Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Методическая разработка по теме: Уравнения, свойства уравнений. Решение задач с помощью уравнений с использованием интерактивных технологий
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Методическая разработка по теме: Уравнения, свойства уравнений. Решение задач с помощью уравнений с использованием интерактивных технологий

библиотека
материалов

hello_html_mee20f72.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_571e7a8d.gifhello_html_571e7a8d.gifhello_html_6402b39c.gifhello_html_m5c010fac.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_mc9c0328.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m1a8cfc56.gifhello_html_m1a8cfc56.gifhello_html_5490242b.gifhello_html_5490242b.gifhello_html_5490242b.gifhello_html_5490242b.gifhello_html_899b330.gifhello_html_899b330.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m5233afd.gifhello_html_m5f59bdf6.gifhello_html_m312c680.gifhello_html_m4dee4021.gifhello_html_281d7ec1.gifhello_html_m52779b94.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m582e8d7e.gifhello_html_m4dee4021.gifhello_html_mee20f72.gifhello_html_m360567c6.gifhello_html_411d22aa.gifhello_html_m162bef4a.gifhello_html_m4e761f38.gifhello_html_3fe343e2.gifhello_html_43540f2a.gifhello_html_40983015.gifhello_html_m5dfb599f.gifhello_html_m1d630434.gifhello_html_m66fd53c1.gifhello_html_m1034b02f.gifhello_html_4ec7b98d.gifhello_html_577ede52.gifhello_html_31c2bada.gifhello_html_4fb72c9b.gifhello_html_fb5e059.gifhello_html_121f1d4e.gifhello_html_14ee9392.gifhello_html_1a045658.gifhello_html_m2d638229.gifhello_html_m3111fb81.gifДонецкая общеобразовательная школа IIII ступеней № 57

Министерства образования и науки

Донецкой Народной Республики





Методическая разработка

по теме:

Уравнения, свойства уравнений.

Решение задач с помощью уравнений

с использованием интерактивных технологий

(6 класс)



Подготовила

учитель математики ДОШ № 57

Кадубина Г. В.






Донецк, 2016

План


I Введение

II Календарно-тематическое планирование

III Справочный материал

IV Контрольные моменты по теме

V Поэлементный анализ контрольной работы

VI Критерии оценивания учащихся 6 класса при изучении темы «Уравнения, свойства уравнений. Решение задач с помощью уравнений»

VII Приложение (презентация)

VIII Список используемой литературы




















I Введение

Учащиеся младших классов уже знакомы с понятием уравнения и умеют решать уравнения по правилам нахождения неизвестных компонентов арифметических действий.

В этой теме необходимо познакомить их с определением уравнения, основными понятиями и свойствами уравнений. Добиться, чтобы учащиеся знали все определения и свойства наизусть, чтобы в следующем году им легче было бы усваивать решение линейных уравнений.

С целью дифференциации обучения, ликвидации пробелов знаний учащихся материал по теме «Уравнения, свойства уравнений. Решение задач с помощью уравнений с использованием интерактивных технологий (6 класс) » детализируется, наполняется опорными схемами, справочным материалом.

Использование свойств и степени сложности уравнений учитель определяет сам соответственно уровню подготовки класса. Но в любом случае необходимо требовать от учащихся досконального объяснения каждого шага решения уравнения.

Работа содержит:

  1. Календарное планирование

  2. Справочный материал

  3. Поэлементный анализ контрольной работы

  4. Критерии оценивания

  5. Презентация










II Календарно-тематическое планирование


Тема «Уравнения, свойства уравнений. Решение задач с помощью уравнений».


Урок № 1. Повторение. Уравнения. Общие сведения об уравнениях.

Урок № 2. Свойства уравнений

Урок № 3. Решение уравнений с применением свойств уравнений

Урок № 4. Решение уравнений. Самостоятельная работа

Урок № 5. Уравнение как математическая модель задачи

Урок № 6. Решение задач на составление уравнений с применением определённых правил

Урок № 7. Решение задач с помощью уравнения на движение

Урок № 8. Решение задач экономического содержания, «было - стало», нахождения дроби от числа, на проценты

Урок № 9. Решение задач геометрического содержания

Урок № 10. Решение задач на составление уравнений. Самостоятельная работа

Урок № 11. Контрольная работа












III Справочный материал


І. Повторение


1. Правила действий с рациональными числами


А) сложение

Чтобы сложить два отрицательных числа, надо сложить их модули и перед результатом поставить знак «-» (минус).

Например: (-2)+(-3)=-5.

Чтобы сложить положительное и отрицательное число, надо найти разность их модулей и перед результатом поставить знак числа с большим модулем.

Например: -2,7+3=0,3; 18+(-20)=-2.

Б) вычитание

Чтобы из одного числа вычесть другое, надо к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому.

Примеры:

13-17=13+(-17)=-4;

-4,9-(-3)=-4,9+3=-1,9;

hello_html_m31c50835.gif

Вычитание рациональных чисел всегда можно заменить сложением:

a-b=a+(-b), a-(-c)=a+c.

в) умножение

Чтобы умножить отрицательное число и положительное, надо умножить их модули и перед результатом поставить знак минус: (-a)*b=-ab.

Примеры:

(-1,5)*4=-60;

8* (-1/4)=-2;

(-1/2)*(1/3)=-1/6.

Чтобы умножить два отрицательных числа, надо умножить их модули: (-a)*(-b)=ab.

Примеры:

(-2)*(-7)=14;

(-1,2)*(-5)=6;

(-3/8)*(-2,3)=1,4.

Г) деление

Чтобы разделить одно рациональное число на другое, надо разделить их модули; если знаки делимого и делителя разные, то перед результатом нужно поставить знак минус.

Примеры:

-3,6:3=-1,2;

3,6: (-3)=-1,2; но -3,6: (-3)=1,2.

Д) возведение в степень:

hello_html_m609d7105.gifи т.д.

hello_html_34d7bc5.gif


п раз

Примеры:

hello_html_m513cf4d3.gif

Е) порядок выполнения действий

Если в числовое выражение входит степень, то сначала выполняют возведение в степень, а потом действия в скобках (если есть), умножение или деление по порядку, сложение, вычитание по порядку.

Примеры:

hello_html_471d1efa.gif

2. Правило нахождения дроби от числа


Чтобы найти дробь от числа, надо число умножить на эту дробь.

hello_html_3b0df7a0.gifот а равно а*hello_html_3b0df7a0.gif.

Пример:

hello_html_67063a14.gifот 200 равно 200*hello_html_67063a14.gif=80.


3. Правило нахождения числа по значению дроби


Чтобы найти число по значению дроби, надо значение дроби разделить на эту дробь.

Если hello_html_3b0df7a0.gifот х равно с, то х=с: hello_html_3b0df7a0.gif.

Пример:

Если hello_html_67063a14.gifот числа равно 80, то число равно 80: hello_html_67063a14.gif=200.


4. Условие равенства нулю произведения



Произведение нескольких множителей равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

Примеры:

  1. a*b=0, если а=0 или b=0 или а=b=0.

  2. Решить уравнение: (5-х)*(х +0,3)=0

Решение

5-х=0 или х+3=0

х=5 х=-0,3

Ответ: -0,3; 5.


5. Определение модуля числа


Модулем числа а называется расстояние в единичных отрезках от начала координат до точки с координатой а.




А 0 В

-4 4

4 4

hello_html_m60a1801e.gif.


6. Правило нахождения модуля числа


Модулем неотрицательного числа является само число, модулем отрицательного числа является противоположное ему число.



А (-2) 0 В(3)


2 3


hello_html_563a9c63.gif


а, если число а неотрицательное;

hello_html_30e30e07.gif

-а, если число а отрицательное.


7. Среднее арифметическое

Средним арифметическим нескольких чисел называют частное от деления суммы этих чисел на количество слагаемых.


8. Определение пропорции

Пропорция – это равенство двух отношений a:b=c:d или hello_html_1050ba2a.gif при hello_html_m17cd98f0.gif

a и d – крайние члены пропорции, b и c – средние члены пропорции.


9. Основное свойство пропорции

Произведение крайних членов верной пропорции равно произведению ёё средних членов

Если a:b=c:d, то a* d =c* b.

4:2=8:4, 4*4=2*8.

Если 0,3:1=2,1:7, то 0,3*7=1*2,1.


10. Правило нахождения членов пропорции

Чтобы найти неизвестный крайний член пропорции, достаточно произведение ёё крайних членов разделить на известный крайний. Чтобы найти неизвестный средний член пропорции, достаточно произведение её крайних членов разделить на известный средний.

Примеры:

А) hello_html_m1a25cb96.gif;

Решение:

hello_html_m2f7de817.gif;

hello_html_m2264c9fb.gif

Ответ: 15.

Б) 8:х=4:0,5

Решение

hello_html_2641c669.gif

Ответ: 1.

В) hello_html_m4b49f97c.gif

Решение:

hello_html_m5ff70d49.gif

Ответ: 0,5


11. Процент и процентное отношение


Один процент - это одна сотая часть.

1%=0,01; 100%=1; 50%=0,5; 200%=2.

Процентное отношение - это отношение двух чисел, выраженное в процентах.

А) Пример: отношение 2 к 5 равно hello_html_m170db30.gif

Б) задача. Возле школы растёт 20 деревьев, из них 8 – липы. Сколько процентов этих деревьев составляют липы?

Решение:

Отношение лип ко всем деревьям возле школы равно hello_html_4b465f20.gifили 0,4 или 40%. Таким образом, липы составляют 40% всех деревьев, растущих возле школы.


12. Основные задачи на проценты


1. нахождение процентов от числа;

2. нахождение числа по процентам;

3. нахождение процентного отношения двух чисел.

Примеры задач (их можно решить несколькими способами)

  1. Надо вспахать поле, площадь которого равна 300 га. В первый день трактористы выполнили 40% задания. Сколько гектаров они вспахали в первый день?

Решение (способ подстановки)

300 га – 100%

х га – 40%

hello_html_6af5e5c6.gif

Значит, в первый день вспахали 120 га.

Ответ: 120 га.

  1. В первый день трактористы вспахали 120 га, что составляет 40% всего поля. Найдите площадь всего поля.



Решение

120 га – 40%

х га – 100%

hello_html_m7e11405c.gif

Значит, площадь всего поля 300 га.

Ответ: 300 га.

  1. Надо вспахать поле, площадь которого равна 300 га. В первый день трактористы вспахали 120 га. Сколько процентов всего поля они вспахали в первый день?

Решение

300 га – 100%

120 га – х %

hello_html_3feb2f06.gif

Значит, в первый день они вспахали 40%.

Ответ: 40%.


13. Преобразование простейших выражений


1) Правила раскрытия скобок

А) перед которыми стоит знак «+».

Чтобы раскрыть в выражении скобки, перед которыми стоит знак «+», достаточно опустить скобки и знак перед ними.

Пример:

2а + (x-y+z)=2a+x-y+z

Б) перед которыми стоит знак «-»

Чтобы раскрыть в выражении скобки, перед которыми стоит знак «-», достаточно опустить скобки и знак перед ними, а знаки слагаемых, которые были в скобках, изменить на противоположные: +(а - с)=а-с; -(а - с)=-а+с.

Примеры:

-(3+4-9)=-3-4+9;

4-(х-а+с)=4-х+а-с.

В) с помощью распределительного свойства умножения:

(a+b)-c=a*c+b*c, (a-b)*c=a*c-b*c.

Пример:

5*(х+2y-0,5t)=5x+10y-0,25t.

  1. Приведение подобных слагаемых

А) определение подобных слагаемых

Слагаемые, отличающиеся только числовым множителем, называются подобными.

Примеры:

  1. 5х, -3х, 2х – подобные;

  2. В сумме 9ab-3a+7ab-1 подобными являются 9ab и 7ab.

Б) Правило приведения подобных слагаемых

Чтобы привести подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и полученный результат умножить на их общий буквенный множитель.

Примеры:

  1. 5-7х+11=16-7х;

  2. 3a-2b+7a=10a-2b;

  3. 2 (m+n-3)-(2m+5n-7)=2m+2n-6-2m-5n+7=-3n+1.



II. Уравнения. Повторение


14. Определение уравнения



Уравнение – это равенство, которое содержит неизвестные числа, обозначенные буквами (значения которых надо найти).

Например, 8х-5=10; 5а-2=3+3а.

15. Знак, который делит уравнение на левую и правую части – это знак «=».

Например:

6х-5 = 10


Левая часть правая часть

16. Определение корня уравнения

Корнем (или решением) уравнения называется то значение неизвестной, при котором уравнение превращается в верное равенство.

Например:

Для уравнения 2х+2=8

х=3 – корень уравнения, т.к. 2*3+2=8 = верно, а х=4 – не является корнем, т.к. 2*4+2hello_html_7eeb9f88.gif8.


17. Количество корней уравнения

Уравнение может иметь один корень, два, несколько или бесчисленное множество корней, а может совсем не иметь корней.

Например, уравнение

  1. 2х+7=1 имеет один корень - х=-3;

  2. hello_html_m5a8002a4.gifимеет два корня: hello_html_4ae5f820.gif;

  3. (х-3)(х-2)(х+1)=0 имеет три корня: hello_html_4a861b81.gif;

  4. hello_html_m9dde461.gif- не имеет корней;

  5. hello_html_4151431f.gif- бесконечное множество корней.


18. Что значит решить уравнение


Решить уравнение - означает найти все его корни или убедиться, что их вообще нет.

19. Решение уравнений с помощью правил нахождения количества действий

Правила нахождения:

А) неизвестного слагаемого

Чтобы найти неизвестно слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое.

Пример. Решите уравнение 78+х=100

Решение:

х=100-78

х=22

Ответ: 22.

Б) неизвестного вычитаемого

Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность.

Пример. Решите уравнение 108-х=96.

Решение:

х=108-96;

х=12;

Ответ: 12.

В) неизвестного уменьшаемого

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое.

Пример. Решите уравнение х-34=32.

Решение:

х=32+24;

х=116;

Ответ: 116.

Г) неизвестного множителя

Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель.

Пример. Решите уравнение 5х=15.

х=15:5;

х=3;

Ответ: 3.

Д) неизвестного делимого

Чтобы найти неизвестное делимое, надо делитель умножить на частное.

Пример. Решите уравнение х:21=16.

Решение:

х=16*21;

х=336;

Ответ: 336.

Е) неизвестного делителя

Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное.

Пример. Решите уравнение 576:х=18.

Решение:

х=576:18;

х=32;

Ответ: 32.


III. Решение уравнений


20. Определение равносильных уравнений



Два уравнения называются равносильными, если каждое из них имеет те же корни, что и другое. Равносильными считают и те уравнение, которые не имеют корней.

Например:

А) х+5=х и 2=х=3-х;

Б) х-3=2 и х+7=10.


21. Действия, позволяющие заменить данное уравнение равносильным ему


А) преобразование выражений (см. 13);

Б) Применение основных свойств уравнений (см. 22);


22. Основные свойства уравнений


А) о переносе слагаемых из одной части уравнения в другую

Любое слагаемое можно перенести из одной части уравнения в другую, изменив его знак на противоположный. При этом получим уравнение, равносильное данному.

Пример:

5х=21-2х и 5х+2х=21 имеют одни и те же корни.

Б) об умножении или делении обеих частей уравнения на одно и то же число, не равное нулю.

Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля, то получим уравнение, которое имеет те же корни, что и данное.

Пример. Решить уравнение hello_html_m3d18ba3e.gif.

Решение:

Умножим обе части уравнения на 4:


hello_html_7914024b.gif
2х=-3-х;

2х+х=-3;

3х=-3|:3;

х=-1;

Ответ: -1.


23. В чём заключается процесс решения уравнений


Процесс решения уравнений – это замена данного уравнения более простым уравнением, равносильным данному, которое мы получаем, используя (тождественные) преобразования выражений и свойства уравнений.



IV Определенные правила, используемые при решении задач на составление уравнения



24. Правило 1. Если в задаче несколько неизвестных, то обозначаем буквой х меньшее из них, либо то, с которым сравниваются остальные неизвестные.

1) Пример. Задача 1. В одной корзине в 3 раза меньше яблок, чем в другой, а вместе в двух корзинах 28 кг. Сколько килограммов яблок в каждой корзине?

Решение:

Можно записать сначала условие как в младших классах, а затем обозначить неизвестные.

1 - ? кг, в 3 р. <

28 кг

2 - ? кг



х кг

28 кг.

3х кг


Получаем уравнение:

х+3х=28

Если обозначить наоборот:



1 - ? кг, в 3 р. <

28 кг

2 - ? кг




х:3 кг

28 кг,

х кг


то получаем уравнение hello_html_4490b8e6.gif, которое решить труднее, чем уравнение х+3х=28.

2) Задача 2. В трёх цехах завода 115 рабочих. В 1 цехе в 2 раза больше, чем во втором, а третьем на 5 меньше, чем во 2. Сколько рабочих в каждом цехе?

Решение

1 - ? раб., в 2 р. >


2 – ? раб. 115 раб.

3- ? раб., на 5 <



2х раб.


х раб. 115 раб.


(х-5) раб



25. Правило 2. Если в задаче неизвестно, на сколько одна величина больше, чем другая, то составить уравнение можно, используя три способа.

Например, если число а больше числа b на 5, то это условие можно записать таким образом:

a-b=5 или a-5=b, или b+5=a.

Задача 3. В одном ящике было в 5 раз больше винограда, чем в другом. Сколько килограммов винограда было в каждом ящике, если во втором было на 40 кг меньше, чем в первом?

Правильно записанное короткое условие задачи даёт возможность легко составить уравнение.

Решение

1 - ? кг, в 5 р. > 5х кг

2 - ? кг х кг, на 40 кг <


Получаем уравнение

5х – х =40;

4х=40;

х=10.

Значит, во втором ящике было 10 кг, а в первом 5*10=50 кг.

Ответ: 50 кг, 10 кг.


26. Правило 3. Если в задаче известно, во сколько раз одна величина меньше (больше), чем другая, то уравнение можно составить, используя три способа.

Например, если число а больше числа b в 5 раз, то это условие можно записать так: а=5b или b=5:a, или b=1/5a.

Очевидно, что лучшим является а=5b. Если из двух величин меньшую обозначить х, то большая будет равна .

Задача 4. Я на 6 лет старше своей сестры, а она моложе меня в 4 раза. Сколько лет мне и моей сестре?

Решение

Я – (х+6) лет


Сестра – х лет, в 4 раза <


Получаем уравнение:

4х=х+6;

4х-х=6;

3х=6;

х=2.

Значит, сестре 2 года, тогда мне 2+6=8 лет.

Ответ: 2 года, 8 лет.

27. Правило 4. Во время решения задач на движение нужно, чтобы единицы измерения были в одной системе (км/час, час, км). Следует обратить внимание на единицы измерения времени.

Например, 1 ч 12 мин=hello_html_m2a1795e7.gif




V Типы задач и запись их условий


28. 1) Условие задач на движение удобно изображать с помощью схемы




А)

А В


Б) А В



В)

А В



Г)

А В


2) Тип 1. Задачи на движение по суше

Задача 5. Расстояние между двумя городами автомобиль преодолевает за 1,5 часа, а мотоциклист за 2 часа. Найдите расстояние между городами, если скорость мотоциклиста на 18 км/ч меньше скорости автомобиля.

Решение:

Условие можно записать в таблицу



Транспорт

V, км/ч

t, час

S, км

Автомобиль

х+18

1,5

Мотоцикл

х

2

1,5(х+18)


х>0. Получаем уравнение:

1,5(х+18)=2х;

1,5х+27=2х;

27=2х-1,5х;

27=0,5х;

х=54.

Значит, скорость мотоциклиста 54 км/ч, а расстояние между городами 2*54=108 км.

Ответ: 108 км.

3) Тип 2. Задачи на движение по воде



В этих задачах есть собственная скорость катера (лодки и т.п.), которая должна быть больше скорости течения, и скорость течения. Тогда скорость катера и скорость течения. Тогда скорость катера

hello_html_m40c7408c.gif

hello_html_m11da1e29.gif

hello_html_m13552d73.gif; (в озере стоячая вода)

hello_html_34c1adb7.gif.

Задача 6. Катер прошёл по реке от пристани А до пристани В и вернулся назад. От пристани А до пристани В катер шёл 2 часа. Через 2,5 часа после выхода катера от пристани В ему осталось пройти до пристани А ещё 3 км. Найдите расстояние между пристанями, если скорость течения реки 3 км/час.

Анализируем условие задачи. На путь о пристани А до В катер затратил меньше времени, чем на обратный путь, поэтому от пристани А до пристани В он шёл по течению реки. Запишем условие, обращая внимание на допустимые значения х.

Решение:

hello_html_m2f967b86.gif, hello_html_m289a5d9b.gif, тогда х>3.


Пристань

V, км/ч

t, час

S, км

А В (по теч.)

х+3

2

2(х+3)

В А (против теч.)

х-3

2,5

2,5(х-3), на 3 км <


Получаем уравнение:

2(х+3) - 2,5(х-3)=3.

4) Тип 3. Задачи экономического содержания


Во время решения задач по теме «Цена, количество, стоимость» условие удобно записывать с помощью таблицы, выражая цену и стоимость в гривнях или в копейках.

Задача 7. За 7 тетрадей и 4 альбома для рисования заплптили 5 грн. 41 к. Сколько стоит одна тетрадь и одни альбом, если альбом дороже тетради на 72 к.?

5 грн. 41 к.=541 к.

Решение

Принадлежность

Цена, к.

Количество, шт.

Стоимость, к.

Тетрадь

х

7

7х 541

Альбом

х+72

4

4(х+2)


Получаем уравнение: 7х+ 4(х+2)=541.




5) Тип 4. Задачи геометрического содержания


А) Прямоугольник




b b


a


Периметр: Р=(a+b)*2;

Площадь: S=a*b.


Б) Квадрат


а


Периметр: Р=4а;

Площадь: S=hello_html_4249ccd0.gif.


В) Треугольник



b c



a


Периметр: Р=а+b+c;

Задача 8. Длина прямоугольника в 4 раза больше его ширины, а периметр равен 60 м. Найдите площадь прямоугольника.

Условие можно записать так:





х



Длина а=4х м;

Ширина b=х м;

Периметр Р=60 м;

Площадь S=? hello_html_64c6d3d4.gif;


Решение


Р=2*(а+b);

(4x+x)*2=60;

5x=60;

x=6.

Значит, ширина прямоугольника 6м, а длина 4*6=24 м. Тогда площадь равна 6*24=144hello_html_64c6d3d4.gif.

Ответ: 144hello_html_64c6d3d4.gif.


  1. Тип 5. Задачи «Было - стало» или «на переливание»

Задача 9. На одном складе было в 3 раза больше телевизоров, чем на другом. После того, как из первого склада взяли 20 телевизоров, а на другой привезли 14, на обоих складах стало поровну телевизоров. Сколько телевизоров было на каждом складе сначала?

Решение


Склад

Было

Стало

Первый

3х-20 поровну

второй

х

х+14


Получаем уравнение: 3х-20=х+14.


7) Тип 6. Задачи на нахождение дроби от числа

Задача 10. Велосипедист проехал 5/7 запланированного пути и ещё 40 км, после чего ему осталось проехать 0,75 пути без 118 км. Какова длина всего пути?

Решение

С помощью схемы (см. рис) составим краткое условие задачи.




(5/7х+40)км (0,75х-118)км






х км

1 часть - (5/7х+40)км;

х км

2 часть - (0,75-118)км


Получаем уравнение: (5/7х+40)+ (0,75-118)=х.


8) Тип 7. Задачи на проценты

Задача 11. Кусок сплава меди, цинка и олова содержит 40% меди и 120 г олова. Найдите массу этого куска, если в нём цинка на 50 г меньше, чем меди.

Запишем проценты в виде дроби.

Решение

40%=0,4;

Медь – 0,4х г;

Цинк – (0,4х-50х г

Олово – 120г


Получаем уравнение: 0,4х+(0,4х-50)+120=х.

9) Задачи повышенной сложности.


Задача 12 (сборник Сканави, №13.001). Из четырёх чисел первые три относятся как hello_html_36f5a650.gif, а четвёртое составляет 15% второго. Найдите эти числа, если известно, что второе число больше суммы других на 8 единиц.

Решение

Рассмотрим отношения: hello_html_m95ca8ed.gif. Значит, данные числа относятся как 6:10:1. Имеем:

  1. 10х

  2. х

  3. 10х*0,15

Получаем уравнение: 10х-(6х+х+1,5х)=8.

Задача 13. (Сборник Сканави, 3 13.003). В двух баках 70 л воды. Если из первого бака перелить во второй 12,55 воды, вмещавшейся в нём, то в обоих баках воды станет поровну. Сколько литров воды в каждом баке?

Решение

Обратим внимание, что известна сумма. Обозначив через х количество воды в первом баке, будем иметь в другом баке (70-х)л.

12,5%=0,125=1/8.

Запишем условие в таблицу.




Склад

Было

Стало

Первый

хл

х -hello_html_2717bc37.gif поровну

второй

(70-х) л

(70-х)+ hello_html_2717bc37.gif


Получаем уравнение: х-hello_html_2717bc37.gif= (70-х)+ hello_html_2717bc37.gif.

Задача 14. Цену товара снизили сначала на 20%¸ потом новую цену снизили ещё на 15% и в третий раз снизили цену товара ещё на 10%. На сколько процентов снизили первоначальную цену товара?

Решение

Была цена – х грн.

После первого снижение на 20% - 0,8х грн.

После второго снижения на 15% - 0,8х*0,85 грн.

После третьего снижения на 10% - 0,8х*0,85*0,9 грн.

Последняя цена составляет 0,8*0,85*0,9х=0,6120х=61,2%х.

Цена снизилась на 100% - 61,2%=38,8%.

Ответ: 38,8%.


29. Алгоритм решения уравнений


1. Избавиться от знаменателей

2. Раскрыть скобки

3. Перенести члены с переменными в левую часть уравнения,

а другие – в правую

4. Привести подобные слагаемые


30. Порядок выполнения действий в числовых выражениях



1. Возведение в степень

2. Действия в скобках

3. Умножение, деление по порядку

4. Сложение, вычитание по порядку









IV Контрольные моменты по теме


справки

Контрольные моменты

п/п

Уровни

6 класс. Уравнения. Их свойства. Решение задач с помощью уравнений

14

Понятие уравнения

1

I уровень

15

Знак, который делит уравнение на левую и правую часть

2

16

Понятие корня уравнения

3

18

Понятие: что значит решить уравнение

4

13(1)

Правила раскрытия скобок

5

13(2)

Приведение подобных слагаемых

6

19(а)

Правила нахождения неизвестного слагаемого

7

19(в)

Правила нахождения неизвестного уменьшаемого

8

19(б)

Правила нахождения неизвестного вычитаемого

9

19(г)

Правила нахождения неизвестного множителя

10

19(д)

Правила нахождения неизвестного делимого

11

19(е)

Правила нахождения неизвестного делителя

12

22(а)

Свойство уравнения о переносе слагаемого из одной части уравнения в другую

13

24

Правило обозначения буквой меньшей неизвестной величины в задаче обязательного уровня

14

25,26

Установление связей неизвестной величины с другими величинами в задаче

15

25 - 28

Объяснение к составлению уравнения в задаче

16

25 - 28

Составлено уравнение, соответствующее условию задачи

17

23

Уравнение к задаче решено

18

25 - 28

Сделан вывод после решения уравнения к задаче

19

14

Определение уравнения

1

II уровень

16

Определение корня уравнения

2

15

Знак, который делит уравнение на левую и правую части

3

18

Понятие: что значит решить уравнение

4

20

Понятие равносильных уравнений

5

19(а - е)

Правила нахождения компонентов арифметических действий

6

13(1)

Правила раскрытия скобок

7

13(2)

Приведение подобных слагаемых

8

22(а)

Свойство уравнения о переносе известных слагаемых в одну часть, известных – в другую

9

22(б)

Свойство уравнения о делении или умножении обеих частей уравнения на одно и то же число, отличное от нуля

10

28(1,2,3,4,7)

Запись условия задачи на движение или экономического содержания и др. в виде схемы или таблицы

11

24, 25

Правило обозначения буквой меньшей неизвестной величины

12

25, 26

Установление связей неизвестной величины с другими

13

25 - 28

Объяснение к составлению уравнения

14

25 - 28

Уравнение соответствует условию задачи

15

23

Уравнение к задаче решено

16

25 - 28

После решения уравнения сделан вывод к задаче, соответствующий условию

17

14

Определение уравнения

1












III уровень











16

Определение корня уравнения

2

18

Понятие: что значит решить уравнение

3

20

Определение равносильных уравнений

4

19(а – е)

Правила нахождения компонентов арифметических действий

5

13(1)

Правила раскрытия скобок для уравнений с дробными коэффициентами

6

13(2)

Приведение подобных слагаемых в уравнениях с дробными коэффициентами

7

22(а)

Свойство уравнения о переносе известных слагаемых в одну часть, неизвестных – в другую

8

22(б)

Свойство уравнения о делении или умножении обеих частей уравнения на одно и то же число, отличное от нуля

9

22(б)

Переход от уравнения, содержащего знаменатели к уравнению без знаменателей

10

26 – 28

Рациональное обозначение неизвестной величины буквой в стандартных задачах на движение, нахождение дроби от числа, на проценты, геометрического содержания

11

26 – 28

Достаточное объяснение к составлению уравнения к задаче

12

25 – 28

Составленное уравнение – математическая модель задачи

13

25 - 28

После решения уравнения сделан вывод, соответствующий условию задачи

14

14

Определение уравнения

1



















IV уровень

16

Определение корня уравнения

2

18

Понятие: что значит решить уравнение

3

20

Осмысленное определение равносильных уравнений

4

19 (а- е)

Правила нахождения компонентов арифметических действий

5

13(1)

Правила раскрытия скобок в уравнениях с дробными коэффициентами

6

13(2)

Приведение подобных слагаемых в уравнениях с дробными коэффициентами

7

29

Алгоритм решения уравнений

8

22(а)

Свойство уравнения о рациональном переносе известных слагаемых в одну часть, неизвестных – в другую

9

22(б)

Свойство уравнения о делении или умножении обеих частей уравнения на одно и то же число, отличное от нуля

10

22(б)

Переход от уравнения, содержащего знаменатели к уравнению без знаменателей

11

19, 21,22, 23

Решение уравнения вида a(bx+c)+d=k

12

5, 6

Решение уравнений, содержащих знаки модуля

13

4

Умение объяснить, почему уравнения hello_html_3b92a231.gif, ох=3 не имеют корней

14

25 – 28

Рациональное обозначение неизвестной величины буквой в задачах повышенной сложности всех типов

15

25 – 28

Аргументированное объяснение к составлению уравнения к задаче

16

25 – 28

Составленное уравнение – модель задачи

17

25 – 28

После решения уравнения сделан вывод, соответсвующий условию задачи

18


Выполнена проверка к задаче по её условию

19

28(9)

Умение решать нестандартные задачи

20

1

Действия с рациональными числами

1






Повто-

рение

30

Порядок выполнения действий в числовых выражениях

2

4

Условие равенства нулю произведения

3

5,6

Определение и правило нахождение модуля числа

4

7

Среднее геометрическое

5

8, 9, 10

Пропорция. Основное свойство пропорции. Правила нахождения членов пропорции

6

11, 12

Проценты и процентное отношение. Решение задач на проценты

7

13(1)

Правила раскрытия скобок

8

13 (2)

Определение и приведение подобных слагаемых

9





















V Поэлементный анализ контрольной работы


6 класс, ТРК «Уравнения, свойства уравнений. Решение задач с помощью уравнений».

Левая сторона, вариант 3.


задания

Уровни

Контрольные моменты

справки

Кол-во баллов

Задание 1

I

Сложение рациональных чисел

1(а)


Деление рациональных чисел

1(г)


II

Порядок действий

1(е)


Деление рациональных чисел

1(г)


Сложение рациональных чисел

1(а)


Умножение рациональных чисел

1(в)


III

Порядок действий

1(е)


Сложение рациональных чисел

1(а)


Деление рациональных чисел

1(г)


Умножение рациональных чисел

1(в)


IV

Порядок действий

1(е)


Сложение рациональных чисел

1(а)


Умножение рациональных чисел

1(в)


Деление рациональных чисел

1(е)


Возведение в степень рациональных чисел

1(д)


Лучший результат


Задание 2













































I

Правило переноса слагаемых из одной части уравнения в другую

22(а)


Правило приведения подобных слагаемых

2(б)


Правило нахождения неизвестного множителя

19(г)


Основное свойство уравнения: обе части можно разделить на одно и то же число hello_html_7eeb9f88.gif0.

22(б)


Правила раскрытия скобок: распределительное свойство умножения относительно сложения

13(в)


Правила действий с рациональными числами

1


II

Правило переноса слагаемых из одной части уравнения в другую

22(а)


Правило приведения подобных слагаемых

2(б)


Правило нахождения неизвестного множителя

19(г)


Основное свойство уравнения: обе части можно разделить на одно и то же число hello_html_7eeb9f88.gif0.

22(б)


Правило раскрытия скобок: перед скобками стоит знак «-»

13 (1б)


Правила действий с рациональными числами

1


III

Правила раскрытия скобок (распределительное свойство умножения)

13(1в)


Определение подобных слагаемых

13(2а)


Правило приведения подобных слагаемых

13(2б)


Основное свойство уравнения: о переносе из одной части в другую

22(а)


Правило нахождения неизвестного множителя

19(г)


Основное свойство уравнения: о делении обеих частей уравнения на одно и то же число

22(б)


Условие равенства нулю произведения

4


Правила действий с рациональными числами

1


IV

Правила раскрытия скобок (распределительное свойство уравнения)

13(1в)


Правила действий с рациональными числами

1


Определение подобных слагаемых

13(2а)


Правило приведения подобных слагаемых

13(2б)


Основное свойство уравнения: о переносе из одной части в другую

22(а)


Правило нахождения неизвестного множителя

19(г)


Основное свойство уравнения: о делении обеих частей уравнения на одно и то же число

22(б)


Правило нахождения модуля числа

6


Лучший результат



Задание 4

I

Неудачное обозначение неизвестной величины

24


Неверно составлено уравнение к задачам

24(1)


Нет объяснения к составлению уравнения



Неверно решено уравнение

22


Нет перевода модели решения



II

Неудачное обозначение неизвестной величины

26


Нет объяснения к составлению уравнения



Неверно составлено уравнение

26


Неверно решено уравнение

22


Нет перевода модели (уравнения) на язык задачи



III

Неверно выражено значение одной величины через другую

28(4)


Ошибки в логических рассуждениях



Нет объяснения к составлению уравнения



Неверно составлено уравнение

28(4)


Неверно решено уравнение

22


Нет перевода модели (уравнения) на язык задачи



IV

Неверно выражено значение одной величины через другую

28(7)


Ошибки в логических рассуждениях



Нет объяснения к составлению уравнения



Неверно составлено уравнение

28(7)


Неверно решено уравнение



Нет перевода модели (уравнения) на язык задачи

22


Неверно найдена дробь от числа

2


Лучший результат

Сумма баллов




















VI Критерии оценивания учащихся 6 класса при изучении темы «Уравнения, свойства уравнений. Решение задач с помощью уравнений»


Уровни

учебных достижений

учащихся

Баллы

Критерии оценивания учебных достижений учащихся

І. Начальный

1

Распознаёт уравнение, корень и не корень уравнения. Называет левую и правую часть. С помощью учителя находит корень простейшего уравнения, используя правила нахождения компонентов. Выделяет неизвестные в задаче. Читает и записывает числа, переписывает изображение условия задачи

2

Распознаёт уравнение. Называет левую и правую части. Поясняет понятие корня уравнения. Решает некоторые простейшие уравнения, используя правила нахождения компонентов арифметических действий. Выделяет неизвестные в простейшей задаче. С помощью учителя устанавливает зависимости между неизвестными и известными величинами

3

Поясняет понятие корня уравнения. Составляет уравнение с его основными свойствами. Решает элементарные уравнения с помощью использования правил нахождения компонентов арифметических действий. С помощью учителя использует основные свойства для решения уравнений. Выделяет неизвестные в задаче и их связь с другими величинами, с помощью учителя составляет уравнение для несложных задач












ІІ. Средний

4

Воспроизводит определение уравнения, формулирует определение корня уравнения; знает, что значит решить уравнение; поясняет понятие равносильных уравнений, использует по образцу применение свойств уравнений для решения уравнений обязательного уровня; знает, как проверить, является ли данное число корнем уравнения. Выделяет неизвестные в задаче, устанавливает их связь с другими величинами. Составляет с помощью учителя уравнение к несложной задаче и решает его

5

Иллюстрирует определение уравнения, корня уравнения, знает, что значит решить уравнение, объясняет определение равносильных уравнений и свойств уравнений примерами из объяснения учителя или учебника;

Выполняет преобразования выражений, переносит неизвестные из одной части уравнения в другую а частичными пояснениями; выделяет неизвестные в задаче, в простейших случаях устанавливает связь с другими величинами, составляет уравнение к задаче обязательного уровня и решает его. Делает вывод.

6

Иллюстрирует определение уравнения, корня уравнения, знает, что значит решить уравнение; формулирует правила нахождения компонентов арифметических действий; иллюстрирует свойства уравнений собственными примерами; выполняет преобразования несложных выражений. Переносит слагаемые из одной части уравнения в другую, меняя при этом знаки на противоположные; записывает условие и составляет схемы к задачам обязательного уровня, составляет к ним уравнения с достаточным объяснением, делает выводы после решения уравнения.











ІІІ. Достаточный

7

Знает определение уравнения, корня уравнения, правила нахождения компонентов, свойства уравнений и применяет их для решения уравнений в знакомых ситуациях; знает определение равносильных уравнений; самостоятельно исправляет указанные ему ошибки. Умеет выделить неизвестные в задаче, рационально обозначить одно из них буквой, установить зависимости между величинами, которые даны в задаче, составляет соответствующее уравнение и решает его, делает выводы в задачах, предусмотренных программой.

8

Владеет определённым программой учебным материалом: знает определение корня уравнения, равносильных уравнений, что значит решить уравнение; самостоятельно решает уравнения в знакомых ему ситуациях с достаточным объяснением: раскрывает скобки, приводит подобные слагаемые, переносит слагаемые из одной части уравнения в другую, поменяв при этом знак на противоположный, переходит от уравнения, которое содержит знаменатель, к уравнению без знаменателя, решает уравнения вида ax=b, исправляет допущенные ошибки, аргументирует математические утверждения. Задачи на составление уравнения решает с достаточным объяснением, делает выводы в соответствии с условием задачи.

9

Свободно владеет теорией уравнений. Определённой программой; самостоятельно решает уравнения, аргументируя процесс их решения – переход от одного уравнения к другому, который обусловлен применением преобразований выражений и свойств уравнений; исправляет допущенные ошибки; решает уравнения с дробными коэффициентами; умеет рационально обозначить неизвестную величину в задаче буквой, обосновать составление уравнения, используя установленные зависимости между величинами в задачах; решить уравнение и сделать вывод, соответствующий условию задачи.
















IV. Высокий

10

Знания, умения и навыки ученика полностью соответствуют требованиям программы – учащийся осмысливает новые для него факты, идеи: равносильные уравнения, свойства уравнений, решает уравнения вида a(bx+c)+d=k разными способами, используя правила нахождения компонентов арифметических действий или свойства уравнений, определяет рациональный способ; под руководством учителя находит источники информации и самостоятельно использует их; умеет объяснить, почему уравнения: hello_html_c13ac6d.gif не имеют корней; решает уравнения с дробными коэффициентами, используя свойства уравнений. Решает задачи на движение по суше и воде, на нахождение дроби от числа, на проценты, «было - стало». Задачи геометрического, экономического содержания и др.; правильно записывает условие задачи. Рационально обозначает неизвестную величину, составляет уравнение с полным объяснением, делает соответствующий задаче вывод после решения уравнения, проверяет правильность решения по смыслу задачи.

11

Свободно и правильно высказывает математические соображения при выборе рационального способа решения уравнений, убедительно аргументирует составление алгоритма решения уравнения, используя понятие равносильности уравнений, свойства уравнений и следствия из них; самостоятельно находит источники информации и работает с ними; использует приобретённые знания, умения, навыки в незнакомых для него ситуациях, умеет решать уравнения с дробными коэффициентами, переносить рационально слагаемые из одной части уравнения в другую, переходить к уравнению, не содержащему знаменатели. Правильно записывает условие задачи на все типы, рационально обозначает неизвестную величину, всесторонне обосновывает составление уравнения к задаче, решает его, делает выводы и выполняет проверку по условию задачи.

12

Проявляет вариативность мышления и рациональность в выборе способов решения уравнений и задач на составление уравнений; умеет обобщать и систематизировать приобретённые знания для составления алгоритма решения уравнения или задачи наиболее рациональным способом, способен решать нестандартные уравнения и задачи из сборника М. И. Сканави (раздел 13).



















VII Приложение (презентация)




































































































































































































































VIII Список используемой литературы


  1. Гавриленко І. М., Скідін О. Л. Соціологія освіти. - Запоріжжя, 1998 р.

  2. Єрмаков І.Г., Пузаков Д.О.Проектне бачення компетентнісноспрямованої 12-річної школи. - Запоріжжя, 2005 р.

  3. Колесенко А. Энциклопедия педагогических технологий. Материалы специалистов образовательных учреждений. – Санкт-Петербург: КАРО, 2002г.

  4. Маркова І. С. Інтерактивні технології на уроках математики. – Х: Основа, 2008 р.

  5. Образовательная система «Школа 2010». Педагогика здравого смысла. – М.: Баласс, 2003г.

  6. Поташник М.М., Ямбург Е.А. Управление качеством образования. – М.: Педагогическое общество России, 2000г.

  7. Фендрик И. Г. Образовательное пространство субъекта и его проектирование. – М.: 2003г.

  8. Шаповалова Л.В. Математика 6 клас. Дорівнева методика викладання. – Х.: Веста, вид-во «Ранок», 2006р.



Автор
Дата добавления 01.03.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров158
Номер материала ДВ-498371
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх