Методическая разработка по теме:"Решение одной стереометрической задачи несколькими способами"

Решение одной стереометрической задачи различными способами.

Задача: В единичном кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найдите расстояние от точки C₁ до плоскости AB₁C.

Решение.

1 способ (поэтапно-вычислительный)

Так как прямая A₁C₁ параллельна АС, то прямая A₁C₁ параллельна плоскости AB₁C. Поэтому искомое расстояние h равно расстоянию от произвольной точки прямой A₁C₁ до плоскости AB₁C. Например, расстояние от центра О₁ квадрата A₁B₁C₁D₁ до плоскости AB₁C равно h.

Пусть Е – основание перпендикуляра, опущенного из точки О₁ на прямую В₁О, где О – центр квадрата ABCD. Прямая О₁Е лежит в плоскости ВВ₁ D₁ D, а прямая АС перпендикулярна этой плоскости. Поэтому О₁ЕАС и О₁Е – перпендикуляр к плоскости AB₁C, а О₁Е = h.

Так как В₁О₁ =, О₁О = 1, то ОВ₁ = .

S_ДABC=  О₁Е В₁О= В₁О₁ О₁О или h, откуда h=.

Ответ: .

2 способ (метод объемов)

Рассмотрим пирамиду С₁В₁АС и найдем ее объем двумя способами.

V= S_ДACC1 В₁О₁= S_ДACB1 h; S_ДACC1=; В₁О₁ =; S_ДACB1=.

h=.

Ответ: .

3 способ (координатный)

Рассмотрим прямоугольную систему координат с началом в точке С

С(0;0;0), В₁(1;0;1), А(1;1;0), С₁(0;0;1).

Составим уравнение плоскости. Проходящей через точки А, С и В₁. Для этого подставим координаты этих точек в общее уравнение плоскости Ax + By +Cz + D = 0. Получим систему  или 

Отсюда находим уравнение Ax –Ay – Az = 0; x – y – z = 0

По формуле находим расстояние от С₁ до плоскости AB₁C:

d = 

Ответ: .