Методическая разработка раздела "Перпендикулярность прямых и плоскостей" образовательной программы по геометрии (10 класс)по геометрии

• 1 слайд

  Математический диктант
  

• 2 слайд

  Перпендикуляр и наклонная
  
  В
  -перпендикуляр к плоскости , AB и AC- наклонные. Найти x.
  А
  С
  А1
  17
  10
  15
  х
  В
  А
  А1
  С
  В
  12
  8
  Х
  6
  х
  А
  В
  С
  А1
  А1
  А
  А1
  С
  4
  Х
  

• 3 слайд

  Теорема о трех перпендикулярах
  
  
  
  
  Прямая перпендикулярна к плоскости АВС.
  А
  В
  С
  D
  О
  М
  Дано: ABCD-ромб.
  Доказать:
  A
  M
  B
  C
  D
  Доказать: АВ=АС
  А
  М
  В
  С
  17
  8
  Найти МВ
  М
  В
  А
  С
  D
  8
  12
  30
  ABCD-параллелограмм.
  Найти расстояние от точки М до прямых AD и DC.
  M
  12
  O
  10
  B
  C
  A
  18
  Найти расстояние от
  точки М до прямых AC и BC.
  M
  O
  D
  16
  B
  A
  C
  4
  ABC-правильный.
  Найти расстояние от точки М
  до прямых AB и BD.
  

• 4 слайд

  Задачи на готовых чертежах
  Теорема о трех перпендикулярах
  Угол между прямой и плоскостью
  

• 5 слайд

  Задачи на готовых чертежах
  Расстояние между
  скрещивающимися прямыми
  Угол между скрещивающимися
  прямыми
  

• 6 слайд

  Задачи на готовых чертежах
  Угол между плоскостями
  Перпендикулярность плоскостей
  
  

• 7 слайд

  Самостоятельная работа
  

• 1 слайд

  
  
  
  
  
  Колина Наталья
  Константиновна
  учитель математики
  МБОУ сш №19
  г.Заволжья
  Городецкого района.
  
  В 1983 г. окончила ГГУ
  им. Н.И. Лобачевского
  
  Педагогический стаж- 24года.
  С 2001 года работаю в профильных классах.
  В 2007 г. присвоена высшая категория.
  С 2009г.-руководитель РМО.
  

• 2 слайд

  «Геометрия является самым могущественным средством для изощрения наших умственных способностей и дает нам возможность правильно мыслить и рассуждать».
  (Г. Галилей)
  Перпендикулярность
  прямых и
  плоскостей
  учитель математики МБОУ сш №19
  г.Заволжья
  Колина Наталья Константиновна
  

• 3 слайд

  Актуальность темы
  
  Задание основных
  метрических
  понятий в пространстве
  Появление задач на вычисление
  Деятельность человека
  Использование в задачах многогранников
  Развитие пространственных представлений
  Подготовка к ЕГЭ
  

• 4 слайд

  Цели и задачи раздела
  Основная цель- ввести понятия перпендикулярности прямых и плоскостей, изучить признаки перпендикулярности прямой и плоскости, двух плоскостей, ввести основные метрические понятия: расстояние от точки до плоскости, расстояние между параллельными плоскостями, между параллельными прямой и плоскостью , расстояние между скрещивающимися прямыми , угол между прямой и плоскостью, угол между двумя плоскостями, изучить свойства прямоугольного параллелепипеда.
  

• 5 слайд

  Задачи
  Познавательные:
  определить перпендикулярность двух прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей как одно из возможных отношений между объектами в пространстве;
  выявить условия существования, признаки и свойства различных из указанных выше комбинаций;
  определить расстояние и углы между парами объектов в пространстве;
  найти обобщенный прием решения задач на вычисление расстояний и углов между пространственными фигурами.
  Развивающие:
  развивать логическое мышление, алгоритмическую культуру, пространственное воображение, коммуникативные способности;
  развивать способность анализировать ,обобщать, самостоятельно организовывать свою деятельность;
  Воспитательные:
  воспитывать культуру личности, отношение к геометрии как к части общечеловеческой культуры, играющей особую роль в общественной жизни;
  воспитывать волю и настойчивость для достижения конечных результатов
  при решении задач.
  
  
  

• 6 слайд

  
  
  Необходимость самоопределения
  
  
  Выбор профессии, формирование
  учебных интересов
  Стремление к доказательности
  решаемых задач, интерес к
  способам доказательства
  
  Потребность найти смысл
  происходящего, разобраться
  в окружающем и в самом себе
  Строгая самооценка
  и самокритичность.
  Изменение потребностей
  Осознанное проявление интереса к
  самостоятельной интеллектуальной
  деятельности
  Устойчивое эмоциональное
  отношение к товарищам
  и взрослым
  Психолого-педагогическое
  обоснование
  

• 7 слайд

  
  Условия, стимулирующие
  интерес к разделу
  Разнообразие
  методов обучения
  и форм организации
  деятельности
  Признание умений
  и достижений
  обучающихся
  Связь учебного
  содержания
  с практической
  деятельностью
  Успешное
  взаимодействие
  у-у-р
  Новизна и
  разнообразие
  материала
  

• 8 слайд

  Ожидаемые результаты
  Знает:
  определения, связанные с понятием перпендикулярности в пространстве;
  формулировки признаков и свойств рассматриваемых в главе комбинаций пространственных объектов;
  доказательства основных теорем раздела.
  Умеет:
  изображать отрезки, длины которых являются расстояниями между указанными фигурами, и углы между ними и обосновывать их изображение;
  вычислять соответствующие расстояния и углы; решать геометрические задачи, опираясь на изученные признаки и свойства;
  доказывать основные теоремы раздела, проводить доказательные рассуждения при решении задач , используя известные теоремы;
  использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для моделирования несложных практических ситуаций.
  Понимает(осознает):
  практическую значимость данной темы;
  роль аналогии и обобщения в получении новых знаний;
  взаимосвязь между определениями расстояний и углов между объектами.
  
  
  
  

• 9 слайд

  
  
  Основные методы приобретения
  новых знаний
  метод проблемного
  обучения
  объяснительно-
  иллюстративный
  исследовательский
  репродуктивный
  частично-поисковый
  

• 10 слайд

  Индивидуальная работа
  Групповая работа
  Фронтальная работа
  Коллективная работа
  Формы организации деятельности
  

• 11 слайд

  Система знаний
  Фундаментальные знания:
  Определения: перпендикулярных прямых в пространстве; прямой, перпендикулярной к плоскости; перпендикуляра, наклонной и ее проекции на плоскость; расстояний и углов между изучаемыми объектами; двугранного угла; перпендикулярных плоскостей ; прямоугольного параллелепипеда.
  Теоремы: связь параллельности и перпендикулярности прямых к плоскости; признак перпендикулярности прямой и плоскости; теорема о трех перпендикулярах; признак и свойства перпендикулярных плоскостей; свойства прямоугольного параллелепипеда.
  Приемы решения задач
  
  Общенаучные знания:
  использование возможностей геометрического языка для описания
  свойств реальных объектов и их взаимного расположения ;
  перпендикулярность двух прямых ,прямой и плоскости, двух
  плоскостей –возможные случаи взаимного расположения объектов
  в пространстве, частные случаи их пересечения.
  

• 12 слайд

  Система деятельности
  Познавательная:
  наблюдение ,постановка проблемы, выдвижение гипотезы
  переход от наглядно-образного к словесно-логическому мышлению
  аналогия, обобщение, систематизация знаний о перпендикулярности прямых, перпендикуляре и наклонной, известных из курса планиметрии
  моделирование как способ включения в самостоятельную поисковую деятельность
  Преобразующая:
  решение задач, разрешение проблемы несколькими способами и отбора наиболее рационального способа
  поиск, анализ и использование новой информации для решения поставленной задачи
  исследовательская деятельность при выполнении самостоятельной работы, работы с учебными модулями
  Общеучебная
  развитие умения планировать свою деятельность, внимания, сосредоточенности, ответственного отношения к выполняемой работе
  умение слушать, вести дискуссию, поддерживать диалог
  умение построить монолог, отстаивать и обосновывать свою точку зрения
  умение проводить доказательные рассуждения
  умение работать в группе
  умение работать с литературой
  Самоорганизующая:
  планирование самостоятельной работы
  самоконтроль в процессе выполнения заданий ; самооценка достигнутых результатов
  

• 13 слайд

  
  Планирование учебного
  материала
  
  

• 14 слайд

  Система уроков по теме
  «Перпендикулярность прямых и плоскостей»
  
  

• 15 слайд

  Система уроков по теме
  «Перпендикулярность прямых и плоскостей»
  
  

• 16 слайд

  Система уроков по теме
  «Перпендикулярность прямых и плоскостей»
  
  

• 17 слайд

  Система уроков по теме
  «Перпендикулярность прямых и плоскостей»
  
  

• 18 слайд

  Система уроков по теме
  «Перпендикулярность прямых и плоскостей»
  
  

• 19 слайд

  Урок №4 «Перпендикулярность прямой и плоскости»
  Цели:
  1)«открыть» вместе с учащимися понятия перпендикуляра, наклонной к плоскости, расстояния от точки до плоскости;
  2)сформировать умения: видеть конфигурации,
  удовлетворяющие заданным условиям, применять определение
  прямой, перпендикулярной к плоскости, признак перпендикулярности
  прямой и плоскости к задачам на доказательство и нахождение
  расстояния между точками.
  В результате ученик
  знает:
  -определения перпендикуляра, наклонной к плоскости и ее проекции на плоскость, расстояния от точки до плоскости;
  -алгоритм решения задач на доказательство перпендикулярности двух прямых и нахождение расстояний между точками;
  умеет:
  -читать чертеж;
  -доказывать перпендикулярность двух прямых, прямой и плоскости;
  -находить расстояния между точками.
  осознает: роль аналогии и обобщения в получении новых знаний;
  роль темы для дальнейшего изучения курса.
  

• 20 слайд

  Тип урока: урок совершенствования знаний.
  Форма проведения: практикум.
  Методы: частично-поисковый,
  исследовательский.
  Формы организации деятельности: фронтальная, групповая, индивидуальная.
  Оборудование:компьютерный класс, мультимедийный проектор, экран, компьютерная презентация по теме (Презентация1) ,тест (Приложение 1) ,карточки для индивидуальной работы,ЭОР с практическим параметризованным заданием(Приложение2).
  
  Перпендикулярность прямой и плоскости
  

• 21 слайд

  Структура и ход урока
  

• 22 слайд

  Структура и ход урока
  

• 23 слайд

  Структура и ход урока
  

• 24 слайд

  Расстояния в пространстве
  
  

• 25 слайд

  
  
  
  Углы в пространстве
  
  

• 26 слайд

  Литература
  Геометрия ,10-11: учеб. для общеобразоват.учреждений :базовый и профил.уровни / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. – М. : Просвещение, 2009.
  Зив Б.Г. Геометрия. Дидактические материалы. 10 класс / Б. Г. Зив. — 11-е изд. — М. : Просвещение, 2011.
  Ершова А.П., Голобородько В.В.Самостоятельные и контрольные работы по геометрии для 10 класса, дифференцированный контроль знаний:Москва,ИЛЕКСА, 2011.
  Иванова Т.А. Современный урок математики: теория, технология, практика: Книга для учителя.-Н.Новгород: НГПУ,2010.
  Программы общеобразовательных учреждений .Геометрия 10-11 классы/сост. Т.А.Бурмистрова М. : Просвещение, 2009.
  Проект ФГОС общего образования от 15 апреля 2011г.
  Рабинович Е.М. Математика. Задачи и упражнения на готовых чертежах.10-11классы.Геометрия:Москва-Харьков,ИЛЕКСА,2012.
  Саакян С. М. Изучение геометрии в 10—11 классах: кн. Для учителя / С. М. Саакян, В. Ф. Бутузов.— 4-е изд.,дораб.— М. : Просвещение, 2010.
  Смирнова И.М. Геометрия.Расстояния и углы в пространстве/И.М.Смирнова, В.А.Смирнов.- М:Издательство «Экзамен»,2011.(серия «ЕГЭ.100 баллов»).
  Смирнов В.А. ЕГЭ 2011.Математика.Задача С2.Геометрия. Стереометрия./А.Л.Семенов, И.В.Ященко.- М:Издательство МЦНМО,2011.
  Теоретические основы обучения математике в средней школе: учебное пособие/Т..А. Иванова, Е.Н.Перевощикова, Т.П.Григорьева, Л.И.Кузнецова, Н.Новгород:НГПУ, 2003.
  Яровенко В.Я.Поурочные разработки по геометрии. Дифференцированный подход.: 10 класс. – М.:ВАКО,2011.
  

• 27 слайд

  Ресурсы
  http://mon.gov.ru/pro/fgos/oob2/
  http://le-savchen.ucoz.ru/news/1-0-1
  http://fcior.edu.ru/card/6435/priznak-perpendikulyarnyh-pryamoy-i-ploskosti-p1.html
  http://fcior.edu.ru/card/22919/perpendikulyarnost-pryamyh-i-ploskostey.html#
  http://fcior.edu.ru/card/1278/priznak-perpendikulyarnyh-pryamoy-i-ploskosti-p2.html
  http://fcior.edu.ru/card/9304/perpendikulyar-i-naklonnaya-teorema-o-treh-perpendikulyarah-rasstoyanie-ot-tochki-do-pryamoy-ot-toch.html
  http://metodisty.ru/m/files/view/geometricheskie_zadachi_tipa_s2_na_ege_2010_2010_08_
  http://metodisty.ru/m/files/view/geom_10
  
  

• 1 слайд

  Перпендикулярность прямой и плоскости
  
  Методическая разработка Колиной Н.К.,
  МБОУ сш№19, г. Заволжье Нижегородской области
  
  Урок геометрии
  в 10 классе
  

• 2 слайд

  Цели:
  
  Обучающие:
  «открыть» с учащимися понятия перпендикуляра и наклонной к плоскости;
  формировать умения: читать чертеж; применять определение прямой, перпендикулярной к плоскости, признак перпендикулярности прямой и плоскости к задачам на доказательство;
  выработать навыки решения ключевых задач на перпендикулярность прямой и плоскости.
  Развивающие:
  развивать пространственное воображение , логическое мышление,
  самостоятельность учащихся и творческое отношение к выполнению заданий.
  Воспитательные:
  воспитывать волю и настойчивость для достижения конечных результатов при решении задач, культуру общения.
  
  11.06.2022
  2
  

• 3 слайд

  Повторение
  Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости
  11.06.2022
  3
  

• 4 слайд

  Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости,
  то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости
  Утверждение 1.
  Утверждение 2.
  b
  х
  Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны
  b
  ,
  ||
  ||
  ,
  11.06.2022
  4
  

• 5 слайд

  Признак перпендикулярности
  прямой и плоскости
  Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости
  b
  c
  ,
  O
  11.06.2022
  5
  

• 6 слайд

  
  Устная работа
  
  
  №1
  
  №3
  
  
  
  
  Сторона АВ правильного треугольника АВС лежит в плоскости . Может ли
  прямая BC быть перпендикулярна
  к этой плоскости?
  Могут ли быть перпендикулярны к плоскости две стороны треугольника одновременно?
  Верно ли утверждение: прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна к прямой, принадлежащей плоскости?
  №2
  11.06.2022
  6
  

• 7 слайд

  
  
  
  
  Прямая a перпендикулярна
  к плоскости , прямая b не перпендикулярна к плоскости . Могут ли прямые a и b быть параллельными?
  Верно ли утверждение: если прямая перпендикулярна к плоскости, то она перпендикулярна лежащим в этой плоскости двум сторонам треугольника?
  Верно ли утверждение: если прямая перпендикулярна двум прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к данной плоскости?
  Устная работа
  11.06.2022
  №4
  №6
  №5
  7
  

• 8 слайд

  
  
  
  
  Через вершину квадрата ABCD проведена прямая AM, перпендикулярная к плоскости квадрата. Докажите, что прямая AD перпендикулярна к плоскости, проходящей через прямые AM и AB.
  М
  В
  А
  С
  D
  Через центр окружности, описанной около треугольника ABC, проведена прямая, перпендикулярная к плоскости треугольника ABC. Докажите, что каждая точка этой прямой равноудалена от вершин треугольника ABC.
  А
  В
  С
  На практике вертикальность столба проверяют, глядя на столб поочередно с двух направлений. Как обосновать правильность такой проверки?
  О
  М
  Устная работа
  11.06.2022
  №7
  №8
  №9
  8
  

• 9 слайд

  КАРТОЧКА 2.
  Отрезок EF является средней линией прямоугольного треугольника ABC
  ( ACB=90 ). Через точку E проведен перпендикуляр ME к плоскости этого треугольника.
  Доказать:
  1) MF AC, 2) MC=MA.
  
  Карточки для индивидуальной
  работы
  КАРТОЧКА 1
  Дан куб .
  Доказать:
  1)
  2)
  
  11.06.2022
  9
  

• 10 слайд

  11.06.2022
  Перпендикуляр и наклонная
  к плоскости
  А
  А1
  В
  Прямая проходит через точку А перпендикулярно к плоскости .
  Точка - проекция точки А на плоскость .
  Отрезок называется перпендикуляром к плоскости.
  Точка -основание перпендикуляра.
  Расстояние от точки А до плоскости равно длине этого перпендикуляра.
  Точка В - произвольная точка плоскости.
  Отрезок АВ- наклонная к плоскости.
  Точка В-основание наклонной.
  Отрезок -проекция наклонной
  АВ на плоскость .
  
  
  
  
  10
  

• 11 слайд

  Решение задач по готовым
  чертежам
  
  11.06.2022
  Дано:
  M (ABC),
  MBCD – прямоугольник.
  Доказать:
  прямая CD (ABC)
  Дано:
  ABCD – параллелограмм.
  Доказать:
  прямая MO (ABC)
  №2
  №1
  11
  

• 12 слайд

  Решение задач по готовым
  чертежам
  11.06.2022
  Дано:
  AH , AB – наклонная.
  Найти AB.
  Дано:
  AH , AB – наклонная.
  Найти AН, ВН.
  №3
  №4
  12
  

• 13 слайд

  Решение задач по готовым
  чертежам
  
  11.06.2022
  №6
  №5
  Дано:M (ABC),
  ABCD – ромб.
  Доказать: прямая BD (AMC)
  Дано: AH ,
  AB и АС – наклонные.
  AB=12, HC= .
  Найти AС.
  13
  

• 14 слайд

  Работа в парах
  11.06.2022
  14
  Дано:
  прямая МС (АВС),
  АСВ=90
  AC=4, MD=3.
  Найти длину отрезка MC.
  Дано: прямая MD (AВС ) ,
  АВС- равносторонний,
  
  Найти МС.
  №1
  №2
  

• 15 слайд

  Практическое задание:
  
  работа с ЭОР
  11.06.2022
  15
  ?
  ?
  ?
  

• 16 слайд

  11.06.2022
  16
  

• 17 слайд

  Самостоятельная работа.
  11.06.2022
  17
  

• 18 слайд

  Домашнее задание:
  11.06.2022
  18
  1) № 130, 131, 145, 148.
  (Указание: использовать признак перпендикулярности прямой и плоскости);
  2) Найти в Интернете ЭОР по теме,сохранить их и ссылки в папку,разобраться в их назначении.
  

• 19 слайд

  Использованные ресурсы
  
  11.06.2022
  19
  http://metodisty.ru/m/files/view/geometricheskie_zadachi_tipa_s2_na_ege_2010_2010_08_07
  
  
  
  http://office.microsoft.com/ru-ru/images/results.aspx?qu=%D1%81%D0%BC%D0%B0%D0%B9%D0%BB%D0%B8%D0%BA
  
  
  
  
  http://edu-teacherzv.ucoz.ru
  http://fcior.edu.ru/card/6435/priznak-
  perpendikulyarnyh-pryamoy-i-ploskosti-p1.html
  
  http://metodisty.ru/m/files/view/geom_10
  
  
  
  
  
  
  

• 1 слайд

  Методическая разработка Савченко Е.М.
  МОУ гимназия №1, г. Полярные Зори, Мурманской обл.
  Теорема
  о трех перпендикулярах
  Геометрия 10
  1
  

• 2 слайд

  Определение.
  a
  a
  S
  A
  F
  N
  D
  H
  Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.
  Повторение
  2
  

• 3 слайд

  q
  p
  a
  a p,
  p ,
  a q,
  q ,
  Признак перпендикулярности прямой и плоскости.
  a
  Повторение
  Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.
  3
  

• 4 слайд

  Планиметрия
  Стереометрия
  Отрезок АН – перпендикуляр
  Точка Н – основание перпендикуляра
  Отрезок АМ – наклонная
  Точка М – основание наклонной
  Н
  А
  а
  А
  Н
  М
  М
  Отрезок МН – проекция
  наклонной на прямую а
  Отрезок МН – проекция наклонной на плоскость
  4
  

• 5 слайд

  Планиметрия
  Стереометрия
  Расстояние от точки до прямой – длина перпендикуляра
  Н
  А
  а
  А
  Н
  М
  М
  Расстояние от точки до плоскости – длина перпендикуляра
  Из всех расстояний от точки А до различных точек прямой а наименьшим является длина перпендикуляра.
  плоскости
  5
  

• 6 слайд

  Расстояние от лампочки до земли измеряется по перпендикуляру, проведенному от лампочки к плоскости земли
  Н а к л о н н а я
  Н а к л о н н а я
  П
  Е
  Р
  П
  Е
  Н
  Д
  И
  К
  У
  Л
  Я
  Р
  Проекция
  Проекция
  6
  

• 7 слайд

  В
  С
  П-Р
  M
  П-Я
  Н-Я
  А
  Н-Я
  П-Я
  7
  

• 8 слайд

  A
  К
  Из точки А к плоскости проведены две наклонные, которые образуют со своими проекциями на плоскость углы в 600. Угол между наклонными 900. Найдите расстояние между основаниями наклонных, если расстояние от точки А до плоскости равно см.
  600
  600
  С
  В
  8
  

• 9 слайд

  А
  Н
  П-Р
  М
  Теорема о трех перпендикулярах.
  Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.
  Н-я
  П-я
  a
  9
  

• 10 слайд

  А
  Н
  П-Р
  М
  Обратная теорема.
  Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к ее проекции.
  Н-я
  П-я
  a
  10
  

• 11 слайд

  Прямая АК перпендикулярна к плоскости правильного треугольника АВС, а точка М – середина стороны ВС. Докажите, что МК ВС.
  В
  С
  А
  М
  №148.
  К
  П-я
  П-Р
  Н-я
  TTП
  BC AМ
  П-я
  BC MК
  Н-я
  11
  

• 12 слайд

  Отрезок АD перпендикулярен к плоскости равнобедренного треугольника АВС. Известно, что АВ = АС = 5 см, ВС = 6 см, АD = 12 см.
  Найдите расстояния от концов отрезка АD до прямой ВС.
  В
  С
  А
  N
  №149 (дом.)
  D
  П-я
  П-Р
  Н-я
  TTП
  BC AN
  П-я
  BC DN
  Н-я
  АN и DN – искомые расстояния
  5
  12
  6
  12
  

• 13 слайд

  Расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой, называется расстоянием между скрещивающимися прямыми.
  Отрезок, имеющий концы на двух скрещивающихся прямых и перпендикулярный к этим прямым, называется их общим перпендикуляром.
  На рисунке АВ – общий перпендикуляр.
  А
  В
  13
  

• 14 слайд

  Если две плоскости параллельны, то все точки одной плоскости равноудалены от другой плоскости.
  Расстояние от произвольной точки одной из параллельных плоскостей до другой плоскости называется
  расстоянием между параллельными плоскостями.
  II
  14
  

• 15 слайд

  Если прямая параллельна плоскости, то все точки прямой равноудалены от этой плоскости.
  a II
  a
  Расстояние от произвольной точки прямой до плоскости называется расстоянием между прямой и параллельной ей плоскостью.
  15
  

• 16 слайд

  a II
  Если две прямые скрещиваются, то через каждую из них проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.
  a
  Расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой, называется расстоянием между скрещивающимися прямыми.
  b
  a b
  16
  

• 17 слайд

  A
  В
  Из точки А к плоскости проведены две наклонные, длины которых равны 26 см и см. Их проекции на эту плоскость относятся как 5:4. Найдите расстояние от точки А до плоскости .
  С
  М
  ?
  17
  

• 18 слайд

  В треугольнике угол С прямой, угол А равен 600, AС=12см. DC (АВС). DC= Найдите расстояния:
  а) от точки С до прямой АВ, б) от точки D до прямой АВ.
  600
  С
  А
  N
  D
  П-я
  П-Р
  Н-я
  TTП
  АВ СN
  П-я
  AB DN
  Н-я
  CN и DN – искомые расстояния
  12
  В
  18
  

• 19 слайд

  П-я
  Через вершину прямого угла С равнобедренного прямоугольного треугольника АВС проведена прямая СМ, перпендикулярная к его плоскости. Найдите расстояние от точки М до прямой АВ, если АС = 4 см, а СМ =
  А
  В
  С
  №155.
  М
  П-Р
  Н-я
  TTП
  AВ СF
  П-я
  AВ MF
  Н-я
  МF – искомое расстояние
  F
  4
  19
  

• 20 слайд

  П-я
  Один из катетов прямоугольного треугольника равен т, а острый угол, прилежащий к этому катету, равен . Через вершину прямого угла С проведена прямая СD, перпендикулярная к плоскости этого треугольника, СD = n. Найдите расстояние от точки D до прямой АВ.
  А
  В
  С
  №156.
  D
  П-Р
  Н-я
  TTП
  AВ СF
  П-я
  AВ DF
  Н-я
  DF – искомое расстояние
  т
  n
  F
  20
  

                                             План-конспект  урока

          ФИО автора - Колина Наталья Константиновна

          Место работы - муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение 

          «Средняя школа №19» г .Заволжья Нижегородской области.

          Должность – учитель математики

          Предмет- геометрия

          Класс- 10

          Базовый учебник –  Геометрия 10-11: базовый и профильный уровни/Л.С.Атанасян

          и др.- М.: Просвещение, 2009.

                Тема «Перпендикулярность прямой и плоскости»

Тип урока: урок творческого применения знаний    

Форма проведения:   практикум  решения ключевых задач.

Время проведения - 45 минут.

Место урока в разделе- 4 урок.

Цели:

Обучающие:

            - «открыть» вместе с учащимися  понятия перпендикуляра и наклонной к плоскости;

            - формировать умения:

              видеть конфигурации, удовлетворяющие заданным  условиям;      

              применять определение  прямой,  перпендикулярной к плоскости, признак  

              перпендикулярности прямой и плоскости к задачам на доказательство;

            - выработать навыки решения основных задач на перпендикулярность

              прямой и плоскости.

 Развивающие:

            - развивать  пространственное воображение ,логическое мышление ;

            - развивать самостоятельность учащихся и творческое отношение к

              выполнению заданий;

            - организовать осмысление полученных результатов изучения темы и способов

              их достижения.

Воспитательные:

            - воспитывать :

              волю и настойчивость для достижения конечных результатов при решении задач;

              информационную культуру и культуру общения.

Методы: частично-поисковый, исследовательский.

Формы организации деятельности:  фронтальная, групповая, индивидуальная, самостоятельная работа.

Оборудование: компьютерный класс,  мультимедийный  проектор, экран, компьютерная презентация по теме (Презентация1) ,тест (Приложение 1) ,карточки для индивидуальной работы(Слайд 9),  карточки с вопросами теории ,ЭОР с практическим параметризованным заданием(Приложение2). 

Ход урока.

Организационный момент – проверка готовности класса к уроку.                                    (1 мин.)

I. Мотивационно – ориентировочная часть.                                                                     (8 мин.)

1. Актуализация знаний.

-Сегодня мы продолжаем работать над темой  « Перпендикулярность прямой и плоскости». На прошлых уроках мы «открыли» определение  прямой, перпендикулярной к плоскости,  признак перпендикулярности прямой и плоскости, разобрали простейшие задачи. В качестве домашнего задания каждый из вас получил лист с вопросами теории, вам предлагалось подготовить ответы на эти вопросы.

Проверим, как вы справились с этим заданием.

Идет фронтальный опрос. ( Презентация1, слайды  6-8).                                                     

Вопросы:

1. Верно ли утверждение: прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна  к прямой, принадлежащей плоскости? (нет)

2. Могут ли быть перпендикулярны  к плоскости две стороны треугольника одновременно? (нет, тогда через одну точку пройдут две прямые, перпендикулярные к плоскости).

3. Сторона AB правильного треугольника ABC лежит в плоскости . Может ли прямая BC быть перпендикулярна к плоскости ? (нет, так как тогда BCAB, но в правильном треугольнике углы равны ).

4. Верно ли утверждение: если прямая перпендикулярна двум прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к данной плоскости? (только если они пересекающиеся).

5. Прямая a перпендикулярна к плоскости , прямая b не перпендикулярна к плоскости . Могут ли быть параллельными прямые a и b? ( нет, если это предположить, то тогда , что противоречит условию).

6. Верно ли утверждение: если прямая перпендикулярна к плоскости, то она перпендикулярна лежащим в этой плоскости двум сторонам треугольника? (нет,она перпендикулярна лежащим в этой плоскости всем трем сторонам треугольника).

7. Через вершину квадрата ABCD проведена прямая AM, перпендикулярная к плоскости квадрата. Докажите, что прямая AD перпендикулярна к плоскости, проходящей через прямые AM и AB.

8.Через центр окружности, описанной около треугольника ABC, проведена прямая, перпендикулярная к плоскости треугольника ABC. Докажите, что каждая точка этой прямой равноудалена от вершин треугольника ABC.

9. На практике вертикальность столба проверяют, глядя на столб поочередно с двух направлений. Как обосновать правильность такой проверки?

Далее повторяются  определение прямой, перпендикулярной  к плоскости, признак перпендикулярности прямой и плоскости. ( Презентация, слайды 3-5).

Подводятся итоги устной работы, оцениваются ответы учащихся.                                    

2. Постановка учебной задачи.

Сегодня мы продолжим формировать умения применять известные утверждения в задачах на доказательство и в решении типовых задач.

II. Содержательная часть.                                                                                                    ( 29 мин.)

1. Следующий этап работы – два ученика вызываются к доске для индивидуальной работы по карточкам, с остальными учащимися  проводится  фронтальная работа по готовым чертежам. Карточки для индивидуальной работы:

  

Карточка 1 Дан куб . Доказать: 1) прямые AC и DO перпендикулярны; 2) ABC=90

                                                                                                 

                                                                                                                                   

 

Карточка 2. Отрезок EF является средней линией прямоугольного треугольника ABC(ACB=90). Через точку  E проведен перпендикуляр ME к   плоскости этого треугольника. Доказать: 1) MFAC, 2) MC=MA.

                                                                                                      

Задания для устной работы  по готовым рисункам.

1                      Дано: MABC, MBCD – прямоугольник. Доказать: прямая CDABC	2                                 Дано: ABCD – параллелограмм. Доказать: прямая MOABC
3                                    Дано:MABC, ABCD – ромб. Доказать: прямая BDAMC	4                   Дано: AH, AB – наклонная. Найти AB.
5                              Дано: AH, AB -  наклонная. Найти AH, BH.	6                                Дано: AH, AB и AC – наклонные. AB=12, HC=6. Найти AC.

-Ребята, в задачах 4-6 речь идет о наклонных к плоскости. Как вы думаете, что имеется в виду?

Существует ли здесь аналогия с понятиями перпендикуляра и наклонной  к прямой ,изучаемых в планиметрии?

Учащимся предлагается изучить слайд 10 Презентации1 и решить эти задачи.            

2)  Работа в парах - решаются задачи  по готовым чертежам.

       1 группа                                                                          2 группа                                

Дано: a, , AC=4, MD=3. Найти MC.                                                                                       a

Дано: a, - равносторонний, AB= Найти MC.                                                                                                                                                                                                    a

Решения обсуждаются .Оцениваются ответы отдельных учащихся.

Следующий этап урока – выполнение практического  задания на компьютере, работа с ЭОР.

III. Рефлексивно – оценочная часть.                                                                                    (7 мин.)

1.Итогом работы на уроке является проверочная работа  в форме теста.                        

Подводятся итоги урока, выставляются оценки.                                                                

2. Домашнее задание:

1). № 130, 131, 145, 148. (Указание: использовать признак перпендикулярности прямой и плоскости)

2) Найти  в Коллекциях электронно-образовательных ресурсов  учебные модули по теме, разобраться в их назначении ; сохранить ссылки и сами ресурсы в папку.

В  данной работе представлен план-конспект урока  с презентацией по теме  «Перпендикулярность   прямой и плоскости». Материал относится  к разделу «Преподавание математики».Урок геометрии проводится в 10 классе по учебнику «Геометрия 10-11»,авторы   Л.С. Атанасян, В.Ф.Бутузов и др. Основными целями урока являются формирование умений читать чертеж, применять теоретические положения темы при решении задач на доказательство,  навыков решения ключевых задач на перпендикулярность прямой и плоскости, развитие пространственного воображения, логического мышления, самостоятельности и творческого отношения к выполнению заданий, воспитание информационной культуры и культуры общения.

   К уроку прилагается презентация, тест ,сделанный в Microsoft Excel  для компьютерной проверки  знаний учащихся(Приложение1) ,учебный модуль Федерального центра информационно-образовательных ресурсов(Приложение2),состоящий из 5 заданий различного уровня сложности. Все задания данного модуля параметризованы, что позволяет формировать индивидуальные задания. Задания предназначены для отработки навыков решения задач, используя признак перпендикулярности прямой и плоскости. Для работы с учебным модулем необходимо установить специальную программу, она находится в Приложении 3.В презентации к уроку имеется самостоятельная работа по изучаемой теме. Таким образом, количество предлагаемого материала избыточно, что позволяет его дозировать, варьировать  в зависимости  от уровня подготовленности класса.  

                                                     Автор работы: Колина Наталья Константиновна