Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Конспекты / Методическая разработка по теме «Вектор» в 10 классе (геометрия)
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Методическая разработка по теме «Вектор» в 10 классе (геометрия)

библиотека
материалов






Методическая разработка


по теме «Вектор»


в 10 классе (геометрия)


Повторение














Из опыта работы

учителя СШ №24

Косоноговой Р.М.







Харцызск

2014




Цель: Сформулировать умения и навыки использования теории векторов к решению задач



Знать: Определение вектора, формулировку скалярного произведения векторов, координаты векторов



Уметь: Решать задачи, используя координатный и координатно-векторный методы



Нормировать: выработать алгоритм решения задач на координатной плоскости



Ценить: стремление решать задачи нетрадиционным способами;

умение рационально использовать рабочее время;

умение преодолевать трудности
























I у-м




Геометрия- это интуиция ….

любой человек в здравом уме не сомневаетсяв том, чтогеометрические утверждения должны представлять практическое применение в окружающей действительности: в землемерии, архитектуре, в машиностроительном искусстве.

Г.гельмгольц



Структурно – часовая модель

Этапы

У-М

С-П

О-С

А-П

С-О

К-Р

Кол-во модулей

1

2

3

3

3

3



















I У-М

Цель: Формирование внутренней мотивации содержания.

Из истории векторов:

Под векторной величиной или вектором понимают величину, обладающую направлением, например силой скорость, ускорение.

Интерес к векторами векторному исчислению появился в XIX веке в связи с потребностями математики и физики.

Однако, истоки исчисления с направленными отрезками возникли в далеком прошлом. В Древней Греции Пифагорийцы, открыв иррациональные числа, которые нельзявыразить дробями, не решились ввести более широкое толкование числа. Математики того времени пытались свести вопросы арифметики и алгебры к решению задач геометрическим путем. Таким образом было положено начало геометрической алгебре.

В труде Эвкалида «начала» сложение и вычитание сводилось к сложению и вычитанию отрезков, а умножение – к построению прямоугольников на отрезках, соответствующих по длине множителям.

В 1587г.был опубликован на голландском языке трактат фламандского ученого С.Стевина «Начала статистики». В нем автор, рассматривая сложения сил, действующих под углом 90 ˚, необходимо воспользоваться параллелограммом сил. При этом для обозначения сил ввели стрелки. Так впервые ввели сложение векторов., перпендикулярных друг другу. Позже французский математик Луи Пуансо (1777-1859) в книге «элементы статики»1803г. Разработал теорию векторов, которой пользуются при рассмотрении сил, действующих в разных направлениях.

Термин «вектор» происходит от латинского слова vektor, что означает несущий или ведущий, влекущий., переносящий.

Долгое время вектор рассматривали как направленный отрезок, но с разработкой теории преобразований вектор рассматривают как параллельный перенос.

В современной математике, раздел, изучающий действия с векторами, называют векторной алгеброй.











С-П этап

Цель: развитие поисковой познавательной активности и самостоятельности

учащихся


. В математических науках есть очень удачные изобретения, способное приобрести большую пользу, удовлетворяя любовь к знаниям, облегчая все ремесло и сокращая труд человека.

Р.Декарт



































Векторы

I Повторение


  1. Дать определение вектора.

Вектором называют направленный отрезок(определены начало и конец).


hello_html_m381491b3.gifB hello_html_m21000b25.gif

hello_html_22e7f5a8.gif


A

  1. Какие векторы называются противоположными

Два вектора, имеющие одинаковые длины и противоположные направления

B B

hello_html_219b62d.gif

hello_html_40dd80c5.gif

A A


  1. Что называется модулем вектора

Модулем вектора называется его длина

hello_html_m5f685add.gif

  1. Какие векторы называются коллинеарными

Векторы, лежащие на одной или

параллельных прямых

hello_html_m48a0102b.gifB D E

A M P

Khello_html_m3c62c67f.gifhello_html_m5c0bfd16.gif

C


5.Как можно сложить два вектора

Правило треугольника


hello_html_m6257c409.gif


hello_html_35cf20d8.gifhello_html_m720df1b6.gifhello_html_35cf20d8.gifhello_html_m720df1b6.gif


hello_html_45ea60c1.gif

hello_html_177eaf11.gif



Правило параллелограмма


hello_html_5bb07f62.gif

hello_html_35cf20d8.gifhello_html_m720df1b6.gifhello_html_35cf20d8.gifhello_html_6666c12c.gif



hello_html_m3aae7c4d.gif



6. Как найти разность двух векторов hello_html_35cf20d8.gif и hello_html_m720df1b6.gif?


Правило треугольника

hello_html_7fb25912.gifhello_html_45ea60c1.gif

hello_html_35cf20d8.gifhello_html_m720df1b6.gifhello_html_35cf20d8.gif

hello_html_m720df1b6.gif


hello_html_5eca864.gif


Правило параллелограмма


hello_html_m6c781351.gif

hello_html_45ea60c1.gifhello_html_35cf20d8.gif



hello_html_4d05506a.gif

hello_html_5eca864.gif

















7. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам.


Любой вектор можно

разложить по двум не

коллинеарным векторам

hello_html_mfdc5350.gif

hello_html_m6a0d073f.gif

hello_html_ac9ae15.gif

где hello_html_m586996bf.gif- ед. пара чисел




hello_html_3d16213e.gif

hello_html_35cf20d8.gif

hello_html_m720df1b6.gif



hello_html_m70e5809.gif

hello_html_45ea60c1.gif

hello_html_m720df1b6.gif


hello_html_35cf20d8.gifhello_html_m1f3706cf.gif






















О – С Этап


Цель: проверить первичный уровень усвоения и понимания изученного

материала.


«… принципы геометрии являются

всей математики»

О. Хайям






































II Применение векторов к решению задач.


Задача 1. Точка hello_html_m2baffbbe.gif– середина отрезкаhello_html_64d3572b.gif, а hello_html_7bb58065.gif– произвольная точка плоскости. Доказать, что hello_html_73c2239.gif

Решение.


hello_html_m63aa4fa9.gif

hello_html_9a6a4b3.gif

hello_html_m4738647d.gif


hello_html_mcd9c74f.gif

hello_html_7bb58065.gif

  1. По правилу треугольника hello_html_334b0a29.gif; hello_html_m26a3e721.gif

  2. hello_html_m4fb85746.gif, т.к. точка hello_html_m2baffbbe.gif- середина отрезка hello_html_64d3572b.gif, то hello_html_42e7a6ec.gif

  3. hello_html_5fa0adc6.gifhello_html_73c2239.gif


Задача 2. Доказать векторную формулу средней линии четырехугольника.

hello_html_m63aa4fa9.gifhello_html_m18068b.gifhello_html_m2baffbbe.gif

hello_html_3681e643.gif




hello_html_718f0f76.gifhello_html_465b1232.gifhello_html_4f8b821b.gif


hello_html_5e36c94c.gifhello_html_465b1232.gifи hello_html_m18068b.gifсередины сторон hello_html_m1d53b7ff.gif и hello_html_1c9f61bf.gif

Решение.

1. hello_html_m4c5698a2.gif

hello_html_m22327b40.gif

2. hello_html_m260d7b3d.gif и hello_html_m6bcf1c90.gif

3. hello_html_2e3a58cb.gif

hello_html_m46104b9.gif

hello_html_3e22e5e.gif


Задача 3. Доказать, что прямая проведенная через середины оснований трапеции проходит через точку пересечения продолжений боковых сторон.




Решение.


hello_html_7bb58065.gif

hello_html_m6084770a.gif

hello_html_m63aa4fa9.gifhello_html_m2baffbbe.gif

hello_html_465b1232.gif



hello_html_718f0f76.gifhello_html_m18068b.gifhello_html_4f8b821b.gif


1. hello_html_m5e0ffc67.gif - данная трапеция hello_html_465b1232.gifи hello_html_m18068b.gifсередины сторон hello_html_1c9f61bf.gif и hello_html_m1d53b7ff.gif. hello_html_7bb58065.gif - точка пересечения прямых hello_html_64d3572b.gifи hello_html_189389a1.gif.

2. hello_html_m3b64955e.gif, тогда hello_html_m35815954.gif

3. hello_html_9391ff.gif, hello_html_m57b9c8e7.gif, поэтому hello_html_1d8eb269.gif; hello_html_2c6611f0.gif

4. т.к. hello_html_465b1232.gif- середина hello_html_1c9f61bf.gif, то hello_html_m38e9d5dd.gif, аналогично hello_html_m21c815f7.gif

5. hello_html_m2dab663d.gif; hello_html_m1b71eddb.gif, т.е. векторы hello_html_m77f31015.gif и hello_html_2af29384.gif коллинеарны, т.е. точка hello_html_7bb58065.gif лежит на прямой hello_html_2c692f4a.gif


























III Применение векторов к доказательству теорем


Теорема 1. Средняя линия треугольника параллельна его третьей стороне и равна половине ее.


Доказательство.

hello_html_m63aa4fa9.gif

hello_html_7d254e81.gif

hello_html_45ea60c1.gifhello_html_465b1232.gifhello_html_m18068b.gifhello_html_35cf20d8.gif


hello_html_718f0f76.gif hello_html_m720df1b6.gifhello_html_m2baffbbe.gif


1. hello_html_m3f8872ca.gif; hello_html_7b328bb.gif; hello_html_5fda2399.gif

2. hello_html_m203015c0.gif

3. Пусть hello_html_465b1232.gif и hello_html_m18068b.gif- середины сторон hello_html_64d3572b.gif, и hello_html_1c9f61bf.gif

4. hello_html_m30cd4a79.gif;

hello_html_m5cb5ac98.gif; hello_html_5ed67cc8.gif

5. hello_html_m26a32883.gif , тогда hello_html_66cc51a.gif, т.е. hello_html_m74db04a3.gif


Теорема 2. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумм.


Доказательство.

hello_html_m63aa4fa9.gif hello_html_m2baffbbe.gif

hello_html_m68ecd55.gif

hello_html_465b1232.gifhello_html_m18068b.gif


hello_html_718f0f76.gifhello_html_4f8b821b.gif


1. hello_html_2c692f4a.gif- средняя линия

2. hello_html_f6e47c6.gif

3. hello_html_492cd5e1.gif

4. hello_html_m2a47e7d0.gif и hello_html_m308a1eef.gif, тогда hello_html_3a18eb92.gif; hello_html_5dd7a3bf.gif

5. hello_html_29cbd95.gif

hello_html_36113d9c.gif, тогда hello_html_m669e666f.gif






IV Самостоятельно решить.


1. Доказать, что если hello_html_465b1232.gif- точка пересечения медиан треугольника hello_html_m26883eb9.gif

hello_html_7bb58065.gif- произвольная точка пространства, то выполняется равенство

hello_html_m11244c75.gif

Замечание. Использовать свойство медиан треугольника и формулы разности и суммы векторов.


2. Дан правильный шестиугольник hello_html_2601396d.gif. Доказать, что hello_html_591e7596.gif.

Замечание. Использовать равенство векторов и на рисунке и правило сложения.

































А – П Этап.

Цель: формирование умений навыков, норм деятельности, применение знаний в нестандартных ситуациях





Геометрия – это искусство правильно измерять.

П. Раме.





































Пусть вектор hello_html_35cf20d8.gif имеет началом точку hello_html_m72581d92.gif, а концом точку hello_html_9a83cae.gif, тогда hello_html_m79f48fa7.gif и вектор hello_html_6ddf4ce5.gif имеет координаты hello_html_m46ec59d6.gif

При этом:

  1. Равные векторы имеют равные координаты

  2. Если координаты двух векторов равны, то эти векторы равны

  3. Нулевые вектора имеют нулевые координаты

  4. Модуль вектора hello_html_m3e921528.gif

  5. Если hello_html_m2fa79316.gifи hello_html_7bb58065.gif- середина отрезка hello_html_64d3572b.gif, то hello_html_91f2773.gif


VII Решение задач с использованием координат вектора.


Задача 1.

Докажите, что середина гипотенузы прямоугольного треугольника равноудалена от всех его вершин.


Решение.



hello_html_32787bab.gifhello_html_m11fb3721.gif


hello_html_4ab3823c.gif


hello_html_465b1232.gif



hello_html_4ad80bd2.gifhello_html_m5c9029af.gif hello_html_m5547f17b.gif


  1. Пусть дан прямоугольный треугольник hello_html_m26883eb9.gif с прямым углом hello_html_m2baffbbe.gif. hello_html_465b1232.gif - середина hello_html_64d3572b.gif

  2. Введем прямоугольную систему координат так, чтобы hello_html_1945c10e.gif

  3. Пусть hello_html_m61e7b79b.gif и hello_html_4db62e74.gif

  4. hello_html_71a8d460.gif

Следовательно, hello_html_m4ce67eeb.gif






Задача 2.


Докажите, что сумма квадратов всех сторон параллелограмма равна сумме квадратов всех его диагоналей.


Решение.


hello_html_79208ec6.gifhello_html_m11fb3721.gif



hello_html_151cbd74.gifhello_html_3729f090.gif




hello_html_7bb58065.gifhello_html_m5547f17b.gif

hello_html_m70831dd5.gifhello_html_47e55d8f.gif


  1. Введем прямоугольную систему координат так, чтобы hello_html_m5a8b5c17.gif

  2. hello_html_m8613085.gifhello_html_3289a6d2.gifhello_html_6922f7dc.gifhello_html_76f4ffd7.gifhello_html_m3f36237e.gif

  3. hello_html_m6f2085a7.gif

  4. hello_html_42b453a3.gif



VIII Самостоятельно решить


1. Точки hello_html_718f0f76.gif и hello_html_m63aa4fa9.gifимеют координаты hello_html_m2588d923.gif

Найти координаты и модуль вектора hello_html_6ddf4ce5.gif

Ответ: hello_html_235859c1.gif.


2. Найти координаты вершины hello_html_4f8b821b.gif параллелограмма hello_html_m5e0ffc67.gif, если заданы координаты трех его вершин hello_html_1c761b55.gif

Ответ: hello_html_m527a432f.gif






Дополнительно.

Используя формулу уравнения окружности в прямоугольной системе координат hello_html_m480f7e84.gif, где hello_html_4a0b9a29.gif - центр окружности, hello_html_228444b7.gif - координаты произвольной точки, решить задачу:

Найти уравнение окружности с центром в точке hello_html_m48255ff6.gif, проходящей через начало координат.


Ответ: hello_html_5f1ae9e5.gif





































С – О Этап


Цель: нормирование целостной системы личностных знаний.








Геометрия является познанием всего существующего.

Платон


































Скалярным произведением двух векторов hello_html_23c771dd.gif и hello_html_52eed30b.gif, называется число hello_html_m4fa15e2d.gif, т.е. hello_html_4a7b55a6.gif

Если hello_html_7eccf989.gif

Скалярный квадрат вектора, равен квадрату модуля этого вектора hello_html_m50354749.gif


Теорема. Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно произведению их модулей на косинус угла между ними.

hello_html_23ba24c3.gif.

Если ненулевые векторы взаимно перпендикулярно, то их скалярное произведение равно нулю.


X Решение задач с использованием скалярного произведения векторов.


Задача 1.

Найти косинус угла между медианами равнобедренного прямоугольного треугольника, проведенными к его катетам.


Решение.

hello_html_m3f19399c.gifhello_html_m11fb3721.gif




hello_html_718f0f76.gif


hello_html_777fe0b1.gif

hello_html_m2baffbbe.gif

hello_html_7bb58065.gifhello_html_3eb40b6c.gifhello_html_m63aa4fa9.gif hello_html_m5547f17b.gif


  1. Направим оси hello_html_m689982a1.gif и hello_html_51dceb89.gif вдоль катетов треугольника и обозначим длины его катетов через hello_html_m1404d0ab.gif

  2. hello_html_408da7b4.gif

  3. Координаты середин катетов hello_html_mdd94363.gif

  4. hello_html_1f267582.gif

  5. hello_html_16c6b17d.gif

т.к. искомый угол является углом между прямыми и не может быть тупым.

Ответ: hello_html_m428174fb.gif


Задача 2.

Даны вершины трапеции hello_html_m6f33440f.gif Найти величину угла между большей диагональю и меньшей стороной.


Решение.


hello_html_m63aa4fa9.gifhello_html_m2baffbbe.gif

hello_html_23889b77.gifhello_html_2e28ff68.gif


hello_html_718f0f76.gifhello_html_4f8b821b.gif

1. hello_html_m49d93727.gif

2. hello_html_7c354d27.gif

hello_html_5d9d855e.gif- большая диагональ

3. hello_html_a440694.gifhello_html_m5ae23c51.gif

hello_html_70b37c3d.gifhello_html_3bd081fd.gif

4. hello_html_1c9f61bf.gif - меньшая сторона. Требуется найти угол hello_html_17283c87.gif

Пусть hello_html_m1d26001b.gif, тогда

hello_html_2501eb9d.gifhello_html_m6ac24f9d.gif

hello_html_4bcfce50.gif

hello_html_m5cf01c8c.gif


Задача 3.

Найти угол лежащий против основания равнобедренного треугольника, если медианы, проведенные к боковым сторонам, взаимно перпендикулярны.


Решение.

hello_html_m2baffbbe.gif

hello_html_m16ae4595.gif

hello_html_m720df1b6.gifhello_html_35cf20d8.gif

hello_html_119c178e.gifhello_html_m3b95751.gif



hello_html_718f0f76.gifhello_html_m63aa4fa9.gif


  1. Пусть hello_html_m7a2a8e32.gif равнобедренный с основанием hello_html_64d3572b.gif. hello_html_m6f73c499.gif и hello_html_29915df6.gif - медианы

  2. Пусть hello_html_m4b8044f0.gif

  3. hello_html_m2317876d.gif

  4. hello_html_m697e7e8b.gif

т.к. hello_html_m280879df.gif, то hello_html_m3054bcd5.gif

hello_html_3f1d96bb.gif т.к. hello_html_7bc61389.gif

hello_html_m540e64ca.gifhello_html_134aa7a7.gif, тогда

hello_html_63c0ec.gifhello_html_m3041f35b.gif

hello_html_m374fdcb2.gif

Ответ: hello_html_70f06fd8.gif







































К – Р Этап.


Цель: Развитие творческой рефлексии.






То, что не может геометрия, не можем и мы.

Б. Паскаль











































XI Самостоятельно решить


1. Являются ли треугольник hello_html_m26883eb9.gifпрямоугольным, если hello_html_38d01dbc.gif

Ответ: hello_html_m7d6a94a0.gif


2. Найти hello_html_m5547f17b.gif, при котором два вектора hello_html_m44c51391.gif и hello_html_m4bbbcc66.gif имеет одинаковую длину.


Ответ: hello_html_6733f038.gif, hello_html_m584a3eb8.gif


Примечание.

а) Использовать формулу длины вектора

б) Повторить решение тригонометрических уравнений вида hello_html_m712e5fb2.gif


3. Доказать, что в ромбе диагонали взаимно перпендикулярны.


Замечание.

  1. Ввести базисные векторы, лежащие на одной сторонах параллелограмма.

  2. Использовать свойство скалярного произведения двух векторов.



XII Контрольная работа по теме «Вектор на плоскости».


I – В.

1. Докажите, что если hello_html_497f664d.gif - медиана треугольника hello_html_m26883eb9.gif, то hello_html_m98118a4.gif


2. Доказать, что медианы равнобедренного треугольника проведенные к боковым сторонам равны между собой.


II – В.

  1. Вычислить hello_html_m1f2de7e7.gif, где hello_html_6f95504e.gif- угол между векторами hello_html_m4a2a1e5b.gif



  1. На координатной плоскости заданы точки hello_html_m59b5e1c2.gif. Найти площадь треугольника hello_html_m26883eb9.gif





Решение.

В - 1


1.

hello_html_m63aa4fa9.gif

hello_html_m249a45aa.gif

hello_html_465b1232.gif



hello_html_718f0f76.gifhello_html_m2baffbbe.gif


1. hello_html_465b1232.gif - середина отрезка hello_html_1c9f61bf.gif

2. hello_html_m14f9ca1f.gif


3. hello_html_1949777e.gif





2.


hello_html_m63aa4fa9.gif

hello_html_705b3c6f.gif



hello_html_m18068b.gifhello_html_465b1232.gif



hello_html_718f0f76.gif hello_html_m2baffbbe.gif


1. hello_html_m6617661b.gif

2. hello_html_170ce2f8.gif и hello_html_1178ce74.gif, значит hello_html_m31c9e037.gif

hello_html_79b71402.gif

hello_html_m213c0c16.gifЗначит hello_html_m23c175ee.gif, т.е. hello_html_m6a0e9795.gif





Решение

В – 2


1. hello_html_1c160a10.gif,

т.к. по определению угла между векторами hello_html_m67040640.gif, то hello_html_72d8fee5.gif

hello_html_m71d817ec.gif



2.

hello_html_m63aa4fa9.gif

hello_html_258666f6.gif




hello_html_718f0f76.gif hello_html_m2baffbbe.gif


  1. Пусть hello_html_3faa6296.gif- искомая площадь

  2. hello_html_m61e1b07e.gif

  3. hello_html_5c93db89.gif

  4. hello_html_222f2dda.gif

  5. hello_html_m19f42c25.gif

  6. hello_html_6deb5e19.gif

Ответ: hello_html_m6ff10477.gif











Литература


  1. Г.В. Апостолова «Геометрия 8» Киев «Генеза» 2008.

  2. Г.В. Апостолова «Геометрия 9» Киев «Генеза» 2009.

  3. А.В. Погорелов «Геометрия 7 – 11 » Москва «Просвещение» 1989.

  4. А.С. Атанасян «Геометрия 7 – 9 » Москва «Просвещение» 1990.


Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Краткое описание документа:

Методическая разработка по теме "Вектор" предназначена для повторения материала в 10 классе. Урок разработан в системе уроков модульно-развивающего обучения. В конспекте материал разбит на модули, каждый из которых является завершенным этапом проведения урока. На каждом модуле представлена четко сформулированная цель и поставлены задачи для реализации данной учебной темы. Для проведения урока применяются различные формы и методы, котрые дают возможность развитию поисковой познавательной активности и самостоятельности учащимся.

Автор
Дата добавления 07.06.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров409
Номер материала 300669
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх