Методическая разработка по теме"Применение дистанционного обучения при реализации элективного курса по математике"

Аннотация к разработке для размещения на сайте.

Изучение элективного  курса «Математическое(линейное) программирование» с применением дистанционных образовательных технологий (ДОТ).

Куликова Ирина Юрьевна

Учитель математики, зам. Директора по УВР

МОУ Дмитровской СОШ №2

г.Дмитров

В 2015-2016 учебном году в школе был открыт профильный информационно-технологический 10 класс.  Было принято решение ,что  элективные курсы по математике  будут изучаться с использованием дистанционных образовательных технологий. Для реализации данного проекта был создан Сайт дистанционного обучения Дмитровской СОШ №2  ,который размещен в сети Интернет по адресу: dodmou2.ru.

Дистанционное обучение на нашем сайте реализуется с использованием системы дистанционного обучения MOODLE.  Moodle — система управления курсами (электронное обучение), также известная как система управления обучением или виртуальная обучающая среда . Представляет собой свободное (распространяющееся по лицензии GNU GPL) веб-приложение, предоставляющее возможность создавать сайты для онлайн-обучения.

В качестве примера будет представлен один из уроков элективного курса «Математическое (линейное) программирование»  по теме: «Схема процесса математического моделирования». Данный урок является вторым уроком данного элективного курса.

Страница элективного курса на сайте выглядит таким образом:

Страница рассматриваемого занятия выглядит так:

• 1 слайд

  Схема процесса математического моделирования
  Занятие второе
  Учитель: Куликова И.Ю.
  

• 2 слайд

  Схема математического моделирования
  

• 3 слайд

  Практическая задача
  Два художника купили по одинаковому количеству краски. Первый из них половины всей краски купил по a рублей за тюбик, а другую половину - по b рублей за тюбик. Второй половину всех денег за покупку истратил на тюбики по a рублей, а другую половину денег ‑ на тюбики по b рублей. Кто из них заплатил за покупку меньше?
  
  

• 4 слайд

  Определения
  Целевая функция
  Функцию, для которой находится ее наибольшее или наименьшее значение называют целевой функцией или функцией цели.
  

• 5 слайд

  Определения
  Система ограничений
  Системы неравенств или уравнений, которым должны удовлетворять переменные целевой функции, будем называть системами ограничений.
  

• 6 слайд

  Определение
  Допустимое решение, при котором целевая функция достигает максимального или минимального значения, называется оптимальным решением.
  
  

Приложение

Введение в образовательный процесс МОУ Дмитровская СОШ №2 электронного обучения с использованием дистанционных образовательных технологий (ДОТ).

В 2015-2016 учебном году в школе был открыт профильный информационно-технологический 10 класс.  Было принято решение, что  элективные курсы по математике  будут изучаться с использованием дистанционных образовательных технологий. Дистанционное обучение тесно связано с информационными технологиями, по сути, являясь в некотором смысле их частью. По этой причине большинство появляющихся новых возможностей в сфере информационных технологий быстро находят свое применение в дистанционном обучении, которое намного быстрее принимает их на вооружение по сравнению с другими формами обучения. Дистанционное обучение, в отличие от других форм обучения, предоставляет возможность дать слушателю доступ к большому количеству дополнительного материала, которым он может воспользоваться непосредственно во время обучения.

 Для реализации данного проекта был создан Сайт дистанционного обучения Дмитровской СОШ №2 , который размещен в сети Интернет по адресу: dodmou2.ru.

Дистанционное обучение на нашем сайте реализуется с использованием системы дистанционного обучения MOODLE.  Moodle — система управления курсами (электронное обучение), также известная как система управления обучением или виртуальная обучающая среда . Представляет собой свободное (распространяющееся по лицензии GNU GPL) веб-приложение, предоставляющее возможность создавать сайты для онлайн-обучения. В октябре 2012 г. система дистанционного обучения Moodle признана лучшей системой управления курсами в Топ-100 инструментов для обучения. Более 500 профессионалов со всего мира приняли участие в опросе, в котором они выбрали 10 лучших, по их мнению, инструментов для проведения обучения. В категории лучшая система управления курсами система дистанционного обучения Moodle заняла первое место.  Данная СДО обладает  такими преимуществами как эффективность, гибкость, модульность и параллельность, отвечает требованиям современной жизни. Поэтому при реализации данного проекта мы остановились именно на этой системе дистанционного обучения.

Важнейшими преимуществами использования системы Moodle в учебном процессе вуза являются следующие:

·     максимально возможное приспособление учебного процесса к возрастным и индивидуальным познавательным возможностям;

·     управляемость учебного процесса и, особенно, процесса усвоения информации: в любой момент возможна корректировка со стороны преподавателя;

·     обеспечение обучающемуся состояния психологического комфорта, как при изучении нового материала, так и при контроле усвоения знаний, умений и навыков;

·     «открытость» информационного поля: объем, и уровень учебной информации может быть сколько угодно высок;

·     неограниченные возможности в использовании самых разных методов обучения.

Цель проекта:

Целью внедрения электронного обучения в образовательном учреждении является, в конечном счете, повышение качества образования. Задачи же, решаемые непосредственно с помощью электронного обучения могут быть различны и зависят как от структуры самого учебного заведения, так и от этапа развития и ряда других факторов.

Погнозируемые результаты от введения ДОТ:

Перспективы развития дистанционного образования отмечаются  при оценке качества обучения. Используя современные средства обучения, компьютерные программы, информационные технологии, интернет, дистанционные формы, возможно, повысить качество образования, так как обучающийся имеет больше возможностей доступа к учебному и дополнительному материалу, имеет более быстрый способ передачи информации и взаимодействия с преподавателями и организаторами учебного процесса.

Дистанционное обучение должно использовать в ходе образовательного процесса лучшие традиционные и инновационные методики, средства и формы обучения, основываясь на современных компьютерных и телекоммуникационных технологиях. Обучающиеся могут учиться по индивидуальному расписанию в удобное для них время, они имеют право выбрать комфортное место для учебы, имеют право на согласованную возможность для контакта с преподавателем очно или заочно.

МОУ СОШ № 36 г. Липецка.

Учитель: Куликова Ирина Юрьевна.

Предмет – математика.

Класс – 10-11(информационно-технологический профиль).

Элективный курс «Путешествие в страну линейного программирования»

Пояснительная записка.

Введение

«Почти во всех делах самое трудное – начало».

Руссо

Математика за последние десятилетия получила колоссальное развитие. Математические теории и методы буквально пронзили все другие науки, начиная с биологии и психологии и кончая лингвистикой. Вряд ли можно найти сферу практической и духовной жизни человека, где не применяются сейчас методы математического исследования. Вот почему без базовой математической подготовки невозможна постановка образования современного человека.

Цели обучения математики в общеобразовательной школе определяются ее ролью в развитии общества в целом и формировании личности каждого отдельного человека.

Исторически сложились две стороны назначения математического образования: практическая, связанная с созданием и применением инструментария, необходимого человеку в его продуктивной деятельности, и духовная, связанная с мышлением человека, с овладением определенным методом познания и преобразованием мира математическим методом.

Практическая полезность математики обусловлена тем, что ее предметом являются фундаментальные структуры реального мира: пространственные формы и количественные отношения – от простейших, усваиваемых в непосредственном опыте людей, до достаточно сложных, необходимых для развития научных и технологических идей. Без конкретных математических знаний затруднено понимание принципов устройства и использования современной техники, восприятие научных знаний, восприятие и интерпретация разнообразной социальной, экономической информации. Каждому человеку в своей жизни приходится выполнять достаточно сложные расчеты, пользоваться вычислительной техникой, владеть практическими приемами геометрических измерений и построений, читать информацию, представленную в виде таблиц, диаграмм, графиков, понимать вероятностный характер случайных событий, составлять несложные алгоритмы.

В школе математика служит опорным предметом для изучения смежных дисциплин. В послешкольной жизни все больше специальностей, требующих высокого уровня образования, связано с непосредственным применением математики (экономика, бизнес, финансы, информатика, биология и многое другое). Таким образом, расширяется круг школьников, для которых математика становится профессионально значимым предметом.

Для жизни в современном обществе важным является формирование математического стиля мышления, проявляющегося в определенных умственных навыках. В процессе математической деятельности в арсенал методов человеческого мышления включаются индукция и дедукция, обобщение и конкретизация, анализ и синтез, классификация и систематизация, абстрагирование и аналогия. Объекты математических умозаключений и правила их конструирования вскрывают механизм их построений, тем самым развивая логическое мышление. Ведущая роль принадлежит математике в формировании алгоритмического мышления, воспитании умений действовать по заданному алгоритму и конструировать новые.

Математизация – это характерная черта современной науки и техники. Человечество осознало, что знание, уж во всяком случае в области естественных наук, делается точным только тогда, когда для его описания удается использовать математическую модель (уже известную, либо специально созданную).

Математической моделью называют формальную зависимость между значениями параметров на входе моделируемого объекта или процесса и выходными параметрами. Математика представляет собой стройную и глубокую совокупность знаний о математических моделях со своими проблемами, с собственными путями развития, обусловленными внутренними и внешними причинами и задачами.

В конце XÌX - начале XX веков развитие математики складывалось под влиянием запросов физики и механики. Общество решало задачу создания мощной техники и искало источники запасов больших энергий. Но большое количество техники, огромное количество энергии и сырья потребовали, со своей стороны, ответов на вопросы: как правильно управлять созданной техникой, как использовать накопленную энергию, как расходовать имеющееся сырье. Эти вопросы актуальны и в настоящее время.

Поэтому жизнь выдвинула на первый план развития общества вопросы организации производства, управления промышленностью и техникой. Так постепенно роль «поставщика» новых направлений и новых задач в математике перешла от физики и техники к экономике. Если ранее математический аппарат преимущественно использовался как инструмент расчета, то в настоящее время ставится задача принятия решения, задача выбора наиболее эффективного варианта, при котором был бы достигнут наилучший результат. Такие задачи и привели к появлению математического программирования, а в частности и линейного программирования. Создание же ЭВМ дало мощный толчок к развитию линейного программирования.

Все это свидетельствует в пользу необходимости изучения математического программирования в курсе средней школы. Надо отметить, что простейшая схема математического моделирования применяется в алгебре при решении текстовых задач. Решение же линейных уравнений и систем линейных уравнений служит фундаментом для возможного изучения в школьном курсе простейших задач линейного программирования.

Ценность изучения линейного программирования в школьном курсе математики заключается в том, что изучая его ученики учатся строить простейшие математические модели. При этом они переводят практические задачи на математический язык, решают их методом линейного программирования, учатся интерпретировать полученный результат и оценивают его, проверяя практикой.

Важную роль в изучении математики играет графический метод решения задач. Поэтому надо обратить особое внимание на графический метод решения задач линейного программирования, так как, используя этот метод, учащиеся приобретают графическую культуру, строя графики различных линейных функций и считывая информацию с полученных графиков, а всем известно, что в настоящее время школьная программа недостаточно внимания уделяет именно построению графиков функции и использованию графиков для решения различных задач.

Особенно важно изучение линейного программирования в процессе профильного обучения. Одна из задач профильного обучения – первичная подготовка школьников к избранному ими роду деятельности, к будущей профессии. А профессий, в которых необходимы знания линейного программирования великое множество, так как задачи линейного программирования встречаются в различных отраслях человеческой деятельности.

         Элективный курс, излагающий основные положения теории линейного программирования, призван привлечь внимание школьников, интересующихся математикой.

Формы и методы обучения.

Наряду с традиционными формами и методами, в преподавании курса предусмотрено применение ЭВМ при тестировании учащихся по пройденным темам.

Данный элективный курс может использоваться не только в классно-урочной системе обучения , но и в системе дистанционного обучения.

Цель предлагаемого курса – ознакомление на доступном уровне с основными понятиями математического программирования, а именно линейного программирования .

Задачи курса:

- развить интерес школьников к предмету;

- показать связь математических методов с практической деятельностью человека через методы линейного программирования ;

- помочь учащимся отойти от математических штампов; расширить их математический и общенаучный кругозор.

- сформировать восприятие математики как единого языка познания;

- создать положительную мотивационную базу для самостоятельного изучения линейного программирования .

Учебно-тематический план

№ п/п	Тема занятия	Кол-во часов	Форма проведения занятия	Форма контроля.
1.	Вводное занятие	1	Лекция - беседа	Доклады учащихся об основных понятиях линейного программирования
2.	Схема процесса математического моделирования	1	Лекция. Практическая работа.	Решение задач. Тестирование
3.	Основные понятия линейного программирования	1	Лекция. Практикум.	Решение задач Тестирование
4.	Геометрическое решение уравнений и систем уравнений	1	Лекция. Практическая работа.	Тестирование
5.	Решение линейных неравенств и систем линейных неравенств с двумя неизвестными	1	Лекция Практикум по решению задач.	Тестирование
6.	Графическое решение задачи линейного программирования с двумя неизвестными	1	Лекция. Практикум по работе с планом геометрического решения задачи линейного программирования.	Решение задач. Тестирование
7.	Решение практических задач линейного программирования	1	Практическое занятие.	Решение задач.
8.	Продолжаем решать задачи линейного программирования	1	Практическое занятие	Решение задач.
9.	Понятие многокритериальной задачи	1	Урок-лекция.	Доклады на тему: «Математическая модель, методы решения математических задач и программы вычисления на ЭВМ».
10.	Итоговое занятие	2	Урок повторения и обобщения.	Итоговое тестирование.

Содержание программы.

Программа курса состоит из 10 занятий и рассчитана на учащихся 10-11-х профильных классов. На изучение курса целесообразно отвести 11 часов.

ЗАНЯТИЕ ПЕРВОЕ

Вводное занятие

Искусство обучения есть искусство будить в юных душах любознательность и затем удовлетворять ее, а здоровая живая любознательность бывает только при хорошем настроении, когда же насильно забивают голову знаниями, они только гнетут и засоряют ум. Чтобы переварить знания, надо поглощать их с аппетитом.

Анатоль Франс

Давайте попытаемся ответить на вопрос: «Зачем надо изучать линейное программирование? Где нам пригодится знание линейного программирования, умения решать его задачи?»

В наше время возник класс задач, связанный со сложными организационными структурами, которые часто встречаются в современном обществе. Сюда относятся как вопросы наиболее эффективного управления хозяйством или предприятием, оптимального развития отрасли, так и совсем «земные» задачи, вроде составления самого дешевого и рационального корма для крупного рогатого скота.  Попытки точно сформулировать и решить подобные задачи привели к созданию новых методов оптимизации. Один из этих методов ‑  линейное программирование - и составляет цель нашего путешествия.

В самом широком смысле слова программирование линейное или иное, имеет дело с задачами о наиболее эффективном использовании, или распределении, ограниченных ресурсов. Такие задачи занимают центральное место в экономике. Однако они возникают не только в промышленности и хозяйстве, но и в повседневной жизни каждого человека, появляясь в самых разных обличиях. Вы можете удивиться,  но первое, с чем мы сталкиваемся ежедневно поутру, - это задача программирования утреннего одевания. Мы должны выбрать программу действий, которая позволит нам одеться, причем так, чтобы выполнялись определенные ограничения, или общепринятые правила (носки надевать необходимо, но не поверх ботинок и т.д.). Время - наш основной ресурс, и выбранная программа должна быть наилучшей в том смысле, в каком каждый понимает свой расход утреннего времени.

Во время нашего путешествия мы посетим только страну Линейное программирование, следует сказать, что эта страна входит в состав Королевства Математического Программирования. Задачи, которые решаются в линейном программировании, выделяются тем, что математически описываются с помощью линейных (то есть изображаемых  прямой линией) соотношений.

Итак, мы должны запомнить главное правило‑пропуск в страну линейного программирования, задачи линейного программирования ‑ это те из задач общего (математического) программирования, в которых соотношения линейны.

ЗАНЯТИЕ ВТОРОЕ

Схема процесса математического моделирования

Наберитесь терпения и прочитайте

 несколько фраз типа введения

Представим, что вы пришли в магазин за покупками. Приобретая в магазине разные продукты, вы автоматически занимаетесь простейшим математическим моделированием. Запомнив цену каждого продукта, вы (или кассир) складываете абстрактные числа, оплачиваете сумму и затем по каждому чеку (числу на чеке) получаете конкретный продукт.

Мы рассмотрели простейшую схему математического моделирования.

Такую же простейшую схему математического моделирования вы много раз применяли в курсе алгебры при решении текстовых задач. Давайте вспомним основные этапы решения таких задач.

1. Переложение практической задачи на математический язык: составление уравнения, или неравенства, или системы уравнений и неравенств.

2. Решение математической задачи: уравнения, неравенства или системы.

3. Интерпретация математического результата: переход от найденных чисел (корней уравнения, решений неравенств) к их практическому смыслу в данной задаче.

Если в процессе решения вы не допустили ошибок, что можно проверить по данным в учебнике ответам, то считается, что задача решена верно.

На самом же деле при решении сложной практической задачи ответ неизвестен. Поэтому нужен еще один этап: проверка результата практикой. Таким образом вырисовывается следующая схема моделирования:

Работу по такой схеме, а иногда только ее первый этап, называют математическим моделированием.

ЗАНЯТИЕ ТРЕТЬЕ

Основные понятия линейного программирования

Можно сказать, что линейное программирование – это математическая дисциплина, изучающая методы нахождения наибольшего или наименьшего значения линейной функции нескольких переменных при условии, что последние удовлетворяют конечному числу линейных неравенств или уравнений.

Функцию, для которой находится ее наибольшее или наименьшее значение называют целевой функцией или функцией цели, системы неравенств или уравнений, которым должны удовлетворять переменные целевой функции, будем называть системами ограничений.

Рассмотрим задачу.

Цех выпускает трансформаторы двух видов. На один трансформатор первого вида расходуется 3 кг проволоки и 5 кг трансформаторного железа, а на один трансформатор второго вида – 2 кг проволоки и 3 кг железа. От реализации одного трансформатора первого вида цех получает прибыль в 1,2 у. е., а от реализации одного трансформатора второго вида – 1 у. е. Сколько трансформаторов каждого вида должен выпустить цех, чтобы получить наибольшую прибыль, если цех располагает 480 кг железа и 300 кг проволоки?

Решение.

Пусть x и y – количества трансформаторов соответственно первого и второго видов, выпущенных цехом.

Для их изготовления потребуется 5x + 3y килограммов железа и потребуется  3x + 2y  килограммов проволоки. Так как в наличии имеется только 480 килограммов железа и 300 килограммов проволоки, то должны выполняться неравенства:

Неравенства появляются потому, что цех может использовать запасы железа и проволоки неполностью.

От выпуска x трансформаторов первого вида и y трансформаторов второго вида цех получит прибыль:

z = 1,2x + y.

Решение задачи заключается  в определении наибольшего значения линейной функции двух переменных

z = 1,2x + y

при условии, что переменные x и y удовлетворяют системе неравенств:

Последние неравенства x ³ 0 и y ³ 0 внесены в систему по смыслу самой задачи: количества выпускаемых трансформаторов не могут выражаться отрицательными числами.

Давайте определим какая функция в данной задаче будет являться целевой функцией. По определению целевой функции, это функция, которую надо максимизировать (найти наибольшее значение) или минимизировать (найти наименьшее значение). В нашей задаче нам надо найти наибольшее значение функции z = 1,2x + y. Она и будет являться целевой функцией в нашей задаче, а системой ограничений будет являться система

Определение. Любое решение системы ограничений называется допустимым решением задачи линейного программирования.

Например, x = 60 и y = 20 есть решение системы ограничений. Убедиться в этом можно, подставив эти значения в систему.

Определение. Допустимое решение, при котором целевая функция достигает максимального или минимального значения, называется оптимальным решением.

Например, для нашей задачи решение x = 60, y = 20 – допустимое, но не оптимальное решение, так как значение целевой функции при допустимом решении x = 0, y = 150 больше. Действительно, при x = 60 и y = 20, z = 32. А при x = 0 и y = 150, z = 150.

Вообще, все задачи линейного программирования можно разбить на два вида. Задачи, в которых требуется минимизировать целевую функцию, будем называть задачами минимизации. Задачи, в которых требуется максимизировать целевую функцию, - задачами максимизации.

На этом закончим урок. Теперь прочтите краткий конспект этого урока и пройдите контрольное тестирование.

ЗАНЯТИЕ ЧЕТВЕРТОЕ

Геометрическое решение уравнений и систем уравнений

Вы уже, наверное, поняли, что для того, чтобы научиться решать простейшие задачи линейного программирования, нам придется решать системы неравенств, которые представляют собой системы ограничений. Поэтому нам необходимо вспомнить, как можно решать системы линейных уравнений, к примеру, с двумя  неизвестными.

В курсе алгебры 7-го класса рассматривались системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

где a_1, a_2, b₁, b₂, c₁, c₂ – заданные числа, x и y – неизвестные.

Вам известно, что такие системы можно решать аналитически (основные способы решения: метод подстановки и способ алгебраического сложения) и геометрически (с помощью графиков этих уравнений).

Давайте вспомним, как решать уравнения и системы уравнений с двумя неизвестными графически (в дальнейшем вы поймете, почему мы особо останавливаемся именно на этом способе решения).

Для начала вспомним основные определения.

Определение. Графиком уравнения с двумя неизвестными x и y называется множество точек (x;y), координаты которых x и y при подстановке их в это уравнение обращают его в верное равенство.

Определение. Графиком линейного уравнения ax + by = c является прямая, если хотя бы одно из чисел a и b не равно нулю.

Очевидно, что для построения прямой достаточно построить какие – нибудь две ее точки и затем через эти точки провести прямую.

Давайте построим график уравнения 2x + y = - 2.

Графиком этого уравнения является прямая, проходящая через точки A(0; - 2)  и B(- 1;0).

Построим этот график.

Теперь давайте рассмотрим, как решают графически систему двух уравнений с двумя неизвестными. Очевидно, что надо найти точки пересечения графиков уравнений, входящих в данную систему.

Графическим способом решим такую систему уравнений:

На одной координатной плоскости построим графики этих уравнений, т.е. прямые x – y = 1 и x + 2y = 4. Измеряя координаты точки пересечения этих прямых, получаем:  x » 2,  y » 1. Проверкой убеждаемся, что точные значения x = 2, y = 1 являются решением исходной системы.

Таким образом, алгебра и геометрия живут в тесной взаимосвязи и очень помогают друг другу решать интересные и практически важные задачи.

Однако нельзя забывать, что с помощью графиков решение систем можно в большинстве случаев находить только приближенно, а алгебраические способы дают точное решение. В этом смысле алгебра оказывается «сильнее» геометрии. Но это только для простых систем уравнений, например, линейных. А для более сложных уравнений часто оказывается, что алгебраически точное решение найти невозможно. И тогда геометрия оказывается «сильнее», так как с помощью графиков можно найти хотя бы приближенное решение.

На этом занятие подошло к концу. Внимательно ознакомьтесь с кратким конспектом урока и выполните практическое  задание.

ЗАНЯТИЕ ПЯТОЕ

Решение линейных неравенств

и систем линейных неравенств с двумя неизвестными

В общем случае линейными неравенствами с двумя неизвестными x и y называются неравенства вида

ax + by > c, ax + by ³ c,

ax + by < c, ax + by £ c,

где a, b, c – заданные числа и хотя бы одно из чисел a, b не равно нулю.

Определение. Решением неравенства с двумя неизвестными x и y называется пара чисел (x; y), при подстановке которых в это неравенство получается верное числовое неравенство.

Определение.  Решить неравенство – это значит найти все его решения или установить, что их нет.

Можно показать, что прямая ax + by = c разбивает всю плоскость на две полуплоскости, в одной из которых ax + by > c, а в другой ax + by < c. Для того чтобы выяснить, в какой из этих полуплоскостей выражение ax + by больше c или меньше с, достаточно вычислить значение этого выражения в какой – нибудь одной точке одной из полуплоскостей. Таким образом, каждое линейное неравенство с двумя неизвестными имеет бесконечное множество решений: полуплоскость вместе с граничной прямой или без нее.

Рассмотрим очень интересную геометрическую интерпретацию решения линейного неравенства с двумя неизвестными. Рассмотрим линейную функцию z = z(x; y) = ax + by – c двух независимых переменных x и y, где a, b, c – заданные числа, причем хотя бы одно из чисел a и b не равно нулю.

Графиком этой функции в пространстве (x; y; z) является некоторая плоскость a (рис.1). Посмотрим, в каких точках плоскости (x; y) значения функции z = ax + by – c равны нулю, положительны или отрицательны.

1.     z = 0, т.е. ax + by – c = 0 на прямой AB пересечения плоскости a с плоскостью (x; y). (рис 1).

2.     z > 0, т.е. ax + by – c > 0 в таких точках плоскости (x; y), в которых плоскость a лежит выше плоскости (x; y). На рис. 1 видно, что z > 0 в полуплоскости H , лежащей на плоскости (x; y) левее прямой AB.

3.      Аналогично ax + by – c < 0 в полуплоскости F, лежащей на плоскости (x; y) правее прямой AB (рис.1).

Итак, прямая  ax + by = c  разбивает плоскость(x; y) на две полуплоскости: в одной из них (H на рис.1) ax + by > c , а в другой (F на рис.1) ax+by < c.

Задача 1.

Решить неравенство

2x + y < 0.

Решение. Прямая 2x + y = 0 разбивает всю плоскость на две полуплоскости: F – выше этой прямой, H – ниже прямой (рис. 2). Вычислим значение выражения 2x + y в какой – нибудь точке полуплоскости  F. Например, в точке (1; 1) имеем 2 × 1 + 1 = 3 > 0. Значит 2x + y > 0 в плоскости F.

         Вычислим значение выражения 2x + y в какой – нибудь точке полуплоскости H. Возьмем точку (- 1; 0). Получаем: 2 × (- 1) + 0 = - 2 < 0. Следовательно, 2x + y < 0 в плоскости H, лежащей ниже прямой 2x + y = 0.

         Задача решена.

Многие практические задачи сводятся к системам двух или нескольких неравенств с двумя неизвестными x и y.

Определение. Решением системы неравенств с двумя неизвестными x и y называется пара чисел (x; y), при подстановке которых во все неравенства получаются верные числовые неравенства.

Определение. Решить систему неравенств – это значит найти все ее решения или установить, что их нет.

Рассмотрим решение системы неравенств с двумя неизвестными на следующем примере.

Задача. Найти все пары (x; y) натуральных чисел x и y, которые являются решениями системы неравенств

Решение. Множество решений каждого из неравенств – полуплоскость. Эти полуплоскости изображены на рисунках 3 – 5. Множеством решений системы неравенств является общая часть всех трех полуплоскостей – внутренность треугольника, изображенного на рисунке 6. По рисунку видно, что внутри треугольника есть только одна точка с натуральными координатами. Это точка(2; 3). Ответ: ( 2; 3).

Система линейных неравенств может иметь бесконечное множество решений, может иметь только одно решение, может не иметь решений.

Пример 1. Система

имеет бесконечное множество решений – это угол вместе со своей границей, изображенный на рисунке 7.

Пример 2. Система

имеет только одно решение (- 3; 3) (рис. 8), так как угол, изображенный на рисунке 7, имеет с полуплоскостью  x – y £ - 6 только одну общую точку  (- 3; 3).
Пример 3. Система

не имеет решений, так как угол, изображенный на рисунке 7, не имеет общих точек с полуплоскостью, лежащей выше прямой x – y £ - 7 (рис. 9).

На этом наш урок подошел к концу. Прочтите краткий конспект урока и выполните практические задания.

ЗАНЯТИЕ ШЕСТОЕ

Графическое решение задачи линейного программирования с

двумя неизвестными

На прошлых уроках мы научились решать системы линейных неравенств. Теперь давайте вспомним основную цель нашего курса. Мы хотим научиться решать задачи линейного программирования.

Еще раз отметим, что линейное программирование – это математическая дисциплина, изучающая методы нахождения наибольшего или наименьшего значения линейной функции нескольких переменных при условии, что последние удовлетворяют конечному числу линейных неравенств или уравнений.

Мы учились решать системы линейных неравенств затем, что при решении задач линейного программирования необходимо будет решать системы ограничений, которые и представляют собой систему линейных неравенств.

В общем виде, когда количество неизвестных равно n, задача линейного программирования формулируется следующим образом:

среди неизвестных x₁, x₂, . . . , x_n, удовлетворяющих системе

определить такие, при которых линейная функция

z = c₁x₁ + c₂x₂ + . . . + c_nx_n

достигает своего наибольшего (наименьшего) значения.

Задача линейного программирования с двумя неизвестными имеет следующий вид:

среди неизвестных x и y, удовлетворяющих системе

определить такие, при которых линейная функция

z = c₁x + c₂y

достигает своего наибольшего (наименьшего) значения.

Так как система ограничений есть система линейных неравенств, то множество ее решений есть выпуклый многоугольник М, лежащий в первой четверти координатной плоскости (т.к. в большинстве задач линейного программирования x и y неотрицательны).

С учетом этого задачу можно сформулировать иначе: среди всех точек выпуклого многоугольника М найти такую, координаты которой минимизируют (максимизируют) линейную функцию

z = c₁x + c₂y.

Если зафиксировать какое–нибудь значение функции z = d, то получим линейное уравнение с двумя неизвестными c₁x + c₂y = d, график которого есть прямая плоскости. При изменении d от - ¥ до + ¥ прямая c₁x + c₂y = d, смещаясь параллельно самой себе, «зачертит» всю плоскость (рис.10).

Рис 10

Пусть М – многоугольник решений системы ограничений (рис.11). При изменении d от - ¥ до + ¥ прямая  c₁x + c₂y = d  при некотором значении d =      d₁ достигает многоугольника М и имеет с ним  общую точку А (назовем эту точку точкой «входа», а затем, пройдя весь многоугольник М, при некотором значении d = d₂ , будем иметь с ним последнюю общую точку В (назовем ее точкой «выхода»).

Рис. 11

Очевидно, что своего наименьшего значения целевая функция

 z = c₁x + c₂y

достигает в точке «входа» А и наибольшего значения в точке «выхода» В.

Разумеется, возможен случай, когда при перемещении прямой

c₁x + c₂y = d

«вход» («выход») прямой в многоугольник решений М произойдет по стороне этого многоугольника (рис. 12, 13). Это случится, если в многоугольнике М есть стороны параллельные прямой c₁x + c₂y = d. В этом случае точек «входа» («выхода») бесчисленное множество и минимальное (максимальное) значение целевая функция принимает во всех точках этой стороны многоугольника.

Так, координаты всех точек отрезка AD (рис. 12) минимизируют значение функции z = c₁x + c₂y, а координаты всех точек отрезка АВ (рис. 13)

                            Рис. 12                                                      Рис. 13

 

План геометрического решения задачи

линейного программирования.

Учитывая, что оптимальное значение целевая функция принимает в точках «входа» и «выхода», т.е. в вершинах области решений, можно предложить следующий план графического решения задачи линейного программирования:

1.                 Построить область решений системы ограничений;

2.                 Построить прямую, соответствующую целевой функции;

3.                 Параллельным переносом этой прямой, найти точку «входа» или «выхода» (в зависимости от требования задачи);

4.                 Определить координаты этой точки;

5.                 Вычислить значение целевой функции в координатах найденной точки.

Рассмотрим простейший пример задачи линейного программирования.

Задача 1. Среди чисел x и y,удовлетворяющих условиям

найти такие, при которых сумма этих чисел x + y принимает наибольшее и наименьшее значения.

Решение.

1. На координатной плоскости строим  прямую x – y = 1;

2. На этой же координатной плоскости строим прямую x – 4y = - 2;

3. Отмечаем часть плоскости, в которой y ³ 0 (это первая и вторая координатные четверти).

По полученному рисунку видно, что множеством точек (x; y), удовлетворяющих нашей системе неравенств, является треугольник АВС, изображенный на рисунке 14

Рис. 14

Таким образом, задача состоит в том, что среди точек (x; y) треугольника АВС нужно найти такие, в которых сумма S(x; y) = x + y принимает наименьшее и наибольшее значения.

Говоря на языке линейного программирования нам надо найти наибольшее и наименьшее значение целевой функции при заданной системе ограничений. В нашей задаче целевая функция – функция S(x; y) = x + y, а системой ограничений является система линейных неравенств

4. Целевая функция S(x; y) = x + y.

Сумма S(x; y) = x + y принимает заданное значение с на прямой

x + y = c. При различных значениях с прямые x + y = c параллельны, например, прямой x + y = 0.

5. Проведем параллельные прямые вида x + y = c, которые пересекают треугольник АВС(рис. 14) x + y = - 2, x + y = - 1; x + y = 0, . . . , x + y = 2,

x + y =3.

На этом рисунке видно, что наименьшее значение, равное – 2, сумма

x + y принимает в вершине А, т.е. при x = -2, y = 0, а наибольшее значение, равное 3, в вершине В, т.е. при x = 2, y = 1.

Ответ: сумма чисел x + y принимает наименьшее значение при x = -2;

y = 0, а наибольшее значение при x = 2; y = 1.

Наш ,возможно, самый трудный урок подошел к концу. Теперь вам предстоит ознакомиться с кратким конспектом урока и выполнить практическое задание. Удачи!

ЗАНЯТИЕ СЕДЬМОЕ

Решение практических задач линейного программирования

На этом уроке мы рассмотрим решение простейших практических задач линейного программирования. Вся необходимая теория вами уже изучена, поэтому можно приступить к решению практических задач.

На втором уроке нами была рассмотрена, но не решена такая задача:

Цех выпускает трансформаторы двух видов. На один трансформатор первого вида расходуется 3 кг проволоки и 5 кг трансформаторного железа, а на один трансформатор второго вида – 2 кг проволоки и 3 кг железа. От реализации одного трансформатора первого вида цех получает прибыль в 1,2 у. е., а от реализации одного трансформатора второго вида – 1 у. е. Сколько трансформаторов каждого вида должен выпустить цех, чтобы получить наибольшую прибыль, если цех располагает 480 кг железа и 300 кг проволоки?

Мы с вами рассмотрели условие этой и задачи и сделали вывод:

Пусть x и y – количества трансформаторов соответственно первого и второго вида.

Решение задачи заключается  в определении наибольшего значения линейной функции двух переменных

z = 1,2x + y

при условии, что переменные x₁ и x₂ удовлетворяют системе неравенств:

Последние неравенства x ³ 0 и y ³ 0 внесены в систему по смыслу самой задачи: количества выпускаемых трансформаторов не могут выражаться отрицательными числами.

Функция z = 1,2x + y будет являться целевой функцией в нашей задаче, а системой ограничений будет являться система

Давайте решим эту задачу линейного программирования графическим методом.

Решение:

1.        Построим на координатной плоскости прямую

5x + 3y = 480.

Обозначим ту часть плоскости, в которой 5x + 3y £ 480. Это часть плоскости, лежащая ниже построенной нами прямой, включая саму прямую.

2.        Построим на этой же координатной плоскости прямую

3x + 2y = 300.

Обозначим ту часть плоскости, в которой 3x + 2y £ 300. Это опять же, часть плоскости, которая лежит ниже прямой, включая саму прямую.

3.        Т. к. x³ 0, y ³ 0, то решение будем рассматривать в первой координатной плоскости.

4.       

Система ограничений будет представлять собой многоугольник АВСО (рис. 15).

Рис. 15

5.        Фиксируем произвольное значение функции z, например z = - 30, и построим прямую 1,2x + y = - 30.

6.         Будем параллельно перемещать прямую 1,2x + x = - 30 в направлении, указанном стрелкой (увеличивая значение функции z).

7.        Легко увидеть, что точкой «выхода» будет точка С многоугольника решений. А нам известно, что целевая функция принимает наибольшее значение в точке «выхода» многоугольника решений.

8.        Определим координаты точки С. Точка С есть результат пересечения прямой  3x + 2y = 300 и оси ординат OY. Значит, ее координаты находятся из системы

Решая эту систему, получаем: x = 0, y = 150.

9.        Теперь вычислим значение целевой функции   z = 1,2x + y при этих значениях неизвестных:

z = 1,2 × 0 + 150 = 150.

Ответ: чтобы получать наибольшую прибыль цех должен выпускать 150 трансформаторов второго вида, при этом не выпускать трансформаторы первого вида.

Давайте решим еще одну задачу линейного программирования.

Задача 2. С совхозного поля на овощную базу перевозятся овощи автомашинами грузоподъемностью по 5 и 10 тонн. За один час база может принять не более 10 машин, при этом не более 8 машин по 5 тонн и не более 6 машин по 10 тонн. Сколько машин по 5 и 10 тонн нужно отправлять с поля на базу за один час, чтобы перевозить наибольшее количество овощей?

Решение.

Для начала переведем эту практическую задачу на математический язык.

Пусть за 1 час отправляется x машин по 5 тонн и y машин по 10 тонн.

По условию задачи x ³ 0 и  y ³ 0 (т.к. количество машин не может быть отрицательным);

x £ 8, а y £ 6 (т.к. за один час база не может принять более 8 машин грузоподъемностью 5 тонн, и не более 6 машин грузоподъемностью 10 тонн);

x + y £ 10 (т. к за один час база не может принять более 10 машин).

Всего за один час перевозится  5x + 10y тонн овощей. Задача свелась к нахождению наибольшего значения линейной функции S(x; y) = 5x + 10y, в области, заданной системой неравенств.

Теперь применяем план графического решения задачи линейного программирования.

1.        Строим прямую x = 8. Отмечаем ту часть плоскости, в которой

 x £ 8. Это часть плоскости, которая лежит левее  прямой x = 8, включая саму прямую.

2.        Строим прямую y = 6. Отмечаем ту часть плоскости, в которой

y £ 6. Это часть плоскости, которая лежит ниже прямой y = 6, включая саму прямую.

3.        Задачу будем решать в первой четверти, т.к. x ³ 0 и y ³ 0.

4.        Строим прямую x + y = 10. Отмечаем часть плоскости, в которой

x + y £ 10. Это часть плоскости, лежащая ниже прямой, включая саму прямую.

5.       

Множеством решений системы ограничений является многоугольник, изображенный на рисунке 16.

Рис. 16

6.        Фиксируем произвольное значение целевой функции. Пусть это значение равно 0. Построим прямую 5x + 10y = 0.

7.        Будем параллельно перемещать прямую 5x + 10y = 0 в направлении увеличения значения целевой функции.

8.        Наибольшее значение целевая функция примет в точке «выхода» многоугольника решений.

9.        Найдем координаты этой точки. Эта точка есть точка пересечения прямых x = 4 и  y = 6. Т.е. это точка (4; 6).

10.   Вычислим значение целевой функции в точке (4; 6).

S(4; 6) = 5 × 4 + 10 × 6 = 80.

Ответ: чтобы перевезти наибольшее количество овощей, с поля на базу за 1 час нужно отправить 4 машины грузоподъемностью 5 тонн и 6 машин грузоподъемностью 10 тонн.

ЗАНЯТИЕ ВОСЬМОЕ

Продолжаем решать задачи линейного программирования

На этом уроке мы продолжим решение задач линейного программирования, используя графический метод.

Давайте решим следующую очень интересную задачу, имеющую большое практическое применение.

Задача о железнодорожных перевозках.

С железнодорожных станций А и В нужно развезти грузы на склады № 1, № 2 и № 3. На станции А весь груз можно погрузить на 80 машин, а на станции В – на 100 машин. Склады должны принять: № 1 – 50 машин, № 2 – 70 машин, № 3 – 60 машин. Количество бензина (в литрах), которое расходует одна машина на пробег от станции до склада, дается следующей таблицей.

Станции	Склады
	№ 1	№ 2	№ 3
А	2	4	5
В	4	5	3

Требуется составить план перевозок, при котором общий расход бензина будет наименьшим.

Как вы видите, решение данной задачи имеет очень важное практическое значение. Теперь вернемся к решению задачи.

Для начала переведем условие задачи на язык математики.

Пусть x – число машин, отправленных со станции А на склад № 1, а y – со станции А на склад № 2. Тогда план перевозок задается следующей таблицей.

Станции	склады
	№ 1	№ 2	№ 3
А	x	y	80 – x – y
В	50 – x	70 – y	x + y – 20

Из таблиц находим общий расход бензина:

S(x; y) = 2x + 4y + 5(80 – x – y) + 4(50 – x) + 5(70 – y) + 3(x + y – 20) =

= 890 – 4x – 3y.

В последней таблице все числа должны быть неотрицательными (т.к. количество машин не может быть отрицательным числом). Поэтому необходимо составить следующую систему линейных неравенств:

Подведем итог: задача свелась к нахождению наименьшего значения линейной функции

S(x; y) = 890 – 4x – 3y

 в области, заданной системой неравенств

Итак, нам надо минимизировать целевую функцию S(x; y)=890 – 4x – 3y в области ограничений

Применяем план графического решения задачи линейного программирования.

1.        На координатной плоскости строим график прямой 80 – x – y = 0. Отмечаем ту часть плоскости, в которой 80 – x – y ³ 0. Она лежит выше этой прямой и включает саму прямую.

2.     Строим график прямой 50 – x = 0, т.е. x = 50. Отмечаем часть плоскости, в которой  50 – x ³ 0, т.е. x £ 50. Это часть плоскости, лежащая левее прямой x = 50. Плоскость содержит и саму прямую x = 50.

3.        Строим прямую x + y – 20 = 0. Отмечаем часть плоскости, в которой  x + y – 20 ³ 0. Это часть плоскости, лежащая правее прямой

x + y – 20 = 0 и включает саму прямую.

4.      Строим прямую y = 70. Отмечаем ту часть плоскости, в которой y£  70. Она располагается левее прямой y = 70 и содержит саму эту прямую.

               Решение будем проводить в первой координатной четверти, т. к.

x, y ³ 0.

Множеством  решений системы ограничений является многоугольник изображенный на рисунке 17.

Утверждение. Можно показать, что линейная функция двух переменных, рассматриваемая в некотором многоугольнике принимает свое наибольшее (и наименьшее) значение в одной из вершин этого многоугольника.

Используя это утверждение, можно сказать, что наша целевая функция примет свое наименьшее значение в одной из вершин многоугольника (рис.17).

5.   Вычислим значение функции S(x; y) = 890 – 4x – 3y  в вершинах многоугольника (координаты вершин указаны на рисунке 1).

Получаем

S (0; 20) = 830, S (0; 70) = 680, S (10; 70) = 640,

S (50; 30) = 600, S (50; 0) = 690, S (20; 0) = 810.

Наименьшее из этих значений, равное 600, функция S(x; y)=890–4x–3y принимает при x = 50, y = 30. При этих значениях таблица принимает вид:

станция	Склады
	№ 1	№ 2	№ 3
А	50	30	0
В	0	40	60

Ответ: при такой схеме перевозок будет наименьший расход бензина, равный 600 литров.

При решении данной задачи потребовалось сделать несложные вычисления. На практике часто приходится решать очень много таких задач, а также более сложных задач со многими неизвестными. Поэтому в большинстве случаев вычисления проводятся на ЭВМ по специальным программам.

ЗАНЯТИЕ ДЕВЯТОЕ

Понятие многокритериальной задачи

Во время наших уроков мы рассматривали задачи, для решения которых было достаточно сделать несложные вычисления. На практике часто приходится решать много таких задач, для которых надо проводить сложнейшие вычисления, решать сложные системы со многими неизвестными. Поэтому вычисления проводятся на ЭВМ по специальным программам.

По примерам рассмотренных задач можно показать, что в принципе любую экономическую задачу можно переложить на математическую модель и останется только придумать методы решения математических задач и программы вычисления на ЭВМ. Однако такая простая идея не может быть осуществлена по очень многим причинам. Одна из них заключается в непримиримых противоречиях разных целей.

Например, если предприятию предписывается выпускать «больше товаров лучшего качества по более низким ценам», то ясно, что три эти цели противоречивы и не могут быть реализованы одновременно.

На самом деле на практике предприятиям приходится при составлении плана производства учитывать несколько критериев, т. е. решать многокритериальные задачи. Так, если речь идет об изготовлении нескольких видов продукции из нескольких видов сырья, то критерии состоят в отыскании максимумов и минимумов нескольких целевых функций: ценность сырья и продукции, затраты труда и энергии и т. д. Но одновременное достижение оптимального варианта для всех целевых функций, как правило, даже теоретически невозможно.

Например, рассмотрим следующую упрощенную модель. Пусть множеством решений системы неравенств, заданных условиями задачи, является некоторый многоугольник F плоскости (x; y), и есть две целевые функции S₁(x; y) и S₂(x; y). Желательно было бы с точки зрения практической задачи найти такую точку многоугольника F , в которой каждая из целевых функций принимает наибольшее значение, но такой точки нет, так как наибольшие значения функций достигаются в разных точках F.

Для решения таких многокритериальных задач придуман метод сведения всех критериев ( в данном случае двух) к одному, а именно: к одной целевой функции.

aS₁( x; y ) + ( 1 - a ) S₂( x; y ),

где 0£ a £ 1, a и 1 - a, - так называемые коэффициенты относительной важности целевых функций S₁( x; y ) и S₂( x; y ) в данной практической задаче. Эти коэффициенты выбираются из внемодельных субъективных выражений лица, принимающего решение ( ЛПР ). Знание реальной проблемы и накопленный опыт ЛПР позволяет получить практически хорошие результаты при решении новой однокритериальной задачи, которую мы умеем решать.

Если же практика показывает, что ЛПР ошибся, то он делает уступку, изменяя коэффициент a. После повторного эксперимента ЛПР может сделать еще одну уступку, еще раз уточнив коэффициент a. Такой метод последовательных уступок, хотя и может показаться странным, фактически часто применяется на практике.

Вы, наверное, можете привести многочисленные примеры из своего жизненного опыта, когда вам приходилось делать разнообразные уступки: при выборе блюд в школьной столовой, при покупках в магазинах, при выборе туристического маршрута и т. д.

ЗАНЯТИЕ ДЕСЯТОЕ

ИТОГОВОЕ ЗАНЯТИЕ.

ИТОГОВОЕ ТЕСТИРОВАНИЕ.

Приложение 1

КРАТКИЕ КОНСПЕКТЫ ЗАНЯТИЙ

Подведем итог

Вот вами и пройден  курс, который назывался «Страна линейного программирования». На этом уроке мы еще раз кратко повторим все то, что было изучено на предыдущих восьми уроках. На следующем уроке вы должны будете пройти итоговое тестирование, которое позволит вам узнать оценку, которую вы заработали по окончании нашего курса. Для того чтобы успешно пройти итоговое тестирование, внимательно прочтите все краткие конспекты уроков.

Краткий конспект второго занятия.

На первом уроке мы говорили о том, что с задачами математического программирования каждый встречается практически ежедневно. Мы попытались составить схему математического моделирования и разбили ее на этапы.

Краткий конспект третьего занятия.

Мы познакомились с основными понятиями линейного программирования: целевой функцией, системой ограничений, допустимым решением, оптимальным решением.

Функцию, для которой находится ее наибольшее или наименьшее значение называют целевой функцией.

Системы неравенств или уравнений, которым должны удовлетворять переменные целевой функции, будем называть системами ограничений.

Любое решение системы ограничений называется допустимым решением задачи линейного программирования.

Допустимое решение, при котором целевая функция достигает максимального или минимального значения, называется оптимальным решением.

В линейном программировании задачи разделяются на задачи минимизации (надо минимизировать целевую функцию) и на задачи максимизации (целевую функцию надо максимизировать).

Итак, в разных областях жизни и деятельности человека приходится решать вопрос о выборе наилучшего варианта из возможных альтернативных вариантов. Наилучший, т.е. оптимальный вариант должен удовлетворять двум требованиям: во – первых, он должен быть одним из реально возможных (допустимых), во – вторых, должен обеспечивать максимум поставленной цели.

Краткий конспект четвертого занятия.

В курсе алгебры 7-го класса рассматривались системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

где a_1, a_2, b₁, b₂, c₁, c₂ – заданные числа, x и y – неизвестные.

Вам известно, что такие системы можно решать аналитически (основные способы решения: метод подстановки и способ алгебраического сложения) и геометрически (с помощью графиков этих уравнений).

Определение. Графиком уравнения с двумя неизвестными x и y называется множество точек (x;y), координаты которых x и y при подстановке их в это уравнение обращают его в верное равенство.

Определение. Графиком линейного уравнения ax + by = c является прямая, если хотя бы одно из чисел a и b не равно нулю.

Очевидно, что для построения прямой достаточно построить какие – нибудь две ее точки и затем через эти точки провести прямую.

Графический способ решения систем уравнений часто помогает решать системы, когда алгебраический метод оказывается почти не выполнимым.

Краткий конспект пятого занятия.

Линейными неравенствами с двумя неизвестными x и y называются неравенства вида

ax + by > c, ax + by ³ c,

ax + by < c, ax + by £ c,

где a, b, c – заданные числа и хотя бы одно из чисел a, b не равно нулю.

Определение. Решением неравенства с двумя неизвестными x и y называется пара чисел (x; y), при подстановке которых в это неравенство получается верное числовое неравенство.

Определение. Решением неравенства с двумя неизвестными x и y называется пара чисел (x; y), при подстановке которых в это неравенство получается верное числовое неравенство.

Определение. Решить неравенство – это значит найти все его решения или установить, что их нет.

Прямая ax + by = c разбивает всю плоскость на две полуплоскости, в одной из которых ax + by > c, а в другой ax + by < c.

Каждое линейное неравенство с двумя неизвестными имеет бесконечное множество решений: полуплоскость вместе с граничной прямой или без не. Для того чтобы выяснить, в какой из этих полуплоскостей выражение ax + + by больше c или меньше с, достаточно вычислить значение этого выражения в какой – нибудь одной точке одной из полуплоскостей.

Определение. Решением системы неравенств с двумя неизвестными x и y называется пара чисел (x; y), при подстановке которых во все неравенства получаются верные числовые неравенства.

Определение. Решить систему неравенств – это значит найти все ее решения или установить, что их нет.

Система линейных неравенств может иметь бесконечное множество решений, может иметь только одно решение, может не иметь решений.

Краткий конспект шестого занятия.

В общем, виде, когда количество неизвестных равно n, задача линейного программирования формулируется следующим образом:

среди неизвестных x₁, x₂, . . . , x_n, удовлетворяющих системе

определить такие, при которых линейная функция

z = c₁x₁ + c₂x₂ + . . . + c_nx_n

достигает своего наибольшего (наименьшего) значения.

Задача линейного программирования с двумя неизвестными имеет следующий вид:

среди неизвестных x и y, удовлетворяющих системе

определить такие, при которых линейная функция

z = c₁x + c₂y

достигает своего наибольшего (наименьшего) значения.

Так как система ограничений есть система линейных неравенств, то множество ее решений есть выпуклый многоугольник М, лежащий в первой четверти координатной плоскости.

С учетом этого задачу можно сформулировать иначе: среди всех точек выпуклого многоугольника М найти такую, координаты которой минимизируют (максимизируют) линейную функцию

z = c₁x + c₂y.

План графического решения задачи линейного программирования.

Учитывая, что оптимальное значение целевая функция принимает в точках «входа» и «выхода», т.е. в вершинах области решений, можно предложить следующий План графического решения задачи линейного программирования:

1. Построить область решений системы ограничений;

2. Построить прямую, соответствующую целевой функции;

3. Параллельным переносом этой прямой, найти точку «входа» или «выхода» (в зависимости от требования задачи);

1.     Определить координаты этой точки;

2.     Вычислить значение целевой функции в координатах найденной точки.

Краткий конспект седьмого занятия.

На этом уроке мы рассмотрели, как можно решить практические задачи, используя графический метод решения задач линейного программирования. Нами были решены две задачи  на нахождение наибольшего значения целевой функции (задачи максимизации). Но это не значит, что графический метод не позволяет решить задачу минимизации (нахождения наименьшего значения целевой функции). На следующем уроке мы будем рассматривать более сложные задачи линейного программирования. Мы рассмотрим и задачу минимизации целевой функции.

А сейчас давайте еще раз повторим план графического решения задач линейного программирования.

Учитывая, что оптимальное значение целевая функция принимает в точках «входа» и «выхода», т.е. в вершинах области решений, можно предложить следующий План графического решения задачи линейного программирования:

1.     Построить область решений системы ограничений;

2.     Построить прямую, соответствующую целевой функции;

3.     Параллельным переносом этой прямой, найти точку «входа» или «выхода» (в зависимости от требования задачи);

4.     Определить координаты этой точки;

5.     Вычислить значение целевой функции в координатах найденной точки.

Краткий конспект восьмого занятия.

Мы решили важную практическую задачу о железнодорожных перевозках. При решении этой задачи нам пришлось минимизировать целевую функцию, составляя план перевозок, при котором общий расход бензина был бы наименьшим. При решении задачи мы использовали очень важное утверждение.

Утверждение. Можно показать, что линейная функция двух переменных, рассматриваемая в некотором многоугольнике принимает свое наибольшее (и наименьшее) значение в одной из вершин этого многоугольника.

Краткий конспект девятого занятия.

В принципе любую экономическую задачу можно переложить на математическую модель и останется только придумать методы решения математических задач и программы вычисления на ЭВМ. Однако такая простая идея не может быть осуществлена по очень многим причинам. Одна из них заключается в непримиримых противоречиях разных целей.

На самом деле на практике предприятиям приходится при составлении плана производства учитывать несколько критериев, т. е. решать многокритериальные задачи.

Пусть множеством решений системы неравенств, заданных условиями задачи, является некоторый многоугольник F плоскости ( x; y ), и есть две целевые функции S₁( x; y ) и S₂( x; y). Желательно было бы с точки зрения практической задачи найти такую точку многоугольника F , в которой каждая из целевых функций принимает наибольшее значение, но такой точки нет, так как наибольшие значения функций достигаются в разных точках F.

Для решения таких многокритериальных задач придуман метод сведения всех критериев ( в данном случае двух) к одному, а именно: к одной целевой функции.

aS₁( x; y ) + ( 1 - a ) S₂( x; y ),

где 0£ a £ 1, a и 1 - a, - так называемые коэффициенты относительной важности целевых функций S₁( x; y ) и S₂( x; y ) в данной практической задаче. Эти коэффициенты выбираются из внемодельных субъективных выражений лица, принимающего решение ( ЛПР ).

Если же практика показывает, что ЛПР ошибся, то он делает уступку, изменяя коэффициент a.

Такой метод называется методом последовательных уступок.

В качестве заключения.

Итак, весь теоретический материал нами пройден, осталось только узнать насколько успешно. Теперь осталось самое главное испытание – итоговое тестирование. Если вы не уверены, что готовы к этому испытанию, то можно еще раз просмотреть все конспекты уроков и еще раз подготовиться к итоговому тестированию. А тем, кто готов приступить к главному испытанию, хочется пожелать удачи. После прохождения итогового тестирования на экран будет выведена ваша оценка. Если она превышает три балла, то считайте, что вы справились с нашим курсом, если же ваша оценка три и ниже, то курс вами не пройден, и, к сожалению, вы не можете сказать, что постигли основы линейного программирования. При желании, вы можете еще раз пройти наш курс и попытаться повторно сдать итоговое тестирование.

Еще раз желаю вам удачи в прохождении главного испытания. Успехов!

Приложение 2.

Практическая часть

ВТОРОЕ ЗАНЯТИЕ

Задача.

Два художника купили по одинаковому количеству краски. Первый из них половины всей краски купил по a рублей за тюбик, а другую половину - по b рублей за тюбик. Второй половину всех денег за покупку истратил на тюбики по a рублей, а другую половину денег ‑ на тюбики по b рублей. Кто из них заплатил за покупку меньше?

Решение

1.     Введем обозначения:

 S - число тюбиков, купленных каждым художником;

 x рублей - сумма, затраченная на покупку первым художником;

 y рублей – сумма, затраченная на покупку вторым художником.

 По условию задачи имеем:

,                                            (1)

                                                 (2)

Итак, надо выяснить, какое из чисел, x и y , меньше другого, если положительные числа a, b, x, y, S удовлетворяют равенствам (1) и (2).

 Эта математическая задача и есть математическая модель данной практической задачи.

2. Приступим к решению полученной задачи.

Вспомним определение неравенства:

	, если x – y > 0;
	, если x – y < 0.

Следовательно, нужно выяснить знак числа x – y. Из равенства (1) и (2) получаем:

Не забываем, что a, b, S – положительные числа. Тогда получим:

x – y > 0, т.е. x > y, если a¹  b,

x – y = 0, т.е. x = y, если a = b.

Математическая задача решена.

3. Возвратимся к практической задаче. Прочтем еще раз условие задачи. Явно предполагается, что a и b разные числа, иначе было бы ясно, что оба художника заплатили одинаково. Такую задачу и ставить не надо. Но для точности ответа оговорим и случай a = b.

Теперь ответим на вопрос задачи: первый художник заплатил больше, если a и b неравны, и оба заплатили одинаково, если a и b равны.

ТРЕТЬЕ ЗАНЯТИЕ

Задача о пищевом рационе.

 Для кормления коров на ферме используются сено, силос, концентраты. Содержание кормовых единиц белка и кальция, а также себестоимость каждого из этих кормов заданы в виде следующей таблицы:

Вид корма	Содержание в 1 кг					Себесто- имость 1 кг корма (руб.)
	кормовых	белка (г)		кальция (г)
Сено	0, 5	40		5		400
Силос	0, 2		10		4	200
Концен- трат	1, 0		200		3	300

Чтобы составить дневной рацион, нужно соблюсти следующие условия:

1. Ресурсы позволяют затратить не более: сена - 50 кг, силоса - 25 кг, концентратов - 10 кг;

2. Кормовых единиц должно быть не менее 20;

3. Белка должно быть не менее 2000 г;

4. Кальция должно быть не менее 100 г.

Каким образом составить дневной рацион так, чтобы его себестоимость была наименьшей?

         Задание: обозначив через x, y, z количество килограммов соответственно сена, силоса и концентратов в дневном рационе, найдите:

a)      систему ограничений;

b)     целевую функцию.

Ответ:

Система ограничений:

         0 £ x £ 50, 0 £ y £ 25, 0 £ z £ 10,

0,5x + 0,2y + z ³ 20,

40x + 10y + 100 ³ 2000,

5x + 4y + 3z ³ 10.

Целевая функция:

         4x + 2y +  8z

ЧЕТВЕРТОЕ  ЗАНЯТИЕ

1.     Решить графически систему уравнений:

a)                          b)

Ответ: a)(2;-3); b) нет решений.

2.     Найдите координаты точки пересечения прямых (графически):

6x – 7y = 2 и 9x – 11y = 1.

Ответ:(5;4).

ПЯТОЕ ЗАНЯТИЕ

1.         Выяснить какие из пар чисел являются решениями системы неравенств:

a)      (0; 1); b) (- 2;0); c) (2; - 1); d) (- 1; - 2).

Ответ: d).

2.         Решить систему неравенств (графически):

Ответ: (3; 4).

3.         Найти все пары (x; y) натуральных чисел x и y, которые являются решениями системы неравенств:

Ответ: (4; 3).

ШЕСТОЕ ЗАНЯТИЕ

1.Найти наибольшее значение линейной функции

S(x; y) = 4x +5y + 2

в области, заданной системой неравенств

Ответ: 13.

2.Найти наименьшее значение линейной функции

S(x; y) = 9y – 4x + 7

в области, заданной системой неравенств

Ответ: - 15.

3.   Найти наибольшее и наименьшее значение линейной функции

S(x; y) = 7x + 3y + 11

в области, заданной системой неравенств

Ответ: 22 и – 12.

ЗАНЯТИЕ СЕДЬМОЕ

Решите задачу линейного программирования графическим методом.

Автобаза должна выделить в распоряжение хлебзавода не менее 8 машин грузоподъемностью по 3 тонны и не менее 6 машин по 5 тонн. Всего база может выделить не более 15 машин. Сколько машин по 3 тонны и 5 тонн нужно выделить, чтобы их общая грузоподъемность была наибольшей?

Ответ: 8 машин по 3 тонны и 7 машин по5 тонн.

ВОСЬМОЕ ЗАНЯТИЕ

Решите задачу графическим методом.

На станках А и В разной производительности обрабатываются детали №1, № 2 и № 3. Всего нужно обработать деталей № 1 – 100 штук, № 2 – 140 штук и № 3 – 110 штук. На станке А можно обработать 160 деталей, а на станке В – 190 деталей. Стоимость электроэнергии (в рублях), затрачиваемой одним станком на обработку одной детали, дается следующей таблицей:

Станки	Производительность
	№ 1	№ 2	№ 3
А	4	8	12
В	8	10	6

Требуется составить такой план работы станков, при котором затраты электроэнергии будут наименьшими.

Ответ: на станке А надо обработать 100 деталей № 1 и 60 деталей № 2; на станке В: 80 деталей № 2 и 110 деталей № 3.

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

ТЕСТИРОВАНИЯ К ЗАНЯТИЯМ

Второе занятие

1. На первом уроке была рассмотрена схема ........ моделирования.

a)      физического;

b)      геометрического;

с)       математического;

d)      художественного;

2. Первый этап математического моделирования называется:

a)      индукция;

b)      абстракция;

c)       дедукция;

d)      кондиция.

3. Второй этап математического моделирования называется:

a)      логическое решение математических проблем;

b)      индуктивное решение проблем;

c)       размышление над математической задачей.

d)      дедуктивное решение проблемы.

4. Третий этап математического моделирования называется:

a)      документация;

b)      реанимация;

c)       интерпретация;

d)      консультация.

5. Четвертый этап математического программирования называется:

a)      документы;

b)                рудименты;

c)                 комплименты;

d)      эксперименты.

Третье занятие

1. Линейное программирование – это:

a)   пакет прикладных программ;

b)   язык программирования;

c)   математическая дисциплина, изучающая методы нахождения наибольшего (наименьшего) значения линейной функции;

d)   математическая дисциплина, изучающая методы решения линейных уравнений?

2. Целевой называется функция

a)      которую надо построить по заданным точкам;

b)      которую надо минимизировать или максимизировать;

c)       график которой надо построить;

d)      график которой надо преобразовать.

3. Системы неравенств или уравнений, которым должны удовлетворять переменные целевой функции, будем называть:

a)      системами разграничений;

b)      системами допущений;

c)       системами ограничений;

d)                системами различий.

4. Любое решение системы ограничений называется ... решением задачи линейного программирования.

a)      допустимым;

b)      оптимальным;

c)       наилучшим;

d)      правильным.

5. Оптимальным решением задачи линейного программирования называется:

a)     решение, в котором целевая функция принимает максимум (минимум);

b)    решение, при котором целевая функция отрицательна;

c)     решение, при котором целевая функция положительна;

d)    допустимое решение, при котором целевая функция принимает минимум (максимум).

Четвертое занятие

1.      Графиком уравнения с двумя неизвестными x и y называется ... точек (x;y), координаты которых x и y при подстановке их в это уравнение обращают его в верное равенство.

a)      две точки;

b)      несколько;

c)      множество;

d)      количество.

2.     Графиком линейного уравнения ax + by = c является ... если хотя бы одно из чисел a и b не равно нулю.

a)      кривая;

b)      линия;

c)      точка;

d)      прямая.

3.     Графиком уравнения  by = c при b ¹ 0 является

a)      прямая, проходящая через точку y = c\ b  оси OY;

b)      прямая, параллельная оси OX и проходящая через точку y = c\ b оси OY;

c)      прямая, параллельная оси  OY и проходящая через точку x = c\ b оси OX;

d)      прямая, проходящая через точку x = c\ b.

4.     График уравнения ax = c при a ¹ 0 – это:

a)      прямая, параллельная оси OY и проходящая через точку x = c\ a;

b)      прямая параллельная оси OX;

c)      прямая, проходящая через точку x = c\ a;

d)      прямая, проходящая через точку y = c\ a.

5.     Для построения прямой достаточно:

a)      одной точки;

b)      трех точек;

c)      пяти точек;

d)      двух точек.

Пятое занятие

1.     Решением неравенства с двумя неизвестными x и y называется ..., при подстановке которых в это неравенство получается верное числовое неравенство.

a)      числа x₁ и x₂;

b)      пара чисел (x; y);

c)      выражения x = y;

2.     Решить неравенство – это значит:

a)      найти все его решения;

b)      найти все значения переменной x;

b)    найти все его решения или установить, что их нет.

3.     Прямая ax + by = c разбивает всю плоскость на две полуплоскости, в одной из которых ax + by > c, а в другой

a)      ax + by = 0;

b)      ax + by < 0;

c)      ax + by £ 0.

4.     Каждое линейное неравенство с двумя неизвестными имеет

a)      бесконечное множество решений;

b)      одно решение;

c)      два решения (сколько неизвестных в неравенстве).

5.     Решением системы неравенств с двумя неизвестными x и y называется....при подстановке которых во все неравенства получаются верные числовые неравенства.

a)      переменные;

b)      пара чисел (x; y);

c)      значения переменной x.

6.     Решить систему неравенств – это значит найти все ее решения или

a)      хотя бы одно его решение;

b)      установить, что их нет.

c)      более одного решения.

Шестое занятие

1. Задача линейного программирования с двумя неизвестными имеет следующий вид:

среди неизвестных x и y удовлетворяющих системе

определить такие, при которых линейная функция

z = c₁x + c₂y

достигает своего

а)      положительно значения;

b)      наибольшего или наименьшего значения;

с)       отрицательного значения.

2. Так как система ограничений есть система линейных неравенств, то множество ее решений есть выпуклый многоугольник М, лежащий в большинстве случаев

a)      в третьей координатной плоскости;

b)      во второй и четвертой координатной плоскости;

c)      в первой координатной плоскости.

3. Целевая функция принимает свое наименьшее значение в точке . . . области допустимых решений.

a)      «выхода»;

b)      «захода»;

c)      «входа».

4. Целевая функция принимает свое наибольшее значение в точке . . . области допустимых решений.

a)      « входа»;

b)      «выхода»;

c)      «ухода».

Итоговое тестирование

1.     Линейное программирование – это:

a) пакет прикладных программ;

b) язык программирования;

c)     математическая дисциплина, изучающая методы нахождения наибольшего (наименьшего) значения линейной функции;

d) математическая дисциплина, изучающая методы решения линейных уравнений.

2.   Целевой называется функция

a) которую надо построить по заданным точкам;

b) которую надо минимизировать или максимизировать;

c) график которой надо построить;

d) график которой надо преобразовать.

3.     Системы неравенств или уравнений, которым должны удовлетворять переменные целевой функции, будем называть:

a) системами разграничений;

b) системами допущений;

c) системами ограничений;

d) системами различий.

4.     Любое решение системы ограничений называется ... решением задачи линейного программирования.

a) допустимым;

b) оптимальным;

c) наилучшим;

d) правильным.

5.     Оптимальным решением задачи линейного программирования называется:

a) решение, в котором целевая функция принимает максимум (минимум);

b) решение, при котором целевая функция отрицательна;

c) решение, при котором целевая функция положительна;

c)      допустимое решение, при котором целевая функция принимает минимум (максимум).

6.   Задача линейного программирования с двумя неизвестными имеет следующий вид:

среди неизвестных x и y удовлетворяющих системе

определить такие, при которых линейная функция

z = c₁x + c₂y

достигает своего

а) положительно значения;

b) наибольшего или наименьшего значения;

с) отрицательного значения.

7.   Так как система ограничений есть система линейных неравенств, то множество ее решений есть выпуклый многоугольник М, лежащий в большинстве случаев

a) в третьей координатной плоскости;

b) во второй и четвертой координатной плоскости;

c) в первой координатной плоскости.

8.   Целевая функция принимает свое наименьшее значение в точке … области допустимых решений.

a) «выхода»;

b) «захода»;

c) «входа».

9.   Целевая функция принимает свое наибольшее значение в точке … области допустимых решений.

a) « входа»;

b) «выхода»;

c) «ухода».

10.   Графиком уравнения с двумя неизвестными x и y называется ... точек (x;y), координаты которых x и y при подстановке их в это уравнение обращают его в верное равенство.

a)   две точки;

b)  несколько;

c)   множество;

d)  количество.

10. Первый этап математического моделирования называется:

a)   индукция;

b)   абстракция;

c)   дедукция;

d)   кондиция.

11. Второй этап математического моделирования называется:

a)   логическое решение математических проблем;

b)   индуктивное решение проблем;

c)   размышление над математической задачей.

d)   дедуктивное решение проблемы.

12. Третий этап математического моделирования называется:

a)   документация;

b)   реанимация;

c)   интерпретация;

d)   консультация.

13. Четвертый этап математического программирования называется:

a)   документы;

b)   рудименты;

c)   комплименты;

d)   эксперименты.

14. Для построения прямой достаточно:

a)   одной точки;

b)   трех точек;

c)   пяти точек;

d)   двух точек.

15. Выяснить какие из пар чисел являются решениями системы неравенств:

a)   (0; 1);

b)  (- 2;0);

c)   (2; - 1);

d)  (- 1; - 2).

16. Найти наибольшее значение линейной функции

S(x; y) = 4x +5y + 2

в области, заданной системой неравенств

a)   34;

b)   21

c)   13.

17. Решением неравенства с двумя неизвестными x и y называется ..., при подстановке которых в это неравенство получается верное числовое неравенство.

a)   числа x₁ и x₂;

b)   пара чисел (x; y);

c)   выражения x = y;

18. Решить неравенство – это значит:

a)   найти все его решения;

b)   найти все значения переменной x;

c)        найти все его решения или установить, что их нет.

19. Прямая ax + by = c разбивает всю плоскость на две полуплоскости, в одной из которых ax + by > c, а в другой

a)   ax + by = 0;

b)   ax + by < 0;

c)   ax + by £ 0.

20. Каждое линейное неравенство с двумя неизвестными имеет

a)   бесконечное множество решений;

b)   одно решение;

c)   два решения (сколько неизвестных в неравенстве).

21. Решением системы неравенств с двумя неизвестными x и y называется....при подстановке которых во все неравенства получаются верные числовые неравенства.

a)   переменные;

b)   пара чисел (x; y);

c)   значения переменной x.

22. Решить систему неравенств – это значит найти все ее решения или

a)   хотя бы одно его решение;

b)   установить, что их нет.

с)   более одного решения.

23. Решить систему неравенств (графически):

a)   (3; 4);

b)   (5; 8);

c)   (-2; 6).

Литература

1.                 Волков В.А. Элементы линейного программирования. Пособие для учителей средней школы. Москва «Просвещение» 1975.

2.                 Гаас. С. Путешествие в страну линейного программирования. Пер. с англ. Ю. Н. Сударева. – М.: «Мир», 1973.

3.                 Горстко А. Б. Познакомьтесь с математическим моделированием. – М.: Знание, 1991.

4.                 Карманов В.Г. Математическое программирование. Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», М., 1975.

5.                 Кудрявцев Л. Д. Современная математика и ее преподавание. – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1980.

6.                 Математика. Учебник для экономистов. 10-11 классы. М., «Сантакс - пресс», 1996.

7.                 Нит И.В. Линейное программирование. М., Издательство Московского университета, 1978.

8.                 Программно-методические материалы: Математика. 5-11 кл.: Сборник нормативных документов / Сост. Г. М. Кузнецова. – М.: Дрофа, 2000.

 Изучение элективного  курса «Математическое(линейное) программирование» с применением дистанционных образовательных технологий (ДОТ).

Куликова Ирина Юрьевна

Учитель математики, зам. Директора по УВР

МОУ Дмитровской СОШ №2

г.Дмитров

В 2015-2016 учебном году в школе был открыт профильный информационно-технологический 10 класс.  Было принято решение ,что  элективные курсы по математике  будут изучаться с использованием дистанционных образовательных технологий. Для реализации данного проекта был создан Сайт дистанционного обучения Дмитровской СОШ №2  ,который размещен в сети Интернет по адресу: dodmou2.ru.

Дистанционное обучение на нашем сайте реализуется с использованием системы дистанционного обучения MOODLE. Moodle — система управления курсами (электронное обучение), также известная как система управления обучением или виртуальная обучающая среда . Представляет собой свободное (распространяющееся по лицензии GNU GPL) веб-приложение, предоставляющее возможность создавать сайты для онлайн-обучения.

В качестве примера будет представлен один из уроков элективного курса «Математическое (линейное) программирование»  по теме: «Схема процесса математического моделирования». Данный урок является вторым уроком данного элективного курса.

Страница элективного курса на сайте выглядит таким образом:

Цель курса – обеспечить повышение эффективности учебного процесса посредством сочетания традиционного и электронного обучения. Электронный курс позволяет более эффективно организовать процесс обучения, увеличить объем изучаемого материала по данной дисциплине, дает возможность каждому самостоятельно разбирать теоретический материал и готовиться к лабораторно-практическим занятиям.

Рассматриваемый электронный курс позволяет ставить и реализовывать в процессе обучения следующие задачи:

1.   подготовка ученика современного «информационного общества», обладающего навыками работы с различной информацией: ее поиск, понимание и критическое восприятие, использование для решения задач различного рода, анализа, синтеза и оценки;

2.   индивидуализация учебного процесса через определение для каждого оптимального объема и содержания учебного материала, а также темпа его усвоения и отбора методов обучения в зависимости от личностных особенностей восприятия информации;

3.   осуществление компетентностного подхода через решение практико-ориентированных задач;

4.   развитие коммуникационных умений и навыков каждого студента путем организации его общения через форумы, чаты и т.д.;

5.   формирование и развитие творческих способностей обучающихся;

6.   формирование  стремления к постоянному самообразованию;

Страница рассматриваемого занятия выглядит так:

ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ КАРТА УРОКА

1.     Ф.И.О. учителя: Куликова Ирина Юрьевна

   2. Класс: 10  Предмет: элективный курс по математике : Математическое ( линейное) программирование

  3. Тема урока: Схема процесса математического моделирования

  4. Место и роль урока в изучаемой теме: 2 занятие темы, подводит учащихся к понятию математического программирования.

  Занятие проводится с использованием дистанционных образовательных технологий.

  5. Цель урока: напомнить о понятии математического моделирования и его схеме на примере составления выражений для решения текстовых задач и их анализе.

Дидактическая структура урока

  I. Организационный момент

Учащимся дается инструкция, что им будет необходимо выполнить для того тема была зачтена

Деятельность учеников

Выходят на сайт, заходят в изучаемый курс, знакомятся с тем, что необходимо выполнить.

Деятельность учителя

На сайте дистанционного обучения наполняет содержанием каждый этап урока. Определяет обучающимся, что необходимо будет выполнить в процессе изучения темы.

Задания для учащихся, выполнение

 которых приведет к достижению

планируемых результатов.

Посетить все чаты и форумы данного занятия. Прочесть все инструкции преподавателя.

II. Проверка домашнего задания

Заданием предыдущей темы было написание реферата на тему: «Что такое линейное программирование». В чате преподаватель и обучающие обсуждают все возникшие вопросы по написанию реферата.

Деятельность учеников

В чате с учителем обсуждают домашнюю работу.

Деятельность учителя. Ответы на вопросы учеников в чате по вопросам домашнего задания.

Анализ представленных домашних  работ:

Задания для учащихся, выполнение

 которых приведет к достижению

планируемых результатов:

Преподаватель размещает на сайте собственный реферат на тему: «Что такое линейное программирование».

III. Изучение нового материала.

Деятельность учеников.

Скачивают, прикрепленный преподавателем текстовый файл с теорией и изучают ее.

Содержание файла с теорией:

ЗАНЯТИЕ ВТОРОЕ

Схема процесса математического моделирования

Наберитесь терпения и прочитайте

 несколько фраз типа введения

Представим, что вы пришли в магазин за покупками. Приобретая в магазине разные продукты, вы автоматически занимаетесь простейшим математическим моделированием. Запомнив цену каждого продукта, вы (или кассир) складываете абстрактные числа, оплачиваете сумму и затем по каждому чеку (числу на чеке) получаете конкретный продукт.

Мы рассмотрели простейшую схему математического моделирования.

Такую же простейшую схему математического моделирования вы много раз применяли в курсе алгебры при решении текстовых задач. Давайте вспомним основные этапы решения таких задач.

1. Переложение практической задачи на математический язык: составление уравнения, или неравенства, или системы уравнений и неравенств.

2. Решение математической задачи: уравнения, неравенства или системы.

3. Интерпретация математического результата: переход от найденных чисел (корней уравнения, решений неравенств) к их практическому смыслу в данной задаче.

Если в процессе решения вы не допустили ошибок, что можно проверить по данным в учебнике ответам, то считается, что задача решена верно.

На самом же деле при решении сложной практической задачи ответ неизвестен. Поэтому нужен еще один этап: проверка результата практикой. Таким образом вырисовывается следующая схема моделирования:

Работу по такой схеме, а иногда только ее первый этап, называют математическим моделированием.

Деятельность учителя.

В чате и форумах данного занятия отвечает на вопросы, которые возникают у обучающихся в процессе изучения темы.

Задания для учащихся, выполнение

 которых приведет к достижению

планируемых результатов

Скачивают текстовый файл, содержащий  решение практической задачи по данной теме. Изучают. Задают вопросы преподавателю в чате или форуме.

Содержание текстового файла:

Практическая часть

ВТОРОЕ ЗАНЯТИЕ

Задача.

Два художника купили по одинаковому количеству краски. Первый из них половины всей краски купил по a рублей за тюбик, а другую половину - по b рублей за тюбик. Второй половину всех денег за покупку истратил на тюбики по a рублей, а другую половину денег ‑ на тюбики по b рублей. Кто из них заплатил за покупку меньше?

Решение

1.     Введем обозначения:

 S - число тюбиков, купленных каждым художником;

 x рублей - сумма, затраченная на покупку первым художником;

 y рублей – сумма, затраченная на покупку вторым художником.

 По условию задачи имеем:

,                                            (1)

                                                 (2)

Итак, надо выяснить, какое из чисел, x и y , меньше другого, если положительные числа a, b, x, y, S удовлетворяют равенствам (1) и (2).

 Эта математическая задача и есть математическая модель данной практической задачи.

2. Приступим к решению полученной задачи.

Вспомним определение неравенства:

	, если x – y > 0;
	, если x – y < 0.

Следовательно, нужно выяснить знак числа x – y. Из равенства (1) и (2) получаем:

Не забываем, что a, b, S – положительные числа. Тогда получим:

x – y > 0, т.е. x > y, если a¹  b,

x – y = 0, т.е. x = y, если a = b.

Математическая задача решена.

3. Возвратимся к практической задаче. Прочтем еще раз условие задачи. Явно предполагается, что a и b разные числа, иначе было бы ясно, что оба художника заплатили одинаково. Такую задачу и ставить не надо. Но для точности ответа оговорим и случай a = b.

Теперь ответим на вопрос задачи: первый художник заплатил больше, если a и b неравны, и оба заплатили одинаково, если a и b равны.

IV. Закрепление нового материала.

Деятельность учеников.

Учат определение терминов из ГЛОССАРИЯ, размещенного в теме занятия.

           

Выполняют отчетное задание по теме.

Выполняют задания теста, предложенного преподавателем.

Получают результат пройденного теста, анализируют  свои ошибки в случае необходимости.

V. Контроль

Деятельность учителя.

Проверяет ответы, присланные обучающимися, комментирует их, в случае необходимости сообщает им о необходимости переделать задание и представить на проверку доработанное задание.

Смотрит и анализирует результат теста, пройденного обучающимися.

В чате и форуме отвечает на все поступившие от учеников вопросы. 

Работает с журналом полученных ответов

Ведомость прохождения теста

Смотрит и анализирует диапазон оценок, полученных учениками.

Изучает статистику теста

Анализирует структуру теста

VI. Рефлексия.

После выполнения отчетного задания, прохождения теста и проверки их преподавателем все участники в итоговом чате подводят итоги пройденной темы, анализируют то, что было сделано и то, что еще предстоит выполнить на предстоящих занятиях.