Методическая разработка по теме: "Системы счисления"

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ РЕСПУБЛИКИ АДЫГЕЯ

АДЫГЕЙСКИЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ ИМ. Х. АНДРУХАЕВА

 

 

 

 

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА

По предмету: «Информатика»

Методические рекомендации по теме:

«Системы счисления»

 

 

 

 

 

Составитель: Шишхова З.Р.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2017 г.
Примеры решения  к ЕГЭ по темам "Системы счисления"

Пояснительная записка

Данная методическая разработка предназначена для студентов любой формы обучения по предмету: Информатика. Может использована педагогами для проведения уроков по данной теме, для организации самостоятельной работы учащихся, а также для подготовке к ЕГЭ по информатике.

Учебно-методическая разработка содержит весь необходимый материал для проведения уроков информатики по теме “Системы счисления”: теоретический материал, разбор решения типовых задач, задания для самостоятельного изучения и закрепления новых знаний и умений. Также содержит примеры заданий из ЕГЭ.

Для подготовки студента к ЕГЭ по информатике у преподавателя всегда должны быть под руками соответствующие электронные продукты – обучающие, контролирующие, моделирующие. Моя разработка – продукт, представляющий примеры решения задач по темам “Системы счисления” (см. Приложение1.)

Цель работы: закрепление навыков решения заданий ЕГЭ по информатике с использованием систем счисления.

Опираясь на необходимость самостоятельной работы студентов при подготовке к ЕГЭ, примеры задач с решениями  рекомендую скопировать на домашний компьютер и, тогда каждый студент, используя их для самоконтроля, решает задачи в необходимом ему темпе, порядке и объеме. При этом регулирует сам нагрузку при подготовке к итоговой аттестации (здоровьесберегающий аспект).

Актуальность и значимость ресурсов:

Хотя экзамен по информатике и ИКТ в форме единого государственного экзамена выпускники сдают на добровольной основе по своему выбору, большинство выпускников нацелены на поступление в ВУЗы технического профиля, где сертификат с результатами ЕГЭ обязателен.  Поэтому свою разработку в первую очередь адресую ученикам, чтобы дать им востребованный инструмент подготовки к ЕГЭ, обеспечив большим объемом задач, а работу учителя в аудитории – интерактивными задачниками, которые с применением проектора, экрана или интерактивной доски использую для разбора решения типичных задач.

1.        Понятие о системах счисления.

Вся информация, которою обработает компьютер, должна быть представлена двоичным кодом с помощью двух цифр – 0 и 1. С помощью двух цифр 0 и 1 можно закодировать любое сообщение. Это явилось причиной того, что в компьютере обязательно должно быть организованно два важных процесса.

Кодирование – преобразование входной информации в форму, воспринимаемую компьютером, т.е. двоичный код.

Декодирование – преобразование данных из двоичного кода в форму, понятную человеку.

Способы кодирования и декодирования информации в компьютере, в первую очередь, зависит от вида информации, а именно, что должно кодироваться: числа, текст, графические изображения или звук.

Для записи информации о количестве объектов используются числа. Числа изображается символом или группой символов (словом) некоторого алфавита. Будем называть такие символы цифрами. Числа записываются с использование особых знаковых систем, которые называют системами счисления.

Система счисления – совокупность приемов и правил записи чисел с помощью определенного набора символов.

Все системы счисления делятся на две большие группы: позиционные и непозиционные.

 

Система счисления называется непозиционной, когда значения цифры не зависит от её положения в числе.

Системы счисления,  в которых значение каждой цифры зависит от её положения (позиции) в записи числа, называются позиционными системами счисления.

1.1    Непозиционные системы счисления.

Непозиционные системы счисления первичны по своему происхождению; но поскольку они имеют ряд недостатков по сравнению с позиционными системами счисления, то постепенно они потеряли свое значение. Хотя до настоящего времени еще используется римская система счисления, где для обозначения цифр используются латинские буквы:

            I    V    X     L       C        D       M

            1    5    10   50     100    500    1000

Числа в римской системе счисления записываются по следующим правилам.

        1) если большая цифра стоит перед меньшей, они складываются, например: VI=6;

        2) если меньшая цифра стоит перед большей, то из большей вычитается меньшая, причем в этом случае меньшая цифра уже повторяться не может, например: XL=40, XXL-нельзя;

        3) цифры M,C,X,I могут повторяться в записи числа не более трех раз подряд;

        4) цифры D,L,V могут использоваться в записи числа только по одному разу.

Например число 1996 будет записано в римской система счисления как MCMXCVI.

Самое большое число, которое можно записать в этой системе счисления, это число 3999 (MMMCMXCIX). Для записи еще больших чисел пришлось бы вводить еще новые обозначения.

А теперь попробуйте выполнить простую арифметическую операцию, не переводя числа в привычную систему счисления:     умножить число CLVI на число LXXIV. Вряд ли вам это удастся.

Таким образом, можно констатировать следующие основные недостатки непозиционных система счисления:

     а) Необходимость использования большого количества символов для записи больших чисел.     б) неудобство выполнения арифметических операций.

1.2. Позиционные системы счисления.

Позиционной называется такая система счисления, в которой величина цифры зависит от позиции (места), занимаемой этой цифрой в записи числа. Примером позиционной системы счисления служит арабская система счисления, которой мы обычно пользуемся. Если взять два числа 102 и 21, то цифра 1 в первом числе в 100 раз "тяжелее" той же цифры во втором числе. А вот цифра 2 в первом числе в 10 раз "легче" этой же цифры во втором числе.

Рассмотрим числа 13, 5234 и 351

В числе 13 тройка обозначает три единицы. В числе 5234 – три десятка, В числе 351 – три сотни.

Запишем эти числа в десятичной системе счисления.

13=1*10+3=1*101+3*100

351=3*100+5*10+1=3*102+5*101+1*100

5294=5*1000+2*100+3*10+4=5*103+2*102+9*101+4*100

  Разряд -  позиция цифры в числе.

В позиционной системе счисления любое число может быть представлено в развернутом виде.

  Пусть q - основание системы счисления, n -  число разрядов целой части числа, ai - цифра числа, Aq - само число.

Тогда развернутую форму для числа представленного в любой системе счисления можно записать в общем виде следующим образом:

      Aq = an-1*qn-1 + an-2*qn-2 +  ... + a0*q0 

Алфавит системы счисления – совокупность символов, используемых в данной системе счисления. Количество различных символов, используемых для изображения числа в позиционных системах счисления, называется основанием системы счисления.

Таблица 1.

Система счисления	Основание	Алфавит цифр
Десятичная	10	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Двоичная	2	0, 1
Восьмеричная	8	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
Шестнадцатеричная	16	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

Практическая часть.

Проверьте, правильно ли записаны числа в соответствующих системах счисления:

а) А10=6783            б)   А4=6023         в)  А3=10021          г) А2=2222

2. Двоичная система счисления.

В двоичной системе счисления основание равно 2, а алфавит состоит из двух цифр 0 и 1.

Числа в двоичной системе счисления в развернутой форме записываются в виде суммы степеней основания 2 с коэффициентами, в качестве которых выступают 0 и 1.

Например, 1102=1*22+1*21+0*20=610

1)     Перевод из десятичной системы счисления в двоичную осуществляется по следующему алгоритму.

1.     Последовательно выполняется деление исходного целого числа и получаемых целых частных на основание системы счисления (на 2) до тех пор, пока не получится частное меньше делителя.

2.     Записываем остатки в обратной последовательности.

Пример .     15₁₀  → ?₂

-   15	2
-   14	7	2
1	-   6	3	2
	1	2	1
		1

15₁₀ = 1111₂

2)                Перевод из двоичной системы счисления в десятичную. Для перевода двоичного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 2, и вычислить по правилам десятичной арифметики:

При переводе удобно пользоваться таблицей степеней двойки:

n (степень)	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	1	2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024

Пример . Число    перевести в десятичную систему счисления.

Практическая часть.

1)  Перевести числа из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления:

13; 55; 459; 112; 66; 78; 653; 35; 43; 65

2) Перевести числа в десятичную систему счисления:

1.     1101 

2.     110111

3.     101010

4.     1101101

5.     10101110

6.     111011

7.     101011

8.     101011110

9.     1011101

3.Перевод целых чисел из одной системы счисления в другую

Можно сформулировать алгоритм перевода целых чисел из системы с основанием p в систему с основанием q:

1. Основание новой системы счисления  выразить  цифрами  исходной системы счисления  и  все  последующие действия производить в исходной системе счисления.

2. Последовательно выполнять деление данного числа  и  получаемых целых частных на основание новой системы счисления до тех пор, пока не получим частное, меньшее делителя.

3. Полученные  остатки,  являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления.

4. Составить число в новой системе счисления, записывая его, начиная с последнего остатка.

        Пример 1.  Перевести  десятичное число 173₁₀ в восьмеричную систему счисления:

173	8
5	21	8
	5	2

 Получаем:  173₁₀=255₈

        Пример 2. Перевести десятичное число 173₁₀ в шестнадцатеричную систему счисления:

173	16
13	10
(D)	(A)

Получаем: 173₁₀=AD₁₆.

        Пример 3.  Перевести десятичное число 11₁₀ в двоичную систему счисления. Рассмотренную  выше последовательность действий (алгоритм перевода) удобнее изобразить так:

11	2
1	5	2
	1	2	2
		0	1

Получаем: 11₁₀=1011₂.

  Пример 4.  Иногда более удобно записать алгоритм перевода в форме таблицы. Переведем десятичное число 363₁₀  в двоичное число.

Делимое	363	181	90	45	22	11	5	2	1
Делитель	2	2	2	2	2	2	2	2	2
Остаток	1	1	0	1	0	1	1	0	1

Получаем: 363₁₀=101101011₂

Практическая часть.

1)    Перевести числа из десятичной  системы счисления в другую.

_1.        245₁₀=?₄

2.     87₁₀=?₈

3.     79₁₀=?₅

2)    Перевести числа из системы счисления в десятичную.

1.     36₈=?₁₀

2.     23₄=?₁₀

3.     56А₁₆=?₁₀

3)     Проверить равенства:

1.     25₁₀=34₈

2.     47₁₀=101111₂

3.     108₁₀=6С₁₆

4.     Арифметические операции в позиционных системах счисления.

5.      

       Из всех позиционных систем особенно проста двоичная система счисления. Рассмотрим выполнение основных арифметических действий над двоичными числами. 

    Во всех позиционных системах счисления арифметические операции выполняются по одним и тем же правилам:

ü справедливы правила сложения, вычитания и умножения столбиком;

ü правила выполнения арифметических операций опираются на таблицы сложения и умножения.

Сложение.

Таблица сложения

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 10

Первые три строчки таблицы нам привычны, в четвертой 1 + 1 = 10, так как если мы рассмотрим сложение двух единиц в десятичной системе счисления то 1 + 1 = 2 и 2 переведем в двоичную систему счисления, то получим 10₂.

Пример:      1101+110=10011    

	1
+	1	1	0	1
		1	1	0
1	0	0	1	1

Самостоятельно:

1011101+1100110 = 11000011

Умножение.

Таблица умножения

0 . 0 = 0

0 . 1 = 0

1 . 0 = 0

1 . 1 = 1

Пример:

X		1	1	0
		1	0	1
+		1	1	0
+	0	0	0
1	1	0
1	1	1	1	0

Самостоятельно:

101*110 = 11110

Вычитание:

Таблица вычитания

0-0=0

1-0=1

1-1=0

0-1=11

	.	.
-	1	1	0	1
		1	1	0
		1	1	1

Самостоятельно:

111101-1001 = 110100

Практическая часть.

1)    Выполнить сложение над заданными числами.

1.     110; 11  (1001)

2.     111, 101 (1100)

3.     101010;  11001  (1000011)

4.     111011; 101011 (1100110)

5.     1110; 1111 (11101)

2)    Выполнить вычитание над заданными числами:

2.     100; 10 (10)                                     

3.     110; 11 (11)

4.     100; 11 (1)

5.     1000; 101 (11)

3)    Выполнить указанные действия в заданной системе счисления.

a.      111011+1001    (1000100; 59; 9)

b.     11101- 1111   (1110; 29; 15)

Заданные числа и полученные результаты арифметических операций перевести в десятичную систему счисления и выполнить проверку полученных результатов в десятичной системе счисления.

ü  

Для закрепления темы предлагается тест.  (Приложение 1)

ЦОР - важнейшая составляющая всех направлений деятельности современного учителя, способствующая оптимизации и интеграции учебной и внеучебной деятельности.

Одним из способов использования ЦОР является их применение при проведении текущего контроля знаний учащихся и уровня усвоения ими материала. После объяснения материала учителем в большинстве случаев организуются контрольно-диагностические мероприятия, под которыми обычно принято понимать проведение тестирования знаний учащихся. Применение соответствующего программного обеспечения позволяет превратить классное или групповое занятие в индивидуальное, т.к. задание будет выполняться конкретным учеником за его отдельным рабочим местом. К достоинствам данного подхода можно отнести и информирование преподавателя наглядным способом (с использованием графиков, таблиц и диаграмм) о проценте верных ответов как у одного ученика, так и группы, выполняющей тестирование, упрощается процесс сбора и анализа информации об успеваемости, исключается возможное негативное отношение преподавателя к конкретному ученику, т.е. психологический фактор.

Использование интерактивных тестов – это помощь учителю в подготовке, проведении урока и оценивании знаний учащихся, а для ученика – это автоматизированный самоконтроль, как на уроке, так и в любое удобное время.

Приложение 1.

Тест по теме: «Системы счисления».

В электронном виде

http://www.openclass.ru/node/432462

Вопросы теста:

1 вариант

1.     Проверить равенство:

1001011₂=300₅

2.     Проверить равенство:

456₈=346₇

3.     Вычислить сумму чисел и результат представить в двоичной системе счисления:

35₄+67₈

4.     Вычислить разность чисел и результат представить в десятичной системе счисления:

65₇ - 34₆

2  вариант

1.     Проверить равенство:

001101₂=115₈

2.     Проверить равенство:

25₄=36₈

3.     Вычислить сумму чисел и результат представить в двоичной системе счисления:

22₃+34₈

4.     Вычислить разность чисел и результат представить в десятичной системе счисления:

25₈ -10₂

Литература:

1)    Семакин И.Г., Хеннер Е.К., Информатика и ИКТ, 10-11 класс, 2012.

2)    М.С. Цветкова, Л.С. Великович, «Информатика и ИКТ», Москва, 2013

3)    Михеева Е.В. Информационные технологии в профессиональной деятельности. 2015 г.