Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Методическая разработка «Применение метода достраивания тетраэдра в решении геометрических задач»

Методическая разработка «Применение метода достраивания тетраэдра в решении геометрических задач»


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Учитель МБОУ гимназия № 9

города Воронежа

Хатунцева И.В.


Методическая разработка


«Применение метода достраивания тетраэдра в решении геометрических задач»


Один из красивых приемов, который может быть использован при решении геометрических задач, состоит в замене изучаемой геометрической фигуры другой, в каком-то смысле более удобной. Так в планиметрии если в условии задачи фигурирует треугольник, в котором проведена медиана, часто полезно достроить этот треугольник до параллелограмма, продолжая медиану на расстояние, равное ей самой. В своем выступлении я рассмотрю ряд задач с участием треугольной пирамиды - тетраэдра, которые оказывается возможным решить, достраивая тетраэдр до другого многогранника (как правило, параллелепипеда).

Первый способ достраивания пирамиды до параллелепипеда изображен на рисунке. Здесь AA1BD — данная пирамида, а плоскости граней DCC1D1, CBB1C1 и A1 B1C1 D1 параллелепипеда проходят через одну вершину пирамиды и параллельны грани пирамиды, противолежащей этой вершине.







hello_html_m900eb79.jpg







Другой часто встречающийся способ достраивания тетраэдра до параллелепипеда состоит в следующем. Проведем через каждое ребро тетраэдра плоскость, параллельную противоположному ребру. Эти плоскости ограничат некоторый параллелепипед диагоналями граней которого будут ребра исходного тетраэдра.




hello_html_18252e30.jpg



Первый из предложенных способов достраивания тетраэдра до параллелепипеда удобен, когда даны плоские углы при одной из вершин тетраэдра (особенно если все они прямые), второй используется в задачах, в которых фигурируют скрещивающиеся ребра тетраэдра.


Рассмотрим задачу на применение первого способа достраивания тетраэдра:






Задача 1: Дана треугольная пирамида AA1BD, в которой ребра А A1 и АВ и AD попарно перпендикулярны, а их длины равны соответственно а, b, с.

а) Доказать, что вершина А пирамиды, точка пересечения медиан грани A1BD и центр описанного шара лежат на одной прямой.

б) Найти радиус шара, описанного около этой пирамиды.



hello_html_3998f6b3.jpg


Решение: Достроим пирамиду AA1BD первым способом до прямоугольного параллелепипеда. Тогда шар, описанный около этой пирамиды, является одновременно описанным шаром и для всего параллелепипеда. Радиус этого шара равен половине диагонали параллелепипеда, а именно hello_html_f0fb469.gifэто является ответом на пункт б.

Для доказательства утверждения а, рассмотрим прямоугольник AA1C1С. Центр О шара находится на диагонали АС1 и медиана A1О1 треугольника A1BD пересекается с АC1 в точке М, и если мы докажем, что hello_html_770a8179.gif то это будет означать, что М — точка пересечения медиан треугольника A1BD; тем самым мы докажем утверждение пункта а. Из подобия треугольников А1С1М и АО1М следует: hello_html_m5b94c8d1.gif, что и требовалось доказать.

Далее рассмотрим несколько задач на применение второго способа достраивания тетраэдра.



Задача 2: Доказать, что сумма квадратов длин ребер тетраэдра равна учетверенной сумме квадратов расстояний между серединами его противоположных ребер.


hello_html_742f2841.jpg


Решение: Воспользуемся вторым способом достраивания тетраэдра до параллелепипеда. Расстояния между серединами скрещивающихся ребер тетраэдра равны длинам ребер этого параллелепипеда. Воспользовавшись свойством о том, что если a и b – длины сторон параллелограмма, а d1 и d2 –длины его диагоналей, то d12+ d22 =2(a2 +b2), докажем необходимое равенство.








Задача 3: Пусть a и a1, b и b1, c и c1 длины пар противоположных ребер тетраэдра; α, β и γ – соответственные углы между ними (α, β, γ ≤900). Докажите что одно из трех чисел aa1cos α, bb1 cos β, cc1 cos γ - сумма двух других.


hello_html_m5f61930c.jpg




Решение: Достроим тетраэдр до параллелепипеда вторым способом. Тогда a и a1- диагонали двух противоположных граней параллелепипеда. Пусть m и n – стороны этих граней, причем m ≥n . По теореме косинусов 4m2= a2 +a12+2a a1 cos α и 4n2= a2 +a12-2a a1 поэтому a a1 cos=m2-n2. Записав такие равенства для чисел bb1 cos β и cc1cos γ, получим требуемое.













Задача 4: Найти радиус шара, касающегося всех ребер правильного тетраэдра, длина ребра которого равна а.




hello_html_18252e30.jpg





Решение: Построенный вторым способом параллелепипед будет кубом с ребром а, шар, вписанный в этот куб, будет искомым. Поэтому радиус этого шара легко можно найти из куба, он равен hello_html_8676ab4.gif.


И наконец, рассмотрим задачу на нестандартный способ достраивания тетраэдра:










Задача 5: В тетраэдре площади двух граней равны S1 и S2, двугранный угол между ними равен α, площади двух других граней Q1 и Q2, угол между ними β. Доказать, что S12+S22-2 S1 S2cos α= Q12+Q22-2 Q1Q2cos β


hello_html_234c25f4.jpghello_html_50bf44bf.jpg


Решение: Докажем сначала, что если площадь одной боковой грани треугольной призмы равна S, две другие грани имеют площади S1 и S2, а двугранный угол между ними α, то S12+S22-2 S1 S2cos α =S2 . Пусть плоскость ABC перпендикулярна боковым ребрам призмы, hello_html_7707454f.gifBAC = α. Запишем теорему косинусов для треугольника ABC: BC2=AB2+AC2- AB * AC cos α. Осталось умножить равенство на l2, где l — длина бокового рёбра призмы. Перейдем теперь к решению задачи. Пусть ABCD — данный тетраэдр, hello_html_21e24db8.gif, hello_html_52df7da9.gif, hello_html_m38a4e6e7.gif, hello_html_a78daf.gif, двугранный угол при ребре AD равен α, а при ребре ВС — β. Рассмотрим треугольную призму с основанием ABC, одно из боковых ребер которой — AD. Обозначим через S площадь параллелограмма BB1C1C, тогда по доказанной формуле S2= 4S12+4S22-8 S1 S2cos α , причем S можно найти по формуле: S=AD*BC sin φ. Если мы рассмотрим другую треугольную призму с основанием ACD и боковым ребром ВС, то получим S2= 4Q12+4Q22-8 Q1Q2cos β. Отсюда S12+S22-2 S1S2cos α= Q12+Q22-2 Q1Q2cos β, что и требовалось доказать.



Во все времена в математике наиболее ценными считались рациональные способы решения задач, применение которых значительно упрощает и ускоряет процесс решения. Как мы могли убедиться на рассмотренных примерах, методы достраивания тетраэдра позволяют существенно упростить некоторые сложные стереометрические задачи, решение которых стандартными способами является более громоздким и утомительным.




Автор
Дата добавления 09.09.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров292
Номер материала ДA-034347
Получить свидетельство о публикации


Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх