Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Методическая разработка «Применение метода оригами для решения геометрических задач»

Методическая разработка «Применение метода оригами для решения геометрических задач»

Идёт приём заявок на самые массовые международные олимпиады проекта "Инфоурок"

Для учителей мы подготовили самые привлекательные условия в русскоязычном интернете:

1. Бесплатные наградные документы с указанием данных образовательной Лицензии и Свидeтельства СМИ;
2. Призовой фонд 1.500.000 рублей для самых активных учителей;
3. До 100 рублей за одного ученика остаётся у учителя (при орг.взносе 150 рублей);
4. Бесплатные путёвки в Турцию (на двоих, всё включено) - розыгрыш среди активных учителей;
5. Бесплатная подписка на месяц на видеоуроки от "Инфоурок" - активным учителям;
6. Благодарность учителю будет выслана на адрес руководителя школы.

Подайте заявку на олимпиаду сейчас - https://infourok.ru/konkurs

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Учитель МБОУ гимназия № 9

города Воронежа

Хатунцева И.В.


Методическая разработка

«Применение метода оригами для решения геометрических задач»

В маленьком квадрате бумаги, используемом для складывания фигурок оригами, содержится бесконечное множество скрытых возможностей. Спрятанные, едва уловимые, они принимают разнообразные формы – от выразительных животных до хитроумно смоделированных геометрических фигур. В прошлом люди, увлечённые оригами, делились на две категории: тех, кто был в поисках лирических форм, и тех, кто пытался следовать геометрическим принципам. Однако эти два принципа в оригами, соединяясь, дают наиболее интересные результаты.

Изучение превращений квадратного листа бумаги – один из наиболее интересных путей не только к изучению серьёзных вопросов классической евклидовой геометрии. Как правило, решение геометрических задач методами пергибаний проще и нагляднее. А некоторые из них, решаемые методами оригами, при помощи циркуля и линейки просто не имеют решения.

В данном исследовании будут рассмотрены только несколько тем школьного курса геометрии, в которых при решении задач можно применить метод перегибания листа бумаги.

Решения задач будут излагаться по следующему плану:

  1. постановка задачи

  2. решение ее методом оригами

  3. математическое обоснование решения











Тема 1 . Вписанные фигуры


1.


  1. Постановка задачи. Вписать в квадрат равнобедренный треугольник, имеющий с квадратом одну общую вершину


uzNAKJpqYiQ.jpg


А) чему равны углы АСF и AEC?

Б) чему равна сторона EC по отношению к стороне BC исходного квадрата?

В) как относятся отрезки, на которые точка G делит диагональ AC?

Г) как соотносятся площади треугольников AEF и ECF?


  1. Математическое обоснование:

Задание А) http://www.bymath.net/studyguide/angle.gifBCE=http://www.bymath.net/studyguide/angle.gifECA=http://www.bymath.net/studyguide/angle.gifACF=http://www.bymath.net/studyguide/angle.gifFCD=90:4=22,5;

http://www.bymath.net/studyguide/angle.gifECF=http://www.bymath.net/studyguide/angle.gifECA+http://www.bymath.net/studyguide/angle.gifACF=22,5+22,5=45;

http://www.bymath.net/studyguide/angle.gifAEC=180-http://www.bymath.net/studyguide/angle.gifBEC;

http://www.bymath.net/studyguide/angle.gifBEC=180-(90+22,5)=180-112,5=67,5;

http://www.bymath.net/studyguide/angle.gifAEC=180-67.5=112,5; http://www.bymath.net/studyguide/angle.gifECF=45; http://www.bymath.net/studyguide/angle.gifAEC=112.5;

Задание Б) обозначим BC=a. Рассмотрим треугольник ABC, http://www.bymath.net/studyguide/angle.gifB=90.

AC=hello_html_cb96c1a.gif=ahello_html_m25af5c9b.gif-a=a(hello_html_md2262f3.gif-1), т.к. BC=CG=a.

AEC: AG=EG, т.к. http://www.bymath.net/studyguide/angle.gifAGE=90, http://www.bymath.net/studyguide/angle.gifEAG=45, значит http://www.bymath.net/studyguide/angle.gifAEG=45.

ECG: EC=hello_html_7841e920.gif=hello_html_75767d6c.gif=ahello_html_3576096e.gif.

Задание В) AG=a(hello_html_m12016d70.gif, CG=a


hello_html_m242c59ec.gif=hello_html_m7c6c7297.gif=hello_html_m1d52387f.gif=hello_html_35867b35.gif.

Задание Г) Saef:Sefc=?

Saef=hello_html_6eec8aff.gifEF*AG

Sefc=hello_html_6eec8aff.gifEF*CG

hello_html_m185b1fe7.gif=hello_html_m3b5d62d3.gif=hello_html_md2262f3.gif-1.

2.


  1. Постановка задачи. Вписать в квадрат равностороннийй треугольник, имеющий с квадратом одну общую вершину


92Fam3AVdBI.jpg



Математическое обоснование

Рассмотрим треугольник AEM и определим градусные меры углов этого треугольника.

  • FAB=hello_html_6eec8aff.gifhttp://www.bymath.net/studyguide/angle.gifhello_html_11852162.gifBAK=15

  • DAE=hello_html_6eec8aff.gifhttp://www.bymath.net/studyguide/angle.gifhello_html_11852162.gifDAO=15( по построению)

  • MAE=60(90-15-15)=60

Треугольник ABM= треугольнику AED , т.к. AB=AD-стороны квадрата,


  • BAD=http://www.bymath.net/studyguide/angle.gifEAD=15,

Треугольник АМЕ- равнобедренный, отсюда http://www.bymath.net/studyguide/angle.gifAME=http://www.bymath.net/studyguide/angle.gifAEM.

  • AME=http://www.bymath.net/studyguide/angle.gifAEM=hello_html_1777fc0d.gif=60.

Все углы равны, значит треугольник АМЕ- равносторонний.


3.


1. Постановка задачи Вписать в квадрат правильный шестиугольник, у которого вершины принадлежат сторонам треугольника


arHVEL3PsOo.jpg

  1. Математическое обоснование


Рассмотрим треугольник АВС:

  • САВ=60(180:3=60);

АВ=АС; (по построению)

Треугольник АВС- равносторонний.

Треугольники совпал при наложении(рис. 6).

Следовательно

Треугольники САК=КАО=AON=NAM=MAB=ABC.

Из равенства треугольников следует равенство соответственных элементов:

BC=KC=KO=ON=NM=MB.

Отсюда KONMBC- правильный шестиугольник.


Тема 2. Геометрия листа произвольной формы.


4.


  1. Постановка задачи Получить квадрат


l0yN3YY_rSU.jpg


  1. Математическое обоснование.

AN и MB – диагонали, AN MB - по построению,

ON=OB=ON=OM( рис.4)

Следовательно, AN=MB, т.к. диагонали равны и взаимно перпендикулярны, то MABN-квадрат.




5.

  1. Постановка задачи Получить центр окружности, описанной около треугольника


I7ZZedCLybE.jpg



  1. Математическое обоснование

NM – серединный перпендикуляр отрезка АС,

PK- срединный перпендикуляр АВ, (по построению)

О- точка пересечения NM и PK.

Рассмотрим треугольник АВС:

О- точка пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника, значит О- центр описанной окружности.


6.

1. Постановка задачи Получить точку пересечения прямой и окружности

.F5ocwHKsme8.jpg


  1. Математическое обоснование

ОА1=ОА11=ОА-это радиусы воображаемой окружности, значит точки А1и А11- точки пересечения прямой а и окружности.


Метод оригами, рассмотренный в данной работе, оживляет и заметно облегчает освоение целого ряда абстрактных, и потому сложных для освоения многими учащимися геометрических понятий, делает их изучение более ясным и доступным, убеждает в правильности классических рассуждений, теорем, и, самое главное, побуждает к дальнейшим исследованиям.





Список литературы:


  1. Афонькин С.Ю., Афонькина Е.Ю. Весёлые уроки оригами в школе и дома: Учебник. – СПб.: Издательский дом «Литера», 2001. – 208 с.: ил.

  2. Афонькин С.Ю., Афонькина Е.Ю. Игры и фокусы с бумагой. – М.: Рольф, АКИМ, 1999. – 192 с., с ил.

  3. Афонькин С.Ю., Афонькина Е.Ю. Волшебные шары – кусудамы. – СПб.: Издательский дом «Кристалл», 2001. – 160с., ил.

  4. Афонькин С.Ю., Афонькина Е.Ю. Энциклопедия оригами. – СПб.: ООО «Издательский дом «Кристалл»», М.: ЗАО «Издательский дом ОНИКС», 2000. – 272 с., ил.

  5. Кунихико Касахара, Тоши Такахама. Оригами для знатоков. – СПб.: ALSIO, 1988.


Самые низкие цены на курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации!

Предлагаем учителям воспользоваться 50% скидкой при обучении по программам профессиональной переподготовки.

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок".

Начало обучения ближайших групп: 18 января и 25 января. Оплата возможна в беспроцентную рассрочку (20% в начале обучения и 80% в конце обучения)!

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: https://infourok.ru/kursy

Краткое описание документа:

Изучение превращений квадратного листа бумаги – один из наиболее интересных путей не только к изучению серьёзных вопросов классической евклидовой геометрии. Как правило, решение геометрических задач методами перегибаний проще и нагляднее. А некоторые из них, решаемые методами оригами, при помощи циркуля и линейки просто не имеют решения.

В данной работе будут рассмотрены только несколько тем школьного курса геометрии, в которых при решении задач можно применить метод перегибания листа бумаги.

Автор
Дата добавления 09.09.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров443
Номер материала ДA-034370
Получить свидетельство о публикации

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.

Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.

Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх