Плехова Людмила
Михайловна.
председатель МО
учителей математики
ГБОУ СПб ЦО №80
Тренажер для учащихся 10-11 класса по теме:
«Решение уравнений с параметрами».
Методическая разработка
для формирования УУД по решению уравнений с параметрами.
Задача методического
пособия-тренажера: помочь учащимся самостоятельно сформировать УУД для решения
уравнений с параметрами, как задач повышенной сложности; самостоятельно
познакомиться с приемами решения;
Цели:
Образовательная:
Познакомить учащихся
с методом решения уравнений с параметрами;
Развивающая:
*оказать теоретическую помощь учащимся в овладении УУД
решать уравнения с параметром;
*сформировать первичный опыт
выполнения таких действий;
*сформировать понимание алгоритма
выполнения УУД;
*сформировать умение выполнять
УУД основываясь на личный опыт и самоконтроль учащегося;
*показать примеры и некоторые
способы решения таких уравнений.
Воспитательная:
Помочь учащимся
преодолеть барьер страха перед решением таких задач; помочь самостоятельно
ликвидировать пробелы в знаниях; продемонстрировать реальные возможности
самостоятельно разобраться в решении уравнений с параметрами тем учащимся, кто
еще не пробовал их решать; помочь учащимся в подготовке к ЕГЭ.
Важным моментом данного тренажера является - деятельностный аспект.
Новым смыслом работы с учащимися является решение проблем самими школьниками в
процессе обучения через самостоятельную познавательную деятельность.
Проблемный характер урока с уверенностью можно
рассматривать как уход от репродуктивного подхода на занятии. Чем, больше
самостоятельной деятельности на уроке, тем лучше, т.к. Учащиеся приобретают
умения решения проблем, информационную
компетентность при работе с текстом.
Современный урок отличается использованием
деятельностных методов и приемов обучения таких, как учебная дискуссия, диалог,
видеообсуждение, деловые и ролевые игры, открытые вопросы, мозговой штурм и
т.д.
Развитию УУД на уроке способствует применение современных педагогических технологий: технология критического мышления,
проектная деятельность, исследовательская работа,
дискуссионная технология, коллективная и индивидуальная мыслительную
Изложение материала.
Параметр – величина, входящая в формулы и
выражения, сохраняющая постоянное значение в условиях данной задачи или
процесса ( “Cловарь - справочник по
математике”, Н.И. Александров, И.П. Ярандай).
Пусть дано уравнение F(x;
a) = 0. (*)
Если ставится задача отыскать все такие пары (а; х), которые
удовлетворяют данному уравнению, то уравнение (*) – это уравнение с двумя
переменными х и а. Однако, относительно уравнения (*) можно
поставить и другую задачу. Дело в том, что если придать а какое-либо фиксированное
значение, то уравнение (*) можно рассматривать как уравнение с одной
переменной х. Решения этого уравнения определяются выбранным
значением а.
Если
ставится задача для каждого значения а из некоторого числового множества А
решить уравнение (*) относительно х, то уравнение (*)называют уравнением с
переменной х и параметром а, а множество А – областью изменения
параметра.
Под областью изменения параметра будем понимать (если
не сделано специальных оговорок) множество всех действительных чисел, а задачу
решения уравнения с параметром будем формулировать следующим образом:
решить уравнение (с переменной х и параметром а) - это
значит на множестве действительных чисел решить семейство уравнений,
получающихся из данного уравнения (*) при всех действительных значениях
параметра.
Следовательно, сам факт существования решения уравнения
с параметром зависит от значения параметра а.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Исследовать и решить уравнение с параметром – это значит:
1. найти все системы значений параметров, при
которых данное уравнение имеет решение.
2. найти все решения для каждой найденной системы
значений параметров, т.е. для неизвестного и параметра должны быть указаны свои
области допустимых значений.
ПРИМЕРЫ:
1. Решить уравнение 
.
РЕШЕНИЕ: выполним алгебраические
преобразования, приведем уравнение к более простому виду для исследования:
;
;
;
а) при
б) если, а = 5, то 0х = 0, х – любое
действительное число.
в) если, а = -5, то 0х = 250, решений нет.
ОТВЕТ:
1) при 
.
2) при а = 5 х – любое действительное
число.
3) при а = -5 решений нет.
2. Решить уравнение 
РЕШЕНИЕ: приведенное
квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
D =
Квадратное уравнение
имеет решение, если дискриминант больше или равен нулю, т.е. 
ОТВЕТ: 1) при 
2) при m = -2 x = -2
единственное решение.
3) при m = 2 x = 0 единственное
решение.
4) при 
3. Решить уравнение 
РЕШЕНИЕ: найдем область
определения уравнения: 
x(x – 4) = (m – 6) (m – 1)
D =
Если D >0, тогда
Выясним, при каких значениях параметра m x =
0:
а) Если x = 0, то 
б) Если m = 6 , то 
в) Если m = 2 , то 
г) Если m = 5, то
ОТВЕТ:
1) 
2) при
m = 1 уравнение не определено.
3) при
m = 2 x = 2.
4) при
5) при
m = 5 x = 2.
6) при
m = 6 x = 4.
3. Решить уравнение 
= a - 
.
РЕШЕНИЕ: функция,
задающая левую часть данного уравнения, является возрастающей, а функция в правой
части – убывающая, следовательно, по теореме о корне, уравнение имеет
единственное решение.
А) Найдем область определения уравнения:
Б) Возведем обе части уравнения в квадрат:
В) Исследуем решение уравнения:
1)
если 
, то уравнение решения не имеет.
2)
если а =
0 , то x = 0.
3)
если а >
0 , то 
.
ОТВЕТ: 1) при уравнение решения
не имеет.
2)
при а =
0 x = 0.
3)
при а >
0 .
4. Решить уравнение: 
.
РЕШЕНИЕ:
1) если а + 3 = 0
а = -3 , то 
,
,
- 5 х =
4 ,
х
= -
.
2) если 
, то найдем
дискриминант данного квадратного уравнения и исследуем его: 
a) если D = 0, - 4
a + 13 = 0, a = 
,
тогда 
в) если
с) если D < 0 , - 4 а + 13 < 0 , а > = 3
,
тогда 
Ǿ
(действительных корней нет)
ОТВЕТ: 1) при а = -3 х = -
2)
при а = 3
3)
при 
.
4)
при 
5.
Решить уравнение 
.
РЕШЕНИЕ:
1) если х - а 
, т.е. х
а , то х – а = х +2,
0
х = а + 2
а) если а = - 2, то х – любое
д. ч. х 
.
б) если а
,
то х = Ǿ.
2) если х – а
< 0, т.е. х < а, то - х + а = х +
2
.
ОТВЕТ: 1) при а
= - 2, х – любое действительное число, такое, что 
.
2) при 
3) при а > х, 
Предложенные задачи могут быть
использованы учителями и учениками в процессе изучения темы «Решение уравнений»
или для параллельного повторения курса алгебры в 10-11 классе.
Литература:
1. А.Х. Шахмейстер
Уравнения и неравенства с параметрами.
Задачи с параметрами в
ЕГЭ СПб: «ЧеРо - на - Неве»,2004.
2. С.И. Колесникова
Математика. Решение сложных задач ЕГЭ. М.:Айрис-пресс,2007
3. И.Н. Сергеев ЕГЭ 1000 задач. С5.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.