Министерство
образования Московской области
Государственное
бюджетное образовательное учреждение среднего профессионального образования
«Российский
художественно – технический колледж игрушки»»
ЛОГАРИФМЫ
Методические
указания к решению упражнений
при
изучении темы «Свойства логарифмов»
рассмотрены
и одобрены на заседании предметной (цикловой) комиссии общеобразовательного
и социально-экономического циклов
Протокол
№ _______ от «____» __________20____ г.
Председатель
ПЦК ___________ М.В. Рыбалкина
2012
г.
Логарифмы: Методические указания / Сост.
Рыбалкина М.В. – Сергиев - Посад: ,
2012– 13с.
Данные
методические указания содержат необходимые теоретические сведения по теме
«Логарифмы» дисциплины математика, примеры решения упражнений, набор упражнений
для самостоятельного решения с ответами к некоторым из них, десять вариантов
для выполнения контрольной работы.
Содержание
Введение…………………………………………………………………………………………………………..4
1.
Определение логарифма ……………………………………………………………………5
1.1.
Примеры для самостоятельного решения………………..…………….7
2. Преобразование
логарифмических выражений………………..…………….7
2.1.
Примеры для самостоятельного решения…………………………………..9
3.
Контрольная работа по теме: «Свойства
логарифмов»………………….11
Список литературы
………………………………………………………………….…………14
Введение
Настоящие методические
указания предназначены в помощь учащимся всех форм обучения при изучении темы
«Свойства логарифмов». Разделы указаний содержат необходимые теоретические
сведения (определения, формулы без доказательства) и подробно разобранные
упражнения. В конце каждого раздела предлагаются задания для самостоятельного
решения с ответами для самопроверки.
Теоретические сведения и
примеры для самостоятельного решения дают возможность использовать данные
методические указания на практических занятиях по математике, а также для
самостоятельного изучения темы «Свойства логарифмов».
В конце указаний
приведены десять вариантов заданий для выполнения контрольной работы.
1.
Определение логарифма
Понятие
логарифма числа вводится при решении показательных уравнений, например, решим
уравнение , в котором необходимо найти показатель х,
представим правую часть уравнения в виде двух в четвертой степени . В этом уравнении удалось левую и правую
части представить в виде степени с одинаковым основанием 2. Ответ такого
уравнения . Но уравнение таким
способом решить не удается. А корень все-таки есть. Этот корень называют
логарифмом числа b по основанию а и
обозначают logаb.
Например, корнем уравнения является число 4, т.е log216=4.
Из определения следует, что записи
logаb=х. и ах=b равносильны.
Например, log28=3, потому что при возведении основания 2 в степень 3 получается 8: 23=8,
действительно 222=23=8. Значит в
результате вычисления логарифма 8 по основанию 2 получается показатель степени
двойки, при возведении в которую получаем восемь.
Определение логарифма можно
кратко записать так: . Это равенство справедливо при b>0, a>0, а1. Его обычно называют основным
логарифмическим тождеством.
Для вычислений значений
логарифмов полезно использовать значения степени следующих чисел:
21 = 2
22 = 4
23 = 8
24 = 16
25 = 32
26 = 64
27 = 128
28 = 256
29 = 512
210 = 1024
|
31 = 3
32 = 9
33 = 27
34 = 81
35 = 243
|
41 =
4
42 =
16
43 =
64
44 =
256
45 =
1024
|
51 =
5
52 =
25
53 =
125
54 =
625
|
61 =
6
62 =
36
63 =
216
|
71 =
7
72 =
49
73 =
343
|
81 =
8
82 =
64
83 =
512
|
91 =
9
92 =
81
93 =
729
|
101 =
10
102 =
100
103 =
1000 и т.д.
|
|
Также необходимо помнить
правила возведения чисел в степень с отрицательным, дробным и нулевым
показателем: а0=1; ;
Пример 1. , т.к. 33=27
Пример 2. , т.к. 30=1
Пример 3. , т.к. 2-1=
Пример 4. Вычислить
Пусть. По определению логарифма 32t=64. Это простейшее показательное уравнение. 32=25, 64=26,
поэтому (25)t=26; 25t=26 ; 5t=6, t=
Ответ:
Пример 5. Вычислить
Используя свойства
степени и основное логарифмическое тождество, находим
Пример 6.
Для некоторых логарифмов
имеются специальные обозначения: десятичный log10х=lgx,
натуральный logех=lnx.
Пример 7. lg1000=3
, т.к. 103=3
Пример 8. lg0,01=-2
, т.к. 10-2==0,01
1.1.
Примеры для самостоятельного решения:
Ответы:
№
задания
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
ответ
|
2
|
4
|
0
|
1
|
-2
|
-1
|
1
|
2
|
25
|
0,5
|
2.
Преобразование логарифмических выражений
При выполнении
преобразований выражений, содержащих логарифмы, при вычислениях и при решении
уравнений часто используются различные свойства логарифмов. Рассмотрим основные
из них.
Пусть а>0, а1, b>0,
с>0, p
– любое действительное число. Тогда справедливы формулы
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Формулы (1) и (2) можно
применять к выражениям, содержащим логарифмы с одинаковыми основаниями.
Формулы (4) и (5) позволяют
переходить от одного основания логарифмов к другому.
Пример 1. Вычислить:
На основе формул (1) и (2) преобразуем
Теперь можно применить формулу (4), т. е.
перейти к новому основанию, в данном примере логарифмы чисел 16 и 8 легко
вычислить при основании 2, тогда
Пример 2. Вычислить
Применим формулу
(3), для этого вспомним определение степени с рациональным показателем (), тогда
Пример 3. Зная, что , найти
Применяем формулу (1)
Пример
4. Прологарифмировать выражение по основанию 5.
Запишем
данное выражение в виде
Теперь применим
формулы (1), (2) и (3)
Пример5.
Найти х по данному его логарифму (а>0,b>0):
В
этом примере необходимо правую часть представить в виде одного логарифма по основанию
4:
(2 представили в виде log416)
(применили
формулы (1), (2) и (3))
2.1.
Примеры для самостоятельного решения:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Зная,
что , найти
9. Прологарифмировать
выражение по основанию 10.
10. Найти х по
данному его логарифму (а>0,b>0):
Ответы:
№
задания
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
ответ
|
9
|
1
|
1,5
|
|
1
|
2
|
1,5
|
0,6
|
-1+2lga-lgn
|
|
Контрольная работа по теме: «Свойства
логарифмов»
1.
Вычислить:
1.
|
3.
|
5.
|
7.
|
9.
|
2.
|
4.
|
6.
|
8.
|
10.
|
2.
Вычислить:
1.
|
3.
|
5.
|
7.
|
9.
|
2.
|
4.
|
6.
|
8.
|
10.
|
3.
Вычислить:
1.
|
3.
|
5.
|
7.
|
9.
|
2.
|
4.
|
6.
|
8.
|
10.
|
4.
Вычислить:
1.
|
3.
|
5.
|
7.
|
2.
|
4.
|
6.
|
8.
|
9.
|
10.
|
|
|
5.
Вычислить:
1.
|
6.
|
2.
|
7.
|
3.
|
8.
|
4.
|
9.
|
5.
|
10.
|
6.
Вычислить:
1.
|
3.
|
5.
|
7.
|
9.
|
2.
|
4.
|
6.
|
8.
|
10.
|
7.
Доказать
тождество:
1.
|
6.
|
2.
|
7.
|
3.
|
8.
|
4.
|
9.
|
5.
|
10.
|
8.
Найти
значение выражения:
1.
,
если
|
6. , если
|
2.
, если
|
7.
, если
|
3.
, если
|
8. , если
|
4.
,
если
|
9. , если
|
5.
, если
|
10. , если
|
9.
Прологарифмировать
выражение:
1. по основанию 2
|
6. по основанию 4
|
2. по основанию 3
|
7. по основанию 2
|
3. по основанию 5
|
8. по основанию 8
|
4. по основанию 3
|
9. по основанию 9
|
5. по основанию 6
|
10. по основанию 10
|
10. Найти х по данному
его логарифму (а>0,m>0,c>0,h>0,n>0,k>0):
1.
|
6.
|
2.
|
7.
|
3.
|
8.
|
4.
|
9.
|
5.
|
10.
|
СПИСОК
ЛИТЕРАТУРЫ
1. Алимов
Ш.А. Алгебра и начала анализа – учебник для 10-11 кл. общеобразоват. Учреждений
– М.: Просвещение, 2006.- 384с.
2. Креславская
О.А. ЕГЭ-2009. Математика: Сдаем без проблем! – М.: Эксмо, 2008.-192с.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.