Методическая разработка по теме"Сумма внутренних углов треугольника" ( 7 класс)

Тема. Сумма внутренних углов треугольника

Цели. Сформулировать теоремы о сумме углов треугольни­ка и о величине внешнего угла треугольника; формировать умения анализировать, обобщать.

Оборудование. Транспортир, линейка, карточки - треуголь­ники разных видов (рис. 1).

Ход урока

На доске прикрепляется карточка «Треугольник».

Рис. 1

С какой фигурой работаем сегодня на уроке? (С треуголь­ником.)

Что такое треугольник? (Треугольник - фигура, образован­ная тремя точками, не лежащими на одной прямой, и отрез­ками, попарно соединяющими эти точки.)

Как треугольники различают? (По сторонам: равносторон­ние, равнобедренные и разносторонние.)

На доске выставляются карточки-треугольники, соединен­ные в схему (рис. 2).

Рис. 2

Треугольники различают (называют, то есть классифици­руют) и по углам. Сначала вспомним об углах. Составьте рас­сказ по теме «Угол».

Для помощи используйте план, записанный на доске.

Угол - это фигура...

Если... , то угол называют...

Внутренний угол треугольника - это...

(Угол - это фигура, образованная двумя лучами, выходя­щими из одной точки. Лучи называют сторонами угла, а точ­ку - вершиной.

Если величина угла 90 °, то угол называют прямым, если 180°, то развернутым. Угол, меньший 90°, называют острым углом, больший 90°, но меньший 180°- тупым. Таким обра­зом, углы бывают тупые, острые, прямые и развернутые.

Внутренний угол треугольника - угол, образованный его сторонами, вершина треугольника является вершиной его угла. Значит, в треугольнике углы могут быть различными: ту­пыми, острыми, прямыми.)

Начертите угол: тупой (для I ряда), прямой (для II ряда), острый (для III ряда).

Дополните рисунок до треугольника. Что для этого надо сделать? (Взять по точке на сторонах угла и соединить их отрезками.)

Полученные треугольники можно назвать (по углам) тупоугольный, прямоугольный, остроугольный.

Названия треугольников внесем в схему (правую часть рис. 3).

Рис. 3

Обратите внимание, что у остроугольного треугольника все углы острые. Сколько тупых (прямых) углов может быть в треугольнике? (Один.)

Как это обосновать?

1. По рис. 4.

Стороны расходятся или параллельны, потому что 90° + 90° = 180° (сумма односторонних углов при пересечении двух прямых третьей).

2. Более точно (корректно) можно это доказать, используя теорему о сумме внутренних углов треугольника - одну из самых важных теорем геометрии.

Чему равна сумма углов треугольника? Как это можно уз­нать? (Практически - измерением, теоретически - рассуж­дениями.)

Вычислите сумму углов треугольника, изображенного в тет­ради, измерив величины углов транспортиром.

Получив результаты, запишите их на доске (180°, 179°, 181°, 178°, 180°, 185°).

Что заметили? (Все суммы близки к 180°.)

Действительно, измеряя, мы получаем приближенные зна­чения, а в любом треугольнике сумма углов точно равна 180°.

При упоминании величины какого угла мы сегодня называли это число? (Величины развернутого угла.)

Попробуем доказать теорему, «собрав» все углы треу­гольника в одну вершину. На доске выполняется чертеж (рис. 5).

Рис. 5

«Собрать углы» - значит «взять углы», равные данным. Когда ∠4 = ∠3

(∠5 = ∠ 1)? (При параллельности прямой а и стороны ВС).

Известно: ∠15 + ∠2 + ∠4= 180° (развернутый угол), ∠l + ∠2 + ∠3 = 180°, что и требовалось доказать.

Далее следует повторить теорему и ее доказательство (по рис. 5), делая попутно краткую запись:

Дано: треугольник ABC; ∠1, ∠2, ∠3 - внутренние.

Доказать: ∠l + ∠2 + ∠3 = 180°.

Доказательство:

1. проведем а ВС, А а;

2. ∠5 = ∠1 (внутренние накрест лежащие при а || ВС и секущей ВА);

∠4 = ∠3 (внутренние накрест лежащие при а || ВС и секу­щей АС);

3. ∠5 + ∠2 + ∠4 = 180° (развернутый угол);

4. ∠l + ∠2 + ∠3 = 180° - что и требовалось доказать.

Повторяем этапы доказательства:

провести прямую через одну из вершин к параллельно
противолежащей стороне треугольника;

составить пары равных углов;

представить развернутый угол в виде суммы;

4. заменить слагаемые равными им углами треугольника.
Запишите кратко теорему в тетрадь, проговаривая устно

пояснения - чертеж, «дано», «доказать», «доказательство» (без пояснений). Повторите доказательство соседу.

Один из учащихся рассказывает, второй уточняет с помо­щью вопросов то, что неубедительно.

Что утверждает новая теорема? (Сумма трех углов любого треугольника равна 180 °.)

Чему равен третий угол в треугольнике, если один из углов 30°, второй 100°? (Устное решение: 100° + 30° = 130°, 180°- 130°= 50°- третий угол.)

Чему равен угол равностороннего треугольника? (Все три угла равны, то есть 180°: 3 = 60°- величина каждого угла равностороннего треугольника.)

Чему равна сумма острых углов прямоугольного треуголь­ника? (180°- 90°= 90°составляет сумма острых углов пря­моугольного треугольника.)

Чему равен острый угол прямоугольного равнобедренного треугольника? (45 °, так как вместе два острых угла состав­ляют 90 °.)

Почему в треугольнике не может быть двух прямых (ту­пых) угла? (90 ° • 2 = 180 °, то есть на третий угол не остает­ся ничего, а два тупых угла уже больше 180°)

Почему не может быть один угол тупым, а другой - пря­мым в треугольнике?

Последние четыре утверждения - ответы на вопросы - вы­текают (следуют) из теоремы, то есть являются следствиями из теоремы.

Повторяем следствия (рис. 6), ученики делают схематич­ные чертежи в тетрадях.

Следствия 1-3.

∠1 + ∠ 2 = 90°

Рис. 6

Кроме внутренних углов в треугольнике выделяют еще вне­шние углы. Что такое внешний угол треугольника? Чему рав­на величина внешнего угла треугольника? Прочитайте об этом на с. 66 учебника и ответьте на вопросы, записанные на доске.

Те учащиеся, которым материал покажется легким, выпол­няют дополнительное задание (3-5 минут): «Определите сум­му внешних углов треугольника».

Что такое внешний угол треугольника? Назовите' внешние углы на рис. 7.

Учащиеся изображают разные внешние углы, цветом вы­деляя один из них.

Рис. 7

Чему равна величина внешнего угла треугольника? Для угла 5 докажите утверждение: ∠5 = ∠l + ∠2.

Доказательство:

∠l+∠2+∠3= 180° - сумма углов треугольника;

∠ 5 + ∠3 = 180° - развернутый угол;

∠ l + ∠2 = ∠5- что и требовалось доказать.

- Какие теоремы, определения использованы в доказатель­стве?

Дополнительное задание. Объясните запись.

a) ∠5 + ∠6 + ∠8 = 180° - ∠3 + 180° - ∠2 + 180° - ∠1 = 540° -(∠l + ∠2 + ∠3) = 540° - 180° = 360°;

6) ∠5 + ∠4 + ∠6 + ∠7 + ∠8 + ∠9 = 360° • 2 = 720°.

Всегда ли внешний угол треугольника тупой? Ответ проил­люстрируйте, используя рис. 8. (Нет, у прямого угла внешний угол - прямой, у тупого угла в тупоугольном треугольнике -острый.)

Рис. 8

Задание на дом. Теоремы о сумме углов треугольника и внешнем угле треугольника.

Задача: № 228 (а) - желательно, № 225, 226 - обязательно.

Дополнительно: повторить новые утверждения (теоремы). Что было трудным на уроке (что повторить)?

Придумать задачу на применение новой теоремы. (Напри­мер, внешний угол равнобедренного треугольника 60°. Чему равны внутренние его углы?)