Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Методическая разработка по теме: «Метод геометрической подстановки в алгебре»

Методическая разработка по теме: «Метод геометрической подстановки в алгебре»

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Учитель МБОУ гимназия № 9

города Воронежа

Хатунцева И.В.


Методическая разработка

«Метод геометрической подстановки в алгебре»


Решение некоторых алгебраических уравнений, неравенств, систем и т.п. упрощается, если придать входящим в них выражениям геометрический смысл.

Это можно сделать различными способами, например:

  1. изобразить соответствующие уравнениям или неизвестным кривые или области в декартовой системе координат и рассмотреть их взаимное расположение.

  2. истолковать уравнение или неравенство как алгебраическое соотношение между длинами сторон и углами в каких-либо геометрических фигурах (треугольник, параллелограмм и т.п. ), пользуясь теоремами геометрии (теорема синусов, теорема косинусов и т.п. ).

  3. интерпретировать уравнение или неравенство в виде соотношений между векторами, используя запись операции с векторами в координатной форме (сложение, вычитание векторов, скалярное произведение и т.п. ).

Пример 1: ( Химический факультет МГУ, 1996г.).

hello_html_m34dc228.gif

Решить систему


Решение

hello_html_m3f9c04af.gifПосле замены

hello_html_m71f55155.gif

система принимает вид

(*)

Отвлечемся на время от того факта, что переменные a и b связаны друг с другом посредством величины x, и поэтому не могут меняться независимо. Итак, будем считать, что a≥0 и b≥0 – независимые переменные, и изобразим на координатной плоскости 0ab геометрическое место точек M(a;b), координаты которых удовлетворяют системе:

hello_html_208129e6.png

Заштрихованное на рис. 1 множество точек соответствует неравенству

hello_html_m260585d9.gif

a + b ≥2

Заштрихованное на рис. 2 множество точек соответствует неравенству hello_html_m6ffbafdb.gif

Найдём множество точек, удовлетворяющих системе (*) как пересечение множеств заштрихованных на рис. 1 и рис. 2 и первого координатного угла.

hello_html_6d1a2c4e.png

Ясно, что пересечение множеств есть точка K(1,1).

Система (*) имеет единственное решение

hello_html_6a5f49c0.gif

hello_html_m10afbbb7.gifhello_html_3fd89cbf.gif

hello_html_39bcdcee.gif или


Ответ: -1.

Пример 2 (Факультет психологии МГУ, 1987 г.)

Доказать, что все решения неравенства

hello_html_m675710b4.gif (1)

удовлетворяет неравенству

hello_html_31a75383.gif (2)

Решение.

Оба неравенства имеют общую область определения x > 1. Выделяя полные квадраты относительно функций hello_html_m1b1feb9c.gif и hello_html_4a6f7de8.gif, преобразуем второе неравенство к виду:

hello_html_m1e291b66.gif


и сделаем замену: hello_html_m93ce723.gifhello_html_7fcfa54f.gif, тогда неравенства (1) и (2) примут соответственно вид:hello_html_m525f6ec4.gif

Переформулируем условие задачи: для выполнения условия задачи, достаточно, чтобы все решения неравенства (1’) содержались среди решений неравенства (2’).Иными словами, если заштриховать геометрическое место точек M(a,b), координаты которых удовлетворяют неравенству (1’), а затем проделать тоже для неравенства (2’), то все точки, заштрихованные в первый раз, будут заштрихованы и второй раз

Изобразим взаимное расположение множеств решений неравенств (1’) и (2’).

hello_html_m53712a67.png

Рис.1 доказывает импликацию: hello_html_m2873c573.gif, то есть заканчивает решение задачи.

Пример 3. (Факультет психологии МГУ, 1997 г.).

Найти все значения параметров a и b, при которых система уравнений

hello_html_5aa445c6.gif



имеет два решения hello_html_m16036638.gif и hello_html_2d497d86.gif, удовлетворяющих условию

hello_html_m4c54cd1b.gif


Решение.

Выделяя полные квадраты, запишем заданную систему в виде

hello_html_6122c4c1.gif



hello_html_m4c54cd1b.gif

Условие hello_html_39bcdcee.gifhello_html_43aa413c.gif, где hello_html_m49e3d465.gif и


hello_html_m64065da1.gif- решения системы. Это означает, что оба решения системы равноудалены от начала координат.

hello_html_43f7fd43.png

Иначе говоря, начало координат принадлежит прямой, соединяющей центры двух окружностей, задаваемых соответственно уравнениями (1) и (2) системы.

Действительно, если hello_html_651f9a1a.gif и hello_html_m7924c8b7.gif- центры этих окружностей, то hello_html_5474b2c9.gif является серединным перпендикуляром к отрезкуhello_html_m632042d5.gif и начало координат hello_html_7bb58065.gif лежит на прямой hello_html_5474b2c9.gif, по свойству серединного перпендикуляра. Уравнение прямой hello_html_5474b2c9.gif имеет вид

hello_html_2b6241da.gif

(3)



Подставляя в (3) координаты точкиhello_html_m52160761.gif, получим hello_html_122d1169.gif

Оhello_html_21fd09ae.gifкружности пересекаются в двух точках тогда и только тогда, когда выполняются условия:

hello_html_m453eb291.gifгдеhello_html_m654b97af.gif

hello_html_m7dc8b284.gif

Ответ:

Пример 4. (экономический факультет МГУ, 1985 г.)

Среди всех решений hello_html_m3bc7eee9.gifсистемы

hello_html_20757782.gif

найти такие, при каждом из которых выражение hello_html_2348d2a9.gif принимает наибольшее значение.

Решение.

Рассмотрим два вектора hello_html_17c9313b.gifи hello_html_m454597cb.gif на плоскости : hello_html_m2c4b9f01.gif и hello_html_d4492e9.gif. Если координаты этих векторов удовлетворяют всем условиям задачи, то первое уравнение системы означает, что длина вектора hello_html_17c9313b.gif равна 2, а длина вектора hello_html_m454597cb.gif равна 3: hello_html_339f9abd.gif Левая часть последнего неравенства системы является координатной записью скалярного произведения векторов hello_html_17c9313b.gifи hello_html_m454597cb.gif. Таким образом,hello_html_m44e7f58c.gif

С другой стороны, если hello_html_6f95504e.gif – угол между векторами hello_html_17c9313b.gifи hello_html_m454597cb.gif, то hello_html_m48e6a64.gif

Значит hello_html_6f95504e.gif=0, и векторы hello_html_17c9313b.gifи hello_html_m454597cb.gif- сонаправлены, то есть hello_html_m5d687e10.gif, где hello_html_563f09a7.gif Число hello_html_m33cb1ad5.gif Значит

hello_html_2ed6f807.gif

Выражение hello_html_2348d2a9.gif принимает вид:

hello_html_m601f8017.gif где hello_html_5da9778b.gif

Так как hello_html_362713fc.gif, где hello_html_2e28ff68.gif- угол между векторами hello_html_17c9313b.gif и hello_html_5d76d9f0.gif, то наибольшее значение суммы hello_html_2348d2a9.gif достигается при hello_html_2e28ff68.gif=0. Значит hello_html_m516be58c.gif, гдеhello_html_3e07c949.gif и hello_html_m274280ce.gif

Итак, выражение hello_html_2348d2a9.gif принимает наибольшее значение, еслиhello_html_m117954e2.gif

Ответ: hello_html_eb3ae4b.gif

Пример 5. (Мехмат МГУ, устный экзамен).

Найти наименьшее значение выражения hello_html_m6dffce3d.gif


Решение.

Придадим сумме hello_html_m46378612.gif геометрический смысл: поместим в декартову прямоугольную систему координат hello_html_m38961e6c.gif точку hello_html_62c13a29.gif и точку hello_html_4239b834.gif. Тогда слагаемое hello_html_76b9ecf1.gif равно длине отрезка hello_html_cae03af.gif, слагаемое hello_html_m3697a205.gif равно длине перпендикуляра hello_html_m4d2f5004.gif, а слагаемое hello_html_m6717bf9a.gifдлина отрезка hello_html_m58b32c1d.gif. Поэтому сумма hello_html_m46378612.gif подсчитывает длину ломаной hello_html_m43722ab2.gif с фиксированными началом hello_html_m18068b.gifи концом hello_html_17c5e6ab.gif

hello_html_52232c5b.png

Среди всех таких ломаных наименьшую длину hello_html_7056ef2f.gif имеет отрезок hello_html_1969c271.gif, соответствующий значениям hello_html_m5904b298.gif и hello_html_3be9ffed.gif

Ответ: hello_html_7056ef2f.gif

Таким образом, метод геометрической подстановки удобно применять, когда

  1. уравнение (неравенство) в условии задачи отвечают простым геометрическим образам, то есть задают на координатной плоскости прямые (полуплоскости), окружности (круги или их внешности), параболы, гиперболы и т.п.;

  2. соотношения, выражающие условия задач, по структуре напоминают алгебраическую запись теорем геометрии (теорема косинусов, теорема синусов, формула длины отрезка и т.д.);

  3. алгебраические выражения представляют собой суммы попарных произведений каких-либо величин, что позволяет истолковать их как скалярное произведение векторов.

Краткое описание документа:

Решение некоторых алгебраических уравнений, неравенств, систем и т.п. упрощается, если придать входящим в них выражениям геометрический смысл. Методическая разработка позволяет учащимся научиться применять метод геометрической подстановки для решения задач в алгебре, когда:
  • уравнение (неравенство) в условии задачи отвечают простым геометрическим образам, то есть задают на координатной плоскости прямые (полуплоскости), окружности (круги или их внешности), параболы, гиперболы и т.п.;
  • соотношения, выражающие условия задач, по структуре напоминают алгебраическую запись теорем геометрии (теорема косинусов, теорема синусов, формула длины отрезка и т.д.);
  • алгебраические выражения представляют собой суммы попарных произведений каких-либо величин, что позволяет истолковать их как скалярное произведение векторов.


Автор
Дата добавления 09.09.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров186
Номер материала ДA-034366
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх