Инфоурок / Математика / Конспекты / МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА "РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ"
Обращаем Ваше внимание: Министерство образования и науки рекомендует в 2017/2018 учебном году включать в программы воспитания и социализации образовательные события, приуроченные к году экологии (2017 год объявлен годом экологии и особо охраняемых природных территорий в Российской Федерации).

Учителям 1-11 классов и воспитателям дошкольных ОУ вместе с ребятами рекомендуем принять участие в международном конкурсе «Законы экологии», приуроченном к году экологии. Участники конкурса проверят свои знания правил поведения на природе, узнают интересные факты о животных и растениях, занесённых в Красную книгу России. Все ученики будут награждены красочными наградными материалами, а учителя получат бесплатные свидетельства о подготовке участников и призёров международного конкурса.

ПРИЁМ ЗАЯВОК ТОЛЬКО ДО 21 ОКТЯБРЯ!

Конкурс "Законы экологии"

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА "РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ"

библиотека
материалов

ГБПОУ "КЛТ"













Методическая разработка для обучающихся I курса

по теме "Решение тригонометрических уравнений"

по дисциплине математика









Преподаватель Дзюба Л.Г.















2015

Арксинусом числа а и обозначают arcsin a:hello_html_m2d35438e.gif при этом

hello_html_m15535681.gif

Пример: hello_html_1bb353e2.gif

hello_html_585c7ca7.gif

Арккосинус hello_html_m69cfea0e.gif при этом

hello_html_m6e4d883e.gif

Арктангенс hello_html_32afe327.gif при этом

hello_html_3b7fe2dc.gif

Арккотангенс hello_html_21ec04cb.gif при этом

hello_html_m7d16870a.gif

Примеры:hello_html_507c4f73.gif

hello_html_62dabeef.gif

hello_html_m511e2e6a.gif

hello_html_69769f16.gif

hello_html_m6eb32dff.gif

hello_html_747f033e.gif.

1. Вычислите:

hello_html_716715c4.gifhello_html_675171eb.gifhello_html_m3271a765.gifhello_html_63b72bf5.gif

hello_html_m1a2c5dd8.gifhello_html_200b3597.gifhello_html_4d099212.gifhello_html_meaf301b.gif

hello_html_5a50ce7b.gifhello_html_525cf2d3.gifhello_html_514ffaf6.gifhello_html_m52f4a51.gif

hello_html_m3932dff6.gifhello_html_3325a662.gifhello_html_m6df8c2d1.gifhello_html_cc4009.gif

2. Найдите значение выражения:

hello_html_1d65c9ee.gifhello_html_m283cdc3a.gif

hello_html_d29eaab.gifhello_html_51b563c2.gif

hello_html_m407cc655.gifhello_html_39597e5e.gif

Таблица значений тригонометрических функций

Значения тригонометрических функций можно определять по таблицам М.В. Брадиса, но в тригонометрии чаще используются углы, содержащиеся в следующей таблице: Заметим, что hello_html_m332dde30.gif

nо

0о

30о

45о

60о

90о

120о

135о

150о

180о

210о

225о

240о

270о

300о

315о

330о

360о

hello_html_m10568f27.gif

0

hello_html_m1c9a1271.gif

hello_html_135fda73.gif

hello_html_m661f5961.gif

hello_html_m773ee955.gif

hello_html_43d725fa.gif

hello_html_3377074d.gif

hello_html_7b7f2466.gif

π

hello_html_e0019fc.gif

hello_html_4ca8be94.gif

hello_html_5b9ab19.gif

hello_html_m3bace708.gif

hello_html_m366ada89.gif

hello_html_m4195b657.gif

hello_html_506cb092.gif

hello_html_m2225a69e.gif

sin α

0

hello_html_m6221bc59.gif

hello_html_1a04a763.gif

hello_html_mc03602e.gif

1

hello_html_mc03602e.gif

hello_html_1a04a763.gif

hello_html_m6221bc59.gif

0

-hello_html_m6221bc59.gif

hello_html_m39add520.gif

hello_html_63c3edda.gif

-1

hello_html_63c3edda.gif

hello_html_m39add520.gif

-hello_html_m6221bc59.gif

0

cos α

1

hello_html_mc03602e.gif

hello_html_1a04a763.gif

hello_html_m6221bc59.gif

0

-hello_html_m6221bc59.gif

hello_html_m39add520.gif

hello_html_63c3edda.gif

-1

hello_html_63c3edda.gif

hello_html_m39add520.gif

-hello_html_m6221bc59.gif

0

hello_html_m6221bc59.gif

hello_html_1a04a763.gif

hello_html_mc03602e.gif

1

hello_html_16936abb.gif

0

hello_html_1743623e.gif

1

hello_html_m3646fee8.gif

-hello_html_m57d1381.gif

-1

hello_html_eb973b.gif

0

hello_html_1743623e.gif

1

hello_html_m3646fee8.gif

-hello_html_m57d1381.gif

-1

hello_html_eb973b.gif

0

hello_html_m57e76d44.gif

hello_html_m3646fee8.gif

1

hello_html_1743623e.gif

0

hello_html_eb973b.gif

-1

hello_html_3eee6fba.gif

-

hello_html_m57b80bcf.gif

1

hello_html_1743623e.gif

0

hello_html_eb973b.gif

-1

-hello_html_m57d1381.gif

Урав-нение

Решение

Частные случаи

Примечания

sinx=a

hello_html_30ad6b59.gif

hello_html_m5958e16e.gif

hello_html_m61aaf284.gifhello_html_m51ade9f8.gif

hello_html_750d19fb.gif

cosx=a

hello_html_539dc69f.gif

hello_html_62de471f.gifhello_html_76661a97.gifhello_html_m13dd95ab.gif

hello_html_m1e087c3e.gif

tgx=a

hello_html_mbfff614.gif

hello_html_m757e6248.gif

hello_html_6b3742ec.gif

ctgx=a

hello_html_3058d5e8.gif

hello_html_22d6ba31.gif

hello_html_m9edf423.gif

При решении простейших тригонометрических уравнений удобнее пользоваться стандартными формулами:

Пример: Решите уравнение:

hello_html_4ea41944.gifОтвет: hello_html_m265dd76f.gif.

б)hello_html_m41c3cf1e.gif hello_html_m3cffe8ae.gif

hello_html_m5942aefb.gif; hello_html_m3ac2e5d4.gif Ответ: hello_html_m357f80d.gif

в)hello_html_m684ba51c.gifhello_html_m5ef2427.gif

hello_html_m24f0704f.gifОтвет: hello_html_18f3ede4.gif

г)hello_html_m28098ff2.gif hello_html_m13f40af4.gif

hello_html_2dbb1903.gifОтвет: hello_html_m4bd7ebd0.gif

д)hello_html_m4657a368.gif Преобразуем выражение

2hello_html_7af3059a.gif ; hello_html_508c7e32.gif

hello_html_676b5baa.gif

hello_html_7b872560.gifОтвет: hello_html_m1d0a4cfb.gif



е)hello_html_m12c6ccee.gif

hello_html_65d58d7e.gif

hello_html_24e2d9b2.gif

hello_html_m29a264df.gifОтвет: hello_html_m5022b892.gif

ж)hello_html_37393ffc.gif, т.к. аргумент у косинуса – сложная функция, то уравнение решают сначала относительно hello_html_m5a4e7ed8.gif, а затем выражают hello_html_2dcb8d98.gif.

hello_html_m38d93216.gif

hello_html_5b5afddb.gif

hello_html_m695a7045.gif

hello_html_7b41be96.gifОтвет: hello_html_m22331afe.gif

з)hello_html_m21fb40ac.gif

hello_html_1c041e78.gif

hello_html_m273d3e0f.gif

hello_html_14b742b1.gifhello_html_m59e6e8d7.gifОтвет: hello_html_a1af039.gif



3. Решите уравнение:

hello_html_m58842550.gif

hello_html_m50986379.gif

hello_html_m14002e2c.gif


hello_html_m33bfb78a.gif

hello_html_63f326bf.gif

hello_html_m44f4aa2c.gif

hello_html_m16938080.gif

hello_html_m4c7f137b.gif

hello_html_mb50a2f3.gif

hello_html_m2996c5c6.gif

4. Решите уравнение:

hello_html_4315d542.gif

hello_html_m7b4c87c9.gif

hello_html_m43b2f196.gif


hello_html_6c96cc6f.gif

hello_html_m6c5a9cee.gif

hello_html_3764b4a9.gif

hello_html_23c87353.gif

hello_html_32290375.gif


5. Решите уравнение:

а)hello_html_m3b9d3948.gif

hello_html_m7d67dc98.gif

hello_html_m5bc769cb.gif

hello_html_5fcde255.gif

hello_html_4b9df08f.gif

hello_html_7e14f9df.gif

6. Решите уравнение:

hello_html_m1aa23bcf.gif

hello_html_2ce68756.gif

hello_html_4abc63a9.gif

hello_html_md7ab86c.gif

hello_html_m62431a98.gif

hello_html_m19140721.gif

hello_html_6203d548.gif

hello_html_m544d4cbb.gif



Методы решения тригонометрических уравнений

Заметим, что каково бы ни было заданное тригонометрическое уравнение, существует только четыре вида уравнений, дающие решения – это простейшие тригонометрические уравнения.

Рассмотрим основные методы решения тригонометрических уравнений, позволяющие сводить их к простейшим.

  1. Упрощение уравнения, используя тригонометрические формулы.

Пример 1. Решите уравнение: hello_html_4ccd8163.gif

Преобразуем выражение и воспользуемся формулой hello_html_293854e9.gif



hello_html_2908ad7a.gif

hello_html_m4e9b18c4.gif

hello_html_97a97c6.gif;hello_html_67e9c4fa.gif — простейшее тригонометрическое уравнение

hello_html_m1f8315a1.gif; hello_html_4af95a02.gif

hello_html_3734c0ff.gifОтвет: hello_html_m40cb88e6.gif

Пример 2. Решите уравнение: hello_html_m27581a6d.gif

Используем Формулы приведения hello_html_54e0d486.gif; hello_html_m52a60a3a.gif

Пример 3. Решите уравнение: hello_html_m71996f1f.gif

hello_html_7087be8d.gif

Пример 4. Решите уравнение: hello_html_m75c97438.gif

hello_html_m1f294104.gif

hello_html_m66182910.gifhello_html_15293bf8.gif

Ответ: hello_html_m74269820.gif; hello_html_m313cc135.gif.

Пример 5. Решите уравнение: hello_html_6bf3d80.gifИспользуя формулы приведения заменим hello_html_m58a43494.gif:hello_html_m510c7240.gif

представим выражение в виде произведения:

hello_html_m1dd25b48.gif

hello_html_m1d814404.gif; hello_html_10a25818.gif

hello_html_m34c288df.gif; hello_html_m56413e28.gif Ответ: hello_html_34441823.gif

Пример 6. Решите уравнение: hello_html_m40e13016.gif

Используя формулу (1) п. 6, заменим hello_html_f6316f0.gif на 1.

hello_html_135e1e50.gifОтвет: hello_html_23f60831.gif

Пример 7. Решите уравнение: hello_html_2215f1bb.gif

Сгруппируем слагаемые так, чтобы получились формулы: суммы и двойного аргумента.

hello_html_m15d47454.gif

hello_html_ca18c0b.gif; hello_html_1859d039.gif

Вынеся hello_html_6572f9d2.gif общим множителем, получим два простейших уравнения:

hello_html_m5a62926c.gifhello_html_m587a3c50.gifhello_html_69ddbb49.gif

hello_html_11f01b2c.gifhello_html_376e7820.gifhello_html_76a37db4.gif

Ответ: hello_html_m708fb4a6.gif; hello_html_6ce57126.gif .



II. Метод введения новой переменной

Очень часто тригонометрическое уравнение по внешнему виду напоминает квадратное уравнение. Выполнив в уравнении соответствующую замену переменной, можно легко найти его решение.

Пример 8. Решите уравнение: hello_html_30e2d910.gif

Замена hello_html_2e3d87bf.gif hello_html_5d6967c9.gif hello_html_m3cdf8b45.gif

Обратная замена: hello_html_4182ed8b.gif

hello_html_m26c837ac.gifhello_html_m2ae78052.gif

Ответ:hello_html_m6a4e734b.gif; hello_html_m481e6601.gif.

В некоторых уравнениях требуется сделать дополнительное преобразование, чтобы уравнение свелось к квадратному:

Пример 9. Решите уравнение: hello_html_m764d7652.gif

Заменим, , hello_html_3a72e517.gif

hello_html_m37008b0e.gif

hello_html_2b6065a8.gifЗамена: hello_html_64e35d7c.gif hello_html_133de6a9.gifРешив уравнение, найдем hello_html_m2062cfc7.gif Обратная замена:hello_html_7e30469b.gif - уравнение не имеет решения,hello_html_m7a7be3a1.gif т.к. hello_html_m390ce6e3.gif

Ответ: hello_html_1db67b2f.gif.

Пример 10. Решите уравнение: hello_html_m43f60912.gif

Заменим hello_html_mf9e022e.gif, и выполним домножение обеих частей

уравнения на hello_html_38c74ee0.gif. Учитывая, что hello_html_m2df7e5ce.gif, имеем:

hello_html_1146a7c3.gif

hello_html_180c7f32.gifЗамена: hello_html_15951535.gif

hello_html_mfce08d2.gif.

hello_html_113ff5d.gifОбратная замена:

hello_html_367e0742.gif

hello_html_73b6042f.gifhello_html_m3022510f.gif

Ответ: hello_html_7126db54.gif; hello_html_m7e183096.gif.

III. Однородные тригонометрические уравнения.

Однородные тригонометрические уравнения разделяются на два вида:

hello_html_6f6aacff.gif- однородное уравнение первой степени;

hello_html_m51bfcb3a.gif- однородное уравнение второй степени.

Разделив обе части уравнения а) на cosx; б) на hello_html_45fba195.gif, с учетом, что hello_html_5ff1054.gif, получим уравнения:

hello_html_m6f03e241.gif- простейшее;

hello_html_m7dd168ad.gif- квадратное.



Рассмотрим несколько решений однородных уравнений:

Пример 11. Решите уравнение: hello_html_5a0c843c.gif

hello_html_m9e89277.gif; hello_html_m456a30c8.gif hello_html_30b1a3b0.gif

hello_html_m57e80f1f.gifОтвет: hello_html_m5dcfffc9.gif.

Пример 12. Решите уравнение: hello_html_m13dd4bc5.gif

hello_html_m6898692b.gif

hello_html_7812dcbf.gifРешив это уравнение, получим:

hello_html_mfd7962b.gif

hello_html_5f7d9890.gifhello_html_51ba97ef.gif

Ответ:hello_html_m30bab2ee.gif; hello_html_m264e79f7.gif.

Если в однородном уравнении второй степени присутствует свободный член hello_html_m14b3d9b5.gif, то его можно заменить: hello_html_55fcf23f.gif.

Пример 13. Решите уравнение: hello_html_m1661f782.gif

hello_html_m686abb8d.gif

hello_html_7d5a1595.gif, откуда hello_html_m790a99fc.gif,

т.е. hello_html_m4366a98d.gif hello_html_8d6e253.gif

Ответ: hello_html_6d79b503.gif; hello_html_288eb414.gif.

Рассмотренные в данном пункте методы решения тригонометрических уравнений являются базовыми и обязательны к изучению.

7. Решите уравнение:

hello_html_2e383080.gif

hello_html_ma1adb49.gif

hello_html_m5d3b67a8.gif

hello_html_m1a612d84.gif

hello_html_m2136bb84.gif

hello_html_457b127c.gif

hello_html_5a0e7bbb.gif

8. Решите уравнение hello_html_a47fabf.gif и найдите сумму его решений на отрезке hello_html_m16b03508.gif

9. Найдите (в градусах) все решения уравнения hello_html_2ad4538c.gif, удовлетворяющие условию hello_html_e6a97a3.gif.

10. Решите уравнение:hello_html_m4ba70b01.gif hello_html_m2273342d.gif

11. Решите уравнение:

hello_html_m5b62b6cb.gifhello_html_60355988.gif

hello_html_5c4b257a.gifhello_html_m2d24a10f.gif

12. Найдите все решения уравнения hello_html_m4825fc3a.gif принадлежащие отрезку hello_html_m1d664d8e.gif.

13. Упростите выражение hello_html_3206aabf.gif и укажите х, при которых его значение равно hello_html_m4e985639.gif



14. Решите уравнение:

hello_html_18b1fee.gifhello_html_198d7a4e.gifhello_html_m32e597f4.gif

hello_html_m1454e8a9.gif

15. Найдите все решения уравнения hello_html_4a6d65af.gif, лежащие в интервале hello_html_m736a8850.gif

16. Решите уравнение:hello_html_m1b1e7058.gif;

hello_html_m6ff7f1b5.gif;

hello_html_m2dc76060.gif;

hello_html_6a78a396.gif

17. Решите уравнение:

hello_html_m2ff1310c.gif

hello_html_m44a97348.gif

hello_html_m54a4488d.gif

hello_html_6f0061a6.gif

hello_html_3dd27709.gif

hello_html_m79a917ab.gif

18. Решите уравнение:

hello_html_m18c3b201.gif

hello_html_m4e7335a6.gif

hello_html_m4674b07c.gif

hello_html_341bb496.gif

19. Решите уравнение:hello_html_195c997.gif

hello_html_m77c68ff6.gif

hello_html_4151befd.gif

hello_html_m6e81905d.gif

hello_html_mf892cf0.gif

hello_html_7f2344c2.gif



Практическое занятие Тема: Решение тригонометрических уравнений.

Цель занятия : изучить приемы и методы решения различных тригонометрических уравнений .

Задание 1. Решите уравнения:

1) hello_html_m3d3e3825.gif; 2) hello_html_m34706eef.gif; 3) hello_html_70b24e78.gif; 4) hello_html_m2bcb7bef.gif; 5) hello_html_m410fbca8.gif; 6) hello_html_m7c5586ab.gif

7) hello_html_m51e6c0f6.gif; 8) hello_html_m1d753e48.gif; 9)hello_html_m411a2b7c.gif 10) hello_html_m7d532396.gif 11) hello_html_2c327ea1.gif

12)hello_html_58f9d746.gif 13) hello_html_m286cca06.gif; 14) hello_html_m19401c9e.gif; 15) hello_html_74902777.gif; 16) hello_html_52703dcb.gif;

17) hello_html_m41ea3390.gif 18) hello_html_21d7e09c.gif 19)hello_html_7870fe1a.gif 20)hello_html_191ad2a9.gif 21)hello_html_m24b115be.gif

22)hello_html_9d7266b.gif 23)hello_html_m17172b96.gif 24)hello_html_m6d4cda80.gif 25) hello_html_1f78b2d5.gif 26) hello_html_m3b1751d4.gif 27) hello_html_94e7839.gif

28) tg 2x=0 29) tg (x-1)= 1 30) hello_html_36eed340.gif 31) hello_html_m48ee9dd9.gif 32) hello_html_m1e1d4fd4.gif

Задание 2. Решить уравнение, используя метод замены переменной и сводя его к квадратному :


1) hello_html_m45a0d80.gif; 2) hello_html_2b5cef5c.gif; 3) hello_html_m2b488a00.gif;

4) hello_html_m21473adb.gif; 5) hello_html_7e5e4f91.gif; 6)hello_html_5853de8f.gif; 7) hello_html_443b7f7a.gif;

8) hello_html_m2569a38.gif; 9) hello_html_m90d5f30.gif; 10) hello_html_e76d999.gif;

11) hello_html_18fee9b7.gif 12) hello_html_m37fa8dde.gif; 13) hello_html_m3e8f910a.gif; 14) hello_html_7fa38a41.gif; 15) hello_html_6d9f3531.gifhello_html_43b90ffe.gif

25) hello_html_20ae18e6.gif 26) hello_html_m5526d38b.gif 27) hello_html_m37210e09.gif

27) hello_html_4b38ea97.gif 28) hello_html_6f40485d.gif 29) hello_html_1fa9afb8.gif

30) hello_html_71972999.gif 31) hello_html_m39bafc25.gif 32) hello_html_63ca8eb9.gif



3. Решить уравнение методом разложения на множители:

1) hello_html_m3e7a5b73.gif; 2) hello_html_ebf7d12.gif; 3)hello_html_m247b0760.gif 4) hello_html_1caac3d7.gif;

5) hello_html_6b69d04d.gif 6)hello_html_dc7e539.gif; 7) hello_html_7af66044.gif

hello_html_75c37b4f.gif17)hello_html_m57697ea6.gif 18) hello_html_388deff0.gif

20) hello_html_m315b5633.gif; 22) hello_html_47a39524.gif; 23) hello_html_6b28ed21.gif

24) hello_html_59549e8e.gif;25) hello_html_m2aae3948.gif; 26) hello_html_m42f22892.gif

27) hello_html_m221c5a11.gif ; 28) hello_html_m3286d6fa.gif ;29) hello_html_3fab3799.gif; 30) hello_html_30000dd7.gif

31) hello_html_m49fbc1a5.gif 32) hello_html_m4a1dd10c.gif

4. Решите уравнение, используя однородность:

1) hello_html_1addc228.gif; 2) hello_html_m11cd858d.gif; 3) hello_html_m462697c.gif;

4) hello_html_254e3403.gif;5) hello_html_5253f17f.gif;

6)hello_html_m4aeabd02.gif 7)hello_html_m7275b020.gif; 8) hello_html_m1b18cea2.gif;

9) hello_html_m5b4ec5c1.gif;10) hello_html_49d7033d.gif 11)hello_html_ma7926ca.gif; 12) hello_html_23e4ec41.gif;13) hello_html_m4853d14e.gif 14) hello_html_m7b169ed7.gif; 15)hello_html_5e6fdf6a.gif; 16) hello_html_m10678043.gif; 17)hello_html_4338e398.gif

18)hello_html_m1a8f4613.gif19)hello_html_22d920b3.gif 20)3sin2 x – 4sin x cos x + cos2 x = 0

21) sin x = 2 cos x 22) 7cos2 x + 3 sin2x =0 23) hello_html_46f31948.gifsin x + cos x = 0 24) hello_html_46f31948.gifsin 3x – cos 3x = 0

25) 4cos 3x + 5 sin 3x =0 26) hello_html_46f31948.gifcos2x +sin 2x =0 27) hello_html_5a3e5ff8.gif

28) hello_html_65d68e2a.gif 29) hello_html_3c85453a.gif 30) hello_html_m10288b22.gif

31) hello_html_m215d2588.gif32) hello_html_m58386ac.gif



Краткое описание документа:

Методическая разработка для обучающихся I курса по теме "Решение тригонометрических уравнений"

по дисциплине математика. По моему опыту работы, студенты плохо решают тригонометрические уравнения, не знают таблицу значений тригонометрических функций . поэтому я объединила весь теоретический материал , таблицу значений, примеры уравнений с полнейшим разбором решения, способы решения и задания.

Общая информация

Номер материала: 259565

Похожие материалы