Методическая разработка по теме: «Метод геометрической подстановки в алгебре»

Учитель МБОУ гимназия № 9

                                                                             города Воронежа

                                                                             Хатунцева И.В.

Методическая разработка

«Метод геометрической подстановки в алгебре»

Решение некоторых алгебраических уравнений, неравенств, систем и т.п. упрощается, если придать входящим в них выражениям геометрический смысл.

         Это можно сделать различными способами, например:

1)     изобразить соответствующие уравнениям или неизвестным кривые или области в декартовой системе координат и рассмотреть их взаимное расположение.

2)     истолковать уравнение или неравенство как алгебраическое соотношение между длинами сторон и углами в каких-либо геометрических фигурах    (треугольник, параллелограмм и т.п. ), пользуясь теоремами геометрии    (теорема синусов, теорема косинусов и т.п. ).

3)     интерпретировать уравнение или неравенство в виде соотношений между векторами, используя запись операции с векторами в координатной форме (сложение, вычитание векторов, скалярное произведение и т.п. ).

Пример 1: ( Химический факультет МГУ, 1996г.). 

   

    Решить систему                                        

          Решение

 После замены        

 

    система принимает вид                                                                                 

                                                                                (*)

      Отвлечемся на время от того факта, что переменные a и b связаны друг с другом посредством величины x, и поэтому не могут меняться независимо. Итак, будем считать, что a≥0 и b≥0 – независимые переменные, и изобразим на координатной плоскости 0ab геометрическое место точек M(a;b), координаты которых удовлетворяют системе:       

     

    Заштрихованное на рис. 1 множество точек соответствует неравенству             

                                    

 a + b ≥2        

    Заштрихованное на рис. 2 множество точек соответствует неравенству

Найдём множество точек, удовлетворяющих системе (*) как пересечение множеств заштрихованных на рис. 1 и рис. 2 и первого координатного угла.

                               

    Ясно, что пересечение множеств есть точка K(1,1).

    Система (*) имеет единственное решение

     

            

              или                                       

       Ответ: -1.

    Пример 2 (Факультет психологии МГУ, 1987 г.)

      Доказать, что все решения неравенства

                                                                      (1)

удовлетворяет неравенству

                                                                                   (2)

      Решение.

    Оба неравенства имеют общую область определения x > 1. Выделяя полные квадраты относительно функций  и , преобразуем второе неравенство к виду:

 

      и сделаем замену:          , тогда неравенства (1) и (2) примут соответственно вид:

    Переформулируем условие задачи: для выполнения условия задачи, достаточно, чтобы все решения неравенства (1’) содержались среди решений неравенства (2’).Иными словами, если заштриховать геометрическое место точек M(a,b), координаты которых удовлетворяют неравенству (1’), а затем проделать тоже для неравенства (2’), то все точки, заштрихованные в первый раз, будут заштрихованы и второй раз

    Изобразим взаимное расположение множеств решений неравенств (1’) и (2’).

                      

           Рис.1 доказывает импликацию: , то есть заканчивает решение задачи.

             Пример 3. (Факультет психологии МГУ, 1997 г.).

             Найти все значения параметров a и b, при которых система уравнений

                                

       имеет два решения  и , удовлетворяющих условию

                      

             Решение.

        Выделяя полные квадраты, запишем заданную систему в виде

                      

     

      Условие                                , где  и

- решения системы. Это означает, что оба решения системы равноудалены от начала координат.

     

      Иначе говоря, начало координат принадлежит прямой, соединяющей центры двух окружностей, задаваемых соответственно уравнениями (1) и (2) системы.

      Действительно, если  и - центры этих окружностей, то         является серединным перпендикуляром к отрезку и начало координат  лежит на прямой , по свойству серединного перпендикуляра. Уравнение прямой  имеет вид

   

                                                            (3)

Подставляя в (3) координаты точки, получим       

Окружности пересекаются в двух точках тогда и только тогда, когда выполняются условия:       

       где

                                                       

     Ответ:

    Пример 4. (экономический факультет МГУ, 1985 г.)

    Среди всех решений системы 

                                     

  найти такие, при каждом из которых выражение  принимает наибольшее значение.

      Решение.

      Рассмотрим два вектора и  на плоскости :  и . Если координаты этих векторов удовлетворяют всем условиям задачи, то первое уравнение системы означает, что длина вектора  равна 2, а длина вектора   равна 3:  Левая часть последнего неравенства системы является координатной записью скалярного произведения векторов и . Таким образом,   

    С другой стороны, если  – угол между векторами и , то

  Значит =0, и векторы и - сонаправлены, то есть , где  Число  Значит

                                        

         Выражение   принимает вид:

                                          где

    Так как , где - угол между векторами  и , то наибольшее значение суммы  достигается при =0. Значит , где и

Итак, выражение  принимает наибольшее значение, если

Ответ:

 Пример 5. (Мехмат МГУ, устный экзамен).    

    Найти наименьшее значение выражения

Решение.

         Придадим сумме  геометрический смысл: поместим в декартову прямоугольную систему координат  точку  и точку . Тогда слагаемое  равно длине отрезка , слагаемое  равно длине перпендикуляра , а слагаемое длина отрезка . Поэтому сумма  подсчитывает длину ломаной  с фиксированными началом и концом

                          

          Среди всех таких ломаных наименьшую длину  имеет отрезок , соответствующий значениям  и

      Ответ:  

             Таким образом, метод геометрической подстановки удобно применять, когда

1)       уравнение (неравенство) в условии задачи отвечают простым геометрическим образам, то есть задают на координатной плоскости прямые (полуплоскости), окружности (круги или их внешности), параболы, гиперболы и т.п.;

2)       соотношения, выражающие условия задач, по структуре напоминают алгебраическую запись теорем геометрии (теорема косинусов, теорема синусов, формула длины отрезка и т.д.);

3)       алгебраические выражения представляют собой суммы попарных произведений каких-либо величин, что позволяет истолковать их как скалярное произведение векторов.

Краткое описание документа:

Решение некоторых алгебраических уравнений, неравенств, систем и т.п. упрощается, если придать входящим в них выражениям геометрический смысл. Методическая разработка позволяет учащимся научиться применять метод геометрической подстановки для решения задач в алгебре, когда:

• уравнение (неравенство) в условии задачи отвечают простым геометрическим образам, то есть задают на координатной плоскости прямые (полуплоскости), окружности (круги или их внешности), параболы, гиперболы и т.п.;
• соотношения, выражающие условия задач, по структуре напоминают алгебраическую запись теорем геометрии (теорема косинусов, теорема синусов, формула длины отрезка и т.д.);
• алгебраические выражения представляют собой суммы попарных произведений каких-либо величин, что позволяет истолковать их как скалярное произведение векторов.