Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Методическая разработка "Построение сечений многогранников"

Методическая разработка "Построение сечений многогранников"

Самые низкие цены на курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации!

Предлагаем учителям воспользоваться 50% скидкой при обучении по программам профессиональной переподготовки.

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок".

Начало обучения ближайших групп: 18 января и 25 января. Оплата возможна в беспроцентную рассрочку (20% в начале обучения и 80% в конце обучения)!

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: https://infourok.ru/kursy


СВИДЕТЕЛЬСТВО СРАЗУ ПОСЛЕ ПРОСМОТРА ВЕБИНАРА

Вебинар «Подростковая лень: причины, способы борьбы»

Просмотр и заказ свидетельств доступен только до 22 января! На свидетельстве будет указано 2 академических часа и данные о наличии образовательной лицензии у организатора, что поможет Вам качественно пополнить собственное портфолио для аттестации.

Получить свидетельство за вебинар - https://infourok.ru/webinar/65.html

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:


МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РТ

ГАОУ ВПО «Альметьевский государственный институт муниципальной службы»

hello_html_m45e4055a.gif






Методическая разработка

По дисциплине: «Математика»

Для студентов ССУЗов по разделу

«Построение сечений многогранников»









Составила: Хадеева Залфира Махмудовна

преподаватель математики

торгово-экономического факультета

среднего профессионального образования





Альметьевск, 2014

Тема: Построение сечений многогранников

Цель занятия:

1) Ввести понятия сечения многогранников

2) Сформировать у учащихся умения строить сечения в пространственных фигурах.

3)Способствовать формированию практических компетенций в выборе наиболее рациональных способов решения задач.

4) Развивать пространственное воображение у учащихся при решении геометрических задач

5)Развивать геометрическое мышление, интерес к предмету, познавательную и творческую деятельность учащихся

6) Воспитывать самостоятельность познавательного интереса к предмету

Тип урока: урок формирования новых понятий.

Все чертежи выполнены в программе Paint

Презентация выполнена в программе: Microsoft PowerPoint

План занятия:

1)Организационный момент

2) Актуализация знаний о пространственных фигур

3) Изучение нового материала:

А) сечение тетраэдра с плоскостью

Б) сечение куба, параллелепипеда с плоскостью

В) сечение пирамиды с плоскостью

4) формирование практических навыков и самостоятельная работа с самопроверкой

5) постановка домашнего задания и подведение итогов.

Оборудование: Компьютер, интерактивная доска, раздаточный материал в виде готовых чертежей с задачами, макеты многогранников, индивидуальные карточки.

Методы работы: наглядный, практический, проблемно-поисковый, метод самостоятельной работы, метод контроля

Формы работы: фронтальная, индивидуальная, групповая, самостоятельная

Ход урока:

  1. Организационный момент

Преподаватель проверяет готовность учащихся к занятию по темам: «Тетраэдр», «Параллелепипед», «Свойства параллельных плоскостей». Также преподаватель ознакомляет студентов с темой занятия: «задачи на построение сечений в многогранниках и решение задач связанных сечением».

  1. Актуализация знаний

Учащийся №1 выходит к доске с сообщением и презентацией на тему «Тетраэдр», одновременно на мультимедийном экране высвечивается изображение тетраэдра, для того чтобы учащийся смог наглядно продемонстрировать элементы фигуры. (ребра, грани, вершины, боковые грани)

Учащийся №2 выходит к доске с сообщением презентацией на тему «Параллелепипед и его свойства», одновременно на мультимедийном экране высвечивается изображение тетраэдра, для того чтобы учащийся смог наглядно продемонстрировать элементы фигуры. (ребра, грани, вершины, боковые грани)

Учащийся №3 выходит к доске с сообщением и презентацией о признаках параллельности двух плоскостей. Одновременно на мультимедийном экране высвечиваются изображения соответствующие данной теме докладчика.

  1. Изучение нового материала.

Преподаватель:

- Сечение многогранников плоскостью используется при решении многих стереометрических задач. Рассмотрим сечение плоскостями проходящими через данные точку и прямую, через три данные точки, а также сечения, способ задания которых содержит условия параллельности сечения данной плоскости, данной прямой или двум данным прямым.

Построить сечение многогранника плоскостью – это значит указать точки пересечения секущей плоскости с ребрами многогранника и соединить эти точки отрезками, принадлежащими граням многогранника. Точки пересечения плоскости сечения с ребрами многогранника будут вершинами, а отрезки, принадлежащие граням, - сторонами многоугольника, получившегося в сечение. [1, C 27-29].

Рассмотрим простые задачи

Задача №1 (Слайд 3)

Провести сечение через ребро AD и точку М ребра CB.

hello_html_6be9ee9.png

Задача №2 (Слайд 3)

Провести сечение через D и точки M и N на ребрах AB и BC

hello_html_377bc3ac.png

Вывод делают учащихся: Построение сечения основано на простом следствии из аксиом стереометрии: Если две плоскости имеют две общие точки , то прямая проходящая через эти точки, является линией пересечения данных плоскостей.

Задача №3 Слайд 4)

Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку

M ребра AD параллельно грани ABC.

hello_html_36969470.png

(hello_html_59e47692.gif)hello_html_me95bc12.gif=hello_html_65c9a498.gif, hello_html_m1eb11ce6.gif, Проведем через точку M прямую, параллельную прямой AB и в пересечении ее с ребром BD находим вершину P сечения. Отрезок MP сторона сечения. Аналогично hello_html_m563ef68f.gif, hello_html_m4017f85c.gif. [4, C 366 – 373].

Вывод: Если две параллельные плоскости пересечены третьей плоскостью, то линии пересечения параллельны.

Преподаватель: Тетраэдр имеет четыре грани, поэтому его сечение могут быть треугольники и четырехугольники.

Рассмотрим построение сечения тетраэдра плоскостью, проходящие через точки M, N, P на ребрах тетраэдра. Точки M и N заданы так,

а) прямые MN и АС не параллельны

б) прямые MN и АС параллельны.

а) Отрезки MN и NP являются сторонами сечения. Точка Р- общая для плоскостей MNP и ABC. (рис.а)

hello_html_64b971b0.gif

Вторую общую точку находим в пересечении прямых MN и АС

hello_html_2c3c037.gif(рис.б).

hello_html_7e89e0a3.gif

Прямая SP линия пересечения плоскостей MNP и ABC и пересечение этой прямой с ребром АВ дает вершину Q.

hello_html_2396e682.gifQ, hello_html_1b730b13.gif сечение тетраэдра MNPQ (Слайд 5) [2, C-12]

hello_html_4305523c.gif

б) Если MN hello_html_m48542841.gifAC, то прямая MN параллельна грани АВС, значит плоскость MNP пересекает эту грань по прямой QP,параллельной прямой MN, Q-точка пересечения ребра СВ.(рис в)

hello_html_514ddbf3.png

Вывод: Если плоскость и проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.(Слайд 6) [3, C-8]

Преподаватель: Рассмотрим несколько нестандартных задач

Задача 1. Построить сечение тетраэдра DABC плоскостью MNP, где точка М расположена на ребре AD, точка N в грани BCD и точка Р в грани АВС тетраэдра

hello_html_277b2f6f.png

Для того чтобы построить линию пересечения плоскости какой-либо грани с плоскостью MNP, необходимо найти еще оду общую точку для этих плоскостей. Тоска Р – общая для плоскостей АВС и MNP. Второй общей точкой является точка перечения прямой MN с плоскостью АВС.

hello_html_m6f0b7bab.png

Через точки M, N и вершину D тетраэдра проводим плоскость, строим ее линию пересечения Аhello_html_m4126c6a7.gif с плоскостью АВС. Общая тоска hello_html_m46acdb58.gif прямых MN и Ahello_html_m4126c6a7.gif и является точкой пересечения прямой MN с плоскостью АВС.

hello_html_6796b4dd.png

Прямая Phello_html_m46acdb58.gif - линия пересечения плоскостей MNP и АВС. Вершины hello_html_1276c907.gif и hello_html_cd73499.gif находим как точки пересечения прямой Phello_html_m46acdb58.gifc ребрами ВС и АВ, пересечение прямой hello_html_1276c907.gifN с ребром CD дает вершину hello_html_m580d26ca.gif. Получим сечение – четырехугольник Mhello_html_cd73499.gifhello_html_1276c907.gifhello_html_m580d26ca.gif (Слайд 7) 4, С 373].

hello_html_m53dfa6e7.png

Задача 2. Построить сечение тетраэдра по трем точкам: М – в грани АВС, N – в грани BCD и Р – в грани АСD .

hello_html_m716d9f48.png

Для нахождения точки пересечения прямой MN с плоскостью ACD проведена вспомогательная плоскость через эту прямую и вершину В тетраэдра.

hello_html_m1c4b6957.png

Прямая hello_html_72a15efb.gif – пересечение этой плоскости с плоскостью ACD. Точка hello_html_1276c907.gif является точкой пересечения прямой MN с плоскостью ACD .(Слайд 8) [4, C-372].

hello_html_5019fca8.png

Преподаватель: Рассмотрим, какие многоугольники могут получиться в сечении параллелепипеда. Построение искомого сечения зависит от того, на каких ребрах параллелепипеда лежат точки M, N, P.

1 случай, когда эти точки лежат на ребрах, выходящих из одной вершины (Слайд 9)

hello_html_5126b24a.png

2 случай. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через три данные точки, являющихся либо вершинами куба, либо серединами его ребер (Слайд 9)

hello_html_m3ffb5da4.png

3 Случай. Если три точки M,N,P расположены так, как показано, то сначала нужно провести отрезки MN и NP, затем через точку М провести прямую параллельную NP, а через точку Р провести прямую, параллельную MN. Пересечение этих прямых с ребрами нижней грани дают точки Q и D. Остается провести QD hello_html_1b730b13.gif искомое сечение MNPQD (Слайд 10)


hello_html_29f302dc.png


4 Случай. Построить сечение куба hello_html_m50233e16.gif плоскостью, проходящей через точки hello_html_m19d64027.gif, hello_html_7e6f70e9.gif, hello_html_605efab6.gif (Слайд 10)



hello_html_2d2271b1.png


Вывод: В сечении параллелепипеда могут получиться треугольники, четырехугольники, прямоугольники, шестиугольники

4. Формирование практических навыков

Работа с карточкамиhello_html_m53d4ecad.gif

Задание 1 (уровень 1)

1.1 Постройте точку пересечения прямой MN с плоскостью ABC

hello_html_5490ebd6.png

1.2 Построить сечение тетраэдра, проходящие через точки M, N и P

hello_html_299fd188.png

1.3 Построить сечение тетраэдра плоскостью, параллельной ребру АС и проходящий через точку М ребра CD и точку N в грани ABD.

hello_html_7cc85ca0.png

Задание 2 (уровень 2)

2.1 Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки MNP

hello_html_e87199b.png

2.2 Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящий через точки A, B и C hello_html_m289d78ff.gifNDK

hello_html_m30589e54.png

2.3 Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки MNP

hello_html_66f2d473.png

2.4 Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки MNP


hello_html_m3db98057.png

Mhello_html_m289d78ff.gifASB

Phello_html_m289d78ff.gifABC


Задание 3 (уровень 3)

3.1 Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящий через точки А, В, С.

hello_html_m427f97f7.png

Задание 4 (уровень 1)

4.1 Построить сечение параллелепипеда, проходящие через точки M, N, P.

hello_html_m54650ce.png

4.2 Постройте сечение через точки A, hello_html_28acf87d.gif, M

hello_html_m4df38e10.png

4.3 Постройте сечение через точки А, М, С

hello_html_m499bc7d9.png

Задание 5 (уровень 2)

5.1 Построить сечение параллелепипеда, проходящее через точки М, N, P

hello_html_m29c2669b.png

5.2 Построить сечение параллелепипеда, проходящее через точки М, N, P

hello_html_3cc0cefb.png

Задание 6 (уровень 3)

6.1 Построить сечение параллелепипеда, проходящее через точки М, N, P

hello_html_2c595e0c.png

6.2 Построить сечение параллелепипеда, проходящее через точки М, N, P

hello_html_504ca09c.png

6.3 Построить сечение параллелепипеда, проходящее через точки М, N, P

hello_html_69ddd3c1.png

По окончании работы учащиеся проверяют свое решение, которое высвечивается на мультимедийном экране. Учащиеся оценивают свою работу по бальной системе, результаты сдаются преподавателю.


5. Постановка домашнего задания

Задание 1

Построить сечение тетраэдра, проходящее через точки M, N, P


hello_html_151a4053.png

Задание 2

Построить сечение тетраэдра, проходящее через точки M, N, P

hello_html_221bb236.png


Задание 3

Построить сечение параллелепипеда, проходящее через точки M, N, P

hello_html_16ecb968.png


Преподаватель подводит итоги занятия и оглашает заработанные баллы

Список использованных источников и литературы

  1. Геометрия. 10 – 11 классы: учеб. Для общеобразоват. Учреждений: базовый и профил. уровни/ [Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.]. – 19-е изд. – М.: Просвещение, 2010. – 255с.

  2. Еженедельная учебно-методическая газета: Математика/ Издательский дом: Первое сентября., №8, 2013г.

  3. Еженедельная учебно-методическая газета: Математика/ Издательский дом: Первое сентября., №5, 2004г.

  4. Пособие по математике для поступающих в ВУЗЫ / Под редакцией Г.Н. Яковлева. – М: Наука, 1981. – 608с.






Идёт приём заявок на самые массовые международные олимпиады проекта "Инфоурок"

Для учителей мы подготовили самые привлекательные условия в русскоязычном интернете:

1. Бесплатные наградные документы с указанием данных образовательной Лицензии и Свидeтельства СМИ;
2. Призовой фонд 1.500.000 рублей для самых активных учителей;
3. До 100 рублей за одного ученика остаётся у учителя (при орг.взносе 150 рублей);
4. Бесплатные путёвки в Турцию (на двоих, всё включено) - розыгрыш среди активных учителей;
5. Бесплатная подписка на месяц на видеоуроки от "Инфоурок" - активным учителям;
6. Благодарность учителю будет выслана на адрес руководителя школы.

Подайте заявку на олимпиаду сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Автор
Дата добавления 08.11.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров541
Номер материала ДВ-134009
Получить свидетельство о публикации

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.

Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.

Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх