Методическая разработка по теме "Задачи на смеси и сплавы"

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

« школа № 60» г. Нижний Новгород

Научно – методическая разработка

Организация работы с обучающимися

по решению задач по теме

«Смеси и сплавы»

Составитель: Петрушкина Л.С.,

учитель математики

Содержание

Введение………………………………………………………………… 3 стр.

Различные методы и приёмы решения задач………………..……….... 6 стр.

Типы задач.

Задачи на понижение концентрации………………….………….…… 13 стр.

Задачи на высушивание………………………………………...……….16 стр.

Задачи на смешивание растворов разных концентраций……….…… 20 стр.

Задачи на переливание…………………………….…………………… 26 стр.

Задачи на повышение концентрации…………………………..……… 28 стр.

Практикум……………………………………………………………….. 31 стр.

Заключение………………………………………………………………. 35 стр.

Литература……………………………………………………..………… 36 стр.

Введение

Введение новых образовательных стандартов требует не только знаний у учащихся, но и умения их применять. Это нашло отражение в увеличении в КИМах количества задач практической направленности. В связи с этим появилась необходимость в усилении практической направленности обучения, включая в работу с учащимися соответствующие задачи на проценты, пропорции, графики реальных зависимостей, текстовые задачи с построением математических моделей реальных ситуаций, задачи на смеси и сплавы.

Особое внимание хочется уделить последнему типу задач. Задачи на смеси и сплавы часто включают в экзаменационные варианты 11-го, а иногда и 9-го классов, но многие ученики пропускают эти задачи, так как испытывают сложности при их решении, поэтому актуальным для педагога становится формирование умений и навыков у обучающихся по решению данного типа задач.

Целью разработки является оказание методической помощи педагогам по организации работы с обучающимися по решению задач на смеси и сплавы.

Для достижения цели необходимо решить следующие задачи:

1. Рассмотреть различные методы и приёмы решения задач по данной теме.

2. Систематизировать задачи по типам.

3. Составить банк задач по теме.

Задачи можно использовать сначала в 5-ом или 6-ом классах при изучении темы, а потом включать их при повторении в 9-ом или 11-ом классах. В процессе решения задач учащиеся повторяют, как найти часть от числа и число по его части, прямую и обратную пропорциональные зависимости, способы решения уравнений и другое.

Задачи на смеси имеют практическую направленность. Прежде чем объяснять методы решения этих задач, необходимо побеседовать с ребятами. Например, мы пьем чай и кладем в чашку столько сахару, чтобы не пересластить (создаем нужную нам концентрацию), а если пересластили, то добавляем воды. Летом мы ходим за грибами, затем их сушим. И мы понимаем, что чем дольше их сушить, тем меньше остается в них воды, при этом масса сухого вещества не меняется. Врач выписывает рецепт, и мы покупаем мази, микстуры с определенной концентрацией лекарственных веществ.

Решая задачи данного типа, нам нужно будет выделить компоненты, которые изменяются, и те, что остаются неизменными. Измерять количество компонентов смеси будем в единицах массы, а не объема, так как изменения массы происходят линейно, а изменения объема - по более сложной зависимости, и все равно приходится переходить к изменениям массы, но уже используя плотность веществ. Об этом можно и нужно говорить с учащимися после того, как они познакомятся с решениями подобных задач на уроках химии.

Говоря о смесях, растворах и сплавах будем употреблять термин «смесь» независимо от ее вида (твердая, жидкая, сыпучая, газообразная). Смесь состоит из основного вещества и примеси. Что такое основное вещество, в каждой задаче определяется отдельно.

Для решения таких задач введем следующие условные обозначения:

m – масса основного вещества в смеси, выражается в обычных единицах измерения (грамм, литр и т. д.). Эту величину еще называют абсолютным содержанием вещества в смеси;

M - общая масса смеси;

α=(×100%)- концентрация вещества в смеси или относительное содержание вещества в смеси, равное отношению массы основного вещества в смеси к общей массе. При этом используют различные формы записи относительного содержания вещества: в долях и в процентах. Например, относительное содержание 0,05 = = 5%.

Чтобы проиллюстрировать эти понятия, предположим, что в сосуд, содержащий 450 г воды, добавили 50 г соли. Таким образом, общая масса получившегося раствора M=500 г. В растворе абсолютное содержание соли m = 50 г, а относительное – α = = = 0,1 = 10%.

Решение любой задачи на смеси обычно сводится к расчету абсолютного и относительного содержания компонент всех смесей, фигурирующих в условии задачи.

В процессе поиска решения этих задач полезно применить очень удобную модель и научить школьников пользоваться ею.

Но первым делом необходимо повторить такие понятия как:

1. концентрация (доля чистого вещества в смеси (сплаве));

2. масса смеси (сплава);

3. масса чистого вещества в смеси (сплаве).

А также то, что процентом называется его сотая часть и три основные задачи на проценты:

1. Найти 15% от числа 60.

Решение:60 × 0,15= 9.

2. Найти число, 12% которого равны 30.

Решение: 30 : 0,12=250.

3. Сколько процентов составляет число 120 от 600?

Решение: 120 : 600 × 100% = 20%.

Различные методы и приёмы решения задач.

Задача 1. Имеется два сплава меди и свинца. Один сплав содержит 15% меди, а другой 65% меди. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получилось 200г сплава, содержащего 30% меди?

Изобразим каждый из сплавов в виде прямоугольника, разбитого на два фрагмента (по числу составляющих элементов). Кроме того на модели отобразим характер операции – сплавление, поставим знак «+» между первым и вторым прямоугольниками. Поставив знак «=» между вторым и третьим прямоугольниками, мы тем самым показываем, что третий сплав получен в результате сплавления первых двух. Полученная схема имеет следующий вид:

Теперь заполняем получившиеся прямоугольники в соответствии с условием задачи:

1. Над каждым прямоугольником («маленьким») указываем соответствующие компоненты сплава. При этом обычно бывает достаточно использовать первые буквы их названия (если они различны). Удобно сохранять порядок соответствующих букв.

2. Внутри прямоугольников вписываем процентное содержание (или часть) соответствующего компонента. Понятно, что если сплав состоит из двух компонентов, то достаточно указать процентное содержание одного из них. В этом случае процентное содержание второго компонента равно разности 100% и процентного содержания первого.

3. Под прямоугольником записываем массу (или объем) соответствующего сплава (или компонента).

Рассматриваемый в задаче процесс можно представить в виде следующей модели - схемы:

Решение.

1-й способ.( С 5-го класса). Пусть х г – масса первого сплава. Тогда, (200-х) г – масса второго сплава. Дополним последнюю схему этими выражениями. Получим следующую схему:

Сумма масс меди в двух первых сплавах (то есть слева от знака равенства) равна массе меди в полученном третьем сплаве (справа от знака равенства):

Решив это уравнение, получаем х=140. При этом значении х выражение 200 – х = 60. Это означает, что первого сплава надо взять140г, а второго-60г.

Ответ:140г. 60г.

2-й способ. ( С 6-го класса).Пусть х г и у г – масса соответственно первого и второго сплавов, то есть пусть исходная схема имеет вид:

Легко устанавливается каждое из уравнений системы двух линейных уравнений с двумя переменными:

Решение системы приводит к результату: Значит, первого сплава надо взять 140 г, а второго-60 г.

Ответ: 140г,60г.

3 -й способ. Решим эту задачу старинным способом по правилу «креста». Составим схему:

15 35

30

65 15

В левой колонке схемы записаны процентные содержания меди в первых двух сплавах. В правой – разности процентных содержаний меди в первых двух сплавах и третьем сплаве (вычитаем из большего числа меньшее и записываем разность на ту диагональ, где находятся, соответственно, уменьшаемое и вычитаемое).

Исходя из схемы делаем вывод: в 200 г 3-его сплава содержится 35 частей 1-ого сплава и 15 частей 2-ого сплава. Найдем их массы:

200 : ( 35 + 15 ) × 35 = 140(г);

200 : ( 35 + 15 ) × 15 = 60(г).

Ответ: 140г от 1-ого сплава и 60г от 2-ого сплава.

Задача 2. К некоторому количеству сплава меди с цинком, в котором эти металлы находятся в отношении 2:3, добавили 4 кг чистой меди. В результате получили новый сплав, в котором медь и цинк относятся как 2:1. Сколько килограмм нового сплава получилось?

Решение.

Прежде чем составлять схему, уточним, что в первом сплаве медь составляет , а в полученном сплаве - . Обозначим массу полученного сплава х кг, и внеся указанные части в соответствующие фрагменты схемы, получаем:

Нетрудно составить уравнение, подсчитав количество меди слева от знака неравенства, и приравняв его к количеству меди, справа от него. Получаем уравнение: Решив его, получаем искомое значение: х=9.

Замечание. Можно было составить уравнение на основе подсчета массы цинка в обеих частях неравенства. Для этого внесем в схему необходимые данные:

1) если в первом сплаве медь составляет часть , то цинк – ;

2) если в полученном сплаве медь составляет часть , то цинк – .

Уравнение в этом случае имеет вид: Это уравнение равносильно предыдущему.

Ответ х=9кг.

Задача 3. Свежие абрикосы содержат 80 % воды по массе, а курага (сухие

абрикосы) – 12 % воды. Сколько понадобится килограммов свежих абрикосов, чтобы получить 10 кг кураги?

Решение.

При высыхании абрикос испаряется вода, количество сухого вещества не меняется. Схема для решения такой задачи имеет вид:

Составим уравнение, подсчитав количество сухого вещества в левой и правой частях схемы:

0,2х=8,8

х=44.

Ответ:44кг.

В старших классах можно показать, как выводится правило «креста». Пусть смешали два раствора: первый – массой m₁ г и концентрацией α₁ и второй – массой m₂ г и концентрацией α₂,получили раствор массой (m₁+m₂) г и концентрацией α₃, причем а₁а₃а₂.

Найдем зависимость масс исходных растворов от их концентраций. Масса основного вещества в первом растворе равна α₁m₁ г, во втором растворе - α₂m₂ г, а в смеси – α₃(m₁+m₂) г.

Составим равенство α₁m₁ + α₂m_{2 =} α₃(m_{1 +} m₂) и из него получим:

α₁m₁ – α₃m₁₌ α₃m₂ – α₂m₂,

откуда следует пропорция m_{1 /} m_{2 =} (α₂ – α₃) / (α₃ – α₁)

α₁ α₂ –α₃

α₃

α ₂ α₃ - α₁

Условия задач на смеси удобно записывать в виде таблицы.

Задача 4.

В колбе было 140 г 10%-го раствора марганцовки. В нее долили 60 г 30%-го раствора марганцовки. Определите процентное содержание марганцовки в полученном растворе.

0,1 × 140 + 0,3 × 60 = 32(г) – масса марганцовки в смеси;

140 + 60 = 200(г) – масса смеси;

α = 32 : 200 × 100% = 16% - содержание марганцовки в смеси.

Ответ: 16%

Задача 5.

Имеется склянка 20% раствора кислоты и склянка 40% раствора кислоты.

а) Смешали 200г раствора кислоты из 1-й склянки и 300г из 2-й. Определите массу кислоты и ее долю в полученном растворе.

б) Из 1-й склянки взяли 300г раствора кислоты. Сколько г раствора кислоты надо долить из 2-й склянки, чтобы получить 32%-й раствор кислоты?

в) Верно ли, что если из 2-й склянки берут на 50% больше раствора кислоты, чем из 1-й, то полученная смесь является 32%-м раствором кислоты?

Решение. а) Заполним таблицу по условию задачи:

Масса кислоты в смеси: 0,2 × 200 + 0,4 × 300 =160(г).

Процентное содержание кислоты в смеси находим по формуле:

α = × 100%. 160 : 500 × 100% = 32%

Ответ: 160г, 32%.

б) Пусть из 2-й склянки взяли х г раствора кислоты.

Заполним таблицу по условию задачи.

Составим и решим уравнение: 60 + 0,4х = 0,32(300 + х),

0.08х = 36, откуда х = 450

Ответ: 450г.

в) Пусть из 1-й склянки взяли х г раствора кислоты.

Заполним таблицу по условию задачи.

Рассчитаем содержание кислоты в смеси по формуле α = × 100%.

(0,32 × 2,5х) :2,5х ×100% = 32%.

Ответ: верно.

Задача 6. (С 6-го класса). Было 12кг пресной воды. В нее добавили несколько кг сахара и получили 4% раствор. Сколько кг сахара было добавлено в воду?

Решение. Пусть добавили х кг сахара. Заполним таблицу по условию задачи.

Так как масса добавленного сахара и есть масса сахара в растворе, то составим и решим уравнение: (12 + х)0,04 = х,

0,96х = 0,48

х =0,5

Ответ: 0,5 кг.

Задача 7. (С 8-го класса). Сплав из золота и серебра весом 13кг 410г при полном погружении в воду стал весить 12кг 510г. Определите массы золота и серебра в сплаве, если плотность золота 19,3 г/см³, а серебра 10,5 г/см³.

Решение. По закону Архимеда, сплав при погружении в воду теряет в весе столько, сколько весит вытесненная им вода, т. е. 13,41 – 12,51 = 0,9(кг). Плотность воды равна 1 г/см³, поэтому объем сплава равен 900см³, а его плотность равна 13410:900=14,9(г/см³).

Составим схему по правилу «креста», где в левой колонке и в центре стоят массы 1см³ серебра, золота и сплава:

10,5 4,4

14,9

19,3 4,4

Рассмотрим правую колонку, видим, что сплав содержит одинаковое число частей серебра и золота. Значит, массы золота и серебра в сплаве равны.

Ответ: 6кг 705г каждого.

Задача 8. Из 20т руды выплавляют 10т металла, содержащего 8% примесей. Определите процент примесей в руде.

Решение.

1). Масса примесей в 10т металла: 10 × 0,08 = 0,8(т);

2). Масса металла в 10т металла с примесью: 10 – 0,8 = 9,2(т);

3). Процентное содержание металла в руде: 9,2 : 20 × 100% = 46%;

4). Процентное содержание примесей в руде: 100 – 46 = 54(%).

Ответ: 54%.

Задача 9. Имеются 2 слитка сплава золота с медью. 1-ый слиток содержит 230г золота и 20г меди, а 2-ой слиток – 240г золота и 60г меди. От каждого слитка взяли по куску, сплавили их и получили 300г сплава, в котором оказалось 84% золота. Определите массу куска, взятого от 1-го слитка.

Условие задачи можно изобразить на рисунке.

Концентрация золота в первом сплаве равна 230:(230 + 20) = 0,92. Поэтому во взятом куске 1-го сплава содержится 0,92х г золота.

Концентрация золота во втором сплаве равна 240:(240 + 60) = 0,8. Поэтому во взятом куске 2-го сплава содержится 0,8(300-х) г золота. Значит в новом сплаве содержится 0,92х + 0,8(300-х) =( 240 + 0,12х) г золота. Концентрация золота в этом сплаве равна ( 240 + 0,12х) :300 × 100%. По условию эта концентрация составляет 84%. Имеем уравнение:

( 240 + 0,12х) :300 × 100% = 84.

Отсюда находим 80 + 0,04х = 84

х = 100

Итак, масса куска, взятого от 1-го слитка, составляет 100г.

Ответ: 100г.

Типы задач.

1. Задачи на понижение концентрации.

1. (с 5-го класса.) Сироп содержит 18% сахара. Сколько кг воды нужно добавить к 40 кг сиропа, чтобы содержание сахара составило 25%?

Решение. Пусть надо добавить х кг воды. Заполним таблицу по условию задачи.

α

М(кг)

m(кг)

Было

18% = 0,18

40

0,18 × 40

Стало

15% = 0,15

40 + х

0,15(40 + х)

Так как масса сахара не изменилась, то составим и решим уравнение:

0,15(40 + х) = 7,2

0,15х = 1,2

х = 8 Ответ: 8кг.

2. ( с 6-го класса.) Сколько г 35%-го раствора марганцовки надо добавить к 325г воды, чтобы концентрация марганцовки в растворе составила 10%?

Решение. Решим задачу с помощью «креста».

35 10

10

0 25

Значит, 325г воды составляют 25 частей, 35%-ый раствор – 10 частей, или 325:25 × 10 = 130.

Ответ: 130г.

3. (С 5-го класса) Сколько г воды нужно добавить к 5%-ой йодной настойке массой 100г, чтобы концентрация йода уменьшилась до 1%?

Решение.

1-й способ. 1) 100 × 0,05 = 5(г)- масса йода в исходном растворе;

2) 5г – это 1% йода в полученном растворе. Масса полученного раствора составляет 100% и равна 500г;

3) 500 – 100 = 400(г) – столько воды надо добавить.

Ответ: 400г.

2-ой способ.

Пусть надо добавить х г воды. Заполним таблицу по условию задачи.

α

М (г)

m(г)

Исходный раств.

5% = 0,05

100

0,05 х 100

Вода

0% = 0

х

Полученный раст.

1% = 0,01

100 + х

0,01(100 + х)

Так как масса йода не изменилась, то составим уравнение:

0,01(100 + х) = 5 ; х = 400

Ответ: 400г.

4. (С 5-го класса). Какую массу воды надо добавить к водному раствору соды массой 90кг, содержащему 5% соды, чтобы получить раствор, содержащий 3% соды?

Решение. Пусть надо добавить х кг воды. Заполним таблицу по условию задачи:

Так как масса соды не изменилась, то составим уравнение:

(90 + х)0,03 = 4,5, откуда х = 60

Ответ: 60кг.

5. (с 5-го класса). Морская вода содержит 5% солей. Сколько кг чистой воды надо добавить к 40кг морской, чтобы содержание солей в полученном растворе составило 2%?

Решение.

1-ый способ. 1) 40 х 0,05 = 2(кг) –солей в 40кг морской воды;

2) 2кг солей – 2% в полученном растворе(100%),

2 : 2 × 100 = 100(кг) – масса полученного раствора;

3) 100 – 40 = 60 (кг) –масса добавленной соли.

Ответ: 60кг.

2 – ой способ. Содержание солей в новом растворе в = 2,5 раза меньше, чем в исходном. Следовательно, масса нового раствора должна быть в 2,5 раза больше, т. е. 40 × 2,5 = 100(кг).

Масса добавленной воды равна 100 – 40 = 60(кг).

Ответ: 60 кг.

6. (с 5-го класса) Апельсиновый сок содержит 12% сахара. Сколько кг воды надо добавить к 5кг сока, чтобы содержание сахара стало 8%?

Решение. Концентрация сахара уменьшилась в = 1,5 раза. Значит, масса раствора увеличилась в 1,5 раза и стала равна 5 × 1,5 = 7,5(кг). Следовательно, масса добавленной воды равна 7,5 – 5 = 2,5(кг).

Ответ: 2,5кг.

7. (с 6-го класса). Сколько кг 5% -го раствора соли надо добавить к 15 кг 10% -го раствора той же соли, чтобы получить ее 8%- ый раствор?

Решение. Пусть добавили х кг 5%-го раствора соли. Заполним таблицу по условию задачи:

Составим и решим уравнение: 1,5 + 0,05х = 0,08(15 + х),

х = 10

Ответ: 10кг.

8. ( С 5-го класса). Имеется сплав меди с оловом массой 12 кг, содержащий 45% меди. Сколько чистого олова надо добавить, чтобы получить сплав, в котором содержится 40% меди?

Решение. Пусть добавили х кг олова. Так как масса меди в исходном и полученном сплавах одна и та же, то составим уравнение:

0,4(12 + х) = 12 × 0,45. Решив его, получим х = 1,5

Ответ: 1,5кг.

9. ( С 6-го класса). В 5%-ый раствор соли добавили 55г соли и получили 10% раствор. Сколько г 5%-го раствора было?

Решение. Пусть было х г 5 %-го раствора. Заполним таблицу по условию задачи.

Составим и решим уравнение: 0,05х + 55 = 0,1(х + 55), откуда х = 990.

Ответ: 990 г.

10. (С 6-го класса). Требуется приготовить 100 г 10%-го раствора нашатырного спирта. Сколько для этого потребуется воды и 25% раствора нашатырного спирта?

Решение. Решим задачу по правилу «креста». Составим схему:

25 10

10

1. 15

Значит, надо взять 100 : ( 15 + 10 ) × 10 = 40(г) – нашатырного спирта

и 100 : 25 × 15 = 60(г) воды.

Ответ: 40г нашатырного спирта и 60г воды.

2. Задачи на высушивание.

При решении этих задач надо объяснять учащимся, что все тела, вещества, продукты содержат в себе воду, которая частично испаряется.

Поэтому при решении этих задач мы каждый раз разделяем данное нам вещество на воду и «сухой остаток», масса которого не меняется в условиях задачи.

1. ( С5-го класса ). Собрали 8 кг свежих цветков ромашки, влажность которых 85%. После того как цветки высушили, их влажность составила 20%.Чему равна масса цветков ромашки после сушки?

Решение. Заполним таблицу по условию задачи.

1. 0,15 × 8 = 1,2 (кг) – масса сухого вещества в 8 кг;

2. 1,2 кг сухого вещества - это 80% массы высушенных цветов, значит, масса высушенных цветов равна 1,2 : 0,8 = 1,5 (кг)

Ответ: 1,5 кг.

2. (С 5-го класса). Из 22 кг свежих грибов получается 2,5 кг сухих грибов, содержащих 12% воды. Каков процент воды в свежих грибах?

Решение. Заполним таблицу по условию задачи.

1. 2,5 × 0,88 = 2,2 (кг) - масса сухого вещества;

2. 2,2 : 22 × 100% = 10% сухого вещества содержится в свежих грибах;

3. 100 – 10 = 90(%) воды в свежих грибах.

Ответ: 90%.

3. (С 5-го класса). Свежие яблоки содержат 80% воды, а сушеные 10%.

Сколько надо взять свежих яблок, чтобы получить 6 кг сушеных?

Решение. Если в сушеных яблоках содержится 10% воды, то сухое вещество составляет 90%. Найдем массу сухого вещества в 6 кг сушеных яблок: 6 × 0,9 = 5,4(кг). Та же масса сухого вещества была и в свежих яблоках, и она составила 20% от их массы. Найдем массу свежих яблок: 5,4 : 0,2 = 27(кг)

Ответ: 27 кг.

4. ( С 5-го класса). Только что добытый каменный уголь содержит 2% воды, а после двухнедельного пребывания на воздухе он содержит 12% воды. На сколько кг увеличится масса одной добытой тонны угля после того, как она две недели пролежит на воздухе?

Эта задача обратна предыдущим, здесь влажность угля увеличивается за счет поглощения влаги из воздуха.

Решение. Заполним таблицу по условию задачи.

1. 1000 × 0,98 = 980(кг) – сухого вещества в добытом угле;

2. 980 кг – это 88%, 980 : 0,88 = 1114(кг) – масса угля после 2 – х недельного пребывания на воздухе;

3. 1114 – 1000 = 114(кг) - увеличение массы одной добытой тонны угля.

Ответ: на 114 кг.

5. (с 5- го класса). На свежих грибах 70% влаги, а в сушёных 10%. Сколько килограммов свежих грибов надо собрать для того, чтобы получить 30 кг сушёных?

Решение: 1) В сушёных грибах сухое вещество составляет 90%; 90% от 30 кг 30 : 100 × 90 = 27 кг.

2) 27 кг сухого вещества в свежих грибах составляют 30%. Найдём 1% от 27кг: 27 : 30 = 0,9 кг. Тогда 100% составляют 0,9 × 100 = 90 кг.

Ответ: 90 кг.

6. (с 5- го класса). Свежие грибы содержат 90% воды, а сухие - 12% воды. Сколько получится сухих грибов из 22 кг свежих грибов?

Решение: 1) В 22 кг свежих грибов содержится 10% сухого вещества, то есть 0,1 × 22 = 2,2 кг.

2) После сушки сухое вещество стало составлять 100 – 12 = 88%.

3) Составим пропорцию = , откуда х = = 2,5 кг.

Ответ: 2,5 кг.

7. (с 5- го класса). Трава при высыхании теряет около 28% своей массы. Сколько было накошено травы, если из неё было получено 1,44 т сена?

Решение. Заполним таблицу по условию задачи:

Масса, в т

Содержание, в %

Трава

х

100

Сено

1,44

100 - 28

Зависимость прямо пропорциональная. Составим и решим пропорцию

= , откуда х = = 2 т.

Ответ: 2 т.

8. На складе хранилась 51 т зерна, влажность которого была 20%. Перед закладкой зерна в зернохранилище его просушили, доведя влажность до 15%. Сколько тонн зерна засыпали в зернохранилище?

Решение. 100 – 20 = 80% составляет сухое вещество;

2) 51 × 0,8 = 40,8 т – масса сухого вещества;

3) 100 – 15 = 85% составляет сухое вещество после просушки;

4) 40,8 : 0,85 = 48 т – масса зерна после просушки.

Ответ: 48 т.

9. (С 6 – го класса). Имеется 0,5 т целлюлозной массы, содержащей 85% воды. После выпаривания получили массу, содержащую 25% целлюлозы. Сколько килограммов воды было выпарено?

Решение. Пусть выпарили х кг воды.

Заполним таблицу по условию задачи:

α, в %

М, кг

m, кг

было

100 - 85

500

500 × 0,15

стало

25

500 - х

(500 – х) × 0,25

Составим и решим уравнение: 500 × 0,15 = (500 – х) × 0,25; 0,25х = 50, откуда х = 200.

Ответ: 200 кг.

10. (С 6 – го класса). Из 60%-го водного раствора спирта испарилась половина воды и спирта. Каково процентное содержание спирта в получившемся растворе?

Решение. 60%- й раствор содержит 60% спирта и 100 – 60 = 40% воды. Если масса раствора была х г, то спирта в нём было 0,6х г, а воды – 0,4х г. В результате испарения в растворе осталось:

1. 1 - = , или × 0,6х = 0,2х г;

2. Воды 1 - = , или ×0,4х = 0,2х г.

Рассчитаем концентрацию получившегося раствора:

α = = = = = 50%.

Ответ: 50%.

11. (С 5 – го класса). Пчёлы перерабатывают цветочный нектар в мёд, освобождая его от воды. Нектар обычно содержит 84% воды, а полученный из него мёд – 20%. Сколько килограммов нектара приходится перерабатывать пчёлам для получения 1 килограмма мёда?

Решение. Решим задачу арифметически, с конца.

1. 100 – 20 = 80% составляет основное вещество от полученного мёда;

2. 1 × 0,8 = 0,8 кг – масса основного вещества в 1 кг мёда;

3. 100 – 84 = 16% составляет основное вещество от собранного нектара;

4. 0,8 : 0,16 = 5 кг нектара.

Ответ: 5 кг.

3. Задачи на смешивание растворов разных

концентраций.

1. (С 6-го класса). При смешивании 5%-о и 40%-о растворов кислоты получили 140 г 30%-о раствора кислоты. Сколько грамм каждого раствора было взято?

Решение. Пусть взяли х г 5% раствора кислоты. Заполним таблицу по условию задачи:

Составим и решим уравнение:

0,05х + 0,4(140 – х ) = 140 × 0,3;

0,35х = 14 ;

х = 40

Ответ: 40 г 5%-о и 100 г 40%-о.

2. (С 5-го класса). Один раствор содержит 20% соли, а второй- 70%. Сколько граммов первого и второго растворов нужно взять, чтобы получить 100г 50%-о солевого раствора?

Решение. Решим задачу с помощью «креста».

20 20

50

70 30

Значит, 100г смеси составляют 50 частей.

Одна часть - 100:(30 + 20) = 2г, 70%-й раствор – 2 × 30 = 60г,

20%-й раствор - 2 × 20 = 40г.

Ответ: 40г, 60г.

3. (С 6- го класса). Смешали 30%-й и 10%-й растворы соляной кислоты и получили 600г 15%-го раствора. Сколько граммов первого и второго растворов нужно взять?

Решение. Пусть взяли х г 30%-го раствора кислоты и у г 10%-го. Заполним таблицу по условию задачи.

Составим и решим систему уравнений:

отсюда следует: х =150, у =450.

Ответ: 150г 30%-го раствора и 450г 10% -г о.

4. (С 6 –го класса). Смешали клубничный сироп, содержащий 40% сахара и малиновый сироп, содержащий 20% сахара. Сколько граммов каждого сиропа взяли, если получили 360г ягодного коктейля с содержанием сахара 25%?

Ответ: 90г клубничного и 270г малинового.

5. (С 6-го класса). Имеется руда из двух пластов с содержанием меди 6% и 11%. Сколько надо взять «бедной» руды, чтобы при смешивании с «богатой» получить 20т руды с содержанием меди 8%?

Пусть взяли х т «бедной» руды. Заполним таблицу по условию задачи:

Составим и решим уравнение:

0,06х + 0,11(20 – х) = 0,08 × 20.

х = 12 Ответ: 12т.

6. (С 7-го класса). Сколько граммов воды и 6%-го раствора перекиси водорода надо добавить к 36 г 3%-го раствора перекиси водорода, чтобы получить 54 г 5% -го раствора перекиси водорода?

Решение: Пусть добавили х г 6%-го раствора перекиси водорода.

Так как при добавлении воды масса перекиси водорода в растворе не изменяется, то составим и решим уравнение:

1,08 + 0,06х = 0,05 × 54;

х = 27

Найдем массу добавленной воды: 54 – 36 – 27 = 1(г).

Ответ: 27 г перекиси 1 г воды.

7. (С5-го класса). Имеется творог двух сортов. Жирный содержит 20% жира, а нежирный содержит 5% жира. Определите процент жирности получившегося творога, если смешали:

а) 2 кг жирного и 3 кг нежирного творога;

б) 3 кг жирного и 2 кг нежирного творога.

Решение.

а) Решим задачу по правилу «креста».

20 х – 5

х

5 20 – х

= ; 3 х – 15 = 40 – 2х,

х = 11

Ответ : 11%.

б) Заполним таблицу по условию задачи:

Жирность творога это доля жира или его концентрация в твороге. Найдем ее по формуле: α = = = 0,14 или 14%.

Ответ: 14%.

8. (С 7-го класса). Имеются два сосуда, содержащие 30кг и 35кг раствора

кислоты различной концентрации. Если смешать оба раствора, то получится раствор, содержащий 46% кислоты. Если смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 47% кислоты. Какова концентрация данных растворов?

Решение. Пусть концентрация одного раствора х%, а другого - у%, р- массы растворов во втором случае. Заполним таблицу:

Составим и решим систему уравнений:

Ответ: 60%; 34%.

9. (С 8-го класса). В двух сосудах находятся растворы щелочи разной концентрации. В первом сосуде находится 4кг раствора, а во втором – 6кг. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 35% щелочи. Если же слить вместе по 3кг из каждого сосуда, то получится раствор, содержащий а% щелочи. Сколько килограммов щелочи во втором сосуде? Какие значения может принимать а?

Решение. Пусть масса щелочи в первом сосуде х кг, а во втором – у кг. Заполним таблицу по условию задачи:

Составим и решим систему уравнений:

По условию задачи: 0 ≤ х ≤ 4, 0 ≤ у ≤ 6. То есть получим систему неравенств:

Откуда имеем: 7 ≤ 0,24а ≤10,5 ≤ а ≤

Ответ: (10,5 – 0,24а); ≤ а ≤

10.( С 6-го класса). Индийский чай дороже грузинского на 25%. В каких пропорциях надо смешать индийский чай с грузинским , чтобы получить чай, который дороже грузинского на 20%?

Решение.

Если индийский чай дороже грузинского на 25%, то значит, индийский чай дороже грузинского в 1,25 раза. Чай, который мы хотим получить при смешивании, дороже грузинского на 20%, т.е. дороже в 1,2 раза.

Решим задачу по правилу «креста». Составим схему:

2. 0,05

1,2

1,25 0,2

Значит, в смеси содержится 0,05 или часть грузинского чая и 0,2 или

часть индийского. Следовательно, отношение массы индийского чая к массе грузинского равно = 4:1. Ответ: 4 : 1.

11. (С 6-го класса). Из веществ А и В приготовили две смеси. В первой смеси отношение масс веществ А и В равно 5:1,а во второй - 9:2.

а) Сколько килограммов вещества В содержится в первой смеси, если ее масса 102 кг.?

б) Сколько килограммов вещества А содержится в смеси, приготовленной из 102 кг первой и 176 кг второй смеси?

Решение. а) Пусть массы веществ равны m_А и m_В. По условию m_А : m_В.= 5:1

откуда m_А=5х, а m_В=х. Составим уравнение: 5х + х = 102. Следовательно, х = 17. Значит, вещества А в первой смеси 17 × 5 = 85(кг).

б) В 102 кг первой смеси содержится 85 кг вещества А и 17 кг вещества В. Найдем массу вещества А в 176 кг второй смеси. Составим и решим уравнение: 9k + 2k = 176, откуда k = 16. Значит, в 176 кг второй смеси содержится 9 × 16 = 144(кг) вещества А. Всего в смеси содержится 85+144=229(кг) вещества А.

Ответ: а) 85 кг; б) 229 кг.

12. (С 7-го класса). Первый раствор содержит 20%, а второй 60% азотной кислоты. Из них приготовили две смеси. Для приготовления смесей взяли две одинаковые порции второго раствора и добавили к ним 15 кг и 5 кг первого раствора соответственно. Какова масса порции второго раствора, если известно, что доля воды во второй смеси в 2 раза больше доли кислоты в первой?

Решение. Пусть для приготовления смесей взяли х кг второго раствора кислоты. Тогда масса первой смеси (15+х) кг, а кислоты в ней содержится (15 × 0,2 + 0,6х) кг. Доля кислоты в первой смеси равна α₁ = .

Масса второй смеси (х + 5) кг, а воды в ней содержится (0,4х+5×0.8)кг. Доля воды во второй смеси равна α₂ = .

По условию задачи 2α₁ = α₂. Подставив найденные выражения α₁ и α₂, получим уравнение: 2 × = .

(3 + 0,6х )(х + 5) = (15+х)(0,2х + 2),

0,4х² + х – 15 = 0.

2 х² +5х – 75 = 0, х ₁ = 5 и х₂ = -.

х_{2 --} не подходит т.к. объем не может быть отрицательным.

Ответ: 5 кг.

13. (С 8 – го класса) Один сплав, состоящий из двух металлов, содержит их в отношении 1:2, а другой – в отношении 2:3. Сколько частей каждого сплава нужно взять, чтобы получить сплав, содержащий эти металлы в отношении 17:27?

Решение. Пусть нужно взять х частей первого сплава и у частей второго. В х частях первого сплава будет частей одного металла и другого. В у частях второго сплава будет и частей одного и другого металла.

Составим уравнение по условию задачи: = .

Умножив числитель и знаменатель левой дроби на 15, получим уравнение = , откуда получим: 135х + 162у = 170х + 153у, 35х = 9у , = .

Ответ: 9 частей первого и 35 частей второго.

14. (С 8 – го класса) В первый сосуд, ёмкостью 6 л, налито 4 л 70% - го раствора спирта, во второй сосуд такого же объёма налито 3 л 90% - го раствора спирта. Сколько литров раствора спирта нужно перелить из второго сосуда в первый, чтобы в первом сосуде получился p% - й раствор спирта? При каких значениях p задача имеет решение?

Решение: Пусть из второго сосуда в первый перелили а л раствора. Тогда в первом сосуде стало (а + 4) л смеси, а так как 4 + а 6, а 2.

Чистого спирта в первом сосуде стало (0,7 × 4 + 0,9 × а) л, или × (а + 4) л. Составим уравнение: (0,7× 4 + 0,9 × а) = × (а + 4).

Откуда получим: а × (90 – p) = 4 p – 280, или а = .

Так как по смыслу задачи 0 а 2 и 70 p 90, то получим двойное неравенство 0 4 p – 280 2×(90 – p), равносильное системе:

или 70 p 76.

Ответ: л, p ϵ .

4. Задачи на переливание.

При решении этих задач еще раз следует напомнить учащимся, что выполняются следующие допущения: «закон сохранения масс» и «закон сохранения объемов», как для всей смеси, так и для каждого из ее компонентов. При этом следует считать, что плотности растворов изменяются незначительно и примерно равны плотности воды, т.е. растворы сильно разбавлены, или наоборот, мы имеем дело с сильно концентрированными растворами и разбавляем их незначительно, но тогда плотность раствора близка к плотности основного вещества.

1. (С 7-го класса). В первой кастрюле был 1л кофе, а во второй – 1л молока. Из второй кастрюли в первую перелили 0,13 л молока и хорошо размешали. После этого из первой кастрюли во вторую перелили 0,13л смеси. Чего больше: молока в кофе или кофе в молоке?

Решение. 1) В первой кастрюле стало 1,13л смеси, в которой молоко составило = , а кофе – 1 - = .

2)Во второй кастрюле осталось 0,87л молока и добавили 0,13л смеси, в которой кофе было 0,13 × = .

Ответ: одинаково.

2. (С 7-го класса). В первой кастрюле был 1л кофе, а во второй – 1л молока. Из первой кастрюли во вторую перелили 0,51 л кофе и хорошо размешали. После этого из второй кастрюли в первую перелили 0,51л смеси. Чего больше: молока в кофе или кофе в молоке? Ответ: одинаково.

3. (С 7-го класса). В сосуде объемом 10л содержится 20% раствор соли. Из сосуда вылили 2л раствора и долили 2л воды, после чего раствор перемешали. Эту процедуру повторили еще один раз. Определите концентрацию соли после первой и после второй процедуры.

Решение. 1) Найдем начальную массу соли:

m_{0 =} 0,01α₀V = 0,2×10 = 2(кг).

2) После первой процедуры, соли осталось

m₁ = m₀ – 0,01α × 2 = 2 – 0,2 × 2 = 1,6(кг),

а ее концентрация после добавления 2л воды стала равной

α = m₁ : 10 = =0,16 = 16%.

3. После второй процедуры масса соли, оставшейся в растворе, стала равна m₂ = m₁ – 0,16 × 2 = 1,6 – 0,32 = 1,28(кг).

После добавления воды масса соли стала α₂=m₂:10 = 1,28:10 = 0,128, или 12,8%

Ответ: 16%, 12,8%.

4. (С 8-го класса). Из сосуда емкостью 54л, наполненного кислотой, вылили несколько литров кислоты и долили столько же литров воды, потом вылили столько же смеси. Тогда в смеси, оставшейся в сосуде, оказалось 24л кислоты. Сколько литров кислоты вылили в первый раз?

Решение.

Пусть в первый раз вылили х л кислоты, тогда в сосуде осталось (54 – х) л кислоты, и после добавления воды доля кислоты в растворе стала равна .

Во второй раз из сосуда вылили х л смеси, в которых содержалось × х л кислоты. Значит, за два раза вылили ( х + × х) л,

или 54 – 24 = 30(л) кислоты.

Составим и решим уравнение:

х + × х = 30, х² – 108х + 1620 = 0, х₁ = 18 , х₂ = 90 .

х₂ не удовлетворяет условию задачи (90

Ответ: 18 л.

5. (С 8-го класса). Баллон емкостью 8л наполнен кислородно-азотной смесью, причем кислород составляет 16%смеси. Из баллона выпускают некоторый объем смеси, после чего дополняют баллон азотом и вновь выпускают такой же объем смеси, после чего опять дополняют сосуд азотом. В результате в баллоне осталось 9% кислорода. Сколько литров смеси выпустили из баллона?

Решение.

Предположим, что каждый раз выпускали х л смеси и дополняли баллон х л азота. После первого выпуска смеси в баллоне осталось (8 – х) × 0,16 л кислорода, а его концентрация стала равна = (8 – х) После второго выпуска х л смеси в баллоне осталось (8 – х) л смеси с концентрацией кислорода, равной(8 – х) Концентрация кислорода на этом этапе равна

(8 – х)² Составим уравнение:

(8 – х)²– х)²= 36.

х₁= 2. х₂= 14, х₂ не удовлетворяет условию задачи, т.к. х8.

Ответ: 2л.

5. Задачи на повышение концентрации.

1. В 4кг сплава меди и олова содержится 40% олова. Сколько килограммов олова надо добавить к этому сплаву, чтобы его процентное содержание в новом сплаве стало равным 70%?

Решение: Пусть х кг – искомое количество олова. Тогда масса полученного сплава равна (4+х) кг. Составим схему и внесем эти выражения на схему:

Составим уравнение, подсчитав массу олова слева и справа от знака равенства на схеме. Получаем уравнение: (1), корнем которого служит

Отметим, что уравнение можно составить и на основе подсчета массы меди слева и справа от знака равенства. Для этого понадобится знать процентное содержание меди в данном и полученном сплавах. Внесем эти данные в схему:

В этом случае получаем следующее уравнение:

(2).

Уравнение (1) равносильно уравнению (2). В этом легко убедиться, решив последнее уравнение. Его корень равен 4. Обычно решают то уравнение, которое проще. В нашем случае разница не так заметна. Вместе с тем, второе уравнение содержит переменную только в одной (правой) части и его обе части сразу можно разделить на 0,3. Поэтому предпочтение можно отдать второму уравнению.

Ответ:4кг.

2.(С 6 - го класса) Сплав массой 36 кг содержит 45% меди. Сколько меди нужно добавить, чтобы новый сплав содержал 60% меди?

Решение. 45% - это 0,45,

36 × 0,45 = 16,2 кг меди содержится в данном сплаве.

Пусть масса меди, которую надо добавить в сплав, равна х кг, тогда (36+х) кг - масса сплава после добавления меди, а масса меди в новом сплаве (16,2+х) кг. Зная, что медь в новом сплаве составила 60%, составим и решим уравнение: 16,2 + х =(36+х) ×0,6; 0,4 х =5,4; откуда х = 13,5.

Ответ: 13,5 кг.

3.(С 7-го класса) 40 кг солевого раствора разлили в два сосуда так, что во втором сосуде оказалось на 2 кг соли больше, чем в первом сосуде. Если во второй сосуд добавить 1 кг соли, то масса соли в нём будет в 2 раза больше, чем в первом сосуде. Найдите массу раствора, находящегося в первом сосуде.

Решение. Пусть доля соли в исходном растворе равна α, а в первом сосуде было х кг раствора, во втором – y кг. Тогда в первом сосуде содержалось αх кг соли. Составим и решим систему уравнений:

откуда получим: 40 – 𝔁 = 𝔁, 𝔁 = 40, то есть 𝔁 = 15.

Ответ: 15 кг.

4.(С 7 – го класса) Сплав меди с серебром содержит серебра на 1845 г больше, чем меди. Если к нему добавить массы серебра, содержащегося в сплаве, то получится новый сплав, содержащий 83,5% серебра. Какова масса сплава и процентное содержание серебра в нём?

Решение. Пусть в сплаве содержится 𝔁 г серебра. Заполним таблицу по условию задачи:

Составим и решим уравнение:

= 0,835; = ; 4000𝔁 = 5845𝔁 - 3×1845×835;

= ; 𝔁 = 2505.

Масса сплава: 2 × 2505 – 1845 = 3165 г.

Процентное содержание серебра в сплаве: × 100 79,1%

Ответ: 3165 г, 79,1%.

5.(С 7 – го класса) Сплав меди и цинка содержал меди на 640 г больше, чем цинка. После того, как из сплава выделили содержащейся в нём меди и 60% цинка, масса сплава оказалась равной 200г. Какова была масса исходного сплава?

Решение: Пусть в сплаве было 𝔁 г цинка и (𝔁 + 640) г меди. Зная, что в сплаве осталась часть содержащейся в нём меди и 40%, или части, цинка, составим и решим уравнение:

(𝔁 + 640) + = 200, 19 𝔁 = 3800, 𝔁 = 200.

Значит, цинка было 200 г, а меди (200 + 640) = 840 г, и масса сплава 200 + 840 = 1040 г, или 1 кг 40 г.

Ответ: 1 кг 40 г.

6.Слили два раствора серной кислоты и получили смесь массой 10 кг. Определите массу каждого раствора, вошедшего в смесь, если в первом растворе содержалось 800 г серной кислоты, а во втором – 600 г, концентрация первого раствора была на 10% больше, чем концентрация второго раствора.

Решение. Заполним таблицу по условию задачи:

Составим и решим систему уравнений:

Решим полученное уравнение системы:

𝔁² - 24𝔁 + 80 = 0, 𝔁₁ = 4, 𝔁₂ = 20.

𝔁₂ не удовлетворяет условию задачи (𝔁 10).

Значит, первый раствор имел массу 4 кг, а второй 10 – 4 = 6 кг.

Ответ: 4 кг и 6 кг.

Практикум.

Для самостоятельного решения полезно предложить учащимся следующие задания:

1. Бронза – сплав меди и олова. В древности из бронзы отливали колокола, если в ней содержалось 75% меди. К куску бронзы 500кг и содержащему 72% добавили некоторое количество бронзы, содержащей 80% меди и получили бронзу, необходимую для изготовления колокола. Определите сколько добавили 80% бронзы.

Ответ:300кг.

2. В лаборатории изготовили 1кг 16% солевого раствора. Через неделю из этого раствора испарилось 200г воды. Какова стала концентрация соли в растворе?

Ответ:20%.

3. При выплавке стали из чугуна, выжигается углерод. Содержание углерода в чугуне 4%. Сколько тонн углерода нужно выжечь из 245т чугуна, чтобы получилась сталь с содержанием углерода 2%?

Ответ:5т.

4. Имеется 600г сплава золота и серебра содержащего золото и серебро в отношении 1:5 соответственно. Сколько грамм золота необходимо добавить к этому сплаву чтобы получить новый сплав содержащий 50% серебра.

Ответ:400г.

5. Слиток сплава меди и цинка массой 36 кг содержит 45% меди. Какую массу меди надо добавить к этому куску, чтобы полученный сплав содержал 60% меди?

Ответ:13,5кг.

6. После смешивания двух растворов, один из которых содержал 48 г, а другой — 20 г безводного йодистого калия, получилось 200 г нового раствора. Найдите концентрацию каждого из первоначальных растворов, если концентрация первого на 15% больше концентрации второго.

Ответ:40% и 25%.

7. Имелось два слитка меди. Процент содержания меди в первом слитке на 40% меньше, чем во втором. После того как оба слитка сплавили, получился слиток, содержащий 36% меди. Найдите процентное содержание меди в каждом слитке, если в первом было 6 кг меди, а во втором — 12 кг.

Ответ:20% и 60%

8. Сколько чистого спирта нужно добавить к 735 г 16%-ного раствора йода и спирта, чтобы получить 10%-ный раствор?

Ответ:441г.

9. Смешали 30%-ный раствор соляной кислоты с ее 10%-ным раствором и получили 600 г 15%-ного раствора. Сколько граммов 30 % -ного раствора было взято?

Ответ:150г.

10. В сосуде находится 10%-ный раствор спирта. Из сосуда отлили 1/3 содержимого, а оставшуюся часть долили водой так, что сосуд оказался заполненным на 5/6 первоначального объема. Какое процентное содержание спирта оказалось в сосуде?

Ответ:8%.

11. Имеются два слитка, состоящие из цинка, меди и олова. Известно, что первый слиток массой 150 кг содержит 40% олова, а второй массой 250 кг — 26% меди. Процентное содержание цинка в обоих слитках одинаково. Сплавив первый и второй слитки, получили сплав, в котором оказалось 30% цинка. Сколько килограммов олова содержится в полученном сплаве?

Ответ:170 кг.

11. Имеются два сплава, состоящие из меди, цинка и олова. Известно, что первый сплав содержит 25% цинка, а второй — 50% меди. Процентное содержание олова в первом сплаве в 2 раза меньше, чем во втором. Сплавив 200 кг первого сплава и 300 кг второго, получили новый сплав, в котором оказалось 28% цинка. Определите, сколько килограммов меди содержится в получившемся новом сплаве.

Ответ: 280 кг.

11. Из сосуда, содержащего чистый спирт, отлили 20% содержимого и добавили такое же количество воды. Затем снова отлили 20% содержимого и добавили такое же количество воды. Какое минимальное количество раз надо повторить этот процесс, чтобы содержание спирта в сосуде стало меньше 30%?

Ответ:6 раз.

14. Сплав весит 2 кг и состоит из серебра и меди, причем вес серебра составляет 14% веса меди. Сколько серебра в данном сплаве?

Ответ:0,25 кг.

15. Имелись два разных сплава меди, причем процент содержания меди в первом сплаве был на 40% меньше, чем во втором. После того как их сплавили вместе, получили сплав, содержащий 36% меди. Определите процентное содержание меди в обоих сплавах, если известно, что в первом ее 6 кг, а во втором — вдвое больше.

Ответ:20% и 60%.

16. Два раствора, первый из которых содержал 800 г, а второй 600 г безводной серной кислоты, смешали и получили 10 кг нового раствора серной кислоты. Определите массу первого и второго растворов, вошедших в смесь, если известно, что процент содержания безводной серной кислоты в первом растворе на 10% больше, чем во втором.

Ответ:4кг и 6 кг.

17. Морская вода содержит 5% (по весу) соли. Сколько килограммов пресной воды надо прибавить к 40 кг морской воды, чтобы содержание соли в последней составляло 2 % ?

Ответ: 60 кг.

17. Имеется стальной лом двух сортов с содержанием никеля 5% и 40%. Сколько нужно взять металла каждого из этих сортов, чтобы получить 140 т стали с содержанием 30% никеля?

Ответ:40т и 100т.

17. Свежие грибы по весу содержат 90% воды, а сухие 12% воды. Сколько получится сухих грибов из 22 кг свежих?

Ответ:2,5 кг

20. Имеется сплав серебра с медью. Вычислите вес и пробу этого сплава, если его сплав с 3 кг чистого серебра есть сплав 900-й пробы, а его сплав с 2 кг сплава 900-й пробы есть сплав 840 пробы. (Проба благородного металла, равная например, 760 означает, что масса этого благородного металла в сплаве составляет 0,760 от массы всего сплава.)

Ответ: Вес первоначального сплава 3кг его проба 0,8.

21. Имеются три слитка. Первый весит 5 кг, второй 3 кг и каждый из этих слитков содержит 30% меди. Если первый слиток сплавить с третьим, то получится слиток, содержащий 56% меди, а если второй слиток сплавить с третьим, то получится слиток, содержащий 60% меди. Найдите вес третьего слитка и процент содержания меди в нем.

Ответ:10кг; 69%

22. Один сплав меди с оловом содержит эти металлы в отношении 2:3, другой — в отношении 3 : 7. В каком количестве надо взять эти сплавы, чтобы получить 12 кг нового сплава, в котором медь и олово были бы в отношении 3:5?

Ответ: 9кг и 3кг.

23. 40% раствор серной кислоты разбавили 60% раствором, после чего добавили 5кг воды и получили раствор 20% концентрации. Если бы вместо 5кг воды добавили 5 кг 80% раствора серной кислоты, то получился бы 70% раствор. Сколько было 40% и 60% раствора серной кислоты?

Ответ: 1кг 40% и 2кг 60%.

24. Имеются два слитка сплава серебра и олова. Первый слиток содержит 36о г серебра и 40 г олова, а второй слиток – 450 г серебра и 150 голова. От каждого слитка взяли по куску, сплавили и получили 200 г сплава, в котором в котором оказалось 81% серебра. Определите массу куска, взятого от первого сплава.

Ответ: 120 г.

25. Первый сплав серебра и меди содержит 70 г меди, а второй сплав – 210г серебра и 90 г меди. Взяли 225 г первого сплава и кусок второго сплава, сплавили их и получили 300г сплава, который содержит 82% серебра. Сколько граммов серебра содержалось в первом сплаве?

Ответ: 430 г.

26. Свежие грибы содержат 92% воды, а сухие 8%. Сколько получится сухих грибов из 23 кг свежих?

Ответ: 300 г.

27. Сплав алюминия и магния отличается большой прочностью и пластичностью. Первый такой сплав содержит 5% магния, второй сплав – 3% магния. Масса второго сплава в 4 раза больше, чем масса первого сплава. Эти сплавы сплавили и получили 3 кг нового сплава. Определите, сколько граммов магния содержится в новом сплаве?

Ответ: 102 г.

28. Латунь – сплав меди и цинка. Кусок латуни содержит цинка на 80 кг меньше, чем меди. Этот кусок латуни сплавили со 120 кг меди и получили латунь, в которой 75% меди. Определите массу (в килограммах) первоначального куска латуни.

Ответ: 280 кг.

29. В колбе было 800 г 80% - го спирта. Провизор отлил из колбы 200 г этого спирта и добавил в неё 200 г воды. Определите концентрацию (в процентах) полученного спирта.

Ответ: 60%

30. Если смешать 8 кг и 2 кг растворов серной кислоты разной концентрации, то получим 12 – ти процентный раствор кислоты. При смешивании двух одинаковых масс тех же растворов получим 15 – ти процентный раствор. Определите первоначальную концентрацию каждого раствора.

Ответ: 10% и 20%.

Заключение.

Задания на изменения концентрации вещества в смесях выбраны по справочникам и учебным пособиям, экзаменационным материалам, в том числе, вариантам ЕГЭ. Задачи классифицированы по типам. Весь собранный материал можно использовать на уроках математики и для самоподготовки обучающихся. Для большей наглядности обучения используется разное оформление решений. Работа содержит теоретический и практический материал для подготовки к выполнению заданий ЕГЭ по теме «Смеси и сплавы», методические рекомендации по формированию знаний, умений и навыков, необходимых для успешного решения таких задач.

Многие задачи рекомендованы для рассмотрения не только в 9 и 11 классах, но и в 5 – 8 классах. Поэтому данный материал предназначен учителям математики, работающим в 5 – 11 классах.

Литература.

16. 6. 1. 1. Государственная итоговая аттестация. 9 класс. СD – диск. Издательство «Учитель».

          2. Денищева Л.О., Глазков Ю.А., Краснянская К.А., Рязановский А.Р., Семёнов П.В. Учебно – тренировочные материалы для подготовки к единому государственному экзамену. Математика / Денищева Л.О., Глазков Ю.А. и др. – М.: Интеллект – Центр, 2005. – 224с.

          3. Математика. Контрольно – измерительные материалы единого государственного экзамена в 2004 г. М.: Центр тестирования Минобразования России, 2004.

          4. Мордкович А.Г. Алгебра. 7 класс. В 2 ч. Учебник для учащихся обще-образовательных учреждений / Мордкович А.Г., Мишустина Т.Н. , Е.Е.Тульчинская. – М.: Мнемозина, 2008год.

          5. Мордкович А.Г. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Учебник для учащихся обще-образовательных учреждений / Мордкович А.Г., Мишустина Т.Н. , Е.Е.Тульчинская. – М.: Мнемозина, 2008год.

          6. Мордкович А.Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Учебник для учащихся обще-образовательных учреждений / Мордкович А.Г., Мишустина Т.Н. , Е.Е.Тульчинская. – М.: Мнемозина, 2008год.

          7. Прокопенко Н.И. Задачи на смеси и сплавы / Н.И. Прокопенко. – М.: Чистые пруды, 2010. – 32 с. (Библиотечка «Первого сентября», серия «Математика». Вып. 31).

          8. Теоретические и практические вопросы подготовки к ЕГЭ по математике / авторы – составители: М.А. Мичасова, И.Г. Малышев, Б.Н. Иванов. – Н. Новгород: Нижегородский институт развития образования, 2009. – 103 с.