Методическая разработка " Решение экономических задач различной сложности"

Муниципальное  бюджетное общеобразовательное учреждение

г.Иркутска cредняя общеобразовательная школа №2 имени

М.С.Вишнякова

Методическое пособие

 «Сборник экономических задач различной сложности»

(Приложение к рабочей программе курса «Решение экономических  задач повышенной сложности»)

                                                                                                  Автор:    Першина    Анна    Магафуровна,

учитель математики и информатики ВКК

г.Иркутск,2022

Оглавление

		стр
1	Решения некоторых задач	3
2	Задачи на проценты с кратким ответом	12
3	Задачи на смеси, сплавы, концентрацию, процентное содержание	13
4	Задачи на кредиты	17
5	Задачи  на вклады	21
6	Задачи на оптимальный выбор	23

1. Решения некоторых задач

В данном пункте продемонстрированы решения некоторых задач, содержащихся в сборнике.

1.1. В июле 2016 года планируется взять кредит в размере 4,2 млн. руб. Условия возврата таковы: 

— каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года. 

— с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга.

— в июле 2017, 2018 и 2019 годов долг остается равным 4,2 млн. руб. 

— суммы выплат 2020 и 2021 годов равны.

Найдите r, если в 2021 году долг будет выплачен полностью и общие выплаты составят 6,1  млн. рублей. (Ответ: 10) Решение:

 Так как июле 2017, 2018, 2019 годов долг остается равным 4,2 млн.руб., то в эти годы выплачивались только проценты по основному долгу.

Пусть х млн.руб.- сумма выплаты в 2020 году. Согласно условию,  такая же сумма была выплачена в 2021 году.

Составим таблицу:

№	Долг	Долг с %	Выплата	Остаток долга
1	4,2			4,2
2	4,2			4,2
3	4,2			4,2
4	4,2		x
5			x	0

Так как в последний год остаток долга равен нулю, следовательно, размер выплаты равен долгу с процентом. Отсюда получаем уравнение:

Согласно условию, общая сумма выплат составляет 6,1 млн.руб. Отсюда получаем уравнение:

Подставим (2) в (1):

Пусть  

Получим положительный корень:

а=0,1 => r=10% Ответ: 10

1.2. 31 декабря 2022 года Петр взял в банке 6409 тысяч рублей в кредит под 12.5 % годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга, затем Петр переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Петр выплатил долг двумя равными платежами (то есть за 2 года)? (Ответ: 3 817 215 рублей) Решение:

Составим уравнение:

1.125=

Ответ: 3 817 215 рублей

1.3. Антон взял кредит в банке на срок 6 месяцев. В конце каждого месяца общая сумма оставшегося долга увеличивается на одно и то же число процентов (месячную процентную ставку), а затем уменьшается на сумму, уплаченную Антоном. Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину. Общая сумма выплат превысила сумму кредита на 63%. Найдите месячную процентную ставку. (Ответ: 18) Решение:

Так как каждый год сумма долга должна уменьшаться равномерно, то выплаты будут дифференцированные (различные). Значит выплата будет состоять из двух частей: платежа по процентам от основного долга и фиксированной части платежа, которая уменьшает сумму основного долга. Говоря простыми словами, после начисления процентов, Антон выплачивает начисленные проценты и одну шестую часть основного долга. Основной долг делим на 6 частей. Поэтому фиксированная часть платежа будет равна .

№	Долг	Долг с %	Выплата	Остаток долга
1	S
2
3
4
5
6				0

Общая сумма выплат превысила сумму кредита на 63%, следовательно, составила 1,63S.

Каждая выплата состоит из двух слагаемых, одно из которых одинаково во всех выплатах. Исходя из этого составим уравнение:

5

В скобках можем заметить арифметическую прогрессию, тогда получим:

Ответ: 18

1.4. 15-го января планируется взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1 млн рублей. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где r — целое число;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей.

Дата		15.01	15.02	15.03	15.04	15.05	15.06	15.07
Долг(в рублей)	млн	1	0,6	0,4	0,3	0,2	0,1	0

Найдите наибольшее значение r, при котором общая сумма выплат будет меньше 1,2 млн рублей. (Ответ: 7) Решение:

Составим таблицу в общем виде:

№	Долг		Долг с %	Выплата	Остаток долга
1		S	S	S +0.4S	0.6S
2		0.6S	0.6S	0.6S    +0.2S	0.4S
3		0.4S	0.4S	0.4S    +0.1S	0.3S
4		0.3S	0.3S	0.3S    +0.1S	0.2S
5		0.2S	0.2S	0.2S    +0.1S	0.1S
6	0.1S		0.1S	0.1S    +0.1S	0

 Общая сумма выплат:

  

Общая сумма выплат меньше 1,2 млн.руб =>

 

 

Ответ: 7

1.5. 15-го декабря планируется взять кредит в банке на 1200 тысяч рублей на (n + 1) месяц. Условия его возврата таковы:

—1-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца;

—cо 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

—15-го числа каждого месяца с 1-го по n-й долг должен быть на 80 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

—15-го числа n-го месяца долг составит 400 тысяч рублей;

—к 15-му числу (n + 1)-го месяца кредит должен быть полностью погашен. Найдите r, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1288 тысяч рублей. (Ответ:1)

Решение:

 Так как 15-го числа каждого месяца с 1-го по n-й долг должен быть на 80 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца, то выплата будет состоять из выплаты по начисленным процентам и 80 тыс. Следовательно найдем n. 𝑛 = ^1200−400 = 10

80

№	Долг	Долг с %	Выплата	Остаток долга
1	1200			1120
2	1120			1040
3	1040			960
…
n	480			400
n+1	400			0

Общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1288 тысяч рублей. Составим уравнение. 

Ответ: 1

1.6. Вклад в размере 6 млн рублей планируется открыть на четыре года. В конце каждого года вклад увеличивается на 10% по сравнению с его размером в начале года, а кроме этого, в начале третьего и четвёртого годов вклад ежегодно пополняется на одну и ту же фиксированную сумму, равную целому числу миллионов рублей. Найдите наименьший возможный размер такой суммы, при котором через четыре года вклад станет не меньше 15 млн рублей. Ответ дайте в млн рублей. (Ответ: 3)

Решение:

Примем за х млн руб. фиксированную сумму, на которую вклад ежегодно пополняется.

№	Сумма вклада	Сумма вклада после начисления процентов
1
2
3
4

Составим неравенство 

Ответ: 3

1.7. Чистополе среднемесячный доход на душу населения в 2015 году составлял 27 500 рублей и ежегодно увеличивался на 28%. В Казани среднемесячный доход на душу населения в 2015 году составлял 39 600 рублей. В течение двух лет суммарный доход жителей Казани увеличивался на 12% ежегодно, а население увеличивалось на x% ежегодно. В 2017 году среднемесячный доход на душу населения в

Чистополе и Казани стал одинаковым. Найдите x. (Ответ: 5)

Решение:

Чистополе		2015	2016	2017
среднемесячный доход душу населения	на	27500	27500*1,28	27500*1,282
Казань		2015	2016	2017
суммарный доход		39600n	39600n*1,12	39600n*1,122
численность населения		n		n
среднемесячный доход душу населения	на	39600	39600n ∗ 1,12 𝑥 n ∗ (1 +              ) 100	39600n ∗ 1,122 𝑥                                2 n ∗ (1 +                )

100

39600n ∗ 1,12² = 27500 ∗ 1,28₂

                                                                              n ∗ (1 +     𝑥 )₂

100

                                                                                                    𝑥             39600 ∗ 1,12²

(1 + 100)2 = 27500 ∗ 1,28₂

(1 + 100𝑥 )2 ₌ 3625 ∗∗ 11,,1228²₂

                                                                                                          𝑥              6 ∗ 112

                                                                                         (1 + )     =  

                                                                                                      100           5 ∗ 128

𝑥

(1 + ) = 1,05

100 x = 5%

Ответ: 5

1.8. Производство некоторого товара облагалось налогом в размере t₀ руб. за ед. товара. Государство увеличило налог в 2.5 раза (t₁= 2.5t₀), но сумма налоговых поступлений не изменилась. На сколько процентов государству следует изменить налог, чтобы добиться максимальных налоговых сборов. Если известно, что при налоге равном t руб. за ед. товара, объем производства товара составляет 9000 – 2t ед., если это число положительно, и 0 единиц? (Ответ: уменьшилось на 30%) Решение:

Цель государства – собрать максимальное количество налогов. Исходя из этого, составим целевую функцию:

𝑓(𝑡) = 𝑡(9000 − 2𝑡) → 𝑚𝑎𝑥, 𝑡 > 0

Изобразим график целевой функции:

 

Начальное количество собранных налогов:

 

Количество налоговых сборов после увеличения налоговой ставки:

Так как после увеличения налоговой ставки в 2.5 раза, сумма налоговых поступлений не изменилась, то  расположены симметрично на графике функции налоговых поступлений. Следовательно,

 

Составим соотношение:

                                                                                                  100%

 

                                                                                           х%

 

Следовательно, уменьшить налог нужно на 30%.  Ответ: 30

1.9.  (Аналог ЕГЭ 2019). Строительство нового завода стоит 220 млн. рублей. Затраты на производство х тыс. единиц продукции на таком заводе равны  млн. рублей в год. Если продукцию завода продать по цене p тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн. рублей) за один год составит 𝑝 ∙ 𝑥 − (0,5𝑥² + 𝑥 + 7). Когда завод будет построен, фирма каждый год будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. В первый год после постройки цена на продукцию p = 9 тыс. рублей за единицу. Каждый следующий год цена увеличивается на 1 тыс. рублей за единицу. За сколько лет окупится строительство завода? 

Решение:

Цель завода состоит в том, чтобы производить такое количество продукции, которое бы обеспечивало максимальную прибыль. Поэтому составим целевую функцию:

𝑓(𝑥) = 𝑝 ∙ 𝑥 − (0,5𝑥² + 𝑥 + 7) → 𝑚𝑎𝑥, 𝑥 > 0

𝑓(𝑥) = −0,5𝑥² + (𝑝 − 1) ∙ 𝑥 + 7 → 𝑚𝑎𝑥, 𝑥 > 0

𝑓′(𝑥) = −𝑥 + (𝑝 − 1)

𝑓^′(𝑥) = 0  ⇒ −𝑥 + (𝑝 − 1) = 0 ⇒ 𝑥_𝑚𝑎𝑥 = 𝑝 − 1

𝑓(𝑥_𝑚𝑎𝑥) = 𝑓(𝑝 − 1) = −0,5(𝑝 − 1)² + (𝑝 − 1) ∙ (𝑝 − 1) + 7

𝒇_𝒎𝒂𝒙 = 𝟎, 𝟓(𝒑 − 𝟏)^𝟐 + 𝟕

Суммарная прибыль за 5 лет составила 290 млн. рублей. Это  позволяет сделать вывод, что за 5 лет строительство завода окупится.

Ответ: 5  

1.10. (Аналог ЕГЭ 2022). В  июле 2022 планируется  взять  кредит  в  банке  на некоторую сумму. Условия его возврата таковы: 

— каждый январь долг возрастает на 30% по сравнению с концом предыдущего года; 

—с февраля по июнь необходимо выплатить одним платежом часть долга. 

Найдите сумму кредита, если известно, что кредит будет полностью выплачен за 3 года, причём в первый и второй год будет выплачено по 300 тыс. рублей, а в третий 421,2 тыс. руб. (Ответ: 600 тыс.руб)

Решение:

2. Задачи на проценты с кратким ответом

2.1. После того, как Иван отдал 30 % своей зарплаты, то у него осталось 14 тысяч рублей. Сколько рублей было у Ивана первоначально?

2.2. За несколько книг заплатили 520 р. Стоимость одной книги составила 30 %, а другой 45% израсходованных денег. На сколько рублей первая книга дешевле второй?

2.3. Две бригады должны были по плану изготовить за неделю 680 деталей.  Первая бригада перевыполнила недельное задание на 20%, а вторая на 15%, поэтому обеими бригадами сверх плана было изготовлено 118 деталей. Сколько деталей по плану должна была изготовить каждая бригада за месяц?

2.4. Под озимыми культурами было занято на 480 га больше, чем под яровыми. После того, как убрали 80% озимых и 25% яровых культур, площадь, оставшаяся под озимыми, оказалась на 300 га меньше, чем площадь под яровыми. Какая площадь была отведена под яровые и какая под озимые культуры?

2.5. В магазине находилось два мешка с рисом одинаковой массы и один мешок с пшеном. Масса всех трех мешков составляла 160 кг. После того, как продали из каждого мешка 20% риса и 25 % пшена, масса крупы в мешках составила 125 кг. Сколько килограммов риса и пшена было в мешках первоначально?

2.6. В 2020 году в городском квартале проживало 40000 человек. В 2021 году, в результате строительства новых домов, число жителей выросло на 8%, а в 2022 году — на 9% по сравнению с 2021 годом. Сколько человек стало проживать в квартале в 2022 году? (Ответ: 47088)

2.7. В понедельник акции компании подорожали на некоторое количество процентов, а во вторник подешевели на то же самое количество процентов. В результате они стали стоить на 4% дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник? (Ответ: 20)

2.8. Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за 2 000 рублей, через два года был продан за 15 842 рублей. (Ответ: 11)

2.9. Четыре рубашки дешевле куртки на 8%. На сколько процентов пять рубашек дороже куртки? (Ответ: 15)

2.10. Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%. Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены? (Ответ: 27)

3. Задачи на смеси, сплавы, концентрацию, процентное содержание

3.1. Имеется два сплава меди и свинца. Один сплав содержит 15% меди, а другой 65% меди. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получилось 200г сплава, содержащего 30% меди? (Ответ: 140, 60)

3.2. Имеется два сплава золота и серебра. В одном количество этих металлов находится в отношении 1:9, а в другом 2:3. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получить 15 кг нового сплава, в котором золота и серебро относилось бы как 1:4? (Ответ: 10 и  5) (Если в условии задачи описаны несколько вариантов смесей, то составляется система, содержащая два уравнения.)

3.3. Имеется три сосуда. В первый сосуд налили 4 кг 70 % сахарного сиропа, а во второй – 6 кг 40 % сахарного сиропа. Если содержимое первого сосуда смешать с содержимым третьего сосуда, то получим в смеси 55 % содержание сахара, а если содержимое второго сосуда смешать с третьим, то получим 35 % содержание сахара. Найдите массу сахарного в третьем сосуде сиропа и концентрацию сахара в нем. (Ответ: 1,5 кг сахарного сиропа 15 % концентрации)

3.4. Сколько граммов воды нужно добавить к 180 г сиропа, содержащего 25% сахара, чтобы получить сироп, концентрация которого равна 20%? (45 г)

3.5. Имеется два сплава с разным содержанием золота. В первом сплаве содержится 35%, а во втором 60% золота. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий 40% золота? (Ответ: 4:1)

3.6. Для размножения водорослей вода в аквариуме должна содержать 2% морской соли. Сколько литров пресной воды нужно добавить к 80 л морской воды с 55%-ым содержанием соли, чтобы получить воду, пригодную для заполнения аквариума? (Ответ: 2120 л)

3.7. Смешав 60%−ый и 30%−ый растворы кислоты и добавив 5 кг чистой воды, получили 20%−ый раствор кислоты. Если бы вместо 5 кг воды добавили 5 кг 90%−го раствора той же кислоты, то получили бы 70%−ый раствор кислоты. Сколько килограммов 60%−го раствора использовали для получения смеси? (Ответ: 2)

3.8. Имеется два сплава с разным содержанием меди: в первом содержится 60%, а во втором — 45% меди. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий 55% меди? (Ответ: 2:1)

3.9. При смешивании первого раствора кислоты, концентрация которого 20%, и второго раствора этой же кислоты, концентрация которого 50%, получили раствор, содержащий 30% кислоты. В каком отношении были взяты первый и второй растворы? (Ответ: 2:1)

3.10. На пост главы администрации города претендовало три кандидата: Журавлёв, Зайцев, Иванов. Во время выборов за Иванова было отдано в 2 раза больше голосов, чем за Журавлёва, а за Зайцева — в 3 раза больше,

чем за Журавлёва и Иванова вместе. Сколько процентов голосов было отдано за победителя? (Ответ: 75%)

3.11. Первый сплав содержит 5% меди, второй — 13% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 4 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 10% меди. Найдите массу третьего сплава. (Ответ: 16)

3.12. Свежие фрукты содержат 80% воды, а высушенные — 28%. Сколько сухих фруктов получится из 288 кг свежих фруктов?  (Ответ: 80)

3.13. Смешали некоторое количество 10-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 12-процентного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора? (Ответ: 11%)

3.14. Свежие фрукты содержат 86 % воды, а высушенные — 23 %. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 72 кг высушенных фруктов?  (Ответ: 396 кг)

3.15. Имеются два сосуда, содержащие 10 кг и 16 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 55% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 61% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом растворе? (Ответ: 8,7)

3.16. Имеются два сосуда, содержащие 4 кг и 16 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 57% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 60% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом растворе?  (Ответ: 2,6)

3.17. Имеются два сосуда, содержащие 40 кг и 30 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получим раствор, содержащий 73% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 72% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится во втором растворе?  (Ответ: 19,5)

3.18. Имеются два сосуда, содержащие 40 кг и 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 33% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 47% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом растворе? (Ответ: 2)

3.19. Имеются два сосуда, содержащие 12 кг и 8 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получим раствор, содержащий 65% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 60% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится во втором растворе? (Ответ: 2,8)

3.20. Имеются два сосуда, содержащие 24 кг и 26 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 39% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 40% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом растворе? (Ответ: 15,6)

3.21. Имеются два сосуда, содержащие 30 кг и 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получим раствор, содержащий 81% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 83% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится во втором растворе? (Ответ: 18,6)

3.22. Имеются два сосуда, содержащие 22 кг и 18 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 32% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 30% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом растворе? (Ответ: 11)

3.23. Имеются два сосуда, содержащие 30 кг и 42 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получим раствор, содержащий 40% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 37% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится во втором растворе? (Ответ: 23,1)

3.24. Имеются два сосуда, содержащие 48 кг и 42 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получим раствор, содержащий 42% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 40% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится во втором растворе? (Ответ: 4,2)

3.25. Свежие фрукты содержат 88 % воды, а высушенные — 30 %. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 6 кг высушенных фруктов? (Ответ: 35)

3.26. Смешали некоторое количество 21-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 95-процентного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора? (Ответ: 58)

3.27. Свежие фрукты содержат 93% воды, а высушенные — 16%. Сколько сухих фруктов получится из 252 кг свежих фруктов? (Ответ: 21)

3.28.  Имеется два сплава меди и свинца. Один сплав содержит 15% меди, а другой 65% меди. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получилось 200г сплава, содержащего 30% меди? (Ответ: 140 и 60)

3.29. В сосуд, содержащий 2 кг 80 % -го водного раствора уксуса добавили 3 кг воды. Найдите концентрацию получившегося раствора уксусной кислоты. (Ответ: 32%)

3.30. Смешали некоторое количество 12% раствора соляной кислоты с таким же количеством 20 % раствора этой же кислоты. Найти концентрацию получившейся соляной кислоты.  (Ответ: 16)

3.31. Имеется два сплава с разным содержанием меди: в первом содержится 60%, а во втором — 45% меди. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий 55% меди? (Ответ: 1:2)

3.32. Смешав 60% и 30% растворы кислоты и, добавив 5 кг чистой воды, получили 20% раствор кислоты. Если бы вместо 5 кг воды добавили 5 кг 90% раствора той же кислоты, то получили бы 70% раствор кислоты. Сколько килограммов 60% раствора использовали для получения смеси? (Ответ: 2)

4. Задачи на кредиты

4.1.   31 декабря 2022 года Петр взял в банке 6409 тысяч рублей в кредит под 12.5 % годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга, затем Петр переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Петр выплатил долг двумя равными платежами (то есть за 2 года)? (Ответ: 3 817 215 рублей)

4.2.   31 декабря 2022 года Петр взял в банке 4382 тысяч рублей в кредит под 16 % годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга, затем Петр переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Петр выплатил долг тремя равными платежами (то есть за 3 года)? (ответ: 1 951 120 рублей)

4.3. Антон взял кредит в банке на срок 6 месяцев. В конце каждого месяца общая сумма оставшегося долга увеличивается на одно и то же число процентов (месячную процентную ставку), а затем уменьшается на сумму, уплаченную Антоном. Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину. Общая сумма выплат превысила сумму кредита на 63%. Найдите месячную процентную

ставку. (ответ: 18)

4.4. Кирилл решил взять кредит в банке 331000 рублей на 3 месяца под 10% в месяц. Существуют две схемы выплаты кредита. По первой схеме банк в конце каждого месяца начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Кирилл переводит в банк фиксированную сумму и в результате выплачивает весь долг тремя равными платежами (аннуитетные платежи). По второй схеме тоже сумма долга в конце каждого месяца увеличивается на 10%, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Кириллом. Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину (дифференцированные платежи). Какую схему выгоднее выбрать Кириллу? Сколько рублей будет составлять эта выгода? (Ответ: выгодна вторая схема. 2100 рублей.)

4.5. В июле 2016 года планируется взять кредит в размере 4,2 млн. руб. Условия возврата таковы: 

— каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года. 

— с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга.

— в июле 2017, 2018 и 2019 годов долг остается равным 4,2 млн. руб. 

— суммы выплат 2020 и 2021 годов равны.

Найдите r, если в 2021 году долг будет выплачен полностью и общие выплаты составят 6,1  млн. рублей. (Ответ: 10)

4.6. 15-го января планируется взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1 млн рублей. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где r — целое число;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей.

Дата		15.01	15.02	15.03	15.04	15.05	15.06	15.07
Долг(в рублей)	млн	1	0,6	0,4	0,3	0,2	0,1	0

Найдите наибольшее значение r, при котором общая сумма выплат будет меньше 1,2 млн рублей. (Ответ: 7)

4.7. Дмитрий мечтает о собственной квартире, которая стоит 3 млн руб. Дмитрий может купить её в кредит, при этом банк готов выдать эту сумму сразу, а погашать кредит Дмитрию придётся 20 лет равными ежемесячными платежами, при этом ему придётся выплатить сумму, на 180% превышающую исходную. Вместо этого Дмитрий может какое-то время снимать квартиру (стоимость аренды—15 тыс. руб. в месяц), откладывая каждый месяц на покупку квартиры сумму, которая останется от его возможного платежа банку (по первой схеме) после уплаты арендной платы за съёмную квартиру. За сколько лет в этом случае Дмитрий сможет накопить на квартиру, если считать, что её стоимость не изменится? (Ответ: 12,5)

4.8. Сергей мечтает о собственной квартире, которая стоит 2 млн руб. Сергей может купить её в кредит, при этом банк готов выдать эту сумму сразу, а погашать кредит Сергею придётся 20 лет равными ежемесячными платежами, при этом ему придётся выплатить сумму, на 260% превышающую исходную. Вместо этого Сергей может какое-то время снимать квартиру (стоимость аренды—14 тыс. руб. в месяц), откладывая каждый месяц на покупку квартиры сумму, которая останется от его возможного платежа банку (по первой схеме) после уплаты арендной платы за съёмную квартиру. За сколько месяцев в этом случае Сергей сможет накопить на квартиру, если считать, что её стоимость не изменится? (Ответ: 125)

4.9.    31 декабря 2014 года Дмитрий взял в банке 4 290 000 рублей в кредит под 14,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая—31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (т.е. увеличивает долг на 14,5%), затем Дмитрий переводит в банк x рублей. Какой должна быть сумма x, чтобы Дмитрий выплатил долг двумя равными платежами (т.е. за два года)? (Ответ: 2 622 050)

4.10. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 100 000 рублей.

Условия его возврата таковы:

•      каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;

•      с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.

Известно, что кредит был полностью погашен за два года, причём в первый год было переведено 68 000 рублей, а во второй год—59 000 рублей. Найдите число r. (Ответ: 18)

4.11.      Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на пять лет. В середине каждого года действия кредита долг заёмщика возрастает на 10% по сравнению с началом года. В конце 1-го, 2-го и 3-го годов заёмщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 4-го и 5-го годов заёмщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наибольший размер кредита (в млн рублей), при котором общая сумма выплат заёмщика будет меньше 8 млн. (Ответ: 5)

4.12.      В июле 2017 года планируется взять кредит в банке на пять лет в размере S тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

•      каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

•      с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

•      в июле 2018, 2019 и 2020 гг. долг остаётся равным S тыс. рублей;        выплаты в 2021 и 2022 годах равны по 360 тыс. рублей;       к июлю 2022 года долг будет выплачен полностью.

Найдите общую сумму выплат за пять лет. Ответ дайте в тыс. рублей. (Ответ: 1050)

4.13.      15-го января планируется взять кредит в банке на сумму 2,4 млн рублей на 24 месяца. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Какую сумму нужно выплатить банку в первые 12 месяцев? (Ответ: 1 866 000)

4.14.      15-го декабря планируется взять кредит в банке на 1200 тысяч рублей на (n + 1) месяц. Условия его возврата таковы:

—1-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца;

—cо 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть

долга;

—15-го числа каждого месяца с 1-го по n-й долг должен быть на 80 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

—15-го числа n-го месяца долг составит 400 тысяч рублей;

—к 15-му числу (n + 1)-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Найдите r, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1288 тысяч рублей. (Ответ:1)

4.15.      15-го декабря планируется взять кредит в банке на сумму 500 тысяч рублей на 31 месяц. Условия возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 30-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

— 15-го числа 30-го месяца долг составит 200 тысяч рублей;

— к 15-му числу 31-го месяца кредит должен быть полностью погашен. Найдите общую сумму выплат после полного погашения кредита. (Ответ: 608 500)

4.16.      В июле 2026 года планируется взять кредит на 5 лет в размере 630 тыс.

рублей. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним

платежом часть долга;

— в июле 2027, 2028 и 2029 годов долг остаётся равным 630 тыс. рублей;

— выплаты в 2030 и 2031 годах равны;

— к июлю 2031 года долг будет выплачен полностью.

Найдите r, если известно, что долг будет выплачен полностью и общий размер выплат составит 915 тыс. рублей. (Ответ: 10)

5. Задачи  на вклады

5.1. В начале года Алексей приобрёл ценные бумаги на сумму 9 тыс. рублей. В середине каждого года стоимость ценных бумаг возрастает на 2 тыс. рублей. В любой момент Алексей может продать ценные бумаги и положить вырученные деньги на банковский счёт. В середине каждого года сумма на счёте будет увеличиваться на 9%. В начале какого года после покупки Алексей должен продать ценные бумаги, чтобы через двадцать лет после покупки ценных бумаг сумма на банковском счёте была наибольшей? (Ответ: 8)

5.2. В начале года Виктор приобрёл ценные бумаги на сумму 7 тыс. рублей. В середине каждого года стоимость ценных бумаг возрастает на 1,5 тыс. рублей. В любой момент Виктор может продать ценные бумаги и положить вырученные деньги на банковский счёт. В середине каждого года сумма на счёте будет увеличиваться на 12%. В начале какого года после покупки Виктор должен продать ценные бумаги, чтобы через пятнадцать лет после покупки ценных бумаг сумма на банковском счёте была наибольшей? (Ответ: 5)

5.3. Какой вклад выгоднее: первый—на 1 год под 16% годовых или второй—на 4 месяца (с автоматической пролонгацией каждые четыре месяца в течение года с момента открытия вклада) под 15% годовых? При расчётах считайте, что один месяц равен 1/12 части года. (Ответ: Первый)

5.4. Вклад в размере 6 млн рублей планируется открыть на четыре года. В конце каждого года вклад увеличивается на 10% по сравнению с его размером в начале года, а кроме этого, в начале третьего и четвёртого годов вклад ежегодно пополняется на одну и ту же фиксированную сумму, равную целому числу миллионов рублей. Найдите наименьший возможный размер такой суммы, при котором через четыре года вклад станет не меньше 15 млн рублей. Ответ дайте в млн рублей. (Ответ: 3)

5.5. По бизнес-плану предполагается вложить в четырёхлетний проект 10 млн рублей. По итогам каждого года планируется прирост вложенных средств на 15% по сравнению с началом года. Начисленные проценты остаются вложенными в проект. Кроме этого, сразу после начислений процентов нужны дополнительные вложения: целое число n млн рублей в первый и второй годы, а также целое число m млн рублей в третий и четвёртый годы. Найдите наименьшие значения n и m, при которых первоначальные вложения за два года как минимум удвоятся, а за четыре года как минимум утроятся. (Ответ: 4 и 1)

5.6.  В регионе A среднемесячный доход на душу населения в 2014 году составлял 43 740 рублей и ежегодно увеличивался на 25%. В регионе B среднемесячный доход на душу населения в 2014 году составлял 60 000 рублей. В течение трёх лет суммарный доход жителей региона B увеличивался на 17% ежегодно, а население увеличивалось на m% ежегодно. В 2017 году среднемесячный доход на душу населения в регионах A и B стал одинаковым. Найдите m. (Ответ: 4)

5.7.  Чистополе среднемесячный доход на душу населения в 2015 году составлял 27 500 рублей и ежегодно увеличивался на 28%. В Казани среднемесячный доход на душу населения в 2015 году составлял 39 600 рублей. В течение двух лет суммарный доход жителей Казани увеличивался на 12% ежегодно, а население увеличивалось на x% ежегодно. В 2017 году среднемесячный доход на душу населения в Чистополе и Казани стал одинаковым. Найдите x. (Ответ: 5)

5.8. Вклад в размере 10 млн рублей планируется открыть на четыре года. В конце каждого года банк увеличивает вклад на 10% по сравнению с его размером в начале года. Кроме этого, в начале третьего и четвёртого годов вкладчик ежегодно пополняет вклад на x млн рублей, где x — целое число. Найдите наименьшее значение x, при котором банк за четыре года начислит на вклад больше 7 млн рублей. (Ответ: 8)

6. Задачи на оптимальный выбор

6.1. Пусть у нас есть завод, на котором расходы на производство y автомобилей составляет Q=0,5y²+y+7 миллионов рублей в месяц. Если продавать каждый автомобиль за S тысяч рублей, то при продаже всех произведенных за месяц автомобилей завод получит доход S∗y, а заработает на этом прибыль (доходы минус расходы) - S∗y−Q. Какую наименьшую цену продажи S нужно установить, чтобы за 3 месяца завод получил прибыль 75 миллионов рублей? (Ответ:9)

6.2. (Аналог ЕГЭ 2019). Строительство нового завода стоит 220 млн. рублей. Затраты на производство х тыс. единиц продукции на таком заводе равны 0,5𝑥² + 𝑥 + 7 млн. рублей в год. Если продукцию завода продать по цене p тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн. рублей) за один год составит 𝑝 ∙ 𝑥 − (0,5𝑥² + 𝑥 + 7). Когда завод будет построен, фирма каждый год будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. В первый год после постройки цена на продукцию p = 9 тыс. рублей за единицу. Каждый следующий год цена увеличивается на 1 тыс. рублей за единицу. За сколько лет окупится строительство завода? (Ответ: 5)

6.3. Предприниматель купил здание и собирается открыть в нём отель. В отеле могут быть стандартные номера площадью 27 квадратных метров и номера «люкс» площадью 45 квадратных метров. Общая площадь, которую можно отвести под номера, составляет 981 квадратный метр. Предприниматель может поделить эту площадь между номерами различных типов, как хочет. Обычный номер будет приносить отелю 2000 рублей в сутки, а номер «люкс» — 4000 рублей в сутки. Какую наибольшую сумму денег сможет заработать в сутки на своём отеле предприниматель? (Ответ: 860 000)

6.4. Производство некоторого товара облагалось налогом в размере t0 руб. за ед. товара. Государство увеличило налог в 2.5 раза (t1= 2.5t0), но сумма налоговых поступлений не изменилась. На сколько процентов государству следует изменить налог, чтобы добиться максимальных налоговых сборов. если известно, что при налоге равном t руб. за ед. товара, объем производства товара составляет 9000 – 2t ед., если это число положительно, и 0 единиц? (Ответ: уменьшилось на 30%)

6.5. Производство некоторого товара облагалось налогом в размере t0 руб. за ед. товара. Государство увеличило налог в 2.5 раза (t1= 2.5t0),но сумма налоговых поступлений не изменилась. На сколько процентов государству следует изменить налог, чтобы добиться максимальных налоговых сборов. если известно, что при налоге равном t руб. за ед. товара, объем производства товара составляет 7000–2t ед., если это число положительно, и 0 единиц?

6.6. Производство некоторого товара облагалось налогом в размере t0 рублей за единицу товара. После того как государство, стремясь нарастить сумму налоговых поступлений, увеличило налог вдвое (до 2t0 рублей за единицу товара), сумма налоговых поступлений не изменилась. На сколько процентов государству следует изменить налог после такого увеличения, чтобы добиться максимальных налоговых поступлений, если известно, что при налоге, равном t рублей за единицу товара, объём производства составляет 10 000 – 2t единиц и это число положительно?

Список источников

1.     Азы алгебры и геометрии. Заочный курс по математике для 7-го класса, Москва, Авангард, 2002, Министерство образования РФ, Всероссийская школа математики и физики «Авангард»

2.     https://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/zadachi-ege-na-procenti/

3.     https://math-ege.sdamgia.ru/test?theme=292

4.     https://math100.ru/prof-ege_2022_15-1/

5.     https://sigma-center.ru/optimalchoice17  

6.     https://infourok.ru/metodicheskoe-posobie-sbornik-zadach-na-smesi-splavirastvori-3177638.html