индивидуального возрастного развития и личностного становления.

Результатом работы является повышение уровня самооценки и самоконтроля студентов, их творческие успехи, стабильные показатели качества знаний.

Воспитательная направ­ленность модульного обучения.

Одним из необходимых условий достижений целей обучения математики является воспитательная направленность. К сожалению, сейчас уделяется незаслуженно малое внимание именно воспитательной составляющей учебного процесса. Между тем, хорошо известно, что математика, как наука, - лучшее средство организации умственных способностей, а следовательно воспитывает в человеке собранность, пунктуальность, трудолюбие, организованность, обязательность.

Таким образом, одним из эффективных путей воспитания по­зитивного отношения обучаю­щихся к общечеловеческим цен­ностям можно считать формирование у них интереса к предмету, организация их успешной деятельности на уроке.

В процессе обучения математике замечательный мир творчества и практической деятельности соединяется с прекрасным миром науки, в который вступают студенты.

В самом процессе изучения математики заложены огромные воспитательные и образовательные возможности. В процессе решения задач по математике студенты приобретают самые различные знания о предметах и явлениях окружающего мира. Практический опыт развивает их наблюдательность и способность определять свойства предметов, выявлять их существенные признаки. Таким образом, выполнение математических заданий оказывает большое влияние на умственное развитие обучающихся, совершенствуя их мышление, внимание, творческое воображение, а следовательно создает необходимые условия для формирования их социальной компетентности.

Поэтому особенно важно использовать на уроке те методики и технологии, которые позволяют студентам получать знания и новые сведения в процессе выполнения практической работы. Наилучший выбор в этой ситуации – технология модульного обучения. Часто то, что ранее казалось трудным, даже недостижимым, во время проведения практической работы с модулем легко усваивается. Здесь интерес и удовольствие от достижения результата — важные психологические показатели работы.

Можно выделить основные воспитательные задачи, реализуемые в процессе реализации принципа модульного обучения:

  • Повысить интерес обучающихся к изучаемому предмету путем введения системы модульного обучения и актуализации изучаемой темы для профессиональной деятельности студентов;

  • Воспитание внимательности при работе с материалами образовательного модуля, сообразительности, наблюдательности и сосредоточенности на уроке;

  • Воспитание ответственности за собственные действия и чувства сопереживания за успехи или неудачи товарищей путем организации работы в парах или группах.

В практической работе с модулем привлекает поставленная задача и трудность, которую можно преодолеть, а затем радость открытия и ощущение преодоленного препятствия. Таким образом, мотивация успешного выполнения самой работы заложена в организационном построении занятия и служит важным воспитательным фактором, оказывающим позитивное влияние на формирование личности.

Характерным для каждого урока, проводимого в соответствии с принципом модульного обучения, является, с одной стороны, решение различных задач: уточнение представлений об изучаемом понятии, о его существенных особенностях, развитие способности замечать сходство и различие между различными математическими объектами и т. д.

С другой стороны, неотъемлемым элементом урока является практическое действие: работа с различного вида справочными материалами, калькулятором, циркулем, линейкой, транспортиром, проведение измерений и т.п.. Внимание обучающегося направлено именно на него, а уже в процессе работы он незаметно для себя выполняет обучающую задачу. Поэтому практические работы с модулем представляются студентам интересным, необычным занятием.

Говоря о большом воспитательном и познавательном значении практической работы с материалами образовательного модуля, следует указать на важную роль преподавателя при их организации.

Прежде всего, преподаватель должен положить начало творческой работе студентов, но контроль и руководство преподавателя не должны превращаться в подавление инициативы и самостоятельности студентов, иначе будет уничтожена самая сущность работы, которая невозможна без свободного проявления личности.

Многие студенты могут разрабатывать и придумывать задания самостоятельно. Для этого можно объявить конкурс на лучшую задачу. Каждую придуманную задачу нужно проверять в действии на правильность постановки вопроса и выполнимость поставленной цели. Здесь преподаватель становится не только организатором, но и участником работы. При этом он — главный авторитет и судья во всех спорах, и обязательно активный участник процесса. Преподаватель не должен отвергать замыслы студентов, не должен навязывать им свое мнение.

Не всегда в процессе выполнения практической работы с модулем наилучшего результата достигают хорошо успевающие студенты. Часто много терпения и настойчивости проявляют именно те студенты, у которых этого не хватает для систематического приготовления уроков. Именно поэтому необходимо сделать максимально доступной форму проведения практических работ, чтобы любой, даже слабоуспевающий студент, смог самостоятельно выполнить предлагаемое ему задание конкретного модуля, произвести необходимые измерения и вычисления, получить правильный результат.


Эффективность использования модульного обучения


Основной особенностью методов и форм работы по системе модульного обучения является то, что предпочтение отдается проблемно-поисковой, исследовательской и творческой деятельности обучающихся. Такой подход предусматривает постановку проблемных ситуаций, выдвижение предположений, поиск доказательств, формулирование выводов, сопоставление результатов с эталоном. При таком подходе возникает естественная мотивация учения, успешно развивается способность студента понимать смысл поставленной задачи, планировать учебную работу, контролировать и оценивать ее результат.

Модульный подход позволяет выстраивать гибкую методику обучения, хорошо адаптированную к специфике учебного содержания и конкретной педагогической ситуации, учитывать индивидуальные особенности студентов, их интересы и склонности. Он дает возможность применять обширный арсенал методов и приемов эвристического характера, целенаправленно развивая познавательную активность и самостоятельность студентов. При этом демонстрируется возможность существования различных точек зрения на один и тот же вопрос, воспитывается терпимость и уважение к мнению другого, культура диалога, что хорошо согласуется с задачей формирования толерантности.


Методические указания по применению модуля
«Начала математического
анализа»


В соответствии с вышесказанным, в приложениях приводится методическая авторская разработка модуля «Начала математического анализа».

В результате изучения модуля обучающийся должен уметь:

  • находить производные элементарных функций;

  • использовать производную для изучения свойств функций и построения графиков;

  • применять производную для проведения приближенных вычислений, решать задачи прикладного характера на нахождение наибольшего и наименьшего значения;

  • вычислять в простейших случаях площади и объемы с использованием первообразной;

использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:

  • решения прикладных задач, в том числе социально-экономических и физических, на наибольшие и наименьшие значения, на нахождение скорости и ускорения.


Приводимые дидактические материалы содержат образцы решения основных задач образовательного модуля, пошаговые инструкции выполнения типовых заданий, необходимый справочный материал и большое количество практических заданий.

Приводимые материалы могут использоваться

- в качестве дидактического материала как средство для организации самостоятельной работы обучающегося как во время учебного занятия, так и позволяющее ему наиболее полно овладеть знаниями и использовать их в решении практических задач с возможностью самопроверки и самоконтроля при организации внеаудиторной самостоятельной работы;

- в качестве проверочной работы по конкретной теме курса математики;

- а в случае необходимости и в качестве контрольной работы, например, при внеклассной работе со слабоуспевающими учащимися.

Задания составлены в количестве, достаточном для организации индивидуальной работы над заданиями, что исключает списывание и подсказки, позволяет легко оценивать проделанную работу и проводить сравнительный мониторинг внутри группы, между группами, а также выстраивать «график успешности» отдельного обучающегося по мере выполнения им нескольких работ. Результаты проделанной работы могут быть предоставлены в виде диаграмм, графиков или сравнительных таблиц. Кроме того, задания составлены с нарастающим усложнением, что позволит учащимся постепенно адаптироваться к новым требованиям, и потребует от них овладения достаточно высоким уровнем знаний и умений самостоятельно применять эти знания на практике.





Библиографический список.

  1. Евсеев Р.Ю.. Организационно-педагогические условия контроля качества подготовки специалистов в среднем специальном учебном заведении на основе компетентностного подхода: Дис. ... канд. пед. наук.— Москва, 2006. — 215с.

  2. Киселев А. К. Педагогические условия профессиональной самореализации учащихся учреждений начального профессионального образования: диссертация ... канд. пед. наук. — Москва, 2004. — 175c.

  3. Концепция модернизации российского образования - http://archive.kremlin.ru/text/docs/2002/04/57884.shtml

  4. Маркелова Н. В. Развитие представлений об успешности в раннем юношеском возрасте: диссертация ... канд. психолог. наук. — Ставрополь, 2005. — 178c.

  5. Махмутов М. И. Методы проблемно-развивающего обучения в средних профтехучилищах: Методические рекомендации. — М.: Изд. АПН СССР, 1983. – 64с.

  6. Википедия:https://ru.wikipedia.org/wiki/


























12


Выбранный для просмотра документ приложение.doc

библиотека
материалов

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ


Таблица производных


1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

f(х)

с

х

hello_html_m631c16a4.gif

hello_html_m247fcf1a.gif

sin x

cos x

tq x

ctq x

xhello_html_d901e0b.gif

ehello_html_34fbc23a.gif

ln x

loghello_html_m1ab27dc3.gifx

ahello_html_34fbc23a.gif

f''(х)

0

1

hello_html_m6dd58060.gif

hello_html_m15bf38af.gif

cos x

- sin x

hello_html_m6277a3c.gif

hello_html_m1d701ba1.gif

nhello_html_17ad666e.gif

ehello_html_34fbc23a.gif

hello_html_m631c16a4.gif

hello_html_m43195e46.gif

ahello_html_34fbc23a.gifln a


Вычисление производных основных функций

Образец решения (Запишите в тетрадь. Если нужно, обратитесь за консультацией.)

Реши самостоятельно: (Если нужно, обратитесь за консультацией.)

формула №1

  1. (2)' = 0 ( смотри формулу №1)

  2. (– 2)' = 0 ( смотри формулу №1)

  3. hello_html_7dd45954.gif= 0 ( смотри формулу №1)

  4. (0,2)' = 0 ( смотри формулу №1)


  1. (5)' = ( смотри формулу №1)

  2. (– 5)' = ( смотри формулу №1)

  3. hello_html_m696a79af.gif= ( смотри формулу №1)

  4. (0,5)' = ( смотри формулу №1)

  5. (3,14)' = ( смотри формулу №1)

  6. (9,8)' = ( смотри формулу №1)

формула №2

  1. (х)' = 1 ( смотри формулу №2)

  2. (2х)' = 2·(х)' = 2·1 = 2 ( число, которое стоит вместе с «х», переписать и найти производную выражения с «х», смотри формулу №2)

  3. (3х)' =3 ( число, которое стоит вместе с «х», переписать и найти производную выражения с «х», смотри формулу №2)

  4. hello_html_m2233b5f.gif( число, которое стоит вместе с «х», переписать и найти производную выражения с «х», смотри формулу №2)

  5. hello_html_48b86076.gif( число, которое стоит вместе с «х», переписать и найти производную выражения с «х», смотри формулу №2)


  1. (х)' = ( смотри формулу №2)

  2. (5х)' = (смотри формулу №2)

  3. (–5х)' = ( число, которое стоит вместе с «х», переписать и найти производную выражения с «х», смотри формулу №2)

  4. (4х–5)' = ( число, которое стоит вместе с «х», переписать и найти производную выражения с «х», смотри формулу №2)

  5. hello_html_65110daa.gif( число, которое стоит вместе с «х», переписать и найти производную выражения с «х», смотри формулу №1 и №2)

  6. hello_html_65d37b6f.gif( число, которое стоит вместе с «х», переписать и найти производную выражения с «х», смотри формулу №2)

формула №1-2

  1. (2х + 3)' = (2х)' + (3)' = 2+ 0 = 2 ( смотри формулу №1 и №2)

  2. (5х - 2)' = (5х)' – (2)' = 5 – 0 = 5 ( смотри формулу №1 и №2)

  3. (4 – 2x)' = (4)' – (2x)' = 0 – 2 = – 2 ( смотри формулу №1 и №2)

  4. (5 – 8x)' = 0 – 8 = – 8( смотри формулу №1 и №2)

  5. (2x – 6)' = 2 – 0 = 2( смотри формулу №1 и №2)

  6. hello_html_m2f8d85ae.gif+ 0 = hello_html_2c648b39.gif( смотри формулу №1 и №2)

  7. hello_html_m5df9ddb4.gif( смотри формулу №1 и №2)

  8. hello_html_m394d3cf1.gif( смотри формулу №1 и №2)

  1. (5х + 6)' = ( смотри формулу №1 и №2)

  2. (7х - 12)' = ( смотри формулу №1 и №2)

  3. (7 – 3x)' = ( смотри формулу №1 и №2)

  4. (15 – 9x)' = ( смотри формулу №1 и №2)

  5. (2x – 6)' = ( смотри формулу №1 и №2)

  6. hello_html_7d569643.gif( смотри формулу №1 и №2)

  7. hello_html_2a163fcf.gif( смотри формулу №1 и №2)

  8. hello_html_4f89a6b5.gif( смотри формулу №1 и №2)



формула №3

  1. hello_html_m16c0b29d.gifhello_html_20071d19.gif( число, которое стоит вместе с «х», переписать и найти производную выражения с «х», смотри формулу №3)

  2. hello_html_201244d0.gifhello_html_m1994c853.gif( число, которое стоит вместе с «х», переписать и найти производную выражения с «х», смотри формулу №3)

  3. hello_html_m68eee263.gif( смотри формулу №3 и №2)

  4. hello_html_m36cc1ede.gif( смотри формулу №3 и №2)


  1. hello_html_m66b0d4b0.gif( число, которое стоит вместе с «х», переписать и найти производную выражения с «х», смотри формулу №3)

  2. hello_html_m6b5fdeeb.gif( число, которое стоит вместе с «х», переписать и найти производную выражения с «х», смотри формулу №3)

  3. hello_html_15990b48.gif( число, которое стоит вместе с «х», переписать и найти производную выражения с «х»)

  4. hello_html_588da50a.gif( смотри формулу №1 и №2)

  5. hello_html_739ff27e.gif( смотри формулу №1 и №2)

  6. hello_html_m39cd44a4.gif( смотри формулу №1 и №2)

  7. hello_html_m702ea011.gif( смотри формулу №1, №2 и №3)

  8. hello_html_24874f52.gif( смотри формулу №1, №2 и №3)

  9. hello_html_2f5e464d.gif( смотри формулу №1, №2 и №3)

  10. hello_html_4ee908e3.gif( смотри формулу №1, №2 и №3)


формула №4

  1. hello_html_m7e14a97f.gif( число, которое стоит вместе с «х», переписать и найти производную выражения с «х», смотри формулу №4)

  2. hello_html_m1e6af231.gif( число, которое стоит вместе с «х», переписать и найти производную выражения с «х», смотри формулу №4)


31. hello_html_m6985cdb0.gif ( число, которое стоит вместе с «х», переписать и найти производную выражения с «х», смотри формулу №4)

  1. hello_html_m7d49f25f.gif( число, которое стоит вместе с «х», переписать и найти производную выражения с «х», смотри формулу №4)

  2. hello_html_m454435d.gif( смотри формулу №1, №2, №3 и №4)

  3. hello_html_mf5aebe2.gif( смотри формулу №1, №2, №3 и №4)

  4. hello_html_m7e67a977.gif( смотри формулу №1, №2, №3 и №4)

  5. hello_html_488c0640.gif( смотри формулу №1, №2, №3 и №4)

  6. hello_html_5866365f.gif( смотри формулу №1, №2, №3 и №4)

  7. hello_html_563bb398.gif( смотри формулу №1, №2, №3 и №4)

  8. hello_html_3af7f6e5.gif( смотри формулу №1, №2, №3 и №4)

  9. hello_html_194d87.gif( смотри формулу №1 - 4)




формула №5

  1. (2 sin х)' = 2 cos x ( смотри формулу №5)

  2. hello_html_3a76c269.gif( смотри формулу №5)

  1. (5 sin х)' = ( смотри формулу №5)

  2. hello_html_m24aa1751.gif( смотри формулу №5)

  3. hello_html_6f98fc9.gif( смотри формулу №5)

формула №6


  1. (2 cos х)' = – 2 sin x ( смотри формулу №6)

  2. hello_html_m3f4ae03d.gif( смотри формулу №6)


  1. (7 cos х)' = ( смотри формулу №6)

  2. ( - 5 cos х)' = ( смотри формулу №6)

  3. hello_html_63fcfac8.gif( смотри формулу №6)

  4. hello_html_3d46c731.gif( смотри формулу №6)

  5. ( 1 - 8 cos х)' = ( смотри формулу №6)

  6. (3 sin х + 2 cos х )' = ( смотри формулу №5 и №6)

  7. (3 cos х + 2 sin х )' = ( смотри формулу №5 и №6)

  8. ( sin х - 6 cos х )' = ( смотри формулу №5 и №6)

  9. (7 cos х - sin х )' = ( смотри формулу №5 и №6)

  10. hello_html_mb2cdee2.gif( смотри формулу №5 и №6)

  11. hello_html_mfca85e7.gif( смотри формулу №1 - 6)

  12. hello_html_m28c9cb8.gif( смотри формулу №1 - 6)

  13. hello_html_6e50cad2.gif(смотри формулу №1 - 6)


формула №7

  1. (2 tg х)' = hello_html_m5acc86f6.gif ( смотри формулу №7)

  2. hello_html_2ed0a94b.gif=hello_html_m28809c82.gif ( смотри формулу №7)

  1. (8 tg х – 15х + 4)' = ( смотри формулу №1 – №7)

  2. hello_html_1f1588d2.gif= ( смотри формулу №7)

формула №8

  1. (2 ctg х)' = hello_html_4aba9967.gif ( смотри формулу №8)

  2. hello_html_m57c8d36.gif=hello_html_m5ea1a042.gif( смотри формулу №8)


  1. (5 ctg х)' = ( смотри формулу №8)

  2. (7 ctg х – 8 tg х)' = ( смотри формулу №7 и №8)

  3. (15 tg х – 27 ctg х)' = ( смотри формулу №7 и №8)

  4. hello_html_m3ca63b68.gif= ( смотри формулу №8)

  5. hello_html_7689e9b4.gif= ( смотри формулу №8)

  6. hello_html_m69963163.gif( смотри формулу №7 и №8)

  7. hello_html_m12851fd7.gif( смотри формулу №1 – №8)

  8. (11 tg х – 20 ctg х + sin х – 7 cos х – 4х + 12 )' = ( смотри формулу №1 – №8)

  9. hello_html_2e7f4fdc.gif(смотри формулу №1–8)

  10. hello_html_c0a01c.gif( смотри формулу №1 – №8)

  11. hello_html_md6e9d47.gif( смотри формулу №1-8)

  12. hello_html_14617d2b.gif

формула №9

  1. hello_html_m7dfd8cb2.gif( число «3» из показателя степени идет вперёд, а сам показатель уменьшается на «1», смотри формулу №9)

  2. hello_html_18937f2e.gif( число, которое стоит вместе с «х», переписать и найти производную выражения с «х», смотри формулу №9)

  3. hello_html_24549b84.gif( число, которое стоит вместе с «х», переписать и найти производную выражения с «х», смотри формулу №9)

  4. hello_html_m4fae5a7.gif(дробь надо сократить, если это возможно)

  5. hello_html_6155fe32.gif

  6. hello_html_m4d7546f0.gif(при переносе степени через черту дроби показатель степени меняет знак)

  7. hello_html_m3894ecda.gif

  8. hello_html_m57d97d50.gif

  9. hello_html_m29db3f0c.gif


  1. hello_html_4a72b77c.gif( смотри формулу №9)

  2. hello_html_4cb57d8a.gif( смотри формулу №9)

  3. hello_html_m229230e7.gif( смотри формулу №9)

  4. hello_html_7fbe599f.gif( смотри формулу №9)

  5. hello_html_m4483d7d2.gif( смотри формулу №9)

  6. hello_html_13b9f72f.gif( смотри формулу №9)

  7. hello_html_m6d3c1592.gif( смотри формулу №9)

  8. hello_html_m141d8959.gif( смотри формулу №9)

  9. hello_html_m6c53b72c.gif( смотри формулу №9)

  10. hello_html_676189ca.gif( смотри формулу №9)

  11. hello_html_75b8b3c3.gif( смотри формулу №9)

  12. hello_html_19694d48.gif( смотри формулу №9)

  13. hello_html_655d49b4.gif( смотри формулу №9)

  14. hello_html_m40f728d0.gif( смотри формулу №9)

  15. hello_html_m3e93060f.gif( смотри формулу №9)

  16. hello_html_299e63b1.gif( смотри формулу №9)

  17. hello_html_m608999a5.gif( смотри формулу №9)

  18. hello_html_3d294a1b.gif( смотри формулу №9)

  19. hello_html_26b96e12.gif( смотри формулу №9)

  20. hello_html_3b116464.gif( смотри формулу №9)

  21. hello_html_2b142303.gif( смотри формулу №9)

  22. hello_html_5a32faa9.gif( смотри формулу №9)

  23. hello_html_77334f37.gif( смотри формулу №9)

  24. hello_html_6e0b751e.gif( смотри формулу №9)

  25. hello_html_41dde0dd.gif( смотри формулу №1-9)

  26. hello_html_m4e0c02e.gif( смотри формулу №1-9)

  27. hello_html_1cad89ca.gif( смотри формулу №1-9)

  28. hello_html_30e042b4.gif( смотри формулу №1-9)

  29. hello_html_m10b129a9.gif( смотри формулу №1-9)

  30. hello_html_m70e34b80.gif( смотри формулу №1-9)


формула №10

  1. (2ehello_html_34fbc23a.gif)'=2 ehello_html_34fbc23a.gif( число, которое стоит вместе с выражением с «х», переписать и найти производную выражения с «х», смотри формулу №10)

  2. hello_html_m1ba1bc24.gif( число, которое стоит вместе с выражением с «х», переписать и найти производную выражения с «х», смотри формулу №10)

  3. hello_html_7d6a9ba8.gif( число, которое стоит вместе с выражением с «х», переписать и найти производную выражения с «х», смотри формулу №10)

  1. (5ehello_html_34fbc23a.gif)'= ( смотри формулу №1-10)

  2. (7ehello_html_34fbc23a.gif- 2х³)'= ( смотри формулу №1-10)

  3. (4ehello_html_34fbc23a.gif- 4х³)'= ( смотри формулу №1-10)

  4. hello_html_72d2506.gif( смотри формулу №1-10)

  5. hello_html_m5182088d.gif( смотри формулу №1-10)

  6. hello_html_m273215f1.gif( смотри формулу №1-10)

  7. hello_html_m5fe249dd.gif( смотри формулу №1-10)

  8. hello_html_m2b1138b.gif( смотри формулу №1-10)

  9. hello_html_m4ef18172.gif( смотри формулу №1-10)

  10. hello_html_m1a1d33e7.gif( смотри формулу №1-10)


формула №11

44. (2 ln x) ' = hello_html_m23c36617.gif ( число, которое стоит вместе с выражением с «х», переписать и найти производную выражения с «х», смотри формулу №11)

  1. hello_html_m76223706.gif( число, которое стоит вместе с выражением с «х», переписать и найти производную выражения с «х», смотри формулу №11)

  2. hello_html_3b439df5.gif( число, которое стоит вместе с выражением с «х», переписать и найти производную выражения с «х», смотри формулу №11)

  1. (5ln x) ' = ( число, которое стоит вместе с выражением с «х», переписать и найти производную выражения с «х», смотри формулу №11)

  2. hello_html_22ac4be3.gif( число, которое стоит вместе с выражением с «х», переписать и найти производную выражения с «х», смотри формулу №11)

  3. hello_html_m734a8755.gif( число, которое стоит вместе с выражением с «х», переписать и найти производную выражения с «х», смотри формулу №11)

  4. (5ln x – 4x +5) ' = ( смотри формулу №1-11)

  5. hello_html_m7dfe671.gif( смотри формулу №1-11)

  6. hello_html_6750fa2c.gif( смотри формулу №1-11)

  7. hello_html_f406ce2.gif( смотри формулу №1-11)

  8. (7sin x+7ln x - 7) ' = ( смотри формулу №1-11)

  9. hello_html_7c1ff260.gif( смотри формулу №1-11)

  10. hello_html_m2d1cf265.gif( смотри формулу №1-11)


формула №12

47. (2 loghello_html_m1ab27dc3.gifx) ' = hello_html_46cb20c5.gif ( число, которое стоит вместе с выражением с «х», переписать и найти производную выражения с «х», смотри формулу №12)

  1. hello_html_m6576d79a.gif( число, которое стоит вместе с выражением с «х», переписать и найти производную выражения с «х», смотри формулу №12)

121. (5 loghello_html_m1ab27dc3.gif x) ' = ( число, которое стоит вместе с выражением с «х», переписать и найти производную выражения с «х», смотри формулу №12)

  1. hello_html_3b1ce1fd.gif( число, которое стоит вместе с выражением с «х», переписать и найти производную выражения с «х», смотри формулу №12)

  2. hello_html_3cd8a088.gif(смотри формулу №12)

  3. hello_html_16973708.gif( смотри формулу №1-12)

  4. hello_html_7b0fa5d.gif( смотри формулу №1-12)

  5. hello_html_a6aedc0.gif( смотри формулу №1-12)

  6. hello_html_6bcc853d.gif( смотри формулу №1-12)

  7. hello_html_m755cbdeb.gif( смотри формулу №1-12)

  8. hello_html_32504ed8.gif( смотри формулу №1-12)

  9. hello_html_m30351b2.gif( смотри формулу №1-12)

формула №13

49. (2 аhello_html_34fbc23a.gif) ' = 2 аhello_html_34fbc23a.gifln a ( число, которое стоит вместе с выражением с «х», переписать и найти производную выражения с «х», смотри формулу №13)

  1. hello_html_29bbaa63.gif( число, которое стоит вместе с выражением с «х», переписать и найти производную выражения с «х», смотри формулу №12)


  1. (5ahello_html_34fbc23a.gif) ' = ( число, которое стоит вместе с выражением с «х», переписать и найти производную выражения с «х», смотри формулу №13)

  2. hello_html_m1bab223d.gif( число, которое стоит вместе с выражением с «х», переписать и найти производную выражения с «х», смотри формулу №13)

  3. hello_html_m64c9c6d3.gif( число, которое стоит вместе с выражением с «х», переписать и найти производную выражения с «х», смотри формулу №13)

  4. hello_html_2f9a4eaf.gif( смотри формулу №1-13)

  5. hello_html_m1c18507b.gif( смотри формулу №1-13)

  6. hello_html_m80437a1.gif( смотри формулу №1-13)

  7. hello_html_5a0b4090.gif( смотри формулу №1-13)

  8. hello_html_2660f9db.gif( смотри формулу №1-13)

  9. hello_html_m2a9db4c8.gif( смотри формулу №1-13)

  10. hello_html_5ba148a6.gif( смотри формулу №1-13)

Механический смысл производной


СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ


Пусть точка движется по координатной прямой с какой-то скоростью. При этом в зависимости от времени изменяется координата «х» этой точки. Производная от координаты по времени есть скорость. В этом состоит механический смысл производной.. υ (t) = x ' (t)

Аналогично, производная от скорости по времени есть ускорение. α (t) = υ ' (t)


Образец решения (Запишите в тетрадь. Если нужно, обратитесь за консультацией.)

Реши самостоятельно: (Если нужно, обратитесь за консультацией.)

Определение скорости движения точки


Задача №1.

Точка движется по координатной прямой согласно закону
х(t)=2 t+ t3, где х (t) - координата точки в момент времени t.
С какой скоростью будет двигаться эта точка через 5 секунд после начала движения?


Дано: х (t) = 2 t+ t3 t = 5 с.

Найти: υ (5).

Решение:

υ (t) = x ' (t) (формула, согласно которой можно найти скорость)


υ (t) = ( 2 t + t3 ) ' = 2 + 3 t 2 (в формулу вместо «х(t

подставили «2 t+ t3» и нашли производную)


υ (5) = 2 + 3 · 52 = 2 + 3 · 25 = 2 + 75 = 77 (в формулу υ (t) вместо «t» подставили число «5» и вычислили значение скорости при t = 5 с.)


Ответ: υ (5).= 77 м/с.


Задача №2. Точка движется по координатной прямой согласно закону х(t) = 7 tt 2, где х (t) -координата точки в момент времени t.

С какой скоростью будет двигаться эта точка через 4 секунды?

Задача №3. Точка движется по координатной прямой согласно закону х(t) = t3 + t2, где х (t) -координата точки в момент времени t.

С какой скоростью будет двигаться эта точка через 3 секунды?

Задача №4. Точка движется по координатной прямой согласно закону х (t) = 5 t – 2 t 2 + 5 t 3, где х (t) -координата точки в момент времени t. С какой скоростью будет двигаться эта точка через
2 секунды после начала движения?

Задача №5. При торможении маховик за t секунд поворачивается на угол φ (t) = 6 t- t 2 радиан. Найдите угловую скорость ω (t) вращения маховика в момент времени t =2 с. (φ (t) – угол поворота маховика, ω (t) - угловая скорость вращения маховика, ω (t) = φ ' (t) )

Задача №6. При движении маховика угол поворота изменяется согласно закону φ (t) = 6 t hello_html_m3b89847d.gif+ t 2 радиан. Найдите угловую скорость
ω (t) вращения маховика через 1 с после начала движения.



Определение времени движения точки

Задача №1.

Точка движется по координатной прямой согласно закону
х (t) = 5 – 3 t + t 2 , где х (t) - координата точки в момент времени t.
В какой момент времени скорость точки будет равна 13 м/с ?

Дано: х (t) = 5 – 3 t + t 2 υ (t) = 13 м/с

Найти: t.

Решение:

υ (t) = x ' (t) (формула, согласно которой можно найти скорость)


υ (t) = (5 – 3 t + t 2 ) ' = - 3 + 2 t (в формулу вместо «х (t

подставили «5 – 3 t + t 2» и нашли производную)


- 3 + 2 t = 13 (т.к. υ (t) = 13 (смотри условие)

и υ (t) = - 3 + 2 t (смотри решение)
приравняли правые части этих формул)

2 t = 13 + 3 ( -3 перенесли вправо со знаком + )

2 t = 16 (вычислили правую часть)

t = 16 : 2 ( 2 перенесли в правую часть с действием : )

t = 8 (вычислили правую часть)

Ответ: t = 8 секунд

Задача №2. Точка движется по координатной прямой согласно закону х (t) = t 2 - 10 t +15 , где х(t) - координата точки в момент времени t. В какой момент времени скорость точки будет равна 16?


Задача №3. Точка движется по координатной прямой согласно закону х (t) = 45 +7 t + 5 t 2 , где х (t) - координата точки в момент времени t. В какой момент времени скорость точки будет равна 27?


Задача №4. Точка движется по координатной прямой согласно закону х (t) = 9 t 2 +15 t +77 , где х (t) - координата точки в момент времени t. В какой момент времени скорость точки будет равна 51?


Задача №5. Точка движется по координатной прямой согласно закону х (t) = 12 t - 8 t 2 , где х(t) - координата точки в момент времени t. В какой момент времени скорость точки будет равна 4?


Задача №6. Точка движется по координатной прямой согласно закону х (t) = 4 t 2 + 10 t , где х(t) - координата точки в момент времени t. В какой момент времени скорость точки будет равна 26?

Определение ускорения

Задача №1.

Точка движется по координатной прямой согласно закону
х (t) = 2 t ²+ t 3, где х (t) - координата точки в момент времени t.
С каким ускорением будет двигаться эта точка через 5 секунд после начала движения?

Дано: х (t) = 2 t ² + t3 t = 5 с.

Найти: α (5).

Решение:

υ (t) = x ' (t) (формула, согласно которой можно найти скорость)

υ (t) = ( 2 t² + t3 ) ' = 2 t + 3 t 2 (в формулу вместо «х(t

подставили «2 t+ t3» и нашли производную)


α (t) = υ ' (t) (формула, согласно которой можно найти ускорение)

α (t) = (2 t + 3 t 2 ) ' = 2 + 6 t (в формулу вместо «υ (t

подставили « 2 t+ 3t2 » и нашли производную)

α (5) = 2 + 6 · 5 = 2 + 30 = 32 (в формулу α (t) вместо «t» подставили число «5» и вычислили значение ускорения при t = 5 с.)

Ответ: α (5).= 32 м/с².

Задача №2.Точка движется по координатной прямой согласно закону х (t) = 2 t ³ + t ², где х (t) - координата точки в момент времени t. С каким ускорением будет двигаться эта точка
через 7 секунд после начала движения?

Задача №3.Точка движется по координатной прямой согласно закону х (t) = 2 t hello_html_m3b89847d.gif 5 t ³ , где х (t) - координата точки в момент времени t. С каким ускорением будет двигаться эта точка
через 2 секунды после начала движения?

Задача №4.Точка движется по координатной прямой согласно закону х (t) = 2 t ³ + 3t hello_html_297a2b59.gif, где х (t) - координата точки в момент времени t. С каким ускорением будет двигаться эта точка
через 3 секунды после начала движения?

Задача №5.Точка движется по координатной прямой согласно закону х (t) = 2 t hello_html_297a2b59.gif + t hello_html_m66640276.gif, где х (t) - координата точки в момент времени t. С каким ускорением будет двигаться эта точка

через 1 секунду после начала движения?


Определение скорости и ускорения

Задача №1.

Точка движется по координатной прямой согласно закону
х (t) = 7 t ²– 2 t 3, где х (t) - координата точки в момент времени t.
С какими скоростью и ускорением будет двигаться эта точка через 5 секунд после начала движения?

Дано: х (t) = 7 t ² 2 t3 t = 5 с.

Найти: α (5).

Решение:

υ (t) = x ' (t) (формула, согласно которой можно найти скорость)

υ (t) = ( 7 t² 2 t3 ) ' = 14 t + 6 t 2 (в формулу вместо «х(t

подставили «7 t–2 t3» и нашли производную)

υ (5) = 14 · 5 + 6 · 5 2 = 70 + 6 · 25 = 70 + 150 = 220
(в формулу υ (t) вместо «t» подставили число «5» и вычислили значение скорости при t = 5 с.)

α (t) = υ ' (t) (формула, согласно которой можно найти ускорение)

α (t) = (14 t + 6 t 2 ) ' = 14 + 12 t (в формулу вместо «υ (t

подставили « 14 t+ 6t2 » и нашли производную)

α (5) = 14 + 12 · 5 = 14 + 60 = 74 (в формулу α (t) вместо «t» подставили число «5» и вычислили значение ускорения при t = 5 с.)

Ответ: υ (5) = 220 м/с α (5).= 74 м/с².

Задача №2.Точка движется по координатной прямой согласно закону х (t) = 5 t ³ + 2t ², где х (t) - координата точки в момент времени t. С какими скоростью и ускорением будет двигаться эта точка через 7 секунд после начала движения?


Задача №3.Точка движется по координатной прямой согласно закону х (t) = 6 t hello_html_m3b89847d.gif 4 t ³ , где х (t) - координата точки в момент времени t. С какими скоростью и ускорением будет двигаться эта точка через 2 секунды после начала движения?


Задача №4.Точка движется по координатной прямой согласно закону х (t) = 12 t ³ – t hello_html_68516383.gif, где х (t) - координата точки в момент времени t. С какими скоростью и ускорением будет двигаться эта точка через 3 секунды после начала движения?


Задача №5.Точка движется по координатной прямой согласно закону х (t) = 3 t hello_html_297a2b59.gif + 2 t hello_html_m3b89847d.gif, где х (t) - координата точки в момент времени t. С какими скоростью и ускорением будет двигаться эта точка через 1 секунду после начала движения?

Самостоятельная работа

Вариант №1

Вариант №2

Точка движется по координатной прямой по закону х (t) = 5 t hello_html_4fbf37b8.gif + 2 t №1. С какой скоростью будет двигаться эта точка через 3 секунды?

2 В какой момент времени скорость точки будет равна 22 м/с ?

3 С каким ускорением будет двигаться точка через 7 секунд, если точка движется по закону х (t) = 5 t hello_html_4fbf37b8.gif+ 2 t ³ – 15 ?

Точка движется по координатной прямой по закону х (t) = 6 t hello_html_4fbf37b8.gif – 8 t №1. С какой скоростью будет двигаться эта точка через 2 секунды?

2 В какой момент времени скорость точки будет равна 64 м/с ?

3 С каким ускорением будет двигаться точка через 5 секунд, если точка движется по закону х (t) = 3 t ³ +2 t hello_html_4fbf37b8.gif– 158 ?

Геометрический смысл производной


СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ


Пусть функция задана формулой у = f (х). Производная этой функции f 'hello_html_7cec0eee.gif). есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции.

hello_html_56af025a.gifhello_html_5616de9c.gif

hello_html_m22d472cb.gif

График функции

у = f (х).

касательная

у = k x + b

hello_html_711d87e4.gif

Угловой коэффициент касательной

hello_html_m258c9189.gifhello_html_be45e8f.gifα

hello_html_m42000418.gifxhello_html_7cec0eee.gif-точка касания

угол наклона касательной к положительному направлению оси Ох

khello_html_331789a2.gifhello_html_3efb13cc.gif = f ' (хhello_html_7cec0eee.gif) = tg α

Тангенс угла наклона касательной к положительному направлению оси Ох

Производная функции f (х) в точке xhello_html_7cec0eee.gif


Угловой коэффициент касательной к графику функции f (х) в точке xhello_html_7cec0eee.gif


Чhello_html_331789a2.gifhello_html_331789a2.gifтобы записать уравнение касательной у = k x + b можно воспользоваться формулой: у = fhello_html_7cec0eee.gif) + f ' (хhello_html_7cec0eee.gif) · (х – хhello_html_7cec0eee.gif)

↑ точка касания

Значение функции в точке xhello_html_7cec0eee.gif Производная функции f (х)
в точке xhello_html_7cec0eee.gif


Образец решения (Запишите в тетрадь. Если нужно, обратитесь за консультацией.)

Реши самостоятельно: (Если нужно, обратитесь за консультацией.)

Уравнение касательной к графику функции


Задача №1. Напишите уравнение касательной к графику функции f (х).= hello_html_m698a9d27.gif в точке xhello_html_7cec0eee.gif= –1 .


Дано: f (х).= hello_html_m698a9d27.gifxhello_html_7cec0eee.gif= –1

Найти: уравнение касательной

Решение:

у = fhello_html_7cec0eee.gif) + f ' (хhello_html_7cec0eee.gif) · (х – хhello_html_7cec0eee.gif) (формула, согласно которой можно

записать уравнение касательной)

В эту формулу надо подставить числа вместо fhello_html_7cec0eee.gif) , f ' (хhello_html_7cec0eee.gif) , хhello_html_7cec0eee.gif ,

х и у - оставить без изменения.

По условию: xhello_html_7cec0eee.gif= -1. Значит надо найти только fhello_html_7cec0eee.gif) и f ' (хhello_html_7cec0eee.gif).

fhello_html_7cec0eee.gif) = f (1) = hello_html_m57078199.gif = –3 (в формулу f (х) вместо «х»

подставили «xhello_html_7cec0eee.gif= –1» и вычислили)

f ' (х) = hello_html_31406cb1.gifhello_html_m78b290a3.gif (нашли производную функции f (х) )

f ' (хhello_html_7cec0eee.gif) = f ' (1) = hello_html_1c2cfdf3.gif ( в формулу производной функции f ' (х) подставили «xhello_html_7cec0eee.gif= –1» и вычислили)

у = (-3) + (3) · (х – (1)) = 3 3 · (х +1) = – 3 3 х 3 = 3 х 6

(В формулу уравнения касательной подставили найденные числа вместо fhello_html_7cec0eee.gif) , f ' (хhello_html_7cec0eee.gif) , хhello_html_7cec0eee.gif и упростили полученное выражение)

Ответ: у = 3 х 6


Задача №2. Напишите уравнение касательной к графику функции

f (х).= 2 х – х ² в точке xhello_html_7cec0eee.gif= 2

Задача №3. Напишите уравнение касательной к графику функции

f (х).= hello_html_m247fcf1a.gif в точке xhello_html_7cec0eee.gif= 4

Задача №4. Напишите уравнение касательной к графику

функции f (х).= х ² + 1 в точке xhello_html_7cec0eee.gif= 0

Задача №5. Напишите уравнение касательной к графику

функции f (х).= х ² – х + 5 в точке xhello_html_7cec0eee.gif= 1

Задача №6. Напишите уравнение касательной к графику

функции f (х).= х ² – 1 в точке xhello_html_7cec0eee.gif= 3

Задача №7. Напишите уравнение касательной к графику

функции f (х).= х ³ – 1 в точке xhello_html_7cec0eee.gif= 2

Задача №8. Напишите уравнение касательной к графику

функции f (х).= х ² – 3 + 5х в точке xhello_html_7cec0eee.gif= 1

Задача №9. Напишите уравнение касательной к графику

функции f (х).= х ² – х ³ + 2 в точке xhello_html_7cec0eee.gif= 1

Задача №10. Напишите уравнение касательной к графику

функции f (х).= hello_html_49930585.gif в точке xhello_html_7cec0eee.gif= 1

Задача №11. Напишите уравнение касательной к графику

функции f (х).= 2hello_html_m247fcf1a.gif в точке xhello_html_7cec0eee.gif= 9

Задача №12. Напишите уравнение касательной к графику

функции f (х).= hello_html_m45c2ac69.gif в точке xhello_html_7cec0eee.gif= 2

Применение производной для исследования функции


СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

hello_html_7e9b3592.gifhello_html_m314712b8.gifhello_html_16f92be8.gif

Если производная функции положительна f ' (х) hello_html_51d85658.gif 0, то функция f (х) возрастает.

Если производная функции отрицательна f ' (х) hello_html_48c8162d.gif 0, то функция f (х) убывает. возрастание убывание

f ' (х) hello_html_51d85658.gif 0 f ' (х) hello_html_48c8162d.gif 0



hello_html_143b393f.gif

Если производная функции в какой-то точке х hello_html_7cec0eee.gif равна нулю f ' hello_html_7cec0eee.gif) = 0, то эта точка х hello_html_7cec0eee.gif называется критической точкой функции

Вhello_html_7e9b3592.gifhello_html_mce8fa42.gifиды критических точек

hello_html_4ea0a915.gifhello_html_4ea0a915.gifhello_html_4ea0a915.gifhello_html_m4e77321d.gifhello_html_17954a20.gifhello_html_60dd08a3.gifhello_html_m7004a96.gif


hello_html_28da94f9.gif

hello_html_711d87e4.gif

hello_html_m5f16e53e.gif

hello_html_m1efacbb4.gif

hello_html_m1efacbb4.gifhello_html_m1efacbb4.gifhello_html_m1efacbb4.gif х hello_html_7cec0eee.gif - точка максимума х hello_html_7cec0eee.gif - точка минимума х hello_html_7cec0eee.gif- критическая точка х hello_html_7cec0eee.gif- критическая точка

hello_html_610886fc.gifhello_html_ead2396.gifточки экстремума

План исследования функции

План нахождения наибольшего и наименьшего значения функции

    1. Найти область определения функции D (у)

    2. Найти производную функции f ' (х)

    3. Найти критические точки (производную приравнять к нулю и решить полученное уравнение)

    4. Схема (на координатной прямой отметить критические точки;
      определить знаки производной на промежутках, подставляя числа в производную;
      определить промежутки возрастания и убывания функции;
      определить виды критических точек)

    5. Построить график функции

    1. Найти область определения функции D (у)

    2. Найти производную функции f ' (х)

    3. Найти критические точки (производную приравнять к нулю и решить полученное уравнение)

    4. Проверить, принадлежит ли найденная критическая точка данному промежутку

    5. Найти значения функции на концах отрезка и в критических точках, принадлежащих данному промежутку

    6. Определить наибольшее и наименьшее значения функции, записать ответ.



Образец решения (Запишите в тетрадь. Если нужно, обратитесь за консультацией.)

Задача №1.

Исследуйте функцию у = 3 х hello_html_m3b89847d.gif– 5 х hello_html_m5d4c989e.gif+2 и постройте её график.


Дано: у = 3 х hello_html_m3b89847d.gif– 5 х hello_html_m5d4c989e.gif+2

Исследовать функцию и построить её график

Решение (по плану):

    1. Найти область определения функции
      D (у) = (-∞ ; + ∞ )

    2. Найти производную функции f ' (х)
      у ' = (3 х hello_html_m3b89847d.gif– 5 х hello_html_m5d4c989e.gif+2 )' = 15 х hello_html_297a2b59.gif– 15 х ²

    3. Найти критические точки (производную приравнять к нулю и решить полученное уравнение)
      15 х hello_html_297a2b59.gif– 15 х ² = 0
      15 х ² ( х ² – 1 ) = 0
      15 х ² = 0 или х ² – 1 = 0
      х ² = 0 х ² = 1
      х = 0 х = 1 или х = – 1


4. Схема (Запишите в тетрадь только вычисления и готовую схему)

hello_html_4c81cb5e.gifhello_html_m7eaa7d36.gifhello_html_m7eaa7d36.gifhello_html_m7eaa7d36.gifна координатной прямой отметить критические точки;


– 1 0 1

определить знаки производной на промежутках, подставляя числа в производную;
у ' ( – 2 ) = 15 · ( – 2 )hello_html_297a2b59.gif– 15 · ( – 2 )² = 15 · 16 – 15 · 4 = 240 – 60 = 180
«+» на первом промежутке ( ∞ ; – 1)

у ' (– 0,1) = 15 · (– 0,1 )hello_html_297a2b59.gif– 15 · (– 0,1 ) ² = 15 · 0,0001 – 15 · 0,01 =
= 0,0015 – 0,15 = – 0,1485

« – » на втором промежутке (– 1 ; 0 )

у ' ( 0,1) = 15 · ( 0,1 )hello_html_297a2b59.gif– 15 · ( 0,1 ) ² = 15 · 0,0001 – 15 · 0,01 =
= 0,0015 – 0,15 = – 0,1485
« – » на третьем промежутке ( 0; 1 )

у ' ( 2 ) = 15 · ( 2 )hello_html_297a2b59.gif– 15 · ( 2 )² = 15 · 16 – 15 · 4 = 240 – 60 = 180
«+» на четвёртом промежутке ( 1 ; )

hello_html_291b53e8.gifhello_html_m75311f72.giff (х) + +

f ' (х) – 1 0 1


оhello_html_m7eaa7d36.gifhello_html_m7eaa7d36.gifhello_html_m7eaa7d36.gifпределить промежутки возрастания и убывания функции;

hello_html_m6eb7a1ca.giff (х) + + hello_html_m7eaa7d36.gifhello_html_m7eaa7d36.gifhello_html_m7eaa7d36.gif

hello_html_291b53e8.gif

hello_html_6096a26.gifhello_html_m6228d09d.gifhello_html_m6228d09d.gifhello_html_m3d58c7b9.giff ' (х) – 1 0 1


определить виды критических точек

hello_html_m3a398b75.giff (х) + + hello_html_m7eaa7d36.gifhello_html_m7eaa7d36.gifhello_html_m7eaa7d36.gif

hello_html_291b53e8.gif

hello_html_6096a26.gifhello_html_m6228d09d.gifhello_html_m6228d09d.gifhello_html_m3d58c7b9.giff ' (х) – 1 0 1

max min


5hello_html_m6494411c.gifhello_html_m15be13d8.gif. Построить график функции

hello_html_m7eaa7d36.gif

hello_html_m7eaa7d36.gifhello_html_m7eaa7d36.gifhello_html_291b53e8.gif

– 1 0 1



Образец решения (Запишите в тетрадь. Если нужно, обратитесь за консультацией.)

Задача №2.

Найдите промежутки возрастания и убывания функции

у = 3 х hello_html_m3b89847d.gif– 5 х hello_html_m5d4c989e.gif+2


Дано: у = 3 х hello_html_m3b89847d.gif– 5 х hello_html_m5d4c989e.gif+2

Найти промежутки возрастания и убывания функции

Решение (по плану):

    1. Найти область определения функции
      D (у) = (-∞ ; + ∞ )

    2. Найти производную функции f ' (х)
      у ' = (3 х hello_html_m3b89847d.gif– 5 х hello_html_m5d4c989e.gif+2 )' = 15 х hello_html_297a2b59.gif– 15 х ²

    3. Найти критические точки (производную приравнять к нулю и решить полученное уравнение)
      15 х hello_html_297a2b59.gif– 15 х ² = 0
      15 х ² ( х ² – 1 ) = 0
      15 х ² = 0 или х ² – 1 = 0
      х ² = 0 х ² = 1
      х = 0 х = 1 или х = – 1


4. Схема (Запишите в тетрадь только вычисления и готовую схему)

hello_html_4c81cb5e.gifhello_html_m7eaa7d36.gifhello_html_m7eaa7d36.gifhello_html_m7eaa7d36.gifна координатной прямой отметить критические точки;


– 1 0 1

определить знаки производной на промежутках, подставляя числа в производную;
у ' ( – 2 ) = 15 · ( – 2 )hello_html_297a2b59.gif– 15 · ( – 2 )² = 15 · 16 – 15 · 4 = 240 – 60 = 180
«+» на первом промежутке ( ∞ ; – 1)

у ' (– 0,1) = 15 · (– 0,1 )hello_html_297a2b59.gif– 15 · (– 0,1 ) ² = 15 · 0,0001 – 15 · 0,01 =
= 0,0015 – 0,15 = – 0,1485

« – » на втором промежутке (– 1 ; 0 )

у ' ( 0,1) = 15 · ( 0,1 )hello_html_297a2b59.gif– 15 · ( 0,1 ) ² = 15 · 0,0001 – 15 · 0,01 =
= 0,0015 – 0,15 = – 0,1485
« – » на третьем промежутке ( 0; 1 )

у ' ( 2 ) = 15 · ( 2 )hello_html_297a2b59.gif– 15 · ( 2 )² = 15 · 16 – 15 · 4 = 240 – 60 = 180
«+» на четвёртом промежутке ( 1 ; + )

hello_html_291b53e8.gifhello_html_m75311f72.giff (х) + +

f ' (х) – 1 0 1


оhello_html_m7eaa7d36.gifhello_html_m7eaa7d36.gifhello_html_m7eaa7d36.gifпределить промежутки возрастания и убывания функции;

hello_html_m6eb7a1ca.giff (х) + + hello_html_m7eaa7d36.gifhello_html_m7eaa7d36.gifhello_html_m7eaa7d36.gif

hello_html_291b53e8.gif

hello_html_6096a26.gifhello_html_m6228d09d.gifhello_html_m6228d09d.gifhello_html_m3d58c7b9.giff ' (х) – 1 0 1


определить виды критических точек

hello_html_m3a398b75.giff (х) + + hello_html_m7eaa7d36.gifhello_html_m7eaa7d36.gifhello_html_m7eaa7d36.gif

hello_html_291b53e8.gif

hello_html_6096a26.gifhello_html_m6228d09d.gifhello_html_m6228d09d.gifhello_html_m3d58c7b9.giff ' (х) – 1 0 1

max min


5. Ответ:

Промежутки возрастания функции: ( ∞ ; – 1) hello_html_m1892df5d.gif ( 1 ; + )

Промежутки убывания функции: (– 1 ; 0 ) hello_html_m1892df5d.gif( 0; 1 )


Образец решения (Запишите в тетрадь. Если нужно, обратитесь за консультацией.)


Задача №3.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции
f (x) = х hello_html_297a2b59.gif 8 х ² – 9 на промежутке hello_html_m26878f4d.gif– 1 ; + 1hello_html_57b48064.gif


Дано: f (x) = х hello_html_297a2b59.gif 8 х ² – 9

Найти наибольшее и наименьшее значение функции


Решение (по плану):

    1. Найти область определения функции
      D (f) = (- ∞ ; + ∞ )

    2. Найти производную функции f ' (х)
      f ' (x) = (х hello_html_297a2b59.gif– 8 х ² – 9 )' = 4 х ³ – 16 х

    3. Найти критические точки (производную приравнять к нулю и решить полученное уравнение)
      4 х ³ – 16 х = 0
      4 х ( х ² – 4 ) = 0
      4 х = 0 или х ² – 4 = 0
      х = 0 х ² = 4
      х = 2 или х = – 2

    4. Проверить, принадлежат ли найденные критические точки данному промежутку
      0 hello_html_m289d78ff.gifhello_html_m26878f4d.gif– 1 ; + 1hello_html_57b48064.gif ( 0 принадлежат промежутку )
      2 hello_html_m3dfb1ba2.gifhello_html_m26878f4d.gif– 1 ; + 1hello_html_57b48064.gif ( 2 не принадлежат промежутку )
      – 2 hello_html_m3dfb1ba2.gifhello_html_m26878f4d.gif– 1 ; + 1hello_html_57b48064.gif (– 2 не принадлежат промежутку )


5. Найти значения функции на концах отрезка и в критических точках, принадлежащих данному промежутку (для этого подставить числа «0», «1» и «–1» вместо «х» в формулу функции, которая дана в условии)


f (– 1) = (– 1 )hello_html_297a2b59.gif– 8 · (– 1 ) ² – 9 = 1 – 8 · 1 – 9 = 1 – 8 – 9 = – 16

f ( 0 ) = ( 0 )hello_html_297a2b59.gif– 8 · ( 0 ) ² – 9 = 0 – 8 · 0 – 9 = 0 – 0 – 9 = – 9

f (1) = ( 1 )hello_html_297a2b59.gif– 8 · ( 1 ) ² – 9 = 1 – 8 · 1 – 9 = 1 – 8 – 9 = – 16


6. Определить наибольшее и наименьшее значения функции, записать ответ.

( Из полученных результатов наибольшим является число «– 9» , наименьшим – число «– 16», причем дважды.)

Для записи ответа воспользуйтесь образцом:


Ответ: hello_html_ac2c3f7.gif= f (0) = 9


hello_html_m6680cc6.gif= f (1) = f (1) = – 16






СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ


Таблица первообразных


1

2

3

4

5

6

7

Функция f(х)

k постоянная величина (число)

хhello_html_m14e7d88e.gif

hello_html_m2c42cfd4.gif

sin x

cos x

hello_html_m6277a3c.gif

hello_html_361484d7.gif

F (x ) - Общий вид первообразных
для
f(х)


k х + С

hello_html_m3a2f1818.gif+ С

hello_html_1d97c508.gif+ С

cos x + С

sin x + С

tq x + С

ctq x + С


Вычисление первообразных основных функций

Образец решения (Запишите в тетрадь. Если нужно, обратитесь за консультацией.)

Реши самостоятельно: (Если нужно, обратитесь за консультацией.)

формула № 1

  1. f) = 2
    F (x ) = 2x + C ( смотри формулу №1)

  2. f) = – 2
    F (x ) = – 2x + C ( смотри формулу №1)

  3. f) = hello_html_m5671edc1.gif
    F (x ) = hello_html_m5671edc1.gifx + C = hello_html_m5dd91c42.gif + C ( смотри формулу №1)

  4. f) = 0,2

F (x ) = 0,2 x + C ( смотри формулу №1)


  1. f) = 5
    F (x ) = ( смотри формулу №1)

  2. f) = – 5
    F (x ) = ( смотри формулу №1)

  3. f) = hello_html_2f161c45.gif
    F (x ) = ( смотри формулу №1)

  4. f) = 0,5
    F (x ) = ( смотри формулу №1)

  5. f) = 3,14
    F (x ) = ( смотри формулу №1)

6. f) = 9,8
F (x ) = ( смотри формулу №1)


формула № 2

      1. f) = х ( х = хhello_html_30060d87.gif поэтому применяем формулу №2 Число «1» из показателя степени увеличивается на 1, и вниз в знаменатель дроби идёт это-же число, смотри формулу)

F (x ) = hello_html_6bf86181.gif + C = hello_html_m40dd8c75.gif + C

      1. f) = 2х

F (x ) = hello_html_m70962d9b.gif + C = х ² + C
( число, которое стоит вместе с «х», переписать и найти первообразную выражения с «х», смотри формулу №2, дробь надо сократить, если это возможно)


      1. f) = 3х

F (x ) = hello_html_m5918e85c.gif + C = 1,5 х ² + C
( число, которое стоит вместе с «х», переписать и найти первообразную выражения с «х», смотри формулу №2, дробь надо сократить, если это возможно)

4. f) = hello_html_5d731dc1.gif

F (x ) = hello_html_m1177323e.gif + C = hello_html_52233a77.gif+ C
( число, которое стоит вместе с «х», переписать и найти первообразную выражения с «х», смотри формулу №2, дробь надо сократить, если это возможно)

  1. f) = hello_html_2880f741.gif

F (x ) = hello_html_m32d53246.gif + C = hello_html_m59c37ae5.gif+ C
( число, которое стоит вместе с «х», переписать и найти первообразную выражения с «х», смотри формулу №2, дробь надо сократить, если это возможно)

  1. f) = х ³
    F (x ) = hello_html_m68a398b3.gif (Число «3» из показателя степени увеличивается на 1, и вниз в знаменатель дроби идёт это-же число, смотри формулу №2)

  2. f) = 2 х ³
    F (x ) = hello_html_m39c380cd.gif (Число «3» из показателя степени увеличивается на 1, и вниз в знаменатель дроби идёт это-же число, смотри формулу №2 , число, которое стоит вместе с «х», переписать, дробь надо сократить, если это возможно)

  3. f) = hello_html_m54b633ba.gif
    F (x ) = hello_html_4261639.gif (Число «3» из показателя степени увеличивается на 1, и вниз в знаменатель дроби идёт это-же число, смотри формулу №2 , число, которое стоит вместе с «х», переписать дробь надо сократить, если это возможно)

  4. f) = hello_html_m1deef55c.gif
    F (x ) = hello_html_4d318fc3.gif (Число «3» из показателя степени увеличивается на 1, и вниз в знаменатель дроби идёт это-же число, смотри формулу №2 , число, которое стоит вместе с «х», переписать, дробь надо сократить, если это возможно)

  5. f) = х hello_html_m1f5e0004.gif³
    F (x ) =hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_ec0fb86.gif
    (Число «–3» из показателя степени увеличивается на 1, и вниз в знаменатель дроби идёт это-же число, смотри формулу №2 ;
    знак «–» из знаменателя дроби поставить перед всей дробью;
    «хhello_html_m675b51fc.gif» перенести через черту дроби, чтобы сменить знак показателя степени)


  1. f) = 4 х hello_html_m1f5e0004.gif³
    F(x ) =hello_html_58e4ee65.gif
    (Число «–3» из показателя степени увеличивается на 1, и вниз в знаменатель дроби идёт это-же число, смотри формулу №2 ;
    число «4», которое стоит вместе с «х», переписать;
    знак «–» из знаменателя дроби поставить перед всей дробью;
    «хhello_html_m675b51fc.gif» перенести через черту дроби, чтобы сменить знак показателя степени;
    дробь надо сократить, если это возможно)

  2. f) = hello_html_m12d38cd7.gifhello_html_m53d4ecad.gif
    F(x ) =hello_html_5fd6f418.gif
    (Число «–3» из показателя степени увеличивается на 1, и вниз в знаменатель дроби идёт это-же число, смотри формулу №2 ;
    число «4», которое стоит вместе с «х», переписать;
    знак «–» из знаменателя дроби поставить перед всей дробью;
    «хhello_html_m675b51fc.gif» перенести через черту дроби, чтобы сменить знак показателя степени;
    дробь надо сократить, если это возможно)

  3. f) = 2х + 3 ( смотри формулу №1 и №2)
    F (x ) = hello_html_m70962d9b.gif + 3х + C = х ² + 3х + C

  4. f) = hello_html_m54b633ba.gif– 7х + 4 ( смотри формулу №1 и №2)
    F (x ) = hello_html_m9eaad53.gif


  1. f) = hello_html_m54b633ba.gif– 7х² + 4х –5 ( смотри формулу №1 и №2)
    F (x ) = hello_html_abf76c2.gif

    1. f) = 6 х
      F (x ) = ( смотри формулу №2)

    2. f) = 5х
      F (x ) = (смотри формулу №2)

    3. f) = –5х
      F (x ) = ( число, которое стоит вместе с «х», переписать и найти первообразную выражения с «х», смотри формулу №2)

  1. f) = 4х–5
    F (x ) = ( число, которое стоит вместе с «х», переписать и найти первообразную выражения с «х», смотри формулу №2)

  2. f) = hello_html_m2fc0b34.gif
    F (x ) = ( число, которое стоит вместе с «х», переписать и найти первообразную выражения с «х», смотри формулу №1 и №2)

  3. f) = hello_html_4642760d.gif
    F (x ) = ( число, которое стоит вместе с «х», переписать и найти первообразную выражения с «х», смотри формулу №2)

  4. f) = hello_html_78a60fc.gif
    F (x ) = ( смотри формулу № 2)

  5. f) = hello_html_45be0635.gif
    F (x ) = ( смотри формулу № 2)

  6. f) = hello_html_427170da.gif
    F (x ) = ( смотри формулу № 2)

  7. f) = hello_html_575d98ac.gif ( смотри формулу № 2)

  8. f) = hello_html_656831c9.gif
    F (x ) = ( смотри формулу № 2)

  9. f) = hello_html_m9cfed86.gif
    F (x ) = ( смотри формулу № 2)

  10. f) = hello_html_m8f48f28.gif
    F (x ) = ( смотри формулу № 2)

  11. f) = hello_html_m22440d9b.gif
    F (x ) = ( смотри формулу № 2)

  12. f) = hello_html_m72379a0f.gif
    F (x ) = ( смотри формулу № 2)

  13. f) = hello_html_377b20c7.gif
    F (x ) = ( смотри формулу № 2)

  14. f) = hello_html_m6f798786.gif
    F (x ) = ( смотри формулу № 2)

  15. f) = hello_html_m568236ed.gif
    F (x ) = ( смотри формулу № 2)

  16. f) = hello_html_77346864.gif
    F (x ) = ( смотри формулу № 2)

  17. f) = hello_html_m5de43fe1.gif
    F (x ) = ( смотри формулу № 2)

  18. f) = hello_html_m7f05673b.gif
    F (x ) = ( смотри формулу № 2)

  19. f) = hello_html_m722fb354.gif
    F (x ) = ( смотри формулу № 2)

  20. f) = hello_html_64fe6c.gif ( смотри формулу № 2)

  21. f) = hello_html_19d432a.gif ( смотри формулу № 2)

  22. f) = hello_html_m168191c9.gif ( смотри формулу № 2)

  23. f) = 5х – 2 ( смотри формулу №1 и №2)

  24. f) = 4 – 2x ( смотри формулу №1 и №2)

  25. f) = 5 – 8x ( смотри формулу №1 и №2)

  26. f) = 2x – 6 ( смотри формулу №1 и №2)

  27. f) = hello_html_179d3015.gif ( смотри формулу №1 и №2)

  28. f) = hello_html_2cf6f129.gif ( смотри формулу № 1 и № 2)

  29. f) = hello_html_m3ad1ac38.gif ( смотри формулу № 1 и № 2)

  30. f) = 5х + 6 ( смотри формулу № 1 и № 2)

  31. f) = 7х - 12 ( смотри формулу №1 и №2)

  32. f) = 7 – 3x ( смотри формулу №1 и №2)

  33. f) = 15 – 9x ( смотри формулу №1 и №2)

  34. f) = 2x – 6 ( смотри формулу №1 и №2)

  35. f) = hello_html_743e9306.gif ( смотри формулу №1 и №2)

  36. f) = hello_html_m73fa0ce4.gif ( смотри формулу №1 и №2)

  37. f) = hello_html_746d2b8c.gif ( смотри формулу №1 и №2)

  38. f) = hello_html_m26f20e7c.gif ( смотри формулу №1 и №2)

  39. f) = hello_html_3c9dc8ca.gif ( смотри формулу №1 и №2)

  40. f) = hello_html_511faf03.gif ( смотри формулу №1 и №2)

  41. f) = hello_html_m32a1c25d.gif ( смотри формулу№1 и №2)

  42. f) = hello_html_2595fd10.gif– 7х³ + 7х –3 ( смотри формулу №1 и №2)

  43. f) = hello_html_m542f519d.gif– 7х + 4х² –5xhello_html_297a2b59.gif ( смотри формулу №1и №2)

  44. f) = – 2хhello_html_297a2b59.gif + 3хhello_html_9fc4241.gif –5x³ ( смотри формулу №1 и №2)

  45. f) = hello_html_70239910.gif+ 4х –5xhello_html_m3b89847d.gif ( смотри формулу №1 и №2)

  46. f) = hello_html_m54b633ba.gif– 1 + 2х³ –3x ( смотри формулу №1 и №2)

  47. f) = 10х² + 8х –3 +hello_html_m54b633ba.gif ( смотри формулу №1 и №2)

  48. f) =7 х² + hello_html_m41197809.gif –5 xhello_html_m1e5b4555.gif ( смотри формулу №1 и №2)

  49. f) = х² – 2х –3xhello_html_m66640276.gif+hello_html_1d5bf309.gif ( смотри формулу №1 и №2)

  50. f) = 10х + 15хhello_html_m1e5b4555.gif +3 ( смотри формулу №1 и №2)

  51. f) = 4хhello_html_m3b89847d.gif + 5хhello_html_297a2b59.gif+hello_html_70239910.gif ( смотри формулу №1 и №2)

  52. f) = 6х² + 7х –8 +hello_html_m4e6526ad.gif ( смотри формулу №1 и №2)

  53. f) = 10хhello_html_297a2b59.gif+ 8х –3 ( смотри формулу №1 и №2)

  54. f) = 3х² –hello_html_m356dd2c8.gif+ 2хhello_html_9fc4241.gif ( смотри формулу №1 и №2)

  55. f) = 10хhello_html_9fc4241.gif + 8х³ –3 ( смотри формулу №1 и №2)

  56. f) = 6х + 8хhello_html_m66640276.gifhello_html_m54b633ba.gif ( смотри формулу №1 и №2)

  57. f) = 15х² + 16хhello_html_m7f3eb59d.gif–3x ( смотри формулу №1 и №2)


формула № 3

        1. f) = hello_html_m2c42cfd4.gif
          F (x ) = hello_html_2b19f0c7.gif (смотри формулу №3)

        2. f) = hello_html_ma2d2623.gif
          F (x ) = 2·hello_html_2b19f0c7.gif = hello_html_7b52d9e9.gif ( число, которое стоит вместе с «х», переписать и найти первообразную выражения с «х», смотри формулу № 3)

        3. f) = hello_html_5057189.gif
          F (x ) = 3·hello_html_2b19f0c7.gif = hello_html_m7b8ece05.gif ( число, которое стоит вместе с «х», переписать и найти первообразную выражения с «х», смотри формулу № 3)

        4. f) = hello_html_647d472f.gif
          F (x ) = hello_html_m2a67cebc.gif ( число, которое стоит вместе с «х», переписать и найти первообразную выражения с «х», смотри формулу № 3)

        5. f) = hello_html_28b0fadc.gif
          F (x ) = hello_html_7a6dbd2f.gif= hello_html_7a08eb55.gif ( число, которое стоит вместе с «х», переписать и найти первообразную выражения с «х», смотри формулу № 3, дробь надо сократить, если это возможно)

          1. . f) = hello_html_m251ce92b.gif ( число, которое стоит вместе с «х», переписать и найти производную выражения с «х», смотри формулу № 3)

          2. f) = hello_html_m22221167.gif ( число, которое стоит вместе с «х», переписать и найти производную выражения с «х», смотри формулу №4)

          3. f) = hello_html_m251ce92b.gif+12х ( смотри формулу №1- №3)

          4. f) = hello_html_m6ce83ac4.gif–5 ( смотри формулу №1- №3)

          5. f) = hello_html_735fc3a3.gif+ 2х³ ( смотри формулу №1- №3)

          6. f) = hello_html_629cf72c.gif – 6х² (смотри формулу №1- №3)

          7. f) = hello_html_4dd499ca.gif ( смотри формулу №1- №3)

          8. f) = hello_html_m3d916735.gif ( смотри формулу №1- №3)

          9. f) = hello_html_42997047.gif ( смотри формулу №1- №3)

          10. f) = hello_html_6050b7cb.gif ( смотри формулу №1- №3)

          11. f) = hello_html_m6d9ccaa0.gif ( смотри формулу №1- №3)


формула № 4

  1. f) = 2 sin х
    F (x ) = – 2 cos х ( число, которое стоит вместе с «х», переписать и найти первообразную выражения с «х», смотри формулу № 4)

  2. f) = hello_html_m1461edba.gif
    F (x ) = – hello_html_m1461edba.gif ( число, которое стоит вместе с «х», переписать и найти первообразную выражения с «х», смотри формулу № 4)



1. f) = 5 sin х ( смотри формулу № 4)

2. f) = hello_html_m399af95c.gif ( смотри формулу № 4)

3. f) = hello_html_m6ca2af82.gif ( смотри формулу № 4)

4. f) = 5 sin х – 5 ( смотри формулу № 1 – 4)

5. . f) = 2х – 5 + hello_html_m4053ce13.gif ( смотри формулу № 1 – 4)

6. . f) = 4х³ –hello_html_5ffaf3ed.gif– 7 ( смотри формулу № 1 – 4)

7. . f) = 3 sin х – 15х² ( смотри формулу № 1 – 4)

8. . f) = 7 sin х – 4х³ ( смотри формулу № 1 – 4)

9. . f) = 5 хhello_html_61e4c98c.gifhello_html_7c206412.gif ( смотри формулу № 1 – 4)

10. . f) = hello_html_b4e493a.gif– 2хhello_html_m66640276.gif+ 4 ( смотри формулу № 1 – 4)

формула № 5


        1. f) = 2 cos х
          F (x ) = 2 sin х ( число, которое стоит вместе с «х», переписать и найти первообразную выражения с «х», смотри формулу № 5)

        2. f) = hello_html_5c35513.gif
          F (x ) = hello_html_m1461edba.gif ( число, которое стоит вместе с «х», переписать и найти первообразную выражения с «х», смотри формулу № 5)



1. f) = 5 cos х ( смотри формулу № 5)

2. f) = hello_html_m4aa8016b.gif ( смотри формулу № 5)

3. f) = hello_html_m438ad49e.gif ( смотри формулу № 5)

4. f) = 6 cos х – 6х ( смотри формулу № 1 – 5)

5. . f) = 3х – 5х² + 2 cos х ( смотри формулу № 1 – 5

6. . f) = 8х³ –hello_html_2800a232.gif– 2 ( смотри формулу № 1 – 5)

7. . f) = 3 cos х + 15 sin х ( смотри формулу № 1 – 5)

8. . f) = cos х – sin х ( смотри формулу № 1 – 5)

9. . f) = 15 хhello_html_61e4c98c.gif – 15cos х ( смотри формулу № 1 – 5)

10. . f) = – 2 sin х + 4 cos х ( смотри формулу № 1 – 5)


формула № 6

            1. f) = hello_html_m5acc86f6.gif
              F (x ) = 2 tg х (число, которое стоит вместе с «х», переписать и найти первообразную выражения с «х», смотри формулу № 6)

            2. f) =hello_html_m28809c82.gif
              F (x ) = hello_html_m398cfd85.gif (число, которое стоит вместе с «х», переписать и найти первообразную выражения с «х», смотри формулу № 6)

1. .f) = hello_html_m1110832a.gif ( смотри формулу № 6)

2. f) = hello_html_74c582f6.gif ( смотри формулу № 6)

3. f) = hello_html_705a1519.gif ( смотри формулу № 6)

4. f) = 6 cos х – 6 sin х +hello_html_2755b999.gif ( смотри формулу № 1–6)

5. f) = 3 sin х + hello_html_m79c7d708.gif ( смотри формулу № 1 – 6)

6. f) = hello_html_4993c030.gifhello_html_2800a232.gif ( смотри формулу № 1 – 6)

7. f) = 2 cos х + 3 sin х –hello_html_4bef20cf.gif (смотри формулу № 1 – 6)

формула № 7

  1. f) =hello_html_m16d9fcbd.gif
    F (x ) = – 2 ctg х (число, которое стоит вместе с «х», переписать и найти первообразную выражения с «х», смотри формулу № 7)

  2. f) ==hello_html_12bf79f9.gif
    F (x ) = –hello_html_281abd4e.gif (число, которое стоит вместе с «х», переписать и найти первообразную выражения с «х»,смотри формулу № 7)


1. .f) = hello_html_m39e833b5.gif ( смотри формулу № 7)

2. f) = hello_html_10882eb2.gif ( смотри формулу № 7)

3. f) = hello_html_m6cbf23ac.gif ( смотри формулу № 7)

4. f) = hello_html_18cdc11b.gif– 6 sin х +6 cos х ( смотри формулу № 1–7)

5. f) = hello_html_10882eb2.gif+ hello_html_m79c7d708.gif ( смотри формулу № 1 – 7)

6. f) = hello_html_4993c030.gifhello_html_50d19836.gif ( смотри формулу № 1 – )

7. f) = hello_html_m4aa8016b.gif+ hello_html_5ffaf3ed.gifhello_html_2a1f674a.gif (смотри формулу № 1 – 7)


44


Краткое описание документа:

Представленная работа содержит теоретическое обоснование необходимости использования принципа модульного обучения как образовательной технологии наиболее адаптированной к системе начального профессионального образования, реализующей принцип индивидуализации образования, учитывающей воспитательную направленность обучения и обеспечивающей эффективность её использования; а также методические указания по применению модуля «Начала математического анализа»

В приложениях приводятся образцы решения основных задач образовательного модуля, пошаговые инструкции выполнения типовых заданий, необходимый справочный материал и большое количество практических заданий.

Приводимые материалы могут использоваться

- в качестве дидактического материала как средство для организации самостоятельной работы обучающегося как во время учебного занятия, так и позволяющее ему наиболее полно овладеть знаниями и использовать их в решении практических задач с возможностью самопроверки и самоконтроля при организации внеаудиторной самостоятельной работы;

- в качестве проверочной работы по конкретной теме курса математики;

- а в случае необходимости и в качестве контрольной работы, например, при внеклассной работе со слабоуспевающими учащимися.

Задания составлены в количестве, достаточном для организации индивидуальной работы над заданиями, что исключает списывание и подсказки, позволяет легко оценивать проделанную работу и проводить сравнительный мониторинг внутри группы, между группами, а также выстраивать «график успешности» отдельного обучающегося по мере выполнения им нескольких работ. Результаты проделанной работы могут быть предоставлены в виде диаграмм, графиков или сравнительных таблиц. Кроме того, задания составлены с нарастающим усложнением, что позволит студентам постепенно адаптироваться к новым требованиям, и потребует от них овладения достаточно высоким уровнем знаний и умений самостоятельно применять эти знания на практике.

Автор
Дата добавления 07.02.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров84
Номер материала ДВ-424919
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх