Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА Реализация системно-деятельностного подхода при формировании понятий синуса, косинуса произвольного угла

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА Реализация системно-деятельностного подхода при формировании понятий синуса, косинуса произвольного угла



57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА

Реализация системно-деятельностного подхода при формировании понятий синуса, косинуса произвольного угла

Тема: Синус и косинус произвольного угла

(10 класс, алгебра)

Цели урока:

Обучающая: ПРАКТИЧЕСКИЕ УМЕНИЯ

  1. формирование у обучающихся понятий синуса, косинуса произвольного угла посредством организации обучающей деятельности по усвоению определений;

  2. умения находить синус, косинус любого угла посредством формирования у обучающихся ориентировочной основы действий (ООД) по алгоритму;

  3. формирование умения применять понятия (через организацию деятельности, адекватной усваиваемому содержанию) посредством решения задач, а именно:

  • задачи на непосредственное применение понятий;

  • установления внутриматематических связей через решение задач построения угла (определение местонахождения точки единичной окружности по четвертям) по известному значению синуса, косинуса;

  • задачи на нахождение по известным одной из функций угла и его расположения в одной из четвертей единичного круга остальных трёх тригонометрических функций этого угла;

  • установление межпредметных связей и обучение практическому применению понятия посредством решения практико-ориентированных задач.

Развивающая: ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ УМЕНИЯ

  • умение самообучения посредством соотнесения этапов решения эталонам;

  • развитие у обучающихся логического мышления посредством требования обязательности обоснования своих действий;

  • грамотности математической речи посредством организации этапа громкой речи;

  • умений планирования через составление плана решения задачи и алгоритмизацию отдельных этапов решения задач;

Воспитывающая: ЛИЧНОСТНЫЕ КАЧЕСТВА

  • формирование у школьников стойкого познавательного интереса к предмету посредством использования на уроке интересных исторических фактов, создания ситуаций затруднения, выстраивания серии заданий по принципу доступности, последовательности изучения материала от простого к сложному;

  • навыков самоорганизации, самостоятельности через организацию самостоятельной деятельности;

  • коммуникативных навыков через организацию взаимной проверки заданий в парах;

  • навыков самоконтроля посредством организации проверки и самопроверки выполненных заданий.

Оборудование урока:

Интерактивная доска или проектор, раздаточный материал (карточки-опоры), демонстрационная модель тригонометра.

hello_html_3ea8eb62.png

Ход урока

  1. Организационный момент

I этап – подготовительный

Цель этапа:

  • сообщение обучающей цели урока (цель заявлена темой урока);

  • актуализация опорных знаний, необходимых для усвоения темы.

Учебные действия, необходимые на данном этапе:

  • умения распознавать понятия: декартова система координат, декартовы координаты, абсцисса точки, ордината точки, окружность, радиус-вектор, угол поворота радиус-вектора, нулевой угол, полный угол поворота, положительный и отрицательный углы, четверти координатного круга;

  • умение находить синус, косинус, тангенс и котангенс острого угла прямоугольного треугольника;

  • умение применять основное тригонометрическое тождество для острых углов, а также знание табличных значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса острых углов 300, 450 ,600;

  • умение применять формулу длины дуги, соответствующей данному центральному углу окружности;

  • умение строить любой угол (любой градусной меры и знака) на единичной окружности и обратно – по чертежу определять градусную меру и знак угла поворота;

  • умение соотнесения (отождествления) точки единичной окружности с углом поворота радиус-вектора и обратно;

  • умение ориентироваться по четвертям координатного круга;

  • умение представлять угол любой градусной меры в радианах и обратно, любой угол, выраженный в радианах переводить в градусы;

  • умения выражать любой угол в градусной и радианной форме: hello_html_m406b9ba4.gifили hello_html_23dea45c.gif.

Задачи на повторение могут быть заданы на экране, вопросы задаваться последовательно фронтально всему классу с последующим обсуждением правильности ответов.

Деятельность учителя озвучивает задание

Ответьте на вопросы:

  1. Выполните задание на печатной основе. Отметьте на числовой окружности точку, которая соответствует заданному числу (по слайду с последующей проверкой):

  1. 900, 1800, 2700, 3600; 2) -300, -450, -600; 3) 1200, -1350, -1500; 4) 2400, -3300, -2250

hello_html_58dd3f66.png

  1. Запишите градусную и радианную меру углов поворота, изображенных на рисунках:

hello_html_7a6dc165.pnghello_html_m22806b0.pnghello_html_2425a7e4.pnghello_html_508aa945.png

hello_html_m1f55a150.pnghello_html_5aa70cd6.pnghello_html_2e330548.pnghello_html_ma136ca4.png

Укажите угол поворота в таблице.

1

2

3

4

5

6

7

8

Градусная мера










Радианная мера









  1. Кhello_html_m3e677fb1.pngакой четверти принадлежит точка, соответствующая числу: 1, 3, 5, 12, -8?

Правильный ответ:





  1. Решите задачи из геометрии 8 класса.

hello_html_25de92bd.gifhello_html_m6d0bfe63.pnghello_html_m4fafcc57.pnghello_html_m3235bc9e.gif

  1. В последней задаче примите гипотенузу равной единице. Как в этом случае будут выражены катеты?

Деятельность учащихся: решают и объясняют решения.

Деятельность учителя организует самопроверку на экране

II этап – мотивационный

Цель: организация предварительного ознакомления учащихся с обучающей целью урока, возбуждение у обучающихся интересу к изучаемой теме, создание «внутренней», или познавательной, мотивации посредством предложения учащимся задачи, создающей при решении проблемную ситуацию (ситуацию затруднения).

Учебные действия, необходимые на этом этапе: логические действия по сравнению – установление сходства и отличия, выделение общего, общеучебные – применение знаний в практической ситуации, формулирование гипотез для решения поставленной проблемы.

Деятельность учителя зачитывает историческую справку (можно с презентации)

ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА:

Дhello_html_m143dbf7.jpgлительное время тригонометрия развивалась как часть геометрии. Пожалуй, наибольшие стимулы к развитию тригонометрии возникали в связи с решением задач астрономии, что представляло большой практический интерес (например, для решения задач определения местонахождения судна, предсказания затмений и т.д.)  В основе всех математических открытий лежит практическое решение задач: как составить правильный календарь, имеющий огромное значение для древних земледельцев? Как научиться точно определять курс корабля в открытом море по положению небесных светил? Как составить точные географические карты? Как правильно определить большие расстояния на поверхности Земли? 

На небосводе Земли люди с древних времен видели 5 планет: Меркурий, Венеру, Марс, Юпитер и Сатурн. Наблюдения невооруженным глазом не позволяли различить ни остальные планеты, ни детали на их поверхностях. Лишь с изобретением телескопа удалось разглядеть наших соседей по Солнечной системе поподробнее и обнаружить еще три планеты — Уран, Нептун и Плутон. Первым в этой триаде был открыт Уран.

Ночная страсть музыканта
42-летний профессиональный музыкант Вильям Гершель на жизнь зарабатывал преподаванием музыки и игрой на скрипке и гобое в местном оркестре, но главной страстью его жизни была астрономия. В саду во дворе своего дома Гершель установил им же самим изготовленный телескоп и занялся исследованием звездного неба. Уже седьмой год вел он свои наблюдения. И это не было праздным любопытством: Гершель поставил перед собой грандиозную задачу — нанести на карту неба все звезды Северного полушария.
13 марта 1781 года он изучал расположение светил в районе созвездия Тельца. Одна из звезд в пределах этого участка показалась Гершелю странной — вместо яркой точки она имела вид небольшого диска, поэтому в дневнике наблюдений он сделал такую запись: «необычного вида — либо звезда, окруженная туманностью, либо комета».
Первоначально Гершель посчитал все же, что это комета, о чем вскоре и послал сообщение в Королевское общество. За свое открытие он в том же году был избран членом Лондонского Королевского общества и получил степень доктора Оксфордского университета. А спустя 2 месяца после открытия Гершеля петербургский академик Андрей Лексель вычислил параметры орбиты этого небесного тела, показавшие, что оно вращается вокруг Солнца по кругу, радиус которого в 19 раз превышает радиус орбиты Земли. Но самое удивительное состояло в том, что небесное тело, открытое Гершелем, имело круговую орбиту, характерную исключительно для планет — кометы движутся по сильно вытянутым параболам. Стало ясно, что Гершелю удалось обнаружить еще одну, седьмую планету, а Солнечная система, границы которой до сих пор проводились по орбите Сатурна, в одночасье расширилась вдвое. Так был открыт Уран. Обнаружение этой планеты было огромным событием, которое можно сравнить с открытием Америки или с первыми полетами людей в космос.
Как удалось определить, что новое небесное тело – не комета? (знание законов движения комет, траекторий и графиков движения).

А какие графики движения на сегодняшний день знаете Вы?

Деятельность учителя фронтально задает серию вопросов, подводящих к необходимости изучения нового материала.

Деятельность учащихся: предлагают, выходят к доске и записывают решения.

  1. Иhello_html_29fdf21c.pngзобразите схематически график к данной задаче по заданному виду движения тела:

  1. Иhello_html_83b2a6f.gifз пункта А в пункт В выехал велосипедист. По пути он делал привал, затем продолжил движение. Определите, на каком расстоянии он находился в определенный момент времени t;

Предполагаемый ответ:

  1. Вhello_html_mc1ecf1b.pnghello_html_m666070aa.gif определенный момент с определённой начальной скоростью под углом к горизонту брошен камень. Определите высоту, на которой находится камень в определенный момент времени t;

Предполагаемый ответ:

  1. Человек бежит по кругу. Как определить его местонахождение в определенный промежуток времени t?

Предполагаемый ответ: учащиеся предложат нарисовать окружность. Но так как вид движения носит циклический (периодический) характер, то с определением координат местонахождения бегуна в конкретно заданный промежуток времени возникнет ситуация затруднения

Деятельность учителя задает серию вопросов, подводящих к необходимости изучения нового материала. Можно организовать поисковую беседу:

Пhello_html_19154ab5.gifhello_html_64d1c28e.pngоисковая практическая задача: Итак, человек бежит по кругу с определённой скоростью v. Вопрос: Нарисовать предполагаемый график движения бегуна. Вы нарисовали окружность с центром в начале отсчета. Как по графику окружности определить местонахождение спортсмена в определенный промежуток времени t?

1hello_html_m786be7bc.gif предполагаемый вариант решения: Представим, что бегун движется по прямой, то есть выпрямим траекторию движения и попытаемся вычислить его путь.

Расстояние от точки старта можно вычислить по формуле пути hello_html_10c71fab.gif, скорость умножить на время, получим расстояние. Далее, чтобы определить в какой точке окружности спортсмен находится в данное время, нам потребуется знать длину круга, то есть нужно знать длину беговой дорожки, длину окружности.

Вопрос: Как узнать длину окружности? Ответ: hello_html_31ee51ff.gif, где R – радиус данной окружности.

Вhello_html_75ce87fd.pngопрос: Допустим, радиус R - известен, тогда и длину окружности вы вычислите. Ваши дальнейшие действия?

Ответ: Тогда из найденного расстояния вычтем длину окружности столько раз, пока не получим остаток, меньший длины окружности. Это и будет расстоянием от точки старта.

Вопрос: Покажите местонахождение бегуна (ситуация затруднения - в каком направлении откладывать остаток?)

Оhello_html_m539bfda.gifтвет: В направлении движения бегуна. Вопрос: Согласитесь, что такой способ слегка трудоемок. Существует ли ещё способ или даже готовая формула для вычисления длины пройденного пути?

2 вариант ответа: Представим, что бегун движется по окружности, или по части окружности – по дуге.

Тhello_html_me187624.pngогда из курса геометрии нам известна формула дуги l, соответствующей центральному углу hello_html_m6c12e9aa.gif: hello_html_34fbe3dd.gif.

Но тогда, кроме радиуса R, мы должны еще знать градусную меру центрального угла. И найденное расстояние будет выражено в радианах, например: hello_html_111abd86.gif

Вопрос: Придумайте другой способ определить местонахождение спортсмена.

hello_html_m4c04d455.gif

Возможен еще один вариант ответа:

Предложат поместить в центр окружности наблюдателя и наблюдать за его движением изнутри, поворачиваясь на 360 градусов.

hello_html_19154ab5.gif



hello_html_2db11e3d.gifhello_html_68b52cda.jpghello_html_m74b02bf9.pngРассмотрим похожую задачу.

Задача: Ученый- астроном наблюдает за движением звезд, его цель - составление карты звездного неба, причем звезды, как вы знаете, находятся в непрерывном движении. Он находится в роли наблюдателя, находящегося внутри сферы. Как он на практике определит и запишет смещение звезд?

Ответ: Будет измерять углы между выбранными направлениями.

Вопрос: А как удобнее представить результаты наблюдений?

Ответ: Начертит окружность или карту и будет наносить измеренные углы или записывать результаты в письменном виде, в табличном виде.

Вопрос: Удобно ли и быстро ли ориентироваться по таким записям? (риторический вопрос). Нужна система, и такая система есть.

Подведем итог интриги: Задачи практического характера в свое время привели к необходимости рассматривать модель движения по окружности, а не только по прямой (от пункта А до пункта В), как мы умеем.

Вопрос: Как можно сформулировать данную задачу на математическом языке?

Ожидаемый ответ: Нахождение координат точки, находящейся на окружности (или точки, двигающейся по окружности).

Вопрос: Сколькими числами определяется точка, находящаяся на окружности?

Приходим к выводу, что здесь есть два варианта:

  1. одной (назовем её угловой) координатой - длиной дуги, пройденной этой точкой от начала отсчета);

  2. двумя декартовыми координатами.

    Mt

Нhello_html_31550053.pngа данном рисунке показано отличие в обозначении координат точки Мt и М(x;y) . Координата t – это «угловая» координата, равная длине дуги hello_html_514deba8.gif, пройденной движущейся точкой от начальной точки, а пара чисел (x;y) – это декартовы координаты в привычной нам прямоугольной системе координат.



Пhello_html_m57d9a3ff.pngеред наукой в свое время стояла задача – научиться совмещать эти модели движения тела по окружности, то есть совместить эти два круга. При совмещении оказалось, что декартовы координаты можно вычислить, зная синус и косинус угла поворота точки, и наоборот, по декартовым координатам можно определить угол поворота точки.

Примечание: Задача существенно упростится, если длину радиуса принять за единицу.

hello_html_m7da542bd.gif

Астрономия, которая дает нам наиболее наглядное представление о данной задаче движения тела по окружности, определяет положение объектов в небесной сфере с помощью углов. Можно сказать так: в качестве переменной очень часто выступает угол. Поэтому мы обсудим вопрос об измерении углов.

Геометрический угол – это часть плоскости, ограниченная двумя лучами, выходящими из одной точки, вершины угла. Чтобы сравнивать углы, удобно закрепить их вершины в одной точке и вращать стороны. При этом углы могут превосходить углы треугольника, то есть быть больше 1800, больше полного круга (1800) и иметь разные направления обращения.

hello_html_15313550.pnghello_html_m4f52163e.gifhello_html_m50ce6926.png

Из геометрии известно, что синус (косинус) острого угла — это отношение катета прямоугольного треугольника к его гипотенузе, а тангенс (котангенс) угла — это отношение катетов прямоугольного треугольника. Сегодня мы знакомимся с иным подходом к понятиям синуса, косинуса, когда угол имеет произвольную величину и направление.

Ihello_html_5c7c344f.gifII этап – ориентировочный

Цель: введение определений (определения – конструктивные, способ введения – абстрактно-дедуктивный) синуса, косинуса произвольного угла и формирование умения определять их значения по определению.

Учебные действия, необходимые для усвоения определений понятий: ведущая деятельность - работа по алгоритму (специальные математические действия), вычисление значений, распознавание.

Деятельность учителя: озвучивает цель.

Цель сегодняшнего урока – научиться вычислять тригонометрические функции любого угла – синуса и косинуса - и применять эти умения при решении задач.

Для введения тригонометрических функций нам понадобится новая математическая модель — числовая окружность, но не простая, а особая окружность.

В математике условились использовать единичную окружность — окружность с радиусом 1. Это будет наша беговая дорожка» - числовая окружность.

Оhello_html_1fba3f28.pngпределение. Числовая окружность – единичная окружность с установленным соответствием (между действительными числами и точками окружности). Уравнение числовой окружности: x2 + y2 = 1.

Нетрудно составить уравнение числовой окружности. Для этого заметим, во-первых, что центром окружности служит начало координат, а уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом R имеет вид х2 + у2 = R2. Заметим, во-вторых, что R = 1; значит, уравнение числовой окружности имеет вид х22 = 1.

Начальная точка А числовой окружности совмещена с точкой (1; 0) на оси х.

Дhello_html_m4ecca44f.pngвижение по числовой окружности происходит против часовой стрелки.

Если движение по числовой окружности происходит по часовой стрелке, то значения получаются отрицательными.

Деятельность учителя: предъявляет для записи определения синуса и косинуса на экране и озвучивает задание для обучающихся – разобраться в конструкции определений, найти сходства и отличия.

Деятельность учащихся: изучают определения.

Оhello_html_m2c4d6831.pngпределения предъявляются в печатном виде, либо на экране.

Определение.

Если точка М числовой окружности соответствует числу t, то абсциссу точки М называют косинусом числа t и обозначают cos t, ординату точки М называют синусом числа t и обозначают sin t.

Если М(t)=М (x, y), то x = cos t, y = sin t.

Деятельность учащихся: решают и записывают определения.

Деятельность учителя: организует усвоение определений через систему вопросов, предъявляемых фронтально.

Деятельность учащихся: отвечают на вопросы:

  1. Какие компоненты используются в определениях? (числовая окружность; угол поворота; точка; абсцисса, ордината);

  2. Что общего в определениях и в чем различие? (общее – точка, угол, различие – абсцисса и ордината);

  3. Оhello_html_m57d9a3ff.pngбъясните, почему рассматриваемая окружность называется единичной. (её радиус равен 1);

  4. Объясните, почему окружность называется числовой? (потому что длина дуги – это число)

  5. При совмещении двух моделей мы получили два нуля – две начальные точки отсчета. Объясните, почему.

  6. Еще раз прочтите определение. Определение. Если точка М числовой окружности соответствует числу t, то абсциссу точки М называют косинусом числа t и обозначают cos t, а ординату точки М называют синусом числа t и обозначают sin t. Что обозначает координата t?

ОБУЧАЮЩАЯ САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА

Этап закрепления определений через использование карточек-опор

Цель этапа: освоение алгоритма решения новой для обучающихся задачи, задачи на непосредственное применение понятий – задачи определения значений синуса, косинуса любого угла на единичной окружности.

Учебные действия на данном этапе: умение осуществлять действия по алгоритму, регулятивные – контроль, самоконтроль, коммуникативные умения. Учащимся предъявляется задача с решением (материальная основа), смотрите приложение.

Деятельность учителя озвучивает задание: Разберитесь с образцом определения синуса и косинуса угла по печатному образцу.

Деятельность учащихся: ученики разбираются в содержании усваиваемого действия: в свойствах изучаемых понятий, в результате-образце, в составе и порядке исполнительных операций.

Приложение

Материальная основа (раздается каждому ребенку в печатном виде).

Алгоритм нахождения sin t и cos t

Задача: Найти hello_html_1a7477d6.gif, hello_html_m40e9df2f.gif

Решение:

а)hello_html_m4c9cfe7e.gif,

нhello_html_3b0574b8.pngаправление обхода – положительное, против часовой стрелки,

б) откладываем угол hello_html_m93ad5aa.gif от начальной точки А (1; 0);

в) отмечаем точку пересечения стороны угла с единичной окружностью – точку М;

г) теперь нам угол не нужен, нужна только точка М.

1. Убеждаемся, что окружность является единичной;

2. Определяем градусную меру угла и направление обхода;

3. Откладываем угол от начальной точки А(1; 0);

4. Отмечаем точку пересечения стороны угла с единичной окружностью – точку Мt;

5. Отвлекаемся от угла. Теперь нам нужна только точка М.

hello_html_3b0574b8.pnghello_html_m64bb7d02.gifhello_html_m78488628.gif

  1. Через отмеченную точку проводим перпендикуляры на ось Ох и ось Оу;

hello_html_m91b1ccf.gif

hello_html_m91b1ccf.gif


hello_html_3b0574b8.pnghello_html_m72e6e34f.gifhello_html_m5c913731.gifhello_html_m66094065.gifhello_html_6c1ad86e.gif

  1. Определить значение абсциссы и ординаты (x; y) точки t (то есть декартовы координаты точки М);

М (hello_html_m91b1ccf.gif; hello_html_m91b1ccf.gif)

hello_html_m5b9ae494.gif, hello_html_4548582a.gif

  1. Записать ответ: cos t= х, sin t = y.

Примечание: Из курса геометрии вам известны табличные значения синуса и косинуса для угла hello_html_m93ad5aa.gif, поэтому в данной задаче точный ответ таков: hello_html_32aff0cd.gif; hello_html_m3f47c875.gif.

Деятельность учителя озвучивает вопрос: На печатном образце показан пример для угла 1-й четверти. Что изменится при попадании точки в другие четверти?

Ответ: Знаки у чисел.

Деятельность учителя высвечивает информацию на экране:

Каждая точка числовой окружности имеет в системе ХОУ свои координаты, причем:

у точек первой четверти — х > 0, у > 0;

у точек второй четверти — х < 0, у > 0;

у точек третьей четверти — х < 0, у < 0;

у точек четвертой четверти — х > 0, у < 0.

Четверть

1-я

2-я

3-я

4-я

Sin t

+

+

-

-

Cos t

+

-

-

+

hello_html_49333914.png



Обратите внимание на новый тригонометр на экране. На нем очень хорошо показано, как уживаются вместе две системы – угловая и декартовая. Декартовые координаты записаны в виде пар чисел, в скобка, а угловые – внутри круга, причем для удобства приведены две формы записи угла – радианная и градусная.





Этап закрепления умений применения понятий

через использование карточек-опор

Деятельность учителя: предъявляет задачу для самостоятельного решения на экране для самостоятельного решения с использованием печатной карточки-опоры.

Цель: формирование ориентировочной основы действия (ООД) по освоению алгоритма решения новой для обучающихся задачи, задачи на непосредственное применение понятий – задачи определения значений синуса, косинуса любого угла на единичной окружности.

Задания

Вычислить hello_html_m2f33a9e5.gif и hello_html_m518f52e4.gif, если:


1. а) hello_html_12705eb1.gif; б) hello_html_m667dbb9c.gif; в) hello_html_m772a5625.gif; г) hello_html_m72ff28e4.gif.

Ответ: а) 0; 1; б) -1; 0; в) 0; 1; г) 1; 0.


2. а) hello_html_7093e194.gif; б) hello_html_55ac48b4.gif; в) hello_html_m150add0b.gif; г) hello_html_m1bc2e2c9.gif.

Ответ: а) 0; -1; б) -1; 0; в) -1; 0; г) 0; 1.


3. а) hello_html_m68ee30fa.gif; б) hello_html_29df3951.gif; в) hello_html_m4aa52d99.gif; г) hello_html_m6fe0398b.gif.

Ответ: а) hello_html_m2c0a46eb.gif; б) hello_html_m4bed1a71.gif; в) hello_html_m2a238a35.gif; г) hello_html_6e2ee069.gif.


4. а) hello_html_45f92509.gif; б) hello_html_8f51494.gif; в) hello_html_77d00b33.gif; г) hello_html_71f6da12.gif.

Ответ: а) hello_html_m3124b77d.gif; б) hello_html_m4e054d46.gif; в) hello_html_121818c0.gif; г) hello_html_m43a66008.gif.

Деятельность учащихся: ученики разбираются в содержании усваиваемого действия.

Деятельность учителя: контролирует и направляет работу учащихся в парах.

Деятельность учителя предъявляет правильный ответ (на экране):

Деятельность учащихся: выполняют самопроверку


IV этап - этап обучения применению понятий


Цель этапа: формирование умения применять знания через организацию деятельности, адекватной усваиваемому содержанию и установление внутренних математических связей посредством решения задач на применение понятий в измененных ситуациях:

  • введение дополнительного действия с углами;

  • оценка наибольших и наименьших значений синуса и косинуса;

  • арифметические действия с синусами и косинусами;

  • упрощение выражений, содержащих арифметические действия с синусами и косинусами на применение основного тригонометрического тождества и его следствий.

Учебные действия на данном этапе: умение осуществлять действия по алгоритму и в измененных условиях, регулятивные – планирование, контроль, самоконтроль, коммуникативные умения.

Деятельность учителя: контролирует и направляет работу учащихся в группах.

Деятельность учащихся: ученики разбираются в содержании усваиваемых действий.


ОБУЧАЮЩАЯ САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА



1. Найдите значение выражения:


а) hello_html_m1d1d2b64.gif; б) hello_html_4fc0544a.gif;

в) hello_html_m141e6e.gif; г) hello_html_md06b598.gif.

Ответ: а) 0; б) 0,5; в) 0; г) -0,5.


2. Найти наибольшее и наименьшее значения выражения:


а) hello_html_m30969e7d.gif; б) hello_html_m3ae1a042.gif;

в) hello_html_m378c790f.gif; г) hello_html_m6d08f9d3.gif.

Ответ: а) -3; 3; б) -2;2; в) -1; 3; г) 1; 7.

3. Определить знак числа:


а) hello_html_7658737.gif; б) hello_html_49569d53.gif; в) hello_html_m14afa451.gif; г) hello_html_2d5d9d11.gif.

Ответ: а) «+»; б) «-»; в) «-»; г) «-».

4. Упростите выражения:


а) hello_html_m5f5b530b.gif; б) hello_html_m3507384a.gif; в) hello_html_26f2358d.gif; г) hello_html_3d0e1841.gif; д) hello_html_m618e7a75.gif.

Ответ: а) hello_html_34336ff2.gif; б) hello_html_m754a215e.gif; в) 1; г) hello_html_40c5ef10.gif; д) -1.


Деятельность учителя предъявляет правильный ответ (на экране):

Деятельность учащихся: выполняют самопроверку

V этап - этап домашнего задания

Цель: развитие поисковых и коммуникативных умений, навыков самоорганизации и совершенствование умения применять знания:

Деятельность учителя озвучивает задание

Задания по группам:

  1. Номера из учебника по изученному материалу;

  2. Установить, почему абсцисса точки в декартовой системе координат точно равна косинусу угла, образованного радиус-вектором с положительным направлением оси абсцисс, а ордината – синусу этого угла;

  3. Заполнить таблицу слева и, пользуясь ключом справа, расшифровать пословицу. Углы, данные в градусах, необходимо перевести в радианы и наоборот. Учащимся предлагается объяснить смысл пословицы.

1000


800


3000


-2000


-8300

hello_html_m52955e3f.gif

hello_html_m4ae1d1cb.gif

hello_html_m762add41.gif

hello_html_m4ecdeec2.gif

hello_html_4f2730b0.gif






















hello_html_2444f2d7.gif

Мечом

3300

Добыть

-1200

Не

-720

Знанием

hello_html_68e73d57.gif

Мечей

hello_html_m6e0c843c.gif


Сможешь

1350



Ответ: Знанием добудешь тысячи мечей, но мечом знания добыть не сможешь.

Деятельность учащихся: записывают, самоорганизуются в группы.





V этап - этап установления математических связей

(планировать на следующее занятие)

Цель занятия: расширение объема понятий, установление внутриматематических связей посредством решения задач, адекватных содержанию понятия, а именно:

  1. установление дополнительных математических связей между синусом и косинусом, тангенсом и котангенсом через решение задачи: по известному значению одного из четырех тригонометрических функций острого угла вычисления оставшихся трех значений (основное тригонометрическое тождество, вычисление тангенса как отношение синуса к косинусу);

  2. решение более трудной – обратной задачи: определение угла (углов) по известным значениям синуса и косинуса (множественность, серийность решений);

  3. в процессе обучения решению задач - организация деятельности по формированию ориентировочной основы действия (ООД), алгоритмизация;

КОНТРОЛИРУЮЩАЯ САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА (на второе занятие)

Цель этапа: контроль усвоения алгоритма решения задачи на непосредственное применение понятий – задачи вычисления значений синуса, косинуса любого угла по числовой окружности.

Учебные действия на данном этапе: умение осуществлять действия по алгоритму, регулятивные – контроль, самоконтроль, коммуникативные - взаимообучение.

Деятельность учителя: предъявляет задачи для самостоятельного решения (на экране).

Самостоятельная работа для групп по 4 человека на 4 варианта

Вариант №1

1.Найдите значение выражения:

2 sinhello_html_4fd45fec.gif- 2 coshello_html_m77a91d46.gif+ 3 tq hello_html_5770a82a.gif - ctqhello_html_3260af94.gif.

2.Известно, hello_html_2e446f55.gif. Найдите:

sinhello_html_7a00ba7d.gif, если coshello_html_7a00ba7d.gif= - 0,6.



3.Найдите значения тригонометрических функций угла hello_html_7a00ba7d.gif, если известно, что:

ctqhello_html_7a00ba7d.gif= - 2,5 и hello_html_7a00ba7d.gif- угол IV четверти.

4.Вычислить

hello_html_231360e7.gif.

Вариант №2

1.Найдите значение выражения:

sin (-hello_html_5770a82a.gif) + 3 coshello_html_23e75121.gif - tq hello_html_5bad2db2.gif + ctq hello_html_23e75121.gif

2.Известно, hello_html_2e446f55.gif. Найдите:

coshello_html_7a00ba7d.gif, если sinhello_html_7a00ba7d.gif = hello_html_m5b5da255.gif


3.Найдите значения тригонометрических функций угла hello_html_7a00ba7d.gif, если известно, что:

ctqhello_html_7a00ba7d.gif= - 2,5 и hello_html_7a00ba7d.gif- угол IV четверти

4.Вычислить

hello_html_m6fc90061.gif.

Варианта №3

1.Найдите значение выражения:

2 sinhello_html_5770a82a.gif - 3 tqhello_html_5bad2db2.gif + ctq (- hello_html_m77a91d46.gif) – tq hello_html_4fd45fec.gif

2.Известно, hello_html_2e446f55.gif. Найдите:

tqhello_html_7a00ba7d.gif, если coshello_html_7a00ba7d.gif= - hello_html_m1728cd48.gif.

3.Найдите значения тригонометрических функций угла hello_html_7a00ba7d.gif, если известно, что:

ctqhello_html_7a00ba7d.gif= - 2,5 и hello_html_7a00ba7d.gif- угол IV четверти

4.Вычислить

hello_html_2b2ed72.gifsin αsin (hello_html_m448caaf6.gif + α ).

Вариант №4

1.Найдите значение выражения:

3 tq (-hello_html_5770a82a.gif) + 2 sinhello_html_5770a82a.gif - 3 tq 0 – 2 ctq hello_html_5770a82a.gif

2.Известно, hello_html_2e446f55.gif. Найдите:

sinhello_html_7a00ba7d.gif , если ctqhello_html_7a00ba7d.gif= -2

3.Найдите значения тригонометрических функций угла hello_html_7a00ba7d.gif, если известно, что:

ctqhello_html_7a00ba7d.gif= - 2,5 и hello_html_7a00ba7d.gif- угол IV четверти

4.Вычислить

hello_html_974715b.gif .

Деятельность учителя – предъявляет правильный ответ:

ОТВЕТЫ


САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА (на третье занятие)

Решение простейших уравнений вида hello_html_12e92a40.gif





57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)


Автор
Дата добавления 15.09.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров83
Номер материала ДБ-195902
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх