Методическая разработка "Преобразование графиков тригонометрических функций"

Преобразование графиков тригонометрических функций.

Построение графика функции у = А sin x

Построить график функции  у = 2sinx

Преобразование  

(относится к преобразованию вида  при А>1)  

растягивает исходный график вдоль оси ординат (от оси Ох) вдвое.

Амплитуда колебаний при этом возрастает в два раза. При этом наименьший положительный период    не меняется.

Построить график функции  у = 0,5sinx                                               

Тут мы видим преобразование   (относится  к  преобразованию  вида    при  0< А< 1).                   Оно сжимает график функции y = f(x)    вдоль оси ординат (к  оси Ох).

Ниже в одной и той же системе координат сразу несколько графиков.

Далее аналогичное преобразование относительно косинуса : 

Так как А = 2, то из график функции y = cos x получается график функции              y = 2 cos x  путем растяжения вдоль оси ординат вдвое (от  оси Ох).

График функции у = sin kx

  Построение графика функции у = sin kx относится к преобразованию                        при котором происходит растяжение (сжатие) графика y = f(x) вдоль оси  абсцисс.  Так как тригонометрические функции периодические, то при таком преобразовании меняется их периоды.

 Есть утверждение  если функция f(x) периодическая и имеет наименьший положительный период Т, то функция y=Аf(кx+в), где А, к, в  постоянны,  также периодична, причем ее наименьший период равен Т/IkI.

 Функции у=sin x , у=cos x являются периодическими . Наименьший период их равен 2.    Наименьший период функций у= tg x , y= ctg x является .

  Период функций у = sin kx   и   у = cos kx  равняется   

А для у = tg x и y = ctg x   период будет равен     

Ниже видим, как от графика функции у=sin x получаются  графики  функции  у = sin2x   и у = sin(½ x)

  Преобразование   сжимает исходный график вдоль оси  абсцисс  (к  оси Оу) вдвое. Наименьший положительный период при этом вдвое уменьшается    .

График  функции у = sin(½ x) получается из графика функции  функции                       у = sin x путем растяжения вдоль оси абсцисс (от оси Оу)      вдвое. Наименьший положительный период при этом вдвое увеличивается  .

График функции у = sin (x +а)

График функции у = sin (x +а) получается из графика функции у = sin x сдвигом по оси абсцисс вправо, если а < 0  и влево, если а > 0                    

Ниже аналогичное преобразование относительно косинуса : 

Построение графика функции у = - cosx

График функции у = -cosx получается из графика функции у = cosx  симметричным (зеркальным) отражением графика  относительно оси абсцисс (Ох).        

ПРИМЕР.  Построить график функции   y = -3cosx.

Алгоритм построения:

1.Строим график   y=cosx;

2.Растягиваем вдоль оси Оу  в 3 раза. Получим  y = 3cosx.

3.Отображаем симметрично относительно оси Ох. Получим  y = -3cosx.

Построение графика функции   у =  sin(-x)

График функции у =  sin(-x)  получается из графика функции у =  sin x симметричным (зеркальным) отражением графика  относительно оси ординат  (Оу).        

ПРИМЕР.  Постройте график функции .

Сначала покажем, что из чего получается, т.е. какие преобразования используются:

Может быть использован другой порядок преобразований.

Когда будете сравнивать с готовым графиком, то заметите, что тут у нас только  3  промежуточных графика.   Это  объясняется  тем, что  графики    y= -3cos2x   и       y= -3cos(-2x)  совпадают.

График функции у = sin x+а

График функции у = sin x + а  получается из графика функции у = sin x сдвигом вдоль оси ординат вверх, если а > 0  и вниз, если а < 0                                                  

Ниже аналогичное преобразование относительно косинуса : 

Краткое описание документа:

Данная разработка предназначена для серии уроков математики в 10 классе, позволяет наглядно рассмотреть наиболее распространенные преобразования графиков тригонометрических функций.

Рисунки содержат теоретический материал, который носит иллюстративный характер и помогает учителю более наглядно продемонстрировать преобразования графиков функций.

Эта разработка может быть использована учащимися при выполнении домашних задании. Она является опорным при выполнении других упражнении.

Для закрепления темы имеются практические задания.