Автор-составитель: Сафонова Елена Артуровна, преподаватель ГБПОУ «Воронежский техникум строительных технологий»
Настоящее пособие предназначено для студентов 1 курса всех специальностей и полностью соответствует программе по математике для СПО. Оно может быть использовано студентами для самостоятельного изучения раздела программы, а также преподавателем на уроке при изучении нового материала, для домашнего задания, при повторении и подготовке к контрольной работе.
Пособие включает в себя, помимо задач, краткие теоретические сведения и формулы, необходимые для решения задач указанного раздела математического анализа, подробные решения типовых примеров и задач, вопросы для самопроверки, а также упражнения для самостоятельного решения и примерный вариант контрольной работы по теме.
СОДЕРЖАНИЕ
1. Введение…………………………………………………………………………………….4
2. Физический и механический смысл производной. Понятие о второй производной…5
3. Применение производной к решению прикладных задач………………………………..7
4. Понятие касательной и нормали. Геометрический смысл производной………………..8
5. Исследование функции на монотонность с помощью производной…………………...10
6. Исследование функции на экстремум по первой и второй производной………………14
7. Применение производной для построения графика……………………………………...18
8. Построение графика квадратного трёхчлена……………………………………………. .20
9. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке…………………………….....22
10. Примерный вариант контрольной работы……………………………………………….24
11. Литература………………………………………………………………………………….25
Введение
В Концепции модернизации Российского образования подчеркивается: «Развивающемуся обществу нужны современно образованные, нравственные, предприимчивые люди, которые могут самостоятельно принимать ответственные решения в ситуации выбора, прогнозируя их возможные последствия, способные к сотрудничеству, отличаются мобильностью, динамизмом, конструктивностью, развитым чувством ответственности за судьбу страны».
Математика является фундаментальной общеобразовательной дисциплиной со сложившимся устойчивым содержанием и общими требованиями к подготовке обучающихся. В учреждениях СПО выбор целей смещается в практическом направлении, предусматривающем усиление и расширение прикладного характера изучения математики; преимущественной ориентации на алгоритмический стиль познавательной деятельности.
Раздел математики «Математический анализ» является не только мощным средством решения прикладных задач и универсальным языком науки, но также и элементом общей культуры современного специалиста. Этот раздел является базовым в математическом анализе, а изучение приложений производной позволяет студентам осмыслить возможность решения широкого спектра практических задач. Воспитание у студентов математической культуры включает в себя ясное понимание необходимости математической составляющей в общей подготовке специалиста, выработку представления о роли и месте математики в современной цивилизации и в мировой культуре, умение логически мыслить, оперировать с абстрактными объектами и быть корректным в употреблении математических понятий и символов для выражения количественных и качественных отношений.
С введением Федеральных государственных образовательных стандартов профессионального образования нового поколения меняется подход к преподаванию дисциплин общеобразовательного цикла, который предусматривает формирование новых ключевых компетенций, необходимых для современного специалиста, таких как экономическая (ориентация в современной рыночной экономике, участие в ней не только в качестве объекта – потребителя, но и субъекта – предпринимателя, менеджера, производителя товаров и услуг и т.д.) и профессиональная (ориентированность в профессии, профессиональная подготовка к выполнению в будущем социальных ролей «специалиста», «профессионала»).
ФИЗИЧЕСКИЙ И МЕХАНИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ.
ПОНЯТИЕ ВТОРОЙ ПРОИЗВОДНОЙ
В конце семнадцатого века великий английский ученый Исаак Ньютон открыл общий способ описания связи между путем и скоростью движения. Основными математическими понятиями, выражающими эту связь, являются производная и скорость. Честь открытия основных законов математического анализа также принадлежит великому немецкому математику Готфриду Лейбницу.
1. Физический смысл первой производной
Производная y функции – это мгновенная скорость изменения этой функции. В частности, если зависимость между пройденным путём и временем при прямолинейном неравномерном движении выражается уравнением , то для нахождения мгновенной скорости точки в какой-нибудь определённый момент времени нужно найти производную и подставить в неё соответствующее значение , то есть
П р и м е р 1. Точка движется прямолинейно по закону (s выражается в метрах, t – в секундах). Найти скорость движения через 3 секунды после начала движения.
Решение. Скорость прямолинейного движения равна производной пути по времени, то есть .
Подставив в уравнение скорости с, получим
П р и м е р 2. Маховик, задерживаемый тормозом, поворачивается за t с на угол
(t) = 4t – 0,2t2 (рад). Найдите:
а) угловую скорость вращения маховика в момент t = 6 с;
б) в какой момент времени маховик остановится?
Решение. а) Угловая скорость вращения маховика определяется по формуле Тогда
Подставляя t = 6 с, получим .
б) В тот момент, когда маховик остановится, его скорость будет равна нулю . Поэтому . Отсюда
П р и м е р 3. Тело массой 6 кг движется прямолинейно по закону Найти кинетическую энергию тела через 3 с после начала движения.
Решение. Найдём скорость движения тела в любой момент времени t.
Вычислим скорость тела в момент времени .
Определим кинетическую энергию тела в момент времени
2. Производная второго порядка. Производная n-го порядка.
Производная от данной функции называется первой производной или производной первого порядка. Но производная функции также является функцией, и если она дифференцируема, то от неё, в свою очередь, можно найти производную.
Производная от производной называется второй производной или производной второго порядка и обозначается .
Производная от второй производной называется производной третьего порядка и обозначается Производной n-го порядка называется производная от производной порядка и обозначают или
Примеры.
1) 2)
.
3. Механический смысл второй производной.
Если первая производная функции – это мгновенная скорость изменения любого процесса, заданного функцией, то вторая производная – это скорость изменения скорости или ускорение, то есть
Итак, первая производная – это скорость изменения процесса, вторая производная – ускорение.
П р и м е р 4. Точка движется прямолинейно по закону . Найти скорость и ускорение точки в момент .
Решение. Найдём скорость точки в любой момент времени t.
Вычислим скорость в момент времени .
Найдём ускорение точки в любой момент времени t.
и , то есть ускорение в этом случае является величиной постоянной.
П р и м е р 5. Тело массой 3 кг движется прямолинейно по закону +5. Найти силу, действующую на тело в момент времени
Решение. Сила, действующая на тело, находится по формуле
Найдём скорость движения точки в любой момент времени t.
.
Тогда .
Найдём ускорение: =
Тогда .
Вопросы для самопроверки
1. В чём заключается физический смысл первой производной?
2. Как найти мгновенную скорость прямолинейного неравномерного движения? Запишите формулу.
3. Что называется производной второго порядка, третьего порядка, n-го порядка?
4. В чём заключается механический смысл производной?
5. Как найти ускорение прямолинейного неравномерного движения в данный момент времени? Запишите формулу.
ПРИЛОЖЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К РЕШЕНИЮ
ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧ
Решите задачи.
Путь, пройденный материальной точкой, задаётся уравнением
. Найти скорость и ускорение точки в конце 5-й секунды.
Вычислить ускорение материальной точки в конце 3-й секунды, если точка движется по закону .
Точка движется прямолинейно по закону . Найти скорость и ускорение точки в момент секунды.
Материальная точка движется прямолинейно по закону . Найти её ускорение в конце 3-й секунды.
Путь, пройденный клетью подъёмной машины, определяется уравнением
. Найти скорость и ускорение в момент времени 5 с.
Определить момент , в который ускорение прямолинейного движения, совершаемого по закону , равно нулю. Какова при этом скорость?
Закон движения частицы определяется уравнением . Каково ускорение частицы в момент, когда её скорость равна 11 м/с?
Температура тела T изменяется в зависимости от времени t по закону
. С какой скоростью нагревается это тело в момент времени ?
Количество электричества, протекающего через проводник, задаётся формулой . Найти силу тока в конце 4-й секунды.
Сила тока изменяется в зависимости от времени по закону (I – в амперах, t – в секундах). Найти скорость изменения силы тока в конце 8-й секунды.
Известно, что тело массой m = 5кг движется прямолинейно по закону . Найдите кинетическую энергию тела через 2с после начала движения.
Две материальные точки движутся прямолинейно по законам: В какой момент времени скорости их равны?
Две материальные точки движутся прямолинейно по законам: В какой момент времени скорость первой точки будет в два раза больше скорости второй?
Основание а параллелограмма изменяется по закону , а высота по закону Вычислите скорость изменения его площади в момент t = 4c. (Основание а и высота b измеряются в сантиметрах).
Радиус круга R изменяется по закону . C какой скоростью изменяется его площадь в момент , если радиус круга измеряется в сантиметрах.
Материальная точка массой 2кг движется прямолинейно по закону
, где s- путь в метрах, t – время в секундах. Найдите силу, действующую на неё в момент t = 3 c.
Маховик, задерживаемый тормозом, поворачивается за t секунд на
угол (t) = (рад). Найдите:
а) угловую скорость вращения маховика в момент t = 6с;
б) в какой момент маховик остановится?
Материальная точка движется прямолинейно по закону ,
где s – путь в метрах, t – время в секундах. Найдите:
а) момент времени t, когда ускорение точки равно 0;
б) скорость, с которой движется точка в этот момент времени.
ПОНЯТИЕ КАСАТЕЛЬНОЙ И НОРМАЛИ.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ
1. Понятие касательной и нормали к кривой
Мы знаем аналитический и физический смысл производной:
аналитический смысл – это , физический – это скорость процесса, заданного функцией. Выясним геометрический смысл производной.
Для этого введём понятие касательной к кривой в данной точке.
Из школьного курса геометрии, вы знаете понятие касательной к окружности. Касательная к окружности определяется как прямая, лежащая в одной плоскости с окружностью и имеющая с ней единственную общую точку.
Но такое определение касательной неприменимо для случая произвольной кривой. Например, для параболы оси имеют по одной общей точке с параболой. Однако ось является касательной к параболе, а ось – нет.
M1 Дадим общее определение касательной к
L M2 кривой в данной точке.
М3 Пусть – некоторые точки произвольной кривой – секущая кривой.
K При приближении точки по кривой секущая будет поворачиваться вокруг точки , занимая положения ,
Рис.1
Определение. Предельное положение секущей при неограниченном приближении точки по кривой называется касательной к кривой в точке
Определение. Нормалью к кривой в точке называется прямая, проходящая через точку перпендикулярно касательной к кривой в этой точке.
Если – касательная к кривой в точке ,
то перпендикулярная будет нормалью к кривой в точке
Рис.2
2. Геометрический смысл производной
Пусть кривая является графиком функции . Точки
лежат на графике функции. Прямая - секущая кривой . – касательная к кривой
- угол наклона касательной
0 Рис.3
Геометрически, производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной, проведённой в точке или угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке.
Уравнение касательной к кривой в точке имеет вид
Уравнение нормали к кривой в точке имеет вид
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
П р и м е р 1. Вычислите угловые коэффициенты касательных к параболе в точках .
Решение. Из геометрического смысла производной (формула 1) угловой коэффициент касательной .
Найдём производную функции: .
Найдём значение производной в точке
. Следовательно, .
Найдём значение производной в точке
. Следовательно, .
П р и м е р 2. У параболы проведены касательные в точках Найдите углы наклона касательных к оси Ох.
Решение. По формуле (1)
Найдём . .
Вычислим значение производной в точке : .
Следовательно, и .
Аналогично в точке .
Следовательно, и
П р и м е р 3. В какой точке касательная к кривой наклонена к оси Ох
под углом
Решение. По формуле (1)
; . Следовательно, и
Подставив в функцию , получим . Получили точку .
П р и м е р 4. Составить уравнение касательной и нормали к параболе в точке
Решение. Уравнение касательной к кривой имеет вид .
Из условия задачи . Найдём производную .
; .
Подставив все значения в уравнение получим уравнение касательной
или .
Составим уравнение нормали, воспользовавшись формулой :
или
Вопросы для самопроверки
Дайте определение касательной к кривой.
Что называется нормалью к кривой?
В чём заключается геометрический смысл производной? Запишите формулу.
Запишите уравнение касательной к кривой в данной точке.
Запишите уравнение нормали к кривой в данной точке.
УПРАЖНЕНИЯ
Найти угловой коэффициент касательной, проведённой к кривой
в точке .
Кривая задана уравнением Определить углы наклона касательных к положительному направлению оси , проведённых к кривой в точках
с абсциссами .
В какой точке касательная к кривой : а) параллельна оси ; б) образует с осью угол 45?
В какой точке касательная к графику функции параллельна оси абсцисс?
Найти угол наклона касательной к кривой в точке, абсцисса которой равна 2.
Составить уравнение касательной к кривой в точке .
Найти касательную к кривой в точке с абсциссой .
Задачи для самостоятельного решения
8. Найти абсциссу точки параболы , в которой касательная параллельна оси абсцисс.
9. Найти угловой коэффициент касательной, проведённой к кривой
в точке .
10. В какой точке касательная к кривой образует с осью угол 30?
11. Составить уравнение касательной к параболе в точке с абсциссой
12. Составить уравнение касательной к гиперболе в точке
13. В каких точках угловой коэффициент касательной к кубической параболе равен 3?
14. Составить уравнение касательной к параболе в точке с абсциссой .
15. Составить уравнение касательной к кривой в точке с абсциссой
16. Составить уравнение касательной к кривой в точке с абсциссой
17. Какой угол образует с осью абсцисс касательная к параболе , проведённая в точке M ? Составить уравнение этой касательной.
18. Найти координаты точки, в которой касательная к параболе образует с осью угол в 135.
19. На кривой найти точку, в которой касательная параллельна прямой .
20. В какой точке касательная к графику функции образует угол 135
с осью ?
ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ НА МОНОТОННОСТЬ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНОЙ
Рассмотрим приложение производной к исследованию функции на возрастание и убывание.
Признаки возрастания и убывания функции.
Теорема 1 (признак возрастания функции). Если дифференцируемая функция
возрастает на данном интервале, то производная этой функции не отрицательна на этом интервале.
Теорема 2 (признак убывания функции). Если дифференцируемая функция
убывает на данном интервале, то производная этой функции не положительна на этом интервале.
Обратные теоремы также справедливы.
Теорема 3 (признак возрастания функции). Если производная функции
положительна на некотором интервале, то функция на этом интервале монотонно возрастает.
Теорема 4 (признак убывания функции). Если производная функции
отрицательна на некотором интервале, то функция на этом интервале монотонно убывает.
Эти утверждения можно пояснить геометрически.
Рис.4 Рис.5