Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Методическая разработка по выполнению практических работ
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Методическая разработка по выполнению практических работ

библиотека
материалов




Мhello_html_m706c5893.jpgинистерство образования и науки Самарской области

Государственное автономное профессиональное образовательное учреждение Самарской области

«Тольяттинский индустриально-педагогический колледж»

(ГАПОУ СО «ТИПК»)












МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ


для преподавателей и студентов

специальности 38.02.04 Коммерция (по отраслям).

























Тhello_html_2b12d2aa.gifольятти, 2016

Ахметова М.Ф. Методические рекомендации по выполнению практических работ.

Дисциплина «Математика».- Тольятти, Изд. ТИПК, 2016 - 62 с.


Методические рекомендации по выполнению практических работ разработаны на основании примерной программы учебной дисциплины «Математика» в соответствии Федерального государственного образовательного стандарта (далее ФГОС) по специальности 38.02.04 Коммерция (по отраслям).

Пособие содержит теоретический материал, примеры решения и задания для самостоятельного решения.

Разработаны для преподавателей и студентов колледжа.





Рассмотрено

На заседании преподавателей отделения общеобразовательных дисциплин

Протокол №____ от «____»______________ 2016г.

Руководитель ___________________/ И.М.Брагина /



Утверждено

протокол заседания научно-методического совета ГАПОУ СО «ТИПК»

____ от «____»______________ 2016г.

Председатель ___________________ / Е.М. Катина /

















©hello_html_2b12d2aa.gif ГАПОУ СО «ТИПК»

Содержание


Введение…………………………………………………………………………………………………4

Практическая работа №1……………………………………………………………………………….5

Практическая работа №2……………………………………………………………………………….9

Практическая работа №3……………………………………………………………………………...12

Практическая работа №4……………………………………………………………………………...15

Практическая работа №5……………………………………………………………………………...19

Практическая работа №6……………………………………………………………………………...24

Практическая работа №7……………………………………………………………………………...26

Практическая работа №8……………………………………………………………………………...29

Практическая работа №9……………………………………………………………………………...35

Практическая работа №10…………………………………………………………………………….40

Практическая работа №11…………………………………………………………………………….52

Практическая работа №12…………………………………………………………………………….57

Список рекомендуемой литературы…………………………………………………………………62

































Введение

Методические рекомендации по выполнению практических работ разработаны на основании примерной программы учебной дисциплины «Математика» в соответствии Федерального государственного образовательного стандарта (далее ФГОС) по специальности 38.02.04 Коммерция (по отраслям).

Цель данного пособия оказать помощь студентам в подготовке и выполнении практических работ.

Известно, что решение задач по математике у студентов часто сопряжено со многими трудностями. Основное назначение данных указаний состоит в том, чтобы помочь студенту преодолеть эти трудности и научить его решению задач по всем разделам курса математики.

При самостоятельном решении задач многие студенты нуждаются в постоянных консультациях относительно приемов и методов их решения. Поскольку найти путь к решению задачи без помощи преподавателя или соответствующего пособия ему не под силу. Такие консультации студент может получить в данных указаниях.

В указаниях приведены необходимые теоретические сведения, состоящие из определений, свойств, теорем и основных понятий по изучаемой теме. В указания описаны приемы решения типовых задач, даны их классификация и образцы записи решения, а затем следуют задания для самостоятельного решения, список необходимой литературы. Такая форма изложения позволяет студенту сначала познакомиться с приемами решения типовых задач и оформлением записи их решений, а затем приступить к выработке навыков в их самостоятельном решении.




























Практическая работа №1

Тема. Выполнение действий с матрицами.

Цель практического занятия: отработать навыки выполнения действий над матрицами

Содержание работы.

Теория.

Матричные модели представляют собой модели, построенные в виде таблиц (матриц). Эти модели находят широкое применение при решении плановых и экономических задач и при обработке больших массивов информации.

Матрица – это прямоугольная таблица чисел или других величин.

Общий вид матрицы:

hello_html_m629dede.gif

Матрицей hello_html_7c64f42f.gif порядка hello_html_10eee0ae.gif называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m - строк и n - столбцов.

Матрица называется квадратной, если m=n. Например, hello_html_3dfbfb77.gif

Воображаемая линия квадратной матрицы, пересекающая её от hello_html_m2ce0d21.gif до hello_html_54363756.gif, называется главной диагональю, а наоборот, отhello_html_1c25b5f6.gif до hello_html_m1c37a1d7.gif - побочной диагональю.

Если все элементы матрицы равны 0, то она называется нулевой.

Квадратная матрица, в которой все элементы, кроме расположенных на главной диагонали, равны 0, называется диагональной: hello_html_m129db51a.gif

Диагональная матрица, у которой все элементы, расположенные по главной диагонали, - единицы, а остальные – нули, называется единичной. Единичную матрицу обозначают буквой Е=hello_html_75419f26.gif

Матрица называется положительной, если все её элементы hello_html_m4ea2061d.gif.

Матрица, состоящая из одного столбца, называется вектор-столбцом hello_html_14ce7c65.gif, её размерность:hello_html_m1aab95c9.gif.

Матрица, состоящая из одной строки, называется вектор-строкой hello_html_m2c6981e2.gif, её размерность: hello_html_m26a07739.gif

Равенство матриц A=B, если порядки матриц A и B одинаковы и hello_html_m499e6a2c.gif= hello_html_m4b67f6ae.gif (i = 1,2,...,m; j=1,2,...,n)

Действия над матрицами.

Суммой (разностью) двух матриц А и В, имеющих m строк и n столбцов, называется матрица, полученная в результате сложения (вычитания) одноименных элементов матриц А и В. Полученная в результате матрица с имеет ту же размерность hello_html_10eee0ae.gif.

1. Сложение матриц - поэлементная операция

hello_html_m657ecb06.png

2. Вычитание матриц - поэлементная операция

hello_html_69e53d92.png

3. Произведение матрицы на число - поэлементная операция

hello_html_m5e11dabf.png

4. Умножение матрицы на матрицу.

Умножение hello_html_3ac0941e.gif матриц по правилу строка на столбец (число столбцов матрицы А должно быть равно числу строк матрицы B). hello_html_70a146b5.gif, причем каждый элемент hello_html_m3fe6ae8e.gif матрицы hello_html_7575274a.gif равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B , т.е.

hello_html_m3c9226a8.png

Покажем операцию умножения матриц на примере hello_html_m3b27f20f.gif; hello_html_70d8970e.gif

hello_html_m75695485.gif

5. Возведение в степень. hello_html_4a15b2ea.gifm раз, где m >1 целое положительное число, А - квадратная матрица (m=n) т.е. актуально только для квадратных матриц.

6. Транспонирование матрицы А. Транспонированную матрицу обозначают hello_html_m5e95079f.gif или A'. Операция транспонирования заключается в перемене мест столбцов и строк исходной матрицы.

hello_html_mf831470.gifhello_html_m53d4ecad.gif

hello_html_m2f079059.png

Строки и столбцы поменялись местами. Например, hello_html_7b93d81a.gifhello_html_m3653651d.gif

7. Определение обратной матрицы.

Определим обратную матрицу hello_html_m4e323f26.gif, если задана матрица А. Должно соблюдаться условие hello_html_4e5406f6.gif(единичная матрица)













Свойства операций над матрицами

hello_html_m1abf1c28.gif

Симметричной называется такая квадратная матрица, у которой элементы, расположенные симметрично главной диагонали, равны между собой.

Задания для самостоятельной работы

1. Найдите сумму матриц:

hello_html_7666f62d.gifhello_html_7438b4cc.gif

2. Найдите разность матриц:

hello_html_m72c2d6e7.gifhello_html_28c1abfd.gif

3. Умножить матрицу на число:

hello_html_2f20ca13.gifhello_html_83793df.gif

4. Умножить матрицу на матрицу:

а) hello_html_m52ecbe4b.gif б) hello_html_m77ec23e6.gif

5. Найдите транспонированную матрицу для матриц:

а) б)

hello_html_m5aad167e.gifhello_html_37e23641.gif

6. Найдите обратную матрицу для матрицы:

hello_html_3777fa8c.gif

Практическая работа №2

Тема. Вычисление определителей матрицы.

Цель практического занятия: отработать навыки вычисления определителей матрицы.


Содержание работы.

Теория.

Обозначим через hello_html_2a8cc820.gif- подматрицу матрицы А, полученную вычеркиванием из матрицы А i-й строки и j-го столбца.

Определитель – это число, получаемое из элементов этой матрицы по определенному правилу.

Определитель матрицы А обозначается: hello_html_m4eb1faf.gif

Определитель имеет порядок, равный порядку квадратной матрицы А (т.е. размерность hello_html_m9ffd873.gifназывают порядком n у квадратной матрицы).

Определитель порядка n равен: hello_html_3deaff9c.gif= hello_html_33ab00a9.gif, где hello_html_m10d13766.gif- алгебраическое дополнение, а hello_html_73c8327.gif- квадратная подматрица матрицы А, полученная из А вычеркиванием первой строки, причем алгебраическое дополнение в общем виде формулойhello_html_m28576cb5.gif, где hello_html_73c8327.gif- подматрица А, получаемая вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.

Например, найти определитель матрицы: hello_html_76e1d26a.gif

hello_html_25336f21.gif

Найдем: hello_html_m595be444.gif

hello_html_180ec09a.gif

Тогда hello_html_7fa6341c.gif

Свойства определителя

1) Определитель не меняется при транспонировании: hello_html_m64eae90.gif

2) Если одна из строк или из столбцов определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю.

3) От перестановки двух строк или двух столбцов определитель меняет только знак.

4) Определитель, содержащий две одинаковые строки или два одинаковых столбца, равен нулю.

5) Если все элементы некоторой строки или столбца определителя умножить на число hello_html_1887da43.gif, то сам определитель умножится на это число.

6) Определитель, содержащий две пропорциональные строки, равен нулю.



Задания для самостоятельной работы

Найдите определитель матрицы:

1. hello_html_m1aec5df3.gif2.hello_html_3410fba3.gif 3. hello_html_6c790143.gif 4. hello_html_m7a6fb97e.gif

Ответы: 1. hello_html_m58a6fde.gif; 2. hello_html_m14fc4af.gif; 3. hello_html_m37c4a5.gif; hello_html_m37c4a5.gif

Правило треугольников ( для определителя третьего порядка)

hello_html_m3137b889.gif

Например, hello_html_3637493c.gifТреугольные матрицы.

Треугольной называется такая квадратная матрица, у которой все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю:

hello_html_53672940.gifнижнетреугольная hello_html_m7af0374d.gifверхнетреугольная

Определитель треугольной матрицы любого порядка равен произведению её диагональных элементов.

Например, hello_html_1d2b2bc6.gif

Найдем определитель первым способом: hello_html_m7209703.gif

Задания для самостоятельной работы

1. Найдите определитель матрицы, используя правило треугольника или свойство определителя для треугольной матрицы:

1. hello_html_364b7eee.gif 2. hello_html_597d84e6.gif 3. hello_html_36828751.gif 4. hello_html_5b36d211.gif

Ответы: 1. hello_html_m59b64ffc.gif; 2. hello_html_2c87cd3.gif; 3. hello_html_m35383e2d.gif; hello_html_m37c4a5.gif

2. Вычислить определитель.

1)hello_html_m3dacee92.gif 2) hello_html_d7ce8fe.gif 3) hello_html_9671a4b.gif 4) hello_html_67616005.gif 5)hello_html_7969e6ae.gif


6) hello_html_m58061689.gif 7)hello_html_m104c3191.gif 8) hello_html_51e0d495.gif

3. Доказать, что hello_html_1e8c0688.gif

1) hello_html_m50347b4f.gif 2) hello_html_m7144acda.gif



3) hello_html_71752d76.gif 4) hello_html_m7ae33ee8.gif

4. Найти hello_html_m4e323f26.gif и сделать проверку

1) hello_html_m3cfb4a49.gif 2) hello_html_79c5aec3.gif 3) hello_html_3d4135d9.gif 4) hello_html_6dce7a0a.gif




Практическая работа №3


Тема. Решение систем линейных уравнений с 3- мя неизвестными по формулам Крамера.

Цель практического занятия: отработать навыки решения системы линейных уравнений с двумя и тремя неизвестными с помощью определителей второго и третьего порядка.

Содержание работы.

Теория.

Определителем второго порядка, составленным из чисел hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m4790efdc.gifназывается число, определяемое равенством hello_html_33f8e368.gifhello_html_m6e589c8c.gif

Числа hello_html_m3522e4c7.gifназываются элементами определителя, причем элементы hello_html_m2cc43d15.gifобразуют главную диагональ, а элементы hello_html_36c6f8f7.gif- побочную диагональ.

Таким образом, определитель второго порядка равен произведению элементов главной диагонали минус произведение элементов побочной диагонали.

Система двух линейных уравнений с двумя переменными:

hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_6c4a9d42.gif

при условии, что определитель системы ∆ = hello_html_26a80626.gif≠ 0, имеет единственное решение, которое находится по формулам:

hello_html_mc327495.gif; hello_html_58e05e3b.gif. (3.3)

Равенства (3.3) называются формулами Крамера.

Здесь hello_html_6584f62f.gif и hello_html_20956aa6.gif- определители, получающиеся из определителя hello_html_7aad93af.gif заменой столбца коэффициентов при соответствующей переменной столбцом свободных членов.

hello_html_6584f62f.gif= hello_html_69b15afd.gif ; hello_html_m49ea9868.gif=hello_html_m63a822.gif ; hello_html_3e804581.gif; hello_html_m3070b897.gif.

Если же определитель системы hello_html_7aad93af.gif= 0, то система является либо несовместной (когда hello_html_6584f62f.gif≠ 0 и hello_html_20956aa6.gif≠ 0), либо неопределенной (когда hello_html_6584f62f.gif= hello_html_m49ea9868.gif=0). В последнем случае система сводится к одному уравнению, а другое является следствием этого уравнения.

Условие несовместности системы можно записать в виде: hello_html_m51a33756.gifhello_html_m51d04351.gif, а условие неопределенности – в виде: hello_html_m51a33756.gif=hello_html_m51d04351.gif.

Примеры. Решить системы уравнений:

1. hello_html_m3b97ddda.gif

Решение. Так как hello_html_7aad93af.gif= hello_html_m9b0c32e.gif≠ 0, то система имеет единственное решение, которое находим по формулам (3.3):

hello_html_628a38e1.gif; hello_html_53f9341e.gif Ответ: (2; 3)

2. hello_html_m7eb2c807.gif

Решение. Находим hello_html_7aad93af.gif= hello_html_m323eb860.gif. Здесь свободные члены пропорциональны коэффициентам при переменных: 3/6=(-2)/(-4)=1/2. Поэтому данная система равносильна одному из уравнений, например первому, и, следовательно. Имеет бесконечное множество решений.

3. hello_html_m21cafd5c.gif

Решение. Находим hello_html_7aad93af.gif= hello_html_5f810442.gif Здесь свободные члены не пропорциональны коэффициентам при переменных: 2/4 = (-3)/9-6) ≠ 2/3; поэтому данная система несовместна, решений нет.


Задания для самостоятельного решения.

Решить системы уравнений:

1. hello_html_m3a2ca1f.gif 2. hello_html_m6ac11346.gif 3. hello_html_6f62c957.gif 4. hello_html_391498f2.gif

5. hello_html_6d6cef5.gif 6. hello_html_33725b2f.gif

Определителем третьего порядка, составленным из чисел hello_html_m2a83398c.gif, называется число, определяемое равенством: hello_html_md69267d.gif (3.4)

Формулу (3.4) называют разложением определителя третьего порядка по элементам первой строки.

Система трех линейных уравнений с тремя переменными:

hello_html_406403cf.gif

при условии, что определитель системы hello_html_3d52106c.gif≠ 0, имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера:

hello_html_m6360fb0d.gifhello_html_me208cf0.gifhello_html_m128068b3.gif(3.5)

где hello_html_m5b6e1cc5.gif, hello_html_b1e5ffe.gif, hello_html_mbd37da5.gif.

Если же hello_html_34e7d513.gif, то система является либо неопределенной, либо несовместной. В том случае, если система однородная, т.е. имеет вид

hello_html_2e0bba8d.gif

и hello_html_7aad93af.gif≠ 0, то она имеет единственное решение: hello_html_3d96b9aa.gif

Если определитель однородной системы hello_html_34e7d513.gif, то система сводится либо к двум независимым уравнениям (третье является их следствием), либо к одному (следствиями которого являются остальные два уравнения). В обоих случаях однородная система имеет бесконечное множество решений.

Примеры. Решить систему уравнений:

hello_html_m49c6a5d6.gif

Решение. Находим:

hello_html_m520f0f5.gif

hello_html_m1f20f51e.gif

hello_html_m18e5b6ae.gifhello_html_m53d4ecad.gif

hello_html_m785eea99.gif

По формулам (3.5) получаем:

hello_html_m65c38512.gifhello_html_691ef184.gifhello_html_5d0b5756.gif

Задания для самостоятельного решения.

Решить системы уравнений по формулам Крамера:

1. hello_html_6ef09403.gif 2. hello_html_53de3a91.gif 3. hello_html_m4c309614.gif

4. hello_html_m3f9ea512.gif 5. hello_html_10ac62b5.gif 6. hello_html_ec3b084.gif

Примечание. Практическая работа выполняется по вариантам (6 вариантов).



Практическая работа №4

Тема. Вычисление предела функции.

Цель практического занятия: освоить способы вычисления пределов различных функций.


Содержание работы.

Теория.

Число А называется пределом функции у=f(x) в точкеhello_html_m7617152c.gifесли для любого положительногоhello_html_24a67842.gif найдётся такое hello_html_159ca2d7.gif , что для любого xhello_html_m7617152c.gif, удовлетворяющего неравенству hello_html_25945fff.gif, выполняется неравенство hello_html_m1e4dfe5e.gif . В этом случае пишутhello_html_2cddd1d0.gif

Если предел функции равен бесконечности при hello_html_48943f03.gif, то функция называется бесконечно большой, если hello_html_m7b003a00.gif=0 то функция называется бесконечно малой.

Если x<hello_html_60d2f2c2.gif и xhello_html_60d2f2c2.gif, то употребляют запись xhello_html_60d2f2c2.gif-0, если же x>hello_html_60d2f2c2.gif и xhello_html_60d2f2c2.gif, то употребляют запись xhello_html_60d2f2c2.gif+0 Числа f(hello_html_60d2f2c2.gif-0)=lim hello_html_39b84e1c.gif и f(hello_html_60d2f2c2.gif+0)= hello_html_1defc578.gif называются, соответственно, левым и правым пределами функции f(x) в точке hello_html_60d2f2c2.gif.

Для существования предела функции в точке xhello_html_m6f7407bd.gif необходимо и достаточно, чтобы,

hello_html_m7f7002f2.giff(x-0) =f(x+0)

Практическое вычисление пределов основывается на следующих теоремах :.

Если существуют hello_html_m7b003a00.gif и hello_html_m63753dde.gif,

1.hello_html_67c6445e.gif

2.hello_html_70e9e1.gif=hello_html_m207d07c6.gif;

Следствие. Если k=const, то hello_html_5e71ea29.gif

3.hello_html_m12b3a362.gifhello_html_6d14f284.gif (при hello_html_m1823dc63.gif)

и следствиях из них : hello_html_22199c67.gifhello_html_m3c6fec85.gifhello_html_m299145ab.gif; hello_html_m2e41d22f.gif где Р(х) и Q(x)- рациональные функции.

Используются также следующие замечательные пределы

hello_html_18ffcd5.gif;(первый замечательный предел)

hello_html_m479f790d.gif(второй замечательный предел)

Примеры вычисления пределов

1.hello_html_9380a78.gif

2.hello_html_35c6e1d8.gif.

Решение. Здесь неопределённость типа hello_html_71e5ae52.gif. Чтобы её раскрыть, разделим числитель и знаменатель дроби на х hello_html_m17f2a6bc.gif

3.hello_html_c0e7ca2.gif.

Решение. Здесь неопределённость типаhello_html_687a97e0.gif. Разложим числитель и знаменатель дроби на множители hello_html_22ccde3b.gif , тогда после сокращения получаем hello_html_7027f585.gif.

4.hello_html_79912eaa.gif.

Решение. Здесь также неопределённость типа hello_html_687a97e0.gif . Разложим числитель и знаменатель дроби на множители так, чтобы можно было сократить. hello_html_m39d63b0d.gif.

5.hello_html_m3c9cb924.gif.

Решение. Здесь неопределённость типа hello_html_687a97e0.gif. Умножим и числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряжённое числителю, т. е. на суммуhello_html_m2919337a.gifhello_html_m10a75879.gif.

6.hello_html_mc972d22.gif.

Решение. Здесь неопределённость вида hello_html_71e5ae52.gif . Разделим и числитель и знаменатель дроби на старшую степень х, т. е. на хhello_html_4ed491cf.gif hello_html_m711a8652.gif

7.hello_html_6391c439.gif.

Решение. Здесь имеет место неопределённость типа (∞-∞) Умножим и разделим данное выражение наhello_html_21a8d6cb.gif:

hello_html_148d3190.gif

8.hello_html_36d2ed39.gif.

Решение. Делением числителя на знаменатель, выделим целую часть hello_html_m11f2edc1.gif. Т. о. получим, что xhello_html_m22e603df.gifданная функция представляет собой степень, основание которой стремится к единице, а показатель к бесконечности ( неопределённость типа 1hello_html_1b3c9007.gif). Преобразуем функцию так, чтобы можно было использовать второй замечательный предел

hello_html_ma019b16.gif

Т.к.hello_html_m479166b4.gifУчитывая,чтоhello_html_8c582b1.gifна-ходим hello_html_36ae34dc.gif.

9.hello_html_7a270866.gif

Решение. Преобразуем данную функцию, используя свойства логарифмаhello_html_m4514e214.gif. Теперь для вычисления данного предела, используем свойство непрерывности логарифмической функции hello_html_69d90202.gif






Задание для выполнения практической работы.


Практическая работа №5

Тема. Производные элементарных и сложных функций. Производные высших порядков.

Цель практического занятия: развивать навыки вычисления производных функций.

Содержание работы.

Теория.

Определение. Производной hello_html_m53d4ecad.gifфункции hello_html_m1a267428.gif в точке hello_html_48bafc8f.gif называется предел отношения приращения, hello_html_1ff0896c.gif функции в этой точке к приращению hello_html_6067f45.gifаргумента, когда последнее стремится к нулю:hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_1bfa38ba.gif

Функция hello_html_m1a267428.gif, имеющая производную в каждой точке некоторого промежутка, называется дифференцируемой в этом промежутке.

Основные правила дифференцирования.

Обозначения: С – постоянная величина; hello_html_46dff828.gif- аргумент; hello_html_m3702c287.gif- функции от hello_html_73c24a96.gif имеющие производные.

1. Производная произведения алгебраической суммы функций hello_html_m78a32f33.gif

2. Производная произведения двух функций hello_html_m366cd98c.gif

3. Производная произведения постоянной на функцию hello_html_m26e97733.gif

4. Производная частного (дроби) hello_html_m2187bd25.gif

5. Частные случаи формулы 4 hello_html_30cd78c6.gifhello_html_3448c4ec.gif

Формулы дифференцирования

1. hello_html_2dcd65ea.gif 11. hello_html_6c46959.gif

2hello_html_m53d4ecad.gif. hello_html_36e9b955.gif 12.hello_html_m6f6d80e6.gif

3. hello_html_756badf2.gif 13. hello_html_m27583835.gif

4. hello_html_m3b006b3d.gif, где hello_html_7382c650.gif- любое действительное число 14. hello_html_m64a7e4b1.gif

5. hello_html_m42fff1ab.gif 15. hello_html_b449ee1.gif

6. hello_html_m7d7fa0a7.gif 16. hello_html_m6edd4ecb.gif

7. hello_html_m7d3d28ee.gif 17. hello_html_m56dd8f3d.gif

8. hello_html_3a7a333f.gif 18. hello_html_m2aad5d5b.gif

9. hello_html_m30bc4126.gif 19. hello_html_5ab0a764.gif

10. hello_html_4169e643.gif

Если hello_html_2633e72.gifесть функция от hello_html_1f23f858.gif: hello_html_e9bd0ec.gif где hello_html_1f23f858.gif, в свою очередь, есть функция от аргумента hello_html_46dff828.gif: hello_html_5b137b7c.gif, т.е. если hello_html_2633e72.gifзависит от hello_html_46dff828.gif через промежуточный аргумент hello_html_1f23f858.gif, то hello_html_2633e72.gif называется сложной функцией от hello_html_46dff828.gif(функцией от функции): hello_html_3cd516c2.gif

Производная сложной функции равна произведению ее производной по промежуточному аргументу на производную этого аргумента по независимой переменной:

hello_html_m2bf9284.gifили hello_html_21a25a36.gif

Производные высших порядков. Пусть функция hello_html_40946e87.gif определена на интервале hello_html_46db10bd.gif, и пусть в каждой точке этого интервала она имеет производную hello_html_m3c3520.gif; тогда hello_html_m3c3520.gif можно назвать первой производной (или производной первого порядка) данной функции. Рассмотрим функцию hello_html_m7599d701.gif, hello_html_40c78225.gif. Если hello_html_55a2b147.gif имеет производную в точке hello_html_m4e2442b4.gif, то эту производную называют второй производной (или производной второго порядка) данной функции hello_html_m1a267428.gif в точке hello_html_48bafc8f.gif и обозначают hello_html_m182af9be.gif или hello_html_681f3857.gif

Короче, вторая производная – это производная от первой производной, т.е.

hello_html_m3d1eed89.gifили hello_html_m7f5a3e20.gifhello_html_44f7236c.gif или hello_html_3b8d1c61.gif

Если функция hello_html_m3c3520.gif имеет производную в каждой точке интервала hello_html_46db10bd.gif, то говорят, что hello_html_300c8ca5.gif определена на всем интервале hello_html_46db10bd.gif.

Производная от hello_html_300c8ca5.gif, т.е. hello_html_2ac5f314.gif, если она существует, называется третьей производной (или производной третьего порядка) функции hello_html_40946e87.gif в точке х (или на некотором интервале hello_html_46db10bd.gif) называется производная от производной hello_html_m38701a4d.gif-го порядка в этой точке х (или на этом интервале hello_html_46db10bd.gif). Они обозначаются соответственно hello_html_5c1db074.gif или hello_html_5070e413.gif

Примеры вычисления производных.

а) Если hello_html_m733e9cbb.gif, то

hello_html_m7816461f.gif

б) Если hello_html_6559a51c.gif то

hello_html_m2a0a1eae.gif

Задания для самостоятельного решения.

Найдите производные высших порядков:

а) hello_html_24a1edd4.gif б) hello_html_m4130a82b.gif

в) hello_html_m449cfbae.gif г) hello_html_m66306b62.gif д) hello_html_702a069b.gif

е) hello_html_5621c7e8.gif

Задание для выполнения практической работы по вариантам.

1. Найти производную.

2. Найти производную сложной функции.

3. Исследовать функцию на монотонность, найти точки экстремума, найти точки перегиба с помощью второй производной.

Вариант № 1 Вариант № 2

1. hello_html_4a5ff0c.gifhello_html_m53d4ecad.gif 1. hello_html_6529d7c3.gif

2. hello_html_4165cf68.gif2. hello_html_m35e851cc.gif

3. hello_html_m67d2d083.gif3. hello_html_m3dec79c6.gif

Вариант № 3 Вариант № 4

1. hello_html_12c0402b.gif 1. hello_html_4a13db7b.gif

2. hello_html_11bfd51c.gif2. hello_html_m480f2131.gif

3. hello_html_m3d8c314b.gif3. hello_html_1830834c.gif

Задание для выполнения практической работы по вариантам.

варианта

Задание 1

Найдите производную функций

Задание 2

Найдите производную функций в заданных точках

Задание 3

Найдите производные сложной функции

1,11,21

а) f(x)=x2-2hello_html_263e12c7.gif

б) f(x)=hello_html_13493160.gif

f(x)=hello_html_51298e6a.gif в точках x=-4, x=8

а) f(x)=(3-x)10

б) g(x)=hello_html_m1332e022.gif

2,12,22

а) f(x)=x8+3hello_html_m7f35b8a7.gif

б) f(x)=hello_html_772aa3a2.gif

f(x)=hello_html_m543fc68f.gif в точках x=-3, x=6

а) f(x)=(x5-2x2)191

б) g(x)=hello_html_7ba5ab48.gif

3,13,23

а) f(x)=x5-4hello_html_m7f35b8a7.gif

б) f(x)=hello_html_m743ca21c.gif

f(x)=hello_html_m543fc68f.gif в точках x=-3, x=6

а) f(x)=(x7-2x4)120

б) g(x)=hello_html_16827b2b.gif

4,14,24

а) f(x)=x5-3x4+2x-1

б) f(x)=hello_html_m5adffc94.gif

f(x)=hello_html_6bec28d.gif в точках x=-2, x=5

а) f(x)=(5x4-4x5)101

б) g(x)=hello_html_m5ef9d2d0.gif

5,15,25

а) f(x)=x6-5x3+2x2-7

б) f(x)=hello_html_m6a4cb9b6.gif

f(x)=hello_html_m70e4f48c.gif в точках x=-5, x=1/3

а) f(x)=(7x3-3x7)173

б) g(x)=hello_html_ma603421.gif

6,16,26

а) f(x)=x7+2x5+4/x2-1

б) f(x)=hello_html_m163cc2c7.gif

f(x)=hello_html_m70b68d32.gif в точках x=1, x=3

а) f(x)=(7x6+6x4)129

б) g(x)=hello_html_5b290e58.gif

7,17,27

а) f(x)=x9-3x5-3/x+2

б) f(x)=hello_html_6bec28d.gif

f(x)=hello_html_2c460d57.gif в точках x=1, x=9

а) f(x)=hello_html_43ac9f11.gif

б) g(x)=hello_html_m37e6db3a.gif

8,18,28

а) f(x)=x7-3x5hello_html_m6ea31bf2.gif-2

б) f(x)=hello_html_m1569c022.gif

f(x)=hello_html_m30c1442.gif в точках x=0, x=6

а) f(x)=hello_html_5a56f6c5.gif

б) g(x)=hello_html_50b40d8b.gif

9,19,29

а) f(x)=x8-2x6hello_html_m493eed76.gif+9

б) f(x)=hello_html_m6230528d.gif

f(x)=hello_html_m6230528d.gif в точках x=0, x=3

а) f(x)=(5x6+4x3)123

g(x)=hello_html_1b026134.gif

10,20,30

а) f(x)=hello_html_m32574ff9.gif

б) f(x)=hello_html_m1490e9c2.gif

f(x)=hello_html_m2e10c83c.gif в точках x=2, x=4

а) f(x)=(6-2x)8

б) g(x)=hello_html_5e6f3208.gif


Практическая работа №6

Тема. Исследование функции с помощью производной.

Цель практического занятия: отработать навыки исследования функции с помощью производной.


Содержание работы.

Теория.

Схема исследования функции с помощью производной.

1.Область определения и область значений функции.

2. Четность и нечетность функции: если hello_html_m278ebb9.gif=hello_html_m1a267428.gif, то функция четная; еслиhello_html_m278ebb9.gif= -hello_html_m1a267428.gif, то функция нечетная. Периодичность функции.

3. Точки пересечения графика функции с осями координат.

4. Первая производная функции. Критические точки.

5. Промежутки возрастания и убывания функции.

6. Точки экстремума и значения функции в этих точках.

7. Исследование поведения функции в окрестности «особых» точек и при больших по модулюhello_html_46dff828.gif.

8. Построение графика функции.



Практическая часть.

Пример:

Исследуем функцию hello_html_m5622933.gif и построим ее график.

Проведем исследование по указанной схеме.

  1. hello_html_m1503548.gifтак как hello_html_6c0ff7fa.gif - многочлен.

  2. Функция hello_html_6c0ff7fa.gif не является ни четной, ни нечетной, так как hello_html_6c0ff7fa.gif- многочлен.

3) График hello_html_6c0ff7fa.gif пересекается с осью ординат в точке hello_html_63fd5442.gif чтобы найти точки пересечения с осью абсцисс, надо решить уравнение hello_html_5b09c35d.gif один из корней которого hello_html_m37563193.gif легко находится. Другие корни (если они есть) могут быть найдены только приближенно. Поэтому для данной функции остальные точки пересечения графика с осью абсцисс и промежутки знакопостоянства мы находить не будем.

4) Найдем производную функции hello_html_m46693b69.gif

hello_html_5950fafb.gif

hello_html_m7c876e76.gifпоэтому критических точек, для которых hello_html_m3c3520.gif не существует, нет.

Заметим, что hello_html_m3c3520.gif=0, если hello_html_m7b2a17a3.gif т.е. при значениях аргумента, равных 0, -1 и 1. Рассматриваемая функция имеет три критические точки.

Составляем таблицу:

Вhello_html_70e50a3b.gif первой строке этой таблицы указаны в порядке возрастания критические точки функции и ограниченные ими промежутки. Во второй строке отмечены знаки производной на этих промежутках. (На каждом таком интервале знак производной не меняется, его можно найти, определив знак производной в какой-либо точке рассматриваемого интервала.) В третьей строке записаны выводы о ходе изменения данной функции: « hello_html_m53d4ecad.gif » - возрастает,

«hello_html_5cc29372.gif » - убывает, а в четвертой – о виде критических точек. Критическая точка 0 функции hello_html_6c0ff7fa.gif не является точкой экстремума, поэтому в четвертой строке таблицы она не отмечена. Заметим, что вывод о ходе изменения функции на промежутке между критическими точками часто можно сделать, сравнив значения функции на концах этого промежутка (вместо определения знака производной). Например, hello_html_m43b9b2f2.gif поэтому на промежутке (-1;0) функция убывает (и, следовательно, hello_html_mc4b8016.gif на этом промежутке).

С

hello_html_m34766387.png

троим график функции (Рис. №2).

Строить его удобно по промежуткам, которые указаны в таблице. Например, в таблице указано, что hello_html_6c0ff7fa.gif убывает на интервале (0; 1). Функция hello_html_6c0ff7fa.gif непрерывна в точках 0 и 1 (так как она непрерывна всюду), следовательно, она убывает на отрезке [0; 1]. Поэтому рисуем график убывающим на отрезке [0; 1] от значения hello_html_73107e15.gif до значения hello_html_49d266e1.gif При этом касательные к графику в точках 0, hello_html_6ba0c3cb.gif должны быть горизонтальными – во второй строке таблицы сказано, что в этих точках производная равна нулю. Аналогично строится график и на остальных промежутках.

Задания для самостоятельного решения

Исследуйте функцию и постройте ее график.

  1. hello_html_187c0cc0.gif

  2. hello_html_55f6c6cf.gif

  3. hello_html_m71f275de.gif

  4. hello_html_2d947f19.gif



Практическая работа №7

Тема. Исследование функции с помощью производной и построение графика функции.

Цель практического занятия: отработать навыки исследования функции и построения графиков функций.

Содержание работы.

Теория.

Общая схема исследования функций и построения графиков:

1) найти область определения функции;

2) исследовать функцию на четность и нечетность;

3) исследовать функцию на периодичность;

4) найти критические точки первого рода;

5) найти интервалы монотонности и экстремумы

функции;

6) найти критические точки второго рода;

7) найти интервалы выпуклости и точки перегиба;

8) найти асимптоты графика функции;

9) найти точки пересечения графика функции с осями координат (если это возможно);

10) построить график функции.

Признаки возрастания и убывания функции

Необходимые условия возрастания и убывания функции на интервале.

Теорема 1 (необходимое условие возрастания функции).

Если дифференцируемая функция y=f(х), х(a;b), возрастает на интервале (а;b), то f ’(xo)≥0 для любого xo(a;b).

hello_html_73e899fc.gif

Теорема 2 (необходимое условие убывания функции).

Если дифференцируемая функция y=f(х), х(a;b), убывает на интервале (а;b), то f ’(xo)≤0 для любого xo(a;b).

hello_html_m499fb579.gif

Теорема 3 (достаточное условие возрастания функции). Если функция y=f(х), х(a;b), имеет положительную производную в каждой точке интервала (a;b), то эта функция возрастает на интервале (a;b).

Теорема 4 (достаточное условие убывания функции). Если функция y=f(х), х(a;b), имеет отрицательную производную в каждой точке интервала (a;b), то эта функция убывает на интервале (a;b).

Экстремумы функции.

Определение 1. Точка xo из области определения функции f(х) называется точкой минимума этой функции, если найдется такая ε-окрестность (xo-ε; xo+ε) точки xo, что для всех х ≠xo из этой окрестности выполняется неравенство

f(х)>f(xo).

Определение 2. Точка xo из области определения функции f(х) называется точкой максимума этой функции, если найдется такая ε-окрестность (xo-ε; xo+ε) точки xo, что для всех х ≠xo из этой окрестности выполняется неравенство

f(х)<f(xo).

Определение 3. Точки минимума и максимума называются точками экстремума, а значения функции в этих точках называются экстремумами функции.

Необходимые условия существования экстремума.

Теорема Ферма. Если точка xo является точкой экстремума функции у =f(х) и в этой точке существует производная f ’(xo), то f ’(xo)=0.

Определение 4. Точки, в которых производная функции обращается в нуль или не существует, называются критическими точками (первого рода).

Достаточные условия существования экстремума.

Теорема 1 (первое достаточное условие). Пусть функция у =f(х) непрерывна в точке xo и в некоторой ее ε -окрестности имеет производную, кроме, быть может, самой точки xo. Тогда:

1) если производная f ’(xo) при переходе через точку xo меняет знак с плюса на минус, то xo является точкой максим ума;

2) если производная f ’(xo) при переходе через точку xo меняет знак с минуса на плюс, то xo является точкой минимума;

3) если производная f ’(xo) при переходе через точку xo не меняет знак, то в точке xo функция f(х) не имеет экстремума.

Теорема 2 (второе достаточное условие). Если функция у =f(х) определена и дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки xo, причем f ’(xo)=0, а f ’’(xo)≠0, то в точке xo функция f(х) имеет максимум, если f ’’(xo)<0, и минимум, если f ’’(xo)>0.

Выпуклость графика функции.

Определение 1. График функции y=f(х), х(a;b), называется выпуклым вверх на интервале (a;b), если график расположен ниже любой касательной, проведенной к графику в точках (a;b).

Определение 2. График функции y=f(х), х(a;b), называется выпуклым вниз на интервале (a;b), если график расположен выше любой касательной, проведенной к графику в точках (a;b).

hello_html_222784ca.png

hello_html_m7e21577e.png









Теорема 1 (достаточное условие выпуклости графика функции).

Если на интервале (a;b) дважды дифференцируемая функция y=f(х), х(a;b), имеет отрицательную (положительную) вторую производную, то график функции обращен выпуклостью вверх (вниз).

Заметим, что f ’’(xo) может менять свой знак лишь в точках, где она обращается в нуль, или в точках, где f ’’(xo) не существует. Такие точки принято называть критическими точками второго рода.

Точки перегиба.

Определение 3. Точка графика непрерывной функции f(х), в которой существует касательная и при переходе через которую кривая меняет направление выпуклости, называется точкой перегиба.

В точке перегиба касательная пересекает кривую.

Теорема 2 (необходимое условие существования точки перегиба).

Если функция у =f(х) имеет непрерывные производные до второго порядка включительно на интервале (a;b) и точка (хo;fo)), где хo(a;b), является точкой перегиба графика функции f(х), то f ’’(xo)=0.

Теорема 3 (достаточное условие).

Если функция у = f(х), х(a;b), дважды дифференцируема на интервале (a;b) и при переходе через хo(a;b) вторая производная f ’’(xo) меняет знак, то точка кривой с абсциссой х=xo является точкой перегиба.

Асимптоты кривой.

Определение 1. Прямая у =kх+b называется наклонной асимптотой кривой у=f(х) при hello_html_m2c59da63.gif, если hello_html_f18c638.gif

Отсюда hello_html_m4acfe0be.gif

Определение 2. Асимптота, определяемая уравнением y=b, называется горизонтальной асимптотой.

Определение З. Прямая х=а называется вертикальной асимптотой.

Пример. Построить график функции hello_html_m4588ff4f.gif

1. Находим область определения: x≠3, x(-,3)U(3,).

2. Данная функция не является ни четной, ни нечетной.

3. Данная функция не является периодической.

4. Найдем производную hello_html_m74a5ff44.gif

Производная у’ обращается в нуль в точках х=0 и х=6 и терпит разрыв при х=3.

5. Этими точками числовая прямая делится на четыре промежутка: -<х<0, 0 <х <3, 3< х <6 и 6<х <. Исследуем знак у’ в каждом из них; очевидно, что у’>0 в промежутках -<х<0 и 6<х < (в этих промежутках функция возрастает) и у’<0 в промежутках 0< х <3 и З <х <6 (в этих промежутках функция убывает).

При переходе через точку х=0 производная меняет знак с плюса на минус, т. е. это точка максимума, а при переходе через х=6—с минуса на плюс, т. е. это точка минимума. Находим ymax=y(0)=0 уmin=у(б)= 12.

б. Находим hello_html_m26abc437.gif

Вторая производная в нуль нигде не обращается и терпит разрыв при х = 3.

7. В промежутке -<х <З имеем у” <0, т. е. в этом промежутке кривая выпукла вверх; в промежутке 3< х < имеем у” >0, т. е. в этом промежутке кривая выпукла вниз. Точек перегиба нет.

8hello_html_m28f6d305.png. Так как hello_html_6662b416.gif прямая х=3 является асимптотой графика.

далее находим:

hello_html_1ed839a9.gif

hello_html_2d53a9ee.gif

Следовательно, прямая у=х+ З является наклонной асимптотой графика.

9. При х=0 получим у=0, т. е. график проходит через начало координат.

10. На основании полученных данных строим график функции.


Задание для выполнения практической работы.

Вариант № 1

Исследуйте следующие функции и постройте их графики:1) y=x3+6x2+9x+8 2)hello_html_m56302e3d.gif

Вариант № 2

Исследуйте следующие функции и постройте их графики:1) y=2x3-3x2-12x-18 2)hello_html_m212fa0b3.gif

Вариант № 3

Исследуйте следующие функции и постройте их графики:1) y=x3-6x2+16 2)hello_html_m42eb224f.gif

Вариант № 4

Исследуйте следующие функции и постройте их графики:1) y=2x3+3x2-12x-10 2)hello_html_979bb60.gif




Практическая работа №8

Тема. Вычисление неопределенного интеграла методом непосредственного интегрирования и методом замены переменной (способом подстановки).

Цель практического занятия: отработать навыки вычисления неопределенного интеграла

методом непосредственного интегрирования и замены переменной (способом подстановки).

Содержание работы.

Теория.

Основные формулы интегрирования. Функция hello_html_m2726d643.gif называется первообразной для функции hello_html_m1a267428.gif в промежутке hello_html_6fefbf20.gif если в любой точке этого промежутка ее производная равна hello_html_6f5fb8ae.gifhello_html_23b97826.gifhello_html_35c6d078.gif

Отыскание первообразной функции по заданной ее производной hello_html_m1a267428.gif или по дифференциалу hello_html_5dd3dd2d.gif есть действие, обратное дифференцированию, - интегрирование.

Совокупность первообразных для функции hello_html_m1a267428.gif или для дифференциала hello_html_5dd3dd2d.gif называется неопределенным интегралом и обозначается символом hello_html_m1d3fb87e.gif. Таким образом,

hello_html_m1fbf939c.gifесли hello_html_m4a134187.gif

Здесь hello_html_m1a267428.gif - подынтегральная функция; hello_html_5dd3dd2d.gif - подынтегральное выражение; С – произвольная постоянная.

Приведем основные свойства неопределенного интеграла.

hello_html_4ba63fcb.gifНеопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс произвольная постоянная:hello_html_32f624f3.gif

hello_html_78f8619f.gifДифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:

hello_html_m73023466.gifhello_html_m730ae26c.gif

hello_html_m2b1190c2.gifНеопределенный интеграл алгебраической суммы функции равен алгебраической сумме неопределенных интегралов этих функций:

hello_html_m6fbf19bf.gif

hello_html_m32838e52.gifПостоянный множитель подынтегрального выражения можно выносить за знак неопределенного интеграла:

hello_html_m73417cff.gif

hello_html_66db50c0.gifЕсли hello_html_583c8948.gif и hello_html_5b137b7c.gif- любая известная функция, имеющая непрерывную производную, то

hello_html_576b3a3b.gif

Основные формулы интегрирования (табличные интегралы)

(11.8)

hello_html_3a845f44.gif



(11.9)

hello_html_2071fc12.gif



(11.10)

hello_html_180af48c.gif



(11.11)

hello_html_m2322b10c.gif



(11.12)

hello_html_3561bed1.gif



(11.13)



Непосредственное интегрирование.

Примеры решения

Найти следующие интегралы:

I. 1) hello_html_m29f31268.gif 2) hello_html_3084e700.gif

1. Используя свойство hello_html_m713a995b.gif и формулу (11.2), получим

hello_html_573be548.gif

Проверка: hello_html_m3e128ffb.gifПолучили подынтегральное выражение; следовательно, интеграл найден правильно.

Используя свойства hello_html_m9af5fb2.gif и hello_html_m713a995b.gif и формулы (11.2) и (11.1), имеем

hello_html_m3857d00b.gif

3. hello_html_3655a16d.gif

II. hello_html_m489ebace.gif

Так как hello_html_ma52cf39.gif то hello_html_53e83608.gif

Знак абсолютной величины не пишем, так как при любом значении hello_html_46dff828.gif выражение hello_html_mac3e8ac.gif

III. hello_html_m73ed9ac1.gif

Так как hello_html_m44fb57dd.gif то hello_html_4bd28afd.gif

IV. hello_html_m6009db69.gif

Так как hello_html_m7033f61e.gif то hello_html_m3a31771b.gif Следовательно, hello_html_4383fbc5.gif

V. 1) hello_html_735200e4.gif 2) hello_html_8edde61.gif

1). По формуле (11.10) получаем

hello_html_79b07d9e.gif

2). По формуле (11.11) находим hello_html_m6652ed95.gif

VI. hello_html_m541ab26c.gif

hello_html_m4f8e5ba6.gif

Задания для самостоятельного решения

1) hello_html_5d90825.gif

2) 1)hello_html_m1db99b32.gif 2) hello_html_m6f69d7a.gif 3) hello_html_17123425.gif 4) hello_html_1a7bf0f9.gif

3) hello_html_a4e615b.gif

4) hello_html_m1fbf8717.gif

5) hello_html_40ce5ab5.gif

6) hello_html_m5e32ed70.gif 2) hello_html_5e1bd659.gif

Теория.

Сущность интегрирования методом замены переменной (способом подстановки) заключается в преобразовании интеграла hello_html_m1d3fb87e.gif в интеграл hello_html_m6f616335.gif который легко вычисляется по какой-либо из основных формул интегрирования.

Для нахождения интеграла hello_html_m1d3fb87e.gif заменяем переменную х новой переменной и с помощью подстановки hello_html_me1bbc95.gif Дифференцируя это равенство, получим hello_html_53e1a074.gif Подставляя в подынтегральное выражение вместо х и dx их значения, выраженные через и и dx, имеем

hello_html_1c773091.gif

После того как интеграл относительно новой переменной и будет найден, с помощью подстановки hello_html_39f99e92.gif он приводится к переменной х.

Практическая часть.

Примеры вычисления интегралов.

I. Найти следующие интегралы:

1) hello_html_fc0a9b4.gif 2) hello_html_m44075e1c.gif

1) Введем подстановку hello_html_m4ef76b81.gif. Дифференцируя, имеем hello_html_m4ff73448.gif откуда hello_html_m68180fed.gif Подставив в данный интеграл вместо 3х+2 и dx их выражения, получим

hello_html_m7bbff459.gif

Заменив и его выражением через х, находим

hello_html_333b7711.gif

Проверка: hello_html_m5ca41113.gif



2) Полагая hello_html_m4033ffb8.gif имеем hello_html_3931062f.gifhello_html_62402baf.gif Значит, hello_html_m70abd5e8.gif



II. Найти следующие интегралы:

1) hello_html_2a393ee3.gif

Имеем hello_html_m460d8cef.gif Положим hello_html_44388d16.gif тогда hello_html_6b84604b.gif Поэтому

hello_html_3663a756.gif

2) hello_html_m2e1d3dbf.gif

Положим hello_html_m51334ede.gif откуда hello_html_me0af14a.gifhello_html_4b3eb839.gif Значит,

hello_html_16b7aca8.gif

3) hello_html_617018d4.gif

Положим hello_html_m7709fb7b.gif тогда hello_html_m5ef27180.gif Таким образом,

hello_html_a2789e1.gif

4) hello_html_115ee991.gif

Полагая hello_html_m6bf6e143.gif находим hello_html_7fe2f906.gif Следовательно,

hello_html_m467882e2.gif

Задания для самостоятельного решения

Найдите следующие интегралы:1) hello_html_m27aff72f.gif 2) hello_html_6d3b0260.gif 3) hello_html_74370a84.gif

4) hello_html_60779f69.gif 5) hello_html_648b2231.gif 6)hello_html_15c81dc1.gif

Практическая работа №9


Тема. Вычисление определенного интеграла. Решение прикладных задач.

Цель практического занятия: отработать навыки вычисления определенного интеграла.


Содержание работы.

Теория.

Определённым интегралом от функции f(x) на отрезке hello_html_35c6d078.gif называется предел интегральной суммы при условии, что длина наибольшего из элементарных отрезков стремится к нулю: hello_html_m324c527f.gif

Для любой функции, непрерывной на отрезке hello_html_35c6d078.gif, всегда существует определённый интеграл.

Для вычисления определённого интеграла служит формула Ньютона-Лейбница:

hello_html_m7cbfc709.gif

Т. е. определённый интеграл равен разности значений первообразной при верхнем и нижнем пределах интегрирования.


Свойства неопределенного интеграла.

hello_html_m290e3e9d.gif

hello_html_36b41756.gif

hello_html_m30d3c3ba.gif

hello_html_58b36b71.gif, где a – const.

hello_html_m51b85e26.gif

Если hello_html_7405a8b7.gif и hello_html_17e578b6.gif, то hello_html_6aaa1024.gif

Таблица основных интегралов.

1. hello_html_m7284e9ae.gif 2. hello_html_m76184259.gif

3. hello_html_1018ed80.gif, hello_html_61011c0f.gif 4. hello_html_35725553.gif

5. hello_html_1150ff2c.gif 6. hello_html_30b5d784.gif

7. hello_html_71b5743b.gif 8. hello_html_7ab9d7a8.gif

9. hello_html_98cf0db.gif 10. hello_html_m371c0292.gif

11. hello_html_m3ee9fda4.gif 12. hello_html_m18bfcabd.gif

13. hello_html_48bbf1d1.gif 14. hello_html_m4db79047.gif

15. hello_html_m7257d482.gif 16. hello_html_284493cb.gif


Примеры вычисления интегралов.

Вычислить следующие интегралы:

1.hello_html_18a23725.gif

2.hello_html_f929f6b.gif 3.hello_html_m45c19522.gif

4. hello_html_m7196caa8.gif 5. hello_html_5000b9f.gif

6. hello_html_m980309c.gif

t=1-cosx

dt=sinxdx

α=1-cos(/2)=1

β=1-cos=2

Задания для самостоятельного решения.

Вариант № 1

1) hello_html_2b5ab144.gif, 2) hello_html_5de7cf69.gif,

3) hello_html_1c16628b.gif, 4) hello_html_2bfed59c.gif, 5) hello_html_1e6db7d5.gif.



Вариант № 2

1) hello_html_m54fc0e1f.gif, 2) hello_html_4aa7d059.gif,

3) hello_html_6736436f.gif, 4) hello_html_30becb73.gif, 5) hello_html_7224c7d0.gif.

Вариант № 3

1) hello_html_34baae41.gif, 2) hello_html_2845bde.gif ,

3) hello_html_913eb8e.gif, 4) hello_html_7f7cdd2c.gif, 5) hello_html_57127824.gif.

Вариант № 4

1) hello_html_10e24f56.gif, 2) hello_html_60b4c390.gif,

3) hello_html_m2f0a1f22.gif, 4) hello_html_c4674f7.gif, 5) hello_html_68fd61db.gif.


Теория.

При вычислении определенного интеграла методом замены переменной (способом подстановки) определенный интеграл hello_html_723ef968.gif преобразуется с помощью подстановки hello_html_39f99e92.gif или hello_html_1d1d66f7.gif в определенный интеграл относительно новой переменной u. При этом старые пределы интегрирования a и b заменяются соответственно новыми пределами интегрирования hello_html_7a00ba7d.gif и hello_html_m4162108e.gif, которые находятся из исходной подстановки.

Из первой подстановки новые пределы интегрирования вычисляются непосредственно: hello_html_4794e226.gifhello_html_m780e237f.gif

Из второй подстановки новые пределы интегрирования находятся путем решения уравнений hello_html_7d918dab.gif и hello_html_6f83e2fd.gif относительно hello_html_7a00ba7d.gif и hello_html_m4162108e.gif.

Таким образом, имеем hello_html_6f6840b7.gif

Практическая часть.

Примеры вычисления интегралов.

I. 1) hello_html_25c11728.gif 2) hello_html_3773fbe5.gif 3) hello_html_187c6e60.gif 4) hello_html_236bd8f3.gif

1) Введем новую переменную интегрирования с помощь. Подстановки 2x-1=u. Дифференцируя, имеем hello_html_m93be57f.gif откуда hello_html_7dc3c804.gif Находим новые пределы интегрирования. Подставляя в соотношение hello_html_m5d1a586d.gif значения hello_html_m65aefd64.gif и hello_html_m4215362c.gif соответственно получим hello_html_a6673ea.gifhello_html_a8fecdb.gif

Следовательно,

hello_html_13eb7d07.gif

Положим 5x-1=u; тогда 5dx= du, dx = (1/5)du. Вычисляем новые пределы интегрирования: hello_html_m7f4ad304.gifhello_html_m3d99ec72.gif Поэтому

hello_html_8d87987.gif

Положим hello_html_4876f506.gif тогда hello_html_1f704fc.gifhello_html_m330af314.gif Вычисляем новые пределы интегрирования: hello_html_m57d1a6e1.gifhello_html_m7cb79b02.gif Таким образом,

hello_html_m65bc1c97.gif

Преобразуем подкоренное выражение: hello_html_458a859.gif. Положим hello_html_m5111ba79.gif откуда hello_html_3c6ecba2.gif Найдем новые пределы интегрирования: hello_html_m5866ed81.gifhello_html_2ff570f4.gif Следовательно,

hello_html_503dca57.gif


Задания для самостоятельного решения.

Вычислите с помощью подстановок следующие определенные интегралы:

I. 1) hello_html_2c6a94d1.gif 2) hello_html_m48211326.gif

II. 1) hello_html_m19e644fe.gif 2) hello_html_m7536d30d.gif 3) hello_html_m331b985f.gif

Ihello_html_5da0a045.gifII. 1) hello_html_md75f570.gif 2) hello_html_m37562f3f.gif 3) hello_html_1b32319e.gif 4) hello_html_eab528d.gif



Теория.

Вычисление площади плоской фигуры

1. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной

кривой y=f(x), осью Ох и двумя прямыми х=а и х=в,

где hello_html_57bbb485.gif вычисляется по формуле

hello_html_m1778bf41.gifhello_html_m66abcf72.gif

2. Если криволинейная трапеция, ограниченная

кривой y=f(x), осью Ох и прямыми х=а и х=в, лежит

под осью Ох,то площадь находится по формуле

hello_html_m1ef14a34.gif

3hello_html_57da0cf7.gif. Если фигура ограничена двумя пересекающимися

кривыми hello_html_m45268466.gifи прямым х=а и х=в,

гдеhello_html_35c6d078.gif и hello_html_2d43b1be.gifтогда площадь находится

по формуле hello_html_7cdd932e.gif

Примеры.

1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями : а) x-2y+4=0, x+y-5=0, y=0.

Решение. Построим фигуру, площадь которой нужно вычислить.

Построим прямую х-2у+4=0 по двум точкам А(-4;0) и В(0;2)Б а прямую х+у-5=0 по точкам С(5;0) и D(0;5)

Нhello_html_4d4a9664.gifайдём точку пересечения прямых, решив систему уравнений hello_html_m228e89cc.gif=> М(2;3). Для вычисления искомой площади разобьём треугольник АМС на два треугольника AMN NMC и вычислим площадь каждого из них

hello_html_271568f2.gif(кв.ед)

hello_html_m2a706311.gif

б) hello_html_m1cfcec31.gif и у=0.

Выполним построение фигуры. Искомая площадь заключена между параболойhello_html_m1cfcec31.gif

и осью Ох. Найдём точки пересечения параболы с осью Ох. Полагая у=0, найдём х=±2.

Вhello_html_m46072af5.pngычислим площадь получившейся фигуры

hello_html_m361d4483.gif



в) hello_html_2ea5e714.gif и y=2x

Дhello_html_m28e9605c.pngанная фигура ограничена параболой hello_html_2ea5e714.gif и прямой y=2x .

Для определения точек пересечения заданных линий

решим систему уравнений hello_html_m26f4a558.gif откуда находим

х=0 и х=2. Тогда искомая площадь находится по формуле

hello_html_40c81d16.gif

Задание для выполнения практической работы.

Вариант № 1 Вариант № 2

1. x-y+3=0, x+y-1=0, y=0 1. x-2y+4=0, x+2y-8=0

2. y=2x-x2, y=-1/2x+1 2. y=6x-x2+7, y=x+1


Вариант № 3 Вариант № 4

1. x-2y+4=0, x+y-5=0, y=0 1. x-y+2=0, x+2y-3=0,y=0

2. y=8-2x-x2, y=2x+4 2. y=x2+1, y=x+3





Практическая работа №10


Тема. Выполнение действий над комплексными числами.

Цель практического занятия: отработать навыки выполнения действий над комплексными числами.

Содержание работы.

Теория.

Комплексным числом hello_html_m7b8eb911.png называется число вида hello_html_m14846312.png, где hello_html_4c6a7e66.png и hello_html_576824de.png – действительные числа, hello_html_m205a3786.png – так называемая мнимая единица. Число hello_html_4c6a7e66.png называется действительной частью (hello_html_m48419eac.png) комплексного числа hello_html_m7b8eb911.png, число hello_html_576824de.png называется мнимой частью (hello_html_2eb82b19.png) комплексного числа hello_html_m7b8eb911.png.

hello_html_627d0342.png – это ЕДИНОЕ  ЧИСЛО, а не сложение. Действительную и мнимую части комплексного числа, в принципе, можно переставить местами: hello_html_3fee4ea6.png или переставить мнимую единицу: hello_html_2fc9cfd8.png – от этого комплексное число не изменится. Но стандартно комплексное число принято записывать именно в таком порядкеhello_html_m14846312.png- это и есть алгебраическая форма комплексного числа.


Сложение комплексных чисел

Пример 1. Сложить два комплексных числа hello_html_m2d09be34.png, hello_html_5d65a09e.png

Для того чтобы сложить два комплексных числа нужно сложить их действительные и мнимые части:
hello_html_m4000c1bb.png

Вычитание комплексных чисел

Пример 2

Найти разности комплексных чисел hello_html_m7cb2b69d.png и hello_html_5334b796.png, если hello_html_m4b295b2b.png, hello_html_m1fa63fc3.png

Действие аналогично сложению, единственная особенность состоит в том, что вычитаемое нужно взять в скобки, а затем – стандартно раскрыть эти скобки со сменой знака:

hello_html_55df9640.png

Результат не должен смущать, у полученного числа две, а не три части. Просто действительная часть – составная: hello_html_407388c3.png. Для наглядности ответ можно переписать так: hello_html_m479e8215.png.

Рассчитаем вторую разность:
hello_html_m28f2f66d.png
Здесь действительная часть тоже составная:
hello_html_5da5803f.png

Чтобы не было какой-то недосказанности, приведу короткий пример с «нехорошей» мнимой частью: hello_html_m437fbcb4.png.

Умножение комплексных чисел

Настал момент познакомить вас со знаменитым равенством:

hello_html_m777f6058.png

Пример 3

Найти произведение комплексных чисел  hello_html_m648fc86e.png, hello_html_me1ce8e5.png

Очевидно, что произведение следует записать так:
hello_html_145b21e5.png

hello_html_3c4347c9.png

hello_html_63940571.png

Деление комплексных чисел

Пример 4. Даны комплексные числа hello_html_m214ffcf2.png, hello_html_m16e22429.png. Найти частное hello_html_mbc055e4.png.

Составим частное:
hello_html_61195a33.png

Деление чисел осуществляется методом умножения знаменателя и числителя на сопряженное знаменателю выражение.

Вспоминаем бородатую формулу hello_html_m27d067db.png и смотрим на наш знаменатель: hello_html_m3bfe9db4.png. В знаменателе уже есть hello_html_m76e8ea2c.png, поэтому сопряженным выражением в данном случае является hello_html_m50605e58.png, то есть hello_html_m2964d535.png

Согласно правилу, знаменатель нужно умножить на hello_html_m2964d535.png, и, чтобы ничего не изменилось, домножить числитель на то же самое число hello_html_m2964d535.png:
hello_html_2c7d6199.png

Далее в числителе нужно раскрыть скобки (перемножить два числа по правилу, рассмотренному в предыдущем пункте). А в знаменателе воспользоваться формулой hello_html_m27d067db.png (помним, чтоhello_html_m777f6058.png и не путаемся в знаках!!!).

Распишу подробно:
hello_html_7094d002.png

В ряде случаев перед делением дробь целесообразно упростить, например, рассмотрим частное чисел: hello_html_mf8f6879.png. Перед делением избавляемся от лишних минусов: в числителе и в знаменателе выносим минусы за скобки и сокращаем эти минусы: hello_html_m993d24e.png. Для любителей порешать приведу правильный ответ: hello_html_m205a3786.png

Редко, но встречается такое задание:

Пример 5

Дано комплексное число hello_html_16108220.png. Записать данное число в алгебраической форме (т.е. в форме hello_html_m15bfebe2.png).

Приём тот же самый – умножаем знаменатель и числитель на сопряженное знаменателю выражение. Снова смотрим на формулу hello_html_m27d067db.png. В знаменателе уже есть hello_html_m50605e58.png, поэтому знаменатель и числитель нужно домножить на сопряженное выражение hello_html_m76e8ea2c.png, то есть на hello_html_312b7ff2.png:
hello_html_m8911d4a.png


Пример 6. Задание для самостоятельного решения

Даны два комплексных числа hello_html_2b6d2e79.png, hello_html_6d71fc9c.png. Найти их сумму, разность, произведение и частное.


Геометрическая интерпретация. Комплексные числа изображаются на комплексной плоскости:
Построим на комплексной плоскости следующие комплексные числа:
hello_html_m5c918a19.png, hello_html_36fbd77c.png, hello_html_322e0cec.pnghello_html_m500c1cca.png, hello_html_m6479e6e1.png, hello_html_m63117e1b.pnghello_html_m6d1dc65d.png, hello_html_m4bc081ac.png, hello_html_m412654b0.png, hello_html_3ac87bcb.png


hello_html_2ac08e70.png

Действительные числа – это частный случай комплексных чисел. Действительная ось hello_html_m48419eac.png обозначает в точности множество действительных чисел hello_html_1dcd2374.png, то есть на осиhello_html_m48419eac.png сидят все наши «обычные» числа. Более строго утверждение можно сформулировать так: Множество действительных чисел hello_html_1dcd2374.png является подмножеством множества комплексных чисел hello_html_34e54ab2.png.

Числа hello_html_m5c918a19.png, hello_html_36fbd77c.png, hello_html_322e0cec.png – это комплексные числа с нулевой мнимой частью.

Числа hello_html_m500c1cca.png, hello_html_m6479e6e1.png, hello_html_m63117e1b.png – это, наоборот, чисто мнимые числа, т.е. числа с нулевой действительной частью. Они располагаются строго на мнимой оси hello_html_2eb82b19.png.

В числах hello_html_m6d1dc65d.png, hello_html_m4bc081ac.png, hello_html_m412654b0.png, hello_html_3ac87bcb.png и действительная и мнимая части не равны нулю. Такие числа тоже обозначаются точками на комплексной плоскости, при этом, к ним принято проводить радиус-векторы из начала координат (обозначены красным цветом на чертеже). Радиус-векторы к числам, которые располагаются на осях, обычно не  чертят, потому что они сливаются с осями.

Тригонометрическая и показательная форма комплексного числа.

Любое комплексное число (кроме нуля) hello_html_m14846312.png можно записать в тригонометрической форме: hello_html_m71663eae.png, где hello_html_m670a0505.png – это модуль комплексного числа, а hello_html_61da3479.png – аргумент комплексного числа.

Изобразим на комплексной плоскости число hello_html_m14846312.png. Для определённости и простоты объяснений расположим его в первой координатной четверти, т.е. считаем, что hello_html_12851ea3.png:

hello_html_4ddb7436.png

Модулем комплексного числа hello_html_m7b8eb911.png называется расстояние от начала координат до соответствующей точки комплексной плоскости. Попросту говоря, модуль – это длина радиус-вектора, который на чертеже обозначен красным цветом.

Модуль комплексного числа hello_html_m7b8eb911.png стандартно обозначают: hello_html_m670a0505.png или hello_html_m5c61c7cb.png

По теореме Пифагора легко вывести формулу для нахождения модуля комплексного числа: hello_html_m51a0851.png. Данная формула справедлива для любых значений «а» и «бэ».

Аргументом комплексного числа hello_html_m7b8eb911.png называется угол hello_html_61da3479.png между положительной полуосью действительной оси hello_html_m48419eac.png и радиус-вектором, проведенным из начала координат к соответствующей точке. Аргумент не определён для единственного числа: hello_html_5c49980a.png.

Рассматриваемый принцип фактически схож с полярными координатами, где полярный радиус и полярный угол однозначно определяют точку.

Аргумент комплексного числа hello_html_m7b8eb911.png стандартно обозначают: hello_html_61da3479.png или hello_html_m41d4e84d.png

Из геометрических соображений получается следующая формула для нахождения аргумента:
hello_html_m4b3de6a4.png.

Рассмотрим простейшие примеры, когда комплексные числа располагаются на координатных осях.

Пример 7 Представить в тригонометрической форме комплексные числа: hello_html_5d52e874.png, hello_html_m7331b083.png, hello_html_5ec404aa.png, hello_html_m25197cf8.png.
Выполним чертёж:
hello_html_286730a6.png



Тригонометрическая форма записи комплексного числа: hello_html_m71663eae.png

Модуль – длина (которая всегда неотрицательна), аргумент – угол.

1) Представим в тригонометрической форме число hello_html_5d52e874.png. Найдем его модуль и аргумент. Очевидно, что hello_html_c3be6e8.png. Формальный расчет по формуле: hello_html_5318d2c8.png.
Очевидно, что hello_html_7caa8710.png (число лежит непосредственно на действительной положительной полуоси). Таким образом, число в тригонометрической форме: hello_html_m13be437f.png.

Ясно, как день, обратное проверочное действие: hello_html_6ae81d3d.png

2) Представим в тригонометрической форме число hello_html_m7331b083.png. Найдем его модуль и аргумент. Очевидно, что hello_html_149d4d4e.png. Формальный расчет по формуле: hello_html_m4ea92ad8.png.
Очевидно, что hello_html_b9c2e7f.png (или 90 градусов). На чертеже угол обозначен красным цветом. Таким образом, число в тригонометрической форме: hello_html_3853938a.png.

Используя таблицу значений тригонометрических функций, легко обратно получить алгебраическую форму числа (заодно выполнив проверку):
hello_html_m4274db91.png

3) Представим в тригонометрической форме число hello_html_5ec404aa.png. Найдем его модуль и аргумент. Очевидно, что hello_html_64df027c.png. Формальный расчет по формуле: hello_html_m68e53c93.png.
Очевидно, что
hello_html_327937a1.png (или 180 градусов). На чертеже угол обозначен синим цветом. Таким образом, число в тригонометрической форме: hello_html_48836128.png.

Проверка: hello_html_m2187e055.png

4) И четвёртый интересный случай. Представим в тригонометрической форме число hello_html_m25197cf8.png. Найдем его модуль и аргумент. Очевидно, что hello_html_96a9927.png. Формальный расчет по формуле: hello_html_m5c33801c.png.

Аргумент можно записать двумя способами: Первый способ: hello_html_70749d3f.png (270 градусов), и, соответственно: hello_html_7ab4087e.png. Проверка: hello_html_740b20a4.png

Однако более стандартно следующее правило: Если угол больше 180 градусов, то его записывают со знаком минус и противоположной ориентацией («прокруткой») угла: hello_html_m1ad286e2.png (минус 90 градусов), на чертеже угол отмечен зеленым цветом. Легко заметить, что hello_html_70749d3f.png и hello_html_m1ad286e2.png – это один и тот же угол.

Таким образом, запись принимает вид: hello_html_6d6e4c5b.png


Перейдем к рассмотрению более распространенных случаев. Как я уже отмечал, с модулем проблем не возникает, всегда следует использовать формулу hello_html_m51a0851.png. А вот формулы для нахождения аргумента будут разными, это зависит от того, в какой координатной четверти лежит число hello_html_m14846312.png. При этом возможны три варианта (их полезно переписать к себе в тетрадь):

1) Если hello_html_m176e3a11.png (1-ая и 4-ая координатные четверти, или правая полуплоскость), то аргумент нужно находить по формуле hello_html_m4b3de6a4.png.

2) Если hello_html_514a895c.png (2-ая координатная четверть), то аргумент нужно находить по формуле hello_html_730c02f6.png.

3) Если hello_html_m1e73b88a.png (3-я координатная четверть), то аргумент нужно находить по формуле hello_html_475bebff.png.


Пример 8

Представить в тригонометрической форме комплексные числа: hello_html_5227c3e8.png, hello_html_62aabd93.png, hello_html_32580921.png, hello_html_m10bbc98d.png.

hello_html_7a33f363.jpg

Представим в тригонометрической форме число hello_html_62aabd93.png. Найдем его модуль и аргумент.
hello_html_m54b5948f.png
Поскольку
hello_html_514a895c.png (случай 2), то hello_html_79e80ae6.png – вот здесь нечетностью арктангенса воспользоваться нужно. К сожалению, в таблице отсутствует значение hello_html_2f49489.png, поэтому в подобных случаях аргумент приходится оставлять в громоздком виде:
hello_html_10fa0f6c.png – число hello_html_583878e3.png в тригонометрической форме.

Перечертите чертеж в тетрадь и измерьте линейкой расстояние от начала координат до числа hello_html_583878e3.png. Вы убедитесь, что действительно hello_html_e96ca27.png. Также транспортиром можете измерить угол и убедиться, что действительно hello_html_m759d8373.png.

Представим в тригонометрической форме число hello_html_m10bbc98d.png. Найдем его модуль и аргумент.
hello_html_735cc1ce.png

Поскольку hello_html_m176e3a11.png (случай 1), то hello_html_857db86.png (минус 60 градусов).

Таким образом:
hello_html_m56b24f92.png – число hello_html_m7658b29c.png в тригонометрической форме.

А вот здесь, как уже отмечалось, минусы не трогаем.

Кроме забавного графического метода проверки, существует и проверка аналитическая, которая уже проводилась в Примере 7. Используем таблицу значений тригонометрических функций, при этом учитываем, что угол hello_html_42845b9c.png – это в точности табличный угол hello_html_396b931b.png (или 300 градусов):
hello_html_m627b0204.png – число hello_html_m7658b29c.png в исходной алгебраической форме.

Числа hello_html_5227c3e8.png и hello_html_32580921.png представьте в тригонометрической форме самостоятельно. Краткое решение и ответ в конце урока.

В конце параграфа кратко о показательной форме комплексного числа.

Любое комплексное число (кроме нуля) hello_html_m14846312.png можно записать в показательной форме:
hello_html_m1fbd7031.png, где hello_html_m670a0505.png – это модуль комплексного числа, а hello_html_61da3479.png – аргумент комплексного числа.

Что нужно сделать, чтобы представить комплексное число в показательной форме? Почти то же самое: выполнить чертеж, найти модуль и аргумент. И записать число в виде hello_html_m1fbd7031.png.

Например, для числа hello_html_62aabd93.png предыдущего примера у нас найден модуль и аргумент: hello_html_18164146.png, hello_html_m76c41bea.png. Тогда данное число в показательной форме запишется следующим образом: hello_html_m328fbd51.png.

Число hello_html_m6da327de.png в показательной форме будет выглядеть так: hello_html_m627067b2.png

Число hello_html_m6976c287.png – так: hello_html_54a45f5d.png

 И т.д.

Единственный совет – не трогаем показатель экспоненты, там не нужно переставлять множители, раскрывать скобки и т.п. Комплексное число в показательной форме записывается строго по форме hello_html_m1fbd7031.png.


Возведение комплексных чисел в степень

Начнем со всем любимого квадрата.

Пример 9

Возвести в квадрат комплексное число hello_html_m37877949.png

Здесь можно пойти двумя путями, первый способ это переписать степень как произведение множителей hello_html_m64ec05dc.png и перемножить числа по правилу умножения многочленов.

Второй способ состоит в применение известной школьной формулы сокращенного умножения hello_html_m72ebd71f.png:
hello_html_43825b92.png

Для комплексного числа легко вывести свою формулу сокращенного умножения:
hello_html_m33c2b1fb.png. Аналогичную формулу можно вывести для квадрата разности, а также для куба сумма и куба разности. Но эти формулы более актуальны для задач комплексного анализа, поэтому на данном уроке я воздержусь от подробных выкладок.

Что делать, если комплексное число нужно возвести, скажем, в 5-ую, 10-ую или 100-ую степень? Ясно, что в алгебраической форме проделать такой трюк практически невозможно, действительно, подумайте, как вы будете решать пример вроде hello_html_33f40d07.png?

И здесь на помощь приходит тригонометрическая форма комплексного числа и, так называемая, формула Муавра: Если комплексное число представлено в тригонометрической форме hello_html_m71663eae.png, то при его возведении в натуральную степень hello_html_1cead6f1.png справедлива формула:

hello_html_m6bff1fc6.png

Пример 10

Дано комплексное число hello_html_1aeda584.png, найти hello_html_m60bbb2ac.png.

Сначала нужно представить данной число в тригонометрической форме. Внимательные читатели заметили, что в Примере 8 мы это уже сделали:

hello_html_5b1d5cf5.png 

Тогда, по формуле Муавра:
hello_html_21c9994e.png

Один оборот составляет hello_html_m79d2b320.png радиан или 360 градусов. Выясним сколько оборотов в аргументе hello_html_1787886c.png. Для удобства делаем дробь правильной: hello_html_m1bd2a824.png, после чего становится хорошо видно, что можно убавить один оборот: hello_html_1e9f4897.png. Надеюсь всем понятно, что hello_html_mbf6366f.png и hello_html_m5589f5e4.png – это один и тот же угол.

Таким образом, окончательный ответ запишется так:
hello_html_m52e06f46.png

Любители стандартов везде и во всём могут переписать ответ в виде:
hello_html_1b4a341b.png (т.е. убавить еще один оборот и получить значение аргумента в стандартном виде).

Хотя hello_html_m52e06f46.png – ни в коем случае не ошибка.



Пример 11.Задание для самостоятельного решения

Дано комплексное число hello_html_m10f8e8f9.png, найти hello_html_68b00e2b.png. Полученный аргумент (угол) упростить, результат представить в алгебраической форме.

Отдельная разновидность задачи возведения в степень – это возведение в степень чисто мнимых чисел.

Пример 12

Возвести в степень комплексные числа hello_html_m228b6b8e.png, hello_html_m429de869.png, hello_html_610a8b37.png

Здесь тоже всё просто, главное, помнить знаменитое равенство.

Если мнимая единица возводится в четную степень, то техника решения такова:
hello_html_5247821d.png

Если мнимая единица возводится в нечетную степень, то «отщипываем» одно «и»,  получая четную степень:
hello_html_m7fb30bde.png

Если есть минус (или любой действительный коэффициент), то его необходимо предварительно отделить:
hello_html_7d30993c.png

Пример 13.Задание для самостоятельного решения

Возвести в степень комплексные числа hello_html_m6f665a2c.png, hello_html_m3286608.png


Извлечение корней из комплексных чисел.
Квадратное уравнение с комплексными корнями

hello_html_m6df73ec2.png

Нельзя извлечь корень? Если речь идет о действительных числах, то действительно нельзя. В комплексных числах извлечь корень –  можно! А точнее, два корня:

hello_html_m41f83af1.png
hello_html_7be57ce5.png

Действительно ли найденные корни являются решением уравнения hello_html_43fa4522.png? Выполним проверку:

hello_html_66361695.png
hello_html_m217ce549.png

Что и требовалось проверить.

Часто используется сокращенная запись, оба корня записывают в одну строчку под «одной гребёнкой»: hello_html_753aa402.png.

Такие корни также называют сопряженными комплексными корнями.

Как извлекать квадратные корни из отрицательных чисел, думаю, всем понятно: hello_html_281f4689.png, hello_html_mfb925de.png, hello_html_m76f1aa8a.png, hello_html_17bdfe0e.png, hello_html_m6d68a4c0.png и т.д. Во всех случаях получается два сопряженных комплексных корня.

Пример 14

Решить квадратное уравнение hello_html_m65efb7ff.png

Вычислим дискриминант:
hello_html_5beafac4.png

Дискриминант отрицателен, и в действительных числах уравнение решения не имеет. Но корень можно извлечь в комплексных числах!
hello_html_2445627c.png

По известным школьным формулам получаем два корня:
hello_html_55c0bb9b.png
hello_html_19a1d93b.png – сопряженные комплексные корни

Таким образом, уравнение hello_html_m65efb7ff.png имеет два сопряженных комплексных корня: hello_html_m15f6d94e.png, hello_html_5955fd82.png

Теперь вы сможете решить любое квадратное уравнение!

И вообще, любое уравнение с многочленом «энной» степени hello_html_m4ebdc628.png имеет ровно hello_html_1cead6f1.png корней, часть из которых может быть комплексными.

Простой пример для самостоятельного решения:

Пример 15. Задание для самостоятельного решения

Найти корни уравнения hello_html_253d9a7a.png и разложить квадратный двучлен на множители.

Разложение на множители осуществляется опять же по стандартной школьной формуле.

Как извлечь корень из произвольного комплексного числа?

Рассмотрим уравнение hello_html_3e46569f.png, или, то же самое: hello_html_75f5645d.png. Здесь «эн» может принимать любое натуральное значение, которое больше единицы. В частности, при hello_html_6a28f104.png получается квадратный корень hello_html_2e27890e.png

Уравнение вида hello_html_75f5645d.png имеет ровно hello_html_1cead6f1.png корней hello_html_6f09bef3.png, которые можно найти по формуле:
hello_html_m565dc00d.png, где hello_html_441ef6ff.png – это модуль комплексного числа hello_html_65c2ebec.png, hello_html_61da3479.png – его аргумент, а параметр hello_html_m256ddab7.png принимает значения: hello_html_6f1d2f3c.png

Пример 16

Найти корни уравнения hello_html_7884eb1e.png

Перепишем уравнение в виде hello_html_7bc8591e.png

В данном примере hello_html_263f4820.png,  hello_html_6a28f104.png, поэтому уравнение будет иметь два корня: hello_html_3c4bb577.png и hello_html_m40063862.png.
Общую формулу можно сразу немножко детализировать:
hello_html_m39010119.png, hello_html_m5331694b.png

Теперь нужно найти модуль и аргумент комплексного числа hello_html_263f4820.png:
hello_html_56f2d0e8.png
Число
hello_html_65c2ebec.png располагается в первой четверти, поэтому:
hello_html_5097ba58.png
Напоминаю, что при нахождении тригонометрической формы комплексного числа всегда желательно сделать чертеж.

Еще более детализируем формулу:
hello_html_m3fccb2f8.png, hello_html_m5331694b.png

На чистовик так подробно оформлять, конечно, не нужно, это сделано мной для того, чтобы вам было понятно, откуда что взялось.

Подставляя в формулу значение hello_html_m22338d6f.png, получаем первый корень:
hello_html_45ee7749.png

Подставляя в формулу значение hello_html_m2b3ee096.png, получаем второй корень:
hello_html_5ea77a82.png

Ответ: hello_html_m6d65f523.png, hello_html_6fa33dc7.png

При желании или требовании задания, полученные корни можно перевести обратно в алгебраическую форму.

И напоследок рассмотрим задание - «хит», в контрольных работах почти всегда для решения предлагается уравнение третьей степени: hello_html_73f0d33.png.

Пример 17. Задание для самостоятельного решения

Найти корни уравнения hello_html_m4b75edc6.png, где hello_html_67906428.png



Практическая работа №11

Тема. Вычисление перестановок, размещений и сочетаний.

Цель практического занятия: отработать навыки вычисления перестановок, размещений и сочетаний.


Содержание работы.

Теория.

Общие правила комбинаторики.

Комбинаторные задачи бывают самых разных видов, но большинство задач решаются с помощью двух основных правил — правила суммы и правила произведения. Часто удается разбить все изученные комбинации на несколько классов, причем каждая комбинация входит в один и только в один класс. Ясно, что в этом случае общее число комбинаций равно сумме чисел комбинаций во всех классах. Итак, если некоторый объект А можно выбрать m способами, а другой объект В можно выбрать n способами, то выбор «либо А», »либо В» можно осуществить m+n способами. Это утверждение называют правилом суммы. При использовании правила суммы надо следить, чтобы ни один из способов выбора объекта А не совпадал с каким-нибудь способом выбора объекта В. Если такие совпадения есть, правило суммы утрачивает силу, и мы получаем m+n-k способов выбора, где k — число совпадений.

Второе правило, называемое правилом произведения, несколько сложнее.

Часто при составлении комбинаций из двух элементов известно, сколькими способами можно выбрать первый элемент, сколькими способами — второй, причем число способов выбора второго элемента не зависит от того, как именно выбран первый элемент.

Пусть первый элемент можно выбрать m способами, а второй n способами. Тогда пару этих элементов можно выбрать mn способами.

Правило умножения:

Если объект А можно выбрать m способами и если после каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то выбор пары (А,В) в указанном порядке можно осуществить mn способами.

Сложнее решаются комбинаторные задачи, в которых число выборов после каждого шага зависит от того, какие элементы были выбраны на предыдущих шагах.

Пример такой задачи. Задача о домино:

Сколькими способами из 28 костей домино можно выбрать две кости так, чтобы их можно было приложить друг к другу (то есть, чтобы какое-то число очков встречалось на обеих костях)?

Решение.

Сначала выберем одну кость. Это можно сделать 28 способами. При этом в семи случаях выбранная кость окажется «дублем», то есть костью вида 00, 11, 22, 33, 44, 55, 66, а в 21 случае — костью с различными числами очков (например, 05 13 и т.д.). В первом случае вторую кость можно выбрать 6 способами (например, если на первом шаге выбрана кость 11, то на втором шаге можно взять одну из костей 01, 12, 13, 14, 15, 16). Во втором же случае вторую кость можно выбрать 12 способами (для кости 35 подойдут кости 03, 13, 23, 33, 34, 36, 05, 15, 25, 45, 55, 56). По правилу произведения в первом случае получаем 7×6 = 42 . а во втором 21×12 = 252 выбора. Значит, по правилу суммы получаем 42+252 = 294 способа выбора пары.

В проведенном рассуждении учитывался и порядок, в котором выбирались кости. Поэтому каждая пара костей появлялась дважды (например, первый раз 01 и 16. а второй раз 16 и 01). Если не учитывать порядок выбора костей, то получим вдвое меньше способов выбора, то есть 147 способов.



Перестановки.

Сколькими способами можно расположить в ряд элементов?

Без нарушения общности можно считать, что переставляемыми элементами являются числа натурального ряда 1,2..... n. Рассмотрим сначала частные случаи. При n=2 имеются две перестановки (1,2) и (2,1). При n=3, очевидно, имеется шесть перестановок (1,2,3), (1,3,2), (2,1,3), (2,3,1), (3,1,2), (3,2,1). При n=4. не перебирая все перестановки, проведем следующее рассуждение. На первом месте может находиться один из четырех элементов. При каждом выборе первого элемента остальные три во всевозможных порядках занимают остальные три места, так что существует шесть различных перестановок при фиксированном первом элементе. Следовательно, общее число перестановок равно 6×4 = 24. Это рассуждение имеет общий характер.

Обозначим через Pn-1 число перестановок (n-1) элементов и через Pn — число перестановок n элементов. В каждой перестановке n элементов на первом месте может оказаться один из элементов 1,2,…n, так что имеется n возможностей выбора первого элемента. При каждом из них для оставшихся n-1 элементов имеется возможностей расположений на остальных n-1 местах, ибо эти расположения отличаются только порядком элементов. Пришли к соотношению Pn-1 = n×Pn, откуда последовательно получаем, исходя P2=2, что P3=3×2=3!, P4=4×P3=4×3×2=4!, P5=5! и т.д. Допустив, что

Pn-1=(n-1)!,

получим, что Pn-1 = n×Pn=n!

Размещения.

Сколькими способами можно выбрать и расположить в ряд m элементов из данного множества, содержащего n элементов?

Такие расстановки, состоящие из m элементов, выбранных из данных n элементов, и отличающиеся либо самими элементами, либо их порядком, либо и тем и другим, называются размещениями, а их число принято обозначать символом

hello_html_m27aeed89.gif(читается «А из n по m»).

Например, из четырех элементов 1,2,3,4 (n=4) можно составить 12 размещений по 2 элементам (m=2):

(1,2), (2,1), (1,3), (3,1), (1,4), (4,1), (2,3), (3,2), (2,4), (4,2), (3,4), (4,3).

Таким образом, hello_html_5e773ace.gif=12. Как же вычислить hello_html_m27aeed89.gif? Возьмем все перестановки из n элементов и «вырежем» в каждой из них первые m элементов, отбросив остальные n-m элементов. Останутся размещения из n элементов по m, но каждое размещение встретится столько раз, сколько перестановок можно составить из отброшенных n-m элементов, т.е. Pn-m раз.

Таким образом, число размещений из n по m в Pn-m раз меньше числа перестановок n элементов, т.е.

hello_html_471f1a75.gif

Можно рассуждать иначе. Все перестановки n элементов можно построить, используя размещения из этих n элементов по m. Присоединим к каждому из размещений элементы, не вошедшие в размещение. При этом каждое размещение дает Pn-m перестановок n элементов по числу способов, которыми можно расположить в ряд оставшиеся n-m элементов. Таким образом, число перестановок n элементов в Pn-m раз больше, чем число размещений из n элементов по m, т.е.

Pn= hello_html_m27aeed89.gifPn-m , откуда следует уже выведенная формула числа размещений из n по m.

Сочетания.

Сколькими способами из множества, содержащего n элементов, можно выбрать подмножество, составленное из m элементов? Такие подмножества, которые различаются только набором элементов без учета их взаимного расположения, называются сочетаниями. Например, из четырех элементов 1.2.3.4 можно составить шесть сочетаний по два: {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {3,4}. Фигурные скобки здесь подчеркивают отличие сочетаний от размещений. Размещения (1,3) и (3,1) считаются различными, хотя и составлены из одних и тех же элементов, а {1,3} и {3,1} считаются одним и тем же сочетанием.

Число сочетаний из n элементов по m обозначается символом

hello_html_7e72a178.gif, например hello_html_3f73b43c.gif.

Сочетания тесно связаны с размещениями. Действительно, если в каждом размещении отвлечься от порядка составляющих его элементов, т.е. не различать размещения, отличающиеся только порядком элементов, то мы получим все сочетания. Обратно, если в каждом сочетании выполнить всевозможные перестановки, то получатся все размещения. Поэтому

hello_html_m27aeed89.gif=hello_html_7e72a178.gif× Pn

Если подставить в эту формулу вместо hello_html_m27aeed89.gif и Pn их значения, то получим

hello_html_c366c65.gif

Пример.

Сколько экзаменационных комиссий, состоящих из 7 членов, можно образовать из 17 преподавателей?

Решение.

Очевидно, столько, сколько существует семиэлементных подмножеств у четырнадцати элементного множества, то есть

hello_html_mbf84f6.gif

Ответ: 3432.

Пример.

Сколько шестизначных чисел, кратных пяти, можно составить из цифр 1. 2. 3. 4. 5, 6 при условии, что в числе цифры не повторяются.

Решение.

Для того чтобы число, составленное из заданных цифр, делилось на 5, необходимо и достаточно, чтобы цифра 5 стояла на последнем месте. Остальные пять цифр могут стоять на оставшихся пяти местах в любом порядке. Следовательно, искомое число шестизначных чисел, кратных пяти равно числу перестановок из пяти элементов, т.е. 5! = 120

Ответ: 120.

Пример.

Сколько различных перестановок можно образовать из букв слова «задача»?

Решение.

Образовать какую-либо перестановку из букв слова «задача» - это значит на шесть занумерованных мест каким-нибудь образом поставить одну букву «з», одну букву «д», одну букву «ч» и три буквы «а». Если буквы «з», «д» и «ч» как-то поставлены, то остальные места заполняются буквами «а». Очевидно, что число способов, сколькими можно поставить три различные буквы на шесть мест равно числу всех трёхэлементных упорядоченных подмножеств шестиэлементного множества, т.е. равно hello_html_4793c475.gif =6 5 4=120.

Задание для выполнения практической работы.

Вариант № 1

1. Четверо студентов сдают экзамен. Сколькими способами могут быть им поставлены отметки, если известно, что никто из них не получил неудовлетворительной отметки?

2. Сколькими способами можно переставить буквы в слове «фацетия» так, чтобы не менялся порядок гласных букв?

3. Вычислить hello_html_m613e53af.gif

Вариант № 2

1. Сколькими способами можно разбить m+n+p предметов на три группы так, чтобы в одной было m в другой n, а в третьей p предметов?

2. Сколькими способами можно переставить буквы слова «каракули» так, чтобы никакие две гласные не стояли рядом?

3. Найти n hello_html_m3500b742.gif

Вариант № 3

1. На полке находятся m+n различных книг, из которых m в черных переплетах, а n - в красных. Сколько существует перестановок этих книг, при которых книги в черных переплетах занимают первые m мест’? Сколько положений, в которых все книги в черных переплетах стоят рядом?

2. Сколькими способами можно переставить буквы слова «обороноспособность» так, чтобы две буквы «о» не шли подряд?

3. Вычислить hello_html_m63437e38.gif

Вариант № 4

1. Сколькими способами можно расставить 20 книг в книжном шкафу с 5 полками, если каждая полка может вместить все 20 книг?

2. Сколькими способами можно переставить буквы слова «опосуум» так, чтобы буква «п» шла непосредственно после буквы «о»?

3. Найти n hello_html_33abc911.gif



Практическая работа №12

Тема. Решение простейших задач на определение вероятности с использованием теоремы сложения вероятностей.

Цель практического занятия: использовать теоремы сложения вероятностей для решения простейших задач.

Содержание работы.

Теория.

Теорема 1. Вероятность суммы двух несовместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий, т. е.

Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Теорема 2. Вероятность суммы конечного числа попарно несовместных событий А1, А2, ..., Аn, равна сумме вероятностей этих событий, т. е.

Р(А1+А2+ ... +An) = Р(А1)+Р(А2)+... +Р(Аn).

Теорема 3. Если события А и В совместны, то вероятность их суммы выражается формулой

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)—Р(АВ).

т. е. вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их произведения (совместного осуществления).

Пример. Найти вероятность того, что при бросании двух игральных костей хотя бы один раз выпадет 6 очков.

Обозначим события: А —«выпадение шести очков при бросании первой игральной кости»; В—«выпадение шести очков при бросании второй игральной кости». Так как события А и В совместны, то Р(А+В)=Р(А)+ Р(В)—Р(АВ).

Но Р(А)== 1/6, Р(В)= 1/6 и Р(АВ)= 1/36, поэтому Р(А+В)=1/6+1/6-1/36=11/36

Следствие 1. Если события А1, А2, ..., Аn образуют полную систему попарно несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице, т. е.

Р(А1)+ Р(А2)+... + Р(Аn)= 1.

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице, т. е.

Р(А)+Р(Ā)=1.

Пример. В ящике 40 деталей: 20—первого сорта, 15—второго сорта, 5—третьего сорта. Найти вероятность того, что наугад извлеченная деталь окажется не третьего сорта (событие А).

Первый способ.

Событие А наступит, если извлеченная наугад деталь окажется либо первого сорта (событие В), либо второго сорта (событие С), т. е. событие А есть сумма несовместных событий В и С. Поэтому, применяя теорему 1, получим Р(А) = Р(В + С) = Р(В) + Р(С) =20/40+15/40= 35/40=7/8

Второй способ.

Из условия задачи Р(Ā) = 5/40= =1/8. Согласно следствию 2 Р(А)=1-Р(Ā)=1-1/8=7/8

Определение. Условной вероятностью события В при условии А называется отношение hello_html_m2d32fa.gif вероятности произведения событий А и В к вероятности события А при Р(А)≠0.

Таким образом, по определению Р(В|А) =hello_html_m2d32fa.gif

Теорема 4. Вероятность произведения двух произвольных событий равна произведению вероятности одного из этих событий на условную вероятность другого при условии, что первое произошло.

Р(А1+А2+ ... +An) = Р(А1)Р(А2|А1)Р(А3|А1А2)...Р(Аn|А1А2…А(N-1)).

Пример. В ящике находится 7 деталей первого сорта, 5—второго сорта и 3-третьего сорта. Из ящика последовательно вынимают три детали. Найти вероятность того, что первая наугад вынутая деталь окажется первого сорта (событие А1), вторая деталь—второго сорта (событие А2) и третья деталь—третьего сорта (событие А3).

Очевидно, что Р(А1)=7/15, Р(А2|А1)=5/14 и Р(А3|А2А3)=3/13.

По формуле находим Р(А1А2А3) = Р(А1) Р(А2|А1) Р(А3|А2А3)=7/15·5/14·3/13=1/26.

Определение. Событие В называется независимым от события А, если условная вероятность события В при условии А равна вероятности события В, т. е. если Р(B|А)=Р(В) при Р(А)≠0. Если же Р(B|А)≠Р(В), то событие В называется зависимым от события А.

Пример. В ящике имеется 90 стандартных деталей и 10 нестандартных. Из ящика наудачу берут одну за другой две детали. Вероятность появления стандартной детали при первом испытании (событие А) равна Р(А) =90/100 = 0,9. Вероятность появления стандартной детали при втором испытании (событие В) зависит от результата первого испытания: если в первом испытании событие А произошло, то Р(В|А) = 89/99 если же событие А не произошло, то Р(В|Ā)=90/99 = 10/11. Следовательно, события А и В—зависимые.

Теорема 5. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий, т. е.

Р(АВ) = Р(А)·Р(В).

Определение. События А1, А2, ..., Аn, (n>2) называются попарно независимыми, если независимых любые два из них.

Определение. События А1, А2, ..., Аn, (n>2) называются независимыми в совокупности, если каждое из этих событий и событие, равное произведению любого числа остальных событий, независимы.

Пример. В урне имеются 4 шара: красный, желтый, зеленый и один шар, имеющий все эти три цвета. Из урны извлекается один шар. Исследовать на независимость события:

А — «извлеченный шар имеет красный цвет»,

В— «извлеченный шар имеет желтый цвет»,

С— «извлеченный шар имеет зеленый цвет».

Так как возможны всего 4 исхода я каждому из событий А, В и С благоприятствуют два исхода (один и тот же цвет имеется только на двух шарах), то

Р(А) = Р(В) = Р(С) =2/4=1/2.

Событию АВ —«извлеченный шар имеет красный и желтый цвета»— благоприятствует лишь один исход (один шар имеет все три цвета). Поэтому

Р(АВ) = 1/4 = 1/2·1/2 = Р(А)·Р(В), следовательно, события А и В независимы. Аналогично доказывается независимость событий А и С, В и С, т. е. события А, В и С попарно независимы. Однако, так как Р(АВС)=1/4 и Р(А)·Р(В)·Р(С)=1/8, то Р(АВС)≠ Р(А)·Р(В)·Р(С),

т. е. события А, В и С не являются независимыми в совокупности.

Определение. Пусть событие А может произойти только с одним из событий Н1, H2,…,Нn, образующих полную систему попарно несовместных событий. Тогда вероятность события А вычисляется по формуле полной вероятности:

Р(А) =Р(H1)·Р(А|Н1)+Р(Н2)·Р(А|Н2)+…+Р(Нn)·Р(А|Нn),

Или Р(А)= hello_html_3ddcd357.gif.

Пример. По цели произведено три последовательных выстрела. Вероятность попадания при первом выстреле р1=0.5, при втором—р2=0.6, при третьем—р3=0.8. При одном попадании вероятность поражения цели равна 0.4, при двух—0.7, при трех—1.0. Найти вероятность поражения цели при трех выстрелах.

Обозначим события:

А—«поражение цели при трех выстрелах»,

Н1—«одно попадание»,

Н2—«два попадания»,

Н3—«три попадания»,

Н4—«ни одного попадания».

Согласно формуле полной вероятности (1)

Р(А) =Р(H1)·Р(А|Н1)+Р(Н2)·Р(А|Н2)+Р(Н3)·Р(А|Н3)+Р(Н4)·Р(А|Н4).

Из условия задачи имеем Р(А|Н1)=0.4, Р(А|Н2)=0.7, Р(А|Н3)=1.0, Р(А|Н4)=0.

Вычислим вероятности событий Н1, Н2, Н3, Н4. Подчеркнем, что если р1, р2, р3—соответственно вероятности попаданий при первом, втором и третьем выстрелах, то 1-р1, 1-р2, 1-р3—соответственно вероятности промахов при тех же выстрелах. Следовательно,

Р(Н1) =р1 (1-р2)(1-р3)+(1-р1)р2(1-р3)+(1-р1)(1-р2)р3

==0.5·0.4·0.2+ 0.5·0.6·0.2+0.5·0.4·0.8=0.26,

Р(Н2) =р1р2(1-р3) + р1(1 —р2)р3 + (1-р1)р2р3 =

=0.5·0.6·0.2+0.5·0.4·0.8+0.5·0.6·0.8=0.46,

Р(Н3) = р1р2р3 = 0.5·0.6·0.8 = 0.24,

Р(Н4)=(1—р1)(1—р2)(I—р3)=0.5·0.4·0.2==0.04.

Подставив полученные значения вероятностей в равенство (2), найдем

Р(А)=0.26·0.4+0.46·0.7+0.24·1+0.04·0=0.666.

Определение. Испытания называются независимыми относительно события А, если вероятность появления события А в каждом из этих испытаний не зависит от результата, полученного в других испытаниях.

Для вычисления вероятности что, в n независимых испытаниях событие А произойдет m раз, используется формула Бернулли.

hello_html_m130e68ba.gif

Пример. В урне 20 шаров: 15 белых и 5 черных. Вынули подряд 5 шаров, причем каждый вынутый шар возвращается в урну и перед извлечением следующего шары в урне тщательно перемешиваются. Найти вероятность того, что из пяти вынутых шаров будет два белых.

Вероятность появления белого шара в каждом испытании равна р=15/20= 3/4, а вероятность непоявления белого шара равна g=1—р=1/4. По формуле Бернулли находим

hello_html_m54f26d94.gif

Определение. Случайной называется величина, которая в результате опыта принимает с определенной вероятностью то или иное значение, зависящее от исхода опыта. Случайные величины обозначают прописными буквами латинского алфавита: Х, Y,Z и т. д., а их значения— соответствующими строчными буквами: х, y, z и т. д.

Определение. Случайная величина называется дискретной, если множество ее значений конечно или счетно, т. е. множество ее значений представляет собой конечную последовательность х1, х2, ..., xn или бесконечную последовательность х1, х2, ..., хn,... Вероятность того, что случайная величина Х примет значение х, обозначают

Р(х)=Р(Х=х).

Определение. Соответствие между возможными значениями х1, х2, ..., xn случайной величины Х и их вероятностями р1, р2, ..., рn называется законом распределения случайной величины Х.

Закон распределения случайной величины может быть представлен в виде таблицы


хn

p

p1

p2

pi

pn

События Х=х1, Х=х2, ..., Х=хn образуют полную систему попарно несовместных событий, поэтому сумма их вероятностей равна единице p1+p2+…+pn=1

Пример. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины Х—числа очков, выпадающих при бросании правильной игральной кости, имеет вид, заданный таблицей.

1/6

1/6

1/6

1/6

1/6

1/6

Определение. Закон распределения случайной величины Х, имеющий вид, заданный таблицей

называется биномиальным распределением.


Пример. Составить закон распределения числа попаданий в цель при четырех выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,9.

Случайная величина Х—число попаданий в цель при четырех выстрелах— может принимать значения 0, 1, 2, 3, 4, а соответствующие им вероятности находим по формуле Бернулли:

Р(Х=0)= hello_html_m279c37ab.gif =0.0001;

Р(Х=1)= hello_html_m44886ce8.gif=0.0036;

Р(Х=2) = hello_html_m427e65f1.gif=0.0486;

Р(Х=3)= hello_html_4401a597.gif=0.2916;

Р(Х= 4)= hello_html_3afbf8d8.gif=0.6561.


Итак, искомый закон распределения имеет вид

0.2916

0.6561


Задание для выполнения практической работы.

1. Вычислить вероятность указанного события.

2. Построить ряд распределения для случайной величины х, ее функцию распределения F(x) и нарисовать график F(x), найти Р(-1≤х≤2) двумя способами (с помощью ряда распределения и функции распределения).

Вариант № 1

В вычислительной лаборатории имеются 6 клавишных автоматов и 4 полуавтомата. Вероятность того, что автомат не выйдет из строя в течение часа, равна 0.95, для полуавтомата эта вероятность равна 0.8. Студент производит расчет на машине, выбранной наудачу. Найти вероятность того, что машина в течение часа не выйдет из строя.

Вероятность попадания в цель для данного стрелка при одном выстреле равна 0.6. Стрелок делает 5 выстрелов по мишени. Случайная величина х– число попаданий.

Вариант № 2

При разрыве снаряда образуются крупные, средние и мелкие осколки в количествах пропорциональных 1:3:6. При попадании в танк крупный осколок пробивает броню с вероятностью 0.9, средний – 0.3, мелкий – 0.1. Какова вероятность того, что попавший в броню осколок пробьет ее?

Охотник, имеющий в запасе 5 патронов, стреляет в зверя до первого попадания. Случайная величина х– число произведенных выстрелов. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0.7.

Вариант № 3

В урну, содержащую 2 шара, опущен белый шар, после чего из нее наудачу извлечен один шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если равновозможны все предположения о первоначальном составе шаров (по цвету).

Испытываются 6 приборов на надежность. Вероятность выдержать испытание для каждого прибора равна 0.5. Каждый следующий прибор испытывают только, если предыдущий выдержал испытание. Случайная величина х– число испытанных приборов.

Вариант № 4

В пирамиде 5 винтовок, три из которых снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0.95; для винтовки без оптического прицела – 0.7; найти вероятность того, что мишень будет поражена, если стрелок произведет один выстрел из наудачу взятой винтовки.

Три баскетболиста делают по одному броску в кольцо. Вероятности попадания для них равны соответственно 0.3, 0.5, 0.7. Случайная величина х– суммарное число попаданий.


Список рекомендуемой литературы


1. Богомолов Н.В. Практические занятия по высшей математике. М.: Высшая школа, 2009.

2. Клименко Ю.И. Высшая математика для экономистов в примерах и задачах.-2-е изд. – М.: «Экзамен», 2008.

3. Никольский С.М. Элементы математического анализа. – М.: Просвещение, 2008.

4. Омельченко В. П., Математика: учебное пособие / Омельченко В. П., Курбатова Э. В. Ростов н/Д.: Феникс, 2008.

5. Практикум по высшей математике для экономистов: Учеб. пособие / Кремер Н.Ш., Тришин И.., Путко Б.А. и др.; Под ред. Проф. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2008.

6. Сборник задач по высшей математике: Учебное пособие. Под редакцией В.И.Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2008.

7. Интернет – ресурсы

И-Р 1 www.mathanalysis.ru

И-Р 2 www.mathematics.ru

И-Р 3 http://festival.1september.ru

И-Р 4 http://www.fepo.ru







Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 12.11.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров176
Номер материала ДБ-344230
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх